PROGRAMMA DEL CORSO DI
ALGEBRA.
Prof. C. Casolo
Fondamenti:
Insiemi ed operazioni tra insiemi. Applicazioni, composizione, applicazioni
invertibili. Cardinalità di un insieme. Relazioni di equivalenza, partizioni, insieme
quoziente. Numeri interi, principio di induzione e altre proprietà. Calcolo combinatorio,
coefficiente binomiale. - Dispensa + (rel. equivalenza) § 2.5 Gruppi:
Operazioni su un insieme, semigruppi e monoidi; §2.1.
Sottogruppi, gruppo (Z,+) e suoi sottogruppi, gruppi ciclici e loro sottogruppi,
classi laterali e Teorema di Lagrange, sottogruppi normali, gruppo quoziente,
omomorfismi e isomorfismi, teoremi di omomorfismo, coniugio, automorfismi e
automorfismi interni, gruppi Z/nZ, prodotti e prodotti diretti, permutazioni e gruppi di
permutazioni, decomposizioni in cicli, Teorema di Cayley; § 2.2 , 2.3 , 2.4 , 2.6 , 2.7 ,
2.8 , 2.9, 2.10 , 6.1 (Teorema 1.3) , 6.6.
gruppi di matrici, gruppi di movimenti rigidi sul piano e simmetrie, azioni di
gruppi su insiemi, orbite e stabilizzatori, formula delle classi, Teoremi di Sylow (solo
enunciato); § 4.5 (dim. Teorema 5.5 solo in R2, niente Lemma 5.23), (§ 5.1 , 5.2 , 5.3,
5.5, 5.6 (solo Prop. 6.4), 5.7, 6.1, 6.3 (solo coniugio, cioè dalla riga -8 di pag. 242), 6.4
(senza dimostrazioni).
Anelli, polinomi e campi
Anelli: definizione, anelli commutativi, elementi invertibili, domini di integrità,
sottoanelli, ideali, ideali principali, omomorfismi e isomorfismi, campi, anello dei
quaternioni, anelli quoziente, aritmetica modulare, caratteristica, campo delle frazioni di
un dominio, ideali massimali, domini a fattorizzazione unica, domini a ideali principali,
domini euclidei. § 10.1 , 10.3 (tranne 3.7, 3.8), 10.4 (fini all'inizio di pag.429), 10.6,
10.7 (fino alla Prop. 7.5), 11.1, 11.2, 11.3 (esclusa pag.476)
Anello dei polinomi: costruzione e principali proprietà, principio di sostituzione,
divisione tra polinomi, radici, ideali, fattorizzazione di polinomi, lemma di Gauss,
algoritmi per la fattorizzazione di polinomi, aggiunzione di elementi ad un anello. § 10.2
(dalla fine di pag.415), 10.3 (punti 3.19, 3.20, 3.21, 3.22), 10.5 (Prop. 5.7), 11.1
(Teorema 1.5 e Prop. 1.8), 11.3 (fino al Coroll. 3.10), 11.4 (tranne la Prop. 4.7).
Campi ed estensioni: elementi algebrici e trascendenti, grado di una estensione,
aggiunzione di radici e campi algebricamente chiusi, costruzione di campi finiti. §13.1,
13.2 (tranne la Prop. 2.9), 13.3 (fino al Teorema 3.10, esclusa la Prop. 3.3), 13.5 (fino
alla Prop. 5.3), 13.6 (fino al Teorema 6.4 (a, b ,c) e senza dimostrazione), 13.9 (fino a
meta di pag. 620).
Testo : M. Artin ALGEBRA
PROGRAMMA DEL CORSO DI
ALGEBRA SUPERIORE
Prof. A. Scarselli
Gruppi Con Operatori: Sottogruppi ammissibili. Omomorfismi operatoriali e gruppi
quoziente. Teoremi di omomorfismo. Catene e serie. Lemma di Zassenhaus. Teorema di
Schreier-Zassenhaus. Teorema di Jordan-Hoelder. Condizioni di finitezza.
Commutatori.Serie derivata. Gruppi risolubili. Catene centrali. Gruppi nilpotenti.
Prodotti diretti. Endomorfismi normali. Teorema di Remak-Krull-Schmidt. Prodotti
semidiretti.
Gruppi Abeliani E Moduli: Moduli irriducibili. Moduli completamente riducibili.
Moduli noetheriani e artiniani. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert.
Moduli su anelli a ideali principali. Moduli liberi a base finita. Teorema di invarianza
dei fattori. Divisori elementari. Moduli finitamente generati. Struttura dei gruppi
abeliani finitamente generati.
Gruppi Finiti: Teoremi di Sylow.p-gruppi e gruppi nilpotenti. Teoremi di Zassenhaus e
Schur sulle estensioni spezzanti.Teoremi di P.Hall per gruppi risolubili. Gruppi di
permutazioni. Gruppi simmetrici e alterni.
Campi: Ampliamenti semplici. Ampliamenti di grado finito. Campo di riducibilita'
completa di un polinomio. Chiusura algebrica. Ampliamenti normali. Radici multiple.
Campi perfetti. Ampliamenti separabili. Teorema dell'elemento primitivo. Teorema
fondamentale della teoria di Galois. Teorema fondamentale dell'Algebra.
Interi Algebrici: Domini a fattorizzazione unica. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss.
Anello dei polinomi su un dominio a fattorizzazione unica. Interi algebrici. Radici
dell'unita'. Polinomi e campi ciclotomici.
Anelli Semisemplici: Anelli a condizione minimale. Radicale. Anelli semplici.Teorema
di Wedderburn. Struttura degli anelli semisemplici. Algebre. Rappresentazioni delle
algebre semisemplici
Rappresentazioni Lineari E Caratteri: Algebra di un gruppo.Teorema di Maschke.
Centro dell'algebra di un gruppo. Rappresentazioni irriducibili. Funzioni di classe.
Caratteri. Relazioni di ortogonalita'. Tavole dei caratteri. Gruppi doppiamente transitivi.
Criterio di risolubilita' di Burnside. Caratteri indotti. Gruppi di Frobenius.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
ANALISI I
Prof. E. Giusti
Il Sistema Dei Numeri Reali: Proprietà elementari dei numeri reali. Il valore assoluto.
L'assioma di Dedekind. Estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali
generalità sui numeri complessi. La topologia della retta: insiemi aperti e chiusi.I numeri
interi come sottoinsieme di R. Un modello dei numeri reali. Generalità sui numeri
complessi.
Successioni E Serie Numeriche: Successioni. Limite di una successione. Operazioni con
i limiti. Serie numeriche. Limiti di successioni monotòne; serie a termini positivi. Due
numeri particolari: "e" e "". Potenze con esponente reale. I numeri reali in forma
decimale. Il massimo e il minimo limite. Successioni e topologia. Il criterio di Cauchy. I
numeri reali come completamento dei razionali. Criteri di convergenza per le serie a
termine positivi. Altri criteri di convergenza. Riordinamento dei termini di una serie.
Prodotti infiniti. Successioni e serie complesse.
Funzioni E Loro Limiti: Grafico di una funzione. Funzione composta e funzione inversa.
Limiti di funzioni. Restrizioni. Limiti destro e sinistro. Limiti di funzioni monotòne.
Massimo e minimo limite. Funzioni continue. Punti di discontinuità. I teoremi
fondamentali per le funzioni continue. L'uniforme continuità. Funzioni continue
invertibili.
Calcolo Infinitesimale: L'area del segmento di parabola. Integrale delle funzioni
semplici. L'integrale di Riemann. Integrazione delle funzioni continue. Integrale esteso a
un intervallo. La derivata: introduzione, definizione e proprietà. Massimi e minimi
relativi. Il teorema del valore medio. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrazioni e primitive.
Derivazioni E Integrazione: L'integrazioni per parti. L'integrazione per sostituzione.
Sostituzioni speciali La funzione logaritmo. Il numero "e".
Sviluppi Del Calcolo Infinitesimale: Calcolo dei limiti. Teoremi di de l'Hopital. Derivate
successive. Funzioni convesse e concave. Studio del grafico di una funzione. La formula
di Taylor. Sviluppi delle funzioni elementari. La serie di Taylor cenni. L'integrale in
senso generalizzato. Criteri di convergenza per integrali impropri. L'esponenziale nel
campo complesso.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
ANALISI II
Prof. G.Talenti
Primo semestre:
(Per studenti del Corso di Diploma e studenti del Corso di Laurea in Matematica. Una trentina
di lezioni, circa otto lezioni per ognuno dei seguenti argomenti.)
Equazioni differenziali ordinarie:
Metodi per il trattamento di equazioni differenziali del prim'ordine lineari, a variabili
separate, a coefficiente omogeneo, di Bernoulli, di Clairaut, ecc. Analisi geometrica delle
traiettorie di un'equazione del prim'ordine o di un sistema autonomo 2 >< 2 del prim'ordine.
Equazioni lineari del second'ordine a coefficienti costanti, omogenee e non. Metodi
per il trattamento di alcune equazioni differenziali del second'ordine, lineari e non lineari. (iv)
Cenni sull'integrazione per serie.
Funzioni di due variabili reali, a valori reali:
Generalità: Grafici e linee di livello, limiti, continuità'; Derivate parziali, derivate
direzionali, differenziali primo e secondo, gradiente, matrice hessiana; Piano tangente ad un
grafico, retta tangente ad una linea di livello.
Regole per la manipolazione di derivate parziali, derivate parziali e coordinate curvilinee.
Metodi per l'identificazione di estremi locali, di estremi vincolati, di selle.
Integrali doppi.
Definizione di Integrali doppi di funzioni a scala; Integrali doppi di funzioni limitate,
estesi a rettangoli; Area di insiemi limitati; Integrali doppi di funzioni limitate, estesi ad
insiemi limitati.
Proprietà basilari degli integrali doppi e dell'area. Integrabilità di funzioni continue su
rettangoli e relative formule di riduzione.
Presentazione delle formule di riduzione in insiemi normali, casi semplici del teorema
della divergenza.
Enunciato del teorema sul cambiamento di variabili in integrali doppi.
Integrazione su linee e superfici:
Nozione di linea e di superficie regolare. Lunghezza di una linea e area di una
superficie regolare: definizioni e uso di formule. Esempi notevoli.
Nozione di integrale (di una funzione a valori reali, oppure di una forma differenziale)
esteso ad una linea o ad una superficie.
Presentazione di casi semplici della formula di Stokes.
Secondo semestre
(Per studenti del Corso di Laurea in Matematica. Un'altra trentina di lezioni.)
Equazioni differenziali ordinarie.
Problemi alla Cauchy per equazioni e sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine
di forma normale: teoremi di esistenza e unicità in piccolo e in grande. Contrazioni in uno
spazio metrico, un teorema sull'esistenza di punti fissi.
Equazioni differenziali lineari di ordine n, a coefficienti costanti e non, omogenee e
non omogenee: teoremi sull'insieme delle soluzioni, sul determinante wronskiano, sulle
soluzioni esponenziali - polinomi di equazioni a coefficienti costanti; equazioni del tipo di
Eulero; metodo della variazione delle costanti.
Funzioni di più variabili a valori reali.
Condizioni sufficienti per la differenziabilità, teorema di Schwarz sulle derivate di
ordine superiore, teoremi sulla formula di Taylor.
Funzioni implicite e teorema del Dini. Applicazioni a linee e superfici di livello,
applicazioni alle coordinate curvilinee.
Discussione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Applicazione ad autovalori ed
autovettori di matrici simmetriche.
Forme differenziali lineari.
Forme differenziali lineari esatte e chiuse, campi vettoriali irrotazionali e conservativi,
primitive di forme differenziali, potenziali di campi vettoriali.
Funzioni con gradiente nullo. Teorema sulla lunghezza di curve regolari, ascissa
curvilinea.
Integrazione di forme differenziali lineari, esatte o no, su cammini aperti o chiusi.
Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'integrabilità di forme differenziali
lineari. Integrabilità di forme differenziali lineari chiuse in aperti semplicemente connessi di
~2 e R3.
Metodi per la ricerca di potenziali.
Integrali multipli.:
Cenno di una teoria per l'integrazione di funzioni di n variabili.
Teoremi su formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Forme del principio di
Cavalieri.
Casi semplici del teorema della divergenza in ~2 e R3. (iv) Discussione di un teorema
sul cambiamento di variabili in integrali doppi e tripli.
APPLICAZIONI DI MATEMATICHE SUPERIORI
Prof. R. M. Bianchini
Equazioni Differenziali Ordinarie In Rn: Definizione Di soluzione in senso classico e alla
Caratheodory; teoremi di esistenza. Soluzioni massimali; esistenza e unicità del problema di
Cauchy.
Sistemi Lineari: Sistemi Lineari Autonomi. Rappresentazione Delle soluzioni e loro proprietà.
Forma canonica di Jordan. Sistemi lineari non autonomi: matrice di evoluzione e matrice
fondamentale. Proprietà delle soluzioni. Sistemi affini. Sistemi periodici e soluzioni
armoniche. Problemi ai limiti. Lemma di Belman-Gronwall.
Equazioni Differenziali Non Lineari: Regolarità Delle Soluzioni in relazione ai dati iniziali e
ai parametri. Calcolo delle soluzioni di alcune equazioni differenziali non lineari. Teorema del
confronto. Condizioni sufficienti per la persistenza delle soluzioni.
Sistemi Autonomi: Spazio Delle Fasi E Orbite. Insieme Dei Punti limite. Sistemi dinamici.
Ritratto delle fasi di sistemi lineari autonomi piani. Insiemi limite di sistemi piani. Punti
singolari. Varietà stabile, varietà instabile e varietà centrale. Punti iperbolici, Teorema di
Hartman-Crobman e Teorema di Hartman. Studio delle singolarità isolate.
Stabilità: Stabilità; stabilità uniforme, attrattività, stabilità asintotica, stabilità esponenziale.
Caratterizzazione dei sistemi lineari stabilì. Sistemi periodici. Stabilità in prima
approssimazione. Teoremi di Liapunov relativi alla stabilità.
Modelli Matematici: Modelli di dinamica delle popolazioni: modello di popolazione isolata:
modello a crescita limitata. modello preda predatore.
Teoria Matematica Del Controllo: Processi di controllo. Processi lineari autonomi senza limiti
sui valori dei controlli: insiemi raggiungibili, insiemi trasferibili, controllabilità, completa
assegnabilità dello spettro, decomposizione di Kalman. Processi lineari autonomi con controlli
limitati: insiemi raggiungibile e trasferibile. Locale controllabilità e stabilizzabilità locale.
Bibliografia del corso:
R. Conti - Corso di Applicazioni di Matematiche Superiori. Equazioni Differenziali
Ordinarie - (dispense)
E.A. Coddington - N. Levison - Theory of ordinary differential equations International Series in Pure and Applied NIatliematics n. 34
G. Sansone - R. Conti - Equazioni differenziali non lineari - Edizioni Cremonesi,
Roma
M. W. Hirsh - S. Smale - Differential equations, dynamical systems and linear algebra
- Pure and Applied Mathematics n. 60, Academic Press.
M. Braun - Differential Equations and their Application - Texts in Applied
Mathematics, Springer-Verlag
L. Perko - Differential equations and dynamical systems - Texts in Applied
Mathematics Vol. 7, Springer.
L.C. Piccinini - G. Stampacchia - G. Vidossich - Equazioni Differenziali in Rn Liquori
V. Arnol'd - Ordinary Differential Equations - Springer-Texbook.
R.Conti-Processi di controllo lineari in Rn-Quaderni Unione Matematica Italiana,
Pitagora
E.B. Lee - L. Markus - Foundations of Optimai Control Theory - John Wiley & Sons.
E. Sontag - Mathematical Control Theory: Deterministic Finite dimensional Systems Texts in Applied Mathematics VoI. 6, Springer.
A. Bacciotti - Teoria Matematica dei controlli - Quaderni di Matematica per le Scienze
Applicate Celid ed.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO DELLE PROBABILITA' E STATISTICA
(D.U. II Sem.)
Prof. G. Anichini
Introduzione: Linguaggio stocastico; eventi; eventi ed insiemi; coséla Probabilitàe cosé
la Statistica; valutazioni elementari della Probabilità elementi di Calcolo Combinatorio;
elementi di Storia del Calcolo delleProbabilità.
Elementi di Calcolo delle Probabilità: La probabilità soggettiva; spazio dei campioni;
esempi; definizione classica di probabilità additività della probabilità le prove ripetute;
probabilità e frequenza; eventi di probabilità zero; eventi condizionati e Teorema di
Bayes; probabilità condizionate; indipendenza stocastica; variabili aleatorie;
distribuzioni discrete; la distribuzione binomiale; la distribuzione di Poisson; la
distribuzione ipergeometrica; previsione e varianza; la distribuzione normale; la
distribuzione uniforme; Teorema Limite Centrale.
Elementi di Statistica Matematica Esperimenti controllati; statistica descrittiva;
l'istogramma; misure di tendenza centrale; la media e la deviazione; uso della
distribuzione normale; esempi di campionamento statistico; l'uso intrinseco del Calcolo
delle Probabilità nella Statistica matematica (esempi); correlazione e regressione; leggi
dei grandi numeri.
Testi di riferimento
G. ANICHINI - Calcolo Vol. 4, Elementi di Calcolo delle Probabilità e di Inferenza
Statistica - Pitagora - Bologna - 1996.
K. BACLAWSKI-M. CERASOLI-G.C. ROTA - Introduzione alla Probabilità - Unione
Matematica Italiana - Pitagora - Bologna - 1984.
D.FREEDMAN - R.PISANI- R.PURVES - Statistica - McGraw-Hill Italia Milano 1998.
R. SCOZZAFAVA - Primi passi in Probabilità e Statistica - Zanichelli - Bologna 1995.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO DELLE PROBABILITA'
Prof. P. Moro
Prerequisiti: La padronanza dei contenuti di Geometria 1, Analisi i e 2.
Durante il corso, secondo necessità, verranno richiamate alcune nozioni di base di
analisi e di teoria della misura che per comodità degli studenti sono state qui riassunte in
un'apposita voce.
Nozioni di base di analisi e teoria della misura: Algebra (di Sottoinsiemi di un dato
insieme, s-algebre, classi di generatori. Algebra generata da una famiglia finita,
costituenti. La s-algebra di Borel in un generico spazio topologico classi di generatori
per la s-algebra di Borel di Rn. Misure finitamente additive, misure (s-additive). Limiti
di insiemi. Varie caratterizzazioni della s-additività. Completamento di una misura.
Misure s-finite. Teorema di Caratheodory. funzioni di distribuzione e misure di
Lebesgue-Stieltjes in Rn. Assoluta continuità di una misura rispetto ad un altra misura.
Densità. Teorema di Radon-Nikodim. Funzioni misurabili. Conservazione della
misurabilità sotto varie operazioni. Approssimazione di funzioni misurabili; mediante
funzioni semplici. Integrazione rispetto ad una misura s-additiva. Proprietà
dell'integrale. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Integrazione per
sostituzione. Misure prodotto. Teoremi di Tonelli e di Fubini. Varie: Lemma di
Kronecker. Caratterizzazione della convergenza uniforme di funzioni di ripartizione.
Introduzione: Varie impostazioni per le teoria delle probabilità: in particolare le
impostazioni classica, frequentista soggettiva.
Lo spazio (W, A, P): Eventi; identificazione tra eventi e Sottoinsiemi di W. Assiomi Per
la probabilità. Condizionamento ad eventi di probabilità positiva, teorema di Beyes.
Indipendenza tra eventi. Indipendenza tra famiglie di eventi. I lemmi di Borei Cantelli
Le variabili aleatorie (v.a.): Funzioni di ripartizione per v.a. a valori in Rn e misura di
Lebesgue-Stieltjes associata. Distribuzioni marginali. Teorema di scomposizione Per le
funzioni di ripartizione. Variabili aleatorie discrete, assolutamente continue e singolari
continue.
Speranza matematica:Speranza matematica, varianza, momenti; disuguaglianza di
Chebyshev; covarianza coefficiente di correlazione. Speranza matematica in termini
della coda della distribuzione. lì Problema dei momenti. Distribuzione della Somma di
v.a. indipendenti, l'integrale di convoluzione. Distribuzione della composizione di
vettori aleatori con diffeomorfismi. particolari distribuzioni di probabilità geometrica,
Bernoulli, binomiali e multiformi ipergeometrica, binomiale negativa Poisson,
uniforme, eesponenziale 'formale gamma, beta, chi-quadrato longrmale, Cauchy.
Il condizionamento nell'impostazione dl Kolmogorov: Speranza condizionale di una
v.a., data una s-algebra, proprietà della speranza condizionale; probabilità condizionale,
data una s-algebra; distribuzioni condizionali regolari. Condizionamento di una v.a.
rispetto ad un'altra; distribuzione condizionale nel caso di una densità congiunta.
Distribuzioni condizionali ed indipendenza. Distribuzione Condizionale di una funzione
composta. indipendenza tra famiglie di v. a. L'indipendenza tra v.a. in termini delle loro
funzioni di ripartizione o delle loro densità. Indipendenza e composizione. Indipendenza
e incorrelazione.
Convergenza dì successioni di v.a. e teoremi limite: Convergenza quasi certa, in
Probabilità, in Lp, in distribuzioni. Successioni di Cauchy. Legami tra le precedenti
nozioni. Comportamento rispetto alla composizione. Teorema di Helly. Convergenza dei
momenti e Convergenza in distribuzione. Leggi deboli dei grandi numeri (di Bernoulli,
di Khinchin di Chebyshev). Leggi forti dei grandi numeri (di Kolmogorov per v.a.
indipendenti, di Kolmogorov nel caso i.i.d.). Legge degli eventi rari Teorema di
Glivenko-Cantelli. Teorema centrale del limite (di De Moivre-Laplace, di LindemberLévy, di Lindeberg-Feller, di Liapounov)
Statistica matematica: I problemi della Statistica; stima e verifica di ipotesi. Modello
lineare Il punto di vista bayesiano.
Applicazioni e complementi: problemi classici: i problemi del Cavaliere de Méré' (dadi,
la divisione della posta), il problema delle concordanze, il problema dei compleanni. Il
paradosso di Simpson. Il teorema del ballottaggio. La rovina del giocatore. Probabilità
geometriche: l'ago di Buffon, le corde aleatorie di Bertrand. Generatori di numeri
pseudo-casuali. Il metodo Montecarlo. Somme di un numero aleatorio di addendi
identità di Wald. Statistiche d'ordine.
Testi di riferimento:
Baldi - Calcolo delle probabilità e statistica BillingsIey - Probability and measure Chung. K.L. - A Course in Probabitity Theory Dall'Aglio - Calcolo delle probabilità inoltre, alcuni degli argomenti trattati possono essere ritrovati in:
Breiman - Probability Feller - An introduction to probability theory and its applications -
Letta - Probabilità elementare Shirjayev - Probability -
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FISICA GENERALE I
Prof. P.Burlamacchi
"Grandissima mi par l'inezia di coloro che vorrebbero che Iddio avesse fatto l'universo più
proporzionato alla piccola capacità del lor discorso che all'immensa, anzi "infinita sua
potenza" (Galileo)
programma:
Unita' Di Misura: Grandezze fisiche, campioni e unità di misura. Sistema internazionale.
Campioni di tempo, lunghezza e massa. Cifre significative. Analisi dimensionale.
Moto In Una Dimensione: Cinematica. Velocità media e istantanea. Accelerazione. Moto con
accelerazione costante. Caduta dei gravi. Misura dell'accelerazione di gravità.
Vettori Tutte le operazioni sui vettori e le componenti.
Moto In Due E Tre Dimensioni: Vettori posizione, velocità e accelerazione. Moto con
accelerazione costante. Moto di un proiettile. Moto circolare uniforme. Natura vettoriale della
velocità e dell'accelerazione nel moto circolare uniforme. Moti relativi.
Le Forze E Le Leggi Di Newton: La meccanica classica. Prima legge di Newton. Forze.
Massa. Seconda legge di Newton. Terza legge di Newton. Unità di misura della forza. Peso e
massa. Misura delle forze. Applicazioni delle leggi di Newton.
Dinamica Delle Particelle: Leggi di forza. Forze di attrito. Dinamica del moto circolare
uniforme. Equazioni del moto: forze costanti e forze variabili. Forze dipendenti dal tempo,
metodo analitico. Sistemi non inerziali e forze fittizie.
Lavoro Ed Energia: Lavoro di una forza costante, variabile unidirezionale e bidimensionale.
Energia cinetica e lavoro-energia. Potenza.
Conservazione Dell'energia: Forze conservati ve. Energia potenziale. Sistemi con servativi
unidirezionali; soluzione completa. Conservazione dell'energia di un sistema di particelle.
Sistemi Di Particelle. Sistemi di due e di molte particelle. Centro di massa dei solidi. Quantità
di moto di una particella. Quantità di moto di un sistema di particelle. Conservazione della
quantità di moto. Sistemi a massa variabile, razzo e nastro trasportatore.
Urti: Processi di urto. Impulso e quantità di moto. Conservazione della quantità di moto in
processi di urto. Urti in una e due dimensioni. Sistema di riferimento del centro di massa.
Cinematica Rotazionale: Moto rotatorio, variabili rotazionali. Rotazione con accelerazione
angolare costante. Carattere vettoriale delle grandezze rotazionali. Relazione fra variabili
lineari e angolari in forma scalare e vettoriale.
Dinamica Rotazionale: Generalità. Energia cinetica di rotazione e momento di inerzia.
Momento di inerzia di corpi solidi rigidi. Momento delle forze agenti su di una particella.
Dinamica rotazionale di un corpo rigido. Moti traslatori e rotatori combinati.
Momento Angolare: Momento angolare di una particella Sistemi di particelle. Momento
angolare e velocità angolare vettoriale. Conservazione del momento angolare, esempi.
Equilibrio Dei Corpi Rigidi Statica: Condizioni di equilibrio. Centro di gravità. Esempi di
equilibrio. Equilibrio stabile, instabile ed indifferente. Elasticità
Oscillazioni: Oscillatore armonico semplice. Moto armonico semplice; Energia del moto
armonico semplice; Pendolo di torsione, semplice e fisico. Moto armonico smorzato.
Oscillazioni forzate e risonanza.
Gravitazione: Cenni storici. Gravitazione universale. Costante gravitazionale. Gravità vicino
alla superficie terrestre. Effetto gravitazionale di una distribuzione di massa sferica. Energia
potenziale gravitazionale. Moto di pianeti e satelliti. Gravitazione universale. Massa inerziale
e gravitazionale.
Statica Dei Fluidi: Fluidi. Pressione e densità. Variazione della pressione in fluidi statici
incomprimibili e comprimibili. Principi di Pascal e di Archimede.
Dinamica Dei Fluidi: Concetti generali. Linee di corrente e equazione di continuità.
Equazione di Bernoulli. Applicazioni.
Moto Ondulatorio: Onde meccaniche. Tipi di onde. Propagazione delle onde. Velocità delle
onde. Equazione d'onda. Potenza e intensità delle onde. Sovrapposizione e interferenza di
onde. Onde stazionarie, risonanza.
Onde Sonore, Acustica: Velocità del suono. Onde longitudinali. Potenza e intensità di onde
acustiche. Onde longitudinali stazionarie. Sorgenti sonore. Battimenti. Cenni su effetto
Doppler ed onde d'urto.
Temperatura: Descrizione microscopica. Equilibrio termico. Misura della temperatura, scala
Celsius e Kelvin. Scala del gas ideale, termometro a gas. Dilatazione termica.
Teoria Cinetica Del Gas Ideale: Leggi di Avogadro, Boyle, Guy-Lussac. Equazione di stato.
Modello fisico del gas ideale. Calcolo cinetico della pressione. Interpretazione cinetica della
temperatura. Lavoro fatto su di un gas ideale. (Volume costante, pressione costante,
temperatura costante e trasf. adiabatiche). Energia interna di un gas ideale.
Meccanica Statistica: Distribuzioni statistiche e valori medi. Distribuzioni delle velocità e
delle energie molecolari.
Calore E Primo Principio Della Termodinamica Calore, equivalente meccanico della caloria.
Capacità termica e calore specifico. Capacità termiche dei solidi. Capacità termica di un gas
ideale. (VoI. cost. , Press.
cost. effetti quantisLici) Primo principio, applicazioni. Conduzione del calore. (conduzione,
convezione, irraggiamento).
Entropia E Secondo Principio Della Termodinamica: Trasformazioni reversibili ed
irreversibili. Macchine termiche e secondo principio. Frigoriferi e secondo principio.
Enunciati di Clausius e Kelvin-Planck. Ciclo di Carnot. Rendimento massimo. Scala
termodinamica della temperatura. Entropia nelle trasformazioni reversibili e irreversibili.
Entropia e secondo principio. Entropia e probabilità.
L'esame prevede una prova scritta ed una orale. A seconda dell'esito della prova scritta
il candidato può essere sconsigliato dall'affrontare la prova orale. La prova scritta è articolata
sulla soluzione di problemi che possono riguardare tutti gli argomenti del programma. E'
opportuno pertanto che la preparazione della prova scritta proceda di pari passo con la
preparazione della prova orale. Durante lo svolgimento della prova scritta è consentita la
consultazione di qualunque testo o appunto.
testo di riferimento:
Resnick Halliday Krane - FISICA I Altri testi indicati per la lettura e consultazione:
Alonso Hnn - Elementi Di Fisica Per L'universita' Vol. I - Masson
Bertin Poli Vitale - Fondamenti Di Meccanica -Progetto Leonardo
Giancoli -Fisica Voli Editrice Ambrosiana
Mazzoldi Nigro Voci - Fisica Vol 1- Edi Ses
Mecuccini Silvestrini - Fisica I - Liguori
Ohanian - Fisica Vol.L - Zanichelli
Roller Blum - Fisica Vol I - Zanichelli
Serway - Fisica Per Scienze E Ingegneria - Edi Ses
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FISICA GENERALE II
prof A. Consortini
ELETTROSTATICA, MAGNETOSTATICA, ELETTROMAGNETISMO, ONDE
ELETTROMAGNETICHE, OTTICA, ELEMENTI DI FISICA QUANTISTICA
La carica elettrica e la legge di Coulomb: Cenni storici sull'elettromagnetismo, La carica
elettrica, Conduttori e isolanti, La legge di Coulomb, La carica e quantizzata, La carica
si conserva.
Il campo elettrico: I campi, Il campo elettrico E, Il campo elettrico di cariche puntiformi,
Linee di forza, Il campo elettrico generato da distribuzioni di carica continue, carica
puntiforme in un campo elettrico, Dipolo in un campo elettrico.
La legge di Gauss: Il flusso di un campo vettoriale, Il flusso del campo elettrico, La
legge di Gauss, Un conduttore carico isolato, Applicazioni della legge di Gauss, Prove
sperimentali della legge Gauss e della legge di Coulomb, Il modello nucleare dell'atomo
Il potenziale elettrico: Le forze elettrostatiche e gravitazionali, L'energia potenziale
elettrica, Il potenziale, Il calcolo del potenziale data il campo, Il potenziale dovuto a una
carica puntiforme, Il potenziale di un insieme di cariche puntiformi, Il potenziale
elettrico di distribuzioni di carica continue, Superfici equipotenziali, lì calcolo del
campo dato il potenziale, Il conduttore isolato, l'acceleratore elettrostatico.
Condensatori e dielettrici: La capacità, Il calcolo della capacità, Condensatori in serie e
in parallelo, L'energia immagazzinata in un campo elettrico, Condensatore con dilettrico,
I dielettrici dal punto di vista atomico, I dielettrici e la legge di Gauss, Corrente e
resistenza: Correnti eletriche, Densità di corrente, Resistenza, resistività e conducibilità,
La legge di Ohm, La legge di Ohm dal punto di vista microscopico, Trasferimenti di
energia in un circuito elettrico, Cenno a semiconduttori e superconduttività.
Circuiti: La forza elettromotrice, Il calcolo della corrente in una singola
maglia,Differenze di potenziale, Resistori in serie e in parallelo, Circuiti a molte maglie,
Strumenti di misura, Circuiti RL.
Il campo magnetico: Il campo magnetico B, La forza magnetica su una carica in moto,
Cariche in moto circolare, L'effetto Hall, Forza magnetica agente su una corrente,
Momento agente su una spira percorsa da corrente, Il dipolo magnetico.
La legge di Ampère: La legge di Biot-Savart, Applicazioni della legge di Biot-Savart,
Linee di forza di B, Due conduttori paralleli, La legge di Ampère, Solenoidi e toroidi,
Elettromagnetismo e sistemi di riferimento.
La legge dell'induzione di Faraday: Gli esperimenti di Faraday, La legge dell'induzione
di Faraday, La legge di Lenz, Forze elettromotrici derivanti dal moto, Campi elettrici
indotti, Il betatrone, Induzione e moto relativo
Proprietà magnetiche della materia: La legge di Gauss per il magnetismo,
atomico e nucleare, Magnetizzazione, Materiali magnetici, Cenno al magnetismo dei
pianeti.
L'induttanza: L'induttanza, Calcolo dell'induttanza, Circuiti RL, Energia immagazzinata
nel campo magnetico, Circuiti oscillanti: trattazione qualitativa, Circuiti oscillanti:
trattazione quantitativa, Oscillazioni forzate e smorzate.
Circuiti in corrente alternata: Correnti alternate, Elementi separati, Il circuito RLC in
serie, Potenza nei circuiti in corrente alternata, Il trasformatore.
Le equazioni di Maxwell: Le equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo, Campi
magnetici indotti e corrente di spostamento, Le equazioni di Maxwell, Equazioni di
Maxwell e cavità risonanti, Forma differenziale delle equazioni di Maxwell.
Onde elettromagnetiche: Lo spettro elettromagnetico, Generazione di un'onda
dettromagnetica, Onde elettromagnetiche ed equazioni di Maxwell, Trasporto di energia
e vettore di Poynting, Quantità di moto e pressione di radiazione.
Natura e la propagazione delle luce: La luce, La velocità della luce, Lteffetto Doppler
per la luce, derivazione dell'effetto Doppler.
OTTICA
Riflessione e rifrazione su superfici piane: Ottica geometrica e ottica ondulatoria,
Riflessione e rifrazione, Derivazione della legge di riflessione, Formazione delle
immagini su specchi piani, Derivazione della legge di rifrazione, Riflessione totale.
Specchi sferici e lenti: Specchi sferici, Superfici rifrangenti sferiche, Lenti sottili,
Sistemi ottici composti, Strumenti ottici.
Interferenza: Interferenza da doppia fenditura, Coerenza, Intensità nell'interferenza da
doppia fenditura, Interferenza da pellicole sottili, Reversibilità ottica e cambiamenti di
fase nella riflessione, Interferometro di Michelson, Interferometro di Michelson e
propagazione della luce.
Diffrazione: Diffrazione e teoria ondulatoria della luce, Diffrazione da singola fenditura,
Intensità nella diffrazione da singola fenditura, Diffrazione da un foro circolare, Doppia
fenditura: combinazione di inteferenza e diffrazione. Potere risolutivo degli strumenti
ottici.
Reticoli e spettri: Fenditure multiple, Reticoli di diffrazione, Dispersione e potere
risolutivo, Diffrazione dei raggi X, Olografia. Polarizzazione
ELEMENTI DI FISICA QUANTISTICA
Luce e fisica dei quanti: Radiazione termica, Legge dell'irraggiamento di Planck,
Quantizzazione dell'energia, Capacità termiche dei solidi, L'effetto fotoelettrico, La
teoria dei fotoni di Einstein, Effetto Compton. Struttura dell'atomo d'idrogeno: La teoria
di Bohr dell'atomo d'idrogeno, Momento angolare, Lo spin dell'elettrone, I possibili stati
dall'atomo d'idrogeno, Lo stato fondamentale e gli stati eccitati dell'idrogeno, Teoria di
Binstein dell'emissione stimolata, Laser, Come funziona un laser. Il principio di
corrispondenza,
La natura ondulatoria della materia: Particelle che si comportano come onde, Lunghezza
d'onda De Broglie, Onde e particelle.
Il corso prevede anche, quando è possibile, dimostrazioni sperimentali in aula al
Dipartimento di Fisica.
Il corso è Completato da serie di esercitazioni, svolte da un collaboratore
designato dal Dipartimento di Fisica.
Si fa riferimento al testo: - FISICA 2 - di D. Halliday, R. Resnick e Krane, Ed
Ambrosiana.
L'esame consiste di una prova orale, durante la quale viene fatto, (singolarmente
e generalmente come prima domanda) un esercizio del tipo di quelli svolti durante
l'anno, che sostituisce la prova scritta ed è determinante per lo svolgimento dell'esame.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
GEOMETRIA I,
Prof G. Ottaviani
Matrici ed operazioni tra matrici. Vettori. Matrici invertibili. Combinazioni
lineari. Matrici elementari ed operazioni sulle righe di una matrice. Algoritmo di Gauss
di riduzione a scala. Sistemi lineari ed applicazione dell'algoritmo di Gauss ai sistemi
lineari. Sistemi lineari equivalenti. Algoritmo per il calcolo dell'inversa di una matrice.
Il determinante, definizione ricorsiva, definizione assiomatica e loro equivalenza.
Caratterizzazione dell'invertibilita' mediante i determinanti. Formula di Binet.
Permutazioni e matrici di permutazione. Formula chiusa per il determinante.
Interpretazione geometrica del determinante. Sviluppi per righe del determinante. La
regola di Cramer.
Spazi vettoriali e loro sottospazi, Span di un sottoinsieme. Indipendenza lineare.
Basi e dimensione. Numeri complessi e spazi vettoriali su C. Completamento a una
base. Cambiamento di base. Equazioni parametriche e cartesiane.
Applicazioni lineari, nucleo e immagine. Formula della dimensione. Rango di
una matrice. Relazione tra rango e minori di una matrice. Teorema di Rouche'-Capelli.
Dimensione delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Relazione tra un sistema
lineare e l'omogeneo associato. Rango della trasposta.
Matrici ortogonali. Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei. Isometrie nel piano
e nello spazio. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Algoritmo di Gram-Schrnidt.
Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione. Polinomio caratteristico. Cenni sui
numeri di Fibonacci. Forme hermitiane. Operatori hermitiani e unitari. Il teorema
spettrale reale e complesso. Cenni sulla forma canonica di Jordan.
Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Segnatura e teorema di
Sylvester. Metodo di Lagrange.
Gli spazi affini ed i sistemi di coordinate. Sottospazi affini. Parallelismo.
Combinazioni affini e baricentro. Poligini convessi. Affinita'. Il rapporto semplice. I
teoremi di Ceva e Menelao (senza dimostrazione). Rette e piani nello spazio. Spazi
affini orientati. Spazi euclidei. Isometrie. Area (orientata) di un poligono. Il prodotto
vettoriale. Proiezioni ortogonali. Calcolo di distanze tra punti, rette e piani nello spazio.
Coniche nel piano affme e loro scrittura matriciale. Classificazione affine ed
invarianti affini. Coniche a centro. Tangenti a una conica. Asintoti dell'iperbole.
Coniche nello spazio euclideo. Fuochi e proprieta' focali. Classificazione metrica delle
coniche (senza dimostrazione). Cenni sulle quadriche.
E' stato seguito il testo di M. Artin - "Algebra" - ed. Boringhieri. Sulla geometria
analitica sono state distribuite delle note, reperibili presso il servizio fotocopie del
Dipartimento di Matematica.
Il corso e' stato affiancato da esercitazioni facoltative presso il laboratorio di
calcolo, utilizzando il sistema di calcolo simbolico -"Derive"- ed alcune librerie
software contenute nel testo - "Algebra lineare e Geometria con Derive" - Manara,
Perotti - ed. Mc Graw-Hill.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
GEOMETRIA II
Prof. Ancona
Complementi Di Algebra Lineare: Riduzione di una matrice quadrata alla figura di
Jordan
Topologia:Spazi topologici. Assiomi degli aperti e dei chiusi. Applicazioni continue e
omeoformismi. Prodotti e quozienti di spazi topologici. Assiomi di separazione.
Connessione e connessione per archi; componenti connesse. Assiomi di numerabilita'.
Compattezza. Compattificazione di Alexandroff. Spazi metrici; compattezza negli spazi
metrici; spazi metrici completi.
Teoria Delle Funzioni Olomorfe Di Una Variabile: serie di potenze. Funzioni analitiche
compresse. Funzioni C - derivabili; equazioni di Canchy - Riermann. Il teorema e le
formule integrali di Canchy. Equivalenze fra C. Derivabilita' e analiticita'. Teorema di
Lionville. Teorema di convergenze uniforme di Weierstrass.Primitive di funzioni
complesse. Funzioni di logaritmo. Cenni alle funzioni armoniche. Teorema della media
e principio del massimo. Serie di Laurent. Singolarita'. Residui.
Elementi Di Geometria Differenziale Di Curve E Superficie: Curve differenziabili.
Vettori tangenti e normali. Ascissa curvilinea. Piano osculatore. Formule di Trenet.
Superficie. Spazio tangente e versore normale. Curvatura di Grauss e curvatura media.
Area di una superficie.
Cenni Sulle Varieta' Algebriche Affini
PROGRAMMA DEL CORSO DI
GEOMETRIA SUPERIORE
Prof. Fabio Podesta'
Preliminari su varieta' differenziabili: fibrato tangente, cotangente, tensori, partizioni
dell'unita'. Sottovarieta' immerse e embedded, distribuzioni differenziabili e teorema di
Frobenius: slices e dimostrazione del teorema di Frobenius in piccolo; enunciato del
teorema globale. Metriche Riemanniane, connessione di Levi Civita (esistenza ed
unicita') e simboli di Christoffel. Campi lungo le curve e campi paralleli. Trasporto
parallelo. Geodetiche come curve autoparallele: teorema di esistenza ed unicita'. Mappa
esponenziale: insieme di definizione e suo differenziale. Coordinate normali. Lemmi di
convessita' ed esistenza di intorni convessi. Lemma di Gauss; le geodetiche radiali sono
minimizzanti in piccolo. Geodetiche come minimi locali del funzionale lunghezza. La
distanza associata ad una metrica Riemanniana. Completezza e il teorema di HopfRinow. Orientabilita' e il rivestimento doppio orientabile. Integrazione su varieta'.
Forme differenziali, differenziale esterno, pull-back, Lemma di Poincare': esistenza di
un operatore di omotopia. Il complesso delle forme differenziali e la coomologia di de
Rham; successioni esatte di complessi e successione esatta lunga a livello di coomologia
(operatore di cobordo). Omotopia tra applicazioni differenziabili e loro effetto a livello
di coomologia. Coomologia relativa e la successione esatta della coppia; coomologia a
supporto compatto. Successione di Mayer-Vietoris; i gruppi di coomologia di una
varieta' compatta sono finito-dimensionali. Dualita' di Poincare' e teorema di Kuenneth.
Fibrati vettoriali: trivializzazioni e funzioni di transizione. Esistenza di fibrati vettoriali
in termini di funzioni di transizione ed equivalenza. Fibrati banali e parallelizzabilita'.
Somme di Whitney e prodotto tensore. Orientabilita' di fibrati. Riduzione del gruppo di
struttura. Pull-back di fibrati; omotopia e fibrati isomorfi. Coomologia a supporto
verticale compatto; isomorfismo di Thom e classe di Thom. Esistenza di intorni tubolari
per sottovarieta' compatte, fibrato normale e forma duale di Poincare'. Classe di Eulero
e numero di Eulero. La caratteristica di Eulero di una varieta' compatta e' il numero di
Eulero del suo fibrato tangente.
Introduzione alla teoria di Morse: Punti critici e definizione dell'Hessiano. Punti critici
non degeneri e loro indice. Lemma di Morse. Primo teorema di Morse e teorema di
Reeb. Secondo teorema di Morse e attaccamento di k-celle. Funzioni di Morse separanti.
Disuguaglianze deboli e forti (senza dimostrazione).
Teoria dei fasci: prefasci, fasci, fasci associati a prefasci, prefasci completi. Sezioni
continue, omomorfismi di fasci. Fasci fini e risoluzioni fini. Assiomi di una teoria
coomologica a valori in un dato fascio: teorema di esistenza ed unicita' di una teoria
coomologica. Esempi della teoria coomologica singolare e di de Rham. Definizione
della coomologia di Cech: mappe di raffinamento e limiti diretti. Cenno alla
dimostrazione che la coomologia di Cech e' una teoria coomologica. Ricoprimenti di
Leray.
Richiami di analisi complessa in una variabile: funzioni olomorfe, formula di Cauchy,
zeri di una funzione olomorfa, funzioni meromorfe e poli. Ordine di zeri e poli.
Operatore e risoluzione fine del fascio strutturale. Superfici di Riemann: genere, divisori
e teorema di Riemann-Roch. Formula di Riemann Hurwitz.
Testi consigliati:
F.W. Warner, - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups Springer Verlag
R.Bott - L.W. Tu, - Differential Forms in Algebraic Geometry - Springer Verlag
J. Milnor - Morse Theory - Princeton University Press
R. Godement - Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux - Hermann.
R.C. Gunning - Lectures on Riemann Surfaces - Princeton Math. Notes (1966)
PROGRAMMA DEL CORSO DI
ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA
prof. G. Busoni
Modelli meccanici rappresentabili con equazioni alle derivate parziali. Equazioni
di continuità o di bilancio; vibrazioni di corde flessibili, si sbarre elastiche; sistema dei
telegrafisti; equazione della diffusione e del calore.
Operatori integrali in C (Ω). Equazioni lineari integrali di Fredhohm e di
Volterra di 2a specie. Metodo iterativo per la dimostrazione di esistenza ed unicità della
soluzione. Autovalori ed autovettori. Alternativa di Fredhohm e di Volterra per nuclei
degeneri e per nuclei non degeneri. Operatori integrali a nucleo debolmente singolare.
Equazioni differenziali a derivate parziali lineari. Il metodo delle linee
caratteristiche per le equazioni del 1° ordine. Equazioni del 1° ordine non lineari: strisce
caratteristiche.
Equazioni delle derivate parziali del 2° ordine lineari: classificazione. Linee
caratteristiche.
Cenni sullo sviluppo in serie di Fourier.
Equazioni delle onde, omogenee e non omogenee in una dimensione spaziale.
Operatore aggiunto iperbolico e metodo di Riemann.
Operatori ellittici e problemi tipici delle condizioni al contorno. Formule del
valore medio. Principio di massimo forte, teorema di Hopf. Funzioni di Green per
problemi di Dirichlet e di Neumann.
L'equazione del calore. Integrale di Poisson. Principio di massimo in forma
debole. Formula rappresentativa. Esempi di costruzione della funzione di Green per la
sbarra.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE.
Prof. N. Fusco
La misura di Lebesgue.
Integrazione astratta.
Misure di Borel positive.
Spazi Lp.
Spazi di Hilbert.
Spazi di Banach.
I teoremi di Hahn-Banach.
I teoremi di Banach - Steinhaus e del grafico chiuso.
Topologie deboli.
Spazi riflessivi.
Spazi separabili.
Spazi uniformemente convessi.
Funzioni a variazione limitata.
Funzioni assolutamente continue.
Funzioni armoniche.
Testi utilizzati:
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone - Analisi Matematica due - (Cap. 9 )
W.Rudin - Analisi Reale e Complessa - (Cap. 1, 2, 3, 4 e 5 )
H.BrÈzis - Analisi Funzionale - (Cap. 1, 2 e 3)
Appunti
PROGRAMMA DEL CORSO DI
ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
Prof. G. Gentili
Argomenti di Topologia Algebrica: Superficie topologiche con e senza bordo.
Triangolabilità delle superficie connesse compatte: enunciato del Teorema di Radò.
Studio della topologia quoziente indotta da funzioni continue e surgettive tra spazi
topologici. Esempi: toro, bottiglia di Klein, spazio proiettivo, nastro di Moebius. L'
operazione di taglia e incolla e la sua giustificazione topologica. Superficie compatte e
connesse come quozienti di poligoni del piano. Somma connessa di superficie. Il
teorema di classificazione topologica delle superficie connesse, compatte, senza bordo.
Omotopia e omotopia relativa per applicazioni. Tipo di omotopia per spazi topologici.
Spazi contrattili. Omotopia di cammini. Il gruppo fondamentale per uno spazio
topologico connesso per archi e le sue principali proprietà. Prodotti liberi di gruppi e
loro quozienti. Gruppi liberi e loro quozienti. Due teoremi di Van Kampen per il calcolo
del gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Attaccamento di una "n-cella" ad
uno spazio topologico. Calcolo del gruppo fondamentale di spazi ottenuti attaccando
una n-cella ad uno spazio topologico (compreso il caso delle superficie compatte
connesse senza bordo).
Rivestimenti di uno spazio topologico di Hausdorff connesso per archi. Teorema di
sollevamento per i cammini e per l'omotopia di cammini. Sollevamenti di applicazioni
tra due spazi topologici: condizioni. Classificazione dei rivestimenti di uno spazio:
rivestimenti isomorfi e condizioni algebriche per l'isomorfismo. Il gruppo delle
trasformazioni di un rivestimento. Rivestimenti regolari. esistenza del rivestimento di
assegnato gruppo fondamentale. Uso del rivestimento per il calcolo del gruppo
fondamentale dello spazio base.
Argomenti di Geometria Differenziale delle Superficie: Definizione di superficie.
Superficie come grafici e come controimmagini di valori regolari di funzioni
differenziabili. Il cambio di parametri. Funzioni differenziabili tra superficie.
Diffeomorfismi. Spazio tangente ad una superficie in un punto. Il differenziale di
un'applicazione differenziabile tra superficie e la sua rappresentazione. Diffeomorfismi
locali tra superficie, il teorema di inversione locale.
La I forma fondamentale. Lunghezza di curve e area di regioni su superficie. La forma di
volume. Superficie orientabili e non orientabili.
La mappa di Gauss. Il differenziale della mappa di Gauss. La II forma fondamentale.
Curvatura normale. Curvature principali, direzioni principali. Linee di curvatura. La
curvatura di Gauss di una superficie, e la classificazione dei punti a seconda della loro
curvatura. Superficie connesse costituite interamente di punti ombelicali. Direzioni
asintotiche, curve asintotiche. Il differenziale della mappa di Gauss in coordinate locali.
Le equazioni di Weigarten. Studio locale dei punti ellittici e iperbolici. Alcune
intrpretazioni geometriche per la curvatura di Gauss.
Superficie minime: variazione normale, punti stazionari del funzionale area e curvatura
media. Superficie minime in coordinate isoterme: armonicità della coordinate.
Isometrie locali tra superficie. Superficie localmente isometriche e caratterizzazione
degli intorni isometrici. Applicazioni conformi locali tra superficie. Conformalità locale
di due superficie qualunque.
I simboli di Christoffel. L'equazione di Gauss e il Teorema Egregium. Le equazioni di
Mainardi Codazzi. Il teorema di Bonnet.
Campi di vettori su una superficie. Derivata covariante di un campo lungo un altro.
Campi paralleli. Trasporto parallelo di un campo lungo una curva e sue proprietà. Curve
geodetiche. Valore algebrico della derivata covariante di un campo lungo una curva.
Curvatura geodetica. Formula di Liouville.
Teorema delle "turning tangents". Il teorema di Gauss-Bonnet locale, il teorema di
Gauss-Bonnet globale e loro applicazioni.
Introduzione alle Geometria Differenziale (indirizzo generale): Atlanti, atlanti
massimali, strutture differenziabili. Varietà differenziabili, CK, analitiche, complesse.
La sfera di Riemann. Lo spazio proiettivo complesso CP1.
Germi di funzioni. Derivazioni. Spazio tangente ad una varietà differenziabile.
Applicazioni, immersioni locali, immersioni e sottovarietà, sommersioni. Campi di
vettori e fibrato tangente. Flussi locali e campi vettoriali. Campi vettoriali proiettabili.
La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati vettoriali e teorema di struttura.
Fibrazioni di sfere su sfere. Operazioni sui fibrati vettoriali, con particolare riferimento
al prodotto tensore di fibrati. Metriche lungo le fibre di un fibrato. Varietà riemanniane.
Forme differenziali su una varietà. Il lemma di Volterra Poincaré. I gruppi di deRham.
Testi di riferimento:
W. S. Massey, - Algebraic Topology: An Introduction - Springer-Verlag, New
York Heidelberg Berlin, 1987.
Manfredo P. Do Carmo - Differential Geometry Of Curves And Surfaces Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, - Lezioni Di Geometria Differenziale Bollati Boringhieri, Torino, 1995.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
LINGUAGGI PROGRAMMATIVI
Prof. E. Barcucci
Linguaggi e grammatiche, insiemi ed espressioni regolari., grammatiche regolari
e context-free. Derivazioni e ambiguità grafo di una grammatica, analizzatori sintattici
discendenti ed ascendenti, in larghezza e in profondità. Trasformazione di grammatiche,
forme normali di Greibach di Chomsky. Automi a stati finiti deterministici e non;
automi e espressioni regolari, automi e grammatiche regolari. Automi a pila e linguaggi
context-free. Pumping lemma e proprietà di chiusura per linguaggi Automi linearmente
limitati e linguaggi contestuali. Gerarchia di Chomsky.
Problemi di decisione, arresto delle macchine di Turing, sistemi Semi-Thue,
Sistemi di Post, problemi indecidibili per linguaggi e grammatiche. Analizzatori e
grammatiche LL(k). Analizzatori e grammatiche LR(k). Caratteristiche e realizzazione
dei linguaggi programmativi. Il linguaggio C.
Testi consigliati:
T. Sudkamp, - Languages and Machines-, Addison-Wesley;
Ghezzi e M. Jazayeri, -Concetti dei Linguaggi di Programmazione - Franco Angeli.
Ulteriori testi di riferimento:
J. Hopcroft e J. Ullman, -Introduction to Automata Theory, Languages
Computation, Addison-Wesley-;
T. Pratt, -Linguaggi di Programmazione-, Gruppo editoriale Jackson.
and
Corso di Programmazione Logica e Linguaggio Prolog
M. C. Verri
Richiami sui linguaggi della logica delle proposizioni e dei predicati. Teorie
assiomatiche. Introduzione alla programmazione logica. Unificazione e calcolo del
MGU. Regola di risoluzione. Risoluzione SLD. Il linguaggio Prolog. Predicati di
sistema e metapredicati. Alcune strutture fondamentali: liste, liste differenza,
simulazione di predicati bottom up. La negazione in programmazione logica: CWA e
negazione per fallimento finito.
Libro di testo:
Console, Lamma, Mello, "Programmazione Logica e Prolog", Utet.
Altri libri di riferimento:
Furlan, Lanzarone, "Prolog", Franco Angeli.
J. W. Lloyd, "Foundations of Logic Programming", Springer Verlag.
Mendelson, "Introduzione alla Logica Matematica", Boringhieri.
Propedeuticità: Teoria e Applicazione delle macchine calcolatrici
Valutazione: Esame orale previa presentazione di un progetto realizzato in linguaggio C
ed uno in linguaggio Prolog
PROGRAMMA DEL CORSO DI
LOGICA MATEMATICA
Prof. P. Mangani
Calcolo degli enunciati
Principio di induzione e teorema di revulsione
Algebra di Boole
Atomi, filtri e ultrafiltri
Calcolo dei predicati del primo ordine
Funzioni semicomputabili
Funzioni ricorsive
Funzioni parziali ricorsive
Macchine di turing
Primo e secondo teorema di incompletezza di Goedel
Filtri e ultrafiltri su insiemi non vuoti
Prodotti diretti, prodotti ridotti e ultraprodotti di strutture
Teorema di Loss e applicazioni ai modelli non standard
Cenni di ligoche non classiche.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
MATEMATICHE COMPLEMENTARI
Prof. Vincenzo Ancona
Elementi di Algebra computazionale e geometria algebrica. L'anello dei
polinomi in più variabili. Ordini monomiali. Divisione fra polinomi. Basi standard di un
ideale. Il teorema di Buchberger. Il teorema della base di Hilbert.Moduli e moduli
graduati sull'anello dei polinomi. Il teorema delle sizigie.
Varietà affini e varietà proiettive. Il teorema degli zeri di Hilbert.
Introduzione all'uso di strumenti di calcolo simbolico per l'algebra commutativa
e per la geometria algebrica, con particolare riferimento ai programmi computazionali
CoCoa, Mathematica (pacchetto Basi di Groebner), Macaulay. Elementi di linguaggi di
programmazione per l'algebra computazionale.
Applicazioni
1) Elementi di robotica: i problemi cinematici diretto e inverso e la programmazione del
moto.
2) Dimostrazione automatica di teoremi.
Esercitazioni.: sono previste sessioni di esercitazioni al calcolatore.
Corso integrativo. Nell'ambito del corso saranno tenute dal Prof. Marco Pellegrini 10
lezioni su argomenti di geometria computazionale . Tali argomenti faranno parte a tutti
gli effetti del programma di esame.
Modalita' d'esame. L'esame consta di una prova orale. Lo studente puo' chiedere
di sostenerlo separatamente in due colloqui, uno sugli argomenti di algebra
computazionale, l'altro sugli argomenti del corso integrativo. Il voto sara' comunque
assegnato sulla base di una valutazione complessiva.
Testi consigliati.
D. Cox, J. Little, D. O'Shea. Ideals - varieties and algorithms. - Spriger 199 G. Ottaviani. - Introduzione alle varieta' algebriche: un punto di vista costruttivo.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
MATEMATICHE SUPERIORI
Docente: E. Mascolo .
Introduzione al Calcolo delle Variazioni. Metodi Classici e Metodi Diretti
Sviluppo storico. Esempi: principio di Fermat, Problema di Newton, Bernoulli e la
Brachistocrona. Superfici minime di rotazione. Sistemi meccanici. Problemi
isoperimetrici. Integrali Multipli: problema della membrana e superfici minime.
Cenni di Analisi funzionali. Spazi metrici e normati, funzionali lineari, spazi
duali. Topologia debole e debole*.Teoremi principali.
Spazi Lp: Definizioni e proprietà. Funzionali lineari in Lp, topologia debole di
Lp e topologia debole* in L . Funzioni test e mollificatori.
Introduzione agli spazi di Sobolev. Derivate deboli. Definizioni e proprietà degli
spazi di Sobolev. Teoremi di immersione. Teoremi di immersione compatta.
Disuguaglianza di PoincarË.
Equazione di Euler-Lagrange. Differenziabilità secondo Gateaux e di Frechet di
un funzionale. Derivazione dell'equazione di Euler-Lagrange. Osservazioni ed esempi .
Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni. Principio di Dirichlet. Applicazione
dei Metodi Diretti all'Integrale di Dirichlet.
Problemi di minimo nella classe delle funzioni Lipschitziane. Condizione della
pendenza limitata: Teorema di esistenza e unicità. Tecnica delle Barriere. Applicazioni
al problema delle superfici minime. Teoremi di esistenza per problemi non convessi
nella classe delle funzioni Lipschitziane . Funzionale rilassato e cenni sui problema di
rilassamento.
Semicontinuità. Caso scalare: Teorema di Tonelli. Condizioni necessarie e
sufficienti alla semicontinuità. Funzionali coercivi e teoremi di esistenza. Caso
vettoriale: Condizioni necessarie per la semicontinuità. Funzioni quasi convesse,
policonvesse e convesse di rango uno. Teoremi di semicontinuità. Applicazioni
all'elasticità non lineare.
Regolarità .Cenni sulla regolarità dei minimi. Dimostrazione del teorema di
regolarità nel caso unidimensionale.
La bibliografia sul Calcolo delle Variazioni é molto vasta. La bibliografia che segue é
relativa solo ai testi principali consultati nella preparazione di alcuni appunti
E. Pascal - Calcolo delle Variazioni e delle Differenze Finite - Manuali Hoelpli,
1918;
O.Bolza - Lectures on the Calculus of Variations, Dover - Pubblications Inc.,
New York,1961;
N.I.Akhiezer - The Calculus of Variations, Tradotto dal russo by A.H.Frink Blaisdell Publ, 1962;
I.M.Guelfand-S.V.Fomin - Calculus of Variations - Prentice-Hall,Inc.,
Englewood Cliff, N.J., 1963;
CB Morrey - Multiple integral Problems in the Calculus of Variations and related
Topics - University of California Press, Berkeley, 1966;
R.Adams - Sobolev Spaces - Accademic Press 1975;
G.Talenti - Calcolo delle Variazioni - UMI 1977;
D.Gilbarg-N.S.Trudinger - Elliptic Partial Differential Equations of second order
- Springer-Verlag,1977;
E.Giusti - Equazioni ellittiche del secondo ordine - quaderni UMI,1978;
A.N.Kolmogorov-S.V.Fomin - Elementi di teoria delle funzioni e di Analisi
Funzionale - Ed.MIR , 1980;
H;Brezis - Analyse Functionelle - Masson ,1983;
M.Giaquinta - Multiple Integrals in the Calculus of Variaztions and non linear
elliptic systems - Princeton University Press, 1983;
B.Dacorogna - Direct methods in the Calculus of Variations - Appl. Mat. 78,
Springer-Verlag, 1989;
E.Giusti - Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni - UMI 1994.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
MECCANICA RAZIONALE
Prof. G. Busoni
Vettori applicati e teoria dei momenti: Cenni di calcolo vettoriale. Vettori applicati.
Momento polare e assiale. Asse centrale. Sistemi equivalenti. Centro di vettori paralleli
Fondamenti geometrici e cinematici della meccanica lagrangiana: Curve nel piano.
Lunghezza di una curva e parametrizzazione naturale. Versore tangente, versore normale
e curvatura. Curve in R3. Campi vettoriali e curve integrali. Superficie. Varieta'
differenziabili riemanniane. Sistemi vincolati e coordinate lagrangiane. Spazio delle
configurazioni. Sistemi olonomi. Spazio delle fasi
Dinamica: leggi generali e dinamica del punto: Richiami e commenti sui postulati della
meccanica classica. Il principio di relativita' galileiana e le forze d'interazione. Lavoro,
campi conservativi. Dinamica del punto vincolato con vincoli olonomi lisci. Vincoli con
attrito. Punto soggetto a vincoli unilaterali
Moti unidimensionali: Analisi qualitativa del moto dovuto a una forza posizionale. Il
pendolo semplice. Piano delle fasi, equilibrio. Oscillazioni smorzate, oscillazioni
forzate. Risonanza. Battimenti. Moti centrali. Formula di Binet. Moti piani
Dinamica dei sistemi discreti. Formalismo lagrangiano: Equazioni cardinali. Sistemi
olonomi a vincoli lisci.Le equazioni di Lagrange. Determinazione delle reazioni
vincolari. Vincoli con attrito. Sistemi conservativi. Funzione lagrangiana. Equilibrio dei
sistemi olonomi a vincoli lisci. Potenziali generalizzati. Simmetrie e leggi di
conservazione. Equilibrio, stabilita' e piccole oscillazioni
Meccanica dei sistemi rigidi: Proprieta' di carattere geometrico. Angoli di Eulero.
Cinematica dei sistemi rigidi. La formula fondamentale. Asse istantaneo di moto. Spazio
delle fasi per le precessioni. Cinematica relativa. Dinamica relativa. Rigate di un moto
rigido. Preliminari sulla geometria delle masse. Ellissoide e assi principali di inerzia.
Omografia di inerzia. Grandezze dinamiche di rilievo nella dinamica dei rigidi.
Dinamica dei sistemi liberi. Dinamica dei sistemi rigidi vincolati. Equazioni di Eulero
per le precessioni. Precessioni per inerzia. Le rotazioni permanenti. Precessioni dei
giroscopi. Precessioni di un giroscopio pesante (trottola). Rotazioni
Meccanica analitica: Formalismo hamiltoniano. Trasformazioni di Legendre. Funzione
di Hamilton. Le equazioni di Hamilton. Teorema di Liouville. Teorema di Poincare'.
Ricorrenza
Cenni di relativita' speciale:Concetti di spazio e tempo. Spazio di Minkowski.
Trasformazioni di Lorentz. Principio di relativita'. Moto relativo. Simultaneita'.
Dilatazione del tempo. Contrazione dello spazio. Velocita' relativa. La velocita' della
luce
Meccanica dei sistemi continui: Il modello dei sistemi continui. Coordinate lagrangiane.
Cinematica. Equazione di continuita'. Il modello delle forze nella meccanica dei
continui. Le equazioni cardinali per i sistemi continui. Tensore degli sforzi. I sistemi
fluidi. Isotropia degli sforzi. Statica dei fluidi barotropici. Dinamica dei fluidi perfetti
PROGRAMMA DEL CORSO DI
MECCANICA SUPERIORE
Prof. A. Fasano
Transizioni Di Fase: Problema di Stefan unidimensionale a una fase. Soluzioni
autosimilari. Esistenza (globale), unicita', dipendenza continua e monotona dai dati per
il problema a una fase nel range naturale di temperature. Altri problemi a frontiera libera
per equazioni paraboliche riconducibili a quello di Stefan. Il problema di
reazion~diffusione con nucleo inerte. Risoluzione del caso stazionario. Risoluzione di
problemi coi dati di Cauchy sulla frontiera libera a problemi del tipo di Stefan. Esistenza
(locale), unicita' e dipendenza continua dai dati per il problema di Stefan
unidimensionale a una fase senza vincoli di segno sui dati. Il problema di Stefan
multidimensionale, formulazione debole, esistenza e unicita'.
Problemi Di Filtrazione: Legge di Darcy. Il problema di Green Ampt. Il problema della
diga: proprieta' a priori delle soluzioni, formulazione variazionale, riduzione a un
problema di ostacolo.
Il problema del caffe' espresso. Alcuni problemi di filtrazione nella fabbricazione di
materiali compositi.
Problemi Di Fluidodinamica Industriale: Flussi di Bingham (caso laminare piano,
esistenza e unicità di soluzioni classiche). La degradazione reologica di slurries.
Problemi Nella Scienza Dei Polimeri: Cristallizzazione, polimerizzazione
PROGRAMMA DEL CORSO DI
RICERCA OPERATIVA
Prof. L. Brugnano
Elementi introduttivi: Generalita' sui problemi di ottimizzazione. Richiami sugli insiemi
convessi e sull' Algebra Lineare Numerica: fattorizzazione LU di una matrice, pivoting,
fattorizzazione LDLT per matrici simmetriche e definite positive. Tecniche di
memorizzazione per matrici sparse. Richiami sulle pseudopotenze. Cenni sul linguaggio
Matlab.
Problemi di Programmazione Lineare (PL): Forma standard di un problema di
Programmazione Lineare. Il teorema fondamentale della Programmazione Lineare. Il
metodo del Simplesso standard; algoritmo ed implementazione Matlab. Trattamento di
soluzioni basiche degeneri. Il metodo del Simplesso a due fasi. Variabili con limite
superiore. Forma matriciale del metodo del Simplesso. Il metodo del Simplesso rivisto,
forma prodotta e reinversione. Metodo del Simplesso e fattorizzazione LU. Il metodo di
decomposizione di Dantzig-Wolfe. Problema duale di un problema di PL e teorema
della dualita'. Moltiplicatori del Simplesso ed utilizzo della teoria della dualita' in teoria
dei giochi. Sensitivita' della soluzione di un problema PL. Proprieta' di scarto
complementare. Il metodo del Simplesso duale. Il metodo primale-duale del Simplesso.
Riduzione di diseguaglianze lineari.
Problemi di ottimizzazione su grafo: Il problema del trasporto bilanciato: 1' algoritmo
del NordOvest per il calcolo di una soluzione basica accettabile, triangolarita' delle basi,
interezza delle soluzioni. L' algoritmo del trasporto: degenerazione e problema delle
assegnazioni. Problemi di flusso su rete; il problema del flusso di minimo costo. Il
metodo del Simplesso rivisto per problemi di flusso di minimo costo. Procedura ad
albero. Problema del massimo flusso. Il metodo primale-duale per il problema del
trasporto: algoritmo e forma matriciale. Il metodo ungherese per il problema delle
assegnazioni.
Programmazione Lineare Intera (PLI): Cenni sul metodo di Gomorv e sul metodo
branch and bound. Casi particolari: il problema delle assegnazioni, il problema dello
zaino, il problema del commesso viaggiatore.
Problemi di Programmazione senza Vincoli: Condizioni per minimi locali. Funzioni
convesse. Teorema di convergenza globale per metodi di discesa. Metodi di discesa: line
search e metodo del gradiente. Il metodo di Newton e sue modifiche: il metodo di
Levenberg-Marquardt. Il metodo delle direzioni coniugate e il metodo del gradiente
coniugato.
Programmazione Nonlineare vincolata: Condizioni per minimi locali. Funzione
Lagrangiana. Cenni sui metodi di penalita' e sui metodi barriera. Esempio: il problema
della catenaria.
Testo consigliato:
D.G.Luenberger, - Linear And Nonlinear Programming - Addison-Wesley, 1984.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
STATISTICA MATEMATICA
Prof. G. Goodman
Lo scopo del corso è di presentare certi modelli probabilistici legati a sistemi
dinamici che servano ad illustrare le connessioni reciproche fra il Caos deterministico e
il Caso.
Fra gli argomenti trattati ci saranno:
Il modello aritmetico di Borel per i lanci di una moneta.
Il ruolo della mappa binaria e dei rami della mappa inversa.
Le funzioni di Rademacher e di Walsh e le loro generalizzazioni
Le leggi dei grandi numeri e il loro significato dinamico.
I numeri normali.
La funzione di Hellinger ed altre funzioni autoaffini
gli oggetti frattali.
L'algoritmo del "Chaos Game" e certi problemi probabilistici legati alla sua
implementazione.
La dinamica caotica dei triangoli podali.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
STORIA DELLE MATEMATICHE
Dott. S. Giuntini
Le prime scuole matematiche in Grecia - Talete - La scuola pitagorica - Aristotele.
Gli Elementi di Euclide (cenni al contenuto) - Il metodo di esaustione - La teoria delle
proporzioni.
Archimede: vita ed opere - Il metodo - La quadratura della parabola - Conoidi e sferoidi
- Sulla sfera e sul cilindro.
La seconda scuola alessandrina - Diofanto.
La matematica indiana.
La matematica araba.
Leonardo Pisano - Le scuole d'abaco.
Cardano, Tartaglia e la risoluzione delle equazioni di III e IV grado - Bombelli - I
numeri complessi.
L'algebra e Francois Viète.
Commandino, Maurolico e Luca Valerio.
Il moto e Galileo Galilei.
Buonaventura Cavalieri: vita ed opere.
Descartes:
vita ed opere. Il contenuto della Geometrie.
Fermat e il problema della tangente ad una curva e i[ problema dei massimi e minimi.
Roberval, De Sluse ed il problema della tangente ad una curva.
I contributi di iludde e Schoothen alle edizioni latine della Geometrie di Descartes.
Isaac Newton: vita ed opere. Il metodo delle flussioni. I Principia. De Analysi.
G.W. Leibniz: vita ed opere. La Nova Methodus.
I primi leibniziani: i fratelli Bernoulli, il marchese de l'Hopital, J. Hermann.
La diffusione del calcolo leibniziano in Italia - Hermann e il problema inverso delle
forze centrali.
Il problema del rigore nel calcolo e l'opera di Cauchy.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
STRUTTURE ALGEBRICHE
Prof. P. Mangani
Assiomi per la teoria assiomatica degli insiemi di Zermzlo - Fraenkel (ZF).
Ordinali e Cardinali.
Schema di riflessione.
Insiemi definibili in termini di ordinali e consistenza relativa a ZF dell'assioma di
scelta.
Modelli di Fraenkel - Mostowski e loro applicazione alla prova di consistenza
relativa con ZF della negazione di AC, senza assioma AF di fondazione.
Insiemi costruibili di Godel, consistenza relativa con ZF + AF dell'assioma AC e
dell' ipotesi generalizzata del continuo (2 S a = S a + 1).
PROGRAMMA DEL CORSO DI
TEORIA E APPLICAZIONI DELLE MACCHINE CALCOLATRICI
Prof. R. PINZANI
Le Strutture Informative: Le strutture interne: strutture sequenziali, strutture
concatenate. Le strutture astratte: le liste lineari, la pila, la coda. Gli alberi.
La Ricerca Interna: Il problema della ricerca. La ricerca nei vettori e nelle tabelle.
Analisi del caso medio e del caso pessimo. La ricerca negli alberi. La ricerca casuale
La Ricerca Esterna: Paginazione alberi binari. B-alberi, B*~alberi, B+-alberi, k-d-alberi.
Metodi hash in memoria secondaria.
L'ordinamento: Il problema dell'ordinamento. Ordinamento per inserzione. Analisi del
caso medio e del caso pessimo. L'ordinamento delle tabelle. Fusione e ordinamento per
fusione. Analisi del caso medio e del caso pessimo.
Metodi di enumerazione: Relazioni di ricorrenza. Funzione generatrici. Metodi
asintotici.
Supporti di programmazione: Introduzione a MAPLE V.
Generazione casuale: Alberi. Cammini nel piano. Animali direzionati. Poliomini.
Esercitazioni (Dott.ssa E. Grazzini)
parte A
Algoritmi: Definizione e proprietà degli algoritmi. Linguaggi di descrizione. Analisi
top-down e bottom-up. Analisi strutturata. Complessità computazionale. Ordini di
grandezza della complessità Classi di algoritmi.
Tecniche di progettazione: "Divide et Impera". Programmazione dinamica. algoritmi
"greedy".
Classi P e NP: Definizione delle classi P e NP. La riduzione come strumento di indagine
nella classe NP. Problemi NP-completi.
Il Problema della Selezione: Il problema della Selezione. Limiti inferiori e metodo dell'
"oracolo". Massimo e minimo di un insieme. La seconda chiave pia grande e metodo del
torneo. Algoritmo di Selezione e sua valutazione.
String matching: Algoritmo di Kunth-Morris-Pratt. Algoritmo di Boyer Moore. Strngi
Matching approssimato.
parte B
L'organizzazione dei sistemi di elaborazione: J processori: esecuzione delle istruzioni,
l'organizzazione della CPU. La memoria: i bit, indirizzi di memoria, ordinamento dei
byte, la memoria secondaria. Dispositivi di Input/Output. La memoria cache. Logica
digitale e circuiti combinatori.
Linguaggi a basso livello e assemblatori: I formati delle istruzioni. L'indirizzamento.
Tipi di istruzioni. Il flusso di controllo. Le procedure. Le macro istruzioni. Le
interruzioni.
Linguaggi ad alto livello e compilatori :I linguaggi formali. Analisi sintattica. Automi a
stati finiti e automi riconoscitori. Struttura di un compilatore. Architettura dei
programmi. Programmi a blocchi e regole di visibilità dei nomi. Sottoprogrammi e
metodi di trasmissione dei parametri.
Architetture di calcolatori avanzate: Architetture parallele. Algoritmi di ordinamento
parallelo: "Merging and Sorting", "Odd-Even Merging".
Linguaggi ad alto livello e compilatori: I linguaggi formali. Analisi sintattica. Automi a
stati finiti e automi riconoscitori. Struttura di un compilatore. Architettura dei
programmi. Programmi a blocchi e regole di visibilità dei nomi. Sottoprogrammi e
metodi di trasmissione dei parametri.
Architetture di calcolatori avanzate: Architetture parallele. Algoritmi di ordinamento
parallelo: "Merging and Sorting", "Qdd-Even Merging".
PROGRAMMA DEL CORSO DI
TEORIA DELLE FUNZIONI
Prof. S. Calafiore
Corpo complesso C. Funzioni da C in C e relative propietà.
Successioni e serie di funzioni.
Serie di potenze intere in una variabile (struttura algebrica e topologica).
Funzioni elementari ez, zn e quelle da esse dedotte.
Problema di invertibilità, cenni sui punti rami.
Teoria elementare delle funzioni olomorfe (Teorema di Cauchy, funzione integrale,
sviluppo in serie di Taylor, Teorema di Liouville, Teorema fondamentale dell'algebra).
Serie di Laurent. Residui e applicazioni al calcolo degli integrali impropri. Teorema di
Rouchè.
Principio del massimo modulo.
Rappresentazione conforme. Trasformazioni omografiche, modello della geometria
iperbolica; Teorema di Riemann.
Zeri di funzioni olomorfe. Prodotti infiniti. Teorema di Weierstrass e G euleriana.
Prolungamento analitico.
Serie di Fourier - alcuni criteri di convergenza. f
Cenni su misura e integrale di Lebesgue.
Cenni su funzioni di classe L2 (Teorema di Riesz Fischer, uguaglianza di Parseval).
N.B. prima di sostenere la prova orale, i candidati debbono
presentare
relazione scritta
su argomenti ed esercizi, concordati con il titolare del corso.
una
PROGRAMMA DEL CORSO DI
TOPOLOGIA
Prof. M. Furi
Topologia Differenziale
Preliminari: Applicazioni lisce tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei.
Diffeomorfismi. Teorema della funzione inversa locale. Teorema della funzione
implicita. Cono tangente ad un insieme in un punto. Spazio tangente (come spazio
generato dal cono tangente). Differenziale in un punto di un'applicazione liscia tra
arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei (come restrizione allo spazio tangente del
differenziale di una qualunque estensione liscia ad un intorno). Proprieta' del
differenziale. Confine di un insieme (insieme dei punti singolari). Teorema di invarianza
del confine per un diffeomorfismo e conseguenze. Fibrato tangente ad un arbitrario
sottoinsieme di uno spazio euclideo. Massimi e minimi per applicazioni reali (su
arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei). Condizioni necessarie (del primo e del
secondo ordine). Condizioni sufficienti (del primo e del secondo ordine).
Varieta' differenziabili: Varieta' differenziabili negli spazi euclidei. Varieta' con bordo.
Carte e parametrizzazioni. Caratterizzazione dello spazio tangente ad una varieta'
differenziabile in un punto. Primo teorema di regolarita' delle soluzioni. Punti critici e
regolari. Valori critici e regolari. Una dimostrazione del teorema fondamentale
dell'Algebra. Lemma di Sard. Lemma del taglio. Secondo teorema di regolarita' delle
soluzioni. Fibrato tangente ad una varieta' differenziabile. Massimi e minimi sulle
varieta' differenziabili. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (condizioni necessarie).
Condizioni sufficienti (del secondo ordine) associate al metodo dei moltiplicatori di
Lagrange. Alcuni metodi per la ricerca dei punti critici per applicazioni tra varieta'
differenziabili. Alcuni esempi fisici di varieta' differenziabili (e calcolo dello spazio
tangente in un punto): asta rigida in un piano, asta rigida nello spazio, corpo rigido,
pendolo piano, pendolo sferico, pendolo doppio. Orientazione di un varieta'
differenziabile. Orientazione complementare di una sottovarieta'. Orientazione del bordo
di una varieta' orientata.
Teoremi di punto fisso e grado topologico: Proprieta' del punto fisso. Retratti di uno
spazio topologico (e legame con la proprieta' del punto fisso). Teorema di punto fisso di
Brouwer. Principio di continuazione in dimensione finita e applicazioni ai sistemi non
lineari. Teorema di punto fisso di Schauder. Principio di continuazione in dimensione
infinita. Teorema di esistenza di Peano per le equazioni differenziali ordinarie.
Applicazioni del teorema di Schauder e del principio di continuazione ai problemi ai
limiti per equazioni differenziali non lineari. Grado modulo due tra varieta' non
necessariamente orientabili. Grado di Brouwer tra varieta' orientate. Proprieta'
fondamentali del grado di Brouwer. Calcolo del grado per alcune applicazioni. Grado
(topologico) di un polinomio. Alcune conseguenze della teoria del grado: teorema
fondamentale dell'Algebra, teorema di non pettinabilita' delle sfere di dimensione pari,
teorema di punto fisso di Brouwer. Indice di Hopf di un campo vettoriale tangente ad
una varieta' differenziabile. Proprieta' fondamentali dell'indice di un campo vettoriale.
Teorema di Poincare'-Hopf. Teoria della biforcazione in dimensione finita. Condizione
necessaria per l'esistenza di un punto di biforcazione. Applicazione (dell'indice di un
campo vettoriale) alla teoria della biforcazione: condizione sufficiente per l'esistenza di
un punto di biforcazione. Teorema di punto fisso di Schauder. Teorema di esistenza di
Peano per equazioni differenziali ordinarie. Principio di continuazione di LeraySchauder e applicazioni ai problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie. Cenni
sulla teoria della biforcazione in dimensione infinita.
TOPOLOGIA ALGEBRICA
Elementi di teoria delle categorie: Categorie. Vari tipi di morfismi: monomorfismi,
epimorfismi, retrazioni, coretrazioni, isomorfismi, endomorfismi. Prodotto e coprodotto.
Groppo degli automorfismi. Principali esempi di categorie: insiemi, gruppi, spazi
topologici, spazi metrici, spazi vettoriali, spazi di Banach, gruppi abeliani graduati,
classi di omotopia tra spazi topologici, spazi topologici puntati, coppie di spazi
topologici, varieta' differenziabili (con applicazioni lisce). Categoria delle applicazioni
multivoche. Categoria delle applicazioni locali. Funtori covarianti tra due categorie.
Funtori controvarianti. Funtori smemorati. Funtori della Topologia Differenziale.
Trasformazioni naturali tra due funtori. Categoria ammissibile (per la teoria
dell'omologia).
Teoria dell'omologia: Assiomi di Eilemberg-Steenrod per la teoria dell'omologia.
Principali conseguenze degli assiomi. Gruppi ridotti di omologia. Sospensione di uno
spazio topologico. Funtore sospensione. Omologia delle sfere. Simplessi. Orientazione
di un simplesso. Complessi simpliciali. Poliedri. Poliedri topologici (spazi triangolabili).
Numero di Eulero di un complesso simpliciale finito. Gruppo abeliano libero generato
da un insieme. Complesso di catene associato ad un complesso simpliciale (orientato).
Omologia di un complesso simpliciale. Applicazioni simpliciali. Omomorfismo indotto
da un'applicazione simpliciale. Omologia simpliciale relativa. Calcolo dei gruppi di
omologia simpliciale di alcuni spazi triangolabili (sfera, spazio proiettivo, bottiglia di
Klein, toro). Simplessi singolari. Complesso di catene associato ad uno spazio
topologico (e ad una coppia topologica). Cicli, bordi e gruppi di omologia.
Omomorfismo indotto da un'applicazione continua. Verifica degli assiomi di EilembergSteenrod per l'omologia singolare. Numeri di Betti. Caratteristica di Eulero-Poincare'.
Numero di Lefschetz. Teorema di Lefschetz. Grado topologico per applicazioni tra sfere.
Teorema di Hopf.
Testi consigliati:
Greenberg M.J. - Lectures on Algebraic Topology - W.A. Benjamin, Inc., 1966.
Guillemin V.-Pollak A. - Differential Topology - Prentice-Hall, Inc., 1974.
Hirsch M.W. - Differential Topology, Graduate Texts in Math. - Vol. 33, Springer
Verlag, 1976.
Hu S.T. - Homology Theory - Holden-Day, 1970.
Lloyd N.G. - Degree Theory, Cambridge Tracts in Mathematics - Vol. 73,
Cambridge University Press, 1978.
Milnor J.W. - Topology from the differentiable viewpoint - The Univ. Press of
Virginia, 1965.
Spivak M. - Calculus on Manifold - W.A. Benjamin, Inc., 1965.
