MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA, CORSO DI
LAUREA DI SCIENZE DELLA FORMAZONE PRIMARIA, VECCHIO
ORDINAMENTO, II ANNO
Esercizi
Docente: Ana Millán Gasca
A
1) Spiegare l’ampliamento del sistema dei numeri a partire dai numeri naturali
discutendone gli aspetti matematici, culturali e didattici.
2) a) Siano a e b due numeri interi congrui con 3 modulo 4. Dimostrare a quale classe di
congruenza modulo 4 appartiene a + b.
b) Calcolare il massimo comun divisore di 936 e 4.508 usando l’algoritmo euclideo.
c) Scrivere il numero 10667 nei sistemi di numerazione antichi egizio, babilonese e
romano, e usando il sistema di numerazione posizionale in base 3 usando le cifre
usuali. Indicare in ogni caso la decomposizione utilizzata per rappresentare
simbolicamente il numero.
3) Rappresentare geometricamente la frazione 6/5 in al meno tre modi diversi,
corrispondenti alle diverse interpretazioni della notazione frazionaria, e proporre per
ognuno di essi un problema elementare o una situazione di vita quotidiana che
permetta di illustrare tale interpretazione nella scuola primaria.
B
1) I numeri naturali: aspetti matematici, culturali e didattici.
2) a) Trovare un numero congruo con 17 modulo 7.
b) Trovare un numero congruo con 3 modulo 5 e minore di — 10
c) Scrivere il numero seguente in base 6 e nel sistema di numerazione egizio, indicando
la decomposizione utilizzata: 3 × 6 4 + 6 3 + 5 × 6 + 1
d) Proporre un esempio di numero razionale indicando diverse notazioni per
rappresentarlo simbolicamente e, per ognuna di esse, proporre un esempio della vita
quotidiana o un problema elementare in cui viene utilizzata.
3) Scegliere uno fra i due temi seguenti:
a) Il concetto di angolo in geometria.
b) I principi di base del discorso matematico negli Elementi di Euclide.
C
1) I concetti geometrici di punto e di retta nella geometria euclidea.
1
2) a) Calcolare il massimo comun divisore di 266 e 684 usando l’algoritmo euclideo
b) Enunciare e dimostrare la proprietà matematica sulla quale si basa l’algoritmo
euclideo
3) Considerare i numeri naturali seguenti, rappresentati simbolicamente in base 6: n =
1136 m = 3206
a) Scriva n ed m in numeri romani, usando il sistema di numerazione egizio antico e il
sistema di numerazione posizionale babilonese. Indicare in ognuno dei sistemi di
numerazione la decomposizione del numero che è stata adoperata.
b) È possibile eseguire la divisione m : n nell’insieme N dei numeri naturali? Proponga
un esempio della vita quotidiana per illustrare la situazione numerica astratta.
c) È possibile eseguire la divisione n : m nell’insieme Q dei numeri razionali? Scriva il
risultato della divisione con diverse notazioni proponendo per ognuna di esse un
esempio di uso della vita quotidiana.
D
1) Discutere il concetto matematico di relazione di equivalenza: definizione, esempi in
aritmetica e in geometria e implicazioni didattiche.
2) a) Trovare un numero negativo e un numero positivo congrui con 3 modulo 7.
Giustificare la risposta.
b) Rappresentare geometricamente la frazione 3/8 in tre modi, indicando per ogni
rappresentazione l’interpretazione che essa serve ad illustrare.
c) Scrivere la classe di equivalenza in Z x Z* che corrisponde alla frazione 3/8.
d) Trovare la scrittura posizionale sessagesimale e posizionale decimale della frazione
3/8.
3) Considerare il numero millesettecentosessantaquattro. Scrivere il numero nei seguenti
sistemi di numerazione ed indicare per ogni rappresentazione la decomposizione del
numero che è stata utilizzata:
a) sistema di numerazione posizionale decimale corrente di origine indiana
b) sistema di numerazione posizionale in base 8 usando le cifre da 1 a 7
c) sistema di numerazione romano
d) sistema di numerazione sumero
e) sistema di numerazione posizionale babilonese.
E
1) Gli assiomi di Peano. Presentare gli assiomi, spiegare il loro significato e le loro
implicazioni didattiche.
(Indicazioni: Rifletta attentamente sulla domanda. Prepari un breve schema con i punti
salienti della risposta e scriva quindi la risposta in modo chiaro e conciso.)
2
2) a)Che tipo di numero è la frazione 3/5? Scrivere la classe di equivalenza in Z x Z* che
corrisponde alla frazione 3/5.
b) Trovare la scrittura posizionale sessagesimale e posizionale decimale della frazione
3/5, e proporre per ognuna di esse un problema o un esempio della vita quotidiana
adeguato ai bambini della scuola primaria.
c) Rappresentare geometricamente la frazione 3/5 in tre modi diversi, indicando per
ogni rappresentazione l’interpretazione che essa serve ad illustrare.
3) a) Scrivere il numero settemilaquatrocentodue nei sistema di numerazione posizionale
babilonese, e indicare la decomposizione che è stata usata per rappresentare il numero.
d) b) Trovare due numeri positivi e due numeri negativi congrui con 4 modulo 6.
c) Scrivere il numero CXLIII in base 3. Questo numero è multiplo di 3?
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