MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA – VECCHIO ORDINAMENTO DI SFP
Ana Millán Gasca
a.a. 2011-2012
Esercitazioni e complementi 2
Sistemi di numerazione posizionali e teorema di rappresentazione
I sistemi di numerazione basati sul principio posizionale adoperano una
decomposizione del numero che usa l’addizione, la moltiplicazione, e le potenze
successive della base. Iniziamo a raggruppare per la potenza maggiore possibile della
base, e poi raggruppiamo per le potenze successive.
Un teorema della matematica afferma che, scelta una base a piacere, ogni numero
intero può essere decomposto in questo modo (aggiungendo cifre raggiungiamo ogni
numero naturale) e che le cifre di tale decomposizione sono uniche.
TEOREMA (RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI INTERI) Sia b un numero naturale maggiore
di 1. Ogni numero naturale n può essere rappresentato in modo unico nella forma
n = ak × b k + ak−1 × b k−1 + ...+ a3 × b 3 + a2 × b 2 + a1 × b1 + ao
con k un numero naturale, a0, a1, a2, ..., ak numeri naturali minori di b e ak ≠ 0
Si osservi che k + 1 è il numero delle cifre o posizioni che permettono di scrivere il
numero; ognuna delle cifre usate, indicate con ai , è un numero minore della base scelta.
Una volta ottenuta questa decomposizione, il simbolo per rappresentare n si ottiene
accostando le cifre: ak ak−1...a2 a1a0 .
Così, fissata una base, il teorema afferma che ogni numero naturale (ma in realtà tutti
i numeri interi, positivi e negativi) può essere rappresentato o decomposto in questo
modo e che tale rappresentazione è unica (non è possibile rappresentare lo stesso numero
accostando un diverso gruppo di cifre). Quindi, la rappresentazione posizionale dei
numeri non è ambigua, a differenza di ciò che succede con la rappresentazione con
parole o con la scrittura alfabetica di altri concetti astratti). Questa affermazione ci può
sembrare scontata, ma lo è soltanto perché essa è strettamente legata alla nostra intima
consapevolezza delle regolarità dei numeri naturali.
Esercizio. La ricerca di k e delle cifre ai . Scriva 143 in base 3. Dobbiamo quindi ricercare i gruppi di 3,
di 9, di 27, di 81. Quante sono le posizioni o cifre che servono a decomporre questo numero? Scrivere
la decomposizione del numero ad ogni tappa della ricerca delle cifre. Notare che si tratta di una serie di
divisioni.
Esercizio. Scrivere 14310 in base 7 e in base 2.
1
N.B. Si indica con un indice in basso la base utilizzata per poter interpretare correttamente i simboli,
quindi 14310 sottolinea il fatto che le cifre sono da intendersi in base 10. Senza indice si intende che la
base utilizzata è la base 10
Il teorema di rappresentazione può essere dimostrato, e lo faremo nel seguito del
corso, sulla base delle proprietà dei numeri naturali che studieremo nelle prossime
lezioni: il principio di induzione e il teorema di esistenza e unicità di quoziente e resto
nella divisione con resto.
La rappresentazione dei numeri grazie al sistema di numerazione posizionale
decimale è il fondamento degli algoritmi in colonna delle “quattro operazioni” della
scuola primaria: infatti, questi algoritmi sono costituiti da istruzioni da eseguire sulle cifre
che rappresentano due o più numeri, istruzioni che includono la collocazione o
allineamento di tali cifre per non perdere l’informazione sulla posizione. Tali algoritmi
possono essere applicati ai numeri scritti anche in basi diverse da dieci.
Esercizi
Esercizio 1 Rappresentare il seguente numero naturale usando i sistemi di numerazione
indicati:
3 × 63 + 2 × 62 + 5 × 6 + 3
i) sistema di numerazione posizionale in base sei, usando come simboli le cifre 0, 1, 2,
3, 4 e 5
ii) il sistema di numerazione oggi di uso corrente
iii) il sistema di numerazione nella scrittura geroglifico dell’Egitto antico
iv) il sistema di numerazione dei Romani
v) il sistema di numerazione erudito dei Babilonesi. Il simbolo ottenuto, quali altri
numeri (interi o frazionari) potrebbe rappresentare?: proporre tre esempi.
Indicare per ogni rappresentazione la decomposizione utilizzata.
Esercizio 2
(a) Rappresentare in base 6 il numero 2140. Spieghi la procedura utilizzata. Per
raggruppare per 6 e per le potenze di 6, quale è lo strumento matematico più
diretto?
(b) Eseguire in colonna l’addizione 25016 + 31536 Come può verificare il risultato?
(c) Rappresenti il numero 6 in base 6.
(d) Rappresentare 36, 36, 216, 256 in base 6.
(e) Rappresentare il numero 1456 in numeri romani.
Esercizio 3 Indichiamo con il simbolo a un numero naturale qualsivoglia. Scriva
simbolicamente:
(a) il successivo di a
(b) il doppio di a
(c) l’inverso di a (“fare a parti”)
2
(d) la metà di a.
(e) l’area di un quadrato il cui lato ha lunghezza a
(f) il volume di un cubo il cui spigolo ha lunghezza a
(g) un multiplo di a
(h) il successivo del triplo di a
(i) il quadruplo del successivo di a.
(j) la lunghezza del lato di quadrato di area a
In ognuno di questi casi, che tipo di numero otteniamo?
Esercizio 4. Sia n un numero naturale. Per scrivere la rappresentazione decimale
posizionale di questo numero, quale è la decomposizione che dobbiamo ottenere?
Esercizio 5. Scrivere tutti i numeri a una, due, tre cifre nel sistema posizionale decimale;
scrivere tutti i numeri a una, due, tre cifre nel sistema posizionale in base 6.
Esercizio 6. Nel sistema posizionale sessagesimale babilonese, quante posizioni servono
a rappresentare il numero 13? E il numero 143? Quanti simboli sono adoperati in
ognuna delle posizioni?
Esercizio 7 Siano a e b due numeri naturali che si scrivono nel modo seguente in base
quattro (adoperando le quattro cifre 0, 1, 2, 3):
a = 1014
b = 234
a) Scriva a e b in altri due modi: prima in un sistema di numerazione
posizionale diverso e poi usando un sistema di numerazione additivo.
b) Esprima il numero naturale 3⋅ a − b nel sistema di numerazione decimale
posizionale.
c) La proprietà associativa della moltiplicazione si applica ai numeri naturali
scritti in base quattro? Giustifichi la sua risposta.
Esercizio 8 La rappresentazione dei numeri naturali nei sistemi di numerazione additivi e
posizionali: definizioni, aspetti storici e implicazioni didattiche.
Esercizio 9 I teorema di rappresentazione dei numeri naturali in una base b: enunciato
del teorema, aspetti storici e implicazioni didattiche.
Esercizio 10 Quale è l’espressione o rappresentazione posizionale dei numeri frazionari?
Proporre alcuni esempi usando la base decimale e la base sessagesimale e indicare la
decomposizione usata.
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Nel corso delle esercitazioni abbiamo riflettuto su: misurarsi con l’errore, la differenza
tra problema ed esercizio, lavorare in aula di matematica a partire da un problema,
come confrontarsi con un problema.
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