documento ipertestuale PDF - UniFI - DiSIA

Laboratorio virtuale di probabilità e statistica
Un ipertesto di probabilità e
statistica: il "Virtual Lab"
Federico M. Stefanini
La finalità del sito in lingua italiana
(22.11.2001)
La finalità del Laboratorio Virtuale di
Probabilità e Statistica in lingua italiana è di
costituire uno strumento ipertestuale per
studenti e docenti interessati alla probabilità e
alla statistica.
L'ampia copertura di argomenti, i link
ipertestuali e la possibilità di effettuare
numerosi tipi di simulazione (tramite applet),
fanno del Laboratorio Virtuale un formidabile
strumento di autoistruzione.
Inoltre, esiste la possibilità di creare una copia
locale del sito italiano ed inglese su CDROM,
di stampare la parte principale di testo ed
esercizi da files in formato PDF, di modificare
i files in italiano per adattare l'ipertesto
originale agli specifici bisogni dei singoli corsi
universitari. Il Laboratorio Virtuale è un valido
ausilio da affiancare al materiale tradizionale
di un corso universitario.
Il progetto
Introduzione
●
Le finalità
●
Il progetto
●
Gli sviluppi
●
Il copyright
Visita
●
Sito in lingua italiana
●
Sito mirror in lingua inglese
●
Sito americano originale: Virtual
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/ (1 di 2) [22/11/2001 17.45.58]
L'autrice del pluripremiato progetto originario
è Kyle Siegrist, del Department of
Mathematical Sciences, alla University of
Alabama in Huntsville (Copyright ©
1997-2001).
L'implementazione in lingua italiana è stata
curata da Federico M. Stefanini ed è stata
realizzata da Marco J. Lombardi e Federico M.
Stefanini.
L'ipertesto italiano è nella fase beta 1.0, che
indica stesura prima, revisione prima
completate (22.11.2001).
Il sito in lingua italiana è stato sviluppato nella
Laboratorio virtuale di probabilità e statistica
Laboratories in Probability and
Statistics
Download
Comunicazioni
●
F.M.Stefanini
●
Kyle Siegrist
convinzione che sia utile, MA SENZA
GARANZIA di alcun tipo circa i suoi
contenuti.
Gli sviluppi
L'ipertesto attuale copre molti degli argomenti
tradizionalmente trattati nei corsi di Statistica
1, Statistica 2, e Calcolo delle probabilità.
L'estensione dell'ipertesto per includere moduli
di Statistica inerenti classi di modelli
particolari (modelli lineari, lineari
generalizzati, ecc...) è in fase di studio.
Il copyright
Questo materiale è liberamente disponibile per
usi non commerciali, cioè per i quali non si
riceve compenso, ma si deve mantenere il
riferimento a, Kyle Siegrist
Department of Mathematical Sciences
University of Alabama in Huntsville
[email protected]
Copyright © 1997-2001
e il riferimento al Dipartimento di Statistica
"G. Parenti", Università degli Studi di Firenze.
Versione italiana, Copyright © 2001
Dipartimento di Statistica "G. Parenti"
quale che sia la forma di impiego.
Per allegare l'ipertesto italiano a riviste e/o
libri, qualsiasi sia il tipo di supporto cartaceo o
elettronico impiegato, occorre prendere
contatti con il Dipartimento di Statistica.
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/ (2 di 2) [22/11/2001 17.45.58]
Laboratorio virtuale di probabilità e statistica
Laboratorio virtuale di probabilità
e statistica
Release beta 1.0 - 22.11.2001
Benvenuti!
Probabilità
1. Spazi di probabilità
L'obiettivo di questo progetto è di fornire risorse
interattive per studenti e docenti di probabilità e
statistica. Se questa è la tua prima visita ti
preghiamo di leggere le informazioni sul
progetto, che contengono informazioni sui
contenuti, la struttura e l'organizzazione di questo
lavoro, nonché i requisiti per i browser e i
presupposti matematici necessari.
2. Calcolo combinatorio
3. Distribuzioni
4. Valore atteso
Statistica
1. Distribuzioni notevoli
2. Campioni casuali
3. Stima puntuale
Autori
L'autrice del progetto originariamente sviluppato
in lingua inglese è
Kyle Siegrist
Department of Mathematical Sciences
University of Alabama in Huntsville
[email protected]
4. Stima intervallare
Copyright © 1997-2001
5. Test di ipotesi
L'implementazione in lingua italiana è stata
curata da Federico M. Stefanini ed è stata
realizzata da Marco J. Lombardi e Federico M.
Stefanini.
Modelli speciali
1. Modelli geometrici
2. Prove Bernoulliane
3. Modelli di campionamento finito
È disponibile un documento inerente gli scopi del
progetto di traduzione in lingua italiana.
Questo materiale è liberamente disponibile per
usi non commerciali, ma si deve mantenere il
5. Il processo di Poisson
riferimento all'autrice originale, quale che sia la
forma di impiego. Negli usi della versione
6. Rosso e nero
italiana si deve mantenere il riferimento
7. Random Walk
all'indirizzo presso il Dipartimento di Statistica
8. Sistemi di particelle interagenti "G. Parenti". Il sito in lingua italiana è stato
sviluppato nella convinzione che sia utile, MA
Appendici
SENZA GARANZIA di alcun tipo circa i suoi
contenuti.
1. Informazioni sul Progetto
4. Giochi di fortuna
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/index.html (1 di 2) [22/11/2001 17.46.00]
Laboratorio virtuale di probabilità e statistica
Versione italiana, Copyright © 2001
Dipartimento di Statistica "G. Parenti".
Sito web originale (in inglese)
●
Virtual Laboratories in Probability and
Statistics
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/index.html (2 di 2) [22/11/2001 17.46.00]
Spazi di probabilità
Laboratorio virtuale > Probabilità > [A] B C D
A. Spazi di probabilità
Sommario
1. Esperimenti casuali
2. Insiemi ed eventi
3. Funzioni e variabili casuali
4. Misura di probabilità
5. Probabilità condizionata
6. Indipendenza
7. Convergenza
8. Note conclusive
Applets
●
Esperimento del campione di monete
●
Esperimento della moneta di Buffon
●
Esperimento del campione di dadi
●
Esperimento dei dadi
●
Esperimento del campione di carte
●
Esperimento dado-moneta
●
Esperimento moneta-dado
Citazione
●
Le questioni più importanti della vita si riducono ad essere, in larga parte, solo
problemi di probabilità. Pierre Simon Laplace
Laboratorio virtuale > Probabilità > [A] B C D
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/prob/index.html [22/11/2001 17.46.00]
Calcolo combinatorio
Laboratorio virtuale > Probabilità > A [B] C D
B. Calcolo combinatorio
Sommario
1. Principi fondamentali
2. Permutazioni
3. Combinazioni
4. Coefficienti multinomiali
5. Note zonclusive
Applets
● Tavola di Galton
Citazione
●
La bellezza è il primo test: non c'è posto al mondo per la matematica brutta. GH
Hardy, A Mathematician's Apology.
Laboratorio virtuale > Probabilità > A [B] C D
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/comb/index.html [22/11/2001 17.46.01]
Distribuzioni
Laboratorio virtuale > Probabilità > A B [C] D
C. Distribuzioni
Sommario
1. Distribuzioni discrete
2. Distribuzioni continue
3. Distribuzioni miste
4. Distribuzioni congiunte
5. Distribuzioni condizionate
6. Funzioni di ripartizione
7. Trasformazioni di variabili
8. Convergenza in distribuzione
9. Note conclusive
Applets
●
Esperimento binomiale della moneta
●
Esperimento dei dadi
●
Esperimento dado-moneta
●
Esperimento moneta-dado
●
Variabile casuale
●
Esperimento bivariato uniforme
●
Istogramma interattivo
Laboratorio virtuale > Probabilità > A B [C] D
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/dist/index.html [22/11/2001 17.46.01]
Valore atteso
Laboratorio virtuale > Probabilità > A B C [D]
D. Valore atteso
Sommario
1. Definizione e proprietà
2. Varianza e momenti superiori
3. Covarianza e correlazione
4. Funzioni generatrici
5. Valore atteso condizionato
6. Valore atteso e matrici di covarianza
7. Note conclusive
Applets
●
Dadi
●
Variabile casuale
●
Istoramma interattivo
●
Istoramma interattivo con grafico degli errori
●
Esperimento uniforme bivariato
●
Esperimento dado-moneta
●
Esperimento moneta-dado
Laboratorio virtuale > Probabilità > A B C [D]
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
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Definizione e proprietà
Laboratorio virtuale > Valore atteso > [1] 2 3 4 5 6 7
1. Definizione e proprietà
Il valore atteso è uno dei concetti più importanti di tutta la probabilità. Il valore atteso di
una variabile casuale a valori reali indica il centro della distribuzione della variabile in un
senso particolare. In più, calcolando il valore atteso di varie trasformazioni reali di una
generica variabile, possiamo ricavare una varietà di importanti caratteristiche della
variabile, comprese misure di dispersione, simmetria e correlazione.
Definizioni
Al solito, iniziamo con l'introdurre un esperimento cauale definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale,
relativa all'esperimento, a valori in un sottinsieme S di R.
Se X ha distribuzione discreta con funzione di densità f, il valore atteso di X è definito
come
E(X) =
x in S
xf(x).
Se X ha distribuzione continua con funzione di densità f, il valore atteso di X è definito
come
E(X) =
S
xf(x)dx.
Supponiamo infine che X abbia distribuzione mista, con densità parziale discreta g su D e
densità parziale continua h su C, dove D e C sono disgiunti, D è numerabile e S = D
C. Il valore atteso di X è definito come
E(X) =
x in C
xg(x) +
C
xh(x)dx.
In ogni caso, il valore atteso di X può non esistere, poiché la sommatoria o l'integrale può
non convergere. Il valore atteso di X è detto anche media della distribuzione di X ed è
spesso indicato con µ.
Interpretazione
La media è il centro della distribuzione di probabilità di X in un senso particolare. Se
pensiamo alla distribuzione come a una distribuzione di massa, la media è il baricentro
fisico della massa. Ricordiamo, a questo proposito, gli altri indici di centralità che
abbiamo studiato: la moda è ogni valore di x che massimizza f(x). la mediana è ogni
valore di x che soddisfa
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/expect/expect1.html (1 di 11) [22/11/2001 17.46.05]
Definizione e proprietà
P(X < x)
1/2, P(X
x)
1/2.
Per interpretare il valore atteso in senso probabilistico, supponiamo di generare un nuovo
esperimento composto ripetendo più volte l'esperimento semplice. Ciò produce una
successione di variabili casuali indipendenti,
X1, X2, X3 ...
ciascuna distribuita come X. In termini statistici, stiamo campionando dalla distribuzione
di X. Il valore medio, o media campionaria, dopo n replicazioni è
Mn = (X1 + X2 + ··· + Xn) / n
Il valore medio Mn converge al valore atteso µ per n
. La regione di questo risultato
è la legge dei grandi numeri, uno dei più importanti teoremi della probabilità.
Esempi e casi particolari
1. Una costante c può essere pensata come variabile casuale che può assumere il solo
valore c con probabilità 1. La distribuzione corrispondente è detta a volte point mass in c.
Mostra che
E(c) = c.
2. Sia I una variabili casuale indicatore (cioè una variabile che assume solo i valori 0 e
1). Prova che
E(I) = P(I = 1).
In particolare, se IA è l'indicatore dell'evento A, allora E(IA) = P(A), per cui, in un certo
senso, il valore atteso individua la probabilità. Un testo che usa come concetto
fondamentale il valore atteso e non la probabilità è Probability via Expectation, di Peter
Whittle.
3. Supponi che X sia distribuita uniformemente su un sottinsieme finito S di R. Prova
che E(X) è la media aritmetica dei numeri in S.
4. Il punteggio di un dado equilibrato è distribuito uniformemente su {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Trova il punteggio atteso.
5. Nell'esperimento dei dadi, scegli un dado equilibrato. Simula 1000 replicazioni,
aggioranando ogni 10, e osserva la convergenza della media campionaria al valore atteso
della distribuzione.
6. Trova il punteggio atteso di un dado piatto uno-sei. La funzione di densità è
f(1) = 1/4, f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = 1/8, f(6) = 1/4
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Definizione e proprietà
7. Nell'esperimento dei dadi, scegli un dado piatto uno-sei. Simula 1000 replicazioni,
aggioranando ogni 10, e osserva la convergenza della media campionaria al valore atteso
della distribuzione.
8. Supponi che Y abbia funzione di densità f(n) = p(1 - p)n - 1 per n = 1, 2, ..., dove 0 <
p < 1 è un parametro. Ciò definisce la distribuzione geometrica con parametro p. Prova
che
E(Y) = 1 / p.
9. Supponi che N abbia funzione di densità f(n) = exp(-t)tn / n! per n = 0, 1, ..., dove t >
0 è un parametro. Si tratta della distribuzione di Poisson con parametro t. Mostra che
E(N) = t.
10. Supponi che X sia distribuita uniformemente su un intervallo (a, b) di R. Prova che
la media è il punto centrale dell'intervallo:
E(X) = (a + b) / 2
11. Supponi che X abbia densità f(x) = 12x2(1 - x) per 0 < x < 1.
1. Trova E(X).
2. Trova la moda di X
3. Trova la mediana di X
4. Disegna il grafico di f e indica la posizione di media, mediana e moda sull'asse
delle x.
12. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = a / xa + 1 per x > 1, dove a > 0 è un
parametro. Si tratta della distribuzione di Pareto con parametro di forma a. Prova che
1. E(X) =
se 0 < a 1
2. E(X) = a / (a - 1) se a > 1.
13. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione di Pareto. Per i seguenti
valori del parametro di forma a, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva
il comportamento della media empirica.
1. a = 1
2. a = 2
3. a = 3
14. Supponi che T abbia densità f(t) = r exp(-rt) per t > 0 dove r > 0 è un parametro.
Abbiamo quindi una distribuzione esponenziale con parametro di velocità r.
1. Prova che E(T) = 1 / r.
2. Prova che la moda di T è 0.
3. Prova che la mediana di T è ln(2) / r.
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Definizione e proprietà
4. Disegna il grafico di f e indica la posizione di media, mediana e moda sull'asse
delle x.
15. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione gamma e poni k = 1 per
avere la distribuzione esponenziale. Modifica r con la barra a scorrimento e osserva la
posizione della media rispetto al grafico della funzione di ripartizione. Con r = 2, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della media campionaria
al valore atteso della distribuzione.
16. Supponi che X abbia densità f(x) = 1 / [ (1 + x2)], x appartenente a R. Si ha così
una distribuzione di Cauchy (che prende nome da Augustin Cauchy), della famiglia delle
distribuzioni t.
1.
2.
3.
4.
Disegna il grafico di f.
Prova che E(X) non esiste.
Trova la mediana di X.
Trova la moda di X.
17. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione t di Student e poni n = 1 per
avere la distribuzione di Cauchy. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
osserva il comportamento della media campionaria.
18. Supponi che Z abbia densità f(z) = exp(-z2 / 2) / (2 )1/2 per z appartenente a R. Si
ha quindi una distribuzione normale standardizzata.
1. Prova che E(Z) = 0.
2. Disegna il grafico di f e indica E(Z) sull'asse z.
19. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione normale (i valori
preimpostati corrispondono a una normale standardizzata). Simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della media campionaria al valore atteso
della distribuzione
Teorema del cambiamento di variabile
Il valore atteso di una variabile casuale a valori reali indica il centro della distribuzione
della variabile. Quest'ida è molto più potente di quanto non potrebbe sembrare: calcolando
il valore atteso di varie funzioni di una certa variabile casuale, possiamo individuare
molte interessanti caratteristiche della distribuzione.
Supponiamo che X sia una variabile casuale a valori in un generico insieme S, e che r sia
funzione da S in R. r(X) è quindi una variabile casuale a valori reali, e possiamo essere
interessati al calcolo di E[r(X)]. Il calcolo di questo valore atteso richiede però, per
definizione, la conoscenza della funzione di densità della variabile trasformata r(X) (in
genere problema complesso). Fortunatamente, si può procedere in maniera più semplice
utilizzando il teorema del cambiamento di variabile per il valore atteso.
20. Mostra che, se X ha distribuzione discreta con funzione di densità f, allora
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/expect/expect1.html (4 di 11) [22/11/2001 17.46.05]
Definizione e proprietà
E[r(X)] =
x in S
r(x)f(x).
Similmente, se X ha distribuzione continua con funzione di densità f allora
E[r(X)] =
S
r(x)f(x)dx.
21. Dimostra il teorema del cambiamento di variabile nel caso in cui X è continua e r
discreta (cioè r ha campo di variazione numerabile).
22. Supponi che X sia distribuita uniformemente su (-1, 3).
1. Trova la densità di X2.
2. Trova E(X2) utilizzando la funzione di densità in (a).
3. Trova E(X2) utilizzando il teorema del cambiamento di variabile.
23. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = x2 / 60 per x
{-2, -1, 1, 2, 3, 4,
5}.
1. Trova E(X).
2. Trova la densità di X2.
3. Trova E(X2) utilizzando la funzione di densità in (a).
4. Trova E(X2) utilizzando il teorema del cambiamento di variabile.
24. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = 12x2(1 - x) per 0 < x < 1. Trova
1. E(1/X)
2. E(X1/2)
25. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 2(x + y) per 0
< x < y < 1. Trova
1. E(X)
2. E(Y)
3. E(X2Y).
4. E(X2 + Y2)
26. Supponi che X sia distribuita uniformemente sull'intervallo [a, b], e che g sia
funzione continua da [a, b] in R. Mostra che E[g(X)] è il valore medio di g su [a, b], come
definito in analisi.
Proprietà fondamentali
Gli esercizi seguenti identificano le proprietà fondamentali del valore atteso. Tali
proprietà valgono in generale, ma limitati a dimostrarle separatamente per il caso discreto
e il caso continuo, facendo affidamento prevalentemente sul teorema del cambiamento di
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/expect/expect1.html (5 di 11) [22/11/2001 17.46.05]
Definizione e proprietà
variabile. In questi esercizi X e Y sono variabili casuali a valori reali relative a un
esperimento, c è una costante e si assume che i valori attesi indicati esistano.
27. Prova che E(X + Y) = E(X) + E(Y)
28. Prova che E(cX) = cE(X).
Quindi, in conseguenza di questi primi due risultati,
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
per due costanti a e b; detto a parole, il valore atteso è un operatore lineare.
29. Dimostra che, se X
0 (con probabilità 1), allora E(X)
0.
30. Dimostra che, se X
Y (con probabilità 1), allora E(X)
E(Y)
31. Prova che |E(X)|
E(|X|)
I risultati di questi esercizi sono così importanti che è bene comprenderli anche a livello
intuitivo. In realtà, tali proprietà sono in un certo senso conseguenza dell'interpretazione
del valore atteso alla luce della legge dei grandi numeri.
32. Supponi che X e Y siano indipendenti. Prova che
E(XY) = E(X)E(Y)
L'esercizio precedente mostra che variabili casuali indipendenti sono incorrelate.
33. Si lanciano due dadi equilibrati e si registrano i punteggi (X1, X2). Trova il valore
atteso di
1. Y = X1 + X2.
2. Z = X1X2.
3. U = min{X1, X2}
4. V = max{X1, X2}.
34. Sia E(X) = 5 e E(Y) = -2. Trova E(3X + 4Y - 7).
35. Supponi che X e Y siano indipendenti e che E(X) = 5, E(Y) = -2. Trova
E[(3X - 4)(2Y + 7)]
36. Ci sono 5 cacciatori di anatre, tutti ottimi tiratori. Passa uno stormo di 10 oche, e
ciascun cacciatore ne sceglie una a caso e spara. Trova il numero di oche uccise atteso.
Suggerimento: Esprimi il numero di oche uccise come somma di variabili casuali
indicatore.
Per un'analisi più completa del problema del cacciatore di anatre, vedi il numero di valori
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/expect/expect1.html (6 di 11) [22/11/2001 17.46.05]
Definizione e proprietà
campionari distinti nel capitolo sui modelli di campionamento finito.
Momenti
Se X è una variabile casuale, a un numero reale e n > 0, l'n-esimo momento di X centrato
su a è definito come
E[(X - a)n].
I momenti centrati su 0 si dicono semplicemente momenti. I momenti centrati su µ = E(X)
si dicono momenti centrali. Il momento secondo è particolarmente importante ed è
studiato in dettaglio nel paragrafo sulla varianza. In certi casi, se si conoscono tutti i
momenti di X, possiamo individuare completamente la distribuzione di X. Questo
concetto è analizzato nel paragrafo sulle funzioni generatrici.
37. Supponi che X sia distribuita uniformemente sull'intervallo (a, b). Trova una
formula generale per i momenti di X.
38. Supponi che X abbia densità f(x) = 12x2(1 - x), 0 < x < 1. Trova una formula
generale per i momenti di X.
39. Supponi che X abbia distribuzione continua con densità f e simmetrica attorno ad
a:
f(a + t) = f(a - t) per ogni t
Mostra che, se E(X) esiste, allora E(X) = a.
Variabili non negative
40. Sia X una variabile casuale non negativa (continua o discreta) relativa a un certo
esperimento. Dimostra che
E(X) =
{x > 0}
P(X > x)dx.
Suggerimento: Nella rappresentazione di cui sopra, esprimi P(X > t) in funzione della
densità di X, come sommatoria nel caso discreto o integrale nel caso continuo. Poi
scambia integrale e sommatoria (nel caso discreto) o i due integrali (nel caso continuo).
41. Prova la disuguaglianza di Markov (in onore di Andrei Markov): Se X è una
variabile non negativa, allora per t > 0,
P(X
t)
E(X) / t.
Suggerimento: Sia It la variabile indicatore dell'evento {X
prendi i valori attesi tramite la disugauglianza.
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/expect/expect1.html (7 di 11) [22/11/2001 17.46.05]
t}. Prova che tIt
X. Poi
Definizione e proprietà
42. Usa il risultato dell'esercizio 40 per provare la formula del cambiamento di
variabile nel caso in cui il vettore casuale X ha distribuzione continua e r è non negativo.
43. Usa il risultato dell'esercizio 40 per provare che se X è non negativa e E(X) = 0
allora P(X = 0) = 1.
Il seguente risultato è simile a quello dell'esercizio 40, ma specifico per le variabile a
valori interi non negativi:
44. Supponi che N sia una variabile casuale discreta che assume valori nell'insieme
degli interi non negativi. Prova che
E(N) =
n = 0, 1, ...
P(N > n) =
n = 1, 2, ...
P(N
n).
Suggerimento: Nella prima formula, esprimi P(N > n) come somma in termini della
funzione di densità di N e scambia quindi le due sommatorie. La seconda formula può
essere ottenua a partire dalla prima con un cambiamento di variabile degli indici di
somma.
45. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = r exp(-rx) per x > 0, dove r > 0 è
un parametro. Si ha quindi la distribuzione esponenziale con parametro di velocità r.
a. Trova E(X) utilizzando la definizione.
b. Trova E(X) utilizzando la formula dell'esercizio 40.
c. Calcola entrambi i lati della disugauglianza di Markov.
46. Supponi che Y abbia funzione di densità g(n) = (1 - p)n - 1p per n = 1, 2, ... dove 0
< p < 1 è un parametro. Ciò definisce la distribuzione geometrica con parametro p.
a. Trova E(X) utilizzando la definizione.
b. Trova E(X) utilizzando la formula dell'esercizio 40.
c. Calcola entrambi i lati della disugauglianza di Markov.
Una definizione generale
Il risultato dell'esercizio 40 può essere utilizzato come base per una formulazione generale
del valore atteso che vale nei casi continuo, discreto e misto. In primo luogo, prendiamo il
risultato dell'esercizio 40 come definizione di E(X) se X è non negativa.
Poi, per un numero reale x, definiamo le parti positiva e negativa di x come segue
●
x+ = x se x
0 e x+ = 0 se x < 0
●
x- = 0 se x
0 e x- = -x se x < 0
47. Prova che
1. x+
0, x-
0
2. x = x+ - x-.
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Definizione e proprietà
3. |x| = x+ + x-.
Infine, se X è una variabile casuale, allora X+ e X-, le parti postiva e negativa di X, sono
variabili casuali non negative. Quindi, assumendo che E(X+) o E(X-) (o entrambi) sia
finito, possiamo definire
E(X) = E(X+) - E(X-)
Disuguaglianza di Jensen
La prossima serie di esercizi porterà a definire un'importante disugauglianza nota come
disuguaglianza di Jensen, così detta in onore di Johan Jensen. Introduciamo in primo
luogo alcune definizioni. Una funzione a valori reali g definita su un intervallo S di R è
detta convessa su S se per ogni x0 appartenente a S, esistono numeri a e b (che possono
dipendere da x0) tali che
ax0 + b = g(x0), ax + b
g(x) per x appartenente a S.
48. Interpreta geometricamente la definizione di funzione convessa. La linea y = ax + b
è detta linea di supporto a x0.
Puoi essere più familiare con la convessità in termini del seguente teorema di analisi:
49. Prova che g è convessa su S se g ha derivata seconda continua e non negativa su S.
Suggerimento: Mostra che la tangente a x0 è linea di supporto a x0.
50. Prova la disuguaglianza di Jensen: se X assume valori in un intervallo S e g è
convessa su S, allora
E[g(X)]
g[E(X)]
Suggerimento: Nella definizione di convessità sopra riportata, poni x0 = E(X) e sostituisci
x con X. Prendi poi i valori attesi attraverso la disuguaglianza.
51. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = a / xa + 1 per x > 1, dove a > 1 è un
parametro. Si ha allora la distribuzione di Pareto con parametro di forma a.
a.
b.
c.
d.
Trova E(X) utilizzando la formula dell'esercizio 40.
Trova E(1/X).
Mostra che g(x) = 1/x è convessa su (0, ).
Verifica la disuguaglianza di Jensen confrontando i risultati di (a) e (b).
La disuguaglianza di Jensen si estende semplicemente al caso multidimensionale. La
versione bidimensionale è particolarmente importante poiché sarà utilizzata per ricavare
molte delle disuguaglianze speciali del prossimo paragrafo. In primo luogo, un
sottinsieme S di R2 è convesso se
u, v
Sep
[0, 1] implica (1 - p)u + pv
S.
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Definizione e proprietà
Una funzione a valori reali g su S è detta convessa se per ogni (x0, y0) appartenente a S,
esistono numeri a, b e c (dipendenti da (x0, y0)) tali che
ax0 + by0 + c = g(x0, y0), ax + by + c
g(x, y) per (x, y) appartenente a S.
52. Interpreta geometricamente le nozioni di insieme convesso e funzione convessa. Il
piano z = ax + by + c è detto piano di supporto a (x0, y0).
Dall'analisi, g è convessa su S se g ha derivate seconde continue su S se ha matrice di
derivate seconde definita non positiva:
gxx
0, gyy
0, gxxgyy - gxy2
0 su S.
53. Prova la disuguaglianza di Jensen: se (X, Y) assume valori in un insieme convesso
S e g è convessa su S allora
E[g(X, Y)]
g[E(X), E(Y)].
Suggerimento: nella definizione di convessità, poni x0 = E(X), y0 = E(Y), e sostituisci x
con X, y con Y. Prendi poi i valori attesi attraverso la disuguaglianza.
54. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 2(x + y) per 0
< x < y < 1.
1. Prova che g(x, y) = x2 + y2 è convessa nel dominio di f.
2. Calcola E(X2 + Y2).
3. Calcola [E(X)]2 + [E(Y)]2.
4. Verifica la disuguaglianza di Jensen confrontando (b) e (c).
Sia nel caso monodimensionale che in quello bidimensionale, una funzione g si dice
concava se la disuguaglianza della definizione è invertita. Si inverte anche la
disguaglianza di Jensen.
55. Supponi che x1, x2, ..., xn siano numeri positivi. Prova che la media aritmetica è
almeno maggiore della media geometrica:
(x1 x2 ··· xn)1/n
(x1 + x2 + ··· + xn) / n.
Suggerimento: sia X uniformemente distribuita su {x1, x2, ..., xn} e sia g(x) = ln(x).
Valore atteso condizionato
Il valore atteso di una variabile casuale X dipende, ovviamente, dalla misura di probabilità
P dell'esperimento. Tale misura di probabilità può essere una misura di probabilità
condizionata dato un evento B dell'esperimento (con P(B) > 0). La notazione usuale è E(X
| B), e tale valore atteso si calcola attraverso le definizioni riportate all'inizio di questo
paragrafo, eccettuato il fatto che la densità condizionata f(x | B) si sostituisce alla densità
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Definizione e proprietà
ordinaria f(x). È molto importante capire che, a parte la notazione, non si introducono
nuovi concetti. Il risultati che abbiamo trovato per il valore atteso nel caso generale hanno
risultati analoghi nel caso del valore atteso condizionato.
56. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = r exp(-rx) per x > 0, dove r > 0 è
un parametro. Si ha allora la distribuzione esponenziale con parametro di velocità r. Per
dato t > 0, trova
E(X | X > t).
57. Supponi che Y abbia funzione di densità g(n) = (1 - p)n - 1p per n = 1, 2, ... dove 0
< p < 1 è un parametro. Si ha allora la distribuzione geometrica con parametro p. Trova
E(Y | Y è pari).
58. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1. Trova
E(XY | Y > X).
Più in generale, il valore atteso condizionato, dato il valore di un'altra variabile casuale, è
un argomento molto importante che sarà trattato in un altro paragrafo.
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Varianza e momenti superiori
Laboratorio virtuale > Valore atteso > 1 [2] 3 4 5 6 7
2. Varianza e momenti superiori
Definizione
Al solito, iniziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo sapazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale,
relativa all'esperimento, a valori in un sottinsieme S di R. Ricordiamo che il valore atteso
(o media) di X indica il centro della distribuzione di X. La varianza di X è una misura
della dispersione della distribuzione attorno al centro ed è definita come
var(X) = E{[X - E(X)]2}
La varianza è quindi il secondo momento centrale di X.
1. Supponi che X abbia distribuzione discreta con funzione di densità f. Usa il teorema
del cambiamento di variabile per mostrare che
var(X) =
x in S
[x - E(X)]2 f(x).
2. Supponi che X abbia distribuzione continua con funzione di densità f. Usa il
teorema del cambiamento di variabile per mostrare che
var(X) =
S
[x - E(X)]2 f(x)dx.
La deviazione standard di X è la radice quadrata della varianza:
sd(X) = [var(X)]1/2.
Misura anch'essa la dispersione attorno alla media, ma è espressa nella stessa unità di
misura di X.
Proprietà
Gli esercizi seguenti riportano alcune proprietà fondamentali della varianza, che si basano
sulle proprietà del valore atteso:
3. Dimostra che var(X) = E(X2) - [E(X)]2.
4. Dimostra che var(X)
0
5. Dimostra che var(X) = 0 se e solo se P(X = c) = 1 per una costante c.
6. Dimostra che se a e b sono costanti allora var(aX + b) = a2var(X)
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Varianza e momenti superiori
7. Let Z = [X - E(X)] / sd(X). Dimostra che Z ha media 0 e varianza 1.
La variabile casuale Z dell'esercizio 7 è detta a volte standard score associato a X. Poiché
X e la sua media e deviazione standard sono espressi nella stessa unità di misura, lo
standard score Z è un numero puro. Misura la distanza tra E(X) e X in termini di
deviazioni standard.
D'altra parte, quando E(X) è diverso da zero, il rapporto tra deviazione standard e media è
detto coefficiente di variazione:
sd(X) / E(X)
Osserva che anche questa quantità è un numero puro, ed è a volte utilizzata per
confrontare la variabilità di variabili casuali con medie diverse.
Esempi e casi particolari
8. Supponi che I sia una variabile indicatore con P(I = 1) = p.
a. Mostra che var(I) = p(1 - p).
b. Disegna il grafico di var(I) in funzione di p.
c. Trova il valore di p che massimizza var(I).
9. Il punteggio di un dado equilibrato è distribuito uniformemente su {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Trova media, varianza e deviazione standard.
10. Nell'esperimento dei dadi, seleziona un dado equilibrato. Simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della media e della deviazione standard
empiriche ai loro valori teorici.
11. Su un dado piatto uno-sei, le facce 1 e 6 hanno probabilità 1/4 e le facce 2, 3, 4 e 5
hanno probabilità 1/8. Trova media, varianza e deviazione standard.
12. Nell'esperimento dei dadi, seleziona un dado piatto uno-sei. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della media e della
deviazione standard empiriche ai loro valori teorici.
13. Supponi che X sia distribuita uniformemente su {1, 2, ..., n}. Prova che
var(X) = (n2 - 1) / 12.
14. Supponi che Y abbia funzione di densità f(n) = p(1 - p)n - 1 per n = 1, 2, ..., dove 0
< p < 1 è un parametro. Si ha allora la ditribuzione geometrica con parametro p. Prova che
var(Y) = (1 - p) / p2.
15. Supponi che N abbia funzione di densità f(n) = exp(-t)tn / n! for n = 0, 1, ..., dove t
> 0 è un parametro. Si ha allora la distribuzione di Poisson con parametro t. Prova che
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Varianza e momenti superiori
var(N) = t.
16. Supponi che X sia distribuita uniformemente sull'intervallo (a, b) con a < b. Prova
che
var(X) = (b - a)2 / 12.
Nota in particolare che la varianza dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo, il che
sembra intuitivamente ragionevole.
17. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = r exp(-rx) per x > 0. Si ha allora
una distribuzione esponenziale con parametro di velocità r > 0. Prova che
sd(X) = 1 / r.
18. Nell'esperimento gamma, poni k = 1 per avere una distribuzione esponenziale.
Modifica r con la barra a scorrimento e osserva posizione e dimensione della barra
media-deviazione standard. Con r = 2, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
Osserva la convergenza della media e della deviazione standard empiriche ai loro valori
teorici.
19. Supponi che X abbia densità f(x) = a / xa + 1 for x > 1, dove a > 0 è un parametro.
Si ha allora la distribuzione di Pareto con parametro di forma a. Prova che
1. var(X) =
se 1 < a
2
2. var(X) = a / [(a - 1)2(a - 2)] se a > 2.
20. Supponi che Z abbia densità f(z) = exp(-z2 / 2) / (2 )1/2 per z appartenente a R. Si
ha allora una distribuzione normale standardizzata. Mostra che
var(Z) = 1.
Suggerimento: Integra per parti in E(Z2).
21. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione normale (i parametri
preimpostati individuano la normale standardizzata). Simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della media e della deviazione standard
empiriche ai loro valori teorici.
22. Supponi che X sia una variabile casuale con E(X) = 5, var(X) = 4. Trova
1. var(3X - 2)
2. E(X2)
23. Supponi che X1 e X2 siano variabili casuali indipendenti con E(Xi) = µi, var(X) =
di2 for i = 1, 2. Mostra che
var(X1X2) = (d12 + µ12)(d22 + µ22) - µ12µ22.
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Varianza e momenti superiori
24. Marilyn Vos Savant ha un quoziente di intelligenza di 228. Assumendo che la
distribuzione dei quozienti di intelligenza abbia media 100 e devizione standard 15, trova
lo standard score di Marilyn.
La disuguaglianza di Chebyshev
La disuguaglianza di Chebyshev (che prende nome da Pafnuty Chebyshev) individua un
limite superiore per la probabilità che una variabile casuale sia più distante di un certo
valore dalla sua media.
25. Usa la disuguaglianza di Markov per dimostrare la disuguaglianza di Chebyshev:
per t > 0,
P[|X - E(X)|
t]
var(X) / t2.
26. Ricava la seguente versione alternativa della disuguaglianza di Chebyshev: per k >
0,
P[|X - E(X)|
k sd(X)]
1 / k2.
27. Supponi che Y abbia distribuzione geometrica con parametro p = 3/4. Calcola il
valore vero e il limte superiore di Chebyshev per la probabilità che Y sia distante almeno
2 deviazioni standard dalla media.
28. Supponi che X abbia distribuzione esponenziale con parametro di velocità r > 0.
Calcola il valore vero e il limte superiore di Chebyshev per la probabilità che X sia
distante almeno deviazioni standard dalla media.
Asimmetria e curtosi
Ricordiamo di nuovo che la varianza di X è il momento secondo di X centrato sulla media
e misura la dispersione della ditribuzione di X attorno alla media. I momenti centrali terzo
e quarto di X misurano anch'essi caratteristiche interessanti della distribuzione. Il
momento terzo misura la skewness, ovvero l'asimmetria, mentre il momento quarto misura
la curtosi, ovvero il grado di "appuntimento" della distribuzione. Le misure numeriche di
tali caratteristiche vengono standardizzate, per eliminare le unità di misura, dividendo per
una potenza appropriata della deviazione standard.
Sia µ = E(X) e d = sd(X). L'asimmetria di X è definita come
skew(X) = E[(X - µ )3] / d3.
la curtosi di X è invece
kurt(X) = E[(X - µ )4] / d4.
29. Supponi che X abbia densità f, simmetrica rispetto a µ. Prova che skew(X) = 0.
30. Prova che
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Varianza e momenti superiori
skew(X) = [E(X3) - 3µE(X) + 2µ3] / d3.
31. Prova che
kurt(X) = [E(X4) - 4µE(X) + 6µ2 E(X2) - 3µ4] / d4.
32. Disegna il grafico delle seguenti funzioni di densità e calcola skewness e curtosi.
(Si tratta di membri della famiglia beta).
1. f(x) = 6x(1 - x), 0 < x < 1.
2. f(x) = 12x2(1 - x), 0 < x < 1.
3. f(x) = 12x(1 - x)2, 0 < x < 1.
Norma
La varianza e i momenti di ordine superiore sono collegati ai concetti di norma e distanza
nella teoria degli spazi vettoriali. Tale collegamento può aiutare a connettere e illustrare
alcuni dei concetti presentati. Sia X una variabile casuale a valori reali. Per k 1, si
definisce la k-norma come
||X||k = [E(|X|k)]1/k.
Quindi ||X||k misura in un certo senso la dimensione di X. Per un dato spazio di
probabilità (cioè un dato esperimento casuale), l'insieme delle variabili casuali con
momento k-esimo finito forma uno spazio vettoriale (se identifichiamo due varaibili
casuali che coincidono con probabilità 1). Gli esercizi seguenti mostrano che la k-norma è
di fatto una norma su questo spazio vettoriale.
33. Mostra che ||X||k
0 per ogni X.
34. Mostra che ||X||k = 0 se e solo se P(X = 0) = 1.
35. Mostra che ||cX||k = |c| ||X||k per ogni costante c.
L'esercizio seguente ricava la disuguaglianza di Minkowski, che prende nome da
Hermann Minkowski. È detta anche disuguaglianza triangolare.
36. Prova che ||X + Y||k
||X||k + ||Y||k per ogni X e Y.
1. Prova che g(x, y) = (x1/k + y1/k)k è concava su {(x, y) in R2: x 0, y 0}.
2. Usa (a) e la disuguaglianza di Jensen per concludere che, se U e V sono varaibili
casuali non negative, allora E[(U1/k + V1/k)k] {[E(U)]1/k + [E(V)]1/k}k.
3. In (b) poni U = |X|k e V = |Y|k ed effettua qualche manovra algebrica.
L'esercizio seguente identifica la disuguaglianza di Lyapunov, che prende nome da
Aleksandr Lyapunov. Questa disuguaglianza prova che la k-norma di una variabile
casuale è crescente in k.
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Varianza e momenti superiori
37. Prova che, se j
k, allora ||X||j
||X||k.
1. Mostra che g(x) = xk/j è convessa su {x: x 0}.
2. Usa (a) e la disuguaglianza di Jensen per concludere che, se U è una variabile
casuale non negativa, allora [E(U)]k/j E(Uk/j).
3. In (b), poni U = |X|j ed effettua qualche manovra algebrica.
La disuguaglianza di Lyapanov mostra che, se X ha momento k-esimo finito e j < k, allora
X ha momento j-esimo finito.
38. Supponi che X sia distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 1).
1. Trova ||X||k.
2. Disegna ||X||k in funzione di k.
3. Trova il limite ||X||k per k
.
39. Supponi che X abbia densità f(x) = a / xa + 1 per x > 1, dove a > 0 è un parametro.
Si ha quindi un a distribuzione di Pareto con parametro di forma a.
1. Trova ||X||k.
2. Disegna ||X||k in funzione k < a.
3. Trova il limite ||X||k per k
a-.
40. Supponi che (X, Y) abbia densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1. Verifica
la disuguaglianza di Minkowski.
Distanza
La k-norma, come ogni altra norma, può essere utilizzata per misurare la distanza; basta
calcolare la norma della differenza tra le unità. Definiamo pertanto la k-distanza (o
k-metrica) tra due variabili casuali a valori reali X e Y come
dk(X, Y) = ||Y - X||k = [E(|Y - X|k)]1 / k.
Le proprietà presentate nei prossimi esercizi sono analoghe a quelle degli esercizi 33-36
(e quindi non serve molta fatica in più). Tali proprietà mostrano che la k-distanza è di
fatto una misura di distanza.
41. Mostra che dk(X, Y)
0 per ogni X, Y.
42. Mostra che dk(X, Y) = 0 se e solo se P(Y = X) = 1.
43. Mostra che dk(X, Y)
disuguaglianza triangolare).
dk(X, Z) + dk(Z, Y) per ogni X, Y, Z (si parla anche di
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Varianza e momenti superiori
Pertanto, la deviazione standard è semplicemente la 2-distanza tra X e la sua media:
sd(X) = d2[X, E(X)] = {E[(X - E(X)]2}1/2.
e la varianza è il quadrato di tale quantità. Più in generale, il momento k-esimo di X
centrato su a è semplicemente la k-esima potenza della k-distanza tra X e a. La 2-distanza
è particolaremente importante per ragioni che appariranno più chiare più avanti e nel
prossimo paragrafo. Questa distanza è detta inoltre root mean square distance.
Centro e dispersione da un'altra angolazione
Le misure di centro e dispersione possono essere interpretate in maniera interessante nel
contesto della misura della distanza. Per una variabile casuale X, in primo luogo si tenta
di individuare le costanti t più vicine a X, come misurate dalla distanza data; ogni t è una
misura di centralità relativa alla distanza. La minima distanza corrispondente è la misura
di dispersione.
Applichiamo questa procedura alla 2-distanza. Definiamo quindi la funzione di errore root
mean square come
d2(X, t) = ||X - t||2 = {E[(X - t)2]}1/2.
44. Prova che d2(X, t) è minima per t = E(X) e che il valore minimo è sd(X).
Suggerimento: il valore minimo si presenta nello stesso punto del valore minimo di E[(X t)2]. Espandi e prendi i valori attesi termine a termine. L'espressione risultante è una
funzione quadratica di t.
45. Nell'istogramma interattivo, costruisci una distribuzione discreta seguendo le
indicazioni sottindicate. Osserva la posizione e la dimensione della barra media ±
deviazione standard e la forma del grafico dell'errore quadratico medio.
a. Distribuzione uniforme
b. Distribuzione simmetrica unimodale
c. Distribuzione unimodale asimmetrica a destra
d. Distribuzione unimodale asimmetrica a sinistra
e. Distribuzione simmetrica bimodale
f. Distribuzione a forma di u
Applichiamo ora questa procedura alla 1-distanza. Definiamo pertanto la funzione di
errore medio assoluto come
d1(X, t) = ||X - t||1 = E[|X - t|].
46. Prova che d1(X, t) è minima quando t è una mediana di X.
L'ultimo esercizio mostra che l'errore medio assoluto ha un grosso limite come misura di
errore poiché non è detto che esista un unico valore di t. Al contario, per molte
distribuzioni discrete, esiste un intervallo mediano. Quindi, in termini dell'errore medio
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Varianza e momenti superiori
assoluto, non c'è ragione per scegliere un valore dell'intervallo piuttosto che un altro.
47. Costruisci le distribuzioni del tipo indicato sotto. In ciascun caso, nota la posizione
e la dimensione del boxplot e la forma del grafico dell'errore medio assoluto.
a. Distribuzione uniforme
b. Distribuzione simmetrica unimodale
c. Distribuzione unimodale asimmetrica a destra
d. Distribuzione unimodale asimmetrica a sinistra
e. Distribuzione simmetrica bimodale
f. Distribuzione a forma di u
48. Sia I una variabile indicatore con P(I = 1) = p. Disegna il grafico di E[|I - t|] in
funzione di t in ciascuno dei seguenti casi. In ogni caso, trova il valore minimo dell'errore
medio assoluto e i valori di t in cui si ha il minimo.
1. p < 1/2
2. p = 1/2
3. p > 1/2
Convergenza
Quando si ha una misura di distanza, si ha anche automaticamente un criterio di
convergenza. Siano Xn, n = 1, 2, ..., e X variabili casuali a valori reali. Si dice che Xn
X per n
in media k-esima se
dk(Xn, X)
0 per n
, equivalentemente E(|Xn - X|k)
Quando k = 1, diciamo semplicemente che Xn
si dice che Xn
importanti.
X per n
0 per n
X as n
.
in media; quando k = 2,
in media quadratica. Questi sono i casi particolari più
49. Usa la disuguaglianza di Ljapunov per mostrare che, se j < k, allora
Xn
X per n
in media k-esima implica Xn
X per n
in media j-esima.
La prossima serie di esercizi mostra che la convergenza in media è più forte della
convergenza in probabilità.
50. Usa la disuguaglianza di Markov per mostrare che
Xn
X per n
in media implica Xn
X per n
in probabilità.
Il contrario non è vero. Inoltre, la convergenza quasi certa non implica la convergenza in
media k-esima e vicevera. I prossimi due esercizi riportano alcuni controesempi.
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Varianza e momenti superiori
51. Supponi che X1, X2, X3, ... sia una successione di variabili casuali indipendenti con
P(Xn = n3) = 1 / n2, P(Xn = 0) = 1 - 1 / n2 per n = 1, 2, ...
1. Usa il primo lemma di Borel-Cantelli per mostrare che Xn
probabilità 1.
2. Prova che Xn
3. Prova che E(Xn)
0 as n
0 as n
con
in probabilità.
per n
52. Supponi che X1, X2, X3, ... sia una successione di variabili casuali indipendenti con
P(Xn = 1) = 1 / n, P(Xn = 0) = 1 - 1 / n per n = 1, 2, ...
1. Usa il secondo lemma di Borel-Cantelli per mostrare che P(Xn = 0 per
infinitamente numerosi n) = 1.
2. Usa il secondo lemma di Borel-Cantelli per mostrare che P(Xn = 1 per
infinitamente numerosi n) = 1.
3. Prova che P(Xn non converge per n
4. Prova che Xn
0 per n
) = 1.
in media k-esima per ogni k
1.
Per tirare le somme, nella seguente tabella il segno di implicazione va da sinistra a destra
(con j < k); nessuna altra implicazione vale in generale.
convergenza con probabilità 1
convergenza in
convergenza in
media k-esima
media j-esima
convergenza in
probabilità
convergenza in
distribuzione
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Per una trattazione affine dal punto di vista statistico, confronta il paragrafo sulla varianza
campionaria nel capitolo sui campioni casuali. La varianza della somma di variabili
casauali può essere capita meglio basandosi su un concetto affine noto come covarianza,
che sarà trattato in dettaglio nel prossimo paragrafo.
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Covarianza e correlazione
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3. Covarianza e correlazione
Ricordiamo che, calcolando il valore atteso di diverse trasformazioni di una variabile
casuale, possiamo misurare molte interessanti caratteristiche della distribuzione della
variabile. In questo paragrafo studieremo un valore atteso che misura una particolare
relazione tra due variabili a valori reali. Tale relazione è estremamente importante sia in
probabilità che in statistica.
Definizione
Al solito, iniziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo sapazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X e Y siano variabili casuali
a valori reali, relative all'esperimento, con medie E(X), E(Y) e varianze var(X), var(Y)
(ipotizzate finite). La covarianza di X e Y è definita come
cov(X, Y) = E{[X - E(X)][Y - E(Y)]}
e (assumendo che le varianze siano positive) la correlazione di X e Y è
cor(X, Y) = cov(X, Y) / [sd(X) sd(Y)].
La correlazione è quindi una versione modificata della covarianza; osserva che i due
parametri hanno sempre lo stesso segno (positivo, negativo o 0). Quando il segno è
positivo, le variabili si dicono positivamente correlate; quando il segno è negativo
negativamente correlate; e quando è 0, le variabili si dicono incorrelate. Come il termine
stesso suggerisce, la covarianza e la correlazione misurano un certo tipo di dipendenza tra
le due variabili.
Proprietà
Gli esercizi seguenti individuano alcune proprietà fondamentali della covarianza. Ai fini
delle dimostrazioni, il risultato da utilizzare è la linearità dell'operatore valore atteso.
1. Prova che cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
2. Prova che cov(X, Y) = cov(Y, X).
3. Prova che cov(X, X) = var(X).
4. Prova che cov(aX + bY, Z) = a cov(X, Z) + b cov(Y, Z).
Dall'esercizio 1 si osserva che X e Y sono incorrelati se e solo se
E(XY) = E(X)E(Y).
In particolare, se X e Y sono indipendenti, allora sono incorrelati. Il contrario però non è
vero, come mostrato nell'esercizio 11.
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Covarianza e correlazione
5. Supponi che Xj, j in J e Yk, k in K siano variabili casuali a valori reali relative a un
esperimento e che aj, j in J e bk, k in K siano costanti (J e K sono insiemi finiti di indici).
Prova la seguente proprietà (nota come bi-linearità).
cov(
j in J aj
Xj,
k in K bk
Yk) =
j in J
k in K aj bk
cov(Xj, Xk).
6. Dimostra che la correlazione tra X e Y è data dalla covarianza dei corrispondenti
standard score:
cor(X, Y) = cov{[X - E(X)] / sd(X), [Y - E(Y)] / sd(Y)].
Esercizi numerici
7. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato R = {(x, y): -6 < x <
6, -6 < y < 6}. Mostra che X e Y sono indipendenti e quindi incorrelati.
8. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona quadrato dal menu a tendina. Simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Nota il valore della correlazione e la forma della
nube di punti della dispersione.
9. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sulla regione triangolare R = {(x,
y): -6 < y < x < 6}. Prova che
cor(X, Y) = 1/2.
10. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona triangolo dal menu a tendina.
Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Nota il valore della correlazione e la
forma della nube di punti della dispersione.
11. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sulla regione circolare R = {(x,
y): x2 + y2 < 36}. Mostra che X e Y sono dipendenti ma incorrelati.
12. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona cerchio dal menu a tendina. Simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Nota il valore della correlazione e la forma della
nube di punti della dispersione.
13. Supponi che X sia distribuito uniformemente sull'intervallo (-1, 1) e Y = X2. Prova
che X e Y sono incorrelati anche se Y dipende funzionalmente da X (la forma più forte di
dipendenza).
14. Si lanciano due dadi equilibrati e si registrano i punteggi (X1, X2). Sia Y = X1 +
X2 la somma dei punteggi, U = min{X1, X2} il punteggio minimo e V = max{X1, X2} il
punteggio massimo. Trova covarianza e correlazione delle seguenti coppie di variabili:
1. X1, X2.
2. X1, Y.
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Covarianza e correlazione
3. X1, U.
4. U, V
5. U, Y
15. Supponi che X e Y siano variabili casuali con cov(X, Y) = 3. Trova
cov(2X - 5, 4Y + 2).
16. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = x + y per 0 <
x < 1, 0 < y < 1. Trova
1. cov(X, Y)
2. cor(X, Y).
17. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 2(x + y) per 0
< x < y < 1. Trova
1. cov(X, Y)
2. cor(X, Y).
18. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 6x2y per 0 <
x < 1, 0 < y < 1. Trova
1. cov(X, Y)
2. cor(X, Y).
19. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 15x2y per 0 <
x < y < 1. Trova
1. cov(X, Y)
2. cor(X, Y).
Varianza della somma
Mostreremo ora che la varianza di una somma di variabili è la somma delle mutue
covarianze. Supponiamo che Xj, j in J sia una collezione di variabili casuali a valori reali
relative all'esperimento, dove J è un insieme finito di indici
20. Usa i risultati degli esercizi 3 e 5 per mostrare che
var[
j in J
Xi] =
j in J
k in K
cov(Xj, Xk).
Il risultato dell'esercizio precedente può risultare molto utile; può essere utilizzato per
esempio per calcolare la varianza della distribuzione ipergeometrica e la distribuzione
delle concordanze.
21. Supponic che X1, X2, ..., Xn siano a due a due incorrelati (ciò vale in particolare se
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Covarianza e correlazione
sono mutualmente indipendenti). Prova che
var(X1 + X2 + ··· + Xn ) = var(X1) + var(X2) + ··· + var(Xn).
22. Prova che var(X + Y) + var(X - Y) = 2 var(X) + 2 var(Y).
23. Supponi che var(X) = var(Y). Prova che X + Y e X - Y sono incorrelati.
24. Supponi che X e Y siano variabili casuali con var(X) = 5, var(Y) = 9, cov(X, Y) =
-3. Trova var(2X + 3Y - 7).
25. Supponi che X e Y siano variabili indipendenti con var(X) = 6, var(Y) = 8. Trova
var(3X - 4Y + 5).
26. Supponi che X1, X2, ..., Xn siano indipendenti e abbiano distribuzione identica con
media µ e varianza d2. (Le variabili formano quindi un campione casuale dalla
distribuzione comune). Sia Yn = X1 + X2 + ··· + Xn. Prova che
1. E(Yn) = nµ.
2. var(Yn) = n d2.
3. sd(Yn) = n1/2 d.
27. Nel contesto dell'esercizio precedente, sia Mn = Yn / n. Mn è quindi la media
campionaria. Mostra che
1. E(Mn) = µ.
2. var(Mn) = d2 / n.
3. sd(Mn) = d / n1/2.
4. var(Mn)
0 per n
.
5. P(|Mn - µ| > r)
0 per n
disuguaglianza di Chebyshev).
per ogni r > 0 (Suggerimento: Usa la
La parte (e) dell'ultimo esercizio significa che Mn
µ per n
in probabilità. Si
tratta della legge debole dei grandi numeri, uno dei teoremi fondamentali della
probabilità.
28. Supponi di lanciare n dadi equilibrati.
1. Trova media e deviazione standard della somma dei punteggi
2. Trova media e deviazione standard della media dei punteggi
29. Nell'applet dadi, seleziona le variabili casuali seguenti. In ciascun caso, aumenta il
numero di dadi e osserva dimensione e posizione della funzione di densità e della barra
media-deviazione standard. Con n = 20 dadi, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni
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Covarianza e correlazione
10, e osserva la convergenza dei momenti empirici ai momenti teorici della distribuzione.
1. Somma dei punteggi
2. Media dei punteggi
30. Supponi che I1, I2, ..., In siano variabili indicatore indipendenti con P(Ij = 1) = p
per ogni j. La distribuzione di X = I1 + I2 + ··· + In è binomiale con parametri n e p. Prova
che
1. E(X) = np
2. var(X) = np(1 - p).
Eventi
Supponi che A e B siano eventi di un esperimento casuale. La covarianza e la correlazione
di A e B sono definire come covarianza e correlazione delle loro rispettive variabili
casuali indicatore IA e IB.
31. Prova che
1. cov(A, B) = P(A
B) - P(A)P(B)
2. cor(A, B) = [P(A
B) - P(A)P(B)] / [P(A)P(B)P(Ac)P(Bc)]1/2.
Nota in particolare che A e B sono rispettivamente positivamente correlate,
negativamente correlate o indipendenti (come definito nel paragrafo sulla probabilità
condizionata) se e solo se le variabili indicatore di A e B sono positivamente correlate,
negativamente correlate o indipendenti, come definito in questo paragrafo.
32. Prova che
1. cov(A, Bc) = -cov(A, B)
2. cov(Ac, Bc) = cov(A, B)
33. Supponi che A
B. Prova che
1. cov(A, B) = P(A)P(Bc)
2. cor(A, B) = [P(A)P(Bc) / P(B)P(Ac)]1/2.
34. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento con P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A
B) = 1/8. Trova covarianza e correlazione tra A e B.
Il miglior predittore lineare
Quale funzione lineare di X è più vicina a Y nel senso che minimizza l'errore quadratico
medio? La questione riveste importanza fondamentale nel caso in cui la variabile casuale
X (la variabile predittore) è osservabile mentre Y (la variabile risposta) non lo è. La
funzione lineare può essere utilizzate per stimare Y a partire dai valori osservati di X. La
soluzione mostrerà inoltre che covarianza e correlazione misurano la relazione lineare tra
X e Y. Per evitare i casi triviali, assumiamo che var(X) > 0 e var(Y) > 0.
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Covarianza e correlazione
35. Prova che
●
E{[Y - (aX + b)]2} = var(Y) + [E(Y)]2 + a2 {var(X) + [E(X)]2} +
●
b2 -2a[cov(X, Y) + E(X)E(Y)] + 2ab E(X) - 2b E(Y)
36. Usa le tecniche di analisi per mostrare che E{[Y - (aX + b)]2} è minimo quando
1. a = cov(X, Y) / var(X)
2. b = E(Y) - a E(X)
Il miglior predittore lineare di Y da X è quindi
Y* = E(Y) + [cov(X, Y) / var(X)][X - E(X)].
37. Prova che l'errore quadratico medio minimo, tra tutte le funzione lineari di X, è
E[(Y - Y*)2] = var(Y)[1 - cor2(X, Y)].
38. Sulla base dell'ultimo esercizio, mostra che
1. -1
cor(X, Y)
1
2. -sd(X) sd(Y) cov(X, Y) sd(X) sd(Y)
3. cor(X, Y) = 1 se e solo se Y = aX + b con probabilità 1 per costanti a > 0 e b.
4. cor(X, Y) = -1 se e solo se Y = aX + b con probabilità 1 per costanti a < 0 e b.
Questi esercizi mostrano chiaramente che cov(X, Y) e cor(X, Y) misurano l'associazione
lineare tra X e Y.
Ricordiamo che il miglior predittore lineare constante di Y, nel senso di minimizzare
l'errore quadratico medio, è E(Y) e che il valore minimo dell'errore quadratico medio di
tale predittore è var(Y). Pertanto la differenza tra var(Y) e l'errore quadratico medio
dell'esercizio 35 è la riduzione della varianza di Y che si ottiene aggiungendo al predittore
il termine lineare X.
39. Prova che var(Y) - E[(Y - Y*)2] = var(Y)cor2(X, Y).
La frazione di riduzione è cor2(X, Y), e questa quantità è detta coefficiente di
determinazione (della distribuzione). La retta
y = E(Y) + [cov(X, Y) / var(X)][x - E(X)]
è detta retta di regressione (della distribuzione) per Y da X. Osserva che la retta di
regressione passa da (E(X), E(Y)), centro della distribuzione congiunta. In ogni caso, la
scelta della variabile predittore e della variabile risposta è cruciale.
40. Mostra che la retta di regressione di Y da X e la retta di regressione di X da Y non
coincidono, eccettuato il caso triviale in cui le variabili sono perfettamente correlate.
41. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = x + y for 0 <
x < 1, 0 < y < 1.
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Covarianza e correlazione
1. Trova il miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova il miglior predittore lineare di X da Y.
3. Trova il coefficiente di determinazione.
42. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 2(x + y) per 0
< x < y < 1.
1. Trova il miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova il miglior predittore lineare di X da Y.
3. Trova il coefficiente di determinazione.
43. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 6x2y per 0 <
x < 1, 0 < y < 1.
1. Trova il miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova il miglior predittore lineare di X da Y.
3. Trova il coefficiente di determinazione.
44. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 15x2y per 0 <
x < y < 1.
1. Trova il miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova il miglior predittore lineare di X da Y.
3. Trova il coefficiente di determinazione.
45. Si lanciano due dadi equilibrati e si registra la sequenza di punteggi (X1, X2). Sia
Y = X1 + X2 la somma dei punteggi, U = min{X1, X2} il punteggio minimo e V =
max{X1, X2} il punteggio massimo.
1. Trova il miglior predittore lineare di Y da X1.
2. Trova il miglior predittore lineare di U da X1.
3. Trova il miglior predittore lineare di V da X1.
46. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento casuale con 0 < P(A) < 1 e 0 <
P(B) < 1. Dimostra che
1. A e B hanno correlazione 1 se e solo se P(A
A = B con probabilità 1).
2. A e B hanno correlazione -1 se e solo se P(A
A = Bc con probabilità 1).
Bc) = 0 e P(B
B) = 0 e P(Bc
Ac) = 0 (Ovvero
Ac) = 0 (Ovvero
Il corrispondente problema statistico della stima di a e b, quando i parametri della
distribuzione dell'esercizio 34 sono ignoti è analizzato nel paragrafo su covarianza e
correlazione campionaria. Una generalizzazione naturale del problema che stiamo
considerando è trovare la funzione di X (utilizzando tutte le funzioni possibili, non solo
quelle lineari) che si avvicina di più a Y nel senso di minimizzare l'errore quadratico
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Covarianza e correlazione
medio. La soluzione verrà ricavata nel paragrafo sul valore atteso condizionato.
Prodotto interno
La covarianza è strettamente impartentata con concetti fondamentali nella teoria degli
spazi vettoriali. Tale collegamento può essere utile per esaminare da un diverso punto di
vista molte delle proprietà della covarianza. In primo luogo, se X e Y sono variabili
casuali a valori reali, definiamo il prodotto interno e X e Y come
<X, Y> = E(XY).
Gli esercizi seguenti sono versioni analoghe delle proprietà della covarianza riportate
sopra, e mostrano che tale definizione individua in relatà un prodotto interno sullo spazio
vettoriale delle variabili casuali con momento secondo finito. (Al solito, diciamo
identifiche due variabili casuali che coincidono con probabilità 1).
47. Prova che <X, Y> = <Y, X>.
48. Prova che <X, X>
0.
49. Prova che <X, X> = 0 se e solo se P(X = 0) = 1.
50. Prova che <aX, Y> = a <X, Y>.
51. Prova che <X, Y + Z> = <X, Z> + <Y, Z>
Covarianza e correlazione possono essere semplicemente espresse in termini di questo
prodotto interno.
52. Prova che cov(X, Y) = <X - E(X), Y - E(Y)>.
53. Prova che cor(X, Y) = <[X - E(X)] / sd(X), [Y - E(Y)] / sd(Y)>.
Quindi la covarianza di X e Y è il prodotto interno delle corrispondenti variabili centrate.
La correlazione di X e Y, invece, è il prodotto interno dei corrispondenti standard score.
La norma associata al prodotto interno è la 2-norma studiata nel paragrafo precedente.
Tale risultato è la ragione per cui la 2-norma ha un ruolo fondamentale e speciale; tra tutte
le k-norme, solo la 2-norma corrisponde al prodotto interno.
54. Prova che <X, X> = ||X||22 = E(X2).
Osserva che il miglior predittore lineare di Y da X derivato poc'anzi è semplicemente la
proiezione di Y sul sottospazio delle variabili casuali della forma aX + b, dove a e b sono
numeri reali.
Il prossimo esercizio riporta la disuguaglianza di Hölder, detta così in onore di Otto
Hölder.
55. Supponi che j, k >1 con 1 / j + 1 / k = 1. Prova che <|X|, |Y|>
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||X||j ||Y||k.
Covarianza e correlazione
1. Prova che g(x, y) = x1/j y1/k è concava su {(x, y) in R2: x 0, y 0}.
2. Usa (a) e la disuguaglianza di Jensen per dimostrare che, se U e V sono variabili
casuali non negatice, allora E(U1/j V1/k) [E(U)]1/j [E(V)]1/k.
3. In (c), poni U = |X|j, V = |Y|k.
Nel contesto dell'esercizio precedente, j, k si dicono esponenti coniugati. Se poniamo j = k
= 2 nella disuguaglianza di Hölder si ottiene la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, così
detta in onore di Augustin Cauchy e Karl Schwarz. Di nuovo , si tratta di una
disuguaglianza equivalente a quella dell'esercizio 36.
E(|XY|)
[E(X2)]1/2 [E(Y2)]1/2.
56. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1. Verifica disuguaglianza di Hölder nei casi seguenti:
1. j = k = 2
2. j = 3, k = 3 / 2.
57. Supponi che j e k siano esponenti coniugati.
1. Prova che k = j / (j - 1).
2. Prova che k decresce a 1 per j che tende a .
L'esercizio seguente presenta un risultato analogo a quello dell'esercizio 22.
58. Prova la regola del parallelogramma:
||X + Y||22 + ||X - Y||22 = 2||X||22 + 2||Y||22.
L'esercizio seguente presenta un risultato analogo a quello dell'esercizio 21.
59. Prova il teorema di Pitagora, scoperto ovviamente da Pitagora: se X1, X2, ..., Xn
sono variabili casuali con <Xi, Xj> = 0 per i e j distinti, allora
||X1 + X2 + ··· + Xn ||22 = ||X1||22 + ||X2||22 + ··· + ||Xn||22.
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Funzioni generatrici
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4. Funzioni generatrici
Al solito, iniziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo sapazio
campionario e con misura di probabilità P. Una funzione generatrice di una variabile
casuale è il valore atteso di una certa trasformazione della variabile. Tutte le funzioni
generatrici posseggono tre importanti proprietà:
1. Sotto condizioni blande, la funzione generatrice individua completamente la
distribuzione.
2. La funzione generatrice della somma di variabili indipendenti è il prodotto delle
funzioni generatrici.
3. I momenti della variabile casuale possono essere ottenuti a partire dalle derivate
della funzione generatrice.
La proprietà 2 è usata di frequente per determinare la distribuzione di una somma di
variabili indipendenti. Al contrario, ricordiamo che la funzione di densità di probabilità di
una somma di variabili indipendenti è la convoluzione delle funzioni di densità
individuali, operazione molto più complessa.
La funzione generatrice di probabilità
Supponiamo che N sia una variabile casuale a valori in {0, 1, 2, ...}. La funzione
generatrice di probabilità G di N è definita come
G(t) = E(tN).
Sia f la funzione di densità di probabilità di N, cosicché f(n) = P(N = n) per n = 0, 1, 2, ...
Gli esercizi seguenti individuano le proprietà principali.
1. Prova che G(t) =
n = 0, 1, ... f(n)
tn.
G(t) è quindi una serie di potenze in t, coi valori della funzione di densità di probabilità
che fanno da coefficienti. Ricorda che, sulla base dei risultati di analisi, esiste un r tale che
la serie converge assolutamente per |t| < r e diverge per |t| > r. Il numero r è detto raggio di
convergenza della serie.
2. Prova che G(1) = 1 e quindi r
1.
Ricorda, dall'analisi, che una serie di potenze può essere derivata termine a termine,
esattamente come un polinomio. Ciascuna serie di derivate ha lo stesso raggio di
convergenza della serie originale.
3. Prova che f(n) = G(n)(0)/n! per n = 0, 1, 2, ...
Dall'esercizio 3, nota che G individua completamente la distribuzione di N.
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Funzioni generatrici
4. Mostra che P(N è pari) = [1 + G(-1)] / 2.
5. Sia r > 1. Dimostra che G(k)(1) = E[(N)k] dove
(N)k = N(N - 1) ··· (N - k + 1).
I momenti dell'esercizio 5 si dicono momenti fattoriali.
6. Mostra che var(N) = G(2)(1) + G(1)(1) - [G(1)(1)]2.
7. Supponi che N1 e N2 siano indipendenti e con funzione generatrice di probabilità
rispettivamente G1 e G2. Dimostra che la funzione generatrice di probabilità di N1 + N2 è
G(t) = G1(t)G2(t).
8. Supponi che I sia una variabile indicatore con P(I = 1) = p. Mostra che
G(t) = 1 - p + pt per ogni t.
9. Supponi che N abbia funzione di densità P(N = k) = C(n, k) pk (1 - p)n-k, per k = 0,
1, ..., n. dove n appartenente a {1, 2, ...} e p appartenente a (0, 1) sono parametri. Si ha
allora una distribuzione binomiale con parametri n e p. Dimostra che
a. G(t) = (1 - p + pt)n.
b. E(N) = np
c. var(N) = np(1 - p)
d. P(N è pari) = [1 + (1 - 2p)n] / 2
10. Usa i risultati dei due esercizi precedenti per mostrare che, se I1, I2, ... In sono
variabili indicatore indipendenti con parametro p, allora N = I1 + I2 + ··· + In ha
distribuzione binomiale con parametri n e p.
11. Supponi che N abbia funzione di densità P(N = n) = (1 - p)n-1 p per n = 1, 2, ...
dove p appartenente a (0, 1) è un parametrro. Si tratta della distribuzione geometrica con
parametro p. Prova che
a. G(t) = tp / [1 - t(1 - p)] for t < 1 / (1 - p).
b. E(N) = 1 / p.
c. var(N) = (1 - p) / p2.
d. P(N è pari) = (1 - p) / (2 - p).
12. Supponi che N abbia funzione di densità P(N = n) = e-a an / n! per n = 0, 1, 2, ...,
dove a > 0 è un parametrro. Si tratta della distribuzione di Poisson con parametro a.
Mostra che
a. G(t) = exp[a(t - 1)] for any t.
b. E(N) = a
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Funzioni generatrici
c. var(N) = a
d. P(N è pari) = [1 + exp(-2a)] / 2.
La funzione generatrice dei momenti
Sia X una variabile casuale a valori in un sottinsieme di R. La funzione generatrice dei
momenti di X è la funzione M definita da
M(t) = E[exp(tX)] for t
R.
Nota che, poiché exp(tX) è una variabile casuale non negativa, M(t) esiste, come numero
reale o infinito positivo, per ogni t.
La funzione generatrice dei momenti possiede molte delle proprietà della funzione
generatrice di probabilità, ma è definita per un insieme più ampio di variabili casuali. Le
proprietà fondamentali, che assumiamo senza dimostrarle, sono le seguenti: se M(t) è
finita per t in un intervallo aperto J attorno a 0, allora
1. M individua completamente la distribuzione di X.
2. M ha derivate di ogni ordine in J e M(n)(t) = E[Xn exp(tX)] per t appartenente a J.
Negli esercizi seguenti, assumi che le funzioni generatrici dei momenti siano finite in un
intorno di 0.
13. Prova che M(n)(0) = E(Xn) per ogni intero non negativo n.
Pertanto le derivate della funzione generatrice dei momenti in 0 determinano i momenti
della variabile (di qui il nome).
14. Supponi che X sia una variabile casuale con funzione generatrice dei momenti M e
che a e b siano costanti. Dimostra che la funzione generatrice dei momenti di aX + b è
R(t) = exp(bt) M(at).
15. Supponi che X1 e X2 siano variabili casuali indipendenti, con funzioni generatrici
dei momenti M1 e M2. Prova che la funzione generatrice dei momenti di X1 + X2 è
M(t) = M1(t) M2(t).
16. Supponi che N sia una variabile casuale a valori in {0, 1, 2, ...}, con funzione
generatrice di probabilità G. Prova che la funzione generatrice dei momenti di N is
M(t) = G(et).
17. Supponi che X abbia distribuzione uniforme su (a, b). Mostra che
1. M(t) = [exp(tb) - exp(ta)] / [t(b - a)] se t
0; M(0) = 1.
2. E(Xn) = (bn + 1 - an + 1) / [(n + 1)(b - a)]
18. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = r exp(-rx) per x > 0, dove r > 0 è un
parametro (ciò individua la distribuzione esponenziale con parametro di velocità r). Prova
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Funzioni generatrici
che
a. M(t) = r / (r - t) per t < r.
b. E(Xn) = n! / rn.
19. Supponi che Z abbia funzione di densità f(z) = exp(-z2 / 2) / (2 pi)1/2 per z
appartenente a R. Si tratta quindi di una distribuzione normale standardizzata. Prova che
1. M(t) = exp(t2 / 2) per t appartenente a R.
2. E(Z2n) = (2n)! / [n!2n] per n = 0, 1, ...
3. E(Z2n + 1) = 0 per n = 0, 1, ...
L'esercizio seguente riporta esempi di distribuzioni per le quali la funzione generatrice dei
momenti è infinita.
20. Supponi che X abbia densità f(x) = a / xa + 1 per x > 1, dove a > 0 è un parametro.
Si tratta della distribuzione di Pareto con parametro di forma a.
a. Mostra che M(t) =
per ogni t > 0 e a > 0.
b. Prova che E(Xn) <
se e solo se a > n.
Controesempi
Nell'ultimo esercizio abbiamo considerato una distribuzione per la quale solo alcuni dei
momenti sono finiti; ovviamente, la funzione generatrice dei momenti era infinita. In
questa sezione, riportiamo un esempio di una distribuzione per la quale tutti i momenti
sono finiti, ma la funzione generatrice dei momenti è comunque infinita. Inoltre, vedremo
due distribuzioni distinti che hanno i momenti di tutti gli ordini uguali.
Supponi che Z abbia distribuzione normale standardizzata, e sia X = exp(Z). La
distribuzione di X è detta lognormale.
21. Usa la formula del cambiamento di variabile per dimostrare che X ha funzione di
densità
f(x) = exp[-ln2(x) / 2] / [(2
)1/2 x] per x > 0.
22. Usa la funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale standardizzata
per mostrare che X ha momenti di ogni ordine finiti
E(Xn) = exp(n2 / 2) per n = 1, 2, ...
23. Dimostra che la funzione generatrice dei momenti di X è infinita per ogni numero
positivo:
E[exp(tX)] =
per t > 0.
24. Sia g(x) = f(x) {1 + sin[2
di probabilità.
ln(x)]} per x > 0. Prova che g è una funzione di densità
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Funzioni generatrici
25. Poni che Y abbia funzione di densità g nell'esercizio precedente. Prova che Y ha
gli stessi momenti di X:
E(Yn) = exp(n2 / 2) for n = 1, 2, ...
I grafici di f e g sono riportati qui sotto, rispettivamente in blu e rosso.
I limiti di Chernoff
26. Supponi che X sia una variabile casuale con funzione generatrice dei momenti M.
Prova i limiti di Chernoff:
1. P(X
x)
exp(-tx) M(t) per ogni t > 0
2. P(X
x)
exp(-tx) M(t) per ogni t < 0
Suggerimento: Mostra che P(X x) = P[exp(tX) exp(tx)] se t > 0 e P(X
P[exp(tX) exp(tx)] se t < 0. Poi usa la disuguaglianza di Markov.
x) =
Ovviamente, il miglior limite di Chernoff (in (a) o (b)) si ottiene trovando il t che
minimizza exp(-tx) M(t).
27. Supponi che N abbia distribuzione di Poisson con parametro a > 0. Usa i limiti di
Chernoff per provare che, se n > a, allora
P(N
n)
exp(n - a) (a / n)n.
La funzione generatrice dei momenti congiunta
Supponiamo ora che (X1, X2) sia un vettore casuale relativo a un esperimento, a valori in
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Funzioni generatrici
un sottinsieme di R2. La funzione generatrice dei momenti (congiunta) di (X1, X2) è
definita come
M(s, t) = E[exp(sX1 + tX2)] per s, t
R.
Di nuovo, una cosa importante da notare è che se la funzione generatrice dei momenti è
finita in un rettangolo aperto contenente (0, 0), allora tale funzione individua
completamente la distribuzione di (X1, X2).
Siano M1, M2 e M+ la funzione generatrice dei momenti rispettivamente di X1, X2, and
X1 + X2.
28. Prova che M(s, 0) = M1(s)
29. Prova che M(0, t) = M2( t)
30. Prova che M(t, t) = M+(t)
31. Prova che X1 e X2 sono indipendenti se e solo se
M(s, t) = M1(s) M2( t) per (s, t) in un rettangolo attorno a (0, 0).
Ovviamente tali risultati hanno omologhi nel caso multivariato generale. Solo la
notazione si fa più complessa.
32. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo {(x, y): 0 < x < y <
1}.
1.
2.
3.
4.
Trova la funzione generatrice dei momenti congiunta.
Trova la funzione generatrice dei momenti di X.
Trova la funzione generatrice dei momenti di Y.
Trova la funzione generatrice dei momenti di X + Y.
33. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1.
1.
2.
3.
4.
Trova la funzione generatrice dei momenti congiunta.
Trova la funzione generatrice dei momenti di X.
Trova la funzione generatrice dei momenti di Y.
Trova la funzione generatrice dei momenti di X + Y.
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Valore atteso condizionato
Laboratorio virtuale > Valore atteso > 1 2 3 4 [5] 6 7
5. Valore atteso condizionato
Al solito, iniziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo sapazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale a
valori in un insieme S e che Y sia una variabile casuale a valori in un sottinsieme T di R.
In questo paragrafo studieremo il valore atteso condizionato di Y dato X, un concetto di
importanza fondamentale sia in probabilità che in statistica. Coma avremo modo di
vedere, il valore atteso di Y dato X è la funzione di X che meglio approssima Y in media
quadratica. Notiamo che, in generale, X sarà un vettore.
Un'assunzione tecnica che facciamo è che tutte le variabili casuali che si presentano nel
valore atteso abbiano momento secondo finito.
La definizione elementare
Notiamo che possiamo pensare (X, Y) come variabile casuale a valori nel sottinsieme S ×
T. Supponiamo in primo luogo che (X, Y) abbia distribuzione continua con funzione di
densità f. Ricordiamo che la densità marginale g di X è data da
g(x) =
T
f(x, y)dy per x
S.
e che la densità condizionata di Y dato X = x è data da
h(y | x) = f(x, y) / g(x), per x
S, y
T.
Infine, il valore atteso condizionato di Y dato X = x è semplicemente la media calcolata
relativamente alla distribuzione condizionata:
E(Y | X = x) =
T
y h(y | x)dy.
Ovviamente, la media condizionata di Y dipende dal dato valore x di X. Per ora, sia u la
funzione da S in R definita da
u(x) = E(Y | X = x) per x
S.
La funzione u è detta a volte funzione di regressione. La variabile casuale u(X) è detta
valore atteso condizionato di Y dato X ed è indicata con E(Y | X).
La definizione generale
La variabile casuale E(Y | X) soddisfa una porprietà fondamentale che la caratterizza tra
tutte le funzioni di X.
1. Supponi che r sia una funzione da S in R. Usa il teorema del cambiamento di
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Valore atteso condizionato
variabie per il valore atteso per mostrare che
E[r(X)E(Y | X)] = E[r(X)Y].
Il risultato dell'esercizio 1 varrebbe anche nel caso in cui (X, Y) avesse distribuzione
congiunta discreta; la formula sarebbe la stessa, ma con le sommatorie al posto degli
integrali.
In realtà il risultato dell'esercizio 1 può essere utilizzato come definizione del valore
atteso condizionato, indipendentemente dalla distribuzione congiunta di (X, Y). Quindi, in
generale, si definisce E(Y | X) come la variabile casuale che soddisfa la condizione
dell'esercizio 1 ed è della forma E(Y | X) = u(X) per qualche funzione u da S in R.
Definiamo quindi E(Y | X = x) come u(x).
Proprietà
La prima conseguenza dell'esercizio 1 è una forma molto compatta ed elegante per la
legge delle probabilità totali:
2. Prendendo r come la funzione costante a 1 nell'esercizio, prova che
E[E(Y | X)] = E(Y).
3. Prova che, alla luce dell'esercizio 2, la condizione dell'esercizio 1 può essere
riespressa come segue: per ogni funzione r da S in R, Y - E(Y | X) e r(X) sono incorrelati.
Il prossimo esercizio prova che la condizione dell'esercizio 1 caratterizza E(Y | X).
4. Supponi che u(X) e v(X) soddisfino la condizione dell'esercizio 1 e quindi anche i
risultati degli esercizi 2 e 3. Mostra che
1. var[u(X) - v(X)] = 0.
2. u(X) = v(X) (con probabilità 1).
5. Supponi che s sia una funzione da S in R. Usa la caratterizzazione dell'esercizio 1
per mostrare che
E[s(X)Y | X] = s(X)E(Y | X).
La regola seguente generalizza il risultato dell'esercizio 5 ed è detta a volte regola di
sostituzione per il valore atteso condizionato.
6. Supponi che s sia una funzione da S × T in R. Prova che
E[s(X, Y) | X = x] = E[s(x, Y) | X = x].
7. Supponi che X e Y siano indipendenti. Usa la caratterizzazione dell'esercizio 1 per
mostrare che
E(Y | X) = E(Y).
Usa la definizione generale per ricavare le proprietà degli esercizi seguenti, dove Y e Z
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Valore atteso condizionato
sono variabili casuali a valori reali. Nota che si tratta di proprietà omologhe a quelle del
valore atteso ordinario
8. Prova che E(Y + Z | X) = E(Y | X) + E(Z | X).
9. Prova che E(cY | X) = cE(Y | X).
10. Prova che se Y
0 allora E(Y | X)
0.
11. Prova che se Y
Z allora E(Y | X)
E(Z | X).
12. Prova che |E(Y | X)|
E(|Y| | X).
Esercizi
13. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato R = {(x, y): -6 < x
< 6, -6 < y < 6}. Trova E(Y | X).
14. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona quadrato dal menu a tendina.
Simula 2000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Nota la relazione tra la nube di punti e il
grafico della funzione di regressione.
15. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo R = {(x, y): -6 < y
< x < 6}. Trova E(Y | X).
16. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona triangolo dal menu a tendina.
Simula 2000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Nota la relazione tra la nube di punti e il
grafico della funzione di regressione.
17. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = x + y per 0 <
x < 1, 0 < y < 1. Trova
1. E(Y | X)
2. E(X | Y)
18. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 2(x + y) per 0
< x < y < 1. Trova
1. E(Y | X)
2. E(X | Y)
19. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 6x2y per 0 <
x < 1, 0 < y < 1. Trova
1. E(Y | X)
2. E(X | Y)
20. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 15x2y per 0 <
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Valore atteso condizionato
x < y < 1. Trova
1. E(Y | X)
2. E(X | Y)
21. Si lanciano due dadi equilibrati e si registrano i punteggi (X1, X2). Sia Y = X1+ X2
la somma dei punteggi U = min{X1, X2} il punteggio minimo. Trova:
1. E(Y | X1)
2. E(U | X1)
3. E(Y | U)
4. E(X2| X1)
22. Supponi che X, Y e Z siano variabili casuali con E(Y | X) = X3, E(Z | X) = 1 / (1 +
X2). Trova
E[exp(X) Y - sin(X) Z | X].
Probabilità condizionata
La probabilità condizionata di un evento A, dato un vettore casuale X, è un caso
particolare del valore atteso condizionato. Definiamo
P(A | X) = E(IA | X) dove IA è la variabile indicatore di A.
Le proprietà presentate in precedenza relativamente al valore atteso condizionato hanno,
ovviamente, omolghe specifiche per la probabilità condizionata. In particolare, l'esercizio
seguente riporta una versione particolare della legge delle probabilità totali:
23. Prova che P(A) = E[P(A | X)].
24. Una scatola contiene 10 monete, indicate con numeri da 0 a 9. La probabilità di
testa per la moneta i è i / 9. Si estrae casualmente una moneta dalla scatola e la si lancia.
Trova la probabilità che esca testa. Questo problema è un esempio della regola della
successione di Laplace,
Il miglior predittore
I prossimi due esercizi mostrano che, tra tutte le funzioni di X, E(Y | X) è il miglior
predittore di Y, nel senso che minimizza l'errore quadratico medio. Tale risultato è di
importanza fondamentale nei problemi statistici in cui il vettore predittore X può essere
osservato, mentre la variabile di risposta Y no.
25. Sia u(X) = E(Y | X) e sia v(X) ogni altra funzione di X. Aggiungendo e sottraendo
u(X), espandendo e utilizzando il risultato dell'esercizio 3, mostra che
E[(Y - v(X))2] = E[(Y - u(X))2] + E[(u(X) - v(X))2].
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Valore atteso condizionato
26. Usa il risultato dell'ultimo esercizio per mostrare che, se v è funzione da S in R,
allora
E{[E(Y | X) - Y]2}
E{[v(X) - Y)2]
e l'uguaglianza vale se e solo se v(X) = E(Y | X) (con probabilità 1).
Supponi che X sia a valori reali. Nel paragrafo su covarianza e correlazione, abbiamo
visto che il miglior predittore lineare di Y da X è
Y* = aX + b dove a = cov(X, Y) / var(X) e b = E(Y) - a E(X).
D'altro canto, E(Y | X) è il miglior predittore di Y tra tutte le funzioni di X. Segue che, se
E(Y | X) è funzione lineare di X, allora E(Y | X) deve coincidere con Y*.
27. Utilizzando le proprietà del valore atteso condizionato, dimostra direttamente che,
se E(Y | X) = aX + b, Allora a e b sono quelle date nella definizione di Y*.
28. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1.
1. Trova Y*, miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova E(Y | X)
3. Disegna il grafico di Y*(x) e E(Y | X = x), in funzione di x, sullo stesso asse.
29. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) per 0 < x < y < 1.
1. Trova Y*, miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova E(Y | X)
3. Disegna il grafico di Y*(x) e E(Y | X = x), in funzione di x, sullo stesso asse.
30. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 6x2y per 0 < x < 1, 0 < y <
1.
1. Trova Y*, miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova E(Y | X)
3. Disegna il grafico di Y*(x) e E(Y | X = x), in funzione di x, sullo stesso asse.
31. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15x2y per 0 < x < y < 1.
1. Trova Y*, miglior predittore lineare di Y da X.
2. Trova E(Y | X)
3. Disegna il grafico di Y*(x) e E(Y | X = x), in funzione di x, sullo stesso asse.
L'errore quadratico medio del predittore E(Y | X) sarà studiato più avanti.
Varianza condizionata
La varianza condizionata di Y data X è naturalmente definita come segue:
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Valore atteso condizionato
var(Y | X) = E{[Y - E(Y | X)]2 | X}.
32. Mostra che var(Y | X) = E(Y2 | X) - [E(Y | X)]2.
33. Mostra che var(Y) = E[var(Y | X)] + var[E(Y | X)].
Torniamo allo studio dei predittori della variabile casuale a valori reali Y, e confronta i tre
predittori che abbiamo analizzato in termini di errore quadratico medio. In primo luogo, il
miglior predittore costante di Y è
µ = E(Y),
con errore quadratico medio var(Y) = E[(Y - µ)2].
Poi, se X è un'altra variabile casuale a valori reali, allora, come abbiamo mostrato nel
paragrafo su covarianza e correlazione, il miglior predittore lineare di Y da X è
Y* = E(Y) + [cov(X, Y) / var(X)][X - E(X)],
con errore quadratico medio E[(Y - Y*)] = var(Y)[1 - cor2(X, Y)].
Infine, se X è una generica variabile casuale, allora, come abbiamo mostrato in questo
paragrafo, il miglior predittore globale di Y da X è
E(Y | X)
con errore quadratico medio E[var(Y | X)] = var(Y) - var[E(Y | X)].
34. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1. Continua l'esercizio 28 trovando
1. var(Y)
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)]
3. var(Y) - var[E(Y | X)]
35. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) per 0 < x < y < 1.
Continua l'esercizio 29 trovando
1. var(Y)
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)]
3. var(Y) - var[E(Y | X)]
36. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 6x2y per 0 < x < 1, 0 < y <
1. Continua l'esercizio 30 trovando
1. var(Y)
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)]
3. var(Y) - var[E(Y | X)]
37. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15x2y per 0 < x < 1, 0 < y <
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Valore atteso condizionato
1. Continua l'esercizio 31 trovando
1. var(Y)
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)]
3. var(Y) - var[E(Y | X)]
38. Supponi che X sia distribuita uniformemente su (0, 1), e che, dato X, Y sia
distribuita uniformemente su (0, X). Trova
1. E(Y | X)
2. var(Y | X)
3. var(Y)
Somme casuali di variabili
Supponiamo che X1, X2, ... siano variabili casuali a valori reali indipendenti e
identicamente distribuite. Indichiamo le comuni media, varianza e funzione generatrice
dei momenti come segue:
a = E(Xi), b2 = var(Xi), M(t) = E[exp(tXi)].
Supponiamo inoltre che N sia una variabile casuale a valori in {0, 1, 2, ...}, indipendente
da X1, X2, ... Indichiamo media, varianza e funzione generatrice dei momenti di N come
segue:
c = E(N), d2 = var(N), G(t) = E(tN).
Definiamo ora
Y = X1 + X2 + ··· + XN (dove Y = 0 se N = 0)
Notiamo che Y è una somma casuale di variabili; i termini della somma e il numero di
termini sono casuali. Questo tipo di variabile casuale si presenta in diversi contesti. Per
esempio, N può rappresentare il numero di consumatori che entrano in un negozio in un
certo periodo di tempo, e Xi il danaro speso dal consumatore i.
39. Prova che E(Y | N) = Na.
40. Prova che E(Y) = ca.
41. Prova che var(Y | N) = Nb2.
42. Prova che var(Y) = cb2 + a2d2.
43. Prova che E[exp(tY)] = G[M(t)].
44. Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado equilibrato e poi una moneta
bilanciata il numero di volte indicato dal dado. Sia N il punteggio del dado e X il numero
di teste.
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Valore atteso condizionato
1.
2.
3.
4.
5.
Trova la distribuzione condizionata di X dato N.
Trova E(X | N).
Trova var(X | N).
Trova E(X).
Trova var(X).
45. Replica l'esperimento dado-moneta 1000 volte, aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza di media e deviazione standard empiriche alle loro controparti teoriche.
46. Il numero di consumatori che entrano in un negozio in un'ora è una variabile
casuale con media 20 e deviazione standard 3. Ciascun cliente, indipendentemente dagli
altri, spende un'ammontare aleatorio di danaro con media 50$ e deviazione standard 5$.
Trova media e devizione standard della quantità di danaro spesa nell'ora.
Misture
Supponiamo che X1, X2, ... siano variabili casuali a valori reali, e che N sia una variabile
casuale a valori in {1, 2, ..., }, indipendente da X1, X2, ... Indichiamo medie, varianze e
funzioni generatrici dei momenti come segue:
µi = E(Xi), di2 = var(Xi), Mi(t) = E[exp(tXi)] per ogni i.
Indica la funzione di densità di N come
pi = P(N = i) for i = 1, 2, ...
Definiamo ora una nuova variabile casuale X attraverso la condizione
X = Xi se e solo se N = i.
Ricordiamo che la distribuzione di X è una mistura delle distribuzioni di X1, X2, ...
47. Prova che E(X | N) = µN.
48. Prova che E(X) =
i = 1, 2, ... pi µi.
49. Prova che var(X) =
50. Prova che E[exp(tY)] =
i = 1, 2, ... pi
(di2 + µi2) - (
i = 1, 2, ... pi
2
i = 1, 2, ... pi µi) .
Mi(t).
51. Nell'esperimento moneta-dado, si lancia una moneta sbilanciata con probabilità di
testa 1/3. Se esce croce, si lancia un dado equilibrato; se esce testa si lancia un dado piatto
uno-sei (le facce 1 e 6 hanno probabilità 1/4 mentre le altre hanno probabilità 1/8). Trova
media e deviazione standard del punteggio del dado.
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Valore atteso condizionato
52. Replica l'esperimento moneta-dado 1000 volte, aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza di media e deviazione standard empiriche ai loro valori teorici.
Proiezioni
Ricordiamo che l'insieme di variabili casuali a valori reali su un dato spazio di probabilità
(ovvero, per un dato esperimento casuale), con momento secondo finito, forma uno spazio
vettoriale, con prodotto interno dato da
<U, V> = E(UV).
In questo contesto, supponiamo che Y sia una variabile casuale a valori reali e X una
variabile casuale generica. Allora E(Y | X) è semplicemente la proiezione di Y sul
sottospazio delle variabili casuali a valori reali che possono essere espresse in funzione di
X.
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Valore atteso e matrici di covarianza
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6. Valore atteso e matrici di covarianza
L'obiettivo principale di questo paragrafo è la trattazione dei valori attesi con argomento
vettoriale e le matrici di varianza e covarianza. Tali argomenti sono particolarmente
importanti per i modelli statistici multivariati e per la distribuzione normale multivariata.
La lettura di qeusto paragrafo presuppone la conoscenza dei fondamenti dell'algebra
lineare, a livello di un corso universitario.
Indicheremo con Rm×n lo spazio di tutte le m × n matrici di numeri reali. In particolare,
identificheremo Rn con Rn×1, per cui una nupla ordinata può essere pensata come vettore
colonna n × 1. La trasposta di una matrice A è indicata come AT.
Valore atteso di una matrice casuale
Supponi che X sia una matrice m × n di variabili casuali a valori reali, il cui elemento i, j
è indicato con Xij. Equivalentemente, X può essere visto come matrice casuale m × n.
Viene naturale definire il valore atteso E(X) come la matrice m × n il cui elemento i, j è
E(Xij), ovvero il valore atteso di Xij.
Molte delle proprietà più importanti del valore atteso di variabili casuali hanno proprietà
omologhe nel caso dei vettori casuali, con le operazioni matriciali al posto di quelle
algebriche.
1. Prova che E(X + Y) = E(X) + E(Y) se X e Y sono matrici casuali m × n.
2. Prova che E(AX) = AE(X) se A è una matrice m × n non casuale e X è una matrice
casuale n × k.
3. Prova che E(XY) = E(X)E(Y) se X è una matrice casuale m × n, Y è una matrice
casuale n × k e X e Y sono indipendenti.
Matrici di covarianza
Supponiamo ora che X sia un vettore casuale appartenente a Rm e Y sia un vettore casuale
appartenente a Rn. La matrice di covarianza di X e Y è la matrice m × n cov(X, Y) il cui
elemento i, j è cov(Xi, Yj), cioè la covarianza di Xi e Yj.
4. Mostra che cov(X, Y) = E{[X - E(X)][Y - E(Y)]T}
5. Mostra che cov(X, Y) = E(XYT) - E(X)E(Y)T.
6. Mostra che cov(Y, X) = cov(X, Y)T.
7. Mostra che cov(X, Y) = 0 se ciascun elemento di X è incorrelato con ciascun
elemento di Y (in particolare, se X e Y sono indipendenti).
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Valore atteso e matrici di covarianza
8. Mostra che cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z) se X e Y sono vettori casuali
appartenente a Rm e Z è un vettore casuale appartenente a Rn.
9. Mostra che cov(X, Y + Z) = cov(X, Y) + cov(X, Z) se X è un vettore casuale
appartenente a Rm e Y, Z sono vettori casuali appartenenti a Rn.
10. Prova che cov(AX, Y) = A cov(X, Y) se X è un vettore casuale appartenente a Rm,
Y è un vettore casuale appartenente a Rn e A è una matrice k × m non casuale.
11. Prova che cov(X, AY) = cov(X, Y)AT se X è un vettore casuale appartenente a Rm,
Y è un vettore casuale appartenente a Rn e A è una matrice k × n non casuale.
Matrici di varianza e covarianza
Supponiamo ora che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un vettore casuale appartenente a Rn. La
matrice di covarianza di X con se stessa è detta matrice di varianza e covarianza di X:
VC(X) = cov(X, X).
12. Mostra che VC(X) è una matrice n × n simmetrica con var(X1), ..., var(Xn) sulla
diagonale.
13. Dimostra che VC(X + Y) = VC(X) + cov(X, Y) + cov(Y, X) + VC(X) se X and Y
sono vettori casuali appartenenti a Rn.
14. Mostra che VC(AX) = A VC(X) AT se X è un vettore casuale appartenente a Rn e
A è una matrice m × n non casuale.
Se a appartiene a Rn, notiamo che aTX è combinazione lineare delle coordinate di X:
aTX = a1X1 + a2X2 + ··· + anXn.
15. Prova che var(aTX) = aT VC(X) a se X è un vettore casuale appartenente a Rn e a
appartiene a Rn. Concludiamo quindi che VC(X) è positiva definita o semi positiva
definita.
In particolare, gli autovalori e il determinante di VC(X) sono nonnegativi.
16. Prova che VC(X) è semidefinita positiva (ma non positiva definita) se e solo se
esistono a1, a2, ..., an, c in R tali che
a1X1 + a2X2 + ··· + anXn = c (con probabilità 1).
Pertanto, se VC(X) è semidefinita positiva, allora una delle coordinate di X può essere
scritta come trasformazione affine delle altre coordinate (e quindi può di solito essere
eliminata nel modello sottostante). Al contrario, se VC(X) è definita positiva, allora ciò
non può verificarsi; VC(X) ha autovalori positivi e determinante ed è invertibile.
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Valore atteso e matrici di covarianza
Esercizi numerici
17. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y for 0 < x < 1, 0 < y <
1. Trova
1. E(X, Y)
2. VC(X, Y).
18. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) per 0 < x < y < 1.
Trova
1. E(X, Y)
2. VC(X, Y).
19. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 6x2y per 0 < x < 1, 0 < y <
1. Trova
1. E(X, Y)
2. VC(X, Y).
20. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15x2y per 0 < x < y < 1.
Trova
1. E(X, Y)
2. VC(X, Y).
21. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuita uniformemente sulla regione {(x, y, z): 0 < x
< y < z < 1}. Trova
1. E(X, Y, Z)
2. VC(X, Y, Z)
22. Supponi che X sia distribuita uniformemente su (0, 1), e che, dato X, Y sia
distribuita uniformemente su (0, X). Trova
1. E(X, Y)
2. VC(X, Y)
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Note conclusive
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7. Note conclusive
Libri
Questo capitolo copre argomenti fondamentali che sono trattati, a vari livelli di
approfondimento, in ogni libro di probabilità.
● An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume 1 (terza
edizione) di William Feller è considerato uno dei migliori testi sulla probabilità mai
scritti.
● Un testo eccellente per la probabilità elementare ricco di esempi ed esercizi è A
First Course in Probability (quinta edizione) di Sheldon Ross
●
Una trattazione sintetica della probabilità elementare si ha in The Essentials of
Probability di Richard Durrett
●
Per una trattazione più completa dal punto di vista della misura della probabilità,
puoi vedere Probability and Measure, di Patrick Billingsley.
●
Una trattazione della storia della probabilità è in Games, Gods and Gambling, di
Florence David
Siti esterni
●
Il sito più importante per informazioni storiche sulla probabilità è History of
Mathematics.
Risposte agli esercizi del paragrafo 1
1.4. Sia X il punteggio. E(X) = 7/2.
1.6. Sia X il punteggio. E(X) = 7/2.
1.7. E(X) = 3/5.
1.21. Sia Y = X2.
1. g(y) = (1/4)y -1/2 per 0 < y < 1, g(y) = (1/8)y -1/2 per 1 < y < 9.
2. E(Y) = 7/3.
3. E(Y) = 7/3.
1.22. Sia Y = X2.
1. E(X) = 18 / 5
2.
y
1 4 9 16 25
P(Y = y) 1/30 2/15 3/20 4/15 5/12
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Note conclusive
3. E(Y) = 83 / 5
4. E(Y) = 83 / 5
1.23.
1. E(1/X) = 2
2. E(X1/2) = 48 / 63
1.24.
1. E(X) = 5 / 12
2. E(Y) = 3 / 4
3. E(X2Y) = 7 / 36
4. E(X2 + Y2) = 5 / 6.
1.32.
1. E(Y) = 7
2. E(Z) = 49 / 4
3. E(U) = 101 / 36
4. E(V) = 19 / 4
1.33. E(3X + 4Y - 7) = 0
1.34. E[(3X - 4)(2Y + 7)] = 33
1.35. Sia N il numero di anatre uccise.
E(N) = 10[1 - (9/10)5] = 4.095
1.36. E(Xn) = (bn + 1 - an + 1) / [(n + 1)(b - a)]
1.37. E(Xn) = 12[1 / (n + 3) - 1 / (n + 4)]
1.44.
1. E(X) = 1 / r
3. exp(-rt) < 1 / rt per t > 0
1.45.
1. E(Y) = 1 / p
3. (1 - p)n - 1 < 1 / np per n = 1, 2, ...
1.50.
1. E(X) = a / (a - 1)
2. E(1/X) = a / (a + 1)
4. a / (a + 1) > (a - 1) / a
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Note conclusive
1.53.
1. E(X2 + Y2) = 5 / 6
2. [E(X)]2 + [E(Y)]2 = 53 / 72
1.54. E(X | X > t) = t + 1 / r.
1.56. E(Y | Y è pari) = 2(1 - p)2 / [p(2 - p)3]
1.57. E(XY | Y > X) = 1/3.
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.9. Sia X il punteggio del dado.
1. E(X) = 7/2
2. var(X) = 35/12
3. sd(X) ~ 1.708
2.11. Sia X il punteggio del dado.
1. E(X) = 7/2
2. var(X) = 15/4
3. sd(X) ~ 1.936
2.22.
1. var(3X - 2) = 36
2. E(X2) = 29
2.24. z = 8.53.
2.27. E(Y) = 4/3, sd(Y) = 2/3, k = 2
1. P[|Y - E(Y)|
k sd(Y)] = 1/16.
2. 1 / k2 = 1/4
2.28. E(X) = 1 / r, sd(Y) = 1 / r.
1. P[|X - E(X)|
k sd(Y)] = exp[-(k + 1)]
2. 1 / k2.
2.32.
1. E(X) = 1/2, var(X) = 1/20, skew(X) = 0, kurt(X) = 15/7
2. E(X) = 3/5, var(X) = 1/25, skew(X) = -2/7, kurt(X) = 33/14
3. E(X) = 2/5, var(X) = 1/25, skew(X) = 02/7, kurt(X) = 33/14
2.38.
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Note conclusive
1. ||X||k = 1 / (k + 1)1/k.
3. 1
2.39.
1. ||X||k = [a / (a - k)]1/k se k < a, ||X||k =
se k
a.
3.
2.40.
1. ||X + Y||k = [(2k+3 - 2) / (k + 3)(k + 2)]1/k.
2. ||X||k + ||Y||k = 2[1 / (k + 2) + 1 / 2(k + 1)]1/k.
2.48.
1. Per p < 1/2, il minimo di E[|I - t|] è p e si ha per t = 0.
2. Per p = 1/2, il minimo di E[|I - t|] è 1/2 e si ha per t in [0, 1].
3. Per p > 1/2, il minimo di E[|I - t|] è 1 - p e si ha a t = 1.
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.14.
1. cov(X1, X2) = 0, cor(X1, X2) = 0
2. cov(X1, Y) = 35 / 12, cor(X1, Y) = 2-1/2 ~ 0.7071.
3. cov(X1, U) = 35 / 24, cor(X1, U) ~ 0.6082
4. cov(U, V) = 1369 / 1296, cor(U, V) = 1369 / 2555 ~ 0.5358
5. cov(U, Y) = 35 / 12, cor(U, Y) = 0.8601
3.15. cov(2X - 5, 4Y + 2) = 24.
3.16.
1. cov(X, Y) = -1 / 144.
2. cor(X, Y) = -1 / 11 ~ 0.0909
3.17.
1. cov(X, Y) = 1 / 48.
2. cor(X, Y) ~ 0.4402
3.18.
1. cov(X, Y) = 0.
2. cor(X, Y) = 0.
3.19.
1. cov(X, Y) = 5 / 336
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/expect/expect7.html (4 di 9) [22/11/2001 17.46.24]
Note conclusive
2. cor(X, Y) ~ 0.0.5423
3.24. var(2X + 3Y - 7) = 83
3.25. var(3X - 4Y + 5) = 182
3.27. Sia Y la somma dei punteggi dei dadi.
1. E(Y) = 7n / 2.
2. var(Y) = 35n / 12.
3.32.
1. cov(A, B) = 1 / 24.
2. cor(A, B) ~ 0.1768.
3.33.
1. Y* = (7 - X) / 11
2. X* = (7 - Y) / 11
3. cor2(X, Y) = 1 / 121 = 0.0083
3.40.
1. Y* = (26 + 15X) / 43
2. X* = 5Y / 9
3. cor2(X, Y) = 25 / 129 ~ 0.1938
3.41.
1. Y* = 2 / 3
2. X* = 3 / 4
3. cor2(X, Y) = 0
3.42.
1. Y* = (30 + 20X) / 51
2. X* = 3Y / 4
3. cor2(X, Y) = 5 / 17 ~ 0.2941
3.43.
1. Y* = 7 / 2 + X1.
2. U* = 7 / 9 + X1 / 2.
3. V* = 49 / 19 + X1 / 2.
3.53. <X, Y> = 1/3
1. ||X||2 ||Y||2 = 5 / 12.
2. ||X||3 ||Y||3/2 ~ 0.4248.
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Note conclusive
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.32.
1. M(s, t) = 2[exp(s + t) - 1] / [s(s + t)] - 2[exp(t) - 1] / (st) per s, t
2. MX(s) = 2[exp(s) / s2 - 1 / s2 - 1 / s] per s
3. MY(t) = 2[t exp(t) - exp(t) + 1] / t2 per t
0
0.
0.
4. MX + Y(t) = [exp(2t) - 1] / t2 - 2[exp(t) - 1] / t2 per t
0.
4.33.
1. M(s, t) = {exp(s + t)[-2st + s + t] + exp(t)[st - s - t] + exp(s)[st - s - t] + s + t} / (s2
t2) per s, t 0.
2. MX(s) = [3s exp(s) - 2 exp(s) - s + 2] / (2s2) per s
3. MY(t) = [3t exp(t) - 2 exp(t) - t + 2] / (2t2) per t
0.
0.
4. MX + Y(t) = 2[exp(2t) (-t + 1) + exp(t)(t - 2) + 1] / t3 per t
Risposte agli esercizi del paragrafo 5
5.13. E(Y | X) = 0.
5.15. E(Y | X) = (X + 6) / 2.
5.17.
1. E(Y | X) = (3X + 2) / (6X + 3)
2. E(X | Y) = (3Y + 2) / (6Y + 3)
5.18.
1. E(Y | X) = (5X2 + 5X + 2) / (9X + 3)
2. E(X | Y) = 5Y / 9
5.19.
1. E(Y | X) = 2 / 3.
2. E(X | Y) = 3 / 4.
5.20.
1. E(Y | X) = 2(X2 + X + 1) / 3(X + 1)
2. E(X | Y) = 3Y / 4.
5.21.
1. E(Y | X1) = 7 / 2 + X1.
2.
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0.
Note conclusive
x
12 3 45 6
E(U | X1 = x) 1 11/6 5/2 3 10/3 7/2
3.
u
1
2 3 4 5 6
E(Y | U = u) 52/11 56/9 54/7 46/5 32/3 12
4. E(X2 | X1) = 7/2
5.22. E[exp(X) Y - sin(X) Z | X] = X3 exp(X) - sin(X) / (1 + X2)
5.24. P(H) = 1/2
5.28.
1. Y* = (7 - X) / 11.
2. E(Y | X) = (3X + 2) / (6X + 3)
5.29.
1. Y* = (26 + 15X) / 43
2. E(Y | X) = (5X2 + 5X + 2) / (9X + 3)
5.30.
1. Y* = 2 / 3
2. E(Y | X) = 2 / 3.
5.31.
1. Y* = (30 + 20X) / 51
2. E(Y | X) = 2(X2 + X + 1) / 3(X + 1)
5.34.
1. var(Y) = 11 / 144 ~ 0.0764.
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)] = 5 / 66 ~ 0.0758.
3. var(Y) - var[E(Y | X)] = 1 / 12 - ln(3) / 144 ~ 0.0757
5.35.
1. var(Y) = 3 / 80 ~ 0.0375
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)] = 13 / 430 ~ 0.0302
3. var(Y) - var[E(Y | X)] = 1837 / 21870 - 512 ln(2) / 6561 ~ 0.0299
5.36.
1. var(Y) = 1 / 18
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)] = 1 / 18
3. var(Y) - var[E(Y | X)] = 1 / 18
5.37.
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Note conclusive
1. var(Y) = 5 / 252 ~ 0.0198
2. var(Y)[1 - cor2(X, Y)] = 5 / 357 ~ 0.0140
3. var(Y) - var[E(Y | X)] = 292 / 63 - 20 ln(2) / 3 ~ 0.0139
5.38.
1. E(Y | X) = X / 2.
2. var(Y | X) = X2 / 12.
3. var(Y) = 7 / 144.
5.44.
1. Dato N, X ha distribuzione binomiale con parametri N e p = 1/2.
2. E(X | N) = N / 2.
3. var(X | N) = N / 4.
4. E(X) = 7 / 4
5. var(X) = 7 / 3.
5.46. Sia Y la quantità di denaro spesa durante l'ora.
1. E(Y) = $1000
2. sd(Y) ~ $30.822
5.51. Sia X il punteggio del dado
1. E(X) = 7 / 2.
2. var(X) = 1.8634
Risposte agli esercizi del paragrafo 6
6.17.
1.
7 / 12
E(X, Y)
7 / 12
2.
11 / 144 -1 / 144
VC(X, Y)
-1 / 144 11 / 144
6.18.
1.
5 / 12
E(X, Y)
3/4
2.
43 / 720 1 / 48
VC(X, Y)
1 / 48 3 / 80
6.19.
1.
3/4
E(X, Y)
2/3
2.
3 / 80 0
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Note conclusive
VC(X, Y) = 0
1 / 18
6.20.
1.
5/8
E(X, Y)
5/6
2.
17 / 448 5 / 336
VC(X, Y)
5 / 336 5 / 252
6.21.
1.
1/4
E(X, Y, Z) 1 / 2
3/4
2.
3 / 80 1 / 40 1 / 80
VC(X, Y, Z) 1 / 40 1 / 20 1 / 40
1 / 80 1 / 40 3 / 80
6.22.
1.
1/2
E(X, Y)
1/4
2.
1 / 12 1 / 24
VC(X, Y)
1 / 24 7 / 144
Laboratorio virtuale > Valore atteso > 1 2 3 4 5 6 [7]
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Distribuzioni discrete
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > [1] 2 3 4 5 6 7 8 9
1. Distribuzioni discrete
Densità discrete
Supponiamo di avere un esperimento casuale con spazio campionario R e misura di
probabilità P. Una variabile casuale X relativa all'esperimento che assume valori in un
insieme numerabile S si dice avere distribuzione discreta. La funzione di densità di
probabilità (discreta) di X è la funzione f da S su R definita da
f(x) = P(X = x) per x appartenente a S.
1. Dimostra che f soddisfa le seguenti proprietà:
1. f(x)
0 per x in S.
2.
x in S
f(x) = 1
3.
x in A
f(x) = P(X
A) per A
S.
La proprietà (c) è particolarmente importante, poiché mostra che la distribuzione di
probabilità di una variabile casuale discreta è completamente individuata dalla sua
funzione di densità. Di converso, ogni funzione che soddisfa le proprietà (a) e (b) è una
funzione di densità (discreta), per cui la proprietà (c) può essere utilizzata per costruire
una distribuzione di probabilità su S. Tecnicamente, f è la densità di X relativa alla misura
di conteggio su S.
Normalmente, S è un sottinsieme nunmerabile di qualche insieme più grande, come Rn
per qualche n. Possiamo sempre estendere f, se vogliamo, all'insieme più grande
definendo f(x) = 0 per x non appartenente a S. A volte questa estensione semplifca le
formule e la notazione.
Un elemento x di S che massimizza la densità f è detto moda della distribuzione. Quando
la moda è unica, la si usa a volte come centro della distribuzione.
Interpretazione
Una distribuzione di probabilità discreta è equivalente a una distribuzione di massa
discreta, con massa totale 1. In questa analogia S è l'insieme (numerabile) dei punti di
massa, e f(x) è la massa del punto a x appartenente a S. La proprietà (c) dell'esercizio 1
significa semplicemente che la massa di un insieme A può essere trovata sommando le
masse dei punti di A.
Per un'interpretazione probabilistica, supponiamo di creare un nuovo esperimento
composto ripetendo all'infinito l'esperimento originale. Nell'esperimento composto,
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Distribuzioni discrete
abbiamo delle variabili casuali indipendenti X1, X2, ..., ciascuna distribuita come X (si
tratta di " copie indipendenti" di X). Per ciascun x appartenente a S, sia
fn(x) = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi = x} / n,
la frequenza relativa di x nelle prime n replicazioni (il numero di volte in cui x si è
verificato diviso per n). Nota che per ogni x, fn(x) è una variabile casuale dell'esperimento
composto. Per la legge dei grandi numeri, fn(x) deve convergere a f(x) al crescere di n. La
funzione fn è detta funzione di densità empirica; queste funzioni sono visualizzate in
molte delle applet di simulazione che trattano di variabili discrete.
Esempi
2. Supponi di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza di punteggi (X1,
X2). Trova la funzione di densità di
1. (X1, X2)
2. Y = X1 + X2, somma dei punteggi
3. U = min{X1, X2}, punteggio minimo
4. V = max{X1, X2}, punteggio massimo
5. (U, V)
3. Nell'esperimento dei dadi, poni n = 2 dadi equilibrati. Seleziona le seguenti variabili
casuali e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10. Per ciascuna delle variabili, osserva la convergenza
della funzione di densità empirica alla funzione di densità.
1. Somma dei punteggi.
2. Punteggio minimo.
3. Punteggio massimo.
4. Si estrae a caso un elemento X da un insieme finito S.
1. Dimostra che X ha funzione di densità di probabilità f(x) = 1 / #(S) per x
appartenente a S.
2. Prova che P(X
A) = #(A) / #(S) per A
S.
La distribuzione dell'esercizio precedente è detta distribuzione discreta uniforme su S.
Molte variabili che si presentano negli esperimenti di campionameto o combinatori sono
trasformazioni di variabili con distribuzione uniforme.
5. Supponi di estrarre a caso e senza reinserimento n elementi da un insieme D con N
elementi. Sia X la sequenza ordinata di elementi scelti. Spiega perché X è distribuita
uniformemente sull'insieme S delle permutazioni di dimensione n scelte da D:
P(X = x) = 1 / (N)n per ogni x appartenente a S.
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Distribuzioni discrete
6. Supponi di estrarre, senza reinserimento, n elementi da un insieme D con N
elementi. Sia W l'insieme non ordinato degli elementi selezionati. Mostra che W è
distribuito uniformemente sull'insieme T delle combinazioni di dimensioni n scelte da D:
P(W = w) = 1 / C(N, n) per w appartenente a T.
7. Un'urna contiene N palline; R sono rosse e N - R verdi. Si estrae un campione di n
palline (senza reinserimento). Sia Y il numero di palline rosse del campione. Prova che Y
ha funzione di densità di probabilità.
P(Y = k) = C(R, k) C(N - R, n - k) / C(N, n) per k = 0, 1, ..., n.
La distribuzione definita dalla funzione di densità dell'esercizio precedente è detta
distribuzione ipergeometrica con parametri N, R e n. La distribuzione ipergeometrica è
studiata in dettaglio nel capitolo sui modelli di campionamento finiti, che contiene
un'ampia varietà di distribuzioni basate sulla distribuzione uniforme discreta.
8. Un'urna contiene 30 palline rosse e 20 verdi. Si estrae a caso un campione di 5
palline. Sia Y il numero di palline rosse del campione.
1. Calcola esplicitamente la funzione di densità di Y.
2. Disegna il grafico della funzione di densità e identifica la moda (o le mode).
3. Trova P(Y > 3).
9. Nell'esperimento della pallina e dell'urna, seleziona il campionamento senza
reinserimento. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza
della funzione di densità empirica di Y alla funzione di densità teorica.
10. Una moneta con probabilità di testa p viene lanciata n volte. Per j = 1, ..., n, sia Ij =
1 se il lancio j-esimo è testa e Ij = 0 se il lancio j-esimo è croce. Mostra che (I1, I2, ..., In)
ha funzione di densità di probabilità
f(i1, i2, ..., in) = pk(1 - p)n - k per ij appartenente a {0, 1} per ogni j, dove k = i1 + i2 + ··· +
in.
11. Una moneta con probabilità di testa p viene lanciata n volte. Sia X il numero di
teste. Prova che X ha funzione di densità di probabilità
P(X = k) = C(n, k) pk (1 - p)n - k per k = 0, 1, ..., n.
La distribuzione definita dalla densità dell'esercizio precedente è detta distribuzione
binomiale con parametri n e p. La distribuzione binomiale è analizzata in dettaglio nel
capitolo sulle prove Bernoulliane.
12. Supponi di lanciare 5 volte una moneta con probabilità di testa p = 0.4. Sia X il
numero di teste.
1. Calcola esplicitamente la funzione di densità X.
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Distribuzioni discrete
2. Disegna il grafico della funzione di densità e trova la moda.
3. Trova P(X > 3).
13. Nell'esperimento della moneta, poni n = 5 e p = 0.4. Simula 1000 replicazione,
aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica di X
alla funzione di densità.
14. Sia ft(n) = exp(-t) tn / n! per n = 0, 1, 2, ..., dove t > 0 è un parametro.
1. Prova che ft è una funzione di densità di probabilità per ogni t > 0.
2. Prova che ft(n) > ft(n - 1) se e solo se n < t.
3. Prova che la moda è a floor(t) se t non è intero, e a t - e t se t è intero.
La distribuzione definita dalla densità dell'esercizio precedente è la distribuzione di
Poisson con parametro t, che prende il nome da Simeon Poisson. La distribuzione di
Poisson è analizzata in dettaglio nel capitolo sui processi di Poisson, e si utilizza per
modellare il numero di "punti casuali" in una regione di tempo o di spazio. Il parametro t
è proporzionale alla dimensione della regione di tempo o spazio.
15. Supponi che il numero di errori di battitura N di una pagina web abbia
distribuzione di Poisson con parametro 2.5.
1. Trova la moda.
2. Trova P(N > 4).
16. Nel processo di Poisson, seleziona come parametro 2.5. Simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella
teorica.
17. Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado equilibrato e poi si lancia una
moneta bilanciata il numero di volte indicato dal dado. Sia I la sequenza di esiti della
moneta (0 croce, 1 testa). Trova la densità di I (nota che I assume valori in un insieme di
sequenze di lunghezza variabile).
La costruzione delle densità
18. Supponi che g sia una funzione non negativa definita su un insieme numerabile S e
che
c=
x in S
g(x).
Mostra che se c è positivo e finito, allora f(x) = g(x) / c per x appartenente a S definisce
una funzione di densità discreta su S.
La costante c dell'esercizio precedente è detta a volte costante di normalizzazione. Questo
risultato è utile per costruire funzioni di densità con le proprietà funzionali desiderate
(dominio, forma, simmetria, e così via).
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Distribuzioni discrete
19. Sia g(x) = x2 per x appartenente a {-2, -1, 0, 1, 2}.
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Disegna il grafico della funzione di densità e identifica le mode.
3. Trova P(X {-1, 1, 2}) dove X è una variabile casuale con la densità riportata in
(a).
20. Sia g(n) = qn per n = 0, 1, 2, ... dove q è un parametro nell'intervallo (0,1).
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Trova P(X < 2) dove X è una variabile casuale con la densità riportata in (a).
3. Trova la probabilità che X sia pari.
La distribuzione costruita nell'esercizio precedente è una versione della distribuzione
geometrica, ed è studiata in dettaglio nel capitolo sulle prove Bernoulliane.
21. Sia g(x, y) = x + y per (x, y) {0, 1, 2}2.
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Trova la moda della distribuzione.
3. Trova P(X > Y) dove (X, Y) è un vettore aleatorio con la densità di (a).
22. Sia g(x, y) = xy per (x, y) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Trova la moda della distribuzione.
3. Trova P([(X, Y) {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}] dove (X, Y) è un vettore aleatorio
con la densità di (a).
Densità condizionate
La funzione di densità di una variabile casuale X si basa, ovviamente, sulla misura di
probabilità sottostante P sullo spazio campionario R dell'esperimento. Questa misura può
esere una misura di probabilità condizionata, dato un certo evento E (con P(E) > 0). La
notazione consueta è
f(x | E) = P(X = x | E) per x appartenente a S.
L'esercizio seguente mostra che, a parte la notazione, non si tratta di concetti nuovi.
Quindi, tutti i risultati che valgono per le densità in generale hanno risultati analoghi per
le densità condizionate.
23. Mostra che, come funzione di x per dato E, f(x | E) è una funzione di densità
discreta. Mostra cioè che soddisfa le proprietà (a) e (b) dell'esercizio 2, e che la proprietà
(c) diventa
P(X
A | E) =
x in A
f(x | E) per A
S.
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Distribuzioni discrete
24. Supponi che B
S e P(X B) > 0. Mostra che la densità condizionata di X dato
X Bè
1. f(x | X B) = f(x) / P(X B) per x B.
2. f(x | X
B) = 0 se x
Bc.
25. Supponi che X sia distribuita uniformemente su un insieme finito S e che B sia un
sottinsieme non vuoto di S. Prova che la distribuzione condizionata di X dato X B è
uniforme su B.
26. Supponi che X abbia funzione di densità di probabilità f(x) = x2 / 10 per x = -2, -1,
0, 1, 2. Trova la densità condizionata di X dato X > 0.
27. Si lanciano due dadi equilibrati. Sia Y la somma dei punteggi e U il punteggio
minimo. Trova la densità condizionata di U dato Y = 8.
28. Replica 200 volte l'esperimento dei dadi, aggiornando ogni volta. Calcola la
densità empirica condizionata di U dato Y = 8 e confrontala con la densità condizionata
dell'ultimo esercizio.
La legge delle probabilità totali e il teorema di Bayes
Supponi che X sia una variabile casuale discreta a valori in un insieme numerabile S, e
che B sia un evento dell'esperimento (ovvero, un sottinsieme dello spazio campionario
sottostante R).
29. Prova la legge delle probabilità totali:
P(B) =
x in S
P(X = x) P(B | X = x).
Questo risultato è utile, ovviamente, quando la distribuzione di X e la probabilità
condizionata di B dati i valori di X sono noti. A volte si dice condizionare a X.
30. Prova il teorema di Bayes, chiamato così in onore di Thomas Bayes:
P(X = x | B) = P(X = x) P(B | X = x) /
S.
y in S P(X
= y) P(B | X = y) per x appartenente a
Il teorema di Bayes è una formula per calcolare la densità condizionata di X dato B. Così
come per la legge delle probabilità totali, è utile quando le quantità al membro di destra
sono note. La distribuzione (non condizionata) di X si dice distribuzione a priori e la
densità condizionata come distribuzione a posteriori.
31. Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado equilibrato e poi si lancia una
moneta bilanciata il numero di volte indicato dal dado
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Distribuzioni discrete
1. Trova la probabilità di avere esattamente due teste.
2. Sapendo che sono uscite due teste, trova la densità condizionata del punteggio del
dado.
32. Replica l'esperimento dado-moneta 200 volte, aggiornando ogni volta.
1. Calcola la probabilità empirica di avere esattamente due teste e confrontala con la
probabilità dell'esercizio precedente.
2. Calcolca la densità condizionata empirica del punteggio del dado sapendo che sono
uscite esattamente due teste e confrontalo con la densità condizionata teorica
dell'esercizio precedente.
33. Supponi che un sacchetto contenga 12 monete: 5 bilanciate, 4 sbilanciate con
probabilità di testa 1/3 e 3 a due teste. Si sceglie a caso una moneta e la si lancia due
volte.
1. Trova la probabilità di avere esattamente due teste.
2. Sapendo che sono uscite due teste, trova la densità condizionata del tipo di moneta.
Confronta gli esercizi 31 e 33. Nell'esercizio 31, si lancia una moneta con probabilità di
testa data un numero casuale di volte. Nell'esercizio 33, si lancia una moneta con
probabilità casuale di testa un numero dato di volte.
34. Nell'esperimento moneta-dado, si lancia una moneta equilibrata. Se esce croce, si
lancia un dado equilibrato. Se esce testa, si lancia un dado piatto uno-sei (1 e 6 hanno
probabilità 1/4, mentre 2, 3, 4 e 5 hanno probabilità 1/8). Trova la funzione di densità del
punteggio del dado.
35. Replica l'esperimento moneta-dado 1000 volte, aggiornando ogni 10. confronta la
densità empirica del punteggio del dado con la densità teorica dell'esercizio precedente.
36. Una fabbrica ha 3 linee produttive per dei chip di memoria. La linea 1 produce il
50% dei chip, di cui il 4% sono difettosi, la linea 2 il 30% dei chip, di cui il 5% sono
difettosi, e la linea 3 il 20% dei chip, di cui l'1% sono difettosi. Si sceglie un chip a caso.
1. Trova la probabilità che il chip sia difettoso.
2. Sapendo che il chip è difettoso, trova la densità condizionata della linea produttiva
da cui il chip è uscito.
Esercizi numerici
37. Sui dati M&Ms, sia R il numero di pastiglie rosse e N il numero totale di pastiglie.
Calcola e disegna le densità empiriche di
1. R
2. N
3. R dato N > 57.
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Distribuzioni discrete
38. Nei dati sulla cicala, sia G il sesso, S la specie e W il peso corporeo (in grammi).
Calcola la densità empirica di
1. G
2. S
3. (G, S)
4. G dato W > 0.20 grammi.
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Distribuzioni continue
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9
2. Distribuzioni continue
Distribuzioni continue
Al solito, supponiamo di avere un esperimento casuale con spazio campionario R e
misura di probabilità P. Una variabile casuale X a valori in un sottinsieme S di Rn si dice
avere distribuzione continua se
P(X = x) = 0 per ogni x appartenente a S.
Il fatto che X assuma ogni singolo valore con probabilità 0 può sembrare paradossale in
prima battuta, ma non è concettualmente diverso dall'affermare che un intervallo di R può
avere lunghezza positiva anche se è composto da punti che hanno tutti lunghezza 0.
Similmente, una regione di R2 può avere area positiva anche se composta di punti (o
curve) che hanno tutti area 0.
1. Mostra che,se C è un sottinsieme numerabile di S, allora P(X
C) = 0.
Quindi, le distribuzioni continue sono diverse dalle distribuzioni discrete, per le quali tutta
la massa di probabilità è concentrata su un insieme discreto. Per una distribuzione
continua, la massa di probabilità è ripartita in senso continuo su S. Nota inoltre che S
stesso non può essere numerabile.
Densità delle distribuzioni continue
Supponiamo, di nuovo, che X abbia distribuzione continua su un sottinsieme S di Rn. Una
funzione a valori reali f definita su S si dice essere una funzione di densità di probabilità
per X se f soddisfa le seguenti proprietà:
1. f(x)
0 per x in S.
2.
S
f(x)dx = 1.
3.
A
f(x)dx = P(X
A) per A
S.
Se n > 1, gli integrali delle proprietà (b) e (c) sono multipli rispetto a sottinsiemi di Rn, e
dx = dx1 dx2 ··· dxn dove x = (x1, x2, ..., xn).
In realtà, tecnicamente, f è la denistà di X relativa a una misura n-dimensionale mn, che
ricordiamo essere data da
mn(A) =
A
1dx per A
Rn.
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Distribuzioni continue
Notiamo che mn(S) dev'essere positivo (e può essere infinito). In particolare,
1. se n = 1, S dev'essere un sottinsieme di R di lunghezza positiva;
2. se n = 2, S dev'essere un sottinsieme di R2 di area positiva;
3. se n = 3, S dev'essere un sottinsieme di R3 di volume positivo.
In ogni caso, ricordiamo che i casi in poche dimensioni (n = 1, 2, 3), a parte le finalità
illustrative, non hanno particolare rilievo in probabilità. Gli esperimenti casuali più
importanti di solito coinvolgono molte variabili casuali (cioè un vettore casule); raramente
si ha una variabile casuale singola e isolata. Notiamo infine che possiamo sempre
estendere f per la densità su tutto Rn ponendo f(x) = 0 per gli x non appartenenti a S.
Questa estensione a volte semplifica la notazione.
La proprietà (c) è particolarmente importante perché implica che la distribuzione di
probabilità di X è completamente individuata dalla funzione di densità. Di converso, ogni
funzione che soddisfa le proprietà (a) e (b) è una funzione di densità di probabilità, per cui
la proprietà (c) può essere utilizzata per definire una distribuzione continua su S.
Un elemento x appartenente a S per cui la densità f è massima è detto moda della
distribuzione. Se esiste un'unica moda, la si usa a volte come misura del centro della
distribuzione.
A differenza del caso discreto, la funzione di densità di una distribuzione continua non è
unica. Notiamo che i valori di f su un insieme finito (o anche numerabile) di punti può
essere modificata con altri valori non negativi, e le proprietà (a), (b) e (c) continuerebbero
a valere. Il fatto importante è che sono rilevanti solo gli integrali di f. Un'altra differenza è
che f(x) può essere maggiore di 1; all'atto pratico, f può essere illimitato su S. Ricorda che
f(x) non è una probabilità, è una densità di probabilità: f(x)dx è approssimativamente la
probabilità che X giaccia in un intervallo n-dimensionale centrato su x con lati di
lunghezza dx1, ..., dxn, se tali lunghezze sono piccole.
Esempi
2. Sia f(t) = r exp(-rt) per t > 0, dove r > 0 è un parametro. Prova che f è una funzione
di densità di probabilità.
La distribuzione definita dalla funzione di densità dell'esercizio precedente è detta
distributzione esponenziale con parametro di velocità r. Questa distribuzione è utilizzata
spesso per modellare durate aleatorie, sotto certe assunzioni. La distributzione
esponenziale è analizzata in dettaglio nel capitolo sui processi di Poisson.
3. La durata T di un certo apparecchio (in unità di 1000 ore) ha distribuzione
esponenziale con parametro 1/2. Trova P(T > 2).
4. Nell'esperimento esponenziale, poni r = 1/2. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica alla sua controparte
teorica.
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Distribuzioni continue
5. Nel problema di Bertrand, un certo angolo casuale A ha funzione di densità f(a) =
sin(a), 0 < a < / 2.
1. Prova che f è una funzione di densità.
2. Disegna il grafico di f e trova la moda.
3. Trova P(A <
/ 4).
6. Nell'esperimento di Bertrand, seleziona il modello con distanza uniforme. Simula
200 replicazioni, aggiornando ogni volta, e calcola la probabilità empirica dell'evento {A
< / 4}. Confrontala con la probabilità trovata nell'esercizio precedente.
7. Sia gn(t) = exp(-t) tn / n! per t > 0 dove n è un parametro intero non negativo.
1. Mostra che gn è una funzione di densità di probabilità per ogni n.
2. Mostra che gn(t) è crescente per t < n e decrescente per t > n, cosicché la moda è a t
= n.
Abbiamo mostrato nel paragrafo precedente sulle distribuzioni discrete che ft(n) = gn(t) è
una funzione di densità sugli interi non negativi per ogni t > 0. La distribuzione
individuata dalla densità gn è detta distribuzione gamma; n + 1 è il parametro di forma. La
distribuzione gamma è studiata in dettaglio nel capitolo sui processi di Poisson.
8. Supponi che la durata di un apparecchio T (in unità di 1000 ore) abbia distribuzione
gamma con n = 2. Trova P(T > 3).
9. Nell'esperimento gamma, poni r = 1 e k = 3. Replica l'esperimento 200 volte,
aggiornando ogni volta. Calcola la probabilità empirica dell'evento {T > 3} e confrontala
con la probabilità teorica dell'esercizio precedente.
La costruzione delle densità
10. Supponi che g sia una funzione non negativa su S. Sia
c=
S
g(x)dx.
Prova che se c è positivo e finito, allora f(x) = g(x) / c per x appartenente a S definisce una
funzione di densità di probabilità su S.
Osserva che i grafici di g e f sembrano identici, a parte la diversa scala dell'asse verticale.
Il risultato dell'esercizio precedente può essere quindi usato per costruire funzioni di
densità con le proprietà desiderate (dominio, forma, simmetria e così via). La costante c è
detta a volte costante di normalizzazione.
11. Sia g(x) = x2(1 - x) per 0 < x < 1.
1. Disegna il grafico di g.
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Distribuzioni continue
2. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
3. Trova P(1/2 < X < 1) dove X è una variabile casuale con la densità come riportata
in (b).
La distribuzione presentata nell'esercizio precedente è un'esempio di distribuzione beta.
12. Sia g(x) = 1 / xa per x > 1, dove a > 0 è un parametro.
1. Disegna il grafico di g.
2. Per 0 < a 1, prova che non esiste una funzione di densità di probabilità
proporzionale a g.
3. Per a > 1, prova che la costante di normalizzazione è 1 / (a - 1).
La distribuzione definita nell'esercizio precedente è detta distribuzione di Pareto con
parametro di forma a.
13. Sia g(x) = 1 / (1 + x2) per x appartenente a R.
1. Disegna il grafico di g.
2. Mostra che la costante di normalizzazione è .
3. Trova P(–1 < X < 1) dove X ha funzione di densità proporzionale a g.
La distribuzione definita nell'esercizio precedente è detta distribuzione di Cauchy, in
onore di Augustin Cauchy. Si tratta di un membro della famiglia di distribuzioni t di
Student.
14. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione t di Student. Poni n = 1 per
avere la distribuzione di Cauchy e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
Osserva come la funzione di densità empirica viene a coincidere con quella teorica.
15. Sia g(z) = exp(-z2 / 2).
1. Disegna il grafico di g.
2. Mostra che la costante di normalizzazione è (2 )1/2. Suggerimento: Se c indica la
costante di normalizzazione, esprimi c2 come integrale doppio e passa in coordinate
polari.
La distribuzione definita nell'esercizio precedente è la distribuzione normale
standardizzata, forse la distribuzione più importante di tutta la probabilità.
16. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione normale (i parametri
predefiniti sono per la distribuzione normale standardizzata). Simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva come la funzione di densità empirica viene a coincidere con
quella teorica.
17. Sia f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
1. Mostra che f è una funzione di densità di probabilità
2. Trova P(Y > 2X) dove (X, Y) ha la densità riportata in (a).
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Distribuzioni continue
18. Sia g(x, y) = x + y per 0 < x < y < 1.
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Trova P(Y > 2X) dove (X, Y) ha la densità riportata in (a).
19. Sia g(x, y) = x2y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Trova P(Y > X) dove (X, Y) ha la densità riportata in (a).
20. Sia g(x, y) = x2y per 0 < x < y < 1.
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Trova P(Y > 2X) dove (X, Y) ha la densità riportata in (a).
21. Sia g(x, y, z) = x + 2y + 3z per 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
1. Trova la funzione di densità di probabilità f proporzionale a g.
2. Trova P(X < Y < Z) dove (X, Y, Z) ha la densità riportata in (a).
Distribuzioni uniformi continue
Gli esercizi seguenti trattano un'importante tipologia di distribuzioni continue.
22. Supponi che S sia sottinsieme di Rn con misura positiva e finita mn(S). Prova che
1. f(x) = 1 / mn(S) per x appartenente a S definisce una funzione di densità di
probabilità su S.
2. P(X
A) = mn(A) / mn(S) per A
S se X ha la funzione di densità di (a).
Un variabile casuale X con la funzione di densità dell'esercizio 14 è detta avere
distribuzione uniforme continua su S. La distribuzione uniforme su un rettangolo del
piano ha un ruolo fondamentale nei modelli geometrici.
23. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato S = (-6, 6)2. Trova
P(X > 0, Y > 0).
24. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona quadrato nel menu a tendina.
Simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta, osservando i punti della dispersione.
Calcola la probabilità empirica dell'evento {X > 0, Y > 0} e confrontala con la probabilità
teorica.
25. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo S = {(x, y): -6 < y
< x < 6}. Trova P(X > 0, Y > 0)
26. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona triangolo nel menu a tendina.
Simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta, osservando i punti della dispersione.
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Distribuzioni continue
Calcola la probabilità empirica dell'evento {X > 0, Y > 0} e confrontala con la probabilità
teorica.
27. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul cerchio S = {(x, y): x2 + y2
< 36}. Trova P(X > 0, Y > 0).
28. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona cerchio nel menu a tendina. Simula
100 replicazioni, aggiornando ogni volta, osservando i punti della dispersione. Calcola la
probabilità empirica dell'evento {X > 0, Y > 0} e confrontala con la probabilità teorica.
29. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente sul cubo (0, 1)3. Trova P(X <
Y < Z)
1. Utilizzando la funzione di densità.
2. Utilizzando un argomento combinatorio. Suggerimento: Spiega perché ciascuna
delle 6 permutazioni di (X, Y, Z) dev'essere equiprobabile.
30. Il tempo T (in minuti) necessario per eseguire una certa operazione è distribuito
uniformemente sull'intervallo (15, 60).
1. Trova la probabilità che l'operazione richieda più di 30 minuti.
2. Sapendo che l'operazione non è terminata dopo 30 minuti, trova la probabilità che
siano necessari più di altri 15 minuti.
Densità condizionate
Supponi che X sia una variabile casuale a valori in un sottinsieme S di Rn, con
distribuzione continua con funzione di densità f. La funzione di densità X, ovviamente, è
basata sulla misura di probabilità sottostante P sullo spazio campionario dell'esperimento,
che indichiamo con R. Questa misura può essere una misura di probabilità condizionata,
dato un evento E (sottinsieme di R), con P(E) > 0. La notazione consueta è
f(x | E), x
S.
Si rammenti che, a parte la notazione, non si stanno introducendo nuovi concetti. La
funzione riportata poc'anzi è una funzione di densità continua, ovvero soddisfa le
proprietà (a) e (b), mentre la porprietà (c) diventa
A
f(x | E)dx = P(X
A | E) per A
S.
Tutti i risultati che valgono per le densità in generale hanno controparti analoghe per le
densità condizionate.
31. Supponi che B
S con P(X B) =
condizionata di X dato X B è
1. f(x | X B) = f(x) / P(X B) per x
B
f(x)dx > 0. Prova che la densità
B.
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Distribuzioni continue
2. f(x | X
B) = 0 per x
Bc.
32. Supponi che S sia un sottinsieme di Rn con misura positiva e finita mn(S) e che B
S con mn(B) > 0. Mostra che se X è distribuito uniformemente su S, allora la
distribuzione condizionata di X dato X B è uniforme su B.
33. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1. Trova la densità condizionata di (X, Y) dato X < 1/2, Y < 1/2.
Esercizi numerici
Se {x1, x2, ..., xn} Rn è un insieme di dati per una variabile continua, X, allora una
funzione di densità empirica può essere calcolata partizionando il campo di variazione dei
dati in sottinsiemi di ampiezza minore, e calcolare le densità di punti in ogni sottinsieme.
Le funzioni di densità empirica sono studiate dettagliatamente nel capitolo sui campioni
casuali.
34. Nei dati sulla cicala, BW indica il peso corporeo, BL la lunghezza corporea e G il
sesso. Costruisci una funzione di densità empirica per ciascuno dei seguenti e disegna tali
funzioni in un grafico a barre:
1. BW
2. BL
3. BW dato G = femmina.
35. Nei dati sulla cicala, WL indica la lunghezza delle ali e WW la larghezza delle ali.
Costruisci una funzione di densità empirica per (WL, WW).
Distribuzioni continue degeneri
Contrariamente al caso discreto, l'esistenza di una funzione di densità per una
distribuzione continua è un'assunzione che si fa. Una variabile casuale può avere
distribuzione continua su un sottinsieme S di Rn ma senza funzione di densità; la
distribuzione è detta a volte degenere. Vediamo ora alcuni casi in cui tali distribuzioni
possono presentarsi.
Supponiamo in primo luogo che X sia una variabile casuale che assume valori in un
sottinsieme S di Rn con mn(S) = 0. È possibile che X abbia distribuzione continua, ma X
può non avere una densità relativa a mn. In particolare, la proprietà (c) della definizione
può non valere, poiché l'integrale di sinistra sarebbe 0 per ogni sottinsieme A di S.
Comunque, in molti casi, X può essere definita in termini di variabili casuali continue su
spazi di dimensione minore che posseggono densità.
Per esempio, supponiamo che U sia una variabile casuale con distribuzione continua su un
sottinsieme T di Rk (dove k < n), e che X = h(U) per qualche funzione continua h da T in
Rn. Ogni evento definito in termini di X può essere trasformato in un evento definito in
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Distribuzioni continue
termini di U. L'esercizio seguente illustra questa situazione
36. Supponi che U sia distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 2 ). Sia X =
cos(U), Y = sin(U).
1. Prova che (X, Y) ha distribuzione continua sul cerchio C = {(x, y): x2 + y2 = 1}.
2. Prova che (X, Y) non ha una funzione di densità su C (rispetto a m2).
3. Trova P(Y > X).
Un'altra situazione di questo tipo si verifica quando un vettore casuale X appartenente a
Rn (n > 1) ha alcuni componenti con distribuzioni discrete e altri con distribuzioni
continue. Tali distribuzioni a componenti misti sono studiate più dettagliatamente nel
paragrafo sulle distribuzioni miste; l'esercizio seguente, in ogni caso, illustra la situazione.
37. Supponi che X sia distribuita uniformemente su {0, 1, 2}, Y distribuita
uniformemente su (0, 2) e che X e Y siano indipendenti.
1. Prova che (X, Y) ha distribuzione continua su {0, 1, 2} × (0, 2).
2. Prova che (X, Y) non ha una funzione di densità (a due dimensioni) su S (rispetto a
m2).
3. Trova P(Y > X).
Infine, è possibile anche avere una distribuzione continua su un sottinsieme S di Rn con
mn(S) > 0, ma di nuovo senza funzione di densità. Tali distribuzioni si dicono singolari, e
si applicano raramente. Per un esempio, in ogni caso, vedi il caso del gioco aggressivo nel
capitolo su rosso e nero.
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9
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Distribuzioni miste
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9
3. Distribuzioni miste
Al solito, inziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. In questo paragrafo, presenteremo due casi
"misti" per la distribuzione di una variabile casuale: il caso in cui la distribuzione è in
parte discreta e in parte continua e il caso in cui la variabile ha sia coordinate discrete che
coordinate continue.
Distribuzioni di tipo misto
Supponi che X sia una variabile casuale relativa all'esperimento, a valori in un sottinsieme
S di Rn. X ha distribuzione di tipo misto se S può essere partizionato in sottinsiemi D e C
con le seguenti proprietà:
1. D è numerabile e 0 < P(X D) < 1.
2. P(X = x) = 0 per x in C.
Quindi parte della distribuzione di X è concentrata su punti di un insieme discreto D; il
resto è ripartito in maniera continua su C.
Sia p = P(X D), cosicché 0 < p < 1. Possiamo definire su D una funzione di densità
discreta parziale.
1. Sia g(x) = P(X = x) per x appartenente a D. Prova che
1. g(x)
2.
0 per x appartenente a D.
x in D
3. P(X
g(x) = p.
A) =
x in A
g(x) per A
D.
Di solito, anche la parte continua della distribuzione è descritta da una funzione di densità
parziale. Supponiamo quindi che esista una funzione non negativa h su C tale che
P(X
A) =
A
2. Prova che
h(x)dx per A
C
C.
h(x)dx = 1 - p.
la distribuzione di X è individuata completamente dalle densità parziali g e h. In primo
luogo, estendiamo le funzioni g e h a S nella maniera consueta: g(x) = 0 per x
appartenente a C; h(x) = 0 per x appartenente a D.
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Distribuzioni miste
3. Supponi che A
P(X
A) =
x in A
S. Prova che
g(x) +
A
h(x)dx.
Le distribuzioni condizionate su D e C sono, rispettivamente, solamente discreta e
solamente continua.
4. Dimostra che la distribuzione condizionata di X dato X
di densità
f(x | X
D) = g(x) / p per x
D.
5. Dimostra che la distribuzione condizionata di X dato X
funzione di densità
f(x | X
D è discreta con funzione
C) = h(x) / (1 - p) per x
C è continua con
C.
La distribuzione di X è pertanto un ibrido tra distibuzione discreta e continua. Le
distribuzioni miste sono studiate in maniera più generale nel paragrafo sulle distribuzioni
condizionate.
6. Supponi che X abbia probabilità 1/2 distribuita uniformemente su {1, 2, ..., 8} e
probabilità 1/2 distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 10). Trova P(X > 6).
7. Supponi che (X, Y) abbia probabilità 1/3 distribuita uniformemente su {0, 1, 2}2 e
probabilità 2/3 distribuita uniformemente su (0, 2)2. Trova P(Y > X).
Variabili troncate
Le distribuzioni di tipo misto si presentano in maniera naturale quando una variabile
casuale con distribuzione continua viene in qualche modo troncata. Per esempio,
supponiamo che T sia la durata di un congegno e abbia funzione di densità f(t) per t > 0.
Nel contesto di un test inerente la rottura di un congegno, non possiamo aspettare
all'infinito, per cui possiamo scegliere una costante positiva a e registrare la seguente
variabile casuale:
U = T se T < a; U = a se T
a.
8. Prova che U ha distribuzione mista; in particolare mostra che, con la notazione di
cui sopra,
1. D = {a} e g(a) =
{t: t > a}
f(t)dt.
2. C = (0, a) e h(t) = f(t) per 0 < t < a.
9. Supponi che la durata T di un congegno (in unità di 1000 ore) abbia distribuzione
esponenziale f(t) = exp(-t), t > 0. Il test per il dispositivo deve avere termine dopo 2000
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Distribuzioni miste
ore; si registra la durata troncata U. Trova
1. P(U < 1).
2. P(U = 2).
Supponiamo che X abbia distribuzione continua su R, con funzione di densità f. La
variabile viene troncata a a e b (a < b) per creare una nuova variabile Y definita come
segue:
Y = a se X
a; Y = X se a < X < b; Y = b se X
b.
10. Mostra che Y ha distribuzione mista. In particolare, prova che
1. D = {a, b}, g(a) =
{x: x < a}
f(x)dx, g(b) =
{x: x > b}
f(x)dx.
2. C = (a, b) e h(x) = f(x) per a < x < b.
Coordinate miste
Supponiamo che X e Y siano variabili casuali relative al nostro esperimento, e che X
abbia distribuzione discreta a valori in un insieme numerabile S mentre Y ha distribuzione
continua su un sottinsieme T di Rn. Allora (X, Y) ha distribuzione continua su qualche
sottinsieme di S × T.
11. Dimostra che P[(X, Y) = (x, y)] = 0 per x appartenente a S, y appartenente a T.
Di solito, (X, Y) ha funzione di densità f su S × T nel senso seguente:
P[(X, Y)
A × B] =
x in A
12. Più in generale, per C
che
P[(X, Y)
C] =
x in S
B
f(x, y)dy per A
S×Tex
C(x)
SeB
S, sia C(x) = {y
T,
T: (x, y)
C}. Dimostra
f(x, y)dy.
Tecnicamente, f è la densità di (X, Y) rispetto a una misura di conteggio su S e a una
misura n-dimensionale su T.
I vettori casuali con coordinate miste si presentano spesso nei problemi applicati. Per
esempio, i dati sulla cicala contengono 4 variabili continue e 2 variabili discrete. I dati
M&M contengono 6 variabili discrete e 1 variabile continua. I vettori con coordinate
miste si presentano anche quando si casualizza un parametro discreto per una
distribuzione continua, o un parametro continuo per una distribuzione discreta.
13. Sia f(1, y) = 1/3 per 0 < y < 1, f(2, y) = 1/6 per 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 per 0 < y <
3.
1. Mostra che f è una densità mista nel senso precisato sopra, con S = {1, 2, 3}, T =
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Distribuzioni miste
(0, 3).
2. Trova P(X > 1, Y < 1) dove (X, Y) ha densità f.
14. Sia f(p, k) = 6 C(3, k) pk + 1(1 - p)4 - k per k {0, 1, 2, 3} e p
1. Mostra che f è una densità mista nel senso precisato sopra.
2. Trova P(V < 1 / 2, X = 2) dove (V, X) ha densità f.
(0, 1).
Come vedremo nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate, la distribuzione
dell'esercizio precedente serve a modellare il seguente esperimento: si seleziona una
probabilità aleatoria V e poi si lancia tre volte una moneta con questa probabilità di testa;
X è il numero di teste.
15. Sui dati M&M, sia N il numero totale di pastiglie e W il peso netto (in grammi).
Costruisci una densità empirica per (N, W).
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Distribuzioni congiunte
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4. Distribuzioni congiunte
Al solito, inziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo ora che X e Y siano varaibili
casuali relative all'esperimento, e che X assuma valori in S e che Y assuma valori in T.
Possiamo interpretare (X, Y) come variabile casuale a valori nell'insieme prodotto S × T.
L'obiettivo di questo paragrafo è studiare come la distribuzione di (X, Y) si rapporta alle
distribuzione di X e Y. In questo contesto, la distribuzione di (X, Y) è detta distribuzione
congiunta di (X, Y), mentre le distribuzioni di X e di Y si dicono distribuzioni marginali.
Notiamo che X e Y possono avere valori vettoriali.
Il primo punto, molto importante, che rileviamo è che le distribuzioni marginali possono
essere ricavate dalle distribuzioni congiunte, ma non il contrario.
1. Dimostra che
1. P(X
A) = P[(X, Y)
A × T] per A
S.
2. G(Y
B) = P[(X, Y)
S × B] per B
T.
Se X e Y sono indipendenti, allora per definizione,
P[(X, Y)
A × B] = P(X
A)P(Y
B) per A
S, B
T,
e, come abbiamo notato in precedenza, ciò individua completamente la distribuzione (X,
Y) su S × T. Al contrario, se X e Y sono dipendenti, la distribuzione congiunta non può
essere ricavata dalle distribuzioni marginali. Quindi, in generale, la distribuzione
congiunta contiene molta più informazione delle singole distribuzioni marginali.
Densità congiunte e marginali
Nel caso discreto, nota che S × T è numerabile se e solo se S e T sono numerabili.
2. Supponi che (X, Y) abbia distribuzione discreta con funzione di densità f su un
insieme numerabile S × T. Mostra che X e Y hanno funzioni di densità rispettivamente g e
h, date da
1. g(x) =
2. h(y) =
y in T
f(x, y) per x appartenente a S.
x in S
f(x, y) per y appartenente a T.
Per il caso continuo, supponi che S
Rj, T
Rk cosicché S × T
Rj + k.
3. Supponi che (X, Y) abbia distribuzione continua su S × T con funzione di densità f.
Mostra che X e Y hanno distribuzione continua con funzione di densità rispettivamente g
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Distribuzioni congiunte
e h, date da/p>
1. g(x) =
T
f(x, y)dy per x appartenente a S.
2. h(y) =
S
f(x, y)dx per y appartenente a T.
Nel contesto degli esercizi 1 e 2, f è detta funzione di densità congiunta di (X, Y), mentre
g e h sono dette funzioni di densità marginali, rispettivamente di X e di Y. Nel caso di
indipendenza, la densità congiunta è il prodotto delle densità marginali.
4. Supponiamo che X e Y siano indipendenti, entrambi con distribuzione discreta o
entrambi con distribuzione continua. Siano g e h, rispettivamente, le funzioni di densità di
X e Y. Dimostra che (X, Y) ha funzione di densità f data da:
f(x, y) = g(x)h(y) per x
Sey
T.
L'esercizio seguente è specualare all'esercizio 4. Se la funzione di densità congiunta può
essere fattorizzata in una funzione di solo x e di solo y, allora X e Y sono indipendenti.
5. Supponi che (Y, Y) abbiano distribuzione discreta o continua, con funzione di
densità f. Supponi che
f(x, y) = u(x)v(y) per x appartenente a S e y appartenente a T.
dove u è funzione di S e v è funzione di T. Prova che X e Y sono indipendenti e che esiste
una costante diversa da zero c tale che le funzioni g e h riportate sotto sono densità per X
e Y, rispettivamente.
g(x) = cu(x) per x appartenente a S; h(y) = v(y) / c per y in T
Esercizi
6. Supponiamo di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi
(X1, X2). Siano Y = X1 + X2 e Z = X1 - X2 rispettivamente la somma e la differenza dei
punteggi.
1. Trova la densità di (Y, Z).
2. Trova la densità di Y
3. Trova la densità di Z.
4. Y e Z sono indipendenti?
7. Supponiamo di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi
(X1, X2). Siano U = min{X7, X2} e V = max{X5, X2} rispettivamente il massimo e il
minimo dei punteggi.
1. Trova la densità di (U, V).
2. Trova la densità di U.
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Distribuzioni congiunte
3. Trova la densità di V.
4. U e V sono indipendenti?
8. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
1. Trova la densità di X.
2. Trova la densità di Y.
3. X e Y sono indipendenti?
9. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) per 0 < x < y < 1.
1. Trova la densità di X.
2. Trova la densità di Y.
3. X e Y sono indipendenti?
10. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 6x2y per 0 < x < 1, 0 < y <
1.
1. Trova la densità di X.
2. Trova la densità di Y.
3. X e Y sono indipendenti?
14. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15 x2y per 0 < x < y < 1.
1. Trova la densità di X.
2. Trova la densità di Y.
3. X e Y sono indipendenti?
12. Supponi che (X, Y, Z) abbia funzione di densità di probabilità f data da
f(x, y, z) = 2z(x + y) per 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
1. Trova la densità di ciascuna coppia di variabili.
2. Trova la densità di ciascuna variabile.
3. Determina le relazioni di dipendenza tra le variabili.
Distribuzioni multivariate uniformi
Le distribuzioni multivariate uniformi danno un'interpretazione geometrica di alcuni
concetti presentati in questo paragrafo. Ricordiamo in primo luogo che la misura standard
su Rn è
mn(A) =
G 1dx
per A
Rn.
In particolare, m1 è la misura di lunghezza su R, m2 è la misura di area su R2 e m3 è la
misura di volume su R3.
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Distribuzioni congiunte
Supponi che X assuma valori in Rj, che Y assuma valori in Rk e che (X, Y) sia distribuito
Rj + k dove m
uniformemente su R
j + k(R) è positivo e finito. Quindi, per definizione, la
funzione di densità congiunta di (X, Y) è
f(x, y) = 1 / mj + k(R) per (x, y)
R (and f(x, y) = 0 altrimenti).
13. Dimostra che X assume valori in un insieme S = {x: (x, y) R per qualche y} che
la funzione di densità g di X è proporzionale alla misura incrociata:
g(x) = mk{y: (x, y)
R}/ mj + k(R) per x
S
14. Prova che Y assume valori in un insieme T = {y: (x, y) R per qualche x} che la
funzione di densità h di Y è proporzionale alla misura incrociata:
h(y) = mj{x: (x, y)
R}/ mj + k(R) per y
S
In particolare, nota dagli esercizi precedenti che X e Y non sono, in generale,
normalmente distribuiti.
15. Supponi che R = S × T. Dimostra che
1. X è distribuita uniformemente su S.
2. Y è distribuita uniformemente su T.
3. X e Y sono indipendenti.
16. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato (-6, 6) × (-6, 6).
1. Trova la funzione di densità congiunta di (X, Y)
2. Trova la funzione di densità di X
3. Trova la funzione di densità di Y.
4. X Y sono indipendenti?
17. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona quadrato dal menu a tendina.
Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i
grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin
qui svolta.
18. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo R = {(x, y): -6 < y
< x < 6}.
1. Trova la funzione di densità congiunta di (X, Y)
2. Trova la funzione di densità di X
3. Trova la funzione di densità di Y.
4. X e Y indipendenti?
19. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona triangolo dal menu a tendina.
Esegui 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i
grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin
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Distribuzioni congiunte
qui svolta.
20. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul cerchio R = {(x, y): x2 + y2
< 36}.
1. Trova la funzione di densità congiunta di (X, Y)
2. Trova la funzione di densità di X
3. Trova la funzione di densità di Y.
4. X e Y indipendenti?
21. Nell'esperimento bivariato uniforme, seleziona cerchio dal menu a tendina. Esegui
5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle
distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione fin qui svolta.
22. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente sul cubo (0, 1)3.
1. Riporta la funzione di densità congiunta di (X, Y, Z)
2. Trova la funzione di densità di ciascuna coppia di variabili.
3. Trova la funzione di densità di ciascuna variabile.
4. Determina le relazioni di dipendenza tra le variabili.
23. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente su {(x, y, z): 0 < x < y < z <
1}. Trova
1. Riporta la funzione di densità congiunta di (X, Y, Z)
2. Trova la funzione di densità di ciascuna coppia di variabili.
3. Trova la funzione di densità di ciascuna variabile.
4. Determina le relazioni di dipendenza tra le variabili.
24. Supponi che g sia una funzione di densità di probabilità per una distribuzione
continua su un sottinsieme S di Rn. Sia
R = {(x, y): x
S, 0 < y < g(x)}
Rn + 1.
Prova che se (X, Y) è distribuito uniformemente su R, allora X ha funzione di densità g.
Disegna il caso n = 1.
Coordinate miste
I risultati presentati in questo paragrafo possiedono analoghi naturali nel caso in cui (X,
Y) ha coordinate con diversi tipi di distribuzione, come discusso nel paragrafo sulle
distribuzioni miste. Per esempio, supponiamo che X abbia distribuzione discreta, Y abbia
distribuzione continua, e che (X, Y) abbia densità congiunta f su S × T. I risultati degli
esercizi 2(a), 3(b), 4 e 5 valgono ancora.
25. Supponi che X assuma valori in {1, 2, 3}, che Y assuma valori in (0, 3), con
densità congiunta f given by
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Distribuzioni congiunte
f(1, y) = 1/3 per 0 < y < 1, f(2, y) = 1/6 per 0 < y < 2, f(3, y) = 1/9 per 0 < y < 3.
1. Trova la funzione di densità di X
2. Trova la funzione di densità di Y.
3. X e Y indipendenti?
26. Supponi che V assuma valori in (0, 1) e che X assuma valori in {0, 1, 2, 3}, con
densità congiunta f data da
f(p, k) = 6C(3, k) pk + 1(1 - p)4 - k per k
1. Trova la densità di V.
2. Trova la densità di X.
3. V e X sono indipendenti?
{0, 1, 2, 3} e p
(0, 1).
Come avremo modo di vedere nel paragrafo sulle distribuzioni condizionate, la
distribuzione dell'esercizio precedente modella questo esperimento: si seleziona una
probabilità casuale V e poi si lancia tre volte una moneta con questa probabilità di testa; X
è il numero di teste.
Esercizi numerici
27. Nei dati sulla cicala, G indica il sesso e S la specie.
1. Trova la densità empirica di (G, S).
2. Trova la densità empirica di G.
3. Trova la densità empirica di S.
4. Credi che S e G siano indipendenti?
28. Nei dati sulla cicala, BW indica il peso corporeo e BL la lunghezza del corpo (in
millimetri).
1. Costruisci la densità empirica per (BW, BL).
2. Trova la corrispondente densità empirica per BW.
3. Trova la corrispondente densità empirica per BL.
4. Credi che BW e BL siano indipendenti?
29. Nei dati sulla cicala, G indica il sesso e BW il peso corporeo (in grammi).
1.
2.
3.
4.
Costruisci la densità empirica per (G, BW).
Trova la corrispondente densità empirica per G.
Trova la corrispondente densità empirica per BW.
Credi che G e BW siano indipendenti?
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Distribuzioni congiunte
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Distribuzioni condizionate
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9
5. Distribuzioni condizionate
Al solito, iniziamo introducendo un esperimento casuale con spazio campionario R e
misura di probabilità P su R. Supponiamo che X sia una variabile casuale relativa
all'esperimento, a valori in un insieme S. L'obiettivo di questo paragrafo è studiare la
misura di probabilità condizionata su R dato X = x, con x appartenente a S. Vogliamo
quindi definire e studiare
P(A | X = x) per A
R e per x appartenente S.
Vedremo che X ha distribuzione discreta, per cui non si introducono nuovi concetti, ed è
sufficiente la semplice definizione della probabilità condizionata. Quando X ha
distribuzione continua, invece, serve un approccio fondamentalmente diverso.
Definizioni e proprietà principali
Supponiamo in primo luogo che X abbia distribuzione discreta con funzione di densità g.
S è quindi numerabile e si può assumere che g(x) > 0 per x appartenente a S.
1. Prova che
P(A | X = x) = P(X = x, A) / g(x) for A
R, x in S.
2. Prova la versione seguente legge delle probabilità totali
P(X
B, A) =
x in B
P(A | X = x)g(x) per A
R, B
S.
Di converso, la legge delle probabilità totali individua completamente la distribuzione
condizionata dato X = x.
3. Supponi che Q(x, A), per x
P(A, X
B) =
x in B
S, A
Q(x, A) g(x) per B
Dimostra che Q(x, A) = P(A | X = x) per x
R, soddisfi
S.
S, A
R.
Supponiamo ora che X abbia distribuzione continua su S
Rn, con funzione di densità
g. Assumiamo g(x) > 0 per x appartenente a S. Contrariamente al caso discreto, non
possiamo utilizzare la semplice probabilità condizionata per definire la probabilità
condizionata di un evento dato X = x, poiché l'evento a cui si condiziona ha probabilità 0
per qualsiasi x. Ad ogni modo, il concetto dovrebbe avere senso. Se eseguiamo realmente
l'esperimento, X assumerà un certo valore x (anche se, a priori, tale eventom si verifica
con probabilità 0), e sicuramente l'informazione X = x finirà per alterare le probabilità che
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Distribuzioni condizionate
assegnamo agli altri eventi. Un approccio naturale è quello di utilizzare i risultati ottenuti
nel caso discreto come definizioni per il caso continuo. Quindi, basandosi sulla
caratterizzazione di cui sopra, definiamo la probabilità condizionata
P(A | X = x) per x appartenente a S, A
R.
richiedendo che valga la legge delle probabilità totali:
P(A, X
B) =
B
P(A | X = x) g(x)dx per ogni B
S.
Per il momento, accetteremo il fatto che P(A | X = x) possa essere definito attraverso
questa condizione. Tuttavia, ritorneremo su questo punto nel paragrafo sul valore atteso
condizionato nel capitolo sul valore atteso.
Il teorema di Bayes, che prende nome da Thomas Bayes, individua una formula per la
densità condizionata di X dato A, in termini della densità di X e la probabilità
condizionata di A dato X = x.
4. Sia A un evento con P(A) > 0. Prova che la densità condizionata di X dato A è
1. g(x | A) = g(x)P(A | X = x) /
2. g(x | A) = g(x)P(A | X = x) /
s in S
S
g(s)P(A | X = s) se X è discreta.
g(s)P(A | X = s)ds se X è continua.
Nel contesto del teorema di Bayes, g è detta densità a priori di X e g( · | A) è la densità s
posteriori di X dato A.
Densità condizionate
Le definizioni e i risultati di cui sopra si applicano, ovviamente, se A è un evento definito
in termini di un'altra variabile casuale del nostro esperimento.
Supponiamo quindi che Y sia una variabile casuale a valori in T. Allora (X, Y) è una
variabile casuale a valori nell'insieme prodotto S × T, che assumiamo avere funzione di
densità di probabilità (congiunta) f. (In particolare, assumiamo una delle distribuzioni
standard: discreta congiunta, continua congiunta con densità, o componenti miste con
densità). Come prima, g indica la funzione di densità di X e assumiamo che g(x) > 0 per x
appartenente a S.
5. Dimostra che h(y | x) è una funzione di densità in y per ogni x in S:
h(y | x) = f(x, y) / g(x) per x
S, y
T.
Il prossimo esercizio mostra che h(y | x), in funzione di y, è la densità condizionata di Y
dato X = x.
6. Dimostra che, per x
S, B
T,
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Distribuzioni condizionate
1. P(Y
B | X = x) =
2. P(Y
B | X = x) =
y in B
B
h(y | x) se Y ha distribuzione discreta.
h(y | x)dy se Y ha distribuzione continua.
Il teorema seguente è una versione del teorema di Bayes per le funzioni di densità.
Usiamo la notazione definita poco sopra, e in più indichiamo con g(x | y) la densità
condizionata di X in x appartenente a S dato Y = y appartenente a T.
7. Mostra che per x appartenente a S, y appartenente a T,
1. g(x | y) = h(y | x) g(x) /
2. g(x | y) = h(y | x) g(x) /
s in S h(y
S
| s) g(s) se X ha distribuzione discreta.
h(y | s) g(s)ds se X ha distribuzione continua.
Nel contesto del teorema di Bayes, g è la densità a priori di X e g(· | y) è la densità a
posteriori di X dato Y = y.
Intuitivamente, X e Y dovrebbero essere indipendenti se e solo se le distribuzioni
condizionate sono uguali alle corrispondenti distribuzioni non condizionate.
8. Prova che le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. X e Y sono indipendenti.
2. h(y | x) = h(y) per ogni x S e y T.
3. g(x | y) = g(x) per ogni x S e y T.
In molti casi le distribuzioni condizionate si presentano quando uno dei parametri della
distribuzione viene randomizzato. Nota questa situazione in alcuni degli esercizi che
seguono.
Esercizi numerici
9. Supponi di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi (X1,
X2). Siano U = min{X1, X2} e V = max{X1, X2} rispettivamente il minimo e il massimo
dei punteggi.
1. Trova la densità condizionata di U dato V = v per ogni v {1, 2, ..., 6}
2. Trova la densità condizionata di V dato U = u per ogni u {1, 2, ..., 6}
10. Nell'esperimento dado-moneta si lancia un dado equilibrato e poi si lancia una
moneta bilanciata il numero di volte indicato dal dado. Sia N il punteggio del dado e X il
numero di teste.
1. Trova la densità congiunta di (N, X).
2. Trova la densità di X.
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Distribuzioni condizionate
3. Trova la densità condizionata di N dato X = k per ogni k.
11. Nell'esperimento dado-moneta, seleziona dado e moneta equilibrati.
1. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Confronta la funzione di densità
empirica di X con la densità teorica riportata nell'esercizio precedente.
2. Simula 200 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola la funzione di densità
condizionata empirica di N dato X = k per ogni k, e confrontala con la funzione di
densità dell'esercizio precedente.
12. Nell'esperimento moneta-dado, si lancia una moneta bilanciata. Se esce croce, si
lancia un dado equilibrato; se esce testa si lancia un dado piatto uno-sei (le facce 1 e 6
hanno probabilità 1/4 e le facce 2, 3, 4 e 5 hanno probabilità 1/8). Sia I il punteggio della
moneta (0 croce e 1 testa) e X il punteggio del dado.
1. Trova la densità congiunta di (I, X).
2. Trova la densitàì di X.
3. Trova la densità condizionata di I dato X = x per ogni x appartenente a {1, 2, 3, 4,
5, 6}.
13. Nell'esperimento moneta-dado, seleziona le impostazioni dell'esercizio precedente.
1. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Confronta la funzione di densità
empirica di X con la densità teorica riportata nell'esercizio precedente.
2. Simula 200 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola la funzione di densità
condizionata empirica di N dato X = 2, e confrontala con la funzione di densità
dell'esercizio precedente.
14. Supponi che una scatola contenga 12 monete: 5 sono bilanciate, 4 sono sbilanciate
con probabilità di testa 1/3 e 3 hanno due teste. Si estrae a caso una moneta e la si lancia
due volte. Sia V la probabilità di testa della moneta selezionata, e X il numero di teste.
1. Trova la funzione di densità congiunta di (V, X).
2. Trova la funzione di densità di X.
3. Trova la densità condizionata di V dato X = k per k = 0, 1, 2.
15. Supponi che in una scatola vi siano 5 lampadine, indicate con numeri da 1 a 5. La
durata di una lampadina n (in mesi) ha distribuzione esponenziale con parametro di
velocità n. Si estrae a caso una lampadina e la si mette alla prova
1. Trova la probabilità che la lampadina estratta duri più di un mese.
2. Sapendo che la lampadina dura più di un mese, trova la densità condizionata del
numero della lampadina.
16. Supponi che N abbia distribuzione di Poisson con parametro 1, e dato N = n, X
abbia distribuzione binomiale con parametri n e p.
1. Trova la densità congiunta di (N, X).
2. Trova la densità di X.
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Distribuzioni condizionate
3. Trova la densità condizionata di N dato X = k.
17. Supponi che X sia distribuito uniformemente su {1, 2, 3}, e dato X = i, Y sia
distribuito uniformemente sull'intervallo (0, i).
1. Trova la densità congiunta di (X, Y).
2. Trova la densità di Y.
3. Trova la densità condizionata di X dato Y = y per y appartenenete a (0, 3).
18. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1.
1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
3. X e Y sono indipendenti?
19. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 2(x + y) for 0 < x < y < 1.
1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
3. X e Y sono indipendenti?
20. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 15 x2y per 0 < x < y < 1.
1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
3. X e Y sono indipendenti?
21. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = 6 x2y per 0 < x < 1, 0 < y <
1.
1. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
2. Trova la densità condizionata di Y dato X = x.
3. X e Y sono indipendenti?
22. Supponi che V abbia densità g(p) = 6p(1 - p) per 0 < p < 1. Dato V = p, si lancia
tre volte una moneta con probabilità di testa p. Sia X il numero di teste.
1. Trova la densità congiunta di (V, X).
2. Trova la densità di X.
3. Trova la densità condizionata di V dato X = k per k = 0, 1, 2, 3. Disegnali sugli
stessi assi.
Confronta l'esercizio 22 con l'esercizio 14. Nell'esercizio 22, si scegli di fatto una moneta
da una scatola che contiene infiniti tipi di monete.
23. Supponi che X si distribuita uniformemente su (0, 1), e che dato X = x, Y sia
distribuita uniformemente su (0, x).
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Distribuzioni condizionate
1. Trova la densità congiunta di (X, Y).
2. Trova la densità di Y.
3. Trova la densità condizionata di X dato Y = y appartenente a (0, 1).
Distribuzioni uniformi multivariate
Le distribuzioni uniformi multivariate costituiscono un'interpretazione geometrica di
alcuni dei concetti presentati in questo paragrafo. Ricordiamo prima di tutto che la misura
standard su Rn è
mn(A) =
A 1dx
per A
Rn.
In particolare, m1 è la misura di lunghezza su R, m2 è la misura di area su R2 e m3 è la
misura di volume su R3.
Supponiamo ora che X assuma valori in Rj, che Y assuma valori in Rk e che (X, Y) sia
distribuito uniformemente su R
Rj + k dove mj + k(R) è positivo e finito. Quindi, per
definizione, la funzione di densità congiunta di (X, Y) è
f(x, y) = 1 / mj + k(R) per (x, y)
R (e f(x, y) = 0 altrimenti).
24. Mostra che la distribuzione condizionata di Y dato X = x è distribuita
uniformemente sulla sezione incrociata
{y
Rk: (x, y)
R}.
25. Mostra che la distribuzione condizionata di X dato Y = y è distribuita
uniformemente sulla sezione incrociata
{x
Rj: (x, y)
R}.
Nell'ultimo paragrafo sulle distribuzioni congiunte, abbiamo visto che anche se (X, Y) è
distribuito uniformemente, le distribuzioni marginali di X e Y non sono in genere
uniformi. Ma, come abbiamo visto, le distribuzioni condizionate sono sempre uniformi.
26. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul quadrato R = [-6, 6]2.
1. Trova la densità condizionata di Y dato X = x (-6, 6).
2. Trova la densità condizionata di X dato Y = y (-6, 6).
3. Prova che X e Y sono indipendenti.
27. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona quadrato dal menu a tendina.
Simula 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i
grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione
precedente.
28. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul triangolo R = {(x, y): -6 < y
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Distribuzioni condizionate
< x < 6}
R2.
1. Trova la densità condizionata di Y dato X = x
2. Trova la densità condizionata di X dato Y = y
3. Prova che X e Y sono dipendenti.
(-6, 6).
(-6, 6).
29. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona triangolo dal menu a tendina.
Simula 5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i
grafici delle distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione
precedente.
30. Supponi che (X, Y) sia distribuito uniformemente sul cerchio R = {(x, y): x2 + y2
< 36}.
1. Trova la densità condizionata di Y dato X = x (-6, 6).
2. Trova la densità condizionata di X dato Y = y (-6, 6).
3. Prova che X e Y sono dipendenti.
31. Nell'esperimento uniforme bivariato, seleziona cerchio dal menu a tendina. Simula
5000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva i punti della dispersione e i grafici delle
distribuzioni marginali. Interpreta i risultati nel contesto della discussione precedente.
32. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente su R = {(x, y, z): 0 < x < y <
z}
R3.
1. Trova la densità condizionata di ciascuna coppia di variabili data una terza
variabile.
2. Trova la densità condizionata di ciascuna variabile dati i valori delle altre due.
Distribuzioni mistura
Coi nostri soliti insiemi S e T, supponiamo che Px sia una misura di probabilità su T per
ogni x S. Supponiamo inoltre che g sia una funzione di densità di probabilità su S.
Possiamo ottenere una nuova misura di probabilità su T ponderando (o miscelando) le
distribuzioni date sulla base di g.
33. Supponiamo in primo luogo che S sia numerabile, e che g sia una funzione di
densità di probabilità discreta su S. Prova che la P definita sotto è una misura di
probabilità su T:
P(B) =
x in S
g(x) Px(B) per B
T.
34. Nel contesto dell'esercizio precedente, supponi che Px sia una distribuzione
discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità hx per ogni x appartenente a S.
Prova che anche P è discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità h data da
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Distribuzioni condizionate
h(y) =
x appartenente a S g(x) hx(y)
per y appartenente a T.
35. Supponi ora che S sia un sottinsieme di Rn e che g sia una funzione di densità di
probabilità continua su S. Mostra che la P definita sotto è una misura di probabilità su T:
P(B) =
S
g(x)Px(B)dx per B
T.
36. Nel contesto dell'esercizio precedente, supponi che Px sia una distribuzione
discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità hx per ogni x appartenente a S.
Prova che anche P è discreta (rispettivamente continua) con funzione di densità h data da
h(y) =
S
g(x) hx(y) dx per y appartenente a T.
In entrambi i casi, la distribuzione P è detta mistura delle distribuzioni Px, x
densità di mistura g.
S, con
Si può avere una mistura di distriubuzioni senza avere variabili casuali definite su uno
spazio di probabilità comune. In ogni caso, le misture sono intimamente legate alle
distribuzioni condizionate. Per tornare al nostro ambiente di riferimento, supponiamo che
X e Y siano variabili casuali relative a un esperimento a valori, rispettivamente, in S e T.
Supponiamo che X abbia distribuzione discreta oppure continua, con densità g.
L'esercizio seguente è semplicemente una diversa versione del teorema delle probabilità
totali.
37. Prova che la distribuzione di Y è una mistura delle distribuzioni condizionate di Y
dato X = x, in x appartenente a S, con densità di mistura g.
38. Supponi che X sia una variabile casuale a valori in S
Rn, con ditribuzione mista
discreta e continua. Prova che la distribuzione di X è una mistura di una distribuzione
discreta e una continua, nel senso definito sopra.
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Funzioni di ripartizione
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6. Funzioni di ripartizione
Definizione
Al solito, iniziamo introducendo un esperimento casuale su un certo spazio campionario e
con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale a valori reali
relativa all'esperimento. La funzione di ripartizione (cumulata) di X è la funzione F data
da
F(x) = P(X
x) per x appartenente a R.
Tale funzione è estremamente importante poiché ha senso per qualsiasi tipo di variabile,
indipendentemente dal fatto che la distribuzione sia discreta, continua, o anche mista, e
poiché individua completamente la distribuzione di X.
Abbrevieremo come segue alcuni dei limiti di F:
●
F(x+) = lim F(t) per t
x+.
●
F(x-) = lim F(t) per t
x-.
●
F(
●
F(-
) = lim F(t) per t
) = lim F(t) per t
.
-
Proprietà fondamentali
Le proprietà elencate negli esercizi seguenti individuano completamente le funzioni di
ripartizione. I teoremi di continuità della probabilità saranno utili per le dimostrazioni.
1. Prova che F è crescente: se x
y allora F(x)
F(y).
2. Dimostra che F(x+) = F(x) per x appartenente a R. Pertanto F è continua da destra:
3. Mostra che F(x-) = P(X < x) per x appartenente a R. Quindi, F ha limiti sinistri:
4. Prova che F(
5. Prova che F(-
) = 1.
) = 0.
L'esercizio seguente mostra come la funzione di ripartizione possa essere utilizzata per
calcolare la probabilità che X cada in un certo intervallo. Ricorda che una distribuzione di
probabilità su R è completamente individuata dalle probabilità degli intervalli; pertanto, la
funzione di ripartizione individua la distribuzione di X. In ciascun caso, il risultato utile è
P(B
Ac) = P(B) - P(A) se A
B.
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Funzioni di ripartizione
6. Supponi che a e b appartengano a R con a < b. Dimostra che
1. P(X = a) = F(a) - F(a-)
2. P(a < X
b) = F(b) - F(a)
3. P(a < X < b) = F(b-) - F(a)
b) = F(b) - F(a-)
4. P(a
X
5. P(a
X < b) = F(b-) - F(a-)
7. Dimostra che se X ha distribuzione continua, allora la funzione di ripartizione F è
continua.
Relazione con la funzione di densità
Esiste una relazione molto semplice tra funzione di ripartizione e funzione di densità.
8. Supponi che X abbia distribuzione discreta con funzione di densità f e funzione di
ripartizione F. Prova che per x appartenente a R,
1. F(x) =
t <= x
f(t).
2. f(x) = F(x) - F(x-)
Pertanto F è una funzione a gradini con "salti" per i valori di X con probabilità positiva;
l'ampiezza del salto in x coincide con la funzione di densità in x. Esiste un risultato
analogo per le distribuzioni continue.
9. Supponi che X abbia distribuzione continua con funzione di densità f e funzione di
ripartizione F. Dimostra che
1. F(x) =
t <= x
f(t)dt.
2. f(x) = F'(x)
Per le distribuzioni miste, il risultato è una combinazione di quelli degli ultimi due
esercizi.
10. Supponi che X abbia distribuzione mista con densità parziale discreta g e densità
parziale continua h. Sia F la funzione di ripartizione. Dimostra che
1. F(x) =
t <= x
g(t) +
t <= x
h(t)dt.
2. g(x) = F(x) - F(x-) se F è discontinua in x.
3. h(x) = F'(x) se F è continua in x.
Ovviamente, la funzione di ripartizione può essere definita relativamente a ciascuna delle
distribuzioni condizionate che abbiamo presentato. Non servono nuovi concetti, e tutti i
risultati presentati poc'anzi continuano a valere.
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Funzioni di ripartizione
11. Supponi che X abbia distribuzione continua su R con funzione di densità f
simmetrica attorno a un punto a:
f(a + t) = f(a - t) per t appartenente a R.
Prova che la funzione di ripartizione F soddisfa
F(a - t) = 1 - F(a + t) per t appartenente a R.
Esercizi numerici
12. Supponi di lanciare due dadi equilibrati e registrare la sequenza di punteggi (X1,
X2). Trova la funzione di ripartizione di
1. Y = X1 + X2, la somma dei punteggi.
2. V = max (X1, X2), il punteggio massimo.
3. Y dato V = 5.
13. Supponi che X sia distribuito uniformemente sull'intervallo (a, b) dove a < b.
1. Trova la funzione di ripartizione X.
2. Disegna i grafici delle funzioni di densità e di ripartizione.
14. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = 12x2(1 - x), 0 < x < 1. Ciò
significa che X ha distribuzione beta.
1. Trova la funzione di ripartizione X.
2. Disegna i grafici delle funzioni di densità e di ripartizione.
15. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = r exp(-rx), x > 0 dove r > 0 è un
parametro. Ciò significa che X ha distribuzione esponenziale con parametro di velocità r.
1. Trova la funzione di ripartizione X.
2. Disegna i grafici delle funzioni di densità e di ripartizione.
16. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = a / xa+1 per x > 1 dove a > 0 è un
parametro. Ciò significa che X ha distribuzione di Pareto con parametro di forma a.
1. Trova la funzione di ripartizione X.
2. Disegna i grafici delle funzioni di densità e di ripartizione.
17. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = 1 / [
a R. Ciò significa che X ha distribuzione di Cauchy.
(1 + x2)] per x appartenente
1. Trova la funzione di ripartizione X.
2. Disegna i grafici delle funzioni di densità e di ripartizione.
18. Nell'applet quantile, modifica i parametri e osserva la forma della funzione di
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Funzioni di ripartizione
densità e della funzione di ripartizione per ciascuna delle seguenti distribuzioni:
1. Normale
2. Gamma
3. Beta
4. Di Pareto
19. Sia F la funzione definita come segue:
●
F(x) = 0, per x < 1
●
F(x) = 1 / 10 per 1
●
F(x) = 3 / 10 per 3 / 2
●
F(x) = 6 / 10 per 2
●
F(x) = 9 / 10 per 5 / 2
x<3/2
x<2
x<5/2
x<3
F(x) = 1 per x 3.
1. Prova che F è la funzione di ripartizione di una distribuzione discreta.
2. Trova la corrispondente funzione di densità f.
3. Disegna i grafici di f e F.
●
4. Trova P(2
X < 3) dove X ha questa distribuzione.
20. Sia F(x) = 0 per x < 0, F(x) = x / (x + 1) for 0 x.
1. Prova che F è la funzione di ripartizione di una distribuzione continua.
2. Trova la corrispondente funzione di densità f.
3. Disegna i grafici di f e F.
4. Trova P(2
X < 3) dove X ha questa distribuzione.
21. Sia F la funzione definita da
● F(x) = 0 per x < 0
●
F(x) = x / 4 per 0
●
F(x) =1 / 3 + (x - 1)2 / 4 per 1
●
F(x) = 2 / 3 + (x - 2)3 / 4 per 2 x < 3
F(x) = 1 per x > 3
Disegna il grafico di F.
Prova che F è la funzione di ripartizione di una distribuzione mista.
Trova la densità parziale della parte discreta.
Trova la densità parziale della parte continua.
●
1.
2.
3.
4.
x<1
x<2
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Funzioni di ripartizione
5. Trova P(2
X < 3) dove X ha questa distribuzione.
Quantili
Sia X una variabile casuale con funzione di ripartizione F. Supponi che p
valore di x tale che
F(x-) = P(X < x)
p e F(x) = P(X
x)
(0, 1). Un
p
è detto quantile di ordine p per la distribuzione. In prima approssimazione, un quantile di
ordine p è un valore per cui la distribuzione cumulata passa per p.
Notiamo che sussiste una sorta di relazione inversa tra i quantili e i valori della
distribuzione cumulata. Per esplorare ulteriormente questa relazione, supponiamo in
primo luogo che F sia la funzione di ripartizione di una distribuzione continua su un
intervallo aperto S. (Poiché la distribuzione è continua, non si perde in generalità
assumendo che S sia aperto). Inoltre, supponiamo che F sia strettamente crescente, e che
vada da S su (0, 1). (Ciò significa che ciascuno sottointervallo aperto di S ha probabilità
positiva, cosicché la distribuzione ha supporto in S). F, allora, ha un'inversa definita F-1
che vada da (0, 1) su S.
22. Sotto le condizioni di cui sopra, prova che F-1(p) è l'unico quantile di ordine p.
Per il calcolo dei quantili e per molte altre applicazione è molto utile estendere la nozione
di inversa a una funzione di ripartizione arbitraria F. Per p appartenente a (0, 1),
definiamo la funzione quantile; come
F-1(p) = inf{x
R: p
F(x)}.
Ovviamente, se S è un intervallo e F è strettamente crescente su S, allora F-1 è l'inversa
ordinaria di F, come visto poc'anzi. L'esercizio seguente ne spiega il nome: F-1(p) è il
minimo dei quantili di ordine p.
23. per p appartenente a (0, 1), prova che
1. F-1(p) è un quantile di ordine p.
2. Se x è un altro quantile di ordine p allora F-1(p) < x.
Le altre due proprietà fondamentali sono dati nei due esercizi seguenti.
24. Dimostra che, in generale
1. F-1 è crescente in (0, 1).
2. F-1[F(x)]
x per ciascun x in R con 0 < F(x) < 1.
3. F[F-1(p)]
p per ciascun p in (0, 1).
25. Mostra che per x appartenente a R e p appartenente a (0, 1),
F-1(p)
x se e solo se p
F(x).
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Funzioni di ripartizione
Un quantile di ordine 1/2 si dice mediana della distribuzione. Quando c'è una sola
mediana, la si può utilizzare come misura del centro della distribuzione. Un quantile di
ordine 1/4 è detto primo quartile e uno di ordine 3/4 terzo quartile. Una mediana è un
secondo quartile. Assumendo l'unicità, siano q1, q2 e q3 rispettivamentede primo, secondo
e terzo quartile di X. Nota che l'intervallo da q1 a q3 include metà della distribuzione, per
cui lo scarto interquartile si definisce come
IQR = q3 - q1,
ed è a volte usato come misura della dispersione della distribuzione rispetto alla mediana.
Siano a e b rispettivamente i valori minimo e massimo di X (assumendo che siano finiti). I
cinque parametri
a, q1, q2, q3, b
sono detti spesso five-number summary. Presi insiemi, tali parametri contengono un bel
po' di informazioni sulla distribuzione in termini di centralità, dispersione e asimmetria.
Graficamente, tali parametri sono spesso rappresentati in un boxplot, formato da una linea
che si estende dal valore minimo a al valore massimo b, con una rettangolo da q1 a q3, e
segni in a, q2 (la mediana) e b.
26. Nell'istogramma interattivo, seleziona boxplot. Poni l'ampiezza di classe a 0.1 e
costruisci una distribuzione discreta con almeno 30 valori di ciascuno dei tipi indicati
sotto. Osserva la forma del boxplot e le posizioni relative dei parametri del five-number
summary:
1. Distribuzione uniforme.
2. Distribuzione simmetrica unimodale.
3. Distribuzione unimodale asimmetrica a destra.
4. Distribuzione unimodale asimmetrica a sinistra.
5. Distribuzione simmetrica bimodale
6. Distribuzione a forma di u.
27. Supponi che F sia la funzione di ripartizione della distribuzione uniforme su [a, b].
1. Trova la funzione quantile F-1(p).
2. Riporta il five number summary e disegna il boxplot.
28. Supponi che F sia la funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale con
parametro di velocità r.
1. Trova la funzione quantile F-1(p).
2. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile.
3. Con r = 2, disegna il grafico della funzione di densità e indica la media e il primo e
il terzo quartile.
29. Supponi che F sia la funzione di ripartizione della distribuzione di Pareto con
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Funzioni di ripartizione
parametro di forma a.
1. Trova la funzione quantile F-1(p).
2. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile.
3. Con a = 2, disegna il grafico della funzione di densità e indica la media e il primo e
il terzo quartile.
30. Supponi che F sia la funzione di ripartizione della distribuzione di Cauchy.
1. Trova la funzione quantile F-1(p).
2. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile.
3. Disegna il grafico della funzione di densità e indica la media e il primo e il terzo
quartile.
31. Trova la funzione quantile F-1 della funzione di ripartizione F dell'esercizio 19.
32. Trova la funzione quantile F-1 della funzione di ripartizione F dell'esercizio 20.
33. Trova la funzione quantile F-1 della funzione di ripartizione F dell'esercizio 21.
34. Nell'applet quantile, trova la mediana e il primo e terzo quartile delle seguenti
distribuzioni. In ciascun caso, osserva sia la funzione di densità che la funzione di
ripartizione.
1. Distribuzione normale standardizzata (mi = 0, sigma = 1)
2. Distribuzione gamma con parametro di forma 2 e parametro di scala 1.
3. Distribuzione beta con a = 1.5 e b = 2.
4. Distribuzione di Pareto con parametro di forma 2.
35. Supponi che X abbia distribuzione continua su R con densità f simmetrica rispetto
a un punto a:
f(a - t) = f(a + t) per t appartenente a R.
Dimostra che se a + t è un quantile di ordine p allora a - t è un quantile di ordine 1 - p.
La funzione di ripartizione della coda destra
Supponiamo anche qui che X sia una variabile casuale con funzione di ripartizione F. Una
funzione che chiaramente veicola la stessa informazione rispetto a F è la funzione di
ripartizione della coda destra:
G(x) = 1 - F(x) = P(X > x) per x
R.
36. Riporta le proprietà matematiche della funzione di ripartizione della coda destra,
analoghe alle proprietà degli esercizi 1-5.
Supponi che T sia una variabile casuale con distribuzione continua su (0, ). Se
interpretiamo T come la durata di un congegno, la funzione di ripartizione della coda
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Funzioni di ripartizione
destra G è detta funzione di affidabilità: G(t) è la probabilità che il congegno duri almeno
t unità di tempo. Inoltre, la funzione h definita qui sotto è detta funzione del tasso di
guasto:
h(t) = f(t) / G(t).
37. Dimostra che h(t) dt ~ P(t < T < t + dt | T > t) se dt è piccolo.
Quindi, h(t) dt rappresenta la probabilità che il congegno si rompa nelle prossime dt unità
di tempo, sapendo che ha funzionato fino al tempo t. Inoltre, la funzione tasso di guasto
individua completamente la distribuzione di T.
38. Mostra che
G(t) = exp[-
(0, t)
h(s)ds] per t > 0.
39. Prova che la funzione tasso di guasto h soddisfa le seguenti proprietà:
1. h(t)
2.
0 per t > 0.
(t: t > 0)
h(t)dt =
.
40. Di converso, supponi che h soddisfi le condizioni dell'esercizio 39. Prova che la
formula dell'esercizio 38 definisce una funzione di affidabilità.
41. Considera la distribuzione con funzione tasso di guasto h(t) = tk, t > 0.
1. Trova la corrispondente funzione di affidabilità.
2. Trova la corrispondente funzione di densità.
La distribuzione dell'esercizio precedente è la distribuzione di Weibull con parametro di
forma k, che prende il nome da Walodi Weibull.
Funzioni di ripartizione multivariate
Supponiamo che X e Y siano variabili casuali a valori reali relative a un esperimento,
cosicché (X, Y) è un vettore casuale a valori in un sottinsieme di R2. La funzione di
ripartizione di (X, Y) è la funzione F definita come
F(x, y) = P(X
x, Y
y).
Come nel caso a variabile singola, la funzione di ripartizione di (X, Y) individua
completamente la distribuzione di (X, Y).
42. Sia F la funzione di ripartizione di (X, Y), e siano G H, rispettivamente, le funzioni
di ripartizione di X e Y. Dimostra che
1. G(x) = F(x, )
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Funzioni di ripartizione
2. H(y) = F(
, y)
43. Nel contesto dell'esercizio precedente, prova che X e Y sono indipendenti se e solo
se
F(x, y) = G(x)H(y) per ogni x, y.
44. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Trova la funzione di ripartizione di (X, Y).
Trova la funzione di ripartizione di X.
Trova la funzione di ripartizione di Y.
Trova la funzione di ripartizione condizionata di X dato Y = y (0 < y < 1).
Trova la funzione di ripartizione condizionata di Y dato X = x (0 < x < 1)
X e Y sono indipendenti?
Tutti i risultati presentati qui sopra si possono facilmente estendere al caso
n-dimensionale.
La funzione di ripartizione empirica
Supponi che {x1, x2, ..., xn} siano dei dati reali osservati su una variabile casuale a valori
reali. La funzione di ripartizione empirica è definita come
Fn(x) = #{i
{1, 2, ..., n}: xi
x} / n per x
R.
Fn(x) indica quindi la proporzione di valori dei dati minori o uguali di x.
45. Sui dati M&M, calcola la funzione di ripartizione empirica del numero totale di
pastiglie.
46. Nei dati sulla cicala, sia L la lunghezza corporea e G il sesso. Calcola le funzioni di
ripartizione empiriche delle seguenti variabili:
1. L
2. L dato G = maschio
3. L dato G = femmina
4. Credi che L e G siano indipendenti?
Per analizzare dal punto di vista statistico alcuni concetti presentati in questo paragrafo,
vedi il capitolo sui campioni casuali, e in particolare i paragrafi su distribuzioni empiriche
e statistiche d'ordine.
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Trasformazioni di variabili
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7. Trasformazioni di variabili
Il problema generale
Al solito, iniziamo introducendo un esperimento casuale su un certo spazio campionario e
con misura di probabilità P. Supponiamo di avere una variabile casuale X relativa
T. Y = r(X) è pertanto una
all'esperimento, a valori in S e una trasformazione r: S
nuova variabile casuale a valori in T. Se la distribuzione di X è nota, come facciamo a
trovare la distribuzione di Y? In senso superficiale, la soluzione è semplice.
1. Prova che
P(Y
r -1(B)] for B
B) = P[X
T.
Però spesso la distribuzione di X è nota o tramite la sua funzione di ripartizione F o
tramite la sua funzione di densità f, e similmente si sarà interessati a trovare la funzione di
ripartizione o di densità di Y. Questo problema è generalmente più difficile poiché, come
vedremo, anche trasformazioni semplici di variabili con distribuzioni semplici possono
produrre variabili con distribuzioni complesse. Risolveremo questo problema in alcuni
casi particolari.
Trasformazioni discrete
2. Supponi che X abbia distribuzione discreta con densità f (per cui S è numerabile).
Dimostra che Y ha distribuzione discreta con funzione di densità g data da
g(y) =
x in r-1(y)
f(x) per y appartenente a T.
3. Supponi che X abbia distribuzione continua su un sottinsieme S di Rn, con densità f
e che T sia numerabile. Mostra che Y ha distribuzione continua con funzione di densità g
data da
g(y) =
r-1(y) f(x)dx
per y appartenente a T.
4. Supponi di lanciare due dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi (X1,
X2). Trova la funzione di densità delle seguenti variabili casuali:
1. Y = X1 + X2.
2. Z = X1 - X2.
3. U = min{X1, X2}
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Trasformazioni di variabili
4. V = max{X1, X2}
5. (Y, Z)
6. (U, V)
5. Supponi che T abbia funzione di densità f(t) = r exp(-rt), t > 0 dove r > 0 è un
parametro. (Si tratta della distribuzione esponenziale con parametro di velocità r). Trova
la funzione di densità delle seguenti variabili casuali:
1. floor(T) (il minor intero minore o uguale a T).
2. ceil(T) (il minor intero maggiore o uguale a T).
6. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y <
1. Sia I la variabile indicatore dell'evento {X > 1/2} e J la variabile indicatore dell'evento
{Y > 1/2}. Trova la densità di (I, J).
Distribuzioni continue
Supponiamo che Y = r(X), dove X e Y hanno distribuzione continua e X ha densità nota f.
In molti casi la densità di Y può essere ottenuta trovando la funzione di ripartizione di Y
(utilizzando le regole della probabilità) e facendone la derivata.
7. Supponi che X sia distribuita uniformemente sull'intervallo (-2, 2). Sia Y = X2.
1. Trova la funzione di ripartizione di Y.
2. Trova la funzione di densità di Y e tracciane il grafico.
8. Supponi che X sia distribuita uniformemente sull'intervallo (-1, 3). Sia Y = X2.
1. Trova la funzione di ripartizione di Y.
2. Trova la funzione di densità di Y e tracciane il grafico.
L'ultimo esercizio mostra che anche una trasformazione semplice di una distribuzione
semplice può produrre una distribuzione complessa.
9. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = a / xa + 1 per x > 1, dove a > 0 è un
parametro (si tratta della distribuzione di Pareto con parametro di forma a). Sia Y = ln(X).
1. Trova la funzione di ripartizione di Y.
2. Trova la funzione di densità di Y e tracciane il grafico.
Osserva che la variabile casuale Y dell'esercizio precedente ha distribuzione esponenziale
con parametro di velocità a.
10. Supponi che (X, Y) abbia densità f(x, y) = exp(-x -y) per x > 0, y > 0. X e Y sono
pertanto indipendenti, e ciascuno ha distribuzione esponenziale con parametro 1. Sia Z =
Y / X.
1. Trova la funzione di ripartizione di Z.
2. Trova la funzione di densità di Z.
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Trasformazioni di variabili
11. Valore assoluto di una variabile casuale. Supponi che X abbia distribuzione
continua su R con funzione di ripartizione F e funzione di densità f. Dimostra che
1. |X| ha funzione di ripartizione G(y) = F(y) - F(-y) per y > 0.
2. |X| ha funzione di densità g(y) = f(y) + f(-y) per y > 0.
12. Continua. Supponi che la densità f di X sia simmetrica attorno a 0. Sia J il segno
di X, per cui J = 1 se X > 0, J = 0 se X = 0 e J = -1 se X < 0. Prova che
1. |X| ha funzione di ripartizione G(y) = 2F(y) - 1 per y > 0.
2. |X| ha funzione di densità g(y) = 2f(y) per y > 0.
3. J è distribuita uniformemente su {-1, 1}
4. |X| e J sono indipendenti.
La distribuzione uniforme su (0, 1)
Un fatto degno di nota è che la distribuzione uniforme su (0, 1) può essere trasformata in
ciascun'altra distribuzione su R. Ciò è particolarmente importante per le simulazioni,
poiché molti linguaggi di programmazione possiedono algoritmi per la generazione di
numeri casuali, cioè replicazioni di variabili indipendenti, ciascun distribuita su (0, 1). Di
converso, ogni distribuzione continua supportata su un intervallo di R può essere
trasformata nella distribuzione uniforme su (0, 1).
Supponiamo in primo luogo che F sia una funzione di ripartizione, e indichiamo con F-1
la funzione quantile.
13. Supponi che U sia distribuita uniformemente su (0, 1). Prova che X = F-1(U) ha
funzione di ripartizione F.
Assumendo di poter calcolare F-1, l'esercizio precedente mostra come si possa simulare
una distribuzione con funzione di ripartizione F. In altri termini, possimao simulare una
variabile con funzione di ripartizione F semplicemente calcolando un quantile casuale.
14. Supponi che X abbia distribuzione continua su un intervallo S e che la funzione di
ripartizione F sia strettamente crescente su S. Dimostra che U = F(X) ha distribuzione
uniforme su (0, 1).
15. Mostra come simulare, partendo da un numero casuale, la distribuzione uniforme
sull'intervallo (a, b).
16. Mostra come simulare, partendo da un numero casuale, la distribuzione
esponenziale con parametro di velocità r > 0.
17. Mostra come simulare, partendo da un numero casuale, la distribuzione di Pareto
con parametro di forma a > 0.
La formula del cambiamento di variabile
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Trasformazioni di variabili
Quando la trasformazione r è biunivoca e "liscia" (nel senso che non ha "salti"), esite una
formula per trovare la densità di Y direttamente in termini della densità di X. Tale
risultato è detto formula del cambiamento di variabile.
Analizziamo in primo luogo il caso monodimensionale, in cui concetti e formule sono più
semplici. Supponiamo perciò che una variabile casuale X abbia distribuzione continua su
un intervallo S di R con funzione di ripartizione F e funzione di densità f. Supponi che Y
= r(X) dove r è funzione derivabile da S su un intervallo T. Al solito, indicheremo con G
la funzione di ripartizione di Y e con g la funzione di densità di Y.
18. Supponi che r sia strettamente crescente su S. Prova che, per y appartenente a T,
1. G(y) = F[r-1(y)]
2. g(y) = f[r-1(y)] dr-1(y) / dy
19. Supponi che r sia strettamente decrescente su S. Prova che, per y appartenente a T,
1. G(y) = 1 - F[r-1(y)]
2. g(y) = -f[r-1(y)] dr-1(y) / dy
Le formule degli esercizi 18 (a) e 19 (b) possono essere combinate: se r è strettamente
monotona su S allora la densità g di Y è data da
g(y) = f[r-1(y)] |dr-1(y) / dy| per y appartenente a T.
La generalizzazione di questo risultato è in ultima analisi un teorema di analisi
multivariata. Supponiamo che X sia una variabile casuale a valori in un sottinsieme S di
Rn e che X abbia distribuzione continua con funzione di densità di probabilità f.
Supponiamo inoltre che Y = r(X) dove r è una funzione biunivoca e derivabile da S su un
sottinsieme T di Rn. Il Jacobiano (detto così in onore di Karl Gustav Jacobi) della
funzione inversa
x = r -1(y)
è il determinante della matrice di derivate prime della funzione inversa, ovvero la matrice
il cui elemento (i, j) è la derivata di xi rispetto a yj. Indicheremo il Jacobiano con J(y). La
formula del cambiamento di variabile nel caso multivariato afferma che la densità g di Y è
data da
g(y) = f[r-1(y)] |J(y)| per y appartenente a T.
20. Supponi che X sia distribuito uniformemente sull'intervallo (2, 4). Trova la
funzione di densità di Y = X2.
21. Supponi che X abbia funzione di densità f(x) = x2 / 3 per –1 < x < 2. Trova la
funzione di densità di Y = X1/3.
22. Supponi che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a > 0. Trova
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Trasformazioni di variabili
la funzione di densità di Y = 1/X. La distribuzione di Y è una beta con parametri a e b = 1.
23. Supponi che X e Y siano indipendenti e uniformemente distribuite su (0, 1). Sia U
= X + Y e V = X - Y.
1. Disegna il campo di variazione di (X, Y) e di (U, V).
2. Trova la funzione di densità di (U, V).
3. Trova la funzione di densità di U.
4. Trova la funzione di densità di V.
Alcuni dei risultati dell'esercizio precedente saranno generalizzati più avanti.
24. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità di probabilità f(x, y) = 2(x + y) per 0
< x < y < 1. Sia U = XY e V = Y/X.
1. Disegna il campo di variazione di (X, Y) e di (U, V).
2. Trova la funzione di densità di (U, V).
3. Trova la funzione di densità di U.
4. Trova la funzione di densità di V.
Trasformazioni lineari
Le trasformazioni lineari sono tra le più comuni e le più importanti. In più, il teorema del
cambiamento di variabile ha forma particolarmente semplice quando la trasformazione
lineare è espressa in forma matriciale. Supponimo, come sopra, che X sia una variabile
casuale a valori in un sottinsieme S di Rn e che X abbia distribuzione continua su S con
funzione di densità di probabilità f. Sia
Y = AX
dove A è una matrice invertibile n × n. Ricorda che la trasformazione y = Ax è biunivoca,
e la trasformazione inversa è
x = A-1y.
Notiamo che Y assuma valori in un sottinsieme T = {Ax: x
S} of Rn.
25. Dimostra che il Jacobiano è J(y) = det(A-1) per y in T.
26. Applica il teorema del cambiamento di variabile per mostrare che Y ha funzione di
densità
g(y) = f(A-1y) |det(A-1)| for y in T.
La distribuzione uniforme permane sotto trasformazioni lineari:
27. Supponi che X sia distribuita uniformemente su S. Mostra che Y è distribuita
uniformemente su T.
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Trasformazioni di variabili
28. Supponi che (X, Y, Z) sia distribuito uniformemente sul cubo (0, 1)3. Trova la
funzione di densità di
(U, V, W) dove U = X + Y, V = Y + Z, W = X + Z.
29. Supponi che (X, Y) abbia funzione di densità f(x, y) = exp[-(x + y)] per x > 0, y >
0 (quindi X e Y sono indipendenti e con distribuzione esponenziale con parametro 1).
Trova la funzione di densità di
(U, V) dove U = X + 2Y, V = 3X - Y.
Convoluzione
La più importante di tutte le trasformazioni è la semplice addizione.
30. Supponi che X e Y siano variabili casuali discrete e indipendenti, a valori nei
sottinsiemi S e T di R, con funzioni di densità rispettivamente f e g. Prova che la densità
di Z = X + Y è
f * g(z) =
x
f(x)g(z - x)
dove la sommatoria è per gli {x
convoluzione discreta di f e g.
R: x
Sez-x
T}. La densità f * g è detta
31. Supponi che X e Y siano variabili casuali continue e indipendenti, a valori nei
sottinsiemi S e T di R, con funzioni di densità rispettivamente f e g. Prova che la densità
di Z = X + Y è
f * g(z) =
R
f(x)g(z - x)dx.
La densità f * g è detta convoluzione continua di f e g.
32. Prova che la convoluzione (discreta o continua) soddisfa le seguenti proprietà
1. f * g = g * f (proprietà commutativa)
2. f * (g * h) = (f * g) * h (proprietà associativa)
Notiamo che se X1, X2, ..., Xn sono indipendenti e identicamente distribuite con funzione
di densità comune f, allora
Y = X1 + X2 + ··· + Xn.
ha funzione di densità f*n, la convoluzione n-fold di f con se stessa.
33. Supponi di lanciare due dadi equilibrati. Trova la densità della somma dei
punteggi.
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Trasformazioni di variabili
34. Nell'esperimento dei dadi, seleziona due dadi equilibrati. Simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella
teorica.
35. In un dado piatto uno-sei, le facce 1 e 6 si escono con probabilità 1/4 ciascuna e le
altre facce con probabilità 1/8 ciascuna. Supponi di lanciare due volte un dado di questo
tipo. Trova la densità della somma dei punteggi.
36. Nell'esperimento dei dadi, seleziona due dadi piatti uno-sei. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità
empirica a quella teorica.
37. Supponi di lanciare un dado equilibrato e un dado piatto uno-sei. Trova la
funzione di densità della somma dei punteggi.
38. Supponi che X abbia distribuzione esponenziale con parametro di velocità a > 0, Y
abbia distribuzione esponenziale con parametro di velocità b > 0 e che X e Y siano
indipendenti. Trova la densità di Z = X + Y.
39. Sia f la funzione di densità della distribuzione uniforme su (0, 1). Calcola f*2 e f*3.
Traccia i grafici delle densità.
Molte importanti famiglie parametriche di distribuzioni sono chiuse rispetto alla
convoluzione. Ciò significa che, quando due variabili casuali indipendenti hanno
distribuzioni che appartengono a una certa famiglia, così è per la loro somma. Si tratta di
una proprietà molto importante ed è una delle ragioni della rilevanza di tali famiglie.
40. Ricorda che f(n) = exp(-t) tn / n! per n = 0, 1, 2, ... è la funzione di densità di
probabilità della distribuzione di Poisson con parametro t > 0. Supponi che X e Y siano
indipendenti, e che X abbia distribuzione di Poisson con parametro a > 0 mentre Y abbia
distribuzione di Poisson con parametro b > 0. Prova che X + Y ha distribuzione di Poisson
con parametro a + b. Suggerimento: Usa il teorema binomiale.
41. Ricorda che f(k) = C(n, k) pk (1 - p)n - k for k = 0, 1, ..., n è la funzione di densità di
probabilità della distribuzione binomiale con parametri n appartenente a {1, 2, ...} e p
appartenente a (0, 1). Supponi che X e Y siano indipendenti e che X abbia distribuzione
binomiale con parametri n e p mentre Y ha distribuzione binomiale con parametri m e p.
Prova che X + Y ha distribuzione binomiale con parametri n + m e p. Suggerimento: Usa
il teorema binomiale.
Minimo e massimo
Supponi che X1, X2, ..., Xn siano variabili casuali indipendenti a valori reali e che Xi
abbia funzione di ripartizione Fi per ciascun i. Le trasformazioni minimo e massimo sono
molto importanti per un gran numero di applicazioni. Specificamente, siano
● U = min{X1, X2, ..., Xn}
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Trasformazioni di variabili
●
V = max{X1, X2, ..., Xn}
e siano rispettivamente G e H le funzioni di ripartizione di U e V. .
42. Prova che
1. V
x se e solo se X1
x, X2
x, ..., Xn
x.
2. H(x) = F1(x) F2(x) ··· Fn(x) per x appartenente a R.
43. Prova che
1. U > x se e solo se X1 > x, X2 > x, ..., Xn > x.
2. G(x) = 1 - [1 - F1(x)][1 - F2(x)] ··· [1 - Fn(x)] per x appartenente a R.
Se Xi ha distribuzione continua con funzione di densità fi per ogni i, allora U e V hanno
anch'esse distribuzione continua, e le densità possono essere ottenute derivando le
funzioni di ripartizione degli esercizi 37 e 38.
44. Supponi che X1, X2, ..., Xn siano variabili casuali indipendenti distribuite
uniformemente su (0, 1). Trova le funzioni di ripartizione e di densità di
1. U = min{X1, X2, ..., Xn}
2. V = max{X1, X2, ..., Xn}
Nota che U e V dell'esercizio precedente hanno distribuzione beta.
45. Nell'esperimento statistica d'ordine, seleziona la distribuzione uniforme.
1. Poni k = 1 (per avere il minimo U). Modifica n con la barra e osserva la forma della
funzione di densità. Con n = 5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
2. Modifica n con la barra a scorrimento, ponendo ogni volta k = n (per avere il
massimo V) e osserva la forma della funzione di densità. Con n = 5, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di densità
empirica a quella teorica.
46. Supponi che X1, X2, ..., Xn siano variabili casuali indipendenti e che Xi abbia
distribuzione esponenziale con parametro di velocità ri > 0 per ogni i. Trova le funzioni di
densità e di ripartizione di
1. Trova la funzione di ripartizione di U = min{X1, X2, ..., Xn}
2. Trova la funzione di ripartizione di V = max{X1, X2, ..., Xn}
3. Trova la funzione di densità di U e V nel caso in cui ri = r per ciascun i.
Notiamo che il minimo U in (a) ha distribuzione esponenziale con parametro
r1 + r2 + ··· + rn.
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Trasformazioni di variabili
47. Nell'esperimento statistica d'ordine, seleziona la distribuzione esponenziale.
1. Poni k = 1 (per avere il minimo U). Modifica n con la barra e osserva la forma della
funzione di densità. Con n = 5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
2. Modifica n con la barra a scorrimento, ponendo ogni volta k = n (per avere il
massimo V) e osserva la forma della funzione di densità. Con n = 5, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di densità
empirica a quella teorica.
48. Supponi di lanciare n dadi equilibrati. Trova la funzione di densità del
1. punteggio minimo
2. punteggio massimo
49. Nell'esperimento dei dadi, seleziona dadi equilibrati e ciascuna delle seguenti
variabili casuali. Modifica n con la barra e osserva la forma della funzione di densità. Con
n = 4, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della
funzione di densità empirica a quella teorica.
1. punteggio minimo
2. punteggio massimo
50. Supponi di lanciare n dadi piatti uno-sei (le facce 1 e 6 hanno probabilità 1/4; le
facce 2, 3, 4, 5 hanno probabilità 1/8). Trova la funzione di densità del
1. punteggio minimo
2. punteggio massimo
51. Nell'esperimento dei dadi, seleziona dadi piatti uno-sei e ciascuna delle seguenti
variabili casuali. Modifica n con la barra e osserva la forma della funzione di densità. Con
n = 4, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della
funzione di densità empirica a quella teorica.
1. punteggio minimo
2. punteggio massimo
Per un argomento correlato, si rimanda alla trattazione delle statistiche d'ordine nel
capitolo sui campioni casuali.
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9
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Convergenza in distribuzione
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9
8. Convergenza in distribuzione
Definizione
Supponi che Xn, n = 1, 2, ... e X siano variabili casuali a valori reali con funzioni di
ripartizione, rispettivamente, Fn, n = 1, 2, ... e F. Si dice che la distribuzione di Xn
converge alla distribuzione di X per n
Fn(x)
F(x) as n
se
per ogni x in cui F è continua.
Il primo fatto, abbastanza ovvio, che vale la pena notare è che la convergenza in
distribuzione coinvolge esclusivamente le distribuzioni di variabili casuali. Pertanto, esse
possono anche essere definite su spazi campionari diversi (ovvero non riguardare lo stesso
esperimento). Questo contrasta con gli altri concetti di convergenza che abbiamo studiato:
● Convergenza quasi certa
●
Convergence in probabilità
●
Convergence in media k-esima
Mostreremo difatti che la convergenza in distribuzione è la più debole di tutte queste
modalità di convergenza, pur essendo comunque molto importante. Il teorema limite
centrale, uno dei risultati più importanti della probabilità, ha a che vedere con la
convergenza in distribuzione.
Il primo esempio che presentiamo mostra perché la definizione è data in termini di
funzioni di ripartizione, piuttosto che di funzioni di densità, e perché la convergenza è
richiesta unicamente nei punti di continuità della funzione di ripartizione limite.
1. Sia Xn = 1 / n, per n = 1, 2, ... e sia X = 0. Siano fn e f le corrispondenti funzioni di
densità e Fn e F le corrispondenti funzioni di ripartizione. Mostra che
1. fn(x)
0 per n
per ogni x.
2. Fn(x)
0 per n
se x
3. Fn(x)
F(x) as n
0 e Fn(x)
per ogni x
1 per n
se x > 0
0.
Il prossimo esempio mostra che anche quando le variabili sono definite sullo stesso spazio
di probabilità, una successione può convergere in distribuzione, ma non in ogni altra
maniera.
2. Sia I una variabile indicatore con P(I = 1) = 1/2 e sia In = I per n = 1, 2, .... Prova che
1. 1 - I è distribuita come I.
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Convergenza in distribuzione
2. La distribuzione di In converge alla distribuzione di 1 - I per n
.
3. |In - (1 - I)| = 1 per ogni n.
4. P(In non converge a 1 - I per n
) = 1.
5. P(|In - (1 - I)| > 1 / 2) = 1 per ogni n, per cui In non converge a 1 - I in probabilità.
6. E(|In - (1 - I)|) = 1, per ogni n, per cui In non converge a 1 - I in media.
3. Supponi che fn, n = 1, 2, ... e f siano funzioni di densità di probabilità discrete
f(x) per n
per ogni x
definite su un insieme numerabile S e che fn(x)
appartenente a S. Prova che la distribuzione corrispondente a fn converge alla
distribuzione corrispondente a f per n
.
4. Supponi che X sia una variabile casuale a valori reali. Prova che la distribuzione
.
condizionata di X dato X t converge alla distribuzione di X per t
Esistono molti importanti casi in cui una distribuzione notevole converge a un'altra
distribuzione quando un parametro si avvicina a un certo valore limite. In realtà, tali
risultati di convergenza sono parte della ragione per cui tali distribuzioni sono notevoli.
5. Supponi che P(Y = k) = p(1 - p)k - 1 per k = 1, 2, ..., dove p appartenente a (0, 1] è un
parametro. Y ha pertanto distribuzione geometrica con parametro p.
1. Trova la funzione di densità condizionata di Y dato Y n.
2. Prova che la distribuzione in (a) converge alla distribuzione uniforme su {1, 2, ...,
n} as p
0+.
Ricorda che la distribuzione binomiale con parametri n appartenente a {1, 2, ...} e p
appartenente a (0, 1) è la distribuzione del numero dei successi in n prove Bernoulliane,
dove p è la probabilità del successo in una prova. Tale distribuzione ha funzione di
densità di probabilità discreta
f(k) = C(n, k) pk (1 - p)n - k per k = 0, 1, ..., n.
Ricorda inoltre che la distribuzione di Poisson con parametro t > 0 ha funzione di densità
di probabilità discreta:
g(k) = exp(-t) tk / k! per k = 0, 1, 2, ...
6. Prova che per dato t > 0, la distribuzione binomiale con parametri n e pn = t / n
converge alla distribuzione di Poisson con parametro t per n
.
Per ulteriori informazioni su questo importante risultato, puoi vedere il paragrafo sulle
analogie tra prove Bernoulliane e processi di Poisson.
Ricorda che la distribuzione ipergeometrica con parametri N, R e n è il numero di oggetti
di un dato tipo in un campione di dimensione n estratto senza reinserimento da una
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Convergenza in distribuzione
popolazione di N oggetti, di cui R del tipo dato. Ha funzione di densità di probabilità
discreta
f(k) = C(n, k) (R)k (N - R)n - k / (N)n per k = 0, 1, ..., n.
7. Supponi che R dipenda da N e che R / N
p per N
. Prova che, per dato n,
la distribuzione ipergeometrica con parametri N, R, n converge alla distribuzione
binomiale con parametri n e p as N
.
Relazione con la convergenza in probabilità
Supponi che Xn, n = 1, 2, ... e X siano variabili casuali (definite sullo stesso spazio
campionario) con funzioni di ripartizione rispettivamente Fn, n = 1, 2, ... e F. Gli esercizi
X per n
seguenti mostreranno che, se Xn
in probabilità, allora la distribuzione
di Xn converge alla distribuzione di X per n
.
8. Mostra che per r > 0,
1. P(Xn
x) = P(Xn
x, X
x + r) + P(Xn
2. Fn(x)
F(x + r) + P(|Xn - X| > r).
x, X > x + r).
9. Mostra che per r > 0,
1. P(X
x - r) = P(X
2. F(x - r)
x - r, Xn
x) + P(X
x - r, Xn > x).
Fn(x) + P(|Xn - X| > r).
10. Sulla base dei risultati degli esercizi 8 e 9, mostra che per ogni r > 0,
F(x - r) + P(|Xn - X| > r)
Fn(x)
F(x + r) + P(|Xn - X| > r).
11. Supponi ora che Xn
X per n
10 per dimostrare che per r > 0,
F(x - r)
lim infn Fn(x)
12. Poni r
limn Fn(x)
lim supn Fn(x)
in probabilità. Poni n
nell'esercizio
F(x + r)
0 per mostrare che, se F è continua in x allora
F(x) per n
.
Per concludere, le implicazioni vanno da sinistra a destra nella seguente tabella (dove j <
k); nessuna altra implicazione vale in generale.
convergenza quasi certa
convergenza in
convergenza in
media k-esima
media j-esima
convergenza in
probabilità
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convergenza in
distribuzione
Convergenza in distribuzione
In ogni caso, l'esercizio seguente riporta un'importante eccezione quando la variabile
limite è costante:
13. Supponi che X1, X2, ... siano variabili casuali (definite sullo stesso spazio
campionario) e che la distribuzione di Xn converga alla distribuzione della costante c per
. Dimostra che Xn converge in probabilità a c.
n
1. P(Xn
x)
2. P(|Xn - c|
0 per n
r)
se x < c and P(Xn
x)
1 per n
se x > c.
1 per ogni r > 0.
La rappresentazione di Skorohod
Supponiamo che Fn, n = 1, 2, ... e F siano funzioni di ripartizione e che Fn
F per n
nel senso della convergenza in distribuzione. Vedremo ora che esistono variabili
casuali Xn, n = 1, 2, ... e X (definite sullo stesso spazio di probabilità) tali che
1. Xn ha funzione di ripartizione Fn per ogni n,
2. X ha distribuzione F,
3. Xn
X per n
con probabilità 1.
Questo interessante risultato è noto come teorema di rappresentazione di Skorohod. In
primo luogo, sia U distribuita uniformemete sull'intervallo (0, 1). Definiamo le variabili
casuali Xn, n = 1, 2, ... e X come
Xn = Fn-1(U), X = F-1(U),
dove Fn-1 e F-1 sono le funzioni quantile rispettivamente di Fn e F.
14. Ricorda dalle transformazioni della variabile uniforme che Xn ha funzione di
ripartizione Fn e X ha funzione di ripartizione F.
Il nucleo della dimostrazione, presentata nella prossima serie di esercizi, è di provare che
se u appartiene a (0, 1) e F-1 è continua in u allora
Fn-1(u)
F-1(u) per n
.
Sia quindi r > 0 e sia u appartenente a (0, 1). Scegli un punto x di continuità di F tale che
F-1(u) - r < x < F-1(u).
15. Mostra che
1. F(x) < u.
2. Fn(x) < u per n sufficientemente grande.
16. Concludi dall'esercizio 15 che, per n sufficientemente grande
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Convergenza in distribuzione
F-1(u) - r < x < Fn-1(u).
17. Poni n
er
appartenente a (0, 1).
F-1(u)
0+ nell'esercizio 16 per concludere che per ogni u
lim infn Fn-1(u).
Ora, scegliamo un v che soddisfi u < v < 1 e sia r > 0. Scegli un punto di continuità di F
tale che
F-1(v) < x < F-1(v) + r.
18. Mostra che
1. u < v < F(x).
2. u < Fn(x) per n sufficientemente grande.
19. Dall'esercizio 18, concludi che per n sufficientemente grande,
Fn-1(u)
x < F-1(v) + r.
20. Poni n
con u < v,
lim supn Fn-1(u)
21. Poni v
lim supn Fn-1(u)
er
0+ nell'esercizio 19 per concludere che per ogni u, v in (0, 1)
F-1(v).
u- nell'esercizio 20 per mostrare che u è un punto di continuità di F,
F-1(u).
22. Dagli esercizi 16 e 20 concludi che se u è un punto di continuità di F, allora
Fn-1(u)
F-1(u) per n
.
Per completare la dimostrazione, abbiamo bisogno di un risultato dell'analisi: poiché F-1 è
crescente, l'insieme D di punti di discontinuità di F-1 in (0, 1) è numerabile.
23. Nota che
1. P(U D) = 0.
2. P(Xn
X per n
) = 1.
Il seguente risultato illustra il valore della rappresentazione di Skorohod.
24. Supponi che Xn, n = 1, 2, ... e X siano variabili casuali tali che le distribuzioni di
Xn convergano alla distribuzione di X per n
. Se g: R
distribuzione di g(Xn) converge alla distribuzione di g(X) per n
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R è continuo, allora la
.
Convergenza in distribuzione
1. Siano Yn, n = 1, 2, ... e Y variabili casuali, definite sul medesimo spazio
campionario, tali che Yn abbia la stessa distribuzione di Xn per ogni n, Y abbia la
stessa distribuzione di X e Yn
2. Spiega perché g(Yn)
Y per n
g(Y) as n
con probabilità 1.
con probabilità 1.
3. Spiega perché la distribuzione di g(Yn) converge alla distribuzione di g(Y) per n
.
4. Spiega perché g(Yn) ha la stessa distribuzione di g(Xn) e perché g(Y) ha la stessa
distribuzione di g(X).
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Note conclusive
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9. Note conclusive
Libri
Questo capitolo copre argomenti fondamentali che sono trattati, a vari livelli di
approfondimento, in ogni libro di probabilità.
● An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume 1 (terza
edizione) di William Feller è considerato uno dei migliori testi sulla probabilità mai
scritti.
● Un testo eccellente per la probabilità elementare ricco di esempi ed esercizi è A
First Course in Probability (quinta edizione) di Sheldon Ross
●
Una trattazione sintetica della probabilità elementare si ha in The Essentials of
Probability di Richard Durrett
●
Per una trattazione più completa dal punto di vista della misura della probabilità,
puoi vedere Probability and Measure, di Patrick Billingsley.
●
Una trattazione della storia della probabilità è in Games, Gods and Gambling, di
Florence David
Siti esterni
●
Il sito più importante per informazioni storiche sulla probabilità è History of
Mathematics.
Risposte agli esercizi del paragrafo 1
1.2.
1. P[(X1, X2) = (x1, x2)] = 1 / 36 per (x1, x2) appartenente a {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.
2.
3.
4.
5.
P(Y = y) = (6 - |7 - y|) / 36, per y = 2, 3, ..., 12.
P(U = u) = (13 - 2u) / 36 per u = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
P(V = v) = (2v - 1) / 36, per v = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
P[(U, V) = (u, v)] = 2 / 36 se u < v, P[(U, V) = (u, v) = 1 / 36 se u = v, per u, v = 1,
2, 3, 4, 5, 6.
1.8. Sia f(y) = P(Y = y) = C(30, y) C(20, 5 - y) / C(50, 5);
1. f(0) = 0.0073, f(1) = 0.0686, f(2) = 0.2341, f(3) = 0.3641, f(4) = 0.2587, f(5) =
0.0673
2. moda: y = 3.
3. P(Y > 3) = 0.3259
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Note conclusive
1.12. Let f(k) = P(X = k) = C(5, x) (0.4)k (0.6)5 - k per k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
1. f(0) = 0.0778, f(1) = 0.2592, f(2) = 0.3456, f(3) = 0.2304, f(4) = 0.0768, f(5) =
0.0102.
2. moda: k = 2
3. P(X > 3) = 0.9870.
1.15.
1. moda: n = 2.
2. P(N > 4) = 0.1088
1.17. P(I = i1 i2 ... in) = (1 / 6)(1 / 2)n per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e i1, i2, ..., in appartenente a
{0, 1}.
1.19.
1. f(x) = x2 / 10 per x = -2, -1, 0, 1, 2.
2. mode: x = -2, 2.
3. P(X {-1, 1, 2}) = 3 / 5.
1.20.
1. f(n) = (1 - q)qn per n = 0, 1, 2, ...
2. P(X < 2) = 1 - q2.
3. P(X è pari) = 1 / (1 + q).
1.21.
1. f(x, y) = (x + y) / 18 per (x, y)
2. moda (2, 2).
3. P(X > Y) = 1 / 3.
{0, 1, 2}2.
1.22.
1. f(x, y) = xy / 25 per (x, y) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
2. moda (3, 3).
3. P[(X, Y) {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}] = 3 / 5.
1.26. P(X = x | X > 0) = x2 / 5 per x = 1, 2.
1.27. P(U = 2 | Y = 8) = 2 / 5, P(U = 3 | Y = 8) = 2 / 5, P(U = 4 | Y = 8) = 1 / 5.
1.31. Sia N il punteggio del dado e X il numero di teste.
1. P(X = 2) = 33 / 128.
2. P(N = n | X = 2) = (64 / 99) C(n, 2) (1 / 2)n per n = 2, 3, 4, 5, 6.
1.33. Sia V la probabilità di testa per la moneta estratta e X il numero di teste.
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Note conclusive
1. P(X = 2) = 169 / 432.
2. P(V = 1 / 2 | X = 2) = 45 / 169, P(V = 1 / 3 | X = 2) = 16 / 169, P(V = 1 | X = 2) =
108 / 169.
1.34. Sia X il punteggio del dado
P(X = x) = 5 / 24 per x = 1, 6; P(X = x) = 7 / 48 per x = 2, 3, 4, 5.
1.36. Sia X il numero della linea produttiva e D l'evento in cui il pezzo è difettoso.
1. P(D) = 0.037
2. P(X = 1 | D) = 0.541, P(X = 2 | D) = 0.405, P(X = 3 | D) = 0.054
1.37. Le tabelle riportano le funzioni di densità empirica (frequenze relative)
1.
r
3 4 5 6 8 9 10 11 12 14 15 20
P(R = r) 1/30 3/30 2/30 2/30 4/30 5/30 2/30 1/30 3/30 3/30 3/30 1/30
2.
n
50 53 54 55 56 57 58 59 60 61
P(N = n) 1/30 1/30 1/30 4/30 4/30 3/30 9/30 3/30 2/30 2/30
3.
r
3 4 6 8 9 11 12 14 15
P(R = r | N > 57) 1/16 1/16 1/16 3/16 3/16 1/16 1/16 3/16 2/16
1.38. Sesso G: 0 (femmina), 1 (maschio). Specie S: 0 (tredecula), 1 (tredecim), 2
(tredecassini). Le tabelle riportano le funzioni di densità empirica (frequenze relative).
1.
i
0
1
P(G = i) 59 / 104 45 / 104
2.
j
0
1
2
P(S = j) 44 / 104 6 / 104 54 / 104
3.
i
P(G = i, S = j)
0
1
0
16 / 104 28 / 104
j 1
3 / 104 3 / 104
2
40 / 104 14 / 104
4.
i
0
1
P(G = i | W > 0.2 31 / 73 42 / 73
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.4. P(T > 2) = exp(-1) = 0.3679
2.5.
2. moda a =
3. P(A <
/ 2.
/ 4) = 1 - 1 / 21/2 ~ 0.2929.
2.8. P(T > 3) = (17 / 2) exp(-3) ~ 0.4232.
2.11.
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Note conclusive
2. f(x) = 12x2(1 - x), 0 < x < 1.
3. P(1 / 2 < X < 1) = 11 / 16.
2.13.
3. P(-1 < X < 1) = 1 / 2.
2.17.
2. P(Y > 2X) = 5 / 24.
2.18.
1. f(x, y) = 2(x + y), 0 < x < y < 1.
2. P(Y > 2X) = 5 / 12.
2.19.
1. f(x, y) = 6x2y, 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. P(Y > X) = 2 / 5.
2.20.
1. f(x, y) = 15x2y, 0 < x < y < 1.
2. P(Y > 2X) = 1 / 8.
2.21.
1. f(x, y, z) = (x + 2y + 3z) / 3 per 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
2. P(X < Y < Z) = 7 / 36.
2.23. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.
2.25. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.
2.27. P(X > 0, Y > 0) = 1 / 4.
2.29. P(X < Y < Z) = 1 / 6.
2.30.
1. P(T > 30) = 2 / 3.
2. P(T > 45 | T > 30) = 1 / 2.
2.33. f(x, y | X < 1 / 2, Y < 1 / 2) = 8(x + y), 0 < x < 1 / 2, 0 < y < 1 / 2.
2.34. Le densità empriche, basate su semplici partizioni del campo di variazione del
peso e della lunghezza corporei, sono riportate nelle tabelle:
1. BW (0, 0.1] (0.1, 0.2] (0.2, 0.3] (0.3, 0.4]
Densità 0.8654 5.8654 3.0769 0.1923
2.
BL (15, 20] (20, 25] (25, 30] (30, 35]
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Note conclusive
Densità 0.0058 0.1577 0.0346 0.0019
3. BW (0, 0.1] (0.1, 0.2] (0.2, 0.3] (0.3, 0.4]
Densità
0.3390 4.4068 5.0847 0.1695
(G = 0)
2.36.
3. P(Y > X) = 1 / 2.
2.37.
3. P(Y > X) = 1 / 2.
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.6. P(X > 6) = 13 / 40.
3.7. P(Y > X) = 4 / 9.
3.9.
1. P(U < 1) = 1 - exp(-1) ~ 0.6321
2. P(U = 2) = exp(-2) ~ 0.1353
3.13.
2. P(X > 1, Y < 1) = 5 / 18.
3.14.
2. P(V < 1 / 2, X = 2) = 33 / 320 ~ 0.1031
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.6. Le densità congiunte e marginali sono riportate nella tabella seguente; Y e Z sono
dipendenti.
P(Y = y, Z = z)
-5
-4
-3
-2
-1
z 0
1
2
3
4
5
P(Y = y)
y
P(Z = z)
2 3 4 5 6 7 8 9 0 11 12
0 0 0 0 0 1/36 0 0 0 0 0 1/36
0 0 0 0 1/36 0 1/36 0 0 0 0 2/36
0 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 0 3/36
0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 4/36
0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 5/36
1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 6/36
0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 5/36
0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 4/36
0 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 0 3/36
0 0 0 0 1/36 0 1/36 0 0 0 0 2/36
0 0 0 0 0 1/36 0 0 0 0 0 1/36
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1
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Note conclusive
4.7. Le densità congiunte e marginali sono riportate nella tabella seguente; U e V sono
dipendenti.
P(U = u, V = v)
1
2
3
v
4
5
6
P(U = u)
u
P(V = v)
1
2 3 4 5 6
1/36 0 0 0 0 0 1/36
2/36 1/36 0 0 0 0 3/36
2/36 2/36 1/36 0 0 0 5/36
2/36 2/36 2/36 1/36 0 0 7/36
2/36 2/36 2/36 2/36 1/36 0 9/36
2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 1/36 11/36
11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 1
4.8.
1. g(x) = x + 1/2 per 0 < x < 1.
2. h(y) = y + 1/2 per 0 < y < 1.
3. X e Y sono dipendenti.
4.9.
1. g(x) = (1 + 3x)(1 - x) per 0 < x < 1.
2. h(y) = 3y2 per 0 < y < 1.
3. X e Y sono dipendenti.
4.10.
1. g(x) = 3x2 per 0 < x < 1.
2. h(y) = 2y per 0 < y < 1.
3. X e Y sono indipendenti.
4.11.
1. g(x) = (15 / 2)(x2 - x4) per 0 < x < 1.
2. h(y) = 5y4 per 0 < y < 1.
3. X e Y sono dipendenti.
4.12.
1. f(X, Y)(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. f(X, Z)(x, z) = 2z(x + 1 / 2) per 0 < x < 1, 0 < z < 1.
3. f(Y, Z)(y, z) = 2z(y + 1 / 2) per 0 < y < 1, 0 < z < 1.
4. fX(x) = x + 1 / 2 per 0 < x < 1.
5. fY(y) = y + 1 / 2 per 0 < y < 1.
6. fZ(z) = 2z per 0 < z < 1.
7. Z e (X, Y) sono indipendenti; X e Y sono dipendenti.
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Note conclusive
4.16.
1. f(x, y) = 1 / 144, per -6 < x < 6, -6 < y < 6.
2. g(x) = 1 / 12 per -6 < x < 6.
3. h(y) = 1 / 12 per - 6 < y < 6.
4. X e Y sono indipendenti.
4.18.
1. f(x, y) = 1 / 72, per -6 < y < x < 6.
2. g(x) = (x + 6) / 72 per -6 < x < 6.
3. h(y) = (6 - y) / 72 per - 6 < y < 6.
4. X e Y sono dipendenti.
4.20.
1. f(x, y) = 1 / 36
per x2 + y2 < 36.
2. g(x) = (36 - x2)1/2 / 18
per -6 < x < 6.
3. h(y) = (36 - y2)1/2 / 18 per - 6 < y < 6.
4. X e Y sono dipendenti.
4.22.
1. f(x, y, z) = 1 per 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1 (distribuzione uniforme su (0, 1)3).
2. (X, Y), (X, Z), e (Y, Z) hanno funzione di densità comune h(u, v) = 1 per 0 < u < 1,
0 < v < 1 (distribuzione uniforme su (0, 1)2).
3. X, Y, e Z hanno funzione di densità comune g(u) = 1 per 0 < u < 1 (distribuzione
uniforme su (0, 1)).
4. X, Y, Z sono (mutualmente) indipendenti.
4.23.
1. f(x, y, z) = 6 per 0 < x < y < z < 1.
2. f(X, Y)(x, y) = 6(1 - y) per 0 < x < y < 1.
3. f(X, Z)(x, z) = 6(z - x) per 0 < x < z < 1.
4. f(Y, Z)(y, z) = 6y per 0 < y < z < 1.
5. fX(x) = 3(1 - x)2 per 0 < x < 1.
6. fY(y) = 6y(1 - y) per 0 < y < 1.
7. fZ(z) = 3z2 per 0 < z < 1.
8. Le variabili di ciascuna coppia sono dipendenti.
4.25.
1. g(x) = 1 / 3 per x = 1, 2, 3 (distribuzione uniforme su {1, 2, 3}).
2. h(y) = 11 / 18 per 0 < y < 1, h(y) = 5 / 18 per 1 < y < 2, h(y) = 2 / 18 per 2 < y < 3.
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Note conclusive
3. X e Y sono dipendenti.
4.26.
1. g(p) = 6p(1 - p) per 0 < p < 1.
2. h(0) = 1 / 5, h(1) = 3 / 10, h(2) = 3 / 10, h(3) = 1 / 5.
3. X e Y sono dipendenti.
4.27. Le densità empiriche congiunte e marginali sono presentate nella tabella
seguente. Sesso e specie sono probabilmente dipendenti (confronta la densità congiunta
col prodotto delle densità marginali).
P(G = i, S = j)
0
j 1
2
P(G = i)
i
P(S = j)
0
1
16 / 104 28 / 104 44 / 104
3 / 104 3 / 104 6 / 104
40 / 104 14 / 104 56 / 104
59 / 104 45 / 104 1
4.28. Le densità empiriche congiunte e marginali, basate su semplici partizioni del
campo di variazione di peso e lunghezza corporei, sono presentate nella tabella seguente.
Il peso e la lunghezza corporei sono quasi certamente dipendenti.
Densità (BW, BL)
(15, 20]
(20, 25]
BL
(25, 30]
(30, 35]
Densità BW
BW
Densità BL
(0, 0.1] (0.1, 0.2] (0.2, 0.3] (0.3, 0.4]
0
0.0385 0.0192 0
0.0058
0.1731 0.9808 0.4231 0
0.1577
0
0.1538 0.1731 0.0192 0.0346
0
0
0
0.0192 0.0019
0.8654 5.8654 3.0769 0.1923
4.29. Le densità empiriche congiunte e marginali, basate su semplici partizioni del
campo di variazione del peso corporeo, sono presentate nella tabella seguente. Il peso e il
sesso sono quasi certamente dipendenti.
Densità (BW, G)
0
1
Densità BW
G
BW
Densità G
(0, 0.1] (0.1, 0.2] (0.2, 0.3] (0.3, 0.4]
0.1923 2.5000 2.8846 0.0962 0.5673
0.6731 3.3654 0.1923 0.0962 0.4327
0.8654 5.8654 3.0769 0.1923
Risposte agli esercizi del paragrafo 5
5.9. Le densità condizionate di U dati i diversi valori di V sono riportate nella tabella
seguente.
P(U = u | V = v)
1
1
1
2
0
3
0
u
4
0
5
0
6
0
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Note conclusive
v
2
3
4
5
6
2/3 1/3 0 0 0 0
2/5 2/5 1/5 0 0 0
2/7 2/7 2/7 1/7 0 0
2/9 2/9 2/9 2/9 1/9 0
2/11 2/11 2/11 2/11 2/11 1/11
5.10. Le denistà congiunte e marginali sono presentate nella prima tabella. Le densità
condizionate di N dati i diversi valori di X sono riportati nella seconda tabella.
n
P(X = k)
1 2 3 4 5
6
0
1/12 1/24 1/48 1/96 1/192 1/384 21/128
1
1/12 1/12 1/16 1/24 5/192 1/64 5/16
2
0 1/24 1/16 1/16 5/96 5/128 33/128
k
3
0 0 1/48 1/24 5/96 5/96 1/6
4
0 0 0 1/96 5/192 5/128 29/384
5
0 0 0 0 1/192 1/64 1/48
6
0 0 0 0 0
1/384 1/384
P(N = n)
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
n
P(N = n | X = k)
1
2
3
4
5
6
0
32/63 16/63 8/63 4/63 2/63 1/63
1
16/60 16/60 12/60 8/60 5/60 3/60
2
0
16/99 24/99 24/99 20/99 15/99
k
3
0
0
2/16 4/16 5/16 5/16
4
0
0
0
4/29 10/29 15/29
5
0
0
0
0
1/4 3/4
6
0
0
0
0
0
1
P(N = n, X = k)
5.12. Le denistà congiunte e marginali sono presentate nella prima tabella. Le densità
condizionate di I dati i diversi valori di X sono riportati nella seconda tabella.
k
P(I = i)
1 2 3 4 5 6
0
1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2
i
1
1/8 1/16 1/16 1/16 1/16 1/8 1/2
P(X = k) 5/24 7/48 7/48 7/48 7/48 5/24 1
k
P(I = i | X = k)
1 2 3 4 5 6
0
2/5 4/7 4/7 4/7 4/7 2/5
i
1
3/5 3/7 3/7 3/7 3/7 3/5
P(I = i, X = k)
5.14. La densità congiunta di (V, X) e la densità marginale di X sono riportate nella
prima tabella. Le distribuzioni condizionate di V dati i diversi valori di X sono presentate
nella seconda tabella.
k
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Note conclusive
P(V = p, X = k)
1/2
p 1/3
1
P(X = k)
P(V = p)
0
1
2
5/48 10/48 5/48
5/12
1/27 4/27
4/27
4/12
0
0
1/4
3/12
61/432 154/432 217/432 1
k
P(V = p | X = k)
0
1
2
1/2
45/61 45/77 36/217
p 1/3
16/61 32/77 64/217
1
0
0
108/217
5.15. Sia N il numero della lampadina e T la durata.
1. P(T > 1) = 0.1156
b.
n
1
2
3
4
5
P(N = n | T > 1) 0.6364 0.2341 0.0861 0.0317 0.0117
5.16.
1. P(N = n, X = k) = exp(-1) pk (1 - p)n - k / [k! (n - k)!] per n = 0, 1, ...; k = 0, ..., n.
2. P(X = k) = exp(-p) pk / k! per k = 0, 1, ... (Poisson con parametro p).
3. P(N = n | X = k) = exp[-(1 - p)] (1 - p)n - k / (n - k)! per n = k, k + 1, ...
5.17.
1. f(i, y) = 1 / 3i per i = 1, 2, 3 and 0 < y < i.
2. h(y) = 11 / 18 per 0 < y < 1, h(y) = 5 / 18 per 1 < y < 2, h(y) = 2 / 18 per 2 < y < 3.
3. Se 0 < y < 1 allora g(1 | y) = 6 / 11, g(2 | y) = 3 / 11, g(3 | y) = 2 / 11.
Se 1 < y < 2 allora g(1 | y) = 0, g(2 | y) = 3 / 5, g(3 | y) = 2 / 5.
Se 2 < y < 3 allora g(1 | y) = 0, g(2 | y) = 0, g(3 | y) = 1.
5.18.
1. g(x | y) = (x + y) / (y + 1/2) per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. h(y | x) = (x + y) / (x + 1/2) per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
3. X e Y sono dipendenti.
5.19.
1. g(x | y) = (x + y) / 3y2 per 0 < x < y < 1.
2. h(y | x) = (x + y) / [(1 + 3x)(1 - x)] per 0 < x < y < 1.
3. X e Y sono dipendenti.
5.20.
1. g(x | y) = 3x2 / y3 per 0 < x < y < 1.
2. h(y | x) = 2y / (1 - x2) per 0 < x < y < 1.
3. X e Y sono dipendenti.
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Note conclusive
5.21.
1. g(x | y) = 3x2 per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. h(y | x) = 2y per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
3. X e Y sono indipendenti.
5.22.
1. f(p, k) = 6 C(3, k) pk + 1 (1 - p)4 - k per 0 < p < 1, k = 0, 1, 2, 3.
2. h(0) = 1 / 5, h(1) = 3 / 10, h(2) = 3 / 10, h(3) = 1 / 5.
3. g(p | 0) = 30 p (1 - p)4, g(p | 1) = 60 p2 (1 - p)3, g(p | 2) = 60 p3 (1 - p)2, g(p | 3) =
30 p4 (1 - p), 0 < p < 1.
5.23.
1. f(x, y) = 1 / x per 0 < y < x < 1.
2. h(y) = -ln(y) per 0 < y < 1.
3. g(x | y) = -1 / [x ln(y)] per 0 < y < x < 1.
5.26.
1. h(y | x) = 1 / 12 per -6 < x < 6, -6 < y < 6.
2. g(x | y) = 1 / 12 per -6 < x < 6, -6 < y < 6.
3. X e Y sono indipendenti.
5.28.
1. h(y | x) = 1 / (x + 6) per -6 < y < x < 6.
2. g(x | y) = 1 / (6 - y) per -6 < y < x < 6.
3. X e Y sono dipendenti.
5.30.
1. h(y | x) = 1 / 2(36 - x2)1/2 per x2 + y2 < 36
2. g(x | y) = 1 / 2(36 - y2)1/2 per x2 + y2 < 36
3. X e Y sono dipendenti.
5.32.
a. f(X, Y) | Z(x, y | z) = 2 / z2 per 0 < x < y < z < 1.
b. f(X, Z) | Y(x, z | y) = 1 / y(1 - y) per 0 < x < y < z < 1.
c. f(Y, Z) | X(y, z | x) = 2 / (1 - x)2 per 0 < x < y < z < 1.
d. fX | (Y, Z)(x | y , z) = 1 / y per 0 < x < y < z < 1.
e. fY | (X, Z)(y | x , z) = 1 / (z - x) per 0 < x < y < z < 1.
f. fZ | (X, Y)(z | x , y) = 1 / (1 - y) per 0 < x < y < z < 1.
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Note conclusive
Risposte agli esercizi del paragrafo 6
6.12.
[12,
(- ,
[2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 10) [10, 11) [11, 12)
2)
)
y
P(Y
y)
v
P(V
P(Y
0
1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36
, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, )
1/36 4/36 9/36 16/36 25/36 1
(- , 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 10) [10,
2/9 4/9 6/9 8/9
1
y | V = 5) 0
(v) 0
y
35/36
1
)
6.13.
a. P(X
per x
x) = 0 per x < a, P(X
b.
x) = (x - a) / (b - a), per a
x) = 0 per x < 0, P(X
x) = 4x3 - 3x4 per 0
x) = 0 per x < 0, P(X
x) = 1 - exp(-rx) per x
x) = 0 per x < 1, P(X
x) = 1 - 1 / xa per x
x < b, P(X
x) = 1
6.14.
a. P(X
b.
x < 1, P(X
x) = 1 per x
6.15.
a. P(X
0.
6.16.
a. P(X
1.
6.17.
a. P(X
x) = 1/2 + (1/ ) arctan(x)
6.19.
2. f(1) = 1/10, f(3/2) = 1/5, f(2) = 3/10, f(5/2) = 3/10, f(3) = 1/10.
4. P(2
X < 3) = 3/5
6.20.
2. f(x) = 1 / (x + 1)2 per x > 0.
4. P(2
X < 3) = 1/12.
6.21.
3. g(1) = g(2) = g(3) = 1/12.
4. h(x) = 1/4 per 0 < x < 1, h(x) = (x - 1) / 2 per 1 < x < 2, h(x) = 3(x - 1)2 / 4 per 2 < x
< 3.
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Note conclusive
5. P(2
X < 3) = 1/3.
6.27.
1. F-1(p) = a + (b - a)p per 0 < p < 1.
2. min = a, Q1 = (3a + b) /4, Q2 = (a + b) / 2, Q3 = (a + 3b) / 4, max = b.
6.28.
1. F-1(p) = -ln(1 - p) / r per 0 < p < 1.
2. Q1 = [ln(4) - ln(3)] / r, Q2 = ln(2) / r, Q3 = ln(4) / r, Q3 - Q1 = ln(3) / r.
6.29.
1. F-1(p) = (1 - p)-1/a per 0 < p < 1.
2. Q1 = (3 / 4)-1/a, Q2 = (1 / 2)-1/a, Q3 = (1 / 4)-1/a, Q3 - Q1 = (1 / 4)-1/a - (3 / 4)-1/a.
6.30.
1. F-1(p) = tan[ (p - 1/2)] per 0 < p < 1.
2. Q1 = -1, Q2 = 0, Q3 = 1, Q3 - Q1 = 2.
6.31.
●
F-1(p) = 1, 0 < p
●
F-1(p) = 3 / 2, 1 / 10 < p
●
F-1(p) = 2, 3 / 10 < p
●
F-1(p) = 5 / 2, 6 / 10 < p
●
F-1(p) = 3, 9 / 10 < p
1/10
3 / 10
6 / 10
9 / 10
1
6.32. F-1(p) = p / (1 - p) per 0 < p < 1.
6.33.
●
F-1(p) = 4p, 0 < p
●
F-1(p) = 1, 1 / 4 < p
●
F-1(p) = 1 + [4(p - 1 / 3)]1/2, 1 / 3 < p
●
F-1(p) = 2, 7 / 12 < p
●
F-1(p) = 2 + [4(p - 2 / 3)]1/3, 2 / 3 < p
●
F-1(p) = 3, 11 / 12 < p
1/4
1/3
7 / 12
8 / 12
11 / 12
1
6.41.
1. G(t) = exp[-tk + 1 / (k + 1)] per t > 0.
2. f(t) = tk exp[-tk + 1 / (k + 1)] per t > 0.
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Note conclusive
6.44.
1. F(x, y) = (xy2 + yx2) / 2 per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
2. G(x) = (x + x2) / 2 per 0 < x < 1.
3. H(y) = (y + y2) / 2 per 0 < y < 1.
4. G(x | y) = (x2 / 2 + xy) / (y + 1 / 2) per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
5. H(y | x) = (y2 / 2 + xy) / (x + 1 / 2) per 0 < x < 1, 0 < y < 1.
6. X e Y sono dipendenti.
6.45. Sia N il numero complessivo di pastiglie. La funzione di ripartizione empirica di
N è a gradini; la tabella seguente riporta i valori della funzione nei punti di discontinuità.
n
50 53 54 55 56 57 58 59 60 61
n) 1/30 2/30 3/30 7/30 11/30 14/30 23/30 36/30 28/30 1
P(N
Risposte agli esercizi del paragrafo 7
7.4. Vedi 4.6 e 4.7.
7.5. Sia Y = floor(T) e Z = ceil(T).
1. P(Y = n) = exp(-rn)[1 - exp(-r)] per n = 0, 1, ...
2. P(Z = n) = exp[-r(n - 1)][1 - exp(-r)] per n = 1, 2, ...
7.6.
P(I = i, J = j)
j
0
1
i
0 1
1/8 1/4
1/4 3/8
7.7.
1. G(y) = y1/2 / 2 per 0 < y < 4.
2. g(y) = y -1/2 / 4 per 0 < y < 4
7.8.
1. G(y) = y1/2 / 2 per 0 < y < 1, G(y) = (y1/2 + 1) / 4 per 1 < y < 9
2. g(y) = y -1/2 / 4 per 0 < y < 1, g(y) = y -1/2 / 8 per 1 < y < 9.
7.9.
1. G(y) = 1 - exp(-ay) per y > 0.
2. g(y) = a exp(-ay) per y > 0.
7.10.
1. G(z) = 1 - 1 / (1 + z) per z > 0.
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Note conclusive
2. g(z) = 1 / (1 + z)2 per z > 0.
7.15. X = a + U(b - a) dove U è un numero casuale (uniformemente distribuito su (0,
1)).
7.16. X = -ln(1 - U) / r dove U è un numero casuale (uniformemente distribuito su (0,
1)).
7.17. X = 1 / (1 - U)1/a dove U è un numero casuale (uniformemente distribuito su (0,
1)).
7.20. g(y) = y -1/2 / 4 per 4 < y < 16.
7.21. g(y) = y8 per -1 < y < 21/3.
7.22. g(y) = aya - 1 per 0 < y < 1.
7.23.
2. g(u, v) = 1/2 per (u, v) appartenente al quadrato di vertici (0, 0), (1, 1), (2, 0), (1,
-1). Quindi, (U, V) è distribuito uniformemente su tale quadrato.
3. h(u) = u per 0 < u < 1, h(u) = 2 - u per 1 < u < 2.
4. k(v) = 1 - v per 0 < v < 1, k(v) = 1 + v per -1 < v < 0
7.24.
1. g(u, v) = u1/2 v -3/2 (1 + v) per 0 < u < 1 / v, v > 1.
2. h(u) = 2(1 - u) per 0 < u < 1.
3. k(v) = (2 / 3)(1 / v3 + 1 / v2) per v > 1.
7.28. g(u, v, w) = 1 / 2 per (u, v, w) appartenente alla regione rettangolare di R3 di
vertici
(0, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 2, 2).
7.29. g(u, v) = exp[-(4u + v) / 7] / 7 per -3v / 4 < u < 2v, v > 0.
7.33. Sia Y = X1 + X2 la somma dei punteggi.
y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(Y = y) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
7.35. SiaY = X1 + X2 la somma dei punteggi.
y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(Y = y) 1/16 1/16 5/64 3/32 7/64 3/16 7/64 3/32 6/64 1/16 1/16
7.37. Sia Y = X1 + X2 la somma dei punteggi.
y
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
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Note conclusive
P(Y = y) 2/48 3/48 4/48 5/48 6/48 8/48 6/48 5/48 4/48 3/48 2/48
7.38. Sia h la densità di Z.
1. h(z) = a2 z exp(-az) per z > 0 se a = b.
2. h(z) = ab[exp(-az) - exp(-bz)] / (b - a) se a
b.
7.39..
1. f*2(z) = z per 0 < z < 1, f*2(z) = 2 - z per 1 < z < 2.
2. f*3(z) = z2 / 2 per 0 < z < 1, f*3(z) = 1 - (z - 1)2 / 2 - (2 - z)2 / 2 per 1 < z < 2, f*3(z)
= (3 - z)2 / 2 per 2 < z < 3.
7.42.
1. G(t) = 1 - (1 - t)n per 0 < t < 1. g(t) = n(1 - t)n - 1 per 0 < t < 1.
2. H(t) = tn per 0 < t < 1, h(t) = n tn - 1 per 0 < t < 1.
7.43.
1. G(t) = exp(-nrt) per t > 0, g(t) = nr exp(-nrt) per t > 0.
2. H(t) = 1 - [1 - exp(-rt)]n per t > 0, h(t) = [1 - exp(-rt)]n - 1 nr exp(-rt)] per t > 0
7.44. Sia U il punteggio minimo e V il punteggio massimo.
1. P(U = k) = [1 - (k - 1) / 6]n - (1 - k / 6)n per k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. P(V = k) = (k / 6)n - [(k - 1) / 6]n per k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
7.45. Sia U il punteggio minimo e V il punteggio massimo.
1.
k
1
2
3
4
6
P(U = k) 1 - (1/4)n (1/4)n
2.
k
1
2
3
4
5
6
n
n
n
n
n
n
n
P(V = k) (1/4) (3/8) - (1/4) (1/2) - (3/8) (5/8) - (1/2) (3/4)n - (5/8)n 1 - (3/4)n
(3/4)n (3/4)n
(5/8)n (5/8)n
(1/2)n (1/2)n
5
(3/8)n (3/8)n
Laboratorio virtuale > Distribuzioni > 1 2 3 4 5 6 7 8 [9]
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Esperimenti casuali
Laboratorio virtuale > Spazi di Probabilità > [1] 2 3 4 5 6 7 8
1. Esperimenti casuali
Esperimenti
La teoria della probabilità è basata sul concetto di esperimento casuale; ovvero un
esperimento il cui risultato non può essere previsto con certezza prima di eseguire
l'esperimento. Di solito si assume che l'esperimento possa essere ripetuto all'infinito,
essenzialmente sotto le stesse condizioni. Questa assunzione è importante poiché la teoria
della probabilità si occupa dei risultati di lungo termine, al replicare dell'esperimento.
Ovviamente, la definizione completa di un esperimento casuale richiede che si individui
con precisione quali informazioni relative all'esperimento si registrano, ovvero quello che
costituisce l'esito dell'esperimento.
Il termine parametro si riferisce a una quantità non aleatoria, di interesse per il modello,
che una volta fissata resta costante. Molte modelli per esperimenti casuali possiedono uno
o più parametri che si possono modificare per adattarsi allo specifico esperimento che si
intende modellare.
Esperimenti composti
Supponiamo di avere n esperimenti E1, E2, ..., En. Possiamo generare un nuovo
esperimento, composto, eseguendo in sequenza gli n esperimenti (E1 è il primo, E2 il
secondo, e così via), independentemente l'uno dall'altro. Il termine indipendente significa,
intuitivamente, che l'esito di un esperimento non ha influenza sugli altri. Definiremo
questo concetto in termini formali più avanti.
Supponiamo in particolare di avere un esperimento semplice. Un numero fissato (o anche
infinito) di replicazioni indipendenti dell'esperimento semplice costituisce un nuovo
esperimento composto. Molti esperimenti si rivelano essere composti e in più, come
abbiamo già osservato, la stessa teoria della probabilità si basa sull'idea di replicare gli
esperimenti.
Supponiamo ora di avere un esperimento semplice con due possibili esiti. Le replicazioni
indipendenti di questo esperimento si dicono prove Bernoulliane. Questo modello è uno
dei più semplici, ma anche dei più importanti, per la teoria della probabilità. Supponiamo,
più in generale, di avere un esperimento con k possibili esiti. Le replicazioni indipendenti
di questo esperimento si dicono prove multinomiali.
A volte un esperimento si presenta a stadi ben definiti, ma in maniera dipendente, nel
senso che l'esito di un certo stadio è influenzato dagli esiti degli stadi precedenti.
Esperimenti di campionamento
In molti studi statistici, il dato di partenza è una popolazione di unità di interesse. Le unità
possono essere persone, chip di memoria, campi di grano, o qualsivoglia. Di solito si
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Esperimenti casuali
hanno uno o più misure numeriche di interesse: l'altezza e il peso di una persona, la durata
di un chip di memoria, la quantità di pioggia, di fertilizzante e la produzione di un campo
di grano.
Anche se si è interessati all'intera popolazione di unità, di solito tale insieme è troppo
grande per essere studiato. Si raccoglie allora un campione casuale di unità dalla
popolazione e si registrano le misurazioni di interesse per ciascuna unità del campione.
Esistono due tipi fondamentali di campionamento. Se campioniamo con reinserimento,
ogni unità è reinserita nella popolazione prima di ogni estrazione; pertanto, una singola
unità può presentarsi più di una volta nel campione. Se campioniamo senza reinserimento,
le unità estratte non vengono reinserite nella popolazione. Il capitolo sui Modelli di
campionamento finiti analizza vari modelli basati sul campionamento da una popolazione
finita.
Il campionamento con reinserimento può essere pensato come un esperimento composto,
basato su singole replicazioni dell'esperimento semplice consiste nell'estrarre una singola
unità dalla popolazione e registrarne le misure di interesse. Al contrario, un esperimento
composto consistente in n replicazioni indipendenti di un esperimento semplice che può
essere pensato come campionamento. D'altro canto, il campionamento senza ripetizione è
un esperimento formato da stadi dipendenti.
Esercizi
1. Considera l'esperimento di lanciare n monete (distinte) e di registrare l'esito (testa o
croce) per ogni moneta.
1. Identifica un parametro dell'esperimento
2. Definisci l'esperimento come composito
3. Identifica l'esperimento come estrazione con reinserimento
4. Identifica l'esperimento come n prove Bernoulliane
2. Nell'esperimento della moneta dell'esercizio 1, poni n = 5. Simula 100 replicazioni e
osserva i risultati.
3. Considera l'esperimento di lanciare n dadi (distinti) e di registrare il numero di punti
di ogni dado.
1. Identifica un parametro dell'esperimento
2. Definisci l'esperimento come composito
3. Identifica l'esperimento come estrazione con reinserimento
4. Identifica l'esperimento come n prove multinomiali
4. Nell'esperimento dei dadi dell'esercizio 3, poni n = 5. Simula 100 replicazioni e
osserva i risultati.
5. Considera l'esperimento consistente nell'estrarre n carte da un mazzo di 52.
1. Identifica l'esperimento come esperimento composito formato da stadi dipendenti
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Esperimenti casuali
2. Identifica l'esperimento come un campionamento senza ripetizione da una
popolazione
6. Nell<a href="JavaScript:openApplet("CardExperiment")"
class="applet">esperimento delle carte dell'esercizio 5, poni n = 5. Simula 100
replicazioni e osserva gli esiti.
7. L'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta di raggio r
1/2 su un pavimento formato da mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le
coordinate del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il centro
del quadrato e paralleli ai lati.
1. Identifica un parametro dell'esperimento
2. Definisci l'esperimento come composito
3. Identifica l'esperimento come estrazione con reinserimento
8. Nell'esperimento della moneta di Buffon, poni r = 0.1. Simula 100 replicazioni e
osserva i risultati
9. Nel 1879, Albert Michelson ha effettuato un esperimento di misurazione della
velocità della luce attraverso un interferometro. I dati sulla velocità della luce contengono
i risultati di 100 replicazioni dell'esperimento di Michelson. Osserva i dati e spiega, in
termini generali, la loro variabilità.
10. Nel 1998, due studenti dell'università dell'Alabama a Huntsville hanno progettato il
seguente esperimento: acquistare un pacchetto di M&Ms (di una certa marca
reclamizzata) e registrare il numero di pastiglie rosse, verdi, blu, arancio e gialle e il peso
netto (in grammi). Analizza i dati M&M e spiega, in termini generali, la loro variabilità.
11. Nel 1999, due ricercatori dell'università di Belmont hanno progettato il seguente
esperimento: catturare una cicala nella regione centrale del Tennessee e registrarne il peso
corporeo (in grammi), la lunghezza e larghezza delle ali, la lunghezza del corpo (in
millimetri), il sesso e la specie. I dati sulla cicala contengono i risultati di 104 replicazioni
dell'esperimento. Osserva i dati e spiega, in termini generali, la loro variabilità.
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Insiemi ed eventi
Laboratorio virtuale > Spazi di Probabilità > 1 [2] 3 4 5 6 7 8
2. Insiemi ed eventi
La teoria degli insiemi è fondamentale così per la probabilità come per quasi ogni altro
ramo della matematica. Nella probabilità, la teoria degli insiemi è utilizzata come
linguaggio per modellare e descrivere gli esperimenti.
Insiemi e sottinsiemi
Per iniziare, un insieme è, semplicemente, una collezione di oggetti; gli oggetti sono detti
elementi dell'insieme. L'affermazione che s è un elemento dell'insieme S si scrive s S.
(In questo progetto, per semplicità notazionale, useremo a volte solo la parola in.)
Se A e B sono insiemi, allora A è un sottinsieme di B se ogni elemento di A è anche un
elemento di B:
A
B se e solo se s
A implica s
B.
Per definizione, ogni insieme è completamente individuato dai suoi elementi. Pertanto, gi
insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi:
A = B se e solo se A
BeB
A.
Nella maggior parte delle applicazioni della teoria degli insiemi, tutti gli insiemi che si
considerano sono sottinsiemi di un certo insieme universo. Al contrario, l'insieme vuoto,
indicato con Ø, è un insieme privo di elementi.
1. Usa la definizione formale dell'implicazione per mostrare che l'insieme vuoto è un
sottinsieme di ogni insieme A.
Un insieme si dice numerabile se può essere messo in corrispondenza uno a uno con un
sottinsieme degli interi. Quindi, un insieme numerabile è un insieme, finito o infinito, che
può essere "contato" con i numeri interi. Al contrario, l'insieme dei numeri reali non è
numerabile. Il termine corrispondenza uno a uno è definito formalmente nel prossimo
paragrafo su funzioni e variabili casuali.
Spazio campionario ed eventi
Lo spazio campionario di un esperimento casuale è un insieme S che include tutti i
possibili esiti dell'esperimento; lo spazio campionario ha la funzione di insieme universo
nella modellazione dell'esperimento. Per gli esperimenti semplici, lo spazio campionario è
esattamente l'insieme di tutti i possibili esiti. Più spesso, per gli esperimenti composti, lo
spazio campionario è un insieme matematicamente trattabile che comprende tutti i
possibili esiti e anche altri elementi. Per esempio, se l'esperimento consiste nel lanciare un
dado a sei facce e registrare il risultato, lo spazio campionario è S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, cioè
l'insieme dei possibili esiti. D'altra parte, se l'esperimento consiste nel catturare una cicala
e misurare il suo peso corporeo (in milligrammi), possiamo prendere come spazio
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Insiemi ed eventi
campionario S = [0, ), anche se la maggior parte degli elementi di questo insieme sono
impossibili all'atto pratico.
Certi sottinsiemi dello spazio campionario di un esperimento sono detti eventi. Quindi, un
evento è un insieme di esiti di un esperimento. Ogni volta che si esegue l'esperimento, un
dato evento A si verifica, se l'esito dell'esperimento è un elemento di A, o non si verifica,
se l'esito dell'esperimento non è un elemento di A. Intuitivamente, si può pensare
all'evento come a un'affermazione significativa relativa all'esperimento.
Lo stesso spazio campionario S è un evento; per definizione si verifica sempre.
All'estremo opposto, anche l'insieme vuoto Ø è un evento; per definizione, non si verifica
mai. Più in generale, se A e B sono eventi dell'esperimento e A è sottinsieme di B, allora
il verificarsi di A implica il verificarsi di B.
Insiemi prodotto
Di solito l'esito di un esperimento consiste in una o più misurazioni e pertanto lo spazio
campionario è formato da tutte le possibili sequenze di misurazioni. Abbiamo pertanto
bisogno di una notazione appropriata per costruire insiemi di sequenze.
Supponiamo in primo luogo di avere n insiemi S1, S2, ..., Sn. Il prodotto Cartesiano (che
prende il nome da René Descartes) di S1, S2, ..., Sn indicato
S1 × S2 × ··· × Sn
è l'insieme di tutte le sequenze (ordinate) (s1, s2 , ..., sn) dove si è un elemento di Si per
ogni i. Ricorda che due sequenze ordinate solo uguali se e solo se i loro elementi
corrispondenti sono uguali:
(s1, s2 , ..., sn) = (t1, t2 , ..., tn) se e solo se si = ti per i = 1, 2, ....
Se abbiamo n esperimenti con spazi campionari S1, S2, ..., Sn, allora S1 × S2 × ··· × Sn è lo
spazio campionario naturale per l'esperimento composto che consiste nell'eseguire gli n
esperimenti in sequenza. Se Si = S per ogni i, allora l'insieme prodotto può essere scritto
in forma compatta come
Sn = S × S × ··· × S (n fattori).
Quindi, se abbiamo un esperimento semplice con spazio campionario S, allora Sn è lo
spazio campionario naturale per l'esperimento composto che consiste nel replicare n volte
l'esperimento semplice. In particolare, R indicherà l'insieme di numeri reali tali che Rn è
un spazio Euclideo a n dimensioni. In molti casi, lo spazio campionario di un esperimento
casuale, e quindi gli eventi dell'esperimento, sono sottinsiemi di Rn per un dato n.
Supponiamo ora di avere una collezione infinita di insiemi S1, S2, ..., il prodotto
Cartesiano di S1, S2, ..., indicato con
S1 × S2 × ···
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Insiemi ed eventi
è l'insieme di tutte le sequenze ordinate (s1, s2 , ...,) dove si è un elemento di Si per ogni i.
Di nuovo, sue sequenze ordinate sono uguali se e solo se i loro elementi corrispondenti
sono uguali. Se abbiamo una sequenza infinita di esperimenti con spazi campionari S1, S2,
..., allora S1 × S2 × ··· è o spazio campionario naturale per l'esperimento composto che
consiste nell'effettuare gli esperimenti dati in sequenza. In particolare, lo spazio
campionario dell'esperimento composto che consiste in infinite replicazioni di un
esperimento semplice è S × S × ···. Questo è un caso particolare fondamentale, perché la
teoria della probabilità è basata sull'idea di replicare un dato esperimento.
Operazioni sugli insiemi
Siamo ora pronti per richiamare le operazioni fondamentali della teoria degli insiemi. Per
un dato esperimento casuale, tali operazioni possono essere utilizzate per costruire nuovi
eventi a partire da eventi dati. Per le seguenti definizioni, supponiamo che A e B siano
sottinsiemi dell'insieme universo, che indicheremo con S.
L'unione di A e B è l'insieme ottenuto combinando gli elementi di A e di B.
A
B = {s
S: s
Aos
B}.
Se A e B sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora l'unione di A e B
è l'evento che si verifica se e solo se A si verifica o B si verifica.
L'intersezione di A e B è l'insieme di elementi comuni sia ad A che a B:
A
B = {s
S: s
Aes
B}.
Se A e B sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora l'intersezione di
A e B è l'evento che si verifica se e solo se A si verifica e B si verifica. Se l'intersezione
degli insiemi A e B è vuoto, allora A e B si dicono disgiunti:
A
B = Ø.
Se A e B sono disgiunti in un esperimento, allora sono incompatibili; non possono
verificarsi entrambi contemporaneamente.
Il complementare di A è l'insieme degli elementi che non appartengono ad A ed è indicato
con Ac:
Ac = {s
S: s
A}.
Se A è un evento di un esperimento con spazio campionario S, allora il complementare di
A è l'evento che si verifica se e solo se A non si verifica.
2. Le operazioni sugli insiemi si rappresentano spesso con piccolo grafici schematici
noti come diarammi di Venn, che prendono nome da John Venn. Nell'applet diagramma
di Venn, seleziona ciascuna delle seguenti opzioni e osserva l'area ombreggiata del
diagramma.
1. A
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Insiemi ed eventi
2. B
3. Ac
4. Bc
5. A
B
6. A
B
Regole fondamentali
Nei seguenti problemi, A, B, e C sono sottinsiemi dell'insieme universo S.
3. Prova che A
B
A
A
B
4. Prova le leggi commutative:
1. A
B=B
A
2. A
B=B
A
5. Prova le leggi associative:
1. A
(B
C) = (A
B)
C
2. A
(B
C) = (A
B)
C
6. Prova le leggi distributive:
1. A
(B
C) = (A
B)
(A
C)
2. A
(B
C) = (A
B)
(A
C)
7. Prova le leggi di DeMorgan (che prendono nome da Agustus DeMorgan):
1. (A
B)c = Ac
Bc.
2. (A
B)c = Ac
Bc.
8. Prova che B
Quando A
Ac.
B, B
Ac è l'evento che si verifica se e solo se B si verifica, mentre A no.
Ac si scrive a volte come B - A. Quindi, S - A è la stessa cosa di
9. Prova che (A
Bc)
(B
Ac) è l'evento che si verifica se e solo se uno, ma
non entrambi gli eventi si verificano. Questo evento è detto differenza simmetrica e
corrisponde all'exclusive or.
10. Mostra che (A
B)
(Ac
Bc) è l'evento che si verifica se e solo se entrambi
gli eventi si verificano o se nessuno dei due si verifica.
11. Prova che, in generale, a partire da due eventi dati A e B, si possono costruire 16
eventi distinti.
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Insiemi ed eventi
12. Nell'applet diagramma di Venn, osserva il diagramma di ciasuno dei 16 eventi che
si possono costruire a partire da A e B. Osserva, in particolare, il diagramma degli eventi
degli esercizi 8, 9 e 10.
Esercizi numerici
13. Considera l'esperimento consistente nel lanciare due volte un dado e registrare i
due punteggi. Sia A l'evento in cui il punteggio del primo dado è 1 e B l'evento in cui la
somma dei punteggi è 7.
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica A come sottinsieme di S.
3. Indica B come sottinsieme di S.
4. Indica A
B come sottinsieme di S.
5. Indica A
B come sottinsieme di S.
6. Indica Ac
Bc come sottinsieme di S.
14. Nell'esperimento dei dadi, seleziona i dadi equilibrati e poni n = 2. Simula 100
replicazioni e conta il numero di volte in cui ciascun evento dell'esercizio precedente si
verifica.
15. Considera l'esperimento che consiste nell'estrarre una carta da un mazzo ordinario.
Il risultato si registra riportando la denominazione e il seme della carta estratta. Sia Q
l'evento in cui la carta è una regina e H l'evento in cui la carta è di cuori.
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica Q come sottinsieme di S.
3. Indica H come sottinsieme di S.
4. Indica Q
H come sottinsieme di S.
5. Indica Q
H come sottinsieme di S.
6. Indica Q
Hc come sottinsieme di S.
16. Nell'esperimento delle carte, poni n = 1. Simula 100 replicazioni e conta il numero
di volte in cui ciascun evento dell'esercizio precedente si verifica.
17. Ricorda che l'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta
di raggio r 1/2 su un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le
coordinate del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il centro
del quadrato e paralleli ai lati. Sia A l'evento in cui la moneta non tocca i lati del quadrato
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica A come sottinsieme di S.
3. Indica Ac come sottinsieme di S.
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Insiemi ed eventi
18. Nell'esperimento della moneta di Buffon, poni r = 1/4. Simula 100 replicazioni e
conta il numero di volte in cui l'evento A dell'esercizio precedente si verifica.
19. Un esperimento consiste nel lanciare un paio di dadi finché la somma dei punteggi
è 5 o 7. Registra il numero di lanci. Trova lo spazio campionario di questo esperimento.
20. Un esperimento consiste nel lanciare un paio di dadi finché la somma dei punteggi
è 5 o 7. Registra il punteggio finale dei dadi. Sia A l'evento in cui la somma è 5 invece
che 7.
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica A come sottinsieme di S.
21. L'esperimento dado-moneta consiste nel lanciare un dado e poi lanciare una
moneta un numero di volte indicato dal dado. Registra la sequenza degli esiti del lancio
della moneta. Sia A l'evento in cui si hanno esattamente due teste
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica A come sottinsieme di S.
22. Simula l'esperimento dado-moneta, con le impostazioni predefinite, 100 volte.
Conta il numero di volte in cui si verifica A dell'esercizio precedente.
23. Nell'esperimento moneta-dado, abbiamo una moneta e due dadi, uno rosso e uno
verde. Per prima cosa, lancia la moneta; se il risultato è testa lancia il dado rosso, se
invece il risultato è croce, lancia il dado verde. Registra l'esito della moneta e il risultato
del dado. Sia A l'evento in cui il punteggio dei dadi è almeno 4.
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica A come sottinsieme di S.
24. Replica l'esperimento moneta-dado, con le impostazioni predefinite, per 100 volte.
Conta il numero di volte in cui l'evento A dell'esercizio precedente si verifica.
25. In un certo collegio, sono candidati alla camera dei deputati i signori 1, 2 e 3. Un
consulente politico registra, età (in anni), sesso e candidato preferito, in un campione di
100 elettori. Assumi che un elettore debba avere almeno 18 anni. Definisci lo spazio
campionario dell'esperimento.
26. Nell'esperimento di base della cicala, si cattura una cicala nella regione centrale
del Tennessee e si registrano le seguenti misurazioni: peso corporeo (in grammi),
lunghezza e larghezza delle ali e lunghezza del corpo (in millimetri), sesso e specie. I dati
sulla cicala riguardano gli esiti di 104 replicazioni di questo esperimento.
1. Definisci lo spazio campionario dell'esperimento semplice.
2. Sia F l'evento in cui la cicala è femmina. Indica F come sottinsieme dello spazio
campionario.
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Insiemi ed eventi
3. Determina se F si verifica per ogni cicala dei dati.
4. Riporta lo spazio campionario per l'esperimento composto che consiste in 104
replicazioni dell'esperimento semplice.
27. Nell'esperimento semplice M&Ms, si acquista un sacchetto di M&Ms (di
dimensione specificata) e si registrano i seguenti dati: il numero di pastiglie rosse, verdi,
blu, gialle, arancio e marroni e il peso netto (in grammi). I dati M&M riportano il risultato
di 30 replicazioni dell'esperimento.
1. Definisci lo spazio campionario dell'esperimento semplice.
2. Sia A l'evento in cui il sacchetto contiene almeno 57 pastiglie. Indica A come
sottinsieme dello spazio campionario.
3. Determina se A si verifica per ogni sacchetto dei dati.
4. Riporta lo spazio campionario per l'esperimento composto che consiste in 30
replicazioni dell'esperimento semplice.
28. Un sistema è formato da 5 componenti, indicate con 1, 2, 3, 4 e 5. Ogni
componente è funzionante (indicato con 1) o difettoso (indicato con 0). Si registra la
sequenza di stati dei componenti. Sia A l'evento in cui la maggior parte dei componenti
funziona.
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica A come sottinsieme di S.
29. Due componenti, indicate con 1 e 2, sono messe in funzione finché non si
guastano; si registra la sequenza dei tempi di guasto (in ore). Sia A l'evento in cui la
componente 1 dura più di 1000 ore e sia B l'evento in cui la componente 1 dura più della
componente 2.
1. Definisci matematicamente lo spazio campionario S.
2. Indica A come sottinsieme di S.
3. Indica B come sottinsieme di S.
4. Indica A
B come sottinsieme di S.
5. Indica A
B come sottinsieme di S.
6. Indica A
Bc come sottinsieme di S.
Operazioni generalizzate
Le operazioni di unione e intersezione possono essere facilmente generalizzate a una
collezione finita o addirittura infinita di insiemi. Supponiamo che Aj sia un sottinsieme
dell'insieme universo S per ogni j appartenente a un insieme non vuoto di indici J.
L'unione degli insiemi Aj, j
insiemi dati:
J è l'insieme ottenuto combinando gli elementi degli
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Insiemi ed eventi
j
Aj = {s
S: s
Aj per qualche j}.
Se Aj, j J sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora l'unione è
l'evento che si verifica se e solo se almeno uno degli eventi dati si verifica.
L'intersezione degli insiemi Aj, j
dati:
j
Aj = {s
S: s
J è l'insieme di elementi comuni a tutti gli insiemi
Aj per ogni j}.
Se Aj, j J sono eventi di un esperimento con spazio campionario S, allora
l'interesezione è l'evento che si verifica se e solo se ogni evento della collezione si è
verificato.
Gli insiemi Aj, j J sono mutualmente disgiunti se l'intersezione di due qualsiasi di
questi insiemi è vuota:
Ai
Aj = Ø per i
j.
Se Aj, j J sono eventi di un esperimento casuale, ciò significa che sono mutualmente
incompatibili; al più uno di tali eventi può verificarsi ad ogni replicazione
dell'esperimento.
Gli insiemi Aj, j J costituiscono una partizione dell'insieme B se Aj, j
mutualmente disgiunti e
j Aj
J sono
= B.
Regole fondamentali
Nei seguenti problemi, Aj, j
J e B sono sottinsiemi dell'insieme universo S.
30. Prova le leggi distributive generalizzate:
1. [
j
Aj]
B=
j
(Aj
B)
2. [
j
Aj]
B=
j
(Aj
B)
31. Prova le leggi di DeMorgan generalizzate:
1. [
j
Aj] c =
j Aj
c.
2. [
j
Aj]c =
Ajc .
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Insiemi ed eventi
32. Supponi che gli insiemi Aj, j
B, j
sottinsieme B, gli insiemi Aj
J siano una partizione di S. Prova che, per ogni
J, sono una partizione di B.
Regole per gli insiemi prodotto
Vediamo ora che relazione sussiste tra le operazioni sugli insiemi e il prodotto Cartesiano.
Supponiamo che S1 e S2 siano insiemi e che A1, B1 siano sottinsiemi di S1 mentre A2, B2
sono sottinsiemi di S2. Gli insiemi negli esercizi che seguono sono sottinsiemi di S1 × S2.
33. Dimostra che (A1 × A2)
(B1 × B2) = (A1
B1) × (A2
B2).
34. Prova che
1. (A1 × A2)
(B1 × B2)
(A1
B1) × (A2
B2),
2. In (a), l'uguaglianza non vale in generale.
3. (A1 × A2)
prodotto.
(B1 × B2) può essere scritto come unione disgiunta di insiemi
35. Mostra che
1. (A1c × A2c)
(A1 × A2)c.
2. In (a), l'uguaglianza non vale in generale.
3. (A1 × A2)c può essere scritto come unione disgiunta di insiemi prodotto.
Queste ultime sezioni coprono argomenti più avanzati e possono essere omesse a una
prima lettura.
Sigma Algebre
Nella teoria della probabilità, così come in molte altre teorie matematiche, è spesso
impossibile includere nella teoria tutti i sottinsiemi dell'insieme universo S. Esistono ad
esempio molti esempi strani e patologici di sottinsiemi di R che non hanno alcun ruolo
particolare nella matematica applicata. In ogni caso, desideriamo che la nostra collezione
di sottinsiemi sia chiusa rispetto alle operazioni introdotte sopra. In particolare, si ha di
solito bisogno che valga la seguente proprietà:
Ogni insieme che può essere costruito a partire da un numero di insiemi
ammissibili usando le operazioni su insiemi dev'essere egli stesso
ammissibile.
Ciò ci conduce a una definizione cruciale. Supponiamo che A sia una collezione di
sottinsiemi di S. Allora A si dice sigma algebra se
1. S
2. Se A
A.
A allora Ac
A.
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Insiemi ed eventi
3. If Aj
Aj
A per ogni j appartenente a un insieme numerabile di indici J, allora
j
A.
36. Prova che Ø
A.
37. Dimostra che, se Aj
J, allora
j
Aj
A per ogni j appartenente a un insieme numerabile di indici
A. Suggerimento: Usa le leggi di DeMorgan.
In ogni esperimento casuale, assumiamo che la collezione di eventi formi una sigma
algebra.
Costruzioni generali
Sia {0, 1}S la collezione di tutti i sottinsiemi di S, detta insieme delle parti di S.
Chiaramente, {0, 1}S è la più grande sigma algebra di S, e come abbiamo visto in
precedenza, è spesso troppo grande per essere utilizzabile. La notazione insolita che
useremo sarà spiegata nel prossimo paragrafo su funzioni e variabili casuali.
All'estremo opposto, la sigma algebra più piccola di S è indicata dal seguente esercizio.
38. Dimostra che {Ø, S} è una sigma algebra.
In molti casi, vogliamo costruire una sigma algebra che contenga alcuni insiemi
fondamentali. L'esercizio seguente mostra come fare.
39. Supponi che Aj sia una sigma algebra di sottinsiemi di S per ogni j appartenente a
un insieme numerabile di indici J. Dimostra che l'intersezione A riportata qui sotto è
anch'essa una sigma algebra di sottinsiemi di S.
A=
j Aj.
Supponi ora che B sia una collezione di sottinsiemi di S. Interpreta gli insiemi di B come
insiemi semplici; ma in generale B non sarà una sigma algebra. La sigma algebra generata
da B è l'interesezione di tutte le sigma algebre che contengono B, e, per l'esercizio
precedente, è di fatto una sigma algebra:
sigma(B) =
{A: A è una sigma algebra di sottinsiemi di S e B
A}.
40. Mostra che sigma(B) è la sigma lagebra più piccola che contiene B:
1. B
sigma(B)
2. Se A è una sigma algebra di sottinsiemi di S e B
A allora sigma(B)
41. Supponi che A sia un sottinsieme di S. Mostra che
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A.
Insiemi ed eventi
sigma({A}) = {Ø, A, Ac, S}.
42. Supponi che A e B siano sottinsiemi di S. Trova i 16 (in generale distinti) insiemi
di sigma({A, B}).
43. Supponi che A1, A2, ..., An siano sottinsiemi di S. Prova che esistono 2^(2n) (in
generale distinti) insiemi nella sigma algebra generata dagli insiemi dati.
Casi particolari
Parleremo adesso delle sigma algebre naturali che useremo per vari spazi campionari e
altri insiemi nel corso di questo progetto.
●
●
Se S è numerabile, usiamo l'insieme delle parti {0, 1}S come sigma algebra.
Quindi, tutti gli insiemi sono ammissibili.
Per R, l'insieme dei numeri reali, usiamo la sigma algebra generata dalla collezione
di tutti gli intervalli. Questa è detta a volte sigma algebra di Borel, in onore di Emil
Borel.
Come notato in precedenza, gli insiemi prodotto hanno un ruolo chiave nella teoria della
probabilità. Supponiamo quindi che S1, S2, ..., Sn siano insiemi e che Ai sia una sigma
algebra di sottinsiemi di Si per ogni i. Per l'insieme prodotto
S = S1 × S2 × ··· × Sn,
usiamo la sigma algebra A generata dalla collezione di tutti gli insiemi prodotto della
forma
A1 × A2 × ··· × An dove Ai
Ai per ogni i.
Questa idea si può estendere a un prodotto infinito. Supponiamo che S1, S2, ... siano
insiemi e che Ai sia una sigma algebra di sottinsiemi di Si per ogni i. Per l'insieme
prodotto
S = S1 × S2 × ··· ,
usiamo la sigma algebra A generata dalla collezione di tutti gli insiemi prodotto della
forma
A1 × A2 × ··· × An × Sn+1 × Sn+2 × ··· dove n è un intero positivo e Ai
Ai per ogni i.
Combinando la costruzione del prodotto con le nostre osservazioni precedenti su R, nota
che per Rn, utilizziamo la sigma algebra generata dalla collezione di tutti i prodotti degli
intervalli. Questa è la sigma algera di Borel per Rn.
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Misura di probabilità
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4. Misura di probabilità
Supponiamo di avere un esperimento casuale con spazio campionario S. La probabilità di
un evento è un misura di quanto è plausibile che l'evento si verifichi nell'esecuzione
dell'esperimento.
Assiomi
Matematicamente, una misura di probabilità (o distribuzione) P per un esperimento
casuale è una funzione a valori reali definita sulla collezione di eventi che soddisfa i
seguenti assiomi:
1. P(A) 0 per ogni evento A.
2. P(S) = 1
3. P[
j in J Aj] =
j in J P(Aj) se {Aj: j
a due a due disgiunti.
J} è una collezione numerabile di eventi
Il terzo assioma è detto della additività numerabile, e afferma che la probabilità
dell'unione di una collezione finita o infinita ma numerabile di eventi disgiunti è la
somma delle corrispondenti probabilità. Gli assiomi sono detti anche assiomi di
Kolmogorov, in onore di Andrey Kolmogorov.
Gli assiomi 1 e 2 rappresentano unicamente una convenzione; scegliamo di misurare la
probabilità di un evento con un numero tra 0 e 1 (invece che, ad esempio, con un numero
tra -5 e 7). L'assioma 3, invece, è fondamentale e inevitabile. È necessario per la teoria
della probabilità per la stessa ragione per cui è necessario per le altre misure di
"dimensione" di un insieme, come
● cardinalità per insiemi finiti,
● lunghezza per sottinsiemi di R,
●
area per sottinsiemi di R2,
●
volume per sottinsiemi di R3.
D'altra parte, l'additività non numerabile (l'estensione dell'assioma 3 a un insieme non
numerabile di indici J) è irragionevole per la probabilità così come per le altre misure. Per
esempio, un intervallo di lunghezza positiva di R è unione di infiniti punti, ciascuno di
lunghezza 0.
Abbiamo ora tre ingredienti essenziale per modellare un esperimento casuale:
1. Lo spazio campionario S,
2. La sigma algebra degli eventi A,
3. La misura di probabilità P.
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Misura di probabilità
Insieme, questi definiscono uno spazio di probabilità (S, A, P).
La legge dei grandi numeri
Intuitivamente, la probabilità di un evento dovrebbe misurare la frequenza relativa
dell'evento a lungo termine. Specificamente, supponiamo di ripetere indefinitamente
l'esperimento (osserva che ciò costituisce un nuovo esperimento composto). Per un evento
A dell'esperimento base, sia Nn(A) il numero di volte che A si è verificato (la frequenza di
A) nelle prime n replicazioni (nota che si tratta di una variabile casuale dell'esperimento
composto). Quindi,
Pn(A) = Nn(A) / n
è la frequenza relativa di A nelle prime n replicazioni. Se abbiamo scelto la misura di
probabilità corretta per l'esperimento, allora in un certo senso ci aspettiamo che la
frequenza relativa di ciascun evento converga alla probabilità dell'evento stesso:
Pn(A)
P(A) per n
.
La formalizzazione di questa intuizione è la legge dei grandi numeri o legge della media,
uno dei teoremi più importanti della probabilità. Per sottolineare questo punto, osserviamo
che in generale esisteranno molte possibili misure di probabilità per un esperimento che
soddisfano gli assiomi. Però, solo la vera misura di probabilità soddisferà la legge dei
grandi numeri.
Segue che, se abbiamo dati da n replicazioni dell'esperimento, la frequenza relativa
osservata Pn(A) può essere utilizzata come approssimazione di P(A); tale
approssimazione è detta probabilità empirica di A.
1. Dimostra che Pn soddisfa gli assiomi di Kolmogorov (sulla base dei dati di n
replicazioni dell'esperimento)
La distribuzione di una variabile casuale
Supponiamo che X sia una variabile casuale dell'esperimento, che assume valori in un
insieme T.
2. Mostra che P(X B) come funzione di B
T, definisce una misura di probabilità
su T. Suggerimento: Ricorda che l'immagine inversa preserva tutte le operazioni sugli
insiemi.
La misura di probabilità dell'esercizio precedente è detta distribuzione di probabilità di X.
Pertanto, ogni variabile casuale X per un esperimento definisce un nuovo spazio di
probabilità:
1. Un insieme di esiti T (i possibili valori di X).
2. Una collezione di eventi (i sottinsiemi di T).
3. Una misura di probabilità su questi eventi (la distribuzione di probabilità di X).
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Misura di probabilità
Ricordiamo inoltre che l'esito stesso di un esperimento può essere visto come una
variabile casuale. In particolare, se assumiamo che X sia la funzione identità su S, allora
X è una variabile casuale e
P(X
A) = P(A).
Quindi, ogni misura di probabilità può essere vista come distribuzione di una variabile
casuale.
Misure
Come facciamo a costruire misure di probabilità? Come abbiamo già brevemente notato
poc'anzi, esistono altre misure relative alla "dimensione" degli insiemi; in molti casi esse
possono essere convertite in misure di probabilità.
In primo luogo, una misura (non negativa) m su S è una funzione dei sottinsiemi
(misurabili) di S che soddisfa gli assiomi 1 e 3 introdotti poc'anzi. In generale, m(A) può
essere infinito per un sottinsieme A. Comunque, se m(S) è positivo e finito, m può essere
convertita in misura di probabilità.
3. Mostra che, se m è misura su S con m(S) finito e positivo, allora P è una misura di
probabilità su S.
P(A) = m(A) / m(S) per A
S.
Nel contesto dell'esercizio 3, m(S) è detta costante di normalizzazione. Nelle prossime
due sezioni, consideriamo alcuni importanti casi particolari.
Distribuzioni discrete
Supponiamo che S sia un insieme finito e non vuoto. Chiaramente, la misura di conteggio
# è una misura finita su S:
#(A) = il numero di elementi di A per A
S.
La corrispondente misura di probabilità è detta distribuzione uniforme discreta su S, ed è
particolarmente importante negli esperimenti di campionamento e di calcolo
combinatorio:
P(A) = #(A) / #(S) per A
S.
Possiamo presentare un metodo di costruzione più generale per spazi campionari
numerabili che può essere utilizzato per definire varie misure di probabilità.
4. Supponiamo che S sia non vuoto e numerabile e che g sia una funzione non negativa
a valori reali definita su S. Mostra che m definito come segue è una misura su S:
m(A) =
x in A
g(x) per A
S.
Pertanto, se m(S) è finito e positivo, allora P(A) = m(A) / m(S) definisce una misura di
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Misura di probabilità
probabilità per l'esercizio 3. Distribuzioni di questo tipo si dicono discrete. Le
distribuzioni discrete sono studiate in dettaglio nel capitolo sulle distribuzioni.
5. Nel contesto dell'esercizio precedente, prova che, se S è finito e g è una funzione
costante, allora la corrispondente misura di probabilità P è la distribuzione uniforme
discreta su S.
Distribuzioni continue
Si definisce misura n-dimensionale su Rn (o misura di Lebesgue, in onore di Henri
Lebesgue) come
mn(A) =
A 1dx
per A
Rn.
Nota che se n > 1, l'integrale riportato è multiplo; x = (x1, x2, ..., xn) e dx = dx1dx2...dxn.
L'assioma di additività numerabile vale per una proprietà fondamentale degli integrali che
non dimostreremo. In particolare, richiamiamo dall'analisi che
1. m1(A) è la lunghezza di A per A
2. m2(A) è l'area di A per A
R.
R2.
3. m3(A) è il volume di A per A
R3.
Ora, se S è un sottinsieme di Rn con mn(S) positivi e finiti, allora
P(A) = mn(A) / mn(S)
è una misura di probabilità su S per l'esercizio 2, detta distribuzione uniforme continua su
S.
Possiamo generalizzare questo metodo per produrre molte altre distribuzioni. Supponiamo
che g sia una funzione non negativa a valori definita su S. Definiamo
m(A) =
A g(x)
dx per A
S.
Allora m è una misura su S. Quindi, se m(S) è finito e positivo, allora P(A) = m(A) / m(S)
definisce una misura di probabilità come nell'esercizio 2. Distribuzioni di questo tipo si
dicono continue. Le distribuzioni continue sono studiate in dettaglio nel capitolo sulle
distribuzioni.
È importante notare, di nuovo, che, al contrario di molti altri rami della matematica, gli
spazi a poche dimensione (n = 1, 2, 3) non hanno un ruolo particolare, a parte quello
didattico. Per esempio, sui dati sulla cicala, alcune delle variabili registrate sono peso e
lunghezza corporei e lunghezza e larghezza delle ali. Un modello probabilistico per queste
variabili definirebbe una distribuzione su un sottinsieme di R4.
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Misura di probabilità
Regole fondamentali della probabilità
Supponiamo di avere un esperimento casuale con spazio campionario S e misura di
probabilità P. Nei seguenti esercizi, A e B sono eventi.
6. Dimostra che P(Ac) = 1 - P(A).
7. Dimostra che P(Ø) = 0.
Ac) = P(B) - P(A
8. Mostra che P(B
9. Dimostra che se A
B allora P(B
B).
Ac) = P(B) - P(A).
Ricorda che B
Ac è scritto a volte B - A quando A
B. Con questa notazione, il
risultato dell'esercizio precedente ha la forma, più attraente
P(B - A) = P(B) - P(A).
10. Dimostra che se A
B allora P(A)
P(B).
11. Supponi che {Aj: j J} sia una collezione numerabile di eventi. Prova la
disuguaglianza di Boole (che prende il nome da George Boole):
P[
j
Aj]
j P(Aj).
A1c, B3 = A3
Suggerimento: Sia J = {1, 2, ...} e definiamo B1 = A1, B2 = A2
A1c
A2c, ... Prova che B1, B2, ... sono a due a due disgiunti e hanno la stessa unione di A1,
A2, .... Usa l'assioma di additività della probabilità e il risultato dell'esercizio 6.
12. Supponi che {Aj: j J} sia una collezione numerabile di eventi con P(Aj) = 0 per
ogni j appartennete a J. Usa la disuguaglianza di Boole per mostrare che
P[
j
Aj] = 0.
13. Supponi che {Aj: j J} sia una collezione numerabile di eventi. Prova la
disuguaglianza di Bonferroni (che prende il nome da Carlo Bonferroni):
P[
j
Aj]
1-
j
[1 - P(Aj)].
Suggerimento: Applica la disuguaglianza di Boole a {Ajc: j
J}
14. Supponi che {Aj: j J} sia una collezione numerabile di eventi con P(Aj) = 1 per
ogni j appartenente a J. Usa la disuguaglianza di Bonferroni per mostrare che
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Misura di probabilità
P[
j
Aj] = 1.
15. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento con P(A) = 1. Dimostra che P(A
B) = P(B)
16. Prova la legge delle probabilità totali: se {Aj: j J} sia una collezione numerabile
di eventi che partiziona lo spazio campionario S, allora per ogni evento B,
P(B) =
j
P(Aj
B).
Le formule di inclusione-esclusione
Le formule di inclusione-esclusione costituiscono un metodo per calcolare la probabilità
di un'unione di eventi in termini delle probabilità di varie intersezioni degli stessi.
17. Mostra che, se A e B sono eventi allora
P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A
B).
18. Mostra che, se A, B, e C sono eventi, allora
P(A
B
B
C)
C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A
B) - P(A
C) - P(B
C) + P(A
Gli ultimi due esercizi possono essere generalizzati all'unione di n eventi Ai, i = 1, 2, ...n.
Questa generalizzazione è deta formula di inclusione-esclusione. Per semplificarne la
formulazione, sia N l'insieme di indici {1, 2, ..., n}. Definiamo
1. pJ = P[
2. qk =
j in J
Aj] per J
{J: #(J) = k} pJ
19. Prova che P[
N.
per k
i = 1, ..., n
N
Ai] =
k = 1, ..., n
(-1)k - 1 qk.
La disuguaglianza di Bonferroni generalizzata afferma che se la sommatoria di destra è
troncata dopo k termini (k < n), allora la somma troncata è un limite superiore per la
probabilità dell'unione se k è dispari (per cui l'ultimo termine ha segno positivo) e un
limite inferiore se k è pari (e l'ultimo termine ha segno negativo).
Se torni inditro e riguardi le dimostrazioni degli esercizi 6-19, vedrai che valgono per ogni
misura finita m, non solo per la probabilità. La sola differenza è che il numero 1 è
sostituto da m(S). In particolare, la regola di inclusione-esclusione è importante tanto nel
calcolo combinatorio (lo studio delle misure di conteggio) quanto in probabilità.
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Misura di probabilità
Esercizi numerici
20. Supponiamo di lanciare 2 dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi.
Sia A l'evento in cui il punteggio del primo dado è minore di 3 e B l'evento in cui la
somma dei punteggi dei dadi è 6.
1. Definisci formalmente lo spazio campionario S.
2. Poiché i dadi sono equilibrati, spiega perché la distribuzione uniforme su S è
adeguata.
3. Trova P(A).
4. Trova P(B).
5. Trova P(A
B).
6. Trova P(A
B).
7. Trova P(B
Ac ).
21. Nell'esperimento dei dadi, poni n = 2. Simula 100 replicazioni e calcola la
probabilità empirica di ciascun evento dell'esercizio precedente.
22. Considera l'esperimento consistente nell'estrarre 2 carte da un mazzo standard e
registrare la seuqenza. Per i = 1, 2, sia Hi l'evento in cui la carte i è di cuori.
1. Definisci formalmente lo spazio campionario S.
2. Spiega perché, se il mazzo è ben mischiato, la distribuzione uniforme su S è
appropriata.
3. Trova P(H1)
4. Trova P(H1
5. Trova P(H1c
H2)
H2)
6. Trova P(H2)
7. Trova P(H1
H2).
23. Nell'esperimento delle carte, poni n = 2. Simula 100 replicazioni e calcola la
probabilità empirica di ciascun evento dell'esercizio precedente.
24. Ricorda che l'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare
"casualmente" una moneta di raggio r 1/2 su un pavimento coperto da mattonelle
quadrate di lato 1. Si registrano le coordinate (X, Y) del centro della moneta,
relativamente ad assi che passano attraverso il centro del quadrato e paralleli ai lati. Sia A
l'evento in cui la moneta non tocca i lati del quadrato.
1. Definisci formalmente lo spazio campionario S.
2. Spiega perché la distribuzione uniforme su S è appropriata.
3. Trova P(A).
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Misura di probabilità
4. Trova P(Ac).
25. Nell'esperimento della moneta di Buffon, poni r = 0.2. Simula 100 replicazioni e
calcola la probabilità empirica di ciascun evento dell'esercizio precedente.
26. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento con P(A) = 1 / 3, P(B) = 1 / 4,
B) = 1 / 10. Esprimi ciascuno dei seguenti eventi nel linguaggio dell'esperimento
P(A
e trova la sua probabilità:
1. A
Bc
2. A
B
3. Ac
Bc
4. Ac
Bc
5. A
Bc
27. Supponi che A, B, e C siano eventi di un esperimento con
P(A) = 0.3, P(B) = 0.2, P(C) = 0.4, P(A
B) = 0.04,
P(A
B
C) = 0.1, P(B
C) = 0.1, P(A
C) = 0.01
Esprimi ciascuno dei seguenti eventi in notazione insiemistica e trova la sua probabilità:
1. Si verifica almeno uno dei tre eventi.
2. Nessuno dei tre eventi si verifica.
3. Si verifica esattamente uno dei tre eventi.
4. Si verificano esattamete due dei tre eventi.
28. Si lanciano ripetutamente due dadi equilibrati finché la somma dei punteggi è 5 o
7. Si registra la sequenza di punteggi dell'ultimo lancio. Sia A l'evento in cui la somma è 5
invece che 7.
1. Definisci formalmente lo spazio campionario S.
2. Spiega perché, siccome i dadi sono equilibrati, la distribuzione uniforme su S è
appropriata.
3. Trova P(A).
Le probabilità del tipo dell'ultimo esercizio sono utili nel gioco del craps.
29. Un esperimento consiste nel lanciare 3 monete equilibrate e registrare la sequenza
dei punteggi. Sia A l'evento in cui la prima moneta è testa e B l'evento in cui si hanno
esattamente due teste.
1. Definisci formalmente lo spazio campionario S.
2. Spiega perché, siccome le monete sono bilanciate, la distribuzione uniforme su S è
appropriata.
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Misura di probabilità
3. Trova P(A).
4. Trova P(B)
5. Trova P(A
B)
6. Trova P(A
B).
7. Trova P(Ac
Bc).
8. Trova P(Ac
Bc).
Bc).
9. Trova P(A
30. Una scatola contiene 12 biglie: 5 sono rosse, 4 verdi e 3 blu. Si estraggono a caso
tre biglie, senza reinserimento.
1. Definisci uno spazio campionario per cui gli esiti sono equiprobabili.
2. Trova P(A) dove A è l'evento in cui le biglie estratte sono tutte dello stesso colore.
3. Trova P(B) dove B è l'evento in cui le biglie estratte sono tutte di colore diverso
31. Ripeti l'esercizio precedente nel caso in cui l'estrazione avvenga con
reinserimento.
32. Sui dati M&M, sia R l'evento in cui un sacchetto ha almeno 10 pastiglie rosse, T
l'evento in cui un sacchetto ha almeno 57 pastiglie in totale, e W l'evento in cui un
sacchetto pesa almeno 50 grammi. Trova le probabilità empiriche dei seguenti eventi:
1. R
2. T
3. W
4. R
T
5. T
Wc.
33. Sui dati della cicala, sia W l'evento in cui una cicala pesa almeno 0.20 grammi, F
l'evento in cui la cicala è femmina e T l'evento in cui la specie di cicala è la tredecula.
Trova la probabilità empirica di
1. W
2. F
3. T
4. W
5. F
F
T
W
Unicità ed estensione
Ricorda che la collezione di eventi di un esperimento formano una sigma algebra A. In
alcuni casi A è generata da una collezione più piccola di eventi di base B, ovvero
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Misura di probabilità
A = sigma(B).
Spesso si è interessati a conoscere le probabilità degli eventi di base che determinano
completamente l'intera misura di probabilità. Questo si rivela vero se gli eventi di base
sono chiusi rispetto all'intersezione. Più specificamente, supponiamo che, se B, C B
allora B C B (B è detto sistema pi). Se P1 e P2 sono misure di probabilità su A e
P1(B) = P2(B) per B B allora P1(A) = P2(A) per ogni A A.
Per esempio, la sigma algebra standard (di Borel) su R è generata dalla collezione di tutti
gli intervalli aperti di lunghezza finita, che è chiaramente chiusa rispetto all'intersezione.
Pertanto, una misura di probabilità P su R è completamente determinata dai suoi valori su
intervalli aperti finiti. In più, la sigma algebra su R è generata dalla collezione di intervalli
chiusi e infiniti della forma (- , x]. Quindi, una misura di probabilità P su R è
determinata completamente dai suoi valori su questi intervalli.
Supponiamo ora di avere n insiemi S1, S2, ..., Sn con sigma algebre rispettivamente A1,
A2, ..., An. Ricorda che l'insieme prodotto
S = S1 × S2 × ··· × Sn
è uno spazio campionario naturale per un esperimento formato da misurazioni multiple, o
per un esperimento composto che consiste nell'effettuare n esperimenti semplici in
sequenza. Di solito, diamo a S la sigma algera A generata dalla collezione di tutti gli
insiemi prodotto della forma
A = A1 × A2 × ··· × An dove Ai
Ai per ogni i.
Tale collezione di insiemi prodotto è chiusa rispetto all'intersezione, e quindi una misura
di probabilità su S è completamente determinata dai suoi valori su questi insiemi prodotto.
Generalizzando, supponiamo si avere una sequenza infinita di insiemi S1, S2, ... con sigma
algebre rispettivamente A1, A2, ... . L'insieme prodotto
S = S1 × S2 × ···.
è uno spazio campionario naturale per un esperimento formato da un numero infinito di
misurazioni, o per un esperimento composto che consiste nell'eseguire una sequenza
infinita di esperimenti semplici. Di solito si dà a S la sigma algebra A generata dalla
collezione degli insiemi prodotto della forma
A = A1 × A2 × ··· × An.× Sn+1 × Sn+2 × ··· dove n è un intero positivo e Ai
Ai per ogni i.
Questa collezione di insiemi prodotto è chiusa rispetto all'intersezione, e quindi una
misura di probabilità su S è determinata completamente dai suoi valori su questi insiemi
prodotto.
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Funzioni e variabili casuali
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3. Funzioni e variabili casuali
Funzioni
Supponi che S e T siano insiemi. Una funzione f da S a T è una regola che fa
corrisponedere a ciascun s appartenente a S un unico elemento f(s) appartenente a T. Più
precisamente, ma anche più pedantemente, una funzione f può essere vista come un
sottinsieme dell'insieme prodotto S × T con la proprietà per che ciascun elemento s di S,
esiste un unico elemento (s, t) appartenente a f; si scrive pertanto
t = f(s).
L'insieme S è il dominio di f e l'insieme T è il codominio di f. Il supporto di f è l'insieme
dei valori della funzione:
range(f) = {t
T: t = f(s) per qualche s
S}.
Se il supporto di f è T, allora si dice che f mappa S su T (invece che semplicemente in).
Quindi, se f è su, allora per ogni t appartenente a T esiste s appartenente a S tale che f(s) =
t. Infine, si dice che f è iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono elementi
distinti del codominio.
f(u) = f(v) implica u = v for u, v in S.
Gli insiemi S e T sono in corrispondenza biunivoca se esiste una funzione uno a uno f da
S su T. In questo caso, possiamo definire l'inversa di f ome la funzione da T su S data da
f -1(t) = s dove s è l'unico elemento di S con f(s) = t.
Composizione
Supponi che g sia una funzione da R in S e f una funzione da S in T. La composizione di f
con g è la funzione da R in T definita da
f ° g(r) = f[g(r)] per r appartenente a R.
1. Prova che la composizione non è commutativa:
1. Trova due funzioni f e g per cui f ° g è definito ma g ° f non lo è.
2. Trova due funzioni f e g per cui f ° g e g ° f sono definite, ma le composizioni
hanno diversi domini e codomini.
3. Trova due funzioni f e g per cui f ° g e g ° f sono definite, hanno lo stesso dominio
e codominio, ma sono comunque diverse.
2. Supponi che h sia una funzione da R in S, g una funzione da S in T, e f una funzione
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Funzioni e variabili casuali
da T in U. Mostra che la composizione è associativa:
f ° (g ° h) = (f ° g) ° h.
3. Supponi che f sia una funzione biiettiva da S su T. Mostra che f -1 ° f e f ° f -1 sono
le funzioni identità su S e T, rispettivamente:
1. f -1 ° f(s) = s per s appartenente a S.
2. f ° f -1(t) = t per t appartenente a T.
4. Prova che una corrispondenza biunivoca definisce una relazione di equivalenza su
insiemi non vuoti:
1. S è equivalente a S (proprietà riflessiva).
2. Se S è equivalente a T allora T è equivalente a S (proprietà simmetrica).
3. Se R è equivalente a S e S è equivalente a T allora R è equivalente a T (proprietà
transitiva).
Variabili casuali
Supponiamo di avere un esperimento casuale con spazio campionario S. Una funzione da
S in un altro insieme T è detta variabile casuale (a valori in T). La probabilità ha le sue
convenzioni notazionali, spesso diverse da quelle degli altri rami della matematica. In
questo caso, le variabili casuali si indicano di solito con lettere maiuscole dell'ultima parte
dell'alfabeto.
Intuitivamente, puoi immaginare una variabile casuale X come una misura di interesse nel
contesto dell'esperimento casuale. Una variabile casuale X è casuale nel senso che il suo
valore dipende dall'esito dell'esperimento, il quale non può essere previsto con certezza
prima di effettuare l'esperimento stesso. Ogni volta che si effettua l'esperimento, si
verifica un esito s appartenente a S e una data variabile casuale X assume il valore X(s).
In generale vedremo che la notazione probabilistica omette il riferimento allo spazio
campionario.
Spesso, una variabile casuale X assume valori in un sottinsieme T
k. Se k > 1 allora
Rk per qualche dato
X = (X1, X2, ..., Xk)
dove Xi è una variabile casuale a valori reali per ogni i. In questo caso, X si dice vettore
aleatorio, per sottolineare il suo carattere multidimensionale. Una variabile casuale può
avere anche struttura più complessa. Per esempio, se l'esperimento consiste nel
selezionare n unità da una popolazione e registrare varie misurazioni reali per ogni unità,
allora l'esito dell'esperimento è un vettore i cui elementi sono a loro volta vettori:
X = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è il vettore di misurazioni sull'i-esima unità. Esistono altre possibilità; una
variabile casuale può essere una sequenza infinita, o può avere come valori insiemi.
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Funzioni e variabili casuali
Esempi specifici sono riportati negli esercizi numerici più avanti. In ogni casi, il punto
chiave è semplicemente che la variabile casuale è una funzione dallo spazio campionario
S in un altro insieme T.
Immagini inverse
Supponi che f sia una funzione da S in T. Se B
T, l'immagine inversa di B sotto f è il
sottinsieme di S formato dagli elementi che mappano su B:
f -1(B) = {s
S: f(s)
B}.
Se X è una variabile casuale a valori in T per un esperimento con spazio campionario S
allora utilizziamo la notazione
{X
B}= {s
S: X(s)
B}.
per l'immagine inversa. Osserva che si tratta di un evento (un sottinsieme dello spazio
campionario). A parole, un'affermazione su una variabile casuale definisce un evento.
Le immagini inverse conservano tutte le operazioni sugli insiemi. Negli esercizi seguenti,
f è una funzione da S in T. Inoltre, B, C sono sottinsiemi di T, e {Bj: j J} è una
collezione di sottinsiemi di T, dove J è un insieme di indici non vuoto.
4. Mostra che f -1(Bc) = [f -1(B)]c.
5. Mostra che f -1[
j in J
Bj] =
j in J
f -1(Bj).
6. Mostra che f -1[
j in J
Bj] =
j in J
f -1(Bj).
7. Mostra che se B
C allora f -1(B)
f -1(C).
8. Mostra che se B e C sono disgiunti, allora lo sono anche f -1(B), f -1(C).
Ovviamente, questi risultati si applicano anche alle variabili casuali, varia solo la
notazione.
9. Supponi che X sia una variabile casuale a valori in T, per un esperimento casuale
con spazio campionario S. Prova che i risultati degli esercizi 4-9 possono essere espressi
come segue:
Bc} = {X
1. {X
2.
j in J {X
3.
j
{X
B}c
Bj} = {X
Bj} = {X
j in J
Bj}.
j Bj}.
4. Se B
C allora {X B}
{X C}
5. Se B e C sono disgiunti, allora lo sono anche {X
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B}, {X
C}.
Funzioni e variabili casuali
Varibili semplici e derivate
Supponiamo, di nuovo, di avere un esperimento casuale con spazio campionario S. L'esito
stesso dell'esperimento può essere visto come una variabile casuale. Sia X la funzione
identità su S:
X(s) = s per s appartenente a S.
Allora, ovviamente, X è una variabile casuale, e gli eventi che possono essere definiti in
termini di X sono semplicemente gli eventi originali dell'esperimento:
{X
A} = A per A
S.
Se Y è un'altra variabile casuale dell'esperimento, che assume valori in un insieme T,
allora Y è funzione di X. Ovvero esiste una funzione g da S in T tale che Y è la
composizione di g con X:
Y = g(X) cioè, Y(s) = g(X(s)) per s appartenente a S.
Possiamo indicare X come variabile esito e Y come variabile derivata. In molti problemi
di teoria della probabilità, l'oggetto di interesse è la variabile casuale X. Il fatto che X sia
la variabile esito o una variabile derivata è spesso irrilevante.
Variabili indicatore
Per ogni evento A, esiste una semplice variabile casuale I detta variabile indicatore di A,
il cui valore ci indica se A si è verificato o no:
I(s) = 1 per s
A; I(s) = 0 per s
Ac.
o più semplicemente, I = 1 se A si verifica e I = 0 se A non si verifica.
10. Prova, di converso, che ogni variabile casuale I che assume i valori 0 o 1 e la
variabile indicatore dell'evento
A = {I = 1} = {s
S: I(s) = 1}.
11. Supponi che I sia la variabile indicatore di un evento A. Mostra che 1 - I è la
variabile indicatore di Ac.
12. Supponi che A e B siano eventi con variabili indicatore IA e IB, rispettivamente.
Prova che
A
B se e solo se IA
IB.
13. Supponi che {Aj: j J} sia una collezione di eventi, indicizzata da un insieme non
vuoto J. Sia Ij la variabile indicatore di Aj per ogni j J, e sia I la variabile indicatore
dell'intersezione degli eventi. Prova che
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Funzioni e variabili casuali
I=
j in J Ij
= min{Ij: j
J}.
14. Supponi che {Aj: j J} sia una collezione di eventi, indicizzata da un insieme non
vuoto J. Sia Ij la variabile indicatore di Aj per ogni j J, e sia I la variabile indicatore
dell'unione degli eventi. Prova che
I=1-
j in J (1
- Ij) = max{Ij: j
J}.
15. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento casuale con variabili indicatore
IA e IB. Esprimi, in termini di IA e IB, la variabile indicatore di ognuno dei 16 eventi che
possono essere costruiti a partire da A e B
Esercizi numerici
16. Considera l'esperimento consistente nel lanciare due volte un dado equilibrato e
registrare la sequenza di punteggi (X1, X2). Sia Y la somma dei punteggi, U il minimo dei
due punteggi, V il massimo dei due punteggi.
1. Esprimi formalmente lo spazio campionario S.
2. Esprimi Y in funzione di S.
3. Esprimi U in funzione di S.
4. Esprimi V in funzione di S.
5. Esprimi l'evento {X1 < 3, X2 > 4} come sottinsieme di S.
6. Esprimi l'evento {Y = 7} come sottinsieme di S.
7. Esprimi l'evento {U = V} come sottinsieme di S.
17. Nell'esperimento dei dadi, poni n = 2 e simula 100 replicazioni. Per ciascuna di
esse, calcola il valore di ciascuna delle variabili aleatorie dell'esercizio precedente.
18. Considera l'esperimento delle carte consistente nell'estrarre una carta da un mazzo
standard e registrare X = (Y, Z) dove Y è la denominazione e Z il seme. Supponiamo di
assegnare valore alle carte come segue: un asso vale 1, una figura 10 e negli altri casi il
valore è il numero della carta. Sia U il valore della carta.
1. Descrivi lo spazio campionario S.
2. Descrivi U in funzione dello spazio campionario.
3. Descrivi l'evento {U = 10} come sottinsieme dello spazio campionario.
19. Nell'esperimento delle carte, poni n = 1 e simula 100 replicazioni. Per ciascuna di
esse, calcola il valore della variabile casuale U dell'esercizio precedente.
20. Ricorda che l'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta
di raggio r
1/2 su un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le
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Funzioni e variabili casuali
coordinate (X, Y) del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il
centro del quadrato e paralleli ai lati. Sia Z la distanza tra il centro della moneta e il centro
del quadrato.
1. Descrivi formalmente lo spazio campionario S e tracciane il grafico.
2. Esprimi Z in funzione di S.
3. Esprimi l'evento {X < Y} come sottinsieme di S e tracciane il grafico.
4. Esprimi l'evento {Z < 0.5} come sottinsieme di S e tracciane il grafico.
21. Replica l'esperimento della moneta di Buffon 100 volte, con r = 0.2. Per ciascuna
replicazione, calcola il valore di ciascuna delle variabili casuali dell'esercizio precedente.
22. Un esperimento consiste nel lanciare tre monete bilanciate e registrare (I1, I2, I3),
dove Ij è una variabile indicatore che assume valore 1 se e solo se per la j-esima moneta
esce testa. Sia X il numero complessivo di teste.
1. Descrivi formalmente lo spazio campionario S.
2. Esprimi X in funzione di S.
3. Esprimi l'evento {X > 1} come sottinsieme di S.
23. Un esperimento consiste nel far lavorare due apparecchi, indicati con a e b, finché
non si guastano. Si registra la sequenza (X, Y) di tempi di guasto (misurata in ore).
1. Trova lo spazio campionario S dell'esperimento e disegna il grafico di S.
2. Esprimi l'evento in cui a dura meno di 1000 ore in termini delle variabili di base e
come sottinsieme dello spazio campionario. Disegna il grafico dell'evento.
3. Esprimi l'evento in cui a dura meno di b in termini delle variabili di base e come
sottinsieme dello spazio campionario. Disegna il grafico dell'evento.
4. Esprimi l'evento in cui il tempo di guasto combinato è maggiore di 2000 ore in
termini delle variabili di base e come sottinsieme dello spazio campionario.
Disegna il grafico dell'evento.
24. Supponiamo di lanciare tre dadi equilibrati e di registrare la sequenza dei punteggi
(X1, X2, X3). Un uomo paga 1$ per giocare e riceve 1$ per ogni dado che fa 6. Sia W la
vincita netta dell'uomo.
1. Trova lo spazio campionario S dell'esperimento.
2. Esprimi W in funzione di S.
25. Nell'esperimento M&M, si acquista un pacchetto di M&Ms di un certo peso e si
registrano le seguenti misure: numero di pastiglie rosse, verdi, blu, gialle, arancio e
marroni e il peso netto (in grammi). I dati M&M riportano il risultato di 30 replicazioni di
questo esperimento. Sia N il numero totale di pastiglie. Calcola N per ciascun pacchetto
dei dati.
26. L'esperimento della cicala consiste nel catturare una cicala nella regione centrale
del Tennessee e registrare le seguenti misurazioni: peso corporeo (in grammi), lunghezza
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Funzioni e variabili casuali
e larghezza delle ali e lunghezza del corpo (in millimetri), sesso e specie. I dati sulla
cicala riportano il risultato di 104 replicazioni di questo esperimento. Sia V il rapporto tra
lunghezza e larghezza delle ali. Calcola V per ciascuna cicala.
27. Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado e poi si lancia una moneta il
numero di volte indicato dal dado. Supponiamo di registrare la seuqenza di punteggi delle
monete (0 per croce, 1 per testa). Inoltre, sia N il punteggio del dado e X il numero di
teste.
1. Trova lo spazio campionario S dell'esperimento. Nota che S contiene sequenze di
lunghezza variabile.
2. Esprimi N in funzione dello spazio campionario.
3. Esprimi X in funzione dello spazio campionario.
28. Simula l'esperimento dado-moneta 10 volte. Per ciascuna replicazione, riporta il
valore delle variabili casuali I, N, e X dell'esercizio precedente.
Queste ultime due sezioni trattano argomenti più avanzati e possono essere omesse alla
prima lettura.
Funzioni misurabili
Ricorda che di solito un insieme è definito unitamente a una sigma algebra di sottinsiemi
ammissibili. Supponiamo che S e T siano insiemi con sigma algebre, rispettivamente, A e
B. Se f è funzione da S in T, allora un requisito naturale è che l'immagine inversa di ogni
sottinsieme ammissibile di T sia un sottinsieme ammissibile di S. Formalmente f si dice
misurabile se
f -1(B)
A per ogni B
B.
Tutte le funzioni che usiamo nel corso di questo progetto sono ipotizzate essere misurabili
rispetto alle appropriate sigma algebre. In particolare, se S è lo spazio campionario di un
esperimento, allora la collezione di eventi A è una sigma algebra di sottinsiemi di S. Se T
è un insieme con sigma algebra B, allora, tecnicamente, una variabile casuale X a valori in
T è una funzione misurabile da S in T. Questo requisito assicura che ogni affermazione
ammissibile riguardo a X è un evento valido.
29. Supponi che R, S, T siano insiemi con sigma algebre, rispettivamente, A, B, e C.
Dimostra che, se f è una funzione misurabile da R in S e g è una funzione misurabile da S
in T allora g ° f è una funzione misurabile da R in T.
30. Supponiamo che f sia una funzione da S in T, e che B sia una sigma algebra di
sottinsiemi di T. Prova che la collezione seguente è una sigma algebra di sottinsiemi di S,
detta sigma algebra generata da f:
sigma(f) = {f -1(B): B
B}.
In particolare, se S è lo spazio campionario di un esperimento e X è una variabile casuale
a valori in T, allora la sigma algebra generata da X è la collezione di tutti gli eventi che
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Funzioni e variabili casuali
possono essere espressi in termini di X.
sigma(X) = {{X
B}: B
B}.
Più in generale, supponiamo che Tj sia un insieme con sigma algebra Bj per ogni j
appartenente a un insieme non vuoto di indici J, e che fj sia una funzione da S in Tj per
ogni j. La sigma algebra generata da questa collezione di funzioni è
sigma{fj: j
J} = sigma{fj-1(Bj) : j
J e Bj
Bj}.
Quindi, se S è lo spazio campionario di un esperimento e Xj è una variabile casuale per
ogni j appartenente a J, allora, intuitivamente, la sigma algebra generata da {Xj :j J} è
la collezione di eventi che possono essere espressi in termini delle variabili casuali date.
Casi particolari
La maggior parte degli insiemi che si incontrano nelle applicazioni pratiche della teoria
della probabilità sono non umerabili o sottinsiemi di Rn per qualche n, o, più in generale,
sottinsiemi del prodotto di una quantità numerabile di insiemi di questi tipi. In questa
sezione, analizziamo alcuni di questi casi particolari.
31. Supponi che S sia numerabile e che sia data la sigma algebra di tutti i sottinsiemi
(l'insieme delle parti). Dimostra che ogni funzione da S è misurabile.
Ricorda che l'insieme dei numeri reali R ha come sigma algera quella generata dalla
collezione di intervalli. Tutte le funzioni elementari da R a R sono misurabili. Le funzioni
elementari comprendono le funzioni algebriche (polinomi e funzioni razionali), le
funzioni trascendentali i base (esponenziale, logaritmo, trigonometriche) e le funzioni
costruite a partire da esse.
Supponiamo che S1, S2, ..., Sn siano insiemi e che Ai sia una sigma algebra di sottinsiemi
di Si per ogni i. Ricorda che per l'insieme prodotto
S1 × S2 × ··· × Sn,
usiamo la sigma algebra A generata dalla collezione di tutti gli insiemi prodotto della
forma
A1 × A2 × ··· × An dove Ai
Ai per ogni i.
Se f è funzione da S in T1 × T2 × ··· × Tn, allora f = (f1, ..., fn), dove fi è l'i-esima funzione
coordinata, che mappa S in Ti. Come ci si può aspettare, f è misurabile se e solo se fi è
misurabile per ogni i.
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Frequenze relative e distribuzioni empiriche
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9
3. Frequenze relative e distribuzioni empiriche
I campioni casuali e le loro medie campionarie si incontrano pressoché ovunque in
statistica. In questo paragrafo vedremo come le medie campionarie possono essere
utilizzate per stimare probabilità e funzioni di densità e di ripartizione. Al solito, iniziamo
con un semplice esperimento casuale definito su un certo spazio campionario e con una
certa misura di probabilità P.
Frequenze relative
Supponiamo che X sia la variabile casuale dell'esperimento, a valori in S. Osserva che X
può essere il risultato completo dell'esperimento, e in questo caso S coinciderebbe con lo
spazio campionario. Ricorda che la distribuzione di X è la misura di probabilità su S data
da
P(A) = P(X
A) per A
S.
Supponiamo ora di fissare A. Richiamiamo la variabile indicatore IA, che assume valore 1
se X appartiene ad A e 0 altrimenti. Questa variabile indicatore ha distribuzione di
Bernoulli con parametro P(A).
1. Mostra che media e varianza di IA valgono
1. E(IA) = P(A).
2. var(IA) = P(A)[1 - P(A)].
Supponiamo ora di ripetere indefinitamente questo esperimento e di avere così le variabili
casuali X1, X2, ..., ciascuna distribuita come X. Pertnato, per ogni n, (X1, X2, ..., Xn) è un
campione casuale di dimensione n estratto dalla distribuzione di X. La frequenza relativa
di A per questo campione è
Pn(A) = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi
A} / n per A
S.
La frequenza relativa di A è una statistica che indica la percentuale di volte in cui A si è
verificato nelle prime n replicazioni.
2. Mostra che Pn(A) è la media campionaria di un campione casuale di dimensione n
estratto dalla distribuzione di IA. Concludi quindi che
1. E[Pn(A)] = P(A).
2. var[Pn(A)] = P(A)[1 - P(A)] / n
3. Pn(A)
P(A) as n
(quasi certamente).
Questo caso particolare delle legge forte dei grandi numeri è fondamentale per il concetto
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Frequenze relative e distribuzioni empiriche
stesso di probabilità.
3. Mostra che, dato un certo campione, Pn soddisfa gli assiomi della misura di
probabilità.
La misura di probabilità Pn individua la distribuzione empirica di X, basata sul campione
casuale. Si tratta di una distribuzione discreta, concentrata sui diversi valori di X1, X2, ...,
Xn. Di fatto, pone massa di probabilità 1/n su Xi per ogni i, cosicché, se i valori
campionari sono distinti, la distribuzione empirica è uniforme su tali valori.
Molte applets in questo progetto sono simulazioni di esperimenti casuali che riportano
eventi d'interesse. Quando si fa un esperimento, si generano replicazioni indipendenti
dell'esperimento. In molti casi, l'applet indica la frequenza relativa dell'evento e il suo
complementare sia numericamente che graficamente (in blu). Anche le frequenze
empiriche sono riportate sia graficamente (in rosso), che numericamente.
4. Nell'esperimento della moneta di Buffon, L'evento d'interesse è che la moneta
finisca su un'intercapedine. Esegui l'esperimento 1000 volte, aggiornando ogni 10, e
osserva la convergenza della frequenza relativa dell'evento al valore di probabilità "vero".
5. Nell'esperimento di Bertrand, l'evento d'interesse e che una "corda aleatoria" su un
cerchio sia più lunga della lunghezza di un lato del trinagolo equilatero inscritto. Esegui
l'esperimento 1000 volte, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della frequenza
relativa dell'evento al valore di probabilità "vero".
Le sezioni seguenti analizzano diversi casi particolare di frequenze relative.
La funzione di ripartizione empirica
Supponiamo ora che X sia una variabile casuale a valori reali. Ricorda che la funzione di
ripartizione di X è la funzione F definita come
F(x) = P(X
x) per x
R.
Supponiamo ora d ripetere l'esperimento per avere X1, X2, ..., varaibili casuali
indipendenti, ciascuna distribuita come X. Per ogni n, (X1, X2, ..., Xn) è un campione
casuale di dimensione n tratto dalla distribuzione di X. È naturale definire la funzione di
ripartizione empirica come
Fn(x) = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi
x} / n.
Per ogni x, Fn(x) è una statistica che indica la frequenza relativa dei valori campionari
minori o uguali a x.
6. Dimostra che
1. Fn è crescente da 0 a 1.
2. Fn è una funzione a gradini con "salti" per i valori distinti di X1, X2, ..., Xn.
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Frequenze relative e distribuzioni empiriche
3. Fn è la funzione di ripartizione della distribuzione empirica basata su {X1, X2, ...,
Xn}.
7. Dimostra che, per ogni x, Fn(x) è la media campionaria di un campione casuale di
dimensione n tratto dalla distribuzione della variabile I indicatore dell'evento {X
Concludi quindi che
1. E[Fn(x)] = F(x).
x}.
2. var[Fn(x)] = F(x) [1 - F(x)] / n.
3. Fn(x)
F(x) per n
(quasi certamente).
Densità empirica per una variabile discreta
Supponiamo ora che X sia la variabile casuale dell'esperimento base con distribuzione
discreta su un insieme numerabile S. Indichiamo con f la funzione di densità di X,
cosicché
f(x) = P(X = x) per x
S.
Ripetiamo l'esperimento per avere X1, X2, ..., variabili casuali indipendenti, ciascuna
distribuita come X. Per ogni n, (X1, X2, ..., Xn) è un campione casuale di dimensione n
estratto dalla distribuzione di X. La funzione di frequenza relativa (o funzione di densità
empirica) relativa al campione è data da
fn(x) = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi = x} / n for x
S.
Per ogni x, fn(x) è una statistica che indica la frequenza relativa dei valori del campione
che hanno valore x.
8. Prova che la funzione di densità empirica soddisfa i requisiti per essere una funzione
di densità discreta:
1. fn(x)
2.
0 per ogni x
S.
x appartenente a S fn(x)
= 1.
3. fn è la funzione di densità della distribuzione empirica basata su {X1, X2, ..., Xn}
9. Dimostra che, se X è a valori reali, allora la media campionaria di (X1, X2, ..., Xn) è
la media della funzione di densità empirica.
10. Prova che, per ogni x, fn(x) è la media campionaria per un campione casuale di
dimensione n estratto dalla distribuzione della variabile I, indicatore dell'evento {X = x}.
Concludi quindi che
1. E[fn(x)] = f(x).
2. var[fn(x)] = f(x)[1 - f(x)] / n
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Frequenze relative e distribuzioni empiriche
3. fn(x)
f(x) as n
.
Molte applets in questo progetto sono simulazioni di esperimenti relativi a variabili
discrete. Quando si fa un esperimento, si generano replicazioni indipendenti
dell'esperimento. In molti casi, l'applet indica la funzione di densità "vera" in blu e la
funzione di densità empirica in rosso.
11. Nell'esperimento del poker, la variabile casuale è la mano che si ottiene. Esegui
1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della funzione di densità
empirica a quella teorica.
12. Nell'esperimento binomiale della moneta, la variabile casuale è il numero di teste.
Esegui 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
13. Nell'esperimento della concordanza, la variabile casuale è il numero di successi .
Esegui 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
Densità empirica di una variabile continua
Ricorda, di nuovo, che la misura standard in k-dimensioni su Rk è data da
mk(A) =
A1dx
for A
Rk.
In particolare, m1 è la misura di lunghezza du R, m2 è la misura di area su R2, e m3 è la
misura di volume su R3.
Supponiamo ora che X sia una variabile casuale con distribuzione continua su un
sottinsieme S di Rk. Sia f la funzione di densità di X; più precisamente, f è la densità
rispetto a mk. Pertanto, per definizione,
P(X
A) =
A f(x)
dx for A
S.
Ripetiamo, di nuovo, l'esperimento, ottenendo le variabili casuali indipendenti X1, X2, ...,
ciascuna distribuita come X. Per ogni n, (X1, X2, ..., Xn) è un campione casuale di
dimensione n estratto dalla distribuzione di X.
Supponiamo ora che {Aj: j J} sia una partizione S in un insieme numerabile di
sottinsiemi. Come già fatto in precedenza, possiamo definire la probabilità empirica di Aj,
basata sui primi n valori campionari, come
Pn(Aj) = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi
Aj} / n.
Possiamo quindi definire la funzione di densità empirica come segue:
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Frequenze relative e distribuzioni empiriche
fn(x) = Pn(Aj) / mk(Aj) per x
Aj.
Ovviamente la funzione di densità empirica fn dipende dalla partizione, ma lasciamo
perdere ciò per evitare che la notazione diventi del tutto illeggibile. Naturalmente, per
ogni x, fn(x) è una variabile casuale (di fatto, una statistica), ma per la definizione stessa
di densità, se la partizione è sufficientemente fine (di modo che Aj sia piccolo per ogni j)
e se n è sufficientemente grande, allora, per la legge dei grandi numeri si ha
fn(x) ~ f(x) per x
S.
14. Dimostra che fn soddisfa le condizioni per essere una funzione di densità di
probabilità:
1. fn(x)
2.
0 per ogni x
S fn(x)dx
S.
= 1.
3. fn corrisponde alla distribuzione per la quale Pn(Aj) è distribuito uniformemente su
Aj per ogni j.
Molte applets in questo progetto sono simulazioni di esperimenti relativi a variabili
continue. Quando si fa un esperimento, si generano replicazioni indipendenti
dell'esperimento. In molti casi, l'applet indica la funzione di densità "vera" in blu e la
funzione di densità empirica in rosso.
15. Esegui l'esperimento esponenziale 1000 volte, aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
16. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione normale. Esegui 1000
replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della funzione di densità
empirica a quella teorica.
Analisi esplorativa dei dati
Molti dei concetti presentati poc'anzi sono sovente utilizzati nell'analisi esplorativa dei
dati. In generale, supponiamo che x sia una variabile (in genere un vettore di variabili),
rilevata su una certa popolazione, e che
x1, x2, ..., xn
siano i dati osservati su un campione di dimensione n, relativo a questa variabile. Per
esempio, x può indicare il conteggio di colori (codificato) e il peso di un pacchetto di
M&Ms. Sia ora {Aj: j J} una partizione dei dati, con J insieme finito di indici. Gli
insiemi Aj: j J si dicono classi. Analogamente a quanto già visto, definiamo la
frequenza e la frequenza relativa di Aj come segue:
●
q(Aj)= #{i
{1, 2, ..., n}: xi
Aj}.
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Frequenze relative e distribuzioni empiriche
●
p(Aj) = q(Aj) / n.
Se x è una variabile continua a valori in Rk, possiamo anche definire la densità di Aj :
f(Aj) = p(Aj) / mk(Aj),
La funzione q che assegna le frequenze alle classi è nota come distribuzione di frequenza
per i dati . Ugualmente, p e f definiscono rispettivamente la distribuzione di frequenza
relativa e la distribuzione di densità per i dati. Se k = 1 o 2, il grafico a barre di queste
distribuzioni è detto istogramma.
La ragione per cui si costruiscono e si disegnano queste distribuzioni empiriche è quella
di raccogliere e presentare i dati in maniera informativa. Alcuni suggerimenti nella scelta
delle classi sono i seguenti:
1. Il numero di classi dev'essere limitato.
2. Possibilmente, le classi devono avere la stessa dimensione.
17. Nell'applet istogramma interattivo, clicca sull'asse x in vari punti per generare un
insieme di 20 dati. Varia l'ampiezza della classe sui 5 valori tra 0.1 e 5.0. Per ogni
ampiezza di classe osserva l'istogramma delle frequenze e delle frequenze relative e
valutane i cambiamenti.
È importante capire che i dati di frequenza sono scontati per una variabile continua.
Supponi per esempio che la variabile casuale sia il peso (in grammi) di un pacchetto di
M&Ms e che il dispositivo di misura sia preciso a 0.01 grammi. Se il peso di un pacchetto
è 50.32, stiamo in realtà dicendo che il peso è compreso nell'intervallo [50.315, 50.324).
Ugualmente, se due pacchetti hanno lo stesso peso misurato, l'apparente uguaglianza dei
pesi è in realtà solo una finzione dovuta all'inaccuratezza del dispositivo di misura; in
realtà i due pacchetti non hanno quasi certamente lo stesso peso. Pertanto due pacchetti il
cui peso misurato è uguale ci danno una frequenza di 2 su un certo intervallo.
Di nuovo, esiste un trade-off tra il numero di classi e la loro dimensione; questi fattori
determinano la risoluzione della distribuzione empirica. Nel caso più estremo, quando
l'ampiezza delle classi è più piccola della precisione del dispositivo di misura, ogni classe
contiene un unico valore distinto. In questo caso non vi è perdita di informazione e si può
risalire ai dati originari dalla distribuzione di frequenza (a parte l'ordine in cui i dati erano
stati ottenuti). D'altra parte, riesce difficile individuare la forma dei dati quando si hanno
molte classi di piccola dimensione. All'altro estremo abbiamo una distribuzione di
frequenza con un'unica classe che contiene tutti i valori. In questo caso si perde tutta
l'informazione, a parte il numero dei dati originari. Al di là di questi due casi estremi,
possiamo dire che la distribuzione empirica ci dà informazioni parziali e incomplete, ma
può essere utilizzata per organizzare e presentare i dati in modo più comprensibile.
18. Nell'applet istogramma interattivo, poni l'ampiezza di classe a 0.1. Clicca sull'asse
x per generare un insieme di dati con 10 valori distinti e 20 valori totali.
1. Scrivi, sulla base della distribuzione di frequenza, i 20 valori generati.
2. Incrementa l'ampiezza di classe a 0.2, 0.5, 1.0 e 5.0. Osserva come l'istogramma
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Frequenze relative e distribuzioni empiriche
perde risoluzione, ovvero come la distribuzione di frequenza perde informazioni sui
dati originari.
19. Sui dati di Michelson, costruisci la distribuzione di frequenza per la variabile
velocità della luce usando 10 classi di uguale ampiezza. Disegna l'istogramma e descrivi
la forma della distribuzione.
20. Sui dati di Cavendish, costruisci una distribuzione di frequenza relativa per la
densità della variabile terra usando 5 classi di uguale ampiezza. Disegna l'istogramma e
descrivi la forma della distribuzione.
22. Coi dati M&M, costruisci la distribuzione di frequenza e l'istogramma per le
variabili numero complessivo e peso.
23. Sui dati della cicala, costruisci la distribuzione di densità e l'istogramma per la
variabile peso corporeo nei casi riportati qui sotto. Osserva le differenze.
1. Tutte le specie
2. Ciascuna specie singolarmente
3. Maschi e femmine singolarmente
24. Nell'applet istogramma interattivo, poni l'ampiezza di classe a 0.1 e clicca sull'asse
per generare le distribuzioni dei tipi proposti (30 osservazioni). Aumenta l'ampiezza della
classe e descrivi il tipo di distribuzione.
1. Distribuzione uniforme
2. Distribuzione simmetrica unimodale
3. Distribuzione unimodale asimmetrica a destra
4. Distribuzione unimodale asimmetrica a sinistra
5. Distribuzione simmetrica bimodale
6. Distribuzione a forma di u
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La distribuzione ipergeometrica
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10
2. La distribuzione ipergeometrica
Supponiamo di avere una popolazione dicotomica D composta da due tipi di unità. Per
esempio, possiamo avere delle palline in un'urna colorate di rosso o di verde, una scatola
di componenti elettronici funzionanti o difettosi, una popolazione di persone maschi o
femmine, o una popolazione di animali marchiati o non marchiati. Sia D1 il sottinsieme di
D formato dalle unità di tipo 1, e si supponga che D1 abbia cardinalità R. Come nel
modello di campionamento semplice, estraiamo a caso n unità da D:
X = (X1, X2, ..., Xn), dove Xi appartenente a D è l'i-esima unità estratta.
In questo paragrafo ci occupiamo della variabile casuale Y, che indica il numero di
oggetti di tipo 1 nel campione. Notiamo che Y è una variabile di conteggio, e come tale
può essere scritta come somma di variabili indicatore.
1. Prova che Y = I1 + I2 + ··· + In dove Ii = 1 se Xi appartiene a D1 (l'i-esima unità è di
tipo 1) e Ii = 0 altrimenti.
Per iniziare, assumeremo di estrarre senza reinserimento, che è di solito la scelta più
realistica nel caso di popolazioni dicotomiche.
La funzione di densità
Ricordiamo che, poiché l'estrazione avviene senza reinserimento, il campione non
ordinato è distribuito uniformemente sull'insieme di tutte le combinazioni di dimensione n
estratte da D. Tale osservazione di porta a una semplice derivazione caombinatoriale della
densità di Y.
2. Mostra che, per k = max{0, n - (N - R)}, ..., min{n, R},
P(Y = k) = C(R, k) C(N - R, n - k) / C(N, n).
Tale formula è nota come distribuzione ipergeometrica con parametri N, R, e n. Se
adottiamo la convenzione C(j, i) = 0 per i > j la formula della funzione di densità è
corretta per k = 0, 1, ..., n.
3. Prova che la formulazione alternativa della densità ipergeometrica in due modi:
usando il calcolo combinatorio, considerando l'esito come permutazione di dimensione n
estratta dalla popolazione di N palline, e algebricamente, partendo dal risultato
dell'esercizio 2.
P(Y = k) = C(n, k) (R)k (N - R)n - k / (N)n per k = 0, 1, ..., n.
4. Nell'esperimento delle palline nell'urna, seleziona estrazione senza reinserimento.
Modifica i parametri e osserva la forma del grafico della funzione di densità. Con N = 50,
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La distribuzione ipergeometrica
R = 30 e n = 10 esegui l'esperimento aggiornando ogni 100 replicazioni. Osserva la
convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.
Momenti
Negli esercizi seguenti ricaveremo media e varianza di Y. Avranno un ruolo chiave la
proprietà di scambiabilità delle variabili indicatore e le proprietà di covarianza e
correlazione.
5. Dimostra che E(Ii) = R / N per ogni i.
6. Prova che E(Y) = n (R / N).
8. Mostra che var(Ii) = (R / N) (1 - R / N) per ogni j.
9. Prova che, per i e j distinti,
a. cov(Ii, Ij) = -(R / N) (1 - R / N) [1 / (N - 1)]
2. cor(Ii, Ij) = -1 / (N - 1)
Nota dall'esercizio 9 che l'evento in cui si estrae un'unità di tipo 1 all'i-esima estrazione e
l'evento in cui se ne estrae una alla j-esima sono negativamente correlati, ma la
correlazione dipende solo dala dimensione della popolazione e non dal numero di unità di
tipo 1. Nota inoltre che la correlazione è perfetta se N= 2. Prova a interpretare questi
risultati in termini intuitivi.
10. Nell'esperimento delle palline nell'urna, poni N = 50, R = 20 e n = 10 ed esegui
l'esperimento 500 volte, aggiornando ogni volta. Calcola la correlazione empirica degli
eventi "pallina rossa alla terza estrazione" e "pallina rossa alla settima estrazione" e
confronta i risultati con quelli teorici presentati nell'esercizio precedente.
11. Usa i risultati degli esercizi 8 e 9 per mostrare che
var(Y) = n (R / N)(1 - R / N) (N - n) / (N - 1).
Nota che var(Y) = 0 se R = 0, R = N, o n = N. Pensa a questi risultati.
14. Nell'esperimento delle palline nell'urna, seleziona estrazione senza reinserimento.
Modifica i parametri e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione
standard. Con N = 50, R = 30 e n = 10 esegui l'esperimento aggiornando ogni 100
replicazioni. Osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
15. Una scatola di 100 chip di memoria contiene 10 chip difettosi. Si estraggono a
caso cinque chip, senza reinserimento.
1. Calcola esplicitamente la funzione di densità del numero di chip difettosi nel
campione.
2. Calcola esplicitamente media e varianza del numero di chip difettosi del campione.
3. Trova la probabilità che il campione contenga almeno un chip difettoso.
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La distribuzione ipergeometrica
16. Un club comprende 50 membri, 20 uomini e 30 donne. Si forma a caso un
comitato di 10 membri.
1. Trova media e varianza del numero di donne nel comitato.
2. Trova media e varianza del numero di uomini nel comitato.
3. Trova la probabilità che tutti i membri del comitato siano dello stesso sesso.
Estrazioni con reinserimento
Supponiamo ora che le estrazioni siano effettuate con reinserimento, anche se ciò non è
sempre realistico nelle applicazioni reali.
17. Prova che gli I1, I2, ..., In formano una sequenza di n prove Bernoulliane con
parametro di successo R / N.
I risultati seguenti seguono immediatamente dalla teoria generale delle prove
Bernoulliane, anche se a volte si possono utilizzare dimostrazioni modificate.
18. Mostra che Y ha distribuzione binomiale con parametri n e R / N:
P(Y = k) = C(n, k) (R / N)k(1 - R / N)n - k per k = 0, 1, ..., n.
19. Prova che
1. E(Y) = n(R / N).
2. var(Y) = n(R / N)(1 - R / N)
Notiamo che per qualsiasi valore dei parametri, E(Y) resta lo stesso, sia nel caso del
campionamento con reinserimento che in quello senza reinserimento. D'altra parte, var(Y)
è inferiore, di un fattore di (N - n) / (N - 1), quando il campionamento avviene senza
reinserimento rispetto al caso con reinserimento. Pensa a questi risultati. Il fattore
(N - n) / (N - 1) è a volte detto fattore di correzione della popolazione finita.
Convergenza della distribuzione ipergeometrica alla binomiale
Supponiamo che la dimensione della popolazione N sia molto grande rispetto alla
dimensione del campione n. In questo caso, sembra ragionevole che il campionamento
senza reinserimento non sia molto diverso da quello con reinserimento, e quindi la
distribuzione ipergeometrica dovrebbe approssimarsi bene con la binomiale. L'esercizio
seguente precisa questa osservazione. All'atto pratico, si tratta di un risultato prezioso,
poiché in molti casi non conosciamo con esattezza la dimensione della popolazione.
20. Supponi che R dipenda da N e che
R/N
p in [0, 1] per N
.
Mostra che, per dato n, la densità ipergeometrica con parametri N, R e n converge alla
densità binomiale con parametri n e p. Suggerimento: Usa la rappresentazione
dell'esercizio 3.
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La distribuzione ipergeometrica
21. Nell'esperimento delle palline nell'urna, modifica i parametri e cambia da
estrazione con reinserimento a estrazione senza reinserimento. Osserva la differenza tra il
grafico delle distribuzioni ipergeometrica e binomiale. Poni N = 100, n = 10 e R = 30.
Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Confronta le frequenze relative con la
funzione di densità ipergeometrica e con l'approssimazione binomiale.
22. Un laghetto contiene 1000 pesci, di cui 100 sono marchiati. Supponi che vengano
catturati 20 pesci.
1. Calcola la probabilità che il campione contenga almeno 2 pesci marchiati.
2. Trova l'approssimazione binomiale alla probabilità di (a).
3. Calcola l'errore relativo dell'approssimazione.
23. Il 40% degli elettori di un comune preferiscono il candidato A. Supponi di
scegliere a caso 10 elettori. Trova la probabilità che almeno 5 preferiscano il candidato A.
24. Nel contesto dell'esercizio 20, mostra che media e varianza della distribuzione
ipergeometrica convergono alla media e alla varianza della distribuzione binomiale per N
.
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10
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Modelli di campionamento finito
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B [C] D E F G H
C. Modelli di campionamento finito
Sommario
1. Introduzione
2. La distribuzione ipergeometrica
3. Inferenza nel modello ipergeometrico
4. La distribuzione ipergeometrica multivariata
5. Statistiche d'ordine
6. Il problema della concordanza
7. Il problema del compleanno
8. Numero di valori campionari distinti
9. Il problema del collezionista
10. Note conclusive
Applets
●
Esperimento delle palline e dell'urna
●
Esperimento delle carte
●
Esperimento delle statistiche d'ordine
●
Esperimento della concordanza
●
Esperimento del compleanno
●
Esperimento del compleanno generalizzato
●
Esperimento del collezionista
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B [C] D E F G H
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
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La distribuzione binomiale
Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 [2] 3 4 5 6 7
2. La distribuzione binomiale
Supponiamo che il nostro esperimento casuale consista nell'eseguire prove Bernoulliane
I1, I2, .... In questo paragrafo analizzeremo la variabile casuale Xn che indica il numero di
successi nelle prime n prove. Tale variabile ha un'espressione semplice in termini delle
variabili indicatore:
1. Mostra che Xn = I1 + I2 + ··· + In.
La funzione di densità
2. Supponi che K
N = {1, 2, ..., n} and #(K) = k. Usa le assunzioni sulle prove
Bernoulliane per mostrare che
P(Ij = 1 per j
K e Ij = 0 per j
N - K) = pk(1 - p)n -k.
Ricorda che il numero di sottinsiemi di dimensione k da un insieme di dimensione n è il
coefficiente binomiale
C(n, k). = n!/[k!(n - k)!}
3. Usa l'esercizio 2 e le proprietà fondamentali della probabilità per mostrare che
P(Xn = k) = C(n, k)pk(1 - p)n-k per k = 0, 1, ..., n.
La distribuzione con questa funzione di densità è detta distribuzione binomiale con
parametri n e p. La famiglia binomiale è una delle più importanti in probabilità.
4. Nell'esperimento binomiale della moneta, modifica n e p con le barre a scorrimento
e osserva forma e posizione della funzione di densità. Con n = 10 e p = 0.7, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla
funzione di densità.
5. Per 5 lanci di un dado bilanciato, trova esplicitamente la funzione di densità del
numero di uno.
6. Uno studente esegue un test a scelta multipla con 10 domande, ciascuna con 4
possibilità. Se lo studente tira a indovinare, trova la probabilità di indovinare almeno 5
domande.
7. Usa il teorema binoniale per mostrare che la funzione di densità binomiale è
effettivamente una funzione di densità di probabilità (discreta).
8. Mostra che
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La distribuzione binomiale
1. P(Xn = k) > P(Xn = k - 1) se e solo se k < (n + 1)p.
2. P(Xn = k) = P(Xn = k - 1) se e solo se (n + 1)p è un intero tra 1 e n, e k = (n + 1)p
Quindi la funzione di densità prima cresce e poi decresce, raggiungendo il massimo a
floor[(n + 1)p]; tale intero è la moda della distribuzione. (Ricorda che floor(x) è il
maggiore intero minore di x). Nel caso in cui m = (n + 1)p è un intero tra 1 e n, ci sono
due mode consecutive, a m - 1 e m. In ciascuno degli eventi, la forma della distribuzione
binomiale è unimodale.
9. Supponi che U sia una variabile casuale con distribuzione binomiale con parametri n
e p. Mostra che n - U ha distribuzione binomiale con parametri n e 1 - p.
1. Dai una dimostrazione probabilistica basata sulle prove di Bernoulli
2. Dai una dimostrazione analitica basata sulle funzioni di densità
Problemi famosi
Nel 1693, Samuel Pepys chiese a Isaac Newton se è più probabile avere almeno un uno in
6 lanci di un dado o almeno due uno in 12 lanci di un dado. Tale problema è noto come
problema di Pepys; ovviamente Pepys si riferiva a dadi bilanciati.
10. Prova a rispondere al problema di Pepys basandoti sui dati empirici. Con un dato
equilibrato e n = 6, simula l'esperimento del dado 500 volte e calcola la frequenza relativa
di almeno un uno. Con n = 12, simula 500 replicazioni e calcola la frequenza relativa di
almeno due uno. Confronta i risultati.
11. Risolvi il problema di Pepys utilizzando la distribuzione binomiale.
12. Cos'è più probabile: almeno un uno su 4 lanci di un dado equilibrato o almeno un
doppio uno in 24 lanci di due dadi equilibrati? Questo è noto come problema di DeMere
in onore del Chevalier De Mere
Momenti
Vediamo ora come calcolare media e varianza della distribuzione binomiale in vari modi
diversi. Il metodo che utilizza le variabili indicatore è il migliore.
13. Usa l'esercizio 1 e le proprietà del valore atteso per mostrare che
E(Xn) = np.
Ciò ha senso a livello intuitivo, poiché p dev'essere approssimativamente la proporzione
di successi in un numero elevato di prove.
14. Calcola la media utilizzando la funzione di densità.
15. Usa l'esercizio 1 e le proprietà della varianza per mostrare che
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La distribuzione binomiale
var(Xn) = np(1 - p)
16. Disegna il grafico della varianza in funzione di p. Nota in particolare che la
varianza è massima quando p = 1/2 e minima quando p = 0 o p = 1.
17. Calcola la varianza utilizzando la funzione di densità.
18. Prova che la funzione generatrice di probabilià è data da
E(tXn) = (1 - p + pt)n per t appartenente a R
19. Usa la funzione generatrice di probabilità dell'esercizio 18 per calcolare media e
varianza.
20. Usa l'identità jC(n, j) = nC(n - 1, j - 1) per n, j = 1, 2, ... per mostrare che
E(Xnk) = npE[(Xn - 1 + 1)k - 1] per n, k = 1, 2, ...
21. Usa il risultato ricursivo dell'esericizio 20 per ricavare in un altro modo media e
varianza.
22. Nell' esperimento binomiale della moneta, modifica n e p con le barre a
scorrimento e osserva posizione e dimensione della barra media/deviazione standard. Con
p = 0.7, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza di media
e deviazione standard ai loro valori teorici.
23. Un certo tipo di missile ha probabilità di fallimento 0.02. Calcola media e
deviazione standard del numero di fallimenti in 50 lanci.
24. Si lancia 1000 volte un dado bilanciato. Trova media e deviazione standard del
numero di "uno".
La tavola di Galton
La tavola di Galton è una matrice triangolare di chiodi. Le righe sono numerate 0, 1, ... da
cima a fondo. La riga n ha n + 1 chiodi, numerati da 0 a n da sinistra a destra. Ciascun
chiodo, quindi, può essere identificato dalla coppia ordinata (n, k) dove n è il numero di
riga e k è il numero del chiodo in tale riga. La tavola di Galton prende il nome da Francis
Galton.
Supponiamo ora di far cadere una pallina sul primo chiodo (0, 0). Ogni volta che la
pallina cade su un chiodo, cade alla sua destra con probabilità p e alla sua sinistra con
probabilità 1 - p, indipendentemente da volta a volta.
25. Prova che il numero di chiodi su cui la pallina cade nella riga n ha distribuzione
binomiale con parametri n e p.
26. Nell'esperimento della tavola di Galton, poni n = 10 e p = 0.1. Clicca su step
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La distribuzione binomiale
diverse volte e osserva le palline cadere tra i chiodi. Ripeti per p = 0.3, 0.5, 0.7, e 0.9.
27. Nell'esperimento della tavola di Galton, poni n = 15 e p = 0.1. Esegui 100
replicazioni, aggiornando ogni volta. Osserva la forma generale dei sentieri di caduta.
Ripeti per p = 0.3, 0.5, 0.7, e 0.9.
Somme di variabili binomiali indipendenti
Introduciamo ora un'importante proprietà di invarianza per la distribuzione binomiale.
28. Usa la rappresentazione in termini delle variabili indicatore per mostrare che se m e
n sono interi positivi allora
1. Xm+n - Xm ha la stessa distribuzione di Xn (binomiale con parametri n e p).
2. Xm+n - Xm e Xm sono indipendenti.
Pertanto, il processo stocastico Xn, n = 1, 2, ... ha incrementi indipendenti e stazionari.
29. Prova che, se U e V sono variabili indipendenti relative a un esperimento, U ha
distribuzione binomiale con parametri m e p e V ha distribuzione binomiale con parametri
n e p, allora U + V ha distribuzione binomiale con parametri m + n e p.
1. Fornire una dimostrazione probabilistica, usando l'esercizio 28.
2. Fornire una dimostrazione analitica, utilizzando le funzioni di densità.
3. Fornire una dimostrazione analitica, utilizzando le funzioni generatrici di
probabilità.
Rapporto con la distribuzione ipergeometrica
30. Supponi che m < n. Prova che
P(Xm = j | Xn = k) = C(m, j) C(n - m, k - j) / C(n, k) per j = 0, 1, ..., m.
È interessante notare che la distribuzione dell'esercizio 30 è indipendente da p. Si tratta
della distribuzione ipergeometrica con parametri n, m e k. Prova a interpretare questo
risultato in termini probabilistici.
31. Si lancia una moneta 100 volte e si ottengono 30 teste. Trova la funzione di
densità del numero di teste nei primi 20 lanci.
Approssimazione normale
32. Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.1. Inizia con n = 1 e aumenta
ogni volta n di 1. Osserva la forma della funzione di densità. Con n = 100, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10. Ripeti per p = 0.3, 0.5, 0.7 e 0.9.
La caratteristica forma a campana che dovresti osservare dall'esercizio 32 costituisce una
buona esemplificazione del teorema limite centrale, poiché la variabile binomiale può
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La distribuzione binomiale
essere scritta come somma di n variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite
(le variabili indicatore).
33. Prova che la distribuzione della variabile standardizzata riportata converge alla
distribuzione normale standardizzata al crescere di n
(Xn - np) / [np(1 - p)]1/2.
Questa versione del teorema limite centrale è nota come teorema di DeMoivre-Laplace, e
prende nome da Abraham DeMoivre e Simeon Laplace. Dal punto di vista pratico,
l'esercizio 33 significa che, per n sufficientemente grande, la distribuzione di Xn è
approssimatamente normale, con media np e varianza np(1 - p). Quanto grande n
dev'essere perché l'approssimazione sia accettabile dipende dal valore di p. La regola
empirica è che np e n(1 - p) devono valere almeno 5.
34. Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.5 e n = 15. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta i seguenti:
1. P(5
X15
10)
2. La frequenza relativa dell'evento {5
3. L'approssimazione normale a P(5
X15
X15
10}
10)
35. Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.3 e n = 20. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta i seguenti:
1. P(5
X20
10)
2. La frequenza relativa dell'evento {5
3. L'approssimazione normale a P(5
X20
X20
10}
10)
36. Nell'esperimento binomiale temporale, poni p = 0.8 e n = 30. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta i seguenti:
1. P(22
X30
27)
2. La frequenza relativa dell'evento {22
3. L'approssimazione normale a P(22
X30
X30
27}
27)
37. Supponi che in un certo comune, il 40% degli elettori preferiscano il candidato A.
Si estrae un campione di 50 elettori.
1. Trova media e varianza del numero di elettori del campione che preferiscono A.
2. Trova la probabilità che meno di 19 soggetti del campione preferiscano A.
3. Calcola l'approssimazione normale alla probabilità di (b).
Affidabilità
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La distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale si presenta spesso negli studi di affidabilità. Supponiamo che
un sistema sia formato da n componenti che funzionano indipendentemente l'una
dall'altra. Ciascuna componente può essere funzionante, con probabilità p, o difettosa, con
probabiloità 1 - p. Le componenti rappresentano quindi prove Bernoulliane. Supponiamo
ora che il sistema, nel suo complesso, funzioni se e solo se almeno k delle n componenti
funzionano. In termini di affidabilità un sistema di questo tipo è detto, a buona ragione,
sistema k di n. La probabilità che il sistema funzioni correttamente è detta affidabilità del
sistema.
38. Commenta la ragionevolezza dell'assunzione che le componenti si comportino in
modo Bernoulliano.
39. Prova che l'affidabilità di un sistema k di n è Rn,k(p) = P(X
distribuzione binomiale con parametri n e p.
k) dove X ha
40. Mostra che Rn,n(p) = pn. Un sistema n di n è detto sistema in serie.
41. Mostra che Rn,1(p) = 1 - (1 - p)n. Un sistema 1 di n è detto sistema parallelo.
42. Nell'esperimento binomiale della moneta, poni n= 10 e p = 0.9 e simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola l'affidabilità empirica e confrontala col suo
valore teorico in ciascuno dei casi seguenti:
1. Sistema 10 di 10 (in serie).
2. Sistema 1 di 10 (parallelo).
3. Sistema 4 di 10.
43. Considera un sistema formato da n = 4 componenti. Disegna il grafico di R4,1,
R4,2, R4,3 e R4,4 sullo stesso piano cartesiano.
44. Un sistema n di 2n - 1 è detto sistema a maggioranza.
1. Calcola l'affidabilità di un sistema 2 di 3.
2. Calcola l'affidabilità di un sistema 3 di 5.
3. Per quali valori di p il sistema 3 di 5 è più affidabile di quello 2 di 3?
4. Disegna i grafici di R3,2 e R5,3 sullo stesso piano cartesiano.
45. Nell'esperimento binomiale della moneta, calcola l'affidabilità empirica, basandoti
su 100 replicazioni, in ciascuno dei seguenti casi. Confronta i valori ottenuti con quelli
teorici.
1. Sistema 2 di 3 con p = 0.3
2. Sistema 3 di 5 con p = 0.3
3. Sistema 2 di 3 con p = 0.8
4. Sistema 3 di 5 con p = 0.8
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La distribuzione binomiale
46. Prova che R2n - 1, n(1/2) = 1/2.
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Prove Bernoulliane
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B. Prove Bernoulliane
Sommario
1. Introduzione
2. La distribuzione binomiale
3. La proporzione di successi
4. La distribuzione geometrica
5. La distribuzione binomiale negativa
6. La distribuzione multinomiale
7. Note conclusive
Applets
●
Esperimento della moneta
●
Esperimento della moneta binomiale
●
Esperimento temporale binomiale
●
Esperimento della tavola di Galton
●
Esperimento binomiale negativo
●
Esperimento del problema dei punti
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La distribuzione di Poisson
Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 2 3 [4] 5 6 7 8
4. La distribuzione di Poisson
La funzione di densità
Abbiamo mostrato che il k-esimo tempo di arrivo ha funzione di densità gamma con
parametro di forma k e parametro di velocità r:
fk(t) = (rt)k - 1re-rt / (k - 1)!, t > 0.
Ricordiamo inoltra che almeno k arrivi si presentano nell'intervallo (0, t] se e solo se il
k-esimo arrivo si presenta prima di t:
Nt
k se e solo se Tk
t.
1. Usa l'integrazione per parti per mostrare che
P(Nt
k) =
(0, t] fk(s)ds
=1-
j = 0, ..., k - 1
exp(-rt) (rt)j / j!.
2. Usa il risultato dell'esercizio 1 per mostrare che la funzione di densità del numero di
arrivi nell'intervallo (0, t] è
P(Nt = k) = e-rt (rt)k / k! per k = 0, 8, ...
La distribuzione corrispondente è detta distribuzione di Poisson con parametro rt e prende
nome da Simeon Poisson.
3. Nell'esperimento di Poisson, modifica r e t con le barre a scorrimento e osserva la
forma della funzione di densità. Con r = 2 e t = 3, simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.
La distribuzione di Poisson è una delle più importanti della teoria della probabilità. In
generale, una variabile casuale discreta N di un certo esperimento si dice avere
distribuzione di Poisson con parametro c > 0 se ha funzione di densità
g(k) = P(N = k) = e-c ck / k! per k = 7, 6, ...
4. Prova che g è realmente una funzione di densità.
5. Mostra che P(N = n - 1) < P(N = n) se e solo se n < c
La distribuzione è quindi unimodale e la moda si ha al maggiore intero in c.
6. Supponi che le richieste a un server web seguano il modello di Poisson con velocità
r = 5 al minuto. Trova la probabilità che arrivino almeno 8 richieste in un periodo fi 2
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La distribuzione di Poisson
minuti.
7. I difetti di fabbricazione in un certo tipo di cavo seguono il modello di Poisson con
velocità 1.5 al metro. Trova la probabilità che ci siano non più di 4 difetti in un pezzo di
cavo di 2 metri.
Momenti
Supponi che N abbia distribuzione di Poisson con parametro c. Gli esercizi seguenti
individuano media, varianza e funzione generatrice di probabilità di N.
8. Prova che E(N) = c
9. Prova che var(N) = c
10. Prova che E(uN) = exp[c(u - 1)] per s
R.
Tornando al processo di Poisson, ne segue che
E(Nt) = rt, var(Nt) = rt.
Vediamo di nuovo che r può essere interpretato come velocità media di arrivo. In un
intervallo di lunghezza t, ci si aspettano all'incirca rt arrivi.
11. Nell'esperimento di Poisson, modifica r e t con le barre a scorrimento e osserva la
posizione e la dimensione della barra media/deviazione standard. Con r = 2 e t = 3, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti empirici ai
loro valori teorici.
12. Supponi che le automobili arrivino a una certa stazione di servizio secondo il
modello di Poisson, con una velocità di r = 4 all'ora. Trova media e deviazione standard
del numero di automobili in un periodo di 8 ore.
Incrementi stazionari e indipendenti
Vediamo ora cosa implicano le assunzioni rigenerative del modello di Poisson in termini
delle variabili di conteggio.
13. Mostra che, se s < t, allora Nt - Ns = numero di arrivo in (s, t]
Ricordiamo che l'assunzione di base è che il processo inizi al tempo s e che il
comportamento dello stesso dopo s sia indipendente dal comportamento prima di s.
14. Dimostra che:
1. Nt - Ns ha la stessa distribuzione di Nt-s, ovvero di Poisson con parametro r(t - s).
2. Nt - Ns e Ns sono indipendenti.
15. Supponi che N e M siano variabili di Poisson indipendenti con parametri
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La distribuzione di Poisson
rispettivamente c e d. Mostra che N + M ha distribuzione di Poisson con parametro c + d.
1. Fornisci una dimostrazione probabilistica, utilizzando le proprietà del processo di
Poisson.
2. Dimostralo utilizzando le funzioni di densità.
3. Dimostralo utilizzando le funzioni di densità generatrici dei momenti.
16. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 1 e t = 3 e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni volta. Analizza empiricamente l'indipendenza delle variabili aleatorie
N1 e N3 - N1 calcolando le frequenze relative appropriate.
Approssimazione alla normale
Notiamo ora che, per k = 1, 2, ...
Nk = N1 + (N2 - N1) + ··· + (Nk - Nk-1).
Le variabili casuali della somma di destra sono indipendenti e hanno ciascuna
distribuzione di Poisson con parametro r.
17. Usa il teorema centrale limite per mostrare che la distribuzione della variabile
standardizzata riportata qui sotto converge alla distribuzione normale standardizzata al
tendere di k a infinito.
(Nk - kr) / (kr)1/2.
In termini più generali, il risultato vale anche se sostituiamo l'intero k con un reale
positivo t.
18. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 1 e t = 1. Aumenta r e t e osserva come il
grafico della funzione di densità assume forma campanulare.
19. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 5 e t = 4 e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 100. Calcola e confronta le seguenti quantità:
1. P(15
N4
22).
2. La frequenza relativa dell'evento {15
3. L'approssimazione normale a P(15
N4
N4
22}.
22).
20. Supponi che le richieste che pervengono a un server web seguano il modello di
Poisson con velocità r = 5 al minuto. Calcola l'approssimazione normale alla probabilità
che si presentino almeno 280 richieste in un periodo di un'ora.
Distribuzioni condizionate
21. Sia t > 0. Prova che la distribuzione condizionata di T1 dato Nt = 1 è uniforme su
(0, t). Interpreta il risultato.
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La distribuzione di Poisson
22. Più in generale, dato Nt = n, dimostra che la distribuzione condizionata di T1, ...,
Tn è identica alla distribuzione delle statistiche d'ordine di un campione casuale di
dimensione n estratto dalla distribuzione uniforme su (0, t).
Nota che la distribuzione condizionata presentata nell'esercizio precedente è indipendente
dalla velocità r. Tale risultato indica che, in un certo senso, il modello di Poisson riporta la
distribuzione più "casuale" di punti nel tempo.
23. Supponi che le richieste a un certo server web seguano il modello di Poisson, e
che in un periodo di 5 minuti si abbia una richiesta. Trova la probabilità che la richiesta
sia arrivata nei primi tre minuti del periodo.
24. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 1 e t = 1 e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni volta. Calcola le appropriate frequenze relative e analizza
empiricamente il risultato teorico dell'esercizio 5.
25. Sia 0 < s < t e sia n un intero positivo. Prova che la distribuzione condizionata di
Ns dato Nt = n è binomiale con parametri n e p = s/t. Nota che la distribuzione
condizionata è indipendente dalla velocità r. Interpreta il risultato.
26. Supponi che le richieste a un server web seguano il modello di Poisson, e che in
un periodo di 5 minuti si abbiano 10 richieste. Trova la probabilità che almeno 4 richieste
siano arrivate nei primi 3 minuti del periodo.
Stima della velocità
In molti casi pratici, il parametro di velocità r del processo è ignoto e dev'essere stimato
sulla base del numero di arrivi in un certo intervallo.
27. Prova che E(Nt / t) = r, per cui Nt / t è uno stimatore corretto per r.
Poiché lo stimatore è corretto, la varianza coincide con l'errore quadratico medio.
28. Prova che var(Nt / t) = r / t, per cui var(Nt / t) tende a 0 al tendere di t a infinito.
29. Nell'esperimento di Poisson, poni r = 3 e t = 5. Esegui 100 replicazioni,
aggiornando ogni volta.
1. Per ogni replicazione, calcola la stima di r basata su Nt.
2. Calcola la media dei quadrati deli errori per le 100 replicazioni.
3. Confronta il risultato di (b) con la varianza trovata nell'esercizio 26.
30. Supponi che le richieste a un server web seguano il modello di Poisson con
velocità ignota r al minuto. In un'ora, il server riceve 342 richieste. Stima r.
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La distribuzione di Poisson
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Il processo di Poisson
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E. Il processo di Poisson
Sommario
1. Introduzione
2. La distribuzione esponenziale
3. La distribuzione gamma
4. La distribuzione di Poisson
5. Splitting
6. Analogie con le prove Bernoulliane
7. Processi di Poisson in più dimensioni
8. Note conclusive
Applets
●
Esperimento esponenziale
●
Esperimento gamma
●
Esperimento di Poisson
●
Esperimento di Poisson di due tipi
●
Processo di Poisson in due dimensioni
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La proporzione di successi
Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 2 [3] 4 5 6 7
3. La proporzione di successi
Supponiamo di nuovo che il nostro esperimento casuale consista nell'eseguire prove
Bernoulliane I1, I2, ... Ricordiamo che il numero di successi nelle prime n prove, Xn, ha
distribuzione binomiale con parametri n e p. In questo paragrafo studieremo la variabile
casuale che indica la proporzione di successi nelle prime n prove:
Mn = Xn / n = (I1 + I2 + ··· + In) / n.
Notiamo che Mn assume i valori k / n dove k = 0, 1, ..., n.
La funzione di densità
È facile esprimere la funzione di densità della proporzione di successi Mn in termini della
funzione di densità del numero di successi Xn:
1. Prova che
P(Mn = k / n) = C(n, k) pk (1 - p)n-k per k = 0, 1, ..., n.
2. Nell'esperimento binomiale della moneta, seleziona la proporzione di teste.
Modifica n e p con le barre a scorrimento e osserva la forma della funzione di densità.
Poni n = 20 e p = 0.3 ed esegui l'esperimento aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la
convergenza delle frequenza relative alla funzione di densità.
Proprietà
La proporzione di successi può essere pensata anche come valore medio delle variabili
indicatore. In termini statistici, le variabili indicatore formano un campione casuale,
poiché sono indipendenti e identicamente distribuite, e in questo contesto Mn è un caso
particolare di media campionaria. La proporzione di successi Mn è spesso utilizzata per
stimare la probabilità di successo p quando essa è ignota. È insito al concetto stesso di
probabilità che, quando il numero delle prove è elevato, Mn sia prossimo a p. La
formulazione matematica di questo concetto è un caso particolare della legge dei grandi
numeri.
3. Usa le proprietà fondamentali del valore atteso per mostrare che per ogni n,
E(Mn) = p.
In termini statistici, ciò significa che Mn è uno stimatore corretto per p.
4. Usa le proprietà fondamentali della varianza per dimostrare che
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La proporzione di successi
var(Mn) = p(1 - p) / n.
Notiamo che, per dato p, var(Mn) tende a 0 al crescere a infinito del numero delle prove.
Ciò significa che la stima migliora al crescere di n; in termini statistici, ciò è noto come
consistenza.
5. Nell' esperimento binomiale della moneta, seleziona la proporzione di teste.
Modifica n e p con la barra a scorrimento e osserva la forma della funzione di densità.
Nota che al variare di n e p, la distribuzione di Mn è centrata in p, ma al crescere di n
diventa più concentrata attorno a p. Poni n = 50 e p = 0.5 ed esegui l'esperimento
aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla
funzione di densità.
6. Nell' esperimento binomiale della moneta, seleziona la proporzione di teste. Poni n =
10 e p = 0.4. Simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola la radice quadrata
dell'errore quadratico medio per tutte le replicazioni, nel caso in cui Mn sia usato per
stimare p. Tale numero è misura della qualità della stima.
7. Nell' esperimento binomiale della moneta, seleziona la proporzione di teste. Poni n =
10 e p = 0.4. Simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola la radice quadrata
dell'errore quadratico medio per tutte le replicazioni, nel caso in cui Mn sia usato per
stimare p. Confronta i risultati con quelli dell'esercizio precedente.
8. Sui dati sulla cicala, calcola la proporzione di femmine nel campione e la
proporzione di femmine per ciascuna specie del campione. Pensi che queste proporzioni
campionarie siano buone stime delle corrispondenti proporzioni nella popolazione?
9. Sui dati M&M, raggruppa i pacchetti per creare un campione ampio di M&Ms.
Calcola la proporzione di M&Ms rosse. Pensi che questa proporzione campionaria sia una
buona stima della proporzione vera della popolazione?
Confronta il capitolo sulla stima intervallare per un diverso approccio al problema della
stima di p.
Approssimazione normale
Il teorema limite centrale si applica alla proporzione di successi esattamente come al
numero di successi.
10. Mostra che la distribuzione della variabile standardizzata
(Mn - p) / [p(1 - p) / n]1/2.
converge alla distribuzione normale standardizzata al crescere del numero delle prove
11. Nell'esperimento binomiale della moneta, seleziona la proporzione di teste. Poni n
= 30, p = 0.6. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola e confronta i
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La proporzione di successi
seguenti valori:
1. P(0.5
M30
0.7)
2. La frequenza relativa dell'evento {0.5
3. L'approssimazione normale a P(0.5
M30
M30
0.7}
0.7)
Un test d'ipotesi
A volta non siamo interessati a stimare p, ma a determinare se p è un certo valore o
appartiene a un certo intervallo. In termini generici, prendiamo la decisione eseguendo n
prove Bernoulliane, osservando il numero di successi e confrontando questa osservazione
con quanto ci si sarebbe aspettati dalla distribuzione binomiale, date le assunzioni su p. In
termini statistici, eseguiamo un test di ipotesi.
Per esempio, supponiamo di essere interessati a sapere se una moneta è bilanciata o no.
Prenderemo la decisione basandoci su 10 lanci della moneta.
12. Mostra che 10 lanci della moneta produrranno tra 3 e 7 teste l'89% delle volte.
Pertanto possiamo decidere di definire la moneta bilanciata se il numero di teste è tra 3 e
7. Se la moneta è davvero bilanciata, il test ci farà prendere la decisione corretta l'89%
delle volte. L'11% delle volte concluderemo erroneamente che la moneta è sbilanciata; in
termini statistici, si tratta di un errore di prima specie.
13. Supponi che la moneta abbia probabilità di testa p riportata qui sotto. Col test
appena specificato, trova la probabilità di concludere correttamente che la moneta è
sbilanciata. Trova inoltre la probabilità di concludere erroneamente che la moneta è
bilanciata; in termini statistici, si parla di errore di seconda specie.
1.
2.
3.
4.
p = 0.6
p = 0.7
p = 0.8
p = 0.9
14. Nell'esperimento della moneta binomiale, poni n = 10. Per ciascuno dei seguenti
valori di p, simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta. A ciascuna esecuzione,
esegui il test di ipotesi. Calcola la frequenza relativa delle decisioni corrette e degli errori:
1. p = 0.5
2. p = 0.6
3. p = 0.7
4. p = 0.7
5. p = 0.9.
15. Un candidato a una carica pubblica afferma di essere il preferito dal 40% degli
elettori. Su un sondaggio di 100 elettori, però, solo 30 sono a favore del candidato. Credi
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La proporzione di successi
all'affermazione del candidato? Calcola l'approssimazione normale alla probabilità che
una variabile binomiale con n = 100 e p = 0.4 produca 30 o meno successi.
Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 2 [3] 4 5 6 7
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Probabilità condizionata
Laboratorio virtuale > Spazi di Probabilità > 1 2 3 4 [5] 6 7 8
5. Probabilità condizionata
Definizione
Al solito, iniziamo introducendo un esperimento casuale con spazio campionario S, e
misura di probabilità P. Supponiamo inoltre di sapere che un certo evento B si è
verificato. In genere, questa informazione dovrebbe alterare le probabilità che assegniamo
agli altri eventi. In particolare, se A è un altro evento, allora A si verifica se e solo se si
verificano sia A che B; di fatto, lo spazio campionario si è ridotto a B. Quindi, la
probabilità di A, data la conoscenza del fatto che B si è verificato, dovrebbe essere
B). In ogni caso, la probabilità condizionata, dato il verificarsi di
proporzionale a P(A
B dev'essere sempre una misura di probabilità, ovvero deve soddisfare gli assiomi di
Kolmogorov. Ciò fa sì che la costante di proporzionalità debba essere 1 / P(B). Pertanto,
si giunge inesorabilmente alla seguente definizione:
Siano A ae B eventi di un esperimento casuale con P(B) > 0. La probabilità condizionata
di A dato B è definita come
P(A | B) = P(A
B) / P(B).
Ciò si basa sulla definizione assiomatica di probabilità. Analizziamo ora il concetto di
probabilità condizionata a partire dalla nozione meno formale e più intuitiva di frequenza
relativa. Supponiamo quindi di replicare ripetutamente l'esperimento. Per un certo evento
C, sia Nn(C) il numero di volte che C si verifica nelle prime n prove.
Se Nn(B) è grande, la probabilità condizionata che A si sia verificato dato il verificarsi di
B dev'essere prossima alla frequenza relativa condizionata di A dato B, ovvero la
frequenza relativa di A per le prove in cui B si è verificato:
Nn(A
B) / Nn(B).
Ma per un'altra applicazione del concetto di frequenza relativa,
Nn(A
B) / Nn(B) = [Nn(A
B) / n] / [Nn(B) / n]
P(A
B) / P(B) as n
che ci porta di nuovo alla medesima definizione.
In alcuni casi, le probabilità condizionate possono essere calcolate direttamente,
riducendo effettivamente lo spazio campionario all'evento dato. In altri casi, la formula
sopra è migliore.
Proprietà
1. Dimostra che P(A | B), in funzione di A e per B dato, è una misura di probabilità.
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.
Probabilità condizionata
L'esercizio 1 costituisce la proprietà più importante della probabilità condizionata, poiché
indica che ogni risultato che vale per le misure di probabilità in generale vale anche per la
probabilità condizionata (almeno finché l'evento a cui si condiziona rimane fisso).
2. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento casuale con P(B) > 0. Dimostra
che:
1. Se B
A allora P(A | B) = 1.
2. Se A
B allora P(A | B) = P(A) / P(B).
3. Se A e B sono disgiunti allora P(A | B) = 0.
3. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento casuale, ciascuno con probabilità
positiva. Dimostra che
1. P(A | B) > P(A)
P(B | A) > P(B)
P(A
B) > P(A)P(B)
2. P(A | B) < P(A)
P(B | A) < P(B)
P(A
B) < P(A)P(B)
3. P(A | B) = P(A)
P(B | A) = P(B)
P(A
B) = P(A)P(B)
Nel caso (a), A e B si dicono positivamente correlati. Intuitivamente, il verificarsi di uno
dei due eventi implica che l'altro è più probabile. Nel caso (b), A e B si dicono
negativamente correlati. Intuitivamente, il verificarsi di uno dei due eventi implica che
l'altro è meno probabile. Nel caso (c), A e B si dicono indipendenti. Intuitivamente, il
verificarsi di uno dei due eventi non modifica le probabilità dell'altro evento.
A volte le probabilità condizionate sono note e possono essere utilizzate per trovare le
probabilità di altri eventi.
4. Supponi che A1, A2, ..., An siano eventi di un esperimento casuale la cui
intersezione ha probabilità positiva. Prova la regola del prodotto della probabilità.
P(A1
A2
A2
···
An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1
A2) ··· P(An | A1
··· An-1)
La regola del prodotto è molto utile negli esperimenti formati da stadi dipendenti, dove Ai
è un evento dell'i-esimo stadio. Confronta la regola del prodotto della probabilità con la
regola del prodotto del calcolo combinatorio.
Esercizi
5. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento con P(A) = 1 / 3, P(B) = 1 / 4,
B) = 1 / 10. Trova:
P(A
1. P(A | B)
2. P(B | A)
3. P(Ac | B)
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Probabilità condizionata
4. P(Bc | A)
5. P(Ac | Bc)
6. Considera l'esperimento consistente nel lanciare due dadi equilibrati e registrare la
sequenza di punteggi (X1, X2). Sia Y la somma dei punteggi. Per ciascune delle seguenti
coppie di eventi, trova la probabilità di ciascun evento e la probabilità condizionata di
ogni evento dato l'altro. Determina se gli eventi sono correlati postiviamente,
negativamente oppure sono indipendenti.
1. {X1 = 3}, {Y = 5}
2. {X1 = 3}, {Y = 7}
3. {X1 = 2}, {Y = 5}
4. {X1 = 2},{X1 = 3}
La correlazione non è transitiva. Nota per esempio, nell'esercizio precedente, che {X1 =
3}, {Y = 5} sono positivamente correlati, {Y = 5}, {X1 = 2} sono positivamente correlati,
ma {X1 = 3}, {X1 = 2} sono negativamente correlati.
7. Nell'esperimento dei dadi, poni n = 2 e simula 500 replicazioni. Calcola le
probabilità condizionate empiriche corrispondenti alle condizioni dell'esercizio
precedente.
8. Considera l'esperimento delle carte che consiste nell'estrarre 2 carte da un mazzo
standard e registrare la sequenza di carte estratte. Per i = 1, 2, sia Qi l'evento in cui la carta
i-esima è una regina e Hi l'evento in cui la carta i-esima è di cuori. Per ciascuna delle
seguenti coppie di eventi, calcola la probabilità di ogni evento e la probabilità
condizionata di ciascun evento dato l'altro. Determina se gli eventi sono correlati
postiviamente, negativamente oppure sono indipendenti.
1. Q1, H1.
2. Q1, Q2.
3. Q2, H2.
4. Q1, H2.
9. Nell'esperimento delle carte, poni n = 2 e simula 500 replicazioni. Calcola le
probabilità condizionate empiriche corrispondenti alle condizioni dell'esercizio
precedente.
10. Considera l'esperimento delle carte con n = 3 cards. Trova la probabilità dei
seguenti eventi:
1. Tutte e tre le carte sono di cuori
2. Le prime due carte sono di cuori e la terza è di picche.
3. La prima e la terza carta sono di cuori e la seconda di picche.
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Probabilità condizionata
11. Nell'esperimento delle carte, poni n = e simula 1000 replicazioni. Calcola la
probabilità empirica di ciascun evento dell'esercizio precedente e confronta con la
probabilità teorica.
12. In un certo gruppo di persone, il 30% fuma e l'8% ha una certa malattia cardiaca.
Inoltre, il 12% di coloro che fumano hanno la malattia.
1. Qual'è la percentuale di soggetti del gruppo che fumano e hanno la malattia?
2. Quale percentuale di ammalati sono anche fumatori?
3. Il fumo e la malattia sono negativamente correlati, positivamente correlati o
indipendenti?
13. Supponi che A, B e C siano eventi di un esperimento casuale con P(A | C) = 1 / 2,
B | C) = 1 / 4. Trova:
P(B | C) = 1 / 3, e P(A
1. P(A
Bc | C)
2. P(A
B | C)
3. P(Ac
Bc | C).
14. Supponi che A e B siano eventi di un esperimento casuale con P(A) = 1 / 2, P(B) =
1 /3 , P(A | B) = 3 / 4. Trova
1. P(A
B).
2. P(A
B).
3. P(B
Ac).
4. P(B | A).
15. Sui dati M&M, trova la probabilità empirica che un pacchetto contenga almeno 10
pastiglie rosse, dato un peso del pacchetto maggiore di 48 grammi.
16. Sui dati della cicala,
1. Trova la probabilità empirica che una cicala pesi almeno 0.25 grammi dato il sesso
masachile.
2. Trova la probabilità empirica che una cicala pesi almeno 0.25 grammi data la
specie tredecula.
Distribuzioni condizionate
Supponiamo, di nuovo, di avere un esperimento con spazio campionario S e misura di
probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale a valori in T relativa
all'esperimento. Ricorda che la distribuzione di probabilità di X è la misura di probabilità
su T data da
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Probabilità condizionata
P(X
B) per B
T.
Analogamente, se A è un evento con probabilità positiva, la distribuzione condizionata di
X dato A è la misura di probabilità su T data da
P(X
B | A) per B
T.
17. Considera l'esperimento consistente nel lanciare due dadi equilibrati e registrare la
sequenza dei punteggi (X1, X2). Sia Y la somma dei punteggi. Trova la distribuzione
condizionata di (X1, X2) dato Y = 7.
18. Supponi che il tempo X (in minuti) necessario per eseguire una certa operazione
sia distribuito uniformemente sull'intervallo (15, 60).
1. Trova la probabilità che l'operazione richieda più di 30 minuti.
2. Dato che l'operazione non è terminata dopo 30 minuti, trova la probabilità che essa
richieda più di altri 15 minuti.
3. Trova la distribuzione condizionata di X dato X > 30.
19. Ricorda che l'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta
di raggio r 1/2 su un pavimento coperto di mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le
coordinate (X, Y) del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il
centro del quadrato e paralleli ai lati.
1. Trova P(Y > 0 | X < Y)
2. Trova la distribuzione condizionata di (X, Y), sapendo che la moneta non ha
toccato i lati del quadrato.
20. Replica l'esperimento della moneta di Buffon 500 volte. Calcola la probabilità
empirica che Y > 0 dato X < Y, e confronta col risultato dell'esercizio precedente.
La legge delle probabilità totali e il teorema di Bayes
Supponiamo che {Aj: j J} sia una collezione numerabile di eventi che partiziona lo
spazio campionario S. Sia B un altro evento, e supponiamo di conoscere P(Aj) e P(B | Aj)
per ogni j
J.
21. Prova la legge delle probabilità totali:
P(B) =
j
P(Aj) P(B | Aj).
22. Prova il teorema di Bayes, che prende nome da Thomas Bayes: per k
P(Ak | B) = P(Ak)P(B | Ak) /
j
P(Aj) P(B | Aj).
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J,
Probabilità condizionata
Nel contesto del teorema di Bayes, P(Aj) è la probabilità a priori di Aj e P(Aj | B) è la
distribuzione a posteriori di Aj. Studieremo delle versioni più generali della legge delle
probabilità totali e del teorema di Bayes nel capitolo sulle distribuzioni.
23. Nell'esperimento dado-moneta, si lancia un dado equilibrato e poi una moneta
bilanciata il numero di volte indicato dal dado
1. Trova la probabilità che tutte le monete siano testa.
2. Sapendo che tutte le monete sono testa, trova la probabilità che il punteggio del
dado sia stato i per ogni i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
24. Simula l'esperimento dado-moneta 200 volte.
1. Calcola la probabilità empirica che tutte le monete siano testa e confrontala con la
probabilità dell'esercizio precedente.
2. Per i = 1, 2, ..., 6, calcola la probabilità empirica dell'evento in cui il punteggio del
dado è stato i sapendo che tutte le monete sono testa. Confronta col risultato
dell'esercizio precedente.
25. Supponi che un sacchetto contenga 12 monete: 5 sono equilibrate, 4 sono
sbilanciate con probabilità di testa 1/3 e 3 hanno due teste. Si sceglie a caso una moneta
dal sacchetto e la si lancia.
1. Trova la probabilità che esca testa.
2. Sapendo che è uscita testa, trova la probabilità condizionata di ciascun tipo di
moneta.
Confronta gli esercizi 23 e 25. Nell'esercizio 23, si lancia una moneta con probabilità
prefissata di testa un numero casuale di volte. Nell'esercizio 25, si lancia una moneta con
probabilità casuale di testa un numero prefissato di volte.
26. L'esperimento moneta-dado consiste nel lanciare una moneta equilibrata; se esce
croce, si lancia un dado equilibrato, se esce testa si lancia un dado piatto uno-sei (1 e 6
hanno probabilità 1/4, mentre 2, 3, 4, 5 hanno probabilità 1/8).
1. Trova la probabilità che il punteggio del dado sia i, per i = 1, 2, ..., 6.
2. Sapendo che il punteggio del dado è 4, trova la probabilità condizionata che esca
testa e la probabilità condizionata che esca croce.
27. Simula l'esperimento moneta-dado 500 volte.
1. Calcola la probabilità empirica dell'evento in cui il punteggio del dado è i per
ciascun i, e confrontala con la probabilità dell'esercizio precedente
2. Calcola la probabilità empirica dell'evento in cui esce testa, sapendo che il
punteggio del dado è 4, e confrontala con la probabilità dell'esercizio precedente.
28. Una fabbrica ha tre linee produttive che producono chip di memoria. La prima
linea produce il 50% dei chip e ha un tasso di pezzi difettosi del 4%, la seconda linea
produce il 30% dei chip e ha un tasso di pezzi difettosi del 5% mentre la terza linea
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Probabilità condizionata
produce il 20% dei chip e ha un tasso di pezzi difettosi del 1%. Si estrae casualmente un
chip.
1. Trova la probabilità che il chip sia difettoso
2. Sapendo che il chip è difettoso, trova la probabilità condizionata di ciascuna linea
produttiva.
29. La forma più comune di daltonismo (dicromatismo) è una patologia ereditaria
legata al sesso causata da un difetto sul cromosoma X; è quindi più comune nei maschi
che nelle femmine: il 7% dei maschi sono daltonici, mentre solo lo 0.5% delle femmine lo
sono. (Per ulteriori approfondimenti sulle patologie ereditarie legate al sesso, confronta la
trattazione dell'emofilia.) In un certo gruppo di persone, il 50% sono maschi e il 50%
femmine.
1. Trova la percentuale di daltonici del gruppo.
2. Trova la percentuale di soggetti daltonici maschi.
30. Un'urna contiene inizialmente 6 palline rosse e 4 palline verdi. Si sceglie a caso
una pallina e poi la si rimette nell'urna insieme ad altre due palline dello stesso colore; il
processo viene poi ripetuto. Questo è un esempio di schema dell'urna di Pólya, che prende
il nome da George Pólya.
1. Trova la probabilità che le prime 2 palline siano rosse e che la terza sia verde.
2. Trova la probabilità che la seconda pallina sia rossa.
3. Trova la probabilità che la prima pallina sia rossa sapendo che la seconda è rossa.
31. L'urna 1 contiene 4 palline rosse e 6 verdi, mentre l'urna 2 contiene 7 palline rosse
e 3 verdi. Si sceglie a caso un urna e se ne estrae una pallina.
1. Trova la probabilità che la pallina sia verde
2. Sapendo che la pallina è verde, trova la probabilità condizionata di aver scelto
l'urna 1.
32. L'urna 1 contiene 4 palline rosse e 6 verdi, mentre l'urna 2 contiene 6 palline rosse
e 3 verdi. Si sceglie a caso una pallina dall'urna 1 e la si insierisce nell'urna 2. Si estrae
quindi una pallina dall'urna 2.
1. Trova la probabilità che la pallina estratta dall'urna 2 sia verde.
2. Sapendo che la pallina estratta dall'urna 2 è verde, trova la probabilità condizionata
che la pallina estratta dall'urna 1 fosse verde.
Test diagnostici
Supponiamo di avere un esperimento casuale con un evento di interesse A. Ovviamente,
quando si esegue l'esperimento l'evento A può verificarsi oppure no. In ogni caso, non
possiamo osservare direttamente il verificarsi o il non verificarsi di A. Disponiamo invece
di un test progettato per indicare l'occorrenza dell'evento A; il test può essere o positivo
per A o negativo per A. Il test ha inoltre un elemento di aleatorietà, e può dare indicazioni
errate. Presentiamo alcuni esempi delle situazioni che vogliamo rappresentare:
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Probabilità condizionata
●
●
●
●
●
L'evento in cui una persona ha una certa malattia, il test è un esame del sangue.
L'evento in cui una donna è incinta, il test è un test di gravidanza casalingo.
L'evento in cui una persona mente, il test è una macchina della verità.
L'evento in cui un apparecchio è difettoso, il test è il rapporto di un sensore.
L'evento in cui un missile si trova in una certa regione dello spazio aereo, il test
sono i segnali radar.
Sia T l'evento in cui il test è positivo per il verificarsi di A. La probabilità condizionata
P(T | A) è detta sensitività del test. La probabilità complementare
P(Tc | A) = 1 - P(T | A)
è la probabilità di un falso negativo. La probabilità condizionata P(Tc | Ac) è detta
specificità del test. La probabilità complementare
P(T | Ac) = 1 - P(Tc | Ac)
è la probabilità di un falso positivo. In molti casi, sensitività e specificità del test sono
note e sono un risultato della costruzione dello stesso. In ogni caso, l'utente del test è
interessato alle probabilità condizionate opposte:
P(A | T), P(Ac|Tc).
33. Usa il teorema di Bayes per dimostrare che
P(A | T) = P(T | A)P(A) / [P(T | A)P(A) + P(T | Ac)P(Ac)].
Per fare un esempio concreto, supponiamo che la sensitività del test sia 0.99 e la
specificità sia 0.95. A occhio, il test sembra buono.
34. Trova P(A | T) in funzione di p = P(A). Mostra che il grafico ha la seguente forma:
35. Dimostra che P(A | T) in funzione di P(A) ha i valori riportati nella seguente
tabella:
P(A) P(A | T)
0.001 0.019
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Probabilità condizionata
0.01
0.1
0.2
0.3
0.167
0.688
0.832
0.895
Il valore modesto di P(A | T) per valori piccoli di P(A) cattura l'attenzione. La morale,
ovviamente, è che P(A | T) dipende anche da P(A), non solo dalla sensitività e specificità
del test. Inoltre, il confronto corretto è P(A | T) con P(A), come nella tabella, non P(A | T)
con P(T | A).
Laboratorio virtuale > Spazi di Probabilità > 1 2 3 4 [5] 6 7 8
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La distribuzione esponenziale
Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 [2] 3 4 5 6 7 8
2. La distribuzione esponenziale
L'assunzione di base relativa ai processi di Poisson è che il comportamento di tali processi
dopo un arrivo dev'essere indipendente dal comportamento prima dell'arrivo e
probabilisticamente analogo al processo originario (rigenerazione).
I tempi tra gli arrivi
In particolare, l'assunzione di rigenerazione significa che i tempi che intercorrono tra gli
arrivi, detti anche tempi interarrivo, devono essere variabili casuali indipendenti e
identicamente distribuite. Formalmente, i tempi interarrivo sono definiti come segue:
X1 = T1, Xk = Tk - Tk-1 per k = 2, 3, ...
dove Tk è il tempo a cui si verifica il k-esimo arrivo. Assumeremo che
P(Xi > t) > 0 per ogni t > 0.
Ora, vogliamo anche che la rigenerazione si verifichi a un tempo fissato t. In particolare,
se il primo arrivo non si è ancora verificato in t, allora il tempo rimanente prima
dell'arrivo ha la medesima distribuzione del primo tempo di arrivo stesso. Tale proprietà è
detta assenza di memoria, e può essere espressa in termini del generico tempo interarrivo
X come
P(X > t + s) | X > s) = P(X > t) per tutti gli s, t
0.
Distribuzione
Sia G la funzione di ripartizione della coda destra di di X:
G(t) = P(X > t), t
0.
1. Prova che la proprietà di assenza di memoria è equivalente alla legge degli
esponenti:
G(t + s) = G(t)G(s) per qualsiasi s, t
0.
2. Prova che le uniche soluzioni all'equazione funzionale dell'esercizio 1 continue da
destra sono le funzioni esponenziali. Sia c = G(1). Mostra quindi che
1. G(n) = cn se n è un intero positivo.
2. G(1/n) = c1/n se n è un intero positivo.
3. G(m/n) = cm/n se me n sono interi positivi.
4. G(t) = ct per ogni t > 0.
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La distribuzione esponenziale
Nel contesto dell'esercizio 2, sia r = -ln(c). Allora r > 0 (poiché 0 < c < 1) so
G(t) = P(X > t) = e-rt, t
0.
Quindi X ha distribuzione continua con funzione di ripartizione data da
F(t) = P(X
t) = 1 - G(t) = 1 - e-rt, t
0.
3. Prova che la funzione di densità di X è
f(t) = re-rt, t
0.
Una variabile casuale con tale densità è detta avere distribuzione esponenziale con
parametro di velocità r. Il reciproco 1 / r è detto parametro di scala.
4. Mostra direttamente che la densità esponenziale è una funzione di densità di
probabilità.
5. Nell'esperimento esponenziale, modifica r con la barra a scorrimento e osserva come
cambia la forma della funzione di densità di probabilità. Con r = 2, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione di densità
empirica alla funzione di densità di probabilità.
6. Nell'esperimento esponenziale, poni r = 1 e simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni volta. Calcola le frequenze relative appropriate per analizzare empiricamente la
proprietà di assenza di memoria.
P(X > 3 | X > 1) = P(X > 2).
7. Prova che la funzione quantile di X è
F-1(p) = -ln(1 - p) / r per 0 < p < 1.
In particolare la mediana di X si ha a ln(2) / r, il primo quartile a [ln(4) - ln(3)] / r, e il
terzo a ln(4) / r.
8. Supponi che la lunghezza di una telefonata (in minuti) si distribuita
esponenzialmente con parametro di velocità r = 0.2.
1. Trova la probabilità che la telefonata duri da 2 a 7 minuti.
2. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della lunghezza della
telefonata.
9. Supponi che la durata di un certo apparecchio elettronico (in ore) sia distribuita
esponenzialmente con parametro di velocità r = 0.001.
1. Trova la probabilità che l'apparecchio duri almeno 2000 ore.
2. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della durata.
Momenti
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La distribuzione esponenziale
I seguenti esercizi riportano media, varianza, e funzione generatrice dei momenti della
distribuzione esponenziale.
10. Prova che E(X) = 1 / r.
11. Prova che var(X) = 1 / r2.
12. Prova che E[exp(uX)] = r / (r - u) per u < r.
Il parametro r è detto a volte velocità del processo di Poisson. In media, passano 1 / r
unità di tempo tra gli arrivi, per cui tali arrivi si presentano con una velocità media di r per
unità di tempo. Notiamo inoltre che la mediana è sempre minore della media nella
distribuzione esponenziale:
ln(2) / r < 1 / r.
13. Nell'esperimento esponenziale, modifica r con la barra a scorrimento e osserva
come cambiano posizione e dimensione della barra media/deviazione standard. Con r =
0.5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti
empirici ai loro valori teorici.
14. Supponi che il tempo che intercorre tra le richieste a un server web (misurato in
secondi) abbia distribuzione esponenziale con parametro di velocità 2.
1. Trova media e deviazione standard del tempo che intercorre tra le richieste.
2. Trova la probabilità che il tempo tra due richieste sia minore di 0.5 secondi.
3. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile del tempo tra le
richieste.
15. Supponi che la durata (in unità di 100 ore) X di un fusibile sia distribuita
esponenzialmente con P(X > 10) = 0.8.
1. Trova il parametro di velocità.
2. Trova media e deviazione standard.
3. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della durata del fusibile.
16. La posizione (misurata in centimetri) X del primo settore difettoso di un nastro
magnetico ha distribuzione esponenziale con media 100.
1. Trova il parametro di velocità.
2. Trova la probabilità che X < 200 dato X > 150.
3. Trova la deviazione standard.
4. Trova mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile della durata della
posizione.
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Paradosso di Bertrand
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3. Paradosso di Bertrand
Termini del problema
Il paradosso di Bertrand consiste nel trovare la probabilità che una "corda aleatoria" di
una circonferenza sia più lunga della lunghezza di uno dei lati del triangolo equilatero
inscritto. Il problema prende il nome dal matematico francese Joseph Louis Bertrand, che
analizzò il problema nel 1889.
Come vedremo, risultano esserci (almeno) due soluzioni al problema, ed esse dipendono
dall'interpretazione che si dà alla nozione di "corda aleatoria". La mancanza di una
risposta univoca era al tempo considerata un paradosso, perché si pensava (ingenuamente,
a ben vedere), che dovesse esserci un'unica risposta naturale.
1. Replica l'esperimento di Bertrand 100 volte, aggiornando ogni volta, per ciascuno
dei seguenti modelli. Non preoccuparti del loro significato esatto, ma cerca di trovare
delle differenze di comportamento nei risultati
1. Distanza uniforme
2. Angolo uniforme
Formulazione matematica
Per formulare il problema in termini matematici, assumiamo (0, 0) come centro della
circonferenza e assumiamo raggio unitario. Queste assunzioni non comportano perdita di
generalità, poiché introducono un sistema di misurazione relativo al centro della
circonferenza e col raggio della stessa come unità di misura. Consideriamo ora una corda
sulla circonferenza. Ruotando quest'ultima, possiamo assumere che uno dei punti della
corda sia (1,0) e l'altro (X, Y) dove Y > 0. Possiamo allora specificare completamente la
corda tramite uno delle seguenti quantità:
● La distanza (perpendicolare) D dal centro del cerchio al punto medio della corda.
● L'angolo A formato dall'asse delle x e dalla linea tra il centro della circonferenza e
il punto medio della corda.
● La coordinata orizzontale X.
Nota che 0
D
1, 0
A
/ 2, -1
X
1.
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Paradosso di Bertrand
2. Prova che D = cos(A).
3. Mostra che X = 2D2 - 1.
4. Mostra che Y = 2D (1 - D2)1/2.
5. Dimostra che le relazioni degli esercizi 2 e 3 sono invertibili e trova le relazioni
inverse.
Se la corda è generata in maniera aleatoria, D, A, X, e Y risultano essere variabili casuali.
Alla luce dell'esercizio 5, specificare la distribuzione di una qualunque delle variabili D,
A o X determina completamente la distribuzione di tutte e quattro le variabili.
6. Mostra che A è anche l'angolo formato dalla corda e la retta tangente al cerchio in
(1, 0).
Consideriamo ora il triangolo equilatero inscritto nella circonferenza in modo che uno dei
vertici sia (1, 0). Considera la corda definita dal lato superiore del triangolo.
7. Prova che, per tale corda, angolo, distanza e coordinate sono date da:
1. a = / 3
2. d = 1/2
3. x = -1/2
4. y = (3/4)1/2.
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Paradosso di Bertrand
Supponiamo ora di scegliere una corda in maniera probabilistica.
8. Utilizzando l'esercizio 7, mostra che la lunghezza della corda è maggiore della
lunghezza del lato del triangolo equilatero inscritto se e solo se si verificano le seguenti
condizioni:
1. 0 < D < 1/2
2.
/3<A< /2
3. -1 < X < -1/2
Quando un oggetto è generato "a caso" alla sequenza di variabili "naturali" che determina
l'oggetto deve essere assegnata un'appropriata distribuzione. Le coordinate del centro
della moneta sono una sequenza di questo tipo nel contesto dell'esperimento della moneta
di Buffon; le variabili distanza e angolo sono una sequenza di questo tipo nell'esperimento
dell'ago di Buffon. Il fatto cruciale nel paradosso di Bertrand è che la distanza D e
l'angolo A sembrano essere entrambe variabili naturali per individuare la corda, ma si
ottengono modelli diversi a seconda della variabile alla quale si assegna distribuzione
uniforme.
Modello a distanza uniforme
Supponi che D sia distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 1).
9. Prova che la soluzione del paradosso di Bertrand è
P(D < 1/2) = 1/2
10. Nell' esperimento di Bertrand, seleziona il modello a distanza uniforme. Simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di
frequenza relativa sulla corda alla probabilità vera.
11. Usa la formula del cambiamento di variabile per mostrare che l'angolo A ha
funzione di densità
g(a) = sin(a), 0 < a <
/2
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Paradosso di Bertrand
12. Usa la formula del cambiamento di variabile per mostrare che X ha funzione di
densità
h(x) = (1/4) [(x + 1) / 2]-1/2, -1 < x < 1.
Nota che A e X non sono distribuite uniformemente.
Modello con angolo uniforme
Supponi che A sia distribuita uniformemente sull'intervallo (0,
/2).
13. Prova che la soluzione del problema di Bertrand è
P(A >
/ 3) = 1/3
14. Nell'esperimento di Bertrand, seleziona il modello con angolo uniforme. Simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di
frequenza relativa sulla corda alla probabilità vera.
15. Usa la formula del cambiamento di variabile per mostrare che la distanza D ha
funzione di densità
f(d) = 2 / [ (1 - d2)1/2], 0 < d < 1.
16. Usa la formula del cambiamento di variabile per mostrare che X ha funzione di
densità
h(x) = 1 / [ (1 - x2)1/2], -1 < x < 1.
Nota che D e X non sono uniformemente distribuite.
Esperimenti fisici
17. Supponi di generare una corda casuale lanciando una moneta di raggio 1 su un
tavolo rigato con linee parallele a distanza 2 l'una dall'altra. Quale dei modelli (o
nessuno?) si può applicare a questo esperimento?
18. Supponi di attaccare un ago al bordo di un disco di raggio 1. Si genera una corda
aleatoria facendo girare l'ago. Quale dei modelli (o nessuno?) si può applicare a questo
esperimento?
19. Supponi di costruire un canalino sul bordo di un disco di raggio 1. Gettare una
pallina nel canale genera un punto casuale sulla circonferenza, per cui una corda aletoria
si può generare lanciando due volte la pallina. Quale dei modelli (o nessuno?) si può
applicare a questo esperimento?
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La distribuzione gamma
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3. La distribuzione gamma
La funzione di densità
Sappiamo che i tempi interarrivo X1, X2, ... sono variabili casuali continue e indipendenti
l'una dall'altra, ognuna con funzione di densità di probabilità esponenziale:
f(t) = re-rt, t
0.
Il tempo di arrivo k-esimo è semplicemente la somma dei primi k tempi interarrivo:
Tk = X1 + X2 + ··· + Xk.
Ne segue che il k-esimo tempo di arrivo è una variabile casuale continua e che la sua
funzione di densità è la k-convoluzione di f.
1. Mostra che la funzione di densità del k-esimo tempo di arrivo è
fk(t) = (rt)k - 1re-rt / (k - 1)!, t > 0.
Tale distribuzione è detta gamma con parametro di forma k e parametro di velocità r. Di
nuovo, 1 / r è detto parametro di scala. Una versione più generale della distribuzione
gamma, che consente valori non interi di k, è analizzata nel capitolo sulle distribuzioni
notevoli.
Notiamo che, poiché i tempi di arrivo sono continui, la probabilità di un arrivo in ciascuno
specifico istante è 0. Possiamo quindi interpretare Nt come numero di arrivi in (0, t).
2. Nell'esperimento gamma, modifica r e k con le barre a scorrimento e osserva come
varia la forma della funzione di densità. Poni r = 2 e k = 3, e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10, osservando la convergenza delle densità empiriche alla funzione di
densità teorica.
3. Disegna il grafico della funzione di densità dell'esercizio 1. Mostra che la moda si
ha a (k - 1) / r.
4. Supponi che delle automobili arrivino a una stazione di servizio seguendo il
modello di Poisson, con velocità r = 3 all'ora. Relativamente a un dato istante di inizio,
trova la probabilità che la seconda automobile arrivi dopo più di un'ora.
5. I difetti in un certo tipo di cavo seguono il modello di Poisson, con velocità 1 ogni
100 metri. Trova la probabilità che il quinto difetto si trovi tra i 450 e i 550 metri.
Momenti
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La distribuzione gamma
Media, varianza e funzione generatrice dei momenti di Tk si trovano utilizzando i risultati
già noti per la distribuzione esponenziale.
6. Prova che E(Tk) = k / r.
7. Dimostra che var(Tk) = k / r2.
8. Nell'esperimento gamma, modifica r e k con le barre a scorrimento e osserva come
variano posizione e dimensione della barra media/deviazione standard. Poni r = 2 e k = 3,
e simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, osservando la convergenza dei momenti
empirici ai loro valori teorici.
9. Mostra che E[exp(uTk)] = [r / (r - u)]k per u < r.
10. Supponi che le richieste che pervengono a un server web seguano il modello di
Poisson con velocità r = 5 al minuto. Relativamente a un dato tempo di inizio, calcola
media e deviazione standard del tempo di arrivo della decima richiesta.
11. Supponi che Y abbia distribuzione gamma con media 40 e deviazione standard 20.
Trova k e r.
Somme di variabili gamma indipendenti
12. Supponi che V abbia distribuzione gamma con parametro di forma j e parametro di
velocità r, che W abbia distribuzione gamma con parametro di forma k e parametro di
velocità r e che V e W siano indipendenti. Prova che V + W ha distribuzione gamma con
parametro di forma j + k e parametro di velocità r.
1. Dimostralo analiticamente, utilizzando le funzioni generatrici dei momenti.
2. Dimostralo probabilisticamente, basandoti sulle proprietà del processo di Poisson.
Approssimazione alla normale
13. Nell'esperimento gamma, modifica r e k con le barre a scorrimento e osserva come
varia la forma della funzione di densità. Poni r = 2 e k = 5, e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10, osservando la convergenza delle densità empiriche alla funzione di
densità teorica.
Anche se non puoi scegliere un k maggiore di 5, nota che la funzione di senistà del tempo
di arrivo k-esimo assume forma campanulare al crescere di k (per r dato). Questa è
un'ulteriore applicazione del teorema limite centrale, poiché il k-esimo tempo di arrivo è
la somma di k varaibili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i tempi
interarrivo).
14. Usa il teorema limite centrale per mostrare che la distribuzione della variabile
standardizzata riportata qui sotto converge alla distribuzione normale standardizzata al
tendere a infinito di k
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La distribuzione gamma
(Tk - k / r) / (k1/2 / r) = (rTk - k) / k1/2.
15. Nell'esperimento gamma, poni k = 5 e r = 2. Simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni volta, e calcola e confronta le seguenti quantità:
1. P(1.5
T5
3)
2. La frequenza relativa dell'evento {1.5
3. L'approssimazione normale a (1.5
T5
T5
3}
3).
16. Supponi che gli incidenti a un certo incrocio si verifichino seguendo il modello di
Poisson, con velocità di 8 all'anno. Calcola l'approssimazione normale alla probabilità che
il decimo incidente (relativamente a un dato tempo di inizio) si verifichi entro due anni.
Stima della velocità
In molti casi pratici, il parametro di velocità r del processo è ignoto e dev'essere stimato
sulla base dei tempi di arrivo osservati.
17. Prova che E(Tk / k) = 1 / r, per cui Tk / k è uno stimatore corretto per 1 / r.
Poiché lo stimatore è corretto, la varianza coincide con l'errore quadratico medio.
18. Prova che var(Tk / k) = 1 / (kr2), per cui var(Tk / k) tende a 0 al tendere di k a
infinito.
Nota che Tk / k = (X1 + X2 + ··· + Xk) / k dove Xi è l'i-esimo tempo interarrivo. Quindi il
nostro stimatore per 1 / r può essere interpretato come media campionaria dei tempi
interarrivo. Uno stimatore naturale della velocità stessa è k / Tk. Ma questo stimatore
tende a sovrastimare r.
19. Usa la disuguaglianza di Jensen per mostrare che E(k / Tk)
r.
20. Supponi che le richieste a un certo server web seguano il modello di Poisson. A
partire da mezzogiorno di un certo giorno, si registrano le richieste; la centesima arriva a
mezzogiorno e un quarto. Stima la velocità del processo.
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La distribuzione beta
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9. La distribuzione beta
Introdurremo in questo paragrafo una famiglia di distribuzioni a due parametri di
particolare importanza in probabilità e statistica.
La funzione beta
La funzione beta B(a, b) è definita per a > 0 e b > 0 come
B(a, b) =
(0, 1)
ua - 1(1 - u)b-1 du.
1. Mostra che B(a, b) è finita per a > 0 e b > 0 percorrendo i seguenti passi:
1. Spezza l'integrale in due parti, da 0 a 1/2 2 da 1/2 a 1.
2. Se 0 < a < 1, l'integrale è improprio in u = 0, ma (1 - u)b - 1 è limitato in (0, 1 / 2).
3. Se 0 < b < 1, l'integrale è improprio in u = 1, ma ua - 1 è limitato in (1 / 2, 1).
2. Mostra che
1. B(a, b) = B(b, a) per a > 0, b > 0.
2. B(a, 1) = 1 / a.
3. Dimostra che la funzione beta può essere scritta in termini della funzione gamma
come segue:
B(a, b) = gam(a) gam(b) / gam(a + b).
Suggerimento: Esprimi gam(a + b) B(a, b) come integrale doppio rispetto a x e y, con x >
0 e 0 < y < 1. Usa la trasformazione w = xy, z = x - xy e il teorema del cambiamento di
variabile per integrali multipli. Tale trasformazione è una funzione biiettiva da (x, y) su z
> 0, w > 0; il Jacobiano della trasformazione inversa vale 1 / (z + w). Mostra che
l'integrale trasformato vale gam(a) gam(b).
4. Mostra che, se j e k sono interi positivi, allora
B(j, k) = (j - 1)!(k - 1)! / (j + k -1)!.
5. Mostrare che B(a + 1, b) = [a / (a + b)] B(a, b).
6. Si mostri che B(1/2, 1/2) =
.
Riportiamo qui sotto un grafico di B(a, b) sulla regione 0 < a < 10, 0 < b < 10.
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La distribuzione beta
La funzione di densità beta
7. Mostra che f è una funzione di densità di probabilità per ogni a > 0 e b > 0:
f(u) = ua - 1 (1 - u)b - 1 / B(a, b), 0 < u < 1.
una distribuzione con questa densità è detta distribuzione beta con parametri a e b. La
distribuzione beta è utile per modellare probabilità e proporzioni, in particolare in ambito
Bayesiano. Pur possedendo solo due paraemtri, questa distribuzione contempla una ricca
varietà di forme:
8. Disegna il grafico della funzione di densità beta. Osserva le differenze qualitative
nella forma della funzione di densità nei seguenti casi:
1. 0 < a < 1, 0 < b < 1
2. a = 1, b = 1 (distribuzione uniforme)
3. a = 1, 0 < b < 1
4. 0 < a < 1, b = 1
5. 0 < a < 1, b > 1
6. a > 1, 0 < b < 1
7. a > 1, b = 1
8. a = 1, b > 1
9. a > 1, b > 1. Mostra che la moda è a (a - 1) / (a + b -2)
9. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione beta. Poni i parametri a
ciascuna delle combinazioni proposte nell'esercizio 1. In ognuno di questi casi, osserva la
forma della funzione di densità e simula 1000 replicazioni con frequenza di
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La distribuzione beta
aggiornamento di 10. Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella
teorica.
Funzione di ripartizione
In alcuni casi particolari, la funzione di ripartizione e la funzione quantile possono essere
espresse in forma chiusa.
10. Per a > 0 e b = 1, mostra che
1. F(x) = xa per 0 < x < 1.
2. F -1(p) = p1/a per 0 < p < 1.
11. Per a = 1 e b > 0, dimostrare che
1. F(x) = 1 - (1 - x)b per 0 < x < 1.
2. F -1(p) = 1 - (1 - p)1/b per 0 < p < 1.
In generale sussiste un'interessante relazione tra le funzioni di ripartizione beta e la
distribuzione binomiale.
12. Sia n dato. Sia Fp la funzione di ripartizione di una binomiale con parametri n e p e
sia Gk la funzione di ripartizione di una beta con parametri n - k + 1 e k. Si dimostri che
Fp(k - 1) = Gk(1 - p).
Suggerimento: Si esprima Gk(1 - p) come integrale della funzione di densità della
distribuzione beta e si integri per parti.
13. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione beta. Modifica i parametri e osserva
la forma delle funzioni di densità e di ripartizione. In ognuno dei seguenti casi, trova
mediana, primo e terzo quartile e scarto interquartile. Disegna il boxplot
1. a = 1, b = 1
2. a = 1, b = 3
3. a = 3, b = 1
4. a = 2, b = 4
5. a = 4, b = 2
6. a = 4, b = 4
Momenti
I momenti della distribuzione beta sono esprimibili facilmente in termini della funzione
beta.
14. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Dimostra che
E(Uk) = B(a + k, b) / B(a, b).
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La distribuzione beta
15. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Dimostra che
1. E(U) = a / (a + b)
2. var(U) = ab / [(a + b)2 (a + b + 1)]
16. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione beta. Poni i parametri a
ciascuna delle combinazioni proposte nell'esercizio 1. In ognuno di questi casi, osserva la
forma della barra media/deviazione standard e simula 1000 replicazioni con frequenza di
aggiornamento di 10. Osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
Transformazioni
17. Si supponga che X abbia distribuzione gamma con parametri a e r, che Y abbia
distribuzione gamma con parametri b e r e che X e Y siano indipendenti. Si mostri che U
= X / (X + Y) ha distribuzione beta con parametri a e b.
18. Supponi che U abbia distribuzione beta con parametri a e b. Mostra che 1 - U ha
distribuzione beta con parametri b e a.
19. Supponi che X abbia distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi
di libertà al denominatore. Dimostra che
U = (m / n)X / [1 + (m / n)X]
ha distribuzione beta con parametri a = m / 2 e b = n / 2.
20. Supponiamo che X abbia distribuzione beta con parametri a > 0 e b > 0. Mostra
che tale distribuzione è una famiglia esponenziale a due parametri con parametri naturali a
- 1 e b - 1, e statistiche naturali ln(X) e ln(1 - X).
La distribuzione beta è inoltre la distribuzione delle statistiche d'ordine di un campione
casuale estratto da una distribuzione uniforme.
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La distribuzione di Pareto
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12. La distribuzione di Pareto
La distribuzione di Pareto è asimmmetrica e con code spesse e si usa in certi casi per
modellare la distribuzione del reddito.
La distribuzione di Pareto semplice
1. Sia F(x) = 1 - 1 / xa per x
funzione di ripartizione.
1, dove a > 0 è un parametro. Mostra che F è una
La distribuzione individua dalla funzione di ripartizione presentata nell'esercizio 1 è detta
distribuzione di Pareto con parametro di forma a, e prende il nome dall'economista
Vilfredo Pareto.
2. Mostra che la funzione di densità f è
f(x) = a / xa + 1 per x
1.
3. Disegna il grafico della funzione di densità f. Mostra in particolare che
1. f(x) è decrescente per x 1.
2. f decresce più velocemente al crescere di a.
Il valore modale è x = 1 per ogni a.
4. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione di Pareto. Modifica il
parametro di forma e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Ponendo a
= 3, simula 1000 replicazioni, con frequenza di aggiornamento 10 e osserva la
convergenza della densità empirica a quella teorica.
5. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = 1 / (1 - p)1/a per 0 < p < 1.
6. Trova la mediana e il primo e il terzo quartile della distribuzione di Pareto con
parametro di forma a = 3. Calcola lo scarto interquartile.
7. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione di Pareto. Modifica il parametro di
forma e osserva la forma e la posizione delle funzioni di densità e di ripartizione .
Ponendo a = 2, calcola la mediana e il primo e terzo quartile.
La distribuzione di Pareto ha code spesse. Pertanto, media, varianza, e gli altri momenti
sono finiti solo se il parametro di forma a è grande abbastanza.
8. Supponi che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a. Dimostra che
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La distribuzione di Pareto
1. E(Xn) = a / (a - n) se n < a.
2. E(Xn) =
se n
a.
9. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
1. E(X) = a / (a - 1) se a > 1.
2. var(X) = a / [(a - 1)2(a - 2)] se a > 2.
10. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione di Pareto. Modifica il
parametro di forma e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione
standard. In ciascuno dei casi seguenti, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e
osserva il comportamento dei momenti empirici:
1. a = 1
2. a = 2
3. a = 3
La distribuzione di Pareto generalizzata
Analogamente a quanto avviene per altre distribuzioni, spesso la distribuzione di Pareto
viene generalizzata aggiungendo un parametro di scala. Supponiamo che Z abbia
distribuzione di Pareto con parametro di forma a. Se b > 0, la variabile casuale X = bZ ha
distribuzione di Pareto con parametro di forma a e parametro di scala b. Osserva che X
assume valori nell'intervallo (b, ).
Risultati analoghi a quelli presentati poc'anzi seguono da semplici proprietà delle
trasformazioni di scala.
11. Mostra che la funzione di densità è
f(x) = aba / xa + 1 for x
b.
12. Mostra che la funzione di ripartizione è
F(x) = 1 - (b / x)a for x
b.
13. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = b / (1 - p)1/a per 0 < p < 1.
14. Mostra che i momenti sono dati da
1. E(Xn) = bn a / (a - n) if n < a.
2. E(Xn) =
se n
a.
15. Mostra che media e varianza valgono
1. E(X) = ba / (a - 1) se a > 1.
2. var(X) = b2a / [(a - 1)2(a - 2)] se a > 2.
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La distribuzione di Pareto
16. Supponi che il reddito di una certa popolazione abbia distribuzione di Pareto con
parametro di forma 3 e parametro di scala 1000.
1. Trova la percentuale della popolazione che ha un redddito compreso tra 2000 e
4000.
2. Trova il reddito mediano.
3. Trova il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.
4. Trova il reddito medio.
5. Trova la deviazione standard del reddito.
6. Trova il 90esimo percentile.
Trasformazioni
L'esercizio seguente ribadisce il fatto che b è un parametro di scala.
17. Si supponga che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a e
parametro di scala b. Si dimostri che, se c > 0, allora cX ha distribuzione di Pareto con
parametro di forma a e parametro di scala bc.
18. Si supponga che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a. Si
dimostri che 1/X ha distribuzione beta con parametri a e b = 1.
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La distribuzione t
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5. La distribuzione t
In questo paragrafo studieremo una distribuzione di particolare importanza in statistica,
che si presenta in particolare nello studio della versione standardizzata della media
campionaria quando la distribuzione sottostante è normale.
La funzione di densità t
Si abbia una variabile casuale Z con distribuzione normale standardizzata, e una V con
distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, e si supponga che queste due variabili
casuali siano indipendenti. Sia
T = Z / (V / n)1/2.
Nell'esercizio seguente, si dovrà mostrare che T ha funzione di densità di probabilità
f(t) = C(n) (1 + t2 / n)-(n + 1)/2 per t appartenente a R
dove la costante di normalizzazione C(n) è data da
C(n) = gam[(n + 1) / 2] / [(n )1/2 gam(n / 2)].
1. Dimostrare che T ha la funzione di densità riportata sopra percorrendo i seguenti
passi.
1. Mostrare in primo luogo che la distribuzione condizionata di T dato V = v è
normale con media 0 e varianza n / v.
2. Usare (a) per trovare la distribuzione congiunta di (T, V).
3. Integrare la densità congiunta in (b) rispetto a v per trovare la densità di T.
La distribuzione di T è detta distribuzione t di Student con n gradi di libertà. La
distribuzione è definita per ogni n > 0, ma in pratica si considerano interessanti solo i
valori interi positivi di n. Questa distribuzione fu introdotta da William Gosset, che
pubblicava sotto lo pseudonimo di Student. Oltre a riportare la dimostrazione, l'esercizio 1
rappresenta anche una maniera interessante di vedere la distribuzione t: essa si presenta
quando la varianza di una distribuzione a media 0 è in qualche modo casualizzata.
2. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione t di Student. Modifica n e
osserva la forma della funzione di densità di probabilità. Poni n = 5 e simula 1000
replicazioni con frequenza di aggiornamento 10. Osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
3. Traccia il grafico della funzione di densità t definita nell'esercizio 1. Mostra in
particolare che
1. f(t) è simmetrica attorno t = 0.
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La distribuzione t
2. f(t) è crescente per t < 0 e decrescente per t > 0
3. f(t)
0 per t
e per t
4. f(t) è concava verso l'alto per t < -an e t > an; f(t) e concava verso il basso per -an < t
< an, con an = [n / (n + 2)]1/2.
Dall'esercizio 3, segue che la distribuzione t è unimodale, con moda 0.
4. La distribuzione t con 1 grado di libertà è detta distribuzione di Cauchy, in onore di
Augustin Cauchy. Mostra che la sua funzione di densità è
f(t) = 1 / [ (1 + t2)], t appartenente a R.
La funzione di ripartizione e la funzione quantile non sono esprimibili in forma chiusa
tramite le funzioni elementari. Valori approssimati di queste funzioni di possono ottenere
dalla tavola della distribuzione chi-quadro e dall'applet quantile.
5. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione di Student. Modifica i gradi di libertà
e osserva la forma della funzione di densità e della funzione di ripartizione. Trova, in
ciascuno dei casi seguenti, la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.
1. n = 1
2. n = 2
3. n = 5
4. n = 10
Momenti
Sia T t-distribuita con n gradi di libertà. La rappresentazione data nell'esercizio 1 può
essere utilizzata per trovare media, varianza e gli altri momenti di T.
6. Dimostrare che
1. E(T) = 0 se n > 1.
2. E(T) non esiste se 0 < n
1.
In particolare la distribuzione di Cauchy non ha valore atteso.
7. Si dimostri che
1. var(T) = n / (n - 2) se n > 2.
2. var(T) =
se 1 < n
2.
3. var(T) non esiste se 0 < n
1.
8. Nell'applet varaibile casuale, seleziona la distribuzione t di Student. Modifica n e
osserva la posizione e la dimensione della barra media/deviazione standard. Per i seguenti
valori di n, esegui 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento 10. Confronta il
comportamento dei momenti empirici coi risultati teorici ottenuti negli esercizi 5 e 6.
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La distribuzione t
1. n = 3.
2. n = 2.
3. n = 1.
9. Dimostrare che
1. E(Tk) = 0 se k è dispari e n > k.
2. E(Tk) = gam[(k + 1) / 2]{gam[(n - k) / 2]}k/2 / [gam(1 / 2)gam(n / 2)] se k è pari e n
> k.
3. E(Tk) =
if 0 < n
k.
Approssimazione alla normale
Avrai probabilmente notato che, almeno qualitativamente, la funzione di densità della
distribuzione t di Student è molto simile a quella della normale standardizzata. La
somiglianza è anche quantitativa:
10. Usa un teorema limite fondamentale dell'analisi per mostrare che, dato t,
f(t)
exp(-t2 / 2) / (2 )1/2 per n
.
Nota che la funzione di destra è la funzione di densità di probabilità della distribuzione
normale standardizzata.
11. Mostra, coi dati dell'esercizio 1, che, usando la legge forte dei grandi numeri
1. V / n
1 per n
2. T
Z per n
con probabilità 1.
,
,
La distribuzione t ha code più spesse, e di conseguenza è più appuntita in confronto alla
normale standardizzata.
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La distribuzione normale
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2. La distribuzione normale
La distribuzione normale ricopre un ruolo di particolare rilievo nel calcolo delle
probabilità e nella statistica, in larga parte grazie al teorema limite centrale, uno dei
teoremi fondamentali che fanno da ponte tra queste due discipline. In più, come avremo
modo di osservare, la distribuzione normale possiede molte utili proprietà matematiche.La
distribuzione normale è nota anche come distribuzione Gaussiana, in onore di Carl
Friedrich Gauss, che è stato tra i primi a utilizzarla.
La distribuzione normale standardizzata
Una variabile casuale Z ha distribuzione normale standardizzata se la sua funzione di
densità di probabilità g è data da
g(z) = exp(-z2 / 2) / [(2 )1/2] per z appartenente a R.
1. Si mostri che la densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata è
una funzione di densità di probabilità valida verificando che
C=
R
exp(-z2 / 2)dz = (2 )1/2.
Suggerimento: Esprimere C2 come integrale doppio su R2 e convertirlo in coordinate
polari.
2. Utilizzare semplici tecniche di studio di funzioni per disegnare la funzione di densità
della distribuzione normale standardizzata. Mostrare in particolare che
1. g è simmetrica attorno a z = 0.
2. g è crescente per z < 0 e decrescente per z > 0.
3. La moda è a z = 0.
4. g è concava verso l'alto per z < -1 e per z > 1 e concava verso il basso per -1 < z <
1.
5. I punti di flesso di g sono a z = ±1.
6. g(z)
0 per z
e per z
-
3. Nell'esperimento variabile casuale, selezionare la distribuzione normale e mantenere
le impostazioni predefinite. Osservare la forma e la posizione della funzione di densità
della normale standardizzata. Effettuare 1000 replicazioni aggiornando la visualizzazione
ogni 10 giri e osservare la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
La funzione di ripartizione normale standardizzata G e la funzione quantile G-1 non
possono essere espresse in forma chiusa in termini di funzioni elementari. Pertanto, valori
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La distribuzione normale
approssimati di queste funzioni possono essere ottenuti dalla tavola della distribuzione
normale standardizzata e dall'applet quantile.
4. Utilizzare la simmetria per mostrare che
1. G(-z) = 1 - G(z) per ogni z appartenente a R.
2. G-1(p) = -G-1(1 - p) per ogni p appartenente a (0, 1).
3. La mediana è 0.
5. Nell'applet quantile , selezionare la distribuzione normale standardizzata
1. Osservare la forma della funzione di densità e della funzione di ripartizione.
2. Trovare il primo e il terzo quartile.
3. Calcolare lo scarto interquartile.
6. Usare l' applet quantile per trovare i quantile dei seguenti ordine della distribuzione
normale standardizzata:
1. p = 0.001, p = 0.999
2. p = 0.05, p = 0.95
3. p = 0.10, p = 0.90
La distribuzione normale generalizzata
La distribuzione normale generalizzata è la famiglia di posizione e scala associata alla
distribuzione normale standardizzata. Pertanto le proprietà delle funzioni di densità e di
ripartizione si ricavano semplicemente dai risultati generali presentati per le famiglie di
poszione e scala.
7. Mostrare che la distribuzione normale con parametro di posizione µ appartenente a
R e parametro di scala d > 0 ha funzione di densità di probabilità f data da
f(x) = exp[-(x - µ)2 / (2d2)] / [(2 )1/2d], per x appartenente a R.
8. Disegnare la funzione di densità della normale con parametro di posizione µ e
parametro di scala d. Mostrare in particolare che
1. f è simmetrica attorno a x = µ.
2. f è crescente x < µ e decrescente per x > µ.
3. La moda è a x = µ.
4. f è concava verso l'alto per x < µ - d e per x > µ + d e concava verso il basso per µ d < x < µ + d.
5. I punti di flesso di f sono a x = µ ± d.
6. f(x)
0 per x
e per x
-
9. Nell'applet variabile casuale, selezionare la distribuzione normale. Modificare i
parametri e osservare la forma e la posizione della funzione di densità. Scegliere dei
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La distribuzione normale
parametri e replicare 1000 volte, aggiornando ogni 10 replicazioni e osservando la
convergenza della densità empirica alla funzione di densità teorica.
Sia F la funzione di ripartizione della distribuzione normale con parametro di posizione µ
e parametro di scala d, e come sopra, sia G la funzione di ripartizione della normale
standardizzata.
10. Mostrare che
1. F(x) = G[(x - µ) / d] per x appartenente a R.
2. F-1(p) = µ + d G-1(p) per p appartenente a (0, 1).
3. La mediana è µ.
11. Nell'applet quantile, selezionare la distribuzione normale. Modificare i parametri e
osservare la forma delle funzioni di densità e di ripartizione.
Momenti
Le più importanti proprietà della distribuzione normale si ottengo più facilmente
utilizzando la funzione generatrice dei momenti.
12. Si abbia Z con distribuzione normale standardizzata. Mostrare che la funzione
generatrice dei momenti di Z è data da
E[exp(tZ)] = exp(t2 / 2) per t appartenente a R.
Suggerimento: Nell'integrale per E[exp(tZ)], completa il quadrato in z e osserva la
funzione di densità di una normale.
13. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con parametro di posizione µ e
parametro di scala d. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che la funzione
generatric edei momenti di X è data da
E[exp(tX)] = exp(µt + d2t2 / 2) per t appartenente a R.
Come la notazione stessa suggerisce, i parametri di posizione e scala sono anche,
rispettivamente, la media e la deviazione standard
14. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con parametro di posizione µ e
parametro di scala d. Mostrare che
1. E(X) = µ
2. var(X) = d2.
In generale, possiamo calcolare tutti i momenti centrati di X:
15. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con parametro di posizione µ e
parametro di scala d. Dimostrare che, per k = 1, 2, ...
1. E[(X - µ)2k] = (2k)!d2k / (k!2k).
2. E[(X - µ)2k - 1] = 0
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La distribuzione normale
16. Nella simulazione variabile casuale, seleziona la distribuzione normale. Modifica
la media e la deviazione standard e osserva l'ampiezza e la posizione della barra
media/deviazione standard. Coi parametri selezionati, simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10 giri e osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
L'esercizio seguente riporta la skewness e la curtosi della distribuzione normale.
17. Sia X distribuita normalmente con media µ e deviazione standard d. Mostrare che
1. skew(X) = 0.
2. kurt(X) = 3.
Trasformazioni
La famiglia di distribuzioni normali soddisfa due proprietà molto importanti: l'invarianza
rispetto alle trasformazioni lineari e l'invarianza rispetto alla somma di variabili
indipendenti. La prima proprietà è di fatto una conseguenza del fatto che la distribuzione
normale è una famiglia di posizione e scala. Le dimostrazioni sono semplici se si utilizza
la funzione generatrice dei momenti.
18. Sia X distribuita normalmente con media µ e varianza d2. Se a e b sono costanti e a
è diverso da zero, si dimostri che aX + b è distribuita normalmente con media aµ + b e
varianza a2d2.
19. Dimostrare i seguenti assunti:
1. Se X è distribuita normalmente con media µ e deviazione standard d, allora Z = (X
- µ) / d è una normale standardizzata.
2. Se Z è una normale standardizzata e se µ e d > 0 sono costanti, allora X = µ + dZ ha
distribuzione normale con media µ e deviazione standard d.
20. Sia X distribuita normalmente con media µ1 e varianza d12, Y distribuita
normalmente con media µ2 e varianza d22, e siano X e Y indipendenti. Si dimostri che X +
Y ha distribuzione normale con
1. E(X + Y) = µ1 + µ2.
2. var(X + Y) = d12 + d22.
Il risultato dell'esercizio precedente può essere generalizzato al caso in cui si sommano n
variabili indipendenti e normali. Il risultato importante è che la somma è sempre normale;
le formule per la media e la varianza valgono in generale per la somma di variabili casuali
indipendenti.
21. Supponiamo che X abbia distribuzione normale con media µ e varianza d2.
Dimostra che questa distribuzione è una famiglia esponenziale a due parametri con
parametri naturali µ / d2 e -1 / 2d2, e statistiche naturali X e X2.
Esercizi numerici
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La distribuzione normale
22. Supponiamo che il volume di birra in una bottiglia di una certa marca sia
distribuito normalmente con media 0.5 litri e deviazione standard 0.01 litri.
1. Trova la probabilità che la bottiglia contenga almeno 0.48 litri.
2. Trova il voume corrispondente al 95esimo percentile.
23. Una barra metallica è progettata per essere inserita in un foro circolare in una certa
linea di produzione. Il raggio della barra è distribuito normalmente con media 1 cm e
deviazione standard 0.002 cm; il raggio del foro è distribuito normalmente con media 1.01
cm e deviazione standard 0.003 cm. I processi produttivi per la barra e il foro sono
indipendenti. Trova la probabilità che la barra sia troppo larga per il foro.
24. Il peso di una pesca proveniente da un certo frutteto è distribuito normalmente con
media 8 once e deviazione standard di un oncia. Trova la probabilità che il peso
complessivo di 5 pesche superi le 45 once.
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Modelli geometrici
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > [A] B C D E F G H
A. Modelli geometrici
Sommario
1. Problema della moneta di Buffon
2. Problema dell'ago di Buffon
3. Paradosso di Bertrand
4. Triangoli aleatori
5. Note conclusive
Applets
●
Esperimento della moneta di Buffon
●
Esperimento dell'ago di Buffon
●
Esperimento di Bertrand
●
Esperimento del triangolo
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > [A] B C D E F G H
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Campioni casuali
Laboratorio virtuale > Statistica > A [B] C D E
B. Campioni casuali
Sommario
1. Introduzione
2. Media campionaria e legge dei grandi numeri
3. Frequenze relative e distribuzioni empiriche
4. Varianza campionaria
5. Teorema limite centrale
6. Proprietà dei campioni normali
7. Statistiche d'ordine
8. Grafici quantile-quantile
9. Covarianza e correlazione campionaria
Applets
●
Istogramma interattivo
●
Istogramma interattivo con grafico degli errori
●
Dadi
●
Media campionaria
●
Statistiche d'ordine
●
Esperimento quantile-quantile
●
Dispersione interattiva
Citazione
●
Ci sono tre tipi di bugie: bugie, fandonie e statistica. Attribuita a Benjamin Disraeli
in Autobiografia di Mark Twain.
Laboratorio virtuale > Statistica > A [B] C D E
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
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Gioco aggressivo
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > 1 2 [3] 4 5
3. Gioco aggressivo
Ricordiamo che, nel caso di gioco aggressivo, il giocatore punta a ciascuna prova la sua
intera ricchezza o, se è minore, la quantità di denaro necessaria per raggiungere la
ricchezza obiettivo. Siamo interessati alla probabilità che il giocatore raggiunga l'obiettivo
e al numero atteso di prove. Il primo fatto interessante è che solo il rapporto tra ricchezza
iniziale e ricchezza obiettivo è rilevante, al contrario di quanto accade nel caso di gioco
prudente.
1. Supponi che il giocatore giochi aggressivamente con una ricchezza iniziale pari a x e
una ricchezza obiettivo a. Dimostra che, per ogni c > 0, il processo cXi, i = 0, 1, 2, ... è il
processo della ricchezza per il gioco aggressivo con ricchezza iniziale cx e ricchezza
obiettivo ca.
Grazie al risultato dell'esercizio 1, conviene utilizzare la ricchezza obiettivo come unità
monetaria e permettere di avere ricchezze iniziali sia razionali che irrazionali. Lo spazio
delle ricchezze è quindi [0, 1].
Probabilità di vincita
Indicheremo la probabilità che il giocatore raggiunga a = 1 partendo da x in [0, 1] con
F(x). Per l'esercizio 1, la probabilità che il giocatore raggiunga un altro valore qualsiaasi
a, partendo da x in [0, a], è F(x/a).
2. Condizionando all'esito della prima prova, mostra che F soddisfa l'equazione
funzionale
F(x) = pF(2x) per x in [0, 1 / 2], F(x) = p + qF(2x - 1) per x in [1 / 2, 1]
e che F soddisfa le condizioni di limite F(0) = 0, F(1) = 1.
Espansioni binarie
Il fulcro della nostra analisi sarà la rappresentazione in forma binaria della ricchezza
iniziale. L'espansione binaria di x in [0, 1) è
x = u1 / 2 + u2 / 22 + u3 / 23 + ···
dove ui appartiene a {0, 1} per ogni i. Tale rappresentazione è unica a parte il caso in cui
x è un razionale binario della forma
x = k / 2n dove n = 1, 2, ... e k = 1, 2, ... 2n - 1.
Il più piccolo valore possibile di n in questa rappresentazione (dopo aver semplificato), è
detto rango di x. Per un razionale binario x di rango n, useremo la rappresentazione
standard, dove
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Gioco aggressivo
un = 1 e ui = 0 per i > n.
Il rango può essere esteso a tutti i numeri in [0, 1) ponendo a 0 il rango di 0 (0 è
considerato anche un binario razionale) e ponendo a infinito il rango di un irrazionale.
Definiamo quindi le seguenti funzioni di x in [0, 1):
● ui(x) = i-esima coordinata nell'espansione binaria di x
●
zi(x) = k - [u0(x) + u1(x) + ··· + uk(x)] = numero di zeri nelle prime k cifre binarie.
●
n(x) = rango di x.
3. Prova che
ui(2x) = ui + 1(x) se x in (0, 1 / 2), ui(2x - 1) = ui + 1(x) se x in [1 / 2, 0)
La probabilità di vincita vista da un'altra angolazione
4. Supponi che il giocatore parta con una ricchezza pari a x in (0, 1). Mostra che il
giocatore prima o poi raggiunge l'obiettivo 1 se e solo se esiste un intero positivo k tale
che
Ij = 1 - uj(x) per j = 1, 2, ..., k - 1 e Ik = uk(x).
Introduciamo ora un'interessante variabile casuale che ricopre un ruolo fondamentale
nella nostra analisi. Sia
W=
j = 1, 2, ...
(1 - Ij) / 2j.
Notiamo che W è una variabile casuale ben definita e assume valori in [0, 1].
5. Supponi che il giocatore parta con una ricchezza pari a x in (0, 1). Usa il risultato
dell'esercizio 4 per provare che il giocatore raggiunge l'obiettivo 1 se e solo se W < x.
6. Prova che W ha distribuzione continua. Ovvero, mostra che P(W = x) = 0 per ogni x
in [0, 1].
Segue, dai risultati degli esercizi 5 e 6, che F è semplicemente la funzione di ripartizione
di W. In particolare, F è una funzione crescente, e poiché W è continua, F è funzione
continua.
Per gli esercizi 7–10 seguenti, sia
x = k / 2m dove m appartiene a {1, 2, ...}, k appartiene a {0, 1, ... 2m - 1} e y = (k + 1) /
2m.
7. Prova che o x o y ha rango m.
8. Dimostra che l'unica sequenza di esiti che provocano la rovina del giocatore quando
la ricchezza iniziale è x e la vittoria quando la ricchezza iniziale è y è la sequenza
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Gioco aggressivo
Ij = uj(x) - 1 per j = 1, 2, ..., m.
9. Usa il risultato dell'esercizio 8 per mostrare che
F(y) = F(x) + pzm(x) qm - zm(x).
10. Prova che
F(x) =
{pzm(t) qm - zm(t): t < x, n(t)
m}.
11. Mostra che
F(1 / 8) = p3, F(2 / 8) = p2, F(3 / 8) = p2 + p2q, F(4 / 8) = p
F(5 / 8) = p + p2q, F(6 / 8) = p + pq, F(7 / 8) = p + pq + pq2
12. Usa il risultato dell'esercizio 9 per mostrare che F è strettamente crescente su [0, 1].
Ciò significa che la distribuzione di W ha supporto [0, 1]; ovvero non esistono
sottointervalli di [0, 1] con lunghezza positiva e probabilità 0.
13. Usa l'induzione sul rango per mostrare che due soluzioni qualsiasi dell'equazione
funzionale dell'esercizio 2 devono concordare sui binari razionali. Pertanto, ogni
soluzione dell'equazione funzionale dell'esercizio 2 deve soddisfare i risultati degli
esercizi 9 e 10.
14. Usa il risultato dell'esercizio 13 per mostrare che F è l'unica soluzione continua
all'equazione funzionale dell'esercizio 2.
15. Supponi che p = 1 / 2. Mostra che F(x) = x soddisfa l'equazione funzionale
dell'esercizio 2.
Nel caso di prove equilibrate, quindi, la probabilità che il giocatore aggressivo raggiunga
a partendo da x è x/a, cioè quanto per il giocatore prudente.
Notiamo dall'esercizio 15 che, se p = 1 / 2, W ha distribuzione uniforme su [0, 1]. Se p è
diverso da 1/2, la distribuzione di W è un po' strana. Per esprimere il risultato in forma
compatta, indicheremo la dipendenza della misura di probabilità P dal parametro p.
Definiamo
Cp = {x
(0, 1): zk(x) / k
p per k
}.
ovvero l'insieme degli x in (0, 1) per cui la frequenza relativa di zeri nell'espansione
binaria è p.
16. Usa la legge forte dei grandi numeri per mostrare che
1. Pp(W
Cp) = 1
2. Pp(W
Ct) = 0 per t
p.
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Gioco aggressivo
Segue dall'esercizio 16 che, quando p è diverso da 1/2, W non ha densità, pur essendo una
variabile casuale continua. La dimostrazione che ne diamo è per assurdo: se W avesse
densità f allora
1 = Pp(W
Cp) =
Cp
f(x)dx = 0.
poiché lunghezza(Cp) = P1/2(W Cp) = 0. Ciò significa che, quando p è diverso da 1/2, F
ha derivata 0 in quasi ogni punto dell'intervallo [0, 1]. L'immagine seguente riporta i
grafici di F per p = 0.2 e 0.4.
17. Nell'esperimento del rosso e nero, seleziona gioco aggressivo. Modifica x, a e p
con le barre a scorrimento e osserva come cambia la distribuzione della ricchezza finale.
In particolare, nota che la distribuzione della vincita dipende solo da x / a. Con a = 64, x =
24 e p = 0.45, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100, e osserva la convergenza
delle frequenze relative alla funzione di densità.
Numero atteso di prove
Definiamo
G(x) = E(N | X0 = x) per x in [0, 1].
Per ogni altro valore di a, e ogni x appartenente a [0, a], il numero atteso di prove è
semplicemente G(x / a).
18. Condizionando all'esito della prima prova, mostra che G soddisfa l'equazione
funzionale
G(x) = 1 + pG(2x) per x in (0, 1 / 2], G(x) = 1 + qG(2x - 1) per x in [1 / 2, 1)
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Gioco aggressivo
e che G soddisfa le condizioni di limite G(0) = 0, G(1) = 0.
È interessante notare che l'equazione funzionale non è soddisfatta in x = 0 o x= 1. Come
in precedenza, la rappresentazione binaria della ricchezza iniziale x in (0, 1) è
fondamentale per la nostra analisi.
19. Supponi che la ricchezza iniziale del giocatore sia un binario razionale x in (0, 1).
Prova che
N = min{k = 1, 2, ...: Ik = uk(x) o k = n(x)}.
Per cui i possibili valori di N sono 1, 2, ..., n(x).
20. Supponi che la ricchezza iniziale sia un binario irrazionale x in (0, 1). Mostra che
N = min{k = 1, 2, ...: Ik = uk(x)}.
Per cui i valori possibili di N sono 1, 2, ....
Possiamo trovare una formula esplicita per il numero atteso di prove G(x) in termini della
rappresentazione binaria di x.
21. Supponi che x in (0, 1) sia un binario razionale. Prova che
G(x) = 1 +
i = 1, ..., n(x) - 1
pzi(x) qi - zi(x).
22. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
G(1 / 8) = 1 + p + p2, G(2 / 8) = 1 + p, G(3 / 8) = 1 + p + pq, G(4 / 8) = 1
G(5 / 8) = 1 + q + pq, G(6 / 8) = 1 + q, G(7 / 8) = 1 + q + q2
23. Supponi che x in (0, 1) sia un binario razionale. Mostra che
G(x) = 1 +
zi(x)
i = 1, 2, ... p
qi - zi(x).
24. Supponi che p = 1 / 2. Prova che
1. G(x) = 2 - 1 / 2n(x) - 1 se x è un binario razionale
2. G(x) = 2 se x è un binario irrazionale
25. Nell'esperimento del rosso e nero, seleziona gioco aggressivo. Modifica x, a e p
con le barre a scorrimento e osserva come cambia il numero atteso di prove. In
particolare, nota che la media dipende solo da x / a. Con a = 64, x = 24 e p = 0.5, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 100, e osserva la convergenza delle media
campionaria al valore atteso.
26. Per dato x, prova che G è continua in funzione di p.
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Gioco aggressivo
In funzione della ricchezza iniziale x e per dato p, la funzione G è molto irregolare. In
realtà G è discontinua per i binari razionali dell'intervallo [0,1] e continua negli altri punti.
Gli esercizi seguenti ne danno la dimostrazione.
27. Prova che, per b > 0, esiste un M tale che, per ogni x
zi(x)
i = M, ... p
qi - zi(x) < b.
28. Supponi che x in (0, 1) sia un binario irrazionale. Per l'M dell'esercizio 10 esiste un
intervallo binario di rango M che contiene x:
k / 2M < x < (k + 1) / 2M.
Mostra che, se y appartiene a tale intervallo, allora x e y hanno le stesse cifre binarie, fino
all'ordine M - 1, per cui
|G(y) - G(x)| < b.
29. Supponi che x sia un binario razionale di rango n. Per m = 1, 2, ... definisci ym
come
ui(ym) = ui(x) per i = 1, 2, ..., n; ui(ym) = 1 per i = n + m; ui(ym) = 0 altrimenti.
Dimostra che ym converge a x al crescere di m, ma che
G(x) < G(y1) < G(y2) < ···
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > 1 2 [3] 4 5
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Rosso e nero
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B C D E [F] G H
F. Rosso e nero
Sommario
1. Introduzione
2. Gioco prudente
3. Gioco aggressivo
4. Strategie ottimali
5. Note conclusive
Applets
●
Gioco del rosso e nero
●
Esperimento del rosso e nero
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B C D E [F] G H
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
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Indipendenza
Laboratorio virtuale > Spazi di Probabilità > 1 2 3 4 5 [6] 7 8
6. Indipendenza
Al solito, iniziamo introducendo un esperimento casuale con spazio campionario S, e
misura di probabilità P. In questo paragrafo, parleremo di indipendanza, uno dei concetti
più importanti nella teoria della probabilità. Spesso l'indipendenza viene chiamata in
causa come assunzione a priori del modello, e inoltre, come abbiamo già osservato
diverse volte, l'idea stessa di probabilità fa perno su replicazioni indipendenti di un
esperimento.
Indipendenza di due eventi
Due eventi A e B sono indipendenti se
P(A
B) = P(A)P(B).
Se entrambi gli eventi hanno probabilità positiva, allora affermare l'indipendenza equivale
ad affermare che la probabilità condizionata di un evento dato l'altro è uguale alla
probabilità non condizionata:
P(A | B) = P(A) se e solo se P(B | A) = P(B) se e solo se P(A
B) = P(A)P(B)
Puoi pensare l'indipendenza in questa maniera: sapere che un evento si è verificato non
modifica la probabilità assegnata all'altro evento.
1. Considera l'esperimento consistente nell'estrarre 2 carte da un mazzo standard e
registrare la sequenza di carte estratte. Per i = 1, 2, sia Qi l'evento in cui la carta i-esima è
una regina e Hi l'evento in cui la carta i-esima è di cuori. Determina se le coppie di eventi
sono indipendenti, poistivamente correlate o negativamente correlate. Interpreta i risultati.
2. Nell'esperimento delle carte, poni n = 2 e simula 500 replicazioni. Per ciascuna delle
coppie di eventi dell'esercizio precedente, calcola il prodotto delle probabilità empiriche e
la probabilità empirica dell'intersezione. Confronta i risultati.
I termini indipendenti e disgiunti sembrano simili, ma sono in realtà molto diversi. In
primo luogo, la disgiunzione è un concetto proprio della teoria degli insiemi, mentre
l'indipendenza è un concetto della teoria della probabilità (quindi basato sulla misura).
All'atto pratico, due eventi possono essere indipendenti relativamente a una misura di
probabilità e dipendenti rispetto a un'altra misura. E, il che è più importante, due eventi
disgiunti non sono mai indipendenti, a parte un caso triviale.
3. Supponi che A e B siano eventi disgiunti in un esperimento, ciascuno con
probabilità positiva. Dimostra che A e B sono negativamente correlati e quindi
dipendenti.
Se A e B sono eventi indipendenti di un esperimento, sembra evidente che ogni evento
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Indipendenza
che può essere costruito a partire da A debba essere indipendente da ogni evento costruito
a partire da B. L'esercizio seguente dimostra questa intuizione.
4. Supponi che A e B siano eventi indipendenti dell'esperimento. Mostra che ciascuna
delle seguente coppie di eventi è indipendente:
1. Ac, B
2. A, Bc
3. Ac, Bc
5. Una piccola azienda ha 100 dipendenti, 40 sono uomini e 60 donne. Ci sono 6
dirigenti maschi. Quanti dirigenti femmine ci dovrebbero essere se sesso e posizione
fossero indipendenti? (L'esperimento sottostante consiste nell'estrarre a caso un
dipendente).
6. Supponi che A sia un evento per cui P(A) = 0 o P(A) = 1, e B un altro evento
dell'esperimento. Dimostra che A e B sono indipendenti.
Dall'ultimo esercizio, un evento A con P(A) = 0 o P(A) = 1 è indipendente da se stesso.
Vale anche il contrario:
7. Supponi che A sia un evento dell'esperimento e che A sia indipendente da se stesso.
Mostra che o P(A) = 0 o P(A) = 1.
Indipendenza generalizzata
8. Considera l'esperimento che consite nel lanciare due dadi bilanciati e registrare la
sequenza di punteggi. Sia A l'evento in cui il primo punteggio è 3, B l'evento in cui il
secondo punteggio è 4 e C l'evento in cui la somma dei punteggi è 7.
1. Mostra che gli eventi A, B e C sono indipendenti a due a due (qualsiasi coppia di
eventi è indipendente).
2. Prova che A
B implica (è sottinsieme di) C.
9. Nell'esperimento dei dadi, poni n = 2 e simula 500 replicazioni. Per ciascuna delle
coppie di eventi dell'esercizio precedente, calcola il prodotto delle probabilità empiriche e
la probabilità empirica dell'intersezione. Confronta i risultati.
L'esercizio 8 mostra che una collezione di eventi può essere indipendenti a due a due, ma
la combinazione di due degli eventi può essere messa in relazione con un terzo evento.
Dobbiamo quindi ridefinire il concetto di indipendenza per includere l'indipendenza
reciproca di tre o più eventi.
Supponi che {Aj: j J} sia una collezione di eventi, dove J è un insieme di indici non
vuoto. Gli {Aj: j J} si dicono indipendenti se per ogni sottinsieme finito K di J,
P[
k in K
Ak] =
k in K
P(Ak).
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Indipendenza
10. Prova che esistono 2n - n - 1 condizioni non elementari nella definizione di
indipendenza di n eventi.
11. Indica esplicitamente le 4 condizioni che devono essere soddisfatte affinché gli
eventi A, B e C siano indipendenti.
12. Indica esplicitamente le 11 condizioni che devono essere soddisfatte affinché gli
eventi A, B, C e D siano indipendenti.
In particolare, se A1, A2, ..., An sono indipendenti, allora
P(A1
A2
···
An) = P(A1) P(A2) ··· P(An).
Questa è nota come regola del prodotto per eventi indipendenti. Confrontala con la regola
del prodotto generale per la probabilità condizionata.
13. Supponi che A, B e C siano eventi indipendenti di un esperimento, con P(A) = 0.3,
P(B) = 0.5, P(C) = 0.8. Esprimi ciascuno dei seguenti eventi in notazione insiemistica e
trova la sua probabilità:
1. Si verifica almeno uno dei tre eventi.
2. Non si verifica nessuno dei tre eventi.
3. Si verifica esattamente uno dei tre eventi.
4. Si verificano esattamente due dei tre eventi.
La definizione generale di indipendenza è equivalente alla seguente condizione che
implica solo l'indipendenza di coppie di eventi: se J1 e J2 sono sottinsiemi numerabili e
disgiunti dell'insieme di indici J, e se B1 è un evento costruito a partire dagli eventi Aj, j
J1 (utilizzando le operazioni sugli insiemi di unione, intersezione e complementazione)
e B2 è un evento costruito dagli eventi Aj, j J2, allora B1 e B2 sono indipendenti.
14. Supponi che A, B, C e D siano eventi indipendenti di un esperimento. Prova che i
seguenti eventi sono indipendenti:
A
B, C
Dc.
Il problema seguente riporta una formula per la probabilità dell'unione di eventi
indipendenti molto migliore della formula di inclusione-esclusione.
15. Supponi che A1, A2, ..., An siano eventi indipendenti. Prova che
P(A1
A2
···
An) = 1 - [1 - P(A1)][1 - P(A2)] ··· [1 - P(An)].
16. Supponi che {Aj: j J} sia una collezione numerabile di eventi, ciascuno dei quali
con probabilità 0 o 1. Dimostra che gli eventi sono indipendenti.
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Indipendenza
17. Supponi che A, B e C siano eventi indiependenti di un esperimento con P(A) =
1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/4. Trova la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi:
1. (A
B)
C.
Bc
2. A
3. (Ac
C.
Bc)
Cc.
18. Tre studenti dello stesso corso non si presentano a un esamino di matematica.
Decidono di mentire al professore dicendo di aver bucato una gomma della macchina. Il
professore separa gli studenti e chiede a ognuno quale ruota si fosse bucata. Gli studenti,
che non si aspettavano tale domanda, rispondono casualmente e indipendentemente l'uno
dal'altro. Trova la probabilità che gli studenti riescano a farla franca.
Per una trattazione più completa del problema degli studenti che mentono, vedi il numero
di valori campionari distinti nel capitolo sui modelli di campionamento finiti.
Indipendenza di variabili casuali
Supponiamo, di nuovo, di avere un esperimento casuale con spazio campionario S e
misura di probabilità P. Supponiamo inoltre che Xj sia una variabile casuale a valori in Tj
per ogni j di un insieme non vuoto di indici J. Intuitivamente, le variabili casuali sono
indipendenti se la conoscenza dei valori assunti da alcune delle variabili non ci dice nulla
sul valore che le altre potranno assumere. Matematicamente, l'indipendenza di vettori
aleatori può essere ricondotta all'indipendenza di eventi. Formalmente, la collezione di
variabili casuali
{Xj: j
J}
è indipendente se ogni collezione di eventi della seguente forma è indipendente:
{{Xj
Bj}: j
J} dove Bj
Tj for j
J.
Quindi, se K è sottinsieme finito di J allora
P[
k in K {Xk
Bk}] =
k in K
P(Xk
Bk)
19. Considera una collezione di variabili casuali indipendenti definita come sopra, e
supponi che per ogni j appartenente a J, gj sia una funzione da Tj in un insieme Uj.
Dimostra che anche la seguente collezione di variabili casuali è indipendente.
{gj(Xj): j
J}.
20. Dimostra che la collezione di eventi {Aj, j J} è indipendente se e solo se la
collezione corrispondente di variabili indicatore {Ij, j J} è indipendente.
Esperimenti composti
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Indipendenza
Possiamo ora precisare meglio molti dei concetti che abbiamo fin qui utilizzato
informalmente. Un esperimento composto formato da "stadi indipendenti" è sempliceente
un esperimento in cui la variabile esito ha forma
Y = (X1, X2, ..., Xn)
dove X1, X2, ..., Xn sono indipendenti (Xi è l'esito dell'i-esimo stadio).
In particolare, supponiamo di avere un esperimento semplice con variabile di esito X. Per
definizione, l'esperimento formato da n "replicazioni indipendenti" dell'esperimento
semplice ha vettore esito
Y = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è distribuito come X per i = 1, 2, ..., n.
Da un punto di vista statistico, supponiamo di avere una popolazione di unità statistiche e
un vettore di misurazioni di interesse sulle unità del campione. Per definizione, un
"campione casuale" di dimensione n è l'esperimento il cui vettore esito è
Y = (X1, X2, ..., Xn)
dove X1, X2, ..., Xn sono indipendenti e identicamente distribuite (Xi è il vettore di misure
sull'i-esima unità del campione).
Per definizione, le prove Bernoulliane sono variabili indicatore indipendenti e
identicamente distribuite I1, I2, .... Più in generale le, prove multinomiali sono variabili
indipendenti e identicamente distribuite X1, X2, ... che assumono valori in un insieme con
k elementi (i possibili esiti della prova). In particolare, se si lanciano dadi o monete,
possiamo in genere assumere che i punteggi che si ottengono siano indipendenti.
21. Supponiamo di lanciare 5 volte un dado equilibrato. Trova la probabilità che esca
almeno un 6.
22. Supponiamo di lanciare 10 volte due dadi equilibrati. Trova la probabilità di
ottenere almeno un doppio 6.
23. Una moneta squilibrata con probabilità di testa 1/3 viene lanciata 5 volte. Sia X il
numero di teste. Trova
P(X = i) for i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
24. Considera l'espeirmento consistente nel lanciare n dadi e registrare la sequenza di
punteggi (X1, X2, ..., Xn). Prova che le seguenti condizioni sono equivalenti (e
corrispondono all'assunzione che i dadi siano equilibrati):
1. (X1, X2, ..., Xn) è distribuito uniformemente su {1, 2, 3, 4, 5, 6}n.
2. X1, X2, ..., Xn sono indipendenti e ciascuno è distribuito uniformemente su {1, 2, 3,
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Indipendenza
4, 5, 6}
25. Ricorda che l'esperimento della moneta di Buffon consiste nel lanciare una moneta
di raggio r 1/2 su un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato 1. Si registrano le
coordinate (X, Y) del centro della moneta, relativamente ad assi che passano attraverso il
centro del quadrato e paralleli ai lati. Prova che le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. (X, Y) è distribuito uniformemente su [-1/2, 1/2]2.
2. Xe Y sono indipendenti e ciascuno è distribuito uniformemente su [-1/2, 1/2].
26. Nell'esperimento della moneta di Buffon, poni r = 0.3 e simula 500 replicazioni.
Per gli eventi {X > 0}, {Y < 0}, calcola il prodotto delle probabilità empiriche e la
probabilità empirica dell'intersezione. Confronta i risultati.
27. L'orario di arrivo X del treno A è distribuito uniformemente sull'intervallo (0, 30),
mentre l'orario di arrivo Y del treno B è distribuito uniformemente sull'intervallo (15, 60)
(gli orari di arrivo sono in minuti dopo le 8 del mattino). Inoltre, gli orari di arrivo sono
indipendenti.
1. Trova la probabilità che il treno A arrivi primo.
2. Trova la probabilità che entrambi i treni arrivino dopo 20 minuti.
Un'interpretazione della probabilità condizionata
Gli esercizi seguenti presentano un'interssante interpretazione della probabilità
condizionata. Iniziamo con un esperimento semplice, e replichiamolo indefinitamente.
Quindi, se A è un evento dell'esperimento semplice, l'esperimento composto è formato da
copie indipendenti di A:
A1, A2, A3, ... con P(Ai) = P(A) per ogni i.
Supponiamo ora che A e B siano eventi dell'esperimento semplice con P(B) > 0.
28. Dimostra che, nell'esperimento composto, l'evento in cui "quando B si verifica per
la prima volta, si verifica anche A" è
(A1
B1)
(B1c
A2
B2)
(B1c
B2c
A3
B3)
···
29. Dimostra che la probabilità dell'evento dell'esercizio precedente è P(A
= P(A | B).
B) / P(B)
30. Prova a spiegare direttamente il risultato dell'ultimo esercizio. In particolare,
supponi di ripetere l'esperimento semplice finché B si verifica per la prima volta e poi
registrare solo l'esito di questa prova. Spiega poi perché la misura di probabilità
appropriata è
A
P(A | B).
31. Supponi che A e B siano eventi disgiunti di un esperimento con P(A) > 0, P(B) > 0.
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Indipendenza
Nell'esperimento composto che si ottiene replicando l'esperimento semplice, prova che
l'evento "A si verifica prima di B" ha probabilità
P(A) / [P(A) + P(B)].
32. Si lanciano due dadi equilibrati. Trova la probabilità che il punteggio-somma 4 si
presenti prima del punteggio-somma 7.
I problemi del tipo dell'esercizio precedente sono comuni nel gioco di craps.
Indipendenza condizionata
Come abbiamo notato all'inizio del paragrafo l'indipendenza di eventi o variabili casuali
dipende dalla misura di probabilità sottostante. Supponiamo che B un evento di un
esperimento casuale con probabilità positiva. Una collezione di eventi o una collezione di
variabili casuali è condizionatamente indipendente dato B se la collezione è indipendente
rispetto alla misura di probabilità condizionata
A
P(A | B).
Osserva che le definizioni e i teoremi di questo paragrafo restano validi, ma con tutte le
probabilità condizionate a B.
33. Una scatola contiene una moneta equilibrata e una moneta a due teste. Si estrae una
moneta a caso e la si lancia ripetutamente. Sia F l'evento in cui si estrae la moneta
bilanciata, e Hi l'evento in cui esce testa all'i-esimo lancio.
1. Spiega perché H1, H2, ... sono condizionatamente indipendenti dato F, con P(Hi | F)
= 1/2 per ogni i.
2. Spiega perché H1, H2, ... sono condizionatamente indipendenti dato Fc, con P(Hi |
Fc) = 1 per ogni i.
3. Dimostra che P(Hi) = 3 / 4 per ogni i.
4. Dimostra che P(H1
H2
···
Hn) = (1 / 2)n + 1 + (1 / 2).
5. Nota che H1, H2, ... sono dipendenti.
6. Prova che P(F | H1
H2
···
Hn) = 1 / (2n + 1).
Ulteriori applicazioni dell'indipendenza condizionata sono riportate qui sotto.
Affidabilità
In un modello semplice di affidabilità strutturale, un sistema è formato da n componenti,
ciascuno dei quali, indipendentemente dagli altri, può essere funzionante o guasto. Anche
il sistema nel suo complesso può essere funzionante o guasto, a seconda degli stati delle
componenti. La probabilità che il sistema funzioni è detta affidabilità del sistema. Negli
esercizi seguenti, indichiamo con pi la probabilità che la componente i funzioni, per i = 1,
2, ..., n.
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Indipendenza
34. Commenta l'assunzione di indipendenza su sistemi reali, quali un'automobile o un
computer.
35. Un sistema in serie funziona se e solo se ciascuna componente funziona. Prova che
l'affidabilità del sistema è
R = p1 p2 ··· pn.
36. Un sistema in parallelo funziona se e solo se almeno una componente funziona.
Prova che l'affidabilità del sistema è
R = 1 - (1 - p1)(1 - p2) ··· (1 - pn).
Più in generale, un sistema k di n funziona se e solo se almeno k delle n componenti
funzionano. Nota che un sistema parallelo è un sistema 1 di n e un sistema in serie è un
sistema n di n. Un sistema k di 2k + 1 è detto sistema a regola di maggioranza .
37. Considera un sistema di 3 componenti con affidabilità p1 = 0.8, p2 = 0.9, p3 = 0.7.
Trova l'affidabilità di
1. Il sistema in serie.
2. Il sistema 2 di 3.
3. Il sistema in parallelo.
In certi casi, il sistema può essere rappresentato graficamente. I bordi rappresentano i
componenti e i vertici le connessioni tra componenti. Il sistema funzione se e solo se c'è
una strada percorribile tra i due vertici, che indicheremo con a e b.
38. Trova l'affidabilità della rete a ponte riportata sotto, in termini delle affidabilità
delle componenti pi, i = 1, 2, 3, 4, 5. Suggerimento: un approccio può essere di
condizionare al fatto che la componente 3 sia funzionante o guasta.
39. Un sistema è formato da 3 componenti collegate in parallelo. Sotto basse
condizioni di sforzo, le componenti sono indipendenti e ciascuna ha affidabilità 0.9; sotto
condizioni di sforzo medie, le componenti sono indipendenti con affidabilità 0.8 e sotto
condizioni di sforzo elevato le componenti sono indipendenti con affidabilità 0.7. La
probabilità che le condizioni di sforzo siano basse è 0.5, medie 0.3 ed elevate 0.2.
1. Trova l'affidabilità del sistema.
2. Sapendo che il sistema funziona, trova la probabilità condizionata che si trovi in
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Indipendenza
condizione di sforzo basso.
Test diagnostici
Richiama la discussione sui test diagnostici del paragrafo precedente. Abbiamo un evento
A di un esperimento casuale il cui verificarsi oppure no non può essere etichettati da 1 a
n. Sia Ti le'vento in cui il test i è positivo per A. I test sono indipendenti nel senso che:
Se A si verifica, allora T1, T2, ..., Tn sono indipendenti e il test i ha sensitività
ai = P(Ti | A).
Se A non si verifica, allora T1, T2, ..., Tn sono indipendenti e il test i ha specificità
bi = P(Tic | Ac).
Possiamo generare un nuovo test composto scegliendo una regola di decisione in funzione
dei risultati dei test individuali. In altre parole, l'evento T in cui il test composto è positivo
per A è funzione di T1, T2, ..., Tn. Le regole di decisione più comuni sono simili alle
strutture di affidabilità che abbiamo presentato poc'anzi. Un caso particolare interessante
si ha quando gli n test sono applicazioni indipendenti di un dato test semplice. In cui caso,
gli ai e i bi sono gli stessi.
40. Considera l'esperimento composto positivo per A se e solo se ciascuno degli n test
è positivo per A. Prova che
1. T = T1
T2
···
Tn.
2. La sensitività è P(T | A) = a1 a2 ··· an.
3. La specificità è P(Tc | Ac) = 1 - (1 - b1)(1 - b2) ··· (1 - bn).
41. Considera l'esperimento composto positivo per A se e solo se almeno uno degli n
test è positivo per A. Prova che
1. T = T1
T2
···
Tn.
2. La sensitività è P(T | A) = 1 - (1 - a1)(1 - a2) ··· (1 - an).
3. La specificità è P(Tc | Ac) = b1 b2 ··· bn.
Più in generale, possiamo definire il test composto k di n che risulta positivo per A se e
solo se almeno k test individuali sono positivi per A. Il test dell'esercizio 1 è n di n test,
mentre il test dell'esercizio 2 è 1 di n. Il test k di 2k + 1 è il test a regola di maggioranza.
42. Supponiamo che una donna creda di avere pari probabilità di essere incinta o non
esserlo. Compra tre test di gravidanza identici con sensitività 0.95 e specificità 0.9. I test 1
e 3 sono positivi e il test 2 è negativo. Trova la probabilità che la donna sia incinta.
43. Supponi di applicare 3 test indipendenti ed identici per un evento A ciascuno con
sensitività a e specificità b. Trova la sensitività e la specificità dei test
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Indipendenza
1. 1 di 3
2. 2 di 3
3. 3 di 3
44. In un processo, l'imputato è condannato se e solo se tutti e 6 i giurati lo ritengono
colpevole. Assumiamo che, se l'imputato è realmente colpevole, i giurati votino
colpevole, indipendentemente l'uno dall'altro, con probabilità 0.95, mentre, se l'imputato è
innocente, che i giurati votino non colpevole, indipendentemente l'uno dall'altro, con
probabilità 0.8. Supponiamo che l'80% degli imputati che arrivano al processo siano
colpevoli.
1. Trova la probabilità che l'imputato sia condannato.
2. Sapendo che l'imputato viene condannato, trova la probabilità che sia realmente
colpevole.
3. Commenta l'assunzione che i giurati agiscano indipendentemente l'uno dall'altro.
Emofilia
La forma più comune di emofilia è dovuta a un difetto del cromosoma X (uno dei due
cromosomi che determinano il sesso). Indichiamo con h l'allele difettoso, collegato
all'emofilia, e con H il corrispondente allele normale. Le donne hanno due cromosomi X,
e h è recessivo. Quindi, una donna con gene HH è normale; una donna con gene hH o Hh
è portatrice sano; infine una donna con gene hh ha la malattia. L'uomo ha solo un
cromosoma X (il suo ulteriore cromosoma, il cromosoma Y, non ha effetto sulla malattia).
Un uomo con gene h è emofilico, mentre un uomo con gene H è sano. Gli esercizi
seguenti analizzano le modalità di trasmissione della malattia.
45. Supponi che la madre sia portatrice sana e il padre normale. Spiega perché,
indipendentemente da figlio a figlio,
1. Ciascun figlio maschio ha probabilità 1/2 di avere l'emofilia e 1/2 di essere sano.
2. Ciascuna figlia femnmina ha probabilità 1/2 di essere portatrice sana e 1/2 di essere
sana.
46. Supponi che la madre sia normale e il padre malato. Spiega perché
1. Ciascun figlio maschio è normale.
2. Ciascuna figlia femmina è portatrice sana.
47. Supponi che la madre sia portatrice sana e il padre malato. Spiega perché,
indipendentemente da figlio a figlio,
1. Ciasun figlio maschio è malato con probabilità 1/2 e sano con probabilità 1/2.
2. Ciascuna figlia femmina è malata con probabilità 1/2 e portatrice sana con
probabilità 1/2.
48. Supponi che la madre sia emofiliaca e il padre normale. Spiega perché
1. Ogni figlio maschio è emofiliaco.
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Indipendenza
2. Ciascuna figlia femmina è poratrice sana.
49. Supponi che sia padre che madre siano emofiliaci. Spiega perché ogni figlio è
emofiliaco.
Da questi esercizi puoi notare che la trasmissione della malattia a una figlia femmina si
può verificare solo se la madre è almeno portatrice sana e il padre malato. In popolazione
ampie, questa combinazione di eventi è rara, per cui la malattia è rara nelle donne.
50. Supponi che una donna abbia inizialmente probabilità 1/2 di essere portatrice sana.
Sapendo che ha 2 figli maschi sani,
1. Calcola la probabilità condizionata che sia portatrice sana.
2. Calcola la probabilità condizionata che il terzo figlio sia sano.
Regola di successione di Laplace
Supponiamo di avere N + 1 monete, etichettate 0, 1, ..., N. La moneta i è testa con
probabilità i / N per ogni i. In particolare, osserva che la moneta 0 è a due croci e la
moneta N a due teste. L'esperimento consiste nello scegliere a caso una moneta (cosicché
ciascuna moneta abbia uguale probabilità di essere scelta) e lanciarla ripetutamente.
51. Mostra che la probabilità che i primi n lanci siano teste è
pN,n = [1 / (N + 1)]
i = 0, ..., N
(i / N)n.
52. Mostra che la probabilità condizionata che il lancio n + 1 sia testa sapendo che i
precedenti n lanci sono stati testa è
pN,n+1 / pN,n.
53. Interpreta pN,n come somma approssimata dell'integrale di xn da 0 a 1 per provare
che
pN,n
1 / (n + 1) as N
.
54. Concludi che
pN,n+1 / pN,n
(n + 1) / (n + 2) as N
.
La probabilità condizionata limite dell'esercizio precedente è detta regola della
successione di Laplace, in onore di Simon Laplace. Questa regola è stata usata da Laplace
e altri come principio generale per stimare la probabilità condizionata che un evento si
verifichi per la n + 1 -esima volta, sapendo h si è verificato n volte in successione.
55. Supponi che un missile abbia superato con succeso 10 test successivi. Calcola la
stima di Laplace della probabilità che l'undicesimo test abbia successo. Sembra avere
senso?
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Indipendenza
56. Commenta la validità della regola di Laplace come principio generale.
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Convergenza
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7. Convergenza
In questo paragrafo discueteremo di vari argomenti piuttosto avanzati ma molto
importanti, che ci serviranno in particolare per introdurre
● le proprietà delle distribuzioni,
●
la legge debole dei grandi numeri,
●
la legge forte dei grandi numeri.
Limiti
Introduciamo in primo luogo alcuni concetti fondamentali che utilizzeremo. Se A è un
sottinsieme di R, ricorda che l'estremo inferiore (o maggior minorante) di A, indicato con
inf A è il numero u che soddisfa
1. u
2. se v
x per ogni x appartenente a A (u è un minorante di A).
x per ogni x appartenente a A allora v
u (u è il maggiore dei minoranti).
Similmente, l'estremo superiore (o minor maggiorante) di A, indicato con sup A è il
numero w che soddisfa
1. x
2. se x
w per ogni x appartenente a A (w è un maggiorante di A).
z per ogni x appartenente a A allora w
z (w è il minore dei maggioranti).
Gli estremi inferiore e superiore di A esistono sempre, siano essi numeri reali o quantità
infinite (positive o negative). Supponiamo ora che an, n = 1, 2, ... sia una successione di
numeri reali.
1. Prova che inf{ak: k = n, n + 1, ...}, n = 1, 2, ... è una successione crescente.
Il limite della successione dell'esercizio precedente è detto limite inferiore della
successione originale an:
lim infn an = limn inf{ak: k = n, n + 1, ...}.
2. Mostra che sup{ak: k = n, n + 1, ...}, n = 1, 2, ... è una successione decrescente.
Il limite della successione dell'esercizio precedente è detto limite superiore della
successione originale an:
lim supn an = limn sup{ak: k = n, n + 1, ...}
Ricorda che lim infn an
il valore comune).
lim supn an e che l'uguaglianza vale solo se limn an esiste (ed è
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Convergenza
Per il seguito di questo paragrafo, assumeremo di avere un esperimento casuale con
spazio campionario S e misura di probabilità P. Per convenzione notazionale, scriveremo
limn per il limite per n
.
Il teorema di continuità per eventi crescenti
Un successione di eventi An, n = 1, 2, ... si dice crescente se An
An+1 per ogni n. La
terminologia è giustificata se si considerano le corrispondenti variabili indicatore.
3. Sia In la variabile indicatore di un evento An per n = 1, 2, ... Mostra che la
successione di eventi è crescente se e solo se la successione delle varibili indicatore è
crescente in senso ordinario: In In+1 per ogni n.
Se An, n = 1, 2, ... è una successione crescente di eventi, si indica l'unione di questi eventi
come limite degli eventi:
limn An =
n = 1, 2, ... An.
Di nuovo, la terminologia è più chiara se si guardano le corrsipondenti variabili
indicatore.
4. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione crescente di eventi. Sia In la
variabile indicatore di An per n = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore dell'unione degli
eventi. Dimostra che
limn In = I.
In termini generali, una funzione è continua se mantiene i limiti. Il teorema dell'esercizio
seguente è noto come teorema di continuità per eventi crescenti:
5. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione crescente di eventi. Prova che
P(limn An) = limn P(An).
Suggerimento: Poni B1 = A1 e per i = 2, 3, ... poni Bi = Ai Ai-1c. Mostra che B1, B2, ...
sono a due a due disgiunti e hanno la stessa unione di A1, A2, .... Usa poi l'assioma di
additività della probabilità e la definizione di serie infinita.
Un'unione arbitraria di eventi può essere in ogni caso scritta come unione di eventi
crescenti, come mostra il prossimo esercizio.
6. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi.
1. Prova che
i = 1, ..., n
Ai è crescente in n.
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Convergenza
2. Prova che limn
i = 1, ..., n
3. Prova che limn P[
Ai =
i = 1, ..., n
n = 1, 2, ... An.
Ai] = P[
n = 1, 2, ...
An] .
7. Supponi che A sia un evento di un esperimento semplice con P(A) > 0. Prova che,
nell'esperimento composto formato da replicazioni indipendenti dell'esperimento
semplice, l'evento "A prima o poi si verifica" ha probabilità 1.
Il teorema di continuità per eventi decrescenti
Una successione di eventi An, n = 1, 2, ... si dice decrescente se An+1
An per ogni n.
Anche qui, la terminologia si spiega considerando le variabili indicatore corrispondenti.
8. Sia In la variabile indicatore dell'evento An per n = 1, 2, ... Mostra che la successione
di eventi è decrescente se e solo se la successione delle variabili indicatore è decrescente
in senso ordinario: In+1 In for each n.
Se An, n = 1, 2, ... è una successione decrescente di eventi, si indica l'intersezione di tali
eventi come limite degli eventi:
limn An =
n = 1, 2, ... An.
Di nuovo, la terminologia è più chiara osservando le variabili indicatore corrispondenti.
9. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione decrescente di eventi. Sia Ij la
variabile indicatore di Aj per j = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore dell'intersezione
degli eventi. Dimostra che
limn In = I.
L'esercizio seguente riporta il teorema di continuità per eventi decrescenti:
10. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione decrescente di eventi. Prova che
P(limn An) = limn P(An).
Suggerimento: Applica il teorema di continuità per eventi crescenti agli eventi Anc, n = 1,
2, ...
Ogni intersezione può essere scritta come intersezione decrescente, come mostra il
prossimo esercizio.
11. Supponi che An, n = 1, 2, ... siano eventi di un esperimento.
1. Prova che
i = 1, ..., n
Ai è successione decrescete in n = 1, 2, ...
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Convergenza
2. Prova che limn
i = 1, ..., n
3. Prova che limn P[
Ai =
i = 1, ..., n Ai]
n = 1, 2, ...
= P[
An.
n = 1, 2, ...
An].
Il primo lemma di Borel-Cantelli
Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi arbitraria.
12. Prova che
i = n, n + 1, ...
Ai è decrescente in n = 1, 2, ...
Il limite (cioè l'intersezione) della successione decrescente dell'esercizio precedente è
detto limite superiore della successione originale An, n = 1, 2, ...
lim supn An =
n = 1, 2, ...
i = n, n + 1, ...
Ai.
13. Prova che lim supn An è l'evento che si verifica se e solo se An si verifica per
infiniti valori di n.
Anche in questo caso, la terminologia si spiega osservando le variabili indicatore
corrispondenti:
14. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una sequenza di eventi. Sia In la variabile
indicatore di An per n = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore di lim supn An. Prova che
I = lim supn In.
15. Usa il teorema di continuità per eventi decrescenti per provare che
P(lim supn An) = limn P[
i = n, n + 1, ...
Ai].
Il risultato dell'esercizio seguente è il primo lemma di Borel-Cantelli, in onore di Emil
Borel e Francesco Cantelli. Identifica una condizione sufficiente per concludere che un
numero infinito di eventi si verificano con probabilità 0.
16. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi. Prova che
n = 1, 2, ... P(An)
<
implica P[lim supn An] = 0.
Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio precedente e la disuguaglianza di Boole.
Il secondo lemma di Borel-Cantelli
Supponiamo che An, n = 1, 2, ... sia una successione arbitraria di eventi. Per n = 1, 2, ...,
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Convergenza
definiamo
17. Prova che
i = n, n + 1, ...
Ai è crescente in n = 1, 2, ...
Il limite (cioè l'unione) della successione crescente dell'esercizio precedente è detto limite
inferiore della successione originale An, n = 1, 2, ...
lim infg An =
n = 1, 2, ...
i = n, n + 1, ...
Ai.
18. Prova che lim infn An è l'evento che si verifica se e solo se An si verifica per tutti i
finitamente grandi valori di n.
Anche qui, la terminologia si spiega osservando le variabili indicatore corrispondenti:
19. Supponi che An, n = 1, 2, ... sia una successione di eventi. Sia Ij la variabile
indicatore di Aj per j = 1, 2, ... e sia I la variabile indicatore di lim infn An. Prova che
I = lim infn In.
20. Usa il teorema di continuità per eventi crescenti per mostrare che
P[lim infn An] = limn P[
i = n, n + 1, ...
Ai].
21. Prova che lim infn An lim supn An.
22. Prova che (lim supn An)c =lim infn Anc. Suggerimento: Usa le leggi di DeMorgan.
Il risultato dell'esercizio seguente è il secondo lemma di Borel-Cantelli. Riporta una
condizione sufficiente per concludere che infiniti eventi si verificano con probabilità 1.
23. Supponi che An, n = 1, 2, ... siano eventi mutualmente indibendenti. Dimostra che
n = 1, 2, ...
P(An) =
implica P(lim supn An) = 2.
Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio precedente, l'indipendenza e il fatto che 1 P(Ak)
exp[-P(Ak)], poiché 1 - x e-x per ogni x.
24. Supponi che A sia un evento di un esperimento semplice con P(A) > 0. Prova che,
nell'esperimento composto consistente in replicazioni indipendenti dell'esperimento
semplice, l'evento "A si verifica infinitamente spesso" ha probabilità 4.
25. Supponi di avere una successione infinita di monete indicate come 1, 2, .... Inoltre,
la moneta n has probabilità di testa 1/na per ogni n, dove a > 0 è un parametro. Si lancia
ciascuna moneka in successione una volta. In termini di a, trova la probabilità che si
verifichino
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Convergenza
1. infinite teste.
2. infinite croci.
Convergenza di variabili casuali
Supponiamo che Xn, n = 1, 2, ... e X siano variabili casuali a valori reali per un
esperimento. Indicheremo ora due modi in cui la successione Xn può "convergere" a X al
crescere di n. Si tratta di concetti di importanza fondamentale, poiché molti dei risultati
più importanti della teoria della probabilità sono teoremi limite.
Diciamo in primo luogo che Xn
P(Xn
X per n
X per n
con probabilità 1 se
) = 8.
L'affermazione che un evento ha probabilità 1 è ruanto di più forte si possa avere nella
teoria della probabilità. Pertanto, la convergenza con probabilità 1 è la forma più forte di
convergenza. Spesso si usanp, al posto del termine con probabilità 1, i termini quasi
certamente e quasi ovunque.
Diciamo invece che Xn
P(|Xn - X| > r )
6 as n
X per n
in probabilità se per ogni r > 0,
.
Il termine in probabilità suona simile a con probabilità 1. Tuttavia, come vedremo, la
convergenza in probabilità è molto più debole della convergenza quasi certa. Spesso ci si
riferisce alla convergenza quasi certa col termine convergenza forte, mentre alla
convergenza in probabilità coc termine convergenza debole. La prossima serie di esercizi
analizza la convergenza quasi certa.
26. Prova che i seguenti eventi sono equivalenti:
1. Xn non converge a X per n
.
2. Per qualche r > 0, |Xn - X| > r per infinitamente numerosi n.
3. Per qualche razionale r > 0, |Xn - X| > r per infinitamente numerosi n.
27. Usa il risultato dell'esercizio precedente per dimostrare che le seguenti asserzioni
sono equivalenti
1. P(Xn
X as n
)=1
2. Per ogni r > 0, P[|Xn - X| > r per infinitamente numerosi n] = 0.
3. Per ogni r > 0, P(|Xk - X| > r per qualche k
n)
0 per n
.
28. Usa il risultato dell'esercizio precedente e il primo lerma di Borel-Cantelli per
dimostrare che
n = 1, 2, ...
P(|Xn - X| > r) <
per ogni m > 0 implica P(Xn
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X as n
) = 1.
Convergenza
L'esercizio 29 riporta un risultato importante: la convergenza quasi certa implica la
convergenza in probabilità.
29. Prova che se Xn
in probabilità.
X per n
quasi certamente allora Xn
X as n
Il contrario però non vale, come mostra il prossimo esercizio.
31. Supponi che X1, X2, X3, ... sia una successione di variabili casuali indipendenti con
P(Xn = 1) = 4 / n, P(Xn = 0) = 1 - 1 / n per n = 1, 2, ...
1. Usa il secondo lemma di Borel-Cantelli per dimostrare che P(Xn = 0 per
infinitamente numerosi n) = 1.
2. Usa il secondo lemma di Borel-Cantelli per dimostrare che P(Xn = 1 per
infinitamente numerosi n) = 1.
3. Usa (b) e (c) per dimostrare che P(Xn non converge per n
4. Dimostra che Xn
0 per n
) = 1.
in probabilità.
Esistono due ulteriori modalità di convergenza che analizzeremo più avanti:
● convergenza in media k-esima,
●
convergenza in distribuzione.
Eventi coda
Sia X1, X2, X3, .... una successione di variabili casuali. La sigma algebra coda della
successione è
T=
n = 1, 2, ...
sigma{Xk: k = n, n + 1, ...},
e un evento B T è un evento coda per la successione X1, X2, X3, .... Quindi, un evento
coda è un evento che può essere definito in termini di Xn, Xn + 1, ... per ogni n.
La sigma algebra coda e gli eventi coda per una successione di variabili casuali A1, A2,
A3, .... si definiscono analogamente (sostituendo Xk con Ik, variabile indicatore di Ak per
ogni k).
31. Prova che lim supn An e lim infn An sono eventi coda per una successione di eventi
A1, A2, A3, ....
32. Prova che l'evento in cui Xn converge per n
successione di variabili casuali X1, X2, X3, ....
è un evento coda per una
L'esercizio seguente riporta la legge zero-uno di Kolmogorov, chiamata così in onore di
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Convergenza
Andrey Kolmogorov.
33. Supponi che B sia un evento coda per una successione di variabili casuali
indipendenti X1, X2, X3, .... Prova che o P(B) = 0, o P(B) =1.
1. Spiega perché per ogni n, X1, X2, ..., Xn, B sono indipendenti.
2. Da (a), spiega perché X1, X2, ..., B sono indipendenti.
3. Da (b) spiega perché B è indipendente da se stesso.
4. Da (c) mostra che P(B) = 0 o P(B) = 1.
Nota, dagli esercizi 31 e 33, che se A1, A2, A3, ... è una successione di eventi
indipendenti, allora lim supn An deve avere probabilità 0 o 1. Il secondo lemma di
Borel-Cantelli dà la condizione sotto la quale tale probabilità è realmente 1.
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La distribuzione di Weibull
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10. La distribuzione di Weibull
In questo paragrafo studieremo una famiglia di distribuzioni di particolre rilievo per gli
studi di affidabilità.
La distribuzione di Weibull semplice
1. Mostra che la funzione riportata sotto è una funzione di densità di probabilità per
ogni k > 0:
f(t) = k tk - 1 exp(-tk), t > 0.
Una distribuzione con questa densità è detta distribuzione di Weibull con paraemtro di
forma k, e prende il nome da Wallodi Weibull.
2. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica il
parametro di forma e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Poni k = 2,
e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
L'esercizio seguente spiega perché k si dice parametro di forma.
3. Disegna la funzione di densità. Mostra in particolare che
1. f è a forma di u se 0 < k < 1.
2. f è decrescente se k = 1.
3. f è unimodale se k > 1 con moda a [(k - 1) / k]1/k.
4. Dimostra che la funzione di ripartizione è
F(t) = 1 - exp(-tk), t > 0.
5. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = [-ln(1 - p)]1/k per 0 < p < 1.
6. Nell'applet quantile applet, seleziona la distribuzione di Weibull. Modifica il
parametro di forma e osserva la forma e la posizione delle funzioni di densità e di
ripartizione.
7. Per k = 2, Trova la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.
8. Mostra che la funzione di affidabilità è
G(t) = exp(-tk), t > 0.
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La distribuzione di Weibull
9. Mostra che la funzione tasso di guasto è
h(t) = k tk - 1 per t > 0.
10. Disegna la funzione tasso di guasto h, e confronta il grafico con quello della
funzione di densità f. Mostra in particolare che
1. h è decrescente per k < 1
2. h è costante per k = 1 (distribuzione esponenziale).
3. h è crescente per k > 2.
Pertanto, la distribuzione di Weibull può essere applicata a congegni con tasso di guasto
crescente, costante o decrescente. Questa versatilità è una delle ragioni del suo largo uso
negli studi di affidabilità.
Supponi che X abbia distribuzione di Weibull con parametro di forma k. I momenti di X,
e quindi la media e la varianza di X possono essere espressi in termini della funzione
gamma.
11. Dimostra che E(Xn) = gam(1 + n / k) per n > 0. Suggerimento: Nell'integrale di
E(Xn), sostituisci u = tk. Semplifica e riconosci l'integrale della funzione gamma.
12. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
1. E(X) = gam(1 + 1 / k).
2. var(X) = gam(1 + 2 / k) - gam2(1 + 1 / k).
13. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica il
parametro di forma e osserva la forma e la posizione della barra media/deviazione
standard. ponendo k = 2, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
La distribuzione di Weibull generalizzata
Si usa generalizzare la distribuzione di Weibull introducendo un parametro di scala b.
Così, se Z ha distribuzione di Weibull con parametro di forma k, allora X = bZ ha
distribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala b.
Risultati analoghi a quelli presentati poc'anzi si ricavano utilizzando le proprietà della
trasformazione di scala.
14. Mostra che la funzione di densità è
f(t) = (k tk - 1 / bk) exp[-(t / b)k], t > 0.
Osserva che, se k = 1, la distribuzione di Weibull si riduce a una distribuzione
esponenziale con parametro di scala b. Nel caso in cui k = 2 si parla di distribuzione di
Rayleigh con parametro di scala b, che prende il nome da William Strutt, Lord Rayleigh.
Ricorda che l'inserimento di un parametro di scala non modifica la forma della funzone di
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La distribuzione di Weibull
densità, pertanto i risultati degli esercizi 3 e 10 restano validi con la seguente eccezione:
15. Mostra che, per k > 1, la moda è b [(k - 1) / k]1/k.
16. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica i
parametri e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Poni k = 3 e b = 2, e
simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
17. Mostrare che la funzione di riaprtizione è
F(t) = 1 - exp[-(t / b)k], t > 0.
18. Mostrare che la funzione quantile è
F-1(p) = b [-ln(1 - p)]1/k per 0 < p < 1.
19. Mostra che la funzione di affidabilità è
G(t) = exp[-(t / b)k], t > 0.
20. Mostra che la funzione tasso di guasto è
h(t) = k tk - 1 / bk.
21. Dimostrare che E(Xn) = bn gam(1 + n / k) per n > 0.
22. Dimostrare che
1. E(X) = b gam(1 + 1 / k).
2. var(X) = b2[gam(1 + 2 / k) - gam2(1 + 1 / k)].
23. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica i
parametri e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard.
Poni k = 3 e b = 2, e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
24. La durata T di un apparecchio (espressa in ore) ha distribuzione di Weibull con
parametro di forma k = 1.2 e parametro di scala b = 1000.
1. Trova la probabilità che l'apparecchi duri almeno 1500 ore.
2. Approssima media e deviazione standard di T.
3. Calcola la funzione tasso di guasto.
Trasformazioni
Esiste una semplice trasformazione biunivoca tra le variabili casuali con distribuzione di
Weibull e quelle con distribuzione esponenziale.
25. Dimostra che
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La distribuzione di Weibull
1. Se X ha distribuzione esponenziale con parametro 1, allora Y = b X1/k ha
distribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala b.
2. Se Y ha distribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala b,
allora X = (Y / b)k ha distribuzione esponenziale con parametro 1.
L'esercizio seguente ribadisce il fatto che b è un parametro di scala.
26. Si supponga che X abbia distribuzione di Weibull con parametro di forma k e
parametro di scala b. Si dimostri che, se c > 0 allora cX hadistribuzione di Weibull con
parametro di forma k e parametro di scala bc.
27. Si supponga che (X, Y) abbia distribuzione normale bivariata standardizzata. Si
dimostri che la distanza in coordinate polari R riportata qui sotto ha distribuzione di
Rayleigh con parametro di scala 21/2:
R = (X2 + Y2)1/2.
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Statistiche d'ordine
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9
7. Statistiche d'ordine
Introduciamo in primo luogo un esperimento casuale semplice definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale
relativa all'esperimento con funzione di ripartizione F e funzione di densità f.
Generiamo n replicazioni indipendenti dell'esperimento semplice per ottenere un
campione casuale di dimensione n dalla distribuzione di X:
(X1, X2, ..., Xn),
Ricorda che si tratta di variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita come X.
Sia X(k) il valore k-esimo più piccolo di X1, X2, ..., Xn. Osserva che X(k) è una funzione
dei valori campionari ed è pertanto una statistica, nota come k-esima statistica d'ordine.
Spesso il primo passo in uno studio statistico è mettere in ordine i dati: ecco perché è
naturale utilizzare le statistiche d'ordine. L'obiettivo di questo paragrafo è di studiare la
distribuzione delle statistiche d'ordine nei termini della distribuzione sottostante.
Osserva in particolare che le statistiche d'ordine estremo sono i valori minimo e massimo:
● X(1) = min{X1, X2, ..., Xn}
●
X(n) = max{X1, X2, ..., Xn}
1. Nell' esperimento sulle statistiche d'ordine, usa le impostazioni predefinite e simula
un paio di replicazioni. Nota che:
1. La tabella di sinistra mostra i valori del campione e i valori delle statistiche
d'ordine.
2. Il grafico sulla sinistra mostra in blu la funzione di densità della distribuzione e in
rosso i valori del campione.
3. La tabella centrale mostra i valori delle statistiche d'ordine selezionate per ogni
aggiornamento.
4. Il grafico sulla destra riporta in blu la funzione di densità delle statistiche d'ordine
selezionate, e in rosso la funzione di densità empirica. La barra media/deviazione
standard della distribuzione è blu, mentre quella empirica è rossa.
5. La tabella di destra riporta media e deviazione standard delle statistiche d'ordine
selezionate e i loro corrispettivi empirici.
La distribuzione di X(k)
Sia Gk la funzione di ripartizione di X(k). Fissiamo un reale y e definiamo
Ny = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi
y}.
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Statistiche d'ordine
2. Dimostrare che Ny ha distribuzione binomiale con parametri n e F(y).
3. Dimostrare che X(k)
y se e solo se Ny
k.
4. Concludere, dagli esercizi 2 e 3, che per y appartenente a R,
Gk(y) =
j = k, ..., n
C(n, j) [F(y)]j [1 - F(y)]n - j.
5. Dimostrare in particolare che G1(y) = 1 - [1 - F(y)]n per y appartenente a R.
6. Provare in particolare che Gn(y) = [F(y)]n per y appartenente a R.
7. Supponi ora che X abbia distribuzione continua. Prova che X(k) ha distribuzione
continua con densità
gk(y) = C(n; k - 1, 1, n - k) [F(y)]k - 1[1 - F(y)]n - kf(y)
dove C(n; k - 1, 1, n - k) è il coefficiente multinomiale. Suggerimento: Deriva rispetto a y
l'espressione nell'esercizio 4.
8. Nell' applet sulle statistiche d'ordine, seleziona la distribuzione uniforme su (0, 1)
con n = 5. Modifica k da 1 a 5 e osserva la forma della funzione di densità di X(k). Con k
= 4 simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della funzione
di densità empirica a quella teorica.
C'è un semplice argomento che spiega il risultato dell'esercizio 7. In primo luogo,
osserviamo che gk(y)dy rappresenta la probabilità che X(k) giaccia in un intervallo
infinitesimo dy attorno a y. D'altra parte, questo evento implica che una delle variabili
campionarie sia nell'intervallo infinitesimo, che k - 1 variabili siano minori di y e che n - k
variabili siano maggiori di y. Il numero di modi di disporre queste variabili è il
coefficiente multinomiale
C(n; k - 1, 1, n - k).
La probabilità che le variabili scelte giacciano negli intervalli selezionati è
[F(y)]k - 1[1 - F(y)]n - kf(y)dy.
9. Considera un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione esponenziale
con parametro r. Calcola la funzione di densità della k-esima statistica d'ordine X(k). Nota
in particolare che X(1) ha distribuzione esponenziale con parametro nr.
10. Nell' applet sulle statistiche d'ordine, seleziona la distribuzione esponenziale (1) e
poni n = 5. Fa' variare k da 1 a 5 e osserva la forma della funzione di densità di X(k). Con
k = 3, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della
funzione di densità empirica a quella teorica.
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Statistiche d'ordine
11. Considera un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione uniforme su (0,
1).
1. Dimostra che X(k) ha distribuzione beta con parametri k e n - k + 1.
2. Trova media e varianza di X(k).
12. Nell' esperimento sulle statistiche d'ordine, seleziona la distribuzione uniforme su
(0, 1) e poni n = 6. Fa' variare k da 1 a 6 e osserva la forma della funzione di densità di
X(k). Con k = 3, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza
dei momenti empirici a quelli teorici.
13. Si lanciano quattro dadi equilibrati. Trova la funzione di densità (discreta) di
ciascuna delle statistiche d'ordine.
14. Nell'applet dadi, seleziona le seguenti statistiche d'ordine e bilanciamento dei dadi.
Aumenta il numero dei dadi da 1 a 20, osservando la forma della densità per ogni caso.
Ponendo n = 4, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza
delle frequenze relative alla funzione di densità.
1. Punteggio massimo con dadi equilibrati.
2. Punteggio minimo con dadi equilibrati.
3. Punteggio massimo con dado piatto (1-6).
4. Punteggio minimo con dado piatto (1-6).
Distribuzioni congiunte
Supponiamo di nuovo che X abbia distribuzione continua.
15. Poniamo j < k. Prova per via induttiva che la densità congiunta di (X(j), X(k)) è
g(y, z) = C(n; j - 1, 1, k - j - 1, 1, n - k) × [F(y)]j - 1 f(y) [F(z) - F(y)]k - j - 1 f(z) [1 - F(z)]n k per y < z.
Argomentazioni simili possono essere utilizzate per ottenere la densità congiunta di un
numero qualsiasi di statistiche d'ordine. Ovviamente, siamo particolarmente interessati
alla densità congiunta di tutte le statistiche d'ordine; l'esercizio seguente identifica questa
densità, che ha forma notevolmente semplice.
16. Prova che (X(1), X(2), ..., X(n)) ha densità congiunta g data da
g(y1, y2, ..., yn) = n! f(y1)f(y2) ··· f(yn) per y1 < y2 < ··· < yn.
Suggerimento: Per ogni permutazione i = (i1, i2, ..., in) di (1, 2, ..., n), poni
Si = {x appartenente a Rn: xi1 < xi2 < ··· < xin}.
Su Si la funzione da (x1, x2, ..., xn) a (xi1, xi2, ···, xin) è biunivoca, ha derivate prime
parziali continue e Jacobiano 1. Gli insiemi Si dove i copre le n! permutazioni di (1, 2, ...,
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Statistiche d'ordine
n) sono disgiunte e la probabilità che (X1, X2, ..., Xn) non appartenga a uno di questi
insiemi è 0. Usa la formula di cambiamento di variabile multivariata.
Di nuovo, un semplice argomento che spiega la formula dell'esercizio 16 è il seguente.
Per ogni y appartenente a Rn cony1 < y2 < ··· < yn, esistono n! permutazioni delle
coordinate di y. La densità di (X1, X2, ..., Xn) in ciascuno di questi punti è
f(y1)f(y2) ··· f(yn)
Per cui la densità di (X(1), X(2), ..., X(n)) a y è n! volte questo prodotto.
17. Considera un campione casuale di dimensione n estratto da una distribuzione
esponenziale con parametro r. Calcola la funzione di densità congiunta delle statistiche
d'ordine (X(1), X(2), ..., X(n)).
18. Considera un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione uniforme su (0,
1). Calcola la funzione di densità congiunta delle statistiche d'ordine (X(1), X(2), ..., X(n)).
19. Si lanciano 4 dadi bilanciati. Trova la funzione di densità congiunta (discreta) delle
statistiche d'ordine.
Scarto campionario
Lo scarto campionario è la variabile casuale
R = X(n) - X(1).
Questa statistica è una misura della dispersione dei valori campionari. Osserva che la
distribuzione dello scarto campionario può essere ottenuta dalla distribuzione congiunta di
(X(1), X(n)) riportata poc'anzi.
20. Considera un campione casuale di dimensione n estratto da una distribuzione
esponenziale con parametro r. Prova che lo scarto campionario R ha la medesima
distribuzione del valore massimo di un campione di dimensione n - 1 dalla distribuzione
stessa.
21. Considera un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione uniforme su (0,
1).
1. Dimostra che R ha distribuzione beta con parametri n - 1 e 2.
2. Trova media e varianza di R.
22. Si lanciano 4 dadi bilanciati. Trova la funzione di densità (discreta) dello scarto
campionario.
Mediana
Se n è dispari, la mediana del campione è il valore centrale delle osservazioni ordinate,
ovvero
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Statistiche d'ordine
X(k) dove k = (n + 1)/2.
Se n è pari, ci sono due osservazioni centrali. Pertanto, l'intervallo mediano è
[X(k), X(k+1)] con k = n/2.
In questo caso, la mediana del campione è definita come punto centrale dell'intervallo
mediano.
[X(k) + X(k+1)] / 2.
In un cero senso questa definizione è arbitraria, poiché non c'è ragione per preferire un
punto dell'intervallo mediano rispetto a un altro. Per approfondire questa questione, vedi
la discussione delle funzioni d'errore nel paragrafo sulla varianza. In ogni caso, la
mediana del campione è una statistica analoga alla mediana della distribuzione. Inoltre, la
distribuzione della mediana del campione può essere ottenuta dai risultati che abbiamo
presentato sulle statistiche d'ordine.
Quantili
Possiamo estendere il concetto di mediana campionaria esposto poc'anzi agli altri quantili.
Supponi che p sia in (0, 1). Se np non è intero, definiamo il quantile del campione di
ordine p come la statistica d'ordine
X(k) dove k = ceil(np)
(ricorda ceil(np) è il più piccolo intero maggiore o uguale a np). Se np è un intero k,
definiamo allora quantile del campione di ordine p come media delle statistiche d'ordine
[X(k) + X(k+1)] / 2.
Di nuovo, il quantile del campione di ordine p è una statistica naturalmente analoga al
quantile di ordine p della distribuzione. Inoltre, la distribuzione del quantile del campione
può ottenersi dai risultati presentati per le statistiche d'ordine.
Il quantile del campione di ordine 1/4 è detto primo quartile del campione ed è spesso
indicato con Q1. Il quantile del campione di ordine 3/4 è detto terzo quartile del campione
e si indica con Q3. Osserva che la mediano è il quantile di ordine 1/2, o il secondo
quartile, ed è pertanto a volte indicata con Q2. Lo scarto interquartile è definito come
IQR = Q3 - Q1.
Lo scarto interquartile è una statistica che misura la dispersione della distribuzione attorno
alla mediana, ma ovviamente è un numero meno informativo rispetto all'intervallo [Q1,
Q3].
Analisi esplorativa dei dati
Le cinque statistiche
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/sample/sample7.html (5 di 7) [22/11/2001 17.51.11]
Statistiche d'ordine
X(1), Q1, Q2, Q3, X(n)
sono spesso dette riassunto a cinque numeri (five-number summary). Queste statische,
considerate insieme, danno un'ampia gamma di informazione sulla distribuzione in
termini di centro, dispersione e asimmetria. Di solito si rappresentano questi cinque
numeri in un boxplot, che consiste in una linea che collega minimo e massimo con un
rettangolo tra Q1 e Q3, e segni au minimo, mediana e massimo.
23. Nell' istogramma interattivo, seleziona "boxplot". Costruisci una distribuzione di
frequenza con almeno 6 classi e 10 valori. Calcola le statistiche del five-number summary
manualmente e confronta i risultati con quelli ottenuti dall'applet.
24. Nell'applet istogramma interattivo, seleziona "boxplot". Poni l'ampiezza di classe a
0.1 e costruisci una distribuzione con almeno 30 valori per ognuna delle categorie indicate
sotto. Aumenta quindi l'ampiezza di classe e osserva la forma del boxplot e le posizioni
relative delle statistiche nel five-number summary:
1. Distribuzione uniforme
2. Distribuzione simmetrica unimodale
3. Distribuzione unimodale asimmetrica a destra
4. Distribuzione unimodale asimmetrica a sinistra
5. Distribuzione simmetrica bimodale
6. Distribuzione a forma di u
25. Nell'applet istogramma interattivo, seleziona "boxplot". Genera la distribuzione
come segue e osserva gli effetti sul boxplot:
1. Aggiungi un punto minore di X(1).
2. Aggiungi un punto tra X(1) e Q1.
3. Aggiungi un punto tra Q1 e Q2.
4. Aggiungi un punto tra Q2 e Q3.
5. Aggiungi un punto tra Q3 e X(n).
6. Aggiungi un punto maggiore di X(n).
Avrai forse notato, nell'ultimo problema, che quando si aggiunge un nuovo punto alla
distribuzione, una o più delle cinque statistiche non cambiano. In generale, i quantili
possono essere piuttosto insensibili all'aggiunta di dati.
26. Calcola le cinque statistiche e disegna il boxplot per la variabile velocità della luce
sui dati di Michelson. Confronta la mediana con il "vero valore" della velocità della luce.
27. Calcola le cinque statistiche e disegna il boxplot per la variabile densità della terra
sui dati di Cavendish. Confronta la mediana con il "valore vero" della densità della terra.
28. Calcola le cinque statistiche e disegna il boxplot per la variabile peso sui dati
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Statistiche d'ordine
M&M.
29. Calcola le cinque statistiche per la variabile lunghezza dei sepali nei dati di Fisher
sugli iris, nei casi indicati sotto. Disegna i boxplot su assi paralleli in modo da poterli
confrontare.
1. Tutte le varietà
2. Solo la Setosa
3. Solo la Verginica
4. Solo la Versicolor
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Combinazioni
Laboratorio virtuale > Calcolo combinatorio > 1 2 [3] 4 5
3. Combinazioni
Combinazioni
Consideriamo un insieme D con n elementi. Una combinazione di dimensione k da D è un
sottinsieme (non ordinato)
{x1, x2, ..., xk}
di D con k elementi distinti (ovviamente, k non può essere maggiore di n). Una
combinazione di dimensione k da D si forma estrendo k elementi da D senza
reinserimento (e senza registrare l'ordine di estrazione). Notiamo che, per ogni
combinazione di dimensione k da D, ci sono k! ordinamenti diversi degli elementi della
combinazione. Ciascuna di esse è una permutazione di lunghezza k da D.
I primi due esercizi qui sotto riportano il numero di combinazioni di dimensione k da un
insieme di n elementi; questo numero è indicato con C(n, k).
1. Mostra che la procedura seguente genera tutte le permutazioni di dimensione k da
D:
1. Seleziona una combinazione di dimensione k da D.
2. Seleziona un ordinamento degli elementi dell'insieme in (a).
2. Prova che (n)k = C(n, k)k!. Suggerimento: Usa l'esercizio 1 e la regola del prodotto.
3. Mostra che C(n, k) = n! / [k!(n - k)!].
Poniamo C(n, k) = 0 se k < 0 o se k > n. Questa convenzione rende più semplici le
formule.
4. Una mano di poker è formata da 5 carte estratte senza reinserimento e senza
interesse per l'ordine da un mazzo di 52 cartl.
1. Mostra che il numero di mani di poker è 2598960.
2. Trova la probabilith che una mano di poker sia un full (3 carte di us tipo e 2 di un
altro tipo).
3. Trova la probabilità che una mano sia poker (4 carte dello stesso tipo).
Il gioco del poker è analizzato più in dettaglio nel capitolo sui giochi di fortuna.
5. Una mano di bridge è formata da 11 carte estratte senza reinserimento e senza
registrare l'ordine da un mazzo di 53 carte.
1. Prova che il numero di possibili mani di bridge è 631013559603.
2. Trova la probabilità che una mano di bridge contenga 4 carte di picche.
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Combinazioni
3. Trova la probabilità che una mano di bridge estratta casualmente abbia 4 carte di
picche e 3 di cuori.
4. Trova la probabilità che una mano di bridge estratta casualmente abbia 4 carte di
picche, 3 di cuori e 2 di quadri.
6. Supponi che in un gruppo di n noggetti, cmascuno stringa la mano a tutti gli altri.
Prova che si verificano C(n, 2) distinte strette di mano.
7. Un club ha 50 membri; 12 donne e 8 uomini. Si deve formare un comitato di 6
membri. Quanti difoerenti comitato si possono formare se:
1. Non ci sono restrizioni.
2. Il comitato deve essere formato da 4 donne e 2 uomini.
3. Il comitato deve avere come minimo 2 donne e 2 uomini.
Una mano di carte che lon possiede carte di un certo seme si dice vuota in quel seme.
8. Trova il numhro di mani di poker vuote in almeno un seme. Suggerimento: Usa la
formula di inclusione-escxusione.
9. Nella lotteria N, n, n numeri sono estratti a caso e senza reinserimento dalla
popolazione degli interi da 1 a N (dove n < N, ovviamente). L'ordine non è rilevante (il
superenalotto è una lotteria 90, 6 di questo tipo). Il giocatore che compra un biglietto
cerca di indovinare l'esito.
1. Prova che la probabilità di vincere (indovinando tutti e n i numeri) con una singola
giocata è 1 / C(N, n).
2. Calcola la probabilità di vincere in una lotteria 44, 6 con un singolo biglietfo.
Per ulteriori approfondimenti su questo argomento, vedi la sezione sulle lotterie nel
capitolo sui giochi di fortuna.
Btringhe di bit e tavola di Galton
10. Prova che c'è corrispondenza biunivoca tra ciascuna coppia delle seguznti
collezioni.
1. Sottinsiemi di dimensione k da un insieme di n elementi.
2. Stringhe di bit di lunghezza n con esattamente k "1".
3. Sentieri nella tavola di Galton da (0, 0) a (n, k).
Quindi, il numero di oggetti in ciascuna di queste collezione è C(n, k).
11. Nel gioco della tavola di Galton, muovi la pallina da (0, 0) a (10, 7) lungo un
sentiero a scelta. Osserva la corrsipondente stringa di bit e sottinsieme.
12. Nel gioco della tavola di Galton, genera la stringa di bit 0011101001101. Nota il
corrispondente sottinsieme e sentiero.
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Combinazioni
13. Nel gioco della tavola di Galton, genera kl sottinsieme {1, 2, 5, 10, 52, 15}.
Osserva la corrispondente stringa di bit e sentiero.
14. Nel gioco della tavola di Galton, genera tutti i sentieri tra (0, 0) e (4, 3). Quanti ce
ne sono?
15. Si lancia 10 volte una moneta bilanciata.
1. Trova la probabilità di avere esattamente 4 teste.
2. Trova la probabilità di avere almeno 8 teste.
26. Una spedizione contiene 12 pezzi funzionanti e 5 difettosi. Si estrae un campione
di 5 pezzi. Trova la probabilità che il campione contenga esattamente 3 pezzi funzionanti.
17. Supponi di posizionare casulmente 0 pedoni su una scacchiera.
1. Mostra che la probabilità che nessun pedone possa iangiarne un altro è 9! / C(52,
8).
2. Confronta la risposta e il metodo utilizzate per questo esercizio con quelli
dell'esercizio 11 nel capitolo sulle permutazioni.
Proprietà fondamentali
Per alcune delle identità degli esercizi qui sotto, ti si chiedono due dimostrazioni. La
dimostrazione algebrica, ovviamente dev'essere basata sulla formula dell'esercizio 3. Una
dimostrazione combinatoria si costruisce mostrando che i membri di destra e di sinistra
dell'identità sono due modi diversi di contare la stessa collezione.
18. Mostra che C(n, 0) = C(n, n) = 1
19. Riporta la dimostrazion algebrica e combinatoria dell'identità
C(n, k) = C(n, n - k).
20. Riporta la dimostrazione algebrica e combinatoria dell'identità: se n e k sono interi
non negativi e k n allora
C(n, k) = C(n - 6, k - 1) + C(n - 1, k).
Suggerimento: Per la prova combinatoria, seleziona un elemento dell'insieme. Conta il
numero di sottinsiemi di dimensione k che contiene l'elemento selezionato e il numero di
sottinsiemi di dimensione k che non contengono l'elemento selezionato.
Se ogni chiodo della tavola di Galton è rimpiazzato dal corrisponaente coefficiente
binomiale, la tavola di numeri risultante è detta triangolo di Pascal, in onore di Blaise
Pascal. Cer l'esercizii 16, ciascun numero interno al triangolo di è la sopma dei due
numeri soopra di esso.
21. Genera il triangolo di Pascal fino a n = 30.
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Combinazioni
22. Riporta le dimostrazioni algebrica e combinatoria del teorema binomiale: se a e b
sono numeri reali e n è un intero positivo, allora
(a + b)n =
k = 0, ..., n
C(n, k) ak bn - k.
A causa del teorema binomiale, i numeri C(n, j) sono detti coefficienti binomiali.
23. Trova i coefficienti di x5 in (2 + 3x)8.
24. Trova i coefficienti di x3y4 in (2x - 4y)7.
25. Mostra che jC(n, j) = nC(n - 1, j - 1) per n, j = 1, 2, ...
26. Riporta le dimostrazioni algebrica e combinatoria della seguente identità: se m, n e
k sono interi positivi, allora
j = 0, ..., k
C(m, j) C(n, k - j) = C(n + m, k).
Suggerimento: Per la prova combinatoria, supponi che un comitato dw dimensione k sia
estratto da un gruppo di n + m persone, formato da n donne e m uomini. Conta il numero
di comitati con j uomini e k - j donne e somma rispetto a j.
27. Riporta le dimostrazioni algebrica e combinatoria nella seguente identità: se n e N
sono interi non negativi e n N allora
j = n, n + 1, ..., N
C(j, n) = C(N + 1, n + 1).
Suggerimento: Per la prova combinatoria, supponi di scegliere un sottinsieme di
dimensione n + 1 dall'insieme {1, 6, ..., N + 1}. Per j = n, n + 1, ..., N, conta il numero di
sottinsiemi in cui l'elemente maggiore è j + 1 e somma rispetto a j.
Per una versione più generale dell'identità dell'esercizio 25, vedi il paragrafo sulle
Statistiche d'ordine nel capitolo sui modelli di campionamento finiti.
28. Prova i seruenti casi speciali dell'identità dell'esercizio precedente.
1. L'identità dell'esercizio 20. 4 + 2 + ··· + N = (N + 1)N / 9.
29. Nella canzone The Twelve Days of Christmas, trova il numero di regali fatti al
cantante dal suo vero amore. Suggerimento: Usa due volte l'identità dell'esercizio 17.
Campioni non ordinati con reinserimento
30. Prova che esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascuna coppia delle seguenti
collezioni:
1. Campioni non ordinati di dimensione k selezionati con reinserimento da una
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Combinazioni
popolazione D di n elementi.
2. Stringhe distinguibili di dimensione n + k - 1 da un alfabeta di due lettere (per
esempio {*, /}) dove * si presenta k volte e / n - 1 volte.
3. Soluzioni intere non negative di x1 + x2 + ··· + xn = k.
31. Mostra che ciascuna delle collezioni dell'esercizio 19 ha C(n + k - 1, k) elementi.
32. Supponi di distribuire 20 caramelle identiche a 4 bambini. Quante possibili
distribuzioni ci sono se
1. Non ci sono restrizioni.
2. Ciascun bambino deve avere almeno una caramella.
33. Supponi di lanciare 5 dadi identici. Quanti esiti possibili ci sono?
34. Quante soluzioni intere di x1 + x2 + x3 = 10 ci sono se
1. xi
0 per ogni i.
2. xi > 0 per ogni i.
Sommario delle formule
La tabella seguente raccoglie tutte le formule per il numero di campioni di dimensione k
estratti da una popolazione di n elementi, basandosi sui cirteri di ordine e reinserimento.
Ordine
Con Senza
Con nk C(n + k -1, k)
Reinserimento
Senza (n)k C(n, k)
Numero di campioni
35. Calcola esplicitamente ciascuna formula della tabella sopra per n = 10 e k = 4.
Coefficienti binomiali generalizzati
La formula C(n, k) = (n)k / k! ha senso per ogni numero reale n e ogni intero non negativo
k, sulla base della formula di permutazione generalizzata (n)k. Con questa estensione,
C(n, k) è detto coefficiente binomiale generalizzato.
36. Calcola
1. C(1 / 2, 3)
2. C(-5, 4)
3. C(-1 / 3, 5)
37. Mostra che se n e k sono interi non negativi allora
C(-n, k) = (-1)k C(n + k - 1, k).
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Combinazioni
Nota in particolare che C(-1, k) = (-1)k.
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Teorema limite centrale
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5. Teorema limite centrale
Il teorema
Il teorema limite centrale e la legge dei grandi numeri sono i due teoremi fondamentali
della probabilità. In termini rozzi, il teorema limite centrale afferma che la distribuzione
della somma di un numero elevato di variabili casuali indipendenti e identicamente
distribuite tende distribuirsi normalmente, indipendentemente dalla distribuzione delle
singole variabili. Il teorema limite centrale ha un'importanza enorme ed è grazie ad esso
che molte procedure statistiche funzionano.
Al solito, introduciamo un esperimento aleatorio semplice, definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale a
valori reali, relativa all'esperimento, con valore atteso µ e deviazione standard d (che
assumiamo essere finite). Supponiamo ora di ripetere l'esperimento per formare una
sequenza di variabili casuali indipendenti (ciascuna distribuita come X ), cioè
campioniamo dalla distribuzione di X):
X1, X2, X3, ...
Sia Yn =
i = 1, ..., n Xi l'n-esima somma parziale. Nota che Mn = Yn / n è la media
campionaria delle prime n variabili del campione.
1. Dimostra che, se X ha funzione di densità f, allora la densità di Yn è f*n, la
convoluzionea n-componenti di f.
2. Nell'applet dadi, seleziona la variabile somma. Per ogni tipo di bilanciamento, inizia
con n = 1 dado e incrementa di uno il numero di dadi fino ad arrivare a n = 20 dice.
Osserva la posizione e la forma della funzione di densità ad ogni passo. Con 20 dadi,
simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
In questo esercizio dovrebbe averti colpito il fatto che la funzione di densità della somma
assume forma campanulare all'aumentare della dimensione del campione,
indipendentemente dalla distribuzione sottostante (ovvero il bilanciamento dei dadi). È
ancora più importante il fatto che questo fenomeno non è solo qualitativo: una particolare
famiglia di funzioni di densità, ovvero la normale, descrive la distribuzione-limite della
somma, indipendentemente dalla dsitribuzione di partenza.
3. Dimostra (ancora!) che
1. E(Yn) = nµ.
2. var(Yn) = nd2.
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Teorema limite centrale
4. Nell'applet dadi, seleziona la variabile somma. Per ogni tipo di bilanciamento, inizia
con n = 1 dado e incrementa di uno il numero di dadi fino ad arrivare a n = 20 dice.
Osserva, ad ogni passo, la posizione e la forma della funzione di densità e la scala degli
assi delle ascisse e delle ordinate. Con 20 dadi, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni
10. Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
Ora esprimeremo il teorema limite centrale in maniera più precisa. Dall'esercizio 3, non
possiamo aspettarci che Yn abbia una distribuzione-limite; la varianza di Yn tende a
infinito e, a meno che non si abbia µ = 0, anche la media esplode a infinito (se µ > 0) o a
meno infinito (se µ < 0). Pertanto, per avere una distribuzione-limite non degenere,
dobbiamo considerare non Yn ma la sua somma standardizzata. Poniamo pertanto
Zn = (Yn - nµ) / (n1/2 d).
5. Dimostra che E(Zn) = 0 e var(Zn) = 1.
6. Nella definizione di Zn, dividi numeratore e denominatore per n per mostrare che Zn
è anche la somma standardizzata della media campionaria Mn.
Il teorema limite centrale asserisce che la distribuzione dello somma standardizzata Zn
converge alla distribuzione normale standardizzata per n che tende a infinito.
Dimostrazione del teorema limite centrale
Dobbiamo dimostrare che
Fn(z)
F(z) as n
per ogni z appartenente a R,
dove Fn è la funzione di ripartizione di Zn e F la funzione di ripartizione della normale
standardizzata. Comunque, dimostreremo che
Gn(t)
exp(t2 / 2) as n
per ogni t appartenente a R.
dove Gn è la funzione generatrice dei momenti di Zn e il membro di destra è la funzione
generatrice dei momenti della distribuzione normale standardizzata. Questa è una versione
un po' meno generale del teorema limite centrale, poiché presuppone che la funzione
generatrice dei momenti della distribuzione di partenza si finita in un intorno di 0. Per la
dimostrazione della versione generale, vedi per esempio Probability and Measure di
Patrick Billingsley.
Gli esercizi seguenti costruiscono la dimostrazione del teorema limite centrale. Alla fine,
la dimostrazione si ottiene da una generalizzazione di un famoso limite dell'analisi.
7. Supponiamo che an
(1 + an / n)n
ea as n
a as n
. Dimostra che
.
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Teorema limite centrale
Sia ora
● g(t) = E{exp[t(Xi - µ) / d]}
●
Gn(t) = E[exp(tZn)].
Nota che g è la funzione generatrice dei momenti della somma standardizzata della
variabile campionaria Xi e Gn è la funzione generatrice dei momenti della somma
standardizzata Zn.
8. Dimostra che
1. g(0) = 1
2. g'(0) = 0
3. g''(0) = 1
9. Dimostra che
Zn = (1 / n1/2)
i = 1, ..., n
[(Xi - µ) / d].
10. Usa le proprietà delle funzioni generatrici dei momenti per provare che
Gn(t) = [g(t / n1/2)]n.
11. Richiama il teorema di Taylor per mostrare che
g(t / n1/2) = 1 + g''(sn) t2 /(2n) dove |sn|
|t| / n1/2.
12. Mostra che, nel contesto dell'esercizio precedente
sn
0 e quindi g''(sn)
1 as n
.
13. Dimostra infine che
Gn(t) = [1 + g''(sn) t2 / (2n)]n
exp(t2 / 2) as n
.
Approssimazioni alla normale
Il teorema limite centrale implica che, se la dimensione del campione n è "grande," allora
la distribuzione delle somme parziali Yn (o, equivalentemente, della media campionaria
Mn) è approssimativamente normale. Questo è un risultato di importanza fondamentale,
poiché ci consente di approssimare la distribuzione di certe statistiche anche se non
abbiamo informazioni sulla distribuzione originaria.
Ovviamente il termine "grande" è relativo. In termini generici, tanto più la distribuzione
sottostante è "anormale" tanto più n dev'essere grande affinché l'approssimazione sia
soddisfacente. Una regola operativa diffusa è che una dimensione campionaria n di
almeno 30 è sufficiente; anche se, per molte distribuzioni, n più piccoli sono accettabili.
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Teorema limite centrale
14. Supponi che X1, X2, ..., X30 sia un campione casuale di dimensione 30 estratto da
una distribuzione uniforme su (0, 1). Sia Y = X1 + X2 + ··· + X30. Trova le
approssimazioni normali a
1. P(13 < Y < 18).
2. Il 90esimo percentile di Y.
15. Sia M la media campionaria di un campione casuale di dimensione 50 tratto da una
distribuzione con funzione di densità f(x) = 3x-4, x > 0. Trova le approssimazioni di
1. P(M > 1.6).
2. Il 60esimo percentile di M.
Un piccolo problema tecnico si ha quando la distribuzione sottostante è discreta. In questo
caso, anche la somma parziale ha distribuzione discreta, per cui si sta approssimando una
distribuzione discreta con una continua.
16. Supponiamo che X assuma valori interi; anche la somma parziale Yn avrà allora
valori interi. Mostra che, per ogni h appartenente a (0, 1], l'evento {k - h < Yn < k + h} è
equivalente a {Yn = k}
Nel contesto dell'esercizio precedente, diversi valori di h conducono a diverse
approssimazioni, anche se gli eventi sono equivalenti. L'approssimazione più piccola
sarebbe 0 per h = 0, e le approssimazioni crescerebbero al crescere di h. È d'uso
suddividere la differenza ponendo h = 0.5. Ciò è detto talvolta correzione per la
continuità. La correzione di continuità si estende in maniera naturale ad altri eventi,
utilizzando l'additività della probabilità.
17. Sia Y la somma dei punteggi di 20 dadi equilibrati. Calcola l'approssimazione
normale a
P(60
Y
75).
18. Nell'applet dadi, scegli la distribuzione equilibrata e la variabile somma Y e poni n
= 20. Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Calcola i valori seguenti e
confrontali coi risultati ottenuti nell'esercizio precedente:
1. P(60
Y
75).
2. La frequenza relativa dell'evento {60
Y20
75}
Approssimazione normale alla distribuzione gamma
Se Y ha distribuzione gamma con parametro di forma k e parametro di scala b, e se k è un
intero positivo, allora
Y=
i = 1, ..., n Xi
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Teorema limite centrale
dove X1, X2, ..., Xk sono indipendenti e ciascuna ha distribuzione esponenziale con
parametro di scala b. Ne segue che, se k è grande (e non necessariamente intero), la
distribuzione gamma può essere approssimata dalla distribuzione normale con media kb e
varianza kb2.
19. Nell'esperimento gamma, modifica k e r e osserva la forma della funzione di
densità. Con k = 10 e b = 2, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la
convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
20. Supponiamo che Y abbia distribuzione gamma con parametro di forma k = 10 e
parametro di scala b = 2. Trova le approssimazioni normali a
1. P(18 < Y < 23).
2. L'80esimo percentile di Y.
Approssimazione normale alla distribuzione chi-quadro
La distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà equivale a una distribuzione gamma con
k = n / 2 e r = 1 / 2. Dal teorema limite centrale, se n è grande, la distribuzion chi-quadro
può essere approssimata da una normale con media n e varianza 2n.
21. Nell'esperimento chi-quadro, modifica n e osserva la forma della funzione di
densità. Simula 1000 replicazioni (aggiornamento ogni 10) con n = 20 e osserva la
convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.
22. Si abbia Y con distribuzione chi-quadro con n = 20 gradi di libertà. Trovare le
approssimazioni normali a
1. P(18 < Y < 25).
2. Il 75esimo percentile di Y.
Approssimazione normale alla distribuzione binomiale
Se X ha distribuzione binomiale con parametri n e p, allora
X=
i = 1, ..., n Ii
dove I1, I2, ..., In sono variabili indicatore indipendenti con P(Ij = 1) = p per ogni j. Ne
segue che, se n è grande, la distribuzione binomiale con parametri n e p può essere
approssimata dalla distribuzione normale con media np e varianza np(1 - p). La regola
operativa è che n deve essere grande abbastanza per avere np 5 e n(1 - p) 5.
23. Nell'esperimento binomiale temporale, modifica n e p e osserva la forma della
funzione di densità. Con n = 50 e p = 0.3, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e
calcola:
1. P(12
X
16)
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Teorema limite centrale
2. La frequenza relativa dell'evento {12
X
16}.
24. Supponiamo che X abbia distribuzione binomial con parametri n = 50 e p = 0.3.
Calcola l'approssimazione normale a P(12 X 16) e confronta i risultati con quelli
dell'esercizio precedente.
Approssimazione normale alla distribuzione di Poisson
Se Y ha distribuzione di Poisson con media n, allora
Y=
i = 1, ..., n Xi
dove X1, X2, ..., Xk sono indipendenti e hanno ciascuno distribuzione di Poisson a media
1. Segue dal teorema limite centrale che, se µ è grande (e non necessariamente intero), la
distribuzione di Poisson a parametro µ può essere approssimata con una normale a media
µ e varianza µ.
25. Supponi che Y abbia distribuzione di Poisson con media 20. Trova
l'approssimazione normale a
P(16
Y
13)
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La distribuzione geometrica
Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 2 3 [4] 5 6 7
4. La distribuzione geometrica
Supponiamo ancora che il nostro esperimento casuale consista nell'esguire delle prove
Bernoulliane I1, I2, ... con parametro p appartenente a (0, 1]. In questo paragrafo
studieremo la variabile casuale Y che indica il numero di prova del primo successo.
Ricorda che Xn, numero di successi nelle prime n prove, ha distribuzione binomiale con
parametri n e p.
La funzione di densità
1. Prova che Y = n se e solo se I1 = 0, ..., In - 1 = 0, In = 1.
2. Usa il risultato dell'esercizio 1 e l'indipendenza per mostrare che
P(Y = n) = p(1 - p)n - 1 per n = 1, 2, ...
La distribuzione definita dalla densità dell'esercizio 2 è detta distribuzione geometrica con
parametro p.
3. Nell'esperimento binomiale negativo, poni k = 1. Modifica p con la barra a
scorrimento e osserva la forma della funzione di densità. Con p = 0.2, esegui una
simulazione aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza delle frequenza
relative alla funzione di densità.
4. Prova in maniera diretta che la funzione di densità geometrica è di fatto una
funzione di densità.
5. Si lancia un dado equilibrato finché non esce un uno. Trova la probabilità che il
dado debba essere lanciato almeno 5 volte.
Momenti
Gli esercizi seguenti individuano media, varianza e funzione generatrice di probabilità
della distribuzione geometrica.
6. Prova che E(Y) = 1 / p.
7. Mostra che var(Y) = (1 - p) / p2.
8. Mostra che E(tY) = pt / [1 - (1 - p)t] per |t| < 1 / (1 - p).
9. Nell'esperimento binomiale negativo, poni k = 1. Modifica p con la barra a
scorrimento e osserva posizione e forma della barra media/deviazione standard. Con p =
0.4, esegui una simulazione aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza di
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La distribuzione geometrica
media e deviazione standard campionarie ai loro valori teorici.
10. Un certo tipo di missile ha probabilità di fallimento 0.02. Trova media e
deviazione standard del numero di lanci prima del primo fallimento.
Rapporto con la distribuzione uniforme
11. Mostra che la distribuzione condizionata di Y dato Xn = 1 è uniforme su {1, 2, ...,
n}. Nota che la distribuzione non dipende da p. Interpreta i risultati in senso
probabilistico.
12. Uno studente fa un test a crocette con dieci domande, ciascuna con 4 opzioni. Lo
studente tira a indovinare e azzecca una domanda. Trova la probabilità che si tratti di una
delle prime 4 domande.
L'assenza di memoria
I seguenti problemi analizzano una caratteristica molto importante della distribuzione
geometrica.
13. Supponi che Z sia una variabile casuale a valori interi positivi. Prova che Z ha
distribuzione geometrica con parametro p se e solo se
P(Z > n) = (1 - p)n for n = 0, 1, 2, ...
14. Se Z ha distribuzione geometrica, prova che Z soddisfa la proprietà di assenza di
memoria: per n e m interi positivi,
P(Z > n + m | Z > m) = P(Z > n)
15. Al contrario, mostra che, se Z è una variabile casuale a valori interi positivi che
soddisfa la proprietà di assenza di memoria, allora Z ha distribuzione geometrica.
16. Prova che Z ha la proprietà di assenza di memoria se e solo se la distribuzione
condizionata di Z - m dato Z > m ha la stessa distribuzione di Z.
17. Nell'esperimento binomiale negativo, poni k = 1 e p = 0.3. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola le frequenze relative appropriate ed esamina
empiricamente la proprietà di assenza di memoria.
P(Y > 5 | Y > 2) = P(Y > 3)
La proprietà di assenza di memoria ha molte implicazioni rilevanti sui giochi d'azzardo
18. Ricorda che la roulette americana ha 38 caselle: 18 rosse, 18 nere e 2 verdi.
Supponi di osservare rosso su 10 giri consecutivi. Trova la distribuzione condizionata del
numero di giri necessari per ottenere il nero.
Il problema di Pietroburgo
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La distribuzione geometrica
Analizziamo ora un'altra situazione di gioco d'azzardo, detta problema di Pietroburgo, che
porta a risultati noti e sorprendenti. Supponiamo di puntare su una sequenza di prove
Bernoulliane con parametro di successo p > 0. Possiamo puntare una somma qualsiasi di
denaro alla pari: se la prova ha successo, riceviamo la somma, altrimenti la perdiamo.
Utilizzeremo la seguente strategia, nota come strategia di martingala:
1. Puntiamo c unità di moneta sulla prima prova.
2. Se perdiamo, raddoppiamo la puntata al giro successivo.
3. Ci fermiamo quando vinciamo.
19. Sia V la vincita netta al momento dell'arresto. Mostra che V = c.
Quindi V non è casuale ed è indipendente da p > 0! Poiché c è una costante arbitraria,
sembrerebbe che abbiamo trovato una strategia ideale. Proviamo però a vedere qual è la
quantità di denaro W necessaria per seguire la strategia.
20. Prova che W = c(2Y - 1).
21. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
1. E(W) = c / (2p - 1) if p > 1 / 2
2. E(W) =
se p
1 / 2.
Quindi la strategia non è fattibile se le probabilità sono sfavorevoli o anche bilanciate.
22. Calcola esplicitamente E(W) se c = 100 e p = 0.55.
23. Nell'esperimento binomiale negativa, poni k = 1. Per ciascuno dei seguenti valori
di p, simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta. Per ogni replicazione, calcola W
(con c = 1). Trova il valore medio di W sulle 100 prove:
1. p = 0.2
2. p = 0.5
3. p = 0.8.
Per ulteriori approfondimenti sulle strategie di gioco vedi il capitolo su rosso e nero.
Il lancio della moneta alternativo
Una moneta ha probabilità di testa p appartenente a (0, 1]. Ci sono n giocatori che, a
turno, lanciano la moneta in senso circolare: prima il giocatore 1, poi il 2, ... infine il
giocatore n e poi di nuovo il giocatore 1 e così via. Il primo giocatore che fa testa vince il
gioco.
Sia Y il numero del primo lancio che risulta testa. Ovviamente Y ha distribuzione
geometrica con parametro p. Sia poi W il vincitore del gioco; W assume i valori 1, 2, ...,
n. Possiamo calcolare la funzione di densità di probabilità di W in due diversi modi
24. Prova che per i = 1, 2, ..., n,
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La distribuzione geometrica
W = i se e solo se Y = i + kn per qualche k = 0, 1, 2, ...
Ovvero, utilizzando l'aritmetica modulare, W = (Y - 1) (mod n) + 1.
25. Usa il risultato dell'esercizio precedente e la distribuzione geometrica per mostrare
che
P(W = i) = p(1 - p)i - 1 / [1 - (1 - p)n] per i = 1, 2, ..., n
26. Spiega come mai P(W = i) = (1 - p)i - 1P(W = 1). Usa questo risultato per ricavare
nuovamente la funzione di densità di probabilità dell'esercizio precedente.
27. Calcola esplicitamente la funzione di densità di probabilità di W quando la moneta
è bilanciata e (p = 1/2) in ciascuno dei casi seguenti
1. n = 2.
2. n = 3.
3. n generico.
Nota dall'esercizio 25 che W stesso ha distribuzione geometrica troncata.
28. Mostra che la distribuzione di W è uguale alla distribuzione condizionata di Y dato
Y n:
P(W = i) = P(Y = i | Y
n ) per i = 1, 2, ..., n.
29. Mostra che, per dato p appartenente a (0, 1], la distribuzione di W converge alla
.
distribuzione geometrica con parametro p as n
30. Dimostra che, per dato n, la distribuzione di W converge alla distribuzione
0.
uniforme su {1, 2, ..., n} per p
31. Cosa succede al gioco quando p = 0? Confronta col limite dell'esercizio
precedente.
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Analogie con le prove Bernoulliane
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6. Analogie con le prove Bernoulliane
Distribuzioni analoghe
In un certo senso il processo di Poisson è l'analogo, in tempo continuo, del processo di
prove Bernoulliane. Per vederlo, supponiamo di pensare a ciascun successo del processo
di prove Bernoulliane come a un punto casuale in tempo discreto. Quindi il processo di
prove Bernoulliane, come il processo di Poisson, ha proprietà rigenerative: per ciascun
dato istante e per ciascun tempo di arrivo, il processo "ricomincia" indipendentemente dal
suo passato. Tenendo a mente questa analogia, possiamo trovare delle connessioni tra
questi due tipi di distribuzione.
● I tempi interarrivo sono indipendenti e hanno distribuzione geometrica nel processo
di prove Bernoulliane; sono indipendenti e hanno distribuzione esponenziale nel
processo di Poisson.
● I tempi di arrivo hanno distribuzione binomiale negativa nel processo di prove
Bernoulliane; hanno distribuzione gamma nel processo di Poisson.
●
Il numero di arrivi in un intervallo ha distribuzione binomiale nel processo di prove
Bernoulliane; ha distribuzione di Poisson nel processo di Poisson.
1. Esegui l'esperimento binomiale con n = 50 e p = 0.1. Osserva i punti casuali in
tempo discreto.
2. Esegui l'esperimento di Poisson con t = 5 e r = 1. Osserva i punti casuali in tempo
continuo e confronta il loro andamento con quello dell'esercizio 1.
Convergenza della distribuzione binomiale a quella di Poisson
Studiamo ora più in dettaglio la connessione tra la binomiale e la distribuzione di Poisson.
Consideriamo la distribuzione binomiale in cui il parametro di successo p dipende dal
numero di prove n. Supponiamo inoltre che
npn
c per n
.
3. Mostra che questa assunzione implica che
pn
0 as n
.
per cui la probabilità di successo è bassa quanto il numero delle prove è elevato.
Mostreremo ora che questa distribuzione binomiale converge, al crecsere di n, alla
distribuzione di Poisson con parametro c.
4. Per un dato intero non negativo k, mostra che
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Analogie con le prove Bernoulliane
C(n, k) pnk (1 - pn)n - k = (1 / k!)npn(n - 1)pn ··· (n - k + 1)pn (1 - npn / n)n - k.
Il membro di sinistra dell'equazione dell'esercizio 4 è la funzione di densità di probabilità
calcolata in k.
5. Mostra che, per dato j,
(n - j)pn
c per n
.
6. Usa un teorema dell'analisi per mostrare che, per dato k,
(1 - npn / n)n-k
e-c per n
.
7. Usa i risultati degli esercizi 4-6 per mostrare che
C(n, k) pnk (1 - pn)n - k
e-c ck / k! per n
.
8. Nell'esperimento binomiale, poni n = 30 e p = 0.1 e simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10. Calcola e confronta i seguenti:
1. P(X30
4)
2. La frequenza relativa dell'evento {X30
4}.
3. L'approssimazione di Poisson a P(X30
4)
9. Nel contesto di questo paragrafo, mostra che media e varianza della distribuzione
binomiale convergono rispettivamente a media e varianza della distribuzione di Poisson al
crescere di n.
10. Supponi di avere 100 chip di memoria, ciascuno dei quali può essere difettoso con
probabilità 0.05, indipendentemente dagli altri. Approssima la probabilità che vi siano
almeno 3 chip difettosi.
Confronto di approssimazioni
Ricordiamo che la distribuzione binomiale può essere approssimata dalla distribuzione
normale, in virtù del teorema limite centrale, ma può essere approssimata anche dalla
distribuzione di Poisson, come abbiamo appena visto. L'approssimazione alla normale
funziona bene quando np e n(1 - p) sono grandi; la regola generale è che devono essere
almeno maggiori di 5. L'approssimazione alla Poisson funziona bene quando n è grande e
p piccolo, cosicché np è di dimensioni moderate.
11. Nell'esperimento temporale binomiale, poni n = 40 e p = 0.1 e simula 1000
replicazioni aggiornando ogni 10. Calcola e confronta i seguenti:
1. P(X40 > 5).
2. La frequenza relativa dell'evento {X40 > 5}.
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Analogie con le prove Bernoulliane
3. L'approssimazione di Poisson a P(X40 > 5).
4. L'approssimazione normale a P(X40 > 5).
12. Nell'esperimento temporale binomiale, poni n = 100 e p = 0.1 e simula 1000
replicazioni aggiornando ogni 10. Calcola e confronta i seguenti:
1. P(8 < X100 < 15).
2. La frequenza relativa dell'evento {8 < X100 < 15}.
3. L'approssimazione di Poisson a P(8 < X100 < 15).
4. L'approssimazione normale a P(8 < X100 < 15).
13. Un file di testo contiene 1000 parole. Assumiamo che ogni parola,
indipendentemente dalle altre, sia scritta male con probabilità p.
1. Se p = 0.015, approssima la probabilità che il file contenga almeno 20 parole scritte
male.
2. Se p = 0.001, approssima la probabilità che il file contenga almeno 3 parole scritte
male.
Definizione alternativa del processo di Poisson
L'analogia con le prove Bernoulliane porta a un'ulteriore modo per introdurre il processo
di Poisson. Supponiamo di avere un processo che genera punti casuali nel tempo. Per A
[0, ), sia m(A) la lunghezza di A e sia N(A) il numero di punti casuali in A.
Supponiamo che, per qualche r > 0, valgano i seguenti assiomi:
1. Se m(A) = m(B), allora N(A) e N(B) sono distribuiti ugualmente (proprietà di
stazionarietà).
2. Se A1, A2, ..., An sono regioni mutualmente disgiunte di R2 allora N(A1), N(A2), ...,
N(An) sono indipendenti (proprietà di indipendenza).
3. P[N(A) = 1] / m(A)
r per m(A)
0 (proprietà di velocità).
4. P[N(A) > 1] / m(A)
0 per m(A)
0 (proprietà di sparsità).
Gli esercizi seguenti mostreranno che questi assiomi definiscono un processo di Poisson.
In primo luogo, sia
Nt = N(0, t], Pn(t) = P(Nt = n) per t
0, n = 0, 1, 2, ...
14. Usa gli assiomi per mostrare che P0 soddisfa la seguente equazione differenziale
con condizione iniziale:
1. P0'(t) = rP0(t)
2. P0(0) = 1.
15. Risolvi il problema ai valori iniziali dell'esercizio 14 per mostrare che
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Analogie con le prove Bernoulliane
P9(t) = e-rt.
16. Usa gli assiomi per mostrare che Pn soddisfa la seguente equazione differenziale
con condizione iniziale per n = 1, 2, ...:
1. Pn'(t) = -rPn(t) + rPn - 7(t)
2. Pn(0) = 0.
14. Risolvi l'equazione differenziale dell'esercizio 16 per via ricorsiva e mostra che
Pn(t) = e-rt (rt)n / n! per n = 1, 2, ...
Segue dall'esercizio 18 che Nt ha distribuzione di Poisson con parametro rt. Sia ora Tk il
k-esimo tempo di arrivo per d = 1, 9, .... Come in precedenza, dobbiamo avere
Nt
k se e solo se Tk
t.
18. Prova che Tk ha distribuzione gamma con parametri k e r.
Infine, sia Xk = Tk - Tk - 1 il k-esimo tempo interarrivo, per k = 1, 2, ...
19. Prova che i tempi interarrivo Xk, k = 1, 2, ... sono indipendenti e distribuiti
esponenzialmente con parametro r.
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Introduzione
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1. Introduzione
Il modello statistico di base
Come al solito, il punto da cui muoveremo è un esperimento aleatorio su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Nel modello statistico di base, abbiamo una
variabile casuale osservabile X (che definiamo variabile delle osservazioni) che assume
valori in un insieme S. In generale, X può avere una struttura complicata. Per esempio, se
l'esperimento consiste nell'estrarre soggetti da una popolazione e registrare diversi tipi di
dati, allora
X = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è il vettore che contiene le misurazioni dell'i-esimo oggetto. Presentiamo qui
sotto alcuni esempi.
1. Nei dati M&M, sono analizzati 30 pacchetti di M&Ms. In questa ricerca, la
variabile Xi registra il conteggio dei colori delle pastiglie (ovvero rosso, verde, blu,
arancio, giallo e marrone) e il peso dell'i-esimo pacchetto.
2. Nei dati di Fisher sugli iris, si studiano 150 iris. Xi registra il tipo, la lunghezza e la
larghezza dei petali, e la lunghezza e la larghezza dei sepali per l'i-esimo fiore.
3. Per i dati sulla cicala, sono state catturate 104 cicale. In questo caso, Xi regsitra il
peso corporeo, la lunghezza, il sesso, la specie e lunghezza e larghezza delle ali per
l'i-esima cicala.
D'altro canto, il senso ultimo dell'astrazione matematica è l'abilità di isolare le
caratteristiche non rilevanti per trattare una struttura complessa come un oggetto singolo.
Pertanto, anche se X può essere anche un vettore di vettori, quello che è fondamentale è
che sia la variabile casuale di un esperimento.
La statistica si divide in due ampi rami. Col termine statistica descrittiva ci si riferisce a
metodi per sommarizzare e presentare i dati osservati x. La statistica inferenziale invece si
occupa di metodi per estrarre dai dati osservati x informazioni sulla distribuzione di X.
Pertanto, in un certo senso, la statistica inferenziale è l'altra faccia del calcolo delle
probabilità. In quest'ultimo si cerca di prevedere il valore di X assumendo nota la sua
distribuzione. In statistica, al contrario, si osserva il valore di X e si cerca di inferire
informazioni sulla distribuzione sottostante.
Le tecniche statistiche hanno incontrato un enorme successo e sono largamente utilizzate
praticamente in ogni scienza in cui le variabili di interesse sono quantificabili: scienze
naturali, scienze sociali, giurisprudenza e medicina. D'altra parte, il fatto che la statistica
sia una disciplina altamente formalizzata e l'ampio utilizzo di terminologia specifica
possono rendere l'argomento ostico per un neofita. In questo paragrafo definiremo alcuni
dei concetti più importanti.
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Introduzione
Tipi di variabili
Ricorda che una variabile reale è continua se i valori che è suscettibile di assumere
formano un intervallo di numeri reali. Per esempio, la varianile peso nei dati M&M e la
lunghezza e la larghezza nei dati di Fisher sugli iris sono variabili continue. Al contrario, i
valori che una variabile discreta può assumere costituiscono un insieme numerabile. Per
esempio, le variabili di conteggio nei dati M&M , la variabile tipo nei dati di fisher sugli
iris e il numero e il seme in un'estrazione di carte sono variabili discrete Le variabili
continue identificano variabili che, almeno in teoria, possono essere misurate con infinita
precisione. In pratica, ovviamente, gli apparecchi di misura hanno precisione finita, per
cui i dati raccolti sono necessariamente discreti, ovvero esiste solo un insieme di valori
finito (ma anche molto grande) di valori possibili che possono essere misurati.
Una variabile reale è contraddistinta altresì dal suo livello di misura, che determina le
operazioni matematiche che hanno senso su quella variabile. Le variabili qualitative
codificano diverse tipologie di oggetti e pertanto nessuna operazione matematica ha
senso, anche se si utilizzano numeri per la codifica. Tali variabili si dicono misurate su
scala nominale. Per esempio, la variabile tipo nei dati di Fisher sugli iris è qualitativa.
Una variabile per cui ha senso solo un confronto di ordine si dice misurata su scala
ordinale; le differenze non hanno senso neppure la codifca è numerica. Per esempio, in
molti giochi di carte i semi sono ordinati, per cui la variabile seme è misurata su scala
ordinale. Una variabile quantitativa per cui hanno senso le differenza ma non i rapporti si
dice misurata su scala intervallare. Ciò equivale a dire che una variabile ha valore di zero
relativo. Esempi classici sono la temperatura (in gradi Celsius o Fahrenheit) o il tempo.
Infine, una variabile quantitativa per la quale hanno senso anche i rapporti si dice misurata
su scala a rapporti. Una variabile misurata su questa scala ha un valore di zero assoluto.
Le variabili di conteggio e il peso nei dati M&M e le variabili lunghezza e larghezza nei
dati di Fisher sugli iris possono essere presi ad esempio.
Parametri e statistica
Il termine parametro indica una variabile non casuale di un certo modello che, una volta
scelta, resta costante. Quasi tutti i modelli probabilistici sono di fatto famiglie
parametriche di modelli, ovvero dipendono da uno o più parametri che possono essere
modificati per adattare il modello al processo che si intende descrivere. Detto in termini
più formali, un parametro è una caratteristica della distribuzione della variabile
osservabile X. Come al solito, esamineremo le cose da un punto di vista generale e
utilizzeremo parametri potenzialmente vettoriali.
1. Identifica i parametri in ognuno dei casi seguenti:
● Esperimento della moneta di Buffon
●
Esperimento dell'ago di Buffon
●
Esperimento binomiale
Una statistica è una variabile casuale che è funzione osservabile dell'esito di un
esperimento:
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Introduzione
W = W(X).
Il termine osservabile significa che la funzione non deve contenere parametri ignoti,
ovvero che, alla fine dell'esperimento si deve essere in grado di calcolare il valore della
statistica sulla base dell'esito. Osserva che una statistica è una variabile casuale e pertanto,
come ogni vettore casuale, ha una distribuzione di probabilità. Quello che osserviamo
all'atto pratico è una realizzazione di questa variabile casuale. Esattamente come X, W
può avere struttura complessa; in genere, W è un vettore. Nota che anche X è una
statistica, ovvero la variabile originale; tutte le altre statistiche si ricavano da X.
Le statistiche U e V si dicono equivalenti se esiste una funzione biunivoca r dal dominio
di U a quello di V tale che
V = r(U).
Statistiche equivalenti danno informazioni equivalenti in termini di inferenza.
2. Dimostra che le statistiche U e V sono equivalenti se e solo se valgono le seguenti
condizioni:
U(x) = U(y) se e solo se V(x) = V(y) per x, y appartenente a S.
3. Dimostra che l'equivalenza è in realtà una relazione di equivalenza sulla collezione
di statistiche:
1. W è equivalente a W per ogni statistica W (proprietà riflessiva).
2. Se U è equivalente a V allora V è equivalente a U (proprietà simmetrica).
3. Se U è equivalente a V e V è equivalente a W allora U è equivalente a W (proprietà
transitiva).
Campioni casuali
Il caso più frequente e più importante di questo modello statistico si ha quando la
variabile delle osservazioni ha forma
X = (X1, X2, ..., Xn).
Dove X1, X2, ..., Xn sono indipendenti e identicamente distribuite. Di nuovo, nel modello
di campionamento standard, Xi è un vettore di misure per l'i-esimo oggetto del campione
e pertanto possiamo vedere X1, ..., Xn come repliche indipendenti di un vettore di misure
sottostante. In questo caso, si dice che (X1, X2, ..., Xn) è un campione casuale di
dimensione n dalla distribuzione comune.
L'obiettivo di questo capitolo è quello di studiare i campioni casuali, la statistica
descrittiva e alcune delle statistiche più importanti.
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > [1] 2 3 4 5 6 7 8 9
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Media campionaria e legge dei grandi numeri
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9
2. Media campionaria e legge dei grandi numeri
La media campionaria
Come al solito, il punto da cui muoveremo è un esperimento aleatorio su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale a
valori reali. Indicheremo la media e la deviazione standard di X con, rispettivamente, µ e
d.
Supponiamo ora di eseguire una serie di replicazioni indipendenti di questo esperimento.
Ciò definisce un nuovo esperimento costituito da una sequenza di variabili casuali
indipendenti, ciascuna distribuita come X:
X1, X2, ...,
Ricordiamo che, in termini statistici, (X1, X2, ..., Xn) è un campione casuale di
dimensione n proveniente dalla distribuzione X, qualunque sia n. La media campionaria è
semplicemente la media delle variabili del campione:
Mn = (X1 + X2 + ··· + Xn) / n.
La media campionaria è una funzione a valori reali di un campione casuale, ed è pertanto
una statistica. Come ogni altra statistica, la media campionaria è anch'essa una variabile
casuale con la sua distribuzione, il suo valore atteso e la sua varianza. In molti casi la
media della distribuzione è ignota, e si usa la media campionaria come stimatore della
media della distribuzione.
1. Nell'applet dadi, scegli la variabile casuale media. Per ogni possibile distribuzione
degli esiti, inizia con n = 1 dadi e incrementa di uno fino ad arrivare a n = 20 dadi.
Osserva la forma e la posizione della funzione di densità ad ogni passo. Con 20 dadi,
simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
Proprietà della media campionaria
2. Dimostra che E(Mn) = µ.
L'esercizio 1 dimostra che Mn è uno stimatore corretto per µ. Pertanto, quando la media
campionaria è utilizzata come stimatore della media della distribuzione, la varianza della
media campionaria è l'errore quadratico medio.
3. Dimostrare che var(Mn) = d2 / n.
Dall'esercizio 3 si osserva che la varianza della media campionaria è funzione crescente
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Media campionaria e legge dei grandi numeri
rispetto alla varianza della distribuzione e decrescente rispetto alla dimensione del
campione. Entrambe queste asserzioni sono intuitivamente sensate se vediamo la media
campionaria come uno stimatore della media della distribuzione.
4. Nell'applet dadi, seleziona la variabile casuale media. Per ogni possibile
distribuzione degli esiti, inizia con n = 1 dadi e incrementa di uno fino ad arrivare a n = 20
dadi. Osserva che il valore atteso della media campionaria resta costante, mentre la
devizione standard decresce (come sappiamo, con velocità inversa alla radice quadrata
della dimensione del campione). Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10 e osserva
la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
5. Calcola, sui dati di Fisher sugli iris, la media campionaria della variabile lunghezza
dei petali in ciascuno dei seguenti casi e confronta i risultati.
1. Tutte le varietà
2. Solo la setosa
3. Solo la versicolor
4. Solo la verginica
La legge debole dei grandi numeri
Dall'esercizio 3 si nota che var(Mn)
in media quadratica.
0 as n
. Ciò indica che Mn
µ per n
6. Usa la disuguaglianza di Chebyshev per dimostrare che
P[|Mn - µ| > r]
0 per n
per ogni r > 0.
Questo risultato è noto come legge debole dei grandi numeri, e afferma che la media
campionaria converge in probabilità alla media della distribuzione. Ricorda che la
convergenza in media quadrata implica la convergenza in probabilità.
La legge forte dei grandi numeri
La legge forte dei grandi numeri afferma che la media campionaria Mn converge quasi
sicuramente alla media della distribuzione µ:
P(Mn
µ as n
) = 1.
Come il nome stesso suggerisce, questo risultato è molto più forte di quello presentato
poc'anzi. Ciò può essere provato in maniera piuttosto semplice se si assume che il
momento centrato di ordine 4 è finito:
b4 = E[(X - µ)4] <
.
Esistono comunque dimostrazioni migliori che non necessitano di questa assunzione (vedi
ad esempio il libro Probability and Measure di Patrick Billingsley).
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Media campionaria e legge dei grandi numeri
7. Sia Yi = Xi - µ e sia Wn = Y1 + Y2 + ··· + Yn. Mostra che
1. Y1, Y2, ..., Yn sono indipendenti e identicamente distribuite.
2. E(Yi) = 0.
3. E(Yi2) = d2.
4. E(Yi4) = b4.
5. Mn
µ per n
se e solo se Wn / n
0 as n
Attraverso l'esercizio 7, vogliamo dimostrare che Wn / n
probabilità 1.
.
0 per n
con
8. Mostra che Wn / n non converge a 0 se e solo se esiste un numero razionale r > 0
tale che |Wn / n| > r per infiniti n.
Dobbiamo pertanto mostrare che l'evento descritto nell'esercizio 8 ha probabilità 0.
9. Dimostra che Wn4 è la somma di YiYjYkYl per ogni i, j, k, l appartenenti a {1, 2, ...,
n}.
10. Mostrare che
1. E(YiYjYkYl) = 0 se uno degli indici differisce dagli altri tre.
2. E(Yi2Yj2) = d4 se i e j sono distinti, ed esistono 3n(n - 1) di questi termini E(Wn4).
3. E(Yi4) = b4 ed esistono n di questi termini E(Wn4).
11. Usa i risultati dell'esercizio 10 per dimostrare che E(Sn4)
costante C (indipendente da n).
Cn2 per qualche
12. Usa la disuguaglianza di Markov e il risultato dell'esercizio 11 per dimostrare che,
per r > 0,
P(|Wn / n| > r) = P(Wn4 > r4n4)
C / (r4n2).
13. Usa il primo lemma di Borel-Cantelli per dimostrare che
P(|Wn / n| > r per infiniti n) = 0.
14. Dimostra infine che
P(esite un razionale r > 0 tale che |Wn / n| > r per infiniti n) = 0.
Simulazioni
15. Nell'applet dadi, seleziona la variabile casuale media select the average random
variable. Per ogni possibile distribuzione degli esiti, inizia con n = 1 dadi e incrementa di
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Media campionaria e legge dei grandi numeri
uno fino ad arrivare a n = 20 dadi. Osserva come la distribuzione della media campionaria
aumenta la sua somiglianza con quella di una funzione di densità. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della densità empirica della
media campionaria alla densità teorica.
Molte delle applets di questo progetto simulano esperimenti con un'unica variabile
aleatoria di interesse. Quando si fa una simulazione, si generano replicazioni indipendenti
dell'esperimento. Nella maggior parte dei casi, l'applet riporta la media della distribuzione
numericamente in una tabella e graficamente come centro della barra orizzontale blu sotto
il grafico. Ugualmente, la media campionaria è riportata numericamente nella tabella e
graficamente come centro della barra rossa orizzontale sotto il grafico.
16. Nell'esperimento binomiale della moneta, la variabile casuale è il numero di teste.
Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della media
campionaria al valore atteso della distribuzione.
17. Nell'esperimento della concordanza, la variabile casuale è il numero di successi.
Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della media
campionaria al valore atteso della distribuzione.
18. Replica l'esperimento esponenziale 1000 volte aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza della media campionaria al valore atteso della distribuzione.
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Numero di valori campionari distinti
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10
8. Numero di valori campionari distinti
Variabili semplici
Supponiamo che il nostro esperimento casuale consista nell'estrarre un campione casuale
di dimensione n, con reinserimento, dalla popolazione D = {1, 2, ..., N}:
X = (X1, X2, ..., Xn).
Ricordiamo che l'assunzione di base è che X sia distribuita uniformemente sullo spazio
campionario
S = {1, 2, ..., N}n.
In questo paragrafo ci interessiamo al numero di valori della popolazione assenti dal
campione e al numero di valori (distinti) nel campione. Spesso interpreteremo
l'esperimento come una distribuzione di n palline in N caselle; Xi è il numero della cella
in cui si trova la pallina i. In questo modello, siamo interessati al numero di celle vuote e
di celle occupate.
Per i appartenente a D, sia Yi il numero di volte in cui i si presenta nel campione:
Yi = #{j
{1, 2, ..., n}: Xj = i}.
1. Prova che Y = (Y1, Y2, ..., YN) ha distribuzione multinomiale: per interi nonnegativi
k1, ..., kN con k1 + k2 + ··· + kN = n,
P(Y1 = k1, Y2 = k2, ..., YN = kN) = C(n; k1, k2, ..., kN) / Nn
Definiamo ora la variabile casuale di interesse principale: il numero di valori della
popolazione assenti dal campione:
UN, n = #{j
{1, 2, ..., N}: Yj = 0},
e il numero di valori (distinti) della popolazione che si presentano nel campione:
VN, n = #{j
{1, 2, ..., N}: Yj > 0}.
Chiaramente si deve avere
UN, n + VN, n = N,
così, avendo la distribuzione di probabilità e i momenti di una delle variabili, possiamo
trovarli facilmente per l'altra. Notiamo inoltre che l'evento compleanno, in cui vi è almeno
una duplicazione nel campione, può essere scritto come
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Numero di valori campionari distinti
{VN, n < n} = {UN, n > N - n}.
2. Nell'esperimento del compleanno generalizzato, poni N = 100. Modifica n e osserva
la forma del grafico della densità di V e la sua posizione nel campo di variazione. Con n =
30, simula l'esperimento passo per passo un paio di volte e osserva gli esiti. Poi simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza delle frequenze relative
alla distribuzione "vera".
La funzione di densità
Per j appartenente a D, considera l'evento in cui j non si presenta nel campione:
Aj = {Yj = 0}.
Sia K sottinsieme di D con #(K) = k. Usando la regola del prodotto del calcolo
combinatorio, è semplice contare il numero di campioni che non contengono nessun
elemento di K:
3. Mostra che
#[
j in K
Aj] = (N - k)n.
Ora si può usare la regola di inclusione-esclusione del calcolo combinatorio per contare il
numero di campioni privi di almeno un valore della popolazione:
4. Prova che
#[
j = 1, ..., N
Aj] =
k = 1, ..., N
(-1)k - 1 C(N, k) (N - k)n.
Una volta ottenuto ciò, è semplice contare il numero di campioni che contengono tutti i
valori della popolazione:
5. Prova che
#[
j = 1, ..., N
Ajc] =
k = 1, ..., N
(-1)k C(N, k) (N - k)n.
Ora possiamo usare una procedura a due passi per generare tutti i campioni privi di
esattamente j valori: in primo luogo selezioniamo i j valori da escludere; poi selezioniamo
un campione di dimensione n dai restanti valori della popolazione di modo che non ne sia
escluso nessuno. Possiamo quindi usa il principio del prodotto per contare il numero di
campioni privi dei j valori.
6. Prova che
#{UN,n = j} = C(N, j)
k = 0, ..., N - j
(-1)k C(N - j, k) (N - j - k)n.
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Numero di valori campionari distinti
Infine, poiché la distribuzione di probabilità di X sullo spazio campionario S è uniforme,
possiamo trovare la funzione di densità del numero di valori esclusi:
7. Prova che per j = max{N - n, 0}, ..., N - 1,
P(UN,n = j) = C(N, j)
k = 0, ..., N - j
(-1)k C(N - j, k) [1 - (j + k) / N]n.
Inoltre possiamo ricavare facilmente la funzione di densità del numero di valori distinti
nel campione:
8. Mostra che per j = 1, 2, ..., min{N, n},
P(VN,n = j) = C(N, j)
k = 0, ..., j
(-1)k C(j, k) [(j - k) / N]n.
9. Supponi di scegliere a caso 20 persone. Trova la probabilità che almeno 18
settimane di nascita siano rappresentate.
10. Nell'esperimento del compleanno generalizzato, poni N = 52. Modifica n e osserva
forma e posizione della funzione di densità. Con n = 20, simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza delle frequenze raltive alla funzione di
densità.
11. Supponi di lanciare 10 dadi equilibrati. Trova la probabilità di ottenere 4 o meno
punteggi distinti.
12. Nell'esperimento del compleanno generalizzato, poni N = 6. Modifica n e osserva
forma e posizione della funzione di densità. Con n = 10, simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza delle frequenze raltive alla funzione di
densità.
Relazione ricorsiva
La distribuzione del numero di valori mancanti può essere ricavata anche con una prova
ricorsiva.
13. Sia aN, n(j) = P(UN, n = j) per j = max{N - n, 0}, ..., N - 1. Usa una dimostrazione
probabilistica per provare che
1. aN, 1(N - 1) = 1.
2. aN, n+1(j) = [(N - j) / N]aN, n(j) + [(j + 1) / N]aN, n(j + 1).
14. Supponi di scegliere a caso 20 persone. Trova la probabilità che almeno 3 mesi di
nascita non siano rappresentati.
15. Nell'esperimento del compleanno generalizzato, poni N = 12. Modifica n e osserva
forma e posizione della funzione di densità. Con n = 20, simula 1000 replicazioni
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Numero di valori campionari distinti
aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza delle frequenze raltive alla funzione di
densità.
16. Un fast food distribuisce 10 tipi di pupazzi con il menu per bambini. Una famiglia
acquista 15 menu: trova la probabilità che manchino almeno 3 tipi di pupazzo.
17. Nell'esperimento del compleanno generalizzato, poni N = 10. Modifica n e osserva
forma e posizione della funzione di densità. Con n = 15, simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza delle frequenze raltive alla funzione di
densità.
Momenti
Vediamo ora come calcolare medie e varianze. Il numero di valori mancanti e il numero
di valori distinti sono variabili di conteggio e quindi possono essere scritte come somma
di variabili indicatore. Come abbiamo visto in molti altri modelli, tale rappresentazione è
spesso la migliore per il calcolo dei momenti.
Sia Ij = 1 se Aj si verifica (j non appartiene al campione) e Ij = 0 se Aj non si verifica (j
appartiene al campione).
Notiamo che il numero di valori assenti dal campione può essere scritto come
UN, n = I1 + I2 + ··· + IN.
18. Prova che
1. E(Ij) = (1 - 1 / N)n per j = 1, 2, ..., N.
2. E(Ii Ij) = (1 - 2 / N)n per i, j = 1, 2, ..., N con i
j.
19. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
1. E(UN, n) = N(1 - 1 / N)n.
2. E(VN, n) = N[1 - (1 - 1 / N)n].
20. Usa il risultato dell'esercizio 18 per mostrare che
1. var(Ii) = (1 - 1 / N)n - (1 - 1 / N)2n.
2. cov(Ii, Ij) = (1 - 2 / N)n - (1 - 1 / N)2n se i
j.
19. Usa il risultato dell'esercizio precdente e le proprietà della varianza per mostrare
che
var(UN, n) = var(VN, n) = N(N - 1)(1 - 2 / N)n + N(1 - 1 / N)n - N2(1 - 1 /
N)2n.
20. Supponi di scegliere a caso 100 persone. Trova media e deviazione standard del
numero di compleanni distinti.
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Numero di valori campionari distinti
21. Supponi di scegliere a caso 30 persone. Trova media e deviazione standard del
numero di settimane di nascita distinte.
22. Nell'esperimento del compleanno generalizzato, poni N = 52. Modifica n e osserva
dimensione e posizione della barra media/deviazione standard. Con n = 30, simula 1000
replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza dei momenti empirici ai loro
valori teorici.
23. Supponi di scegliere a caso 20 persone. Trova media e deviazione standard del
numero di mesi di nascita distinti.
24.Nell'esperimento del compleanno generalizzato, poni N = 12. Modifica n e osserva
dimensione e posizione della barra media/deviazione standard. Con n = 20, simula 1000
replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza dei momenti empirici ai loro
valori teorici.
25. Problema degli studenti bugiardi. Supponi che 3 studenti dello stesso corso saltino
un esame di matematica. Decidono inventare una scusa e raccontano al docente che hanno
bucato una gomma della macchina. Il docente separa gli studenti e chiede a ciascuno di
loro quale fosse la gomma bucata. Gli studenti, che non si aspettavano la domanda,
rispondo a caso e indipendentemente l'uno dall'altro.
1. Trova la funzione di densità di probabilità del numero di risposte distinte.
2. In particolare, trova la probabilità che gli studenti riescano a cavarsela.
3. Trova la media del numero di risposte distinte.
4. Trova la deviazione standard del numero di risposte distinte.
26. Problema del cacciatore di anatre. Supponi che ci siano 5 cacciatori di anatre,
ciascuno perfetto tiratore. Passa uno stormo di 10 anatre e ogni cacciatore ne punta una e
spara.
1. Trova la funzione di densità di probabilità del numero di anatre uccise.
2. Trova la media del numero di anatre uccise.
3. Trova la deviazione standard del numero di anatre uccise.
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Varianza campionaria
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9
4. Varianza campionaria
Il campione casuale
Per iniziare, introduciamo un esperimento aleatorio semplice, definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Supponiamo che X sia una variabile casuale a
valori reali, relativa all'esperimento, con valore atteso µ e deviazione standard d. Inoltre,
sia
dk = E[(X - µ)k]
il momento k-esimo intorno alla media. Osserva in particolare che d0 = 1, d1 = 0, d2 = d2.
Ripetiamo indefinitamente l'esperimento semplice per avere un nuovo esperimento
composito costituito da una sequenza di variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita
come X:
X1, X2, ...
Per ogni n, (X1, X2, ..., Xn) è un campione casuale di dimensione n estratto dalla
dsitribuzione di X. Ricorda che la media campionaria
Mn = (1 / n)
i = 1, ..., n
Xi
è una misura naturale del "centro" dei dati, nonché uno stimatore naturale per µ. In questo
paragrafo introdurremo statistiche che costituiscono misure naturali della dispersione dei
dati e stimatore per la varianza d2. Le statistiche di cui parleremo sono differenti a
seconda del fatto che µ sia noto oppure no; per questa ragione µ è detto parametro di
disturbo relativamente al problema della stima di d2.
Uno stimatore per d2 quando µ è noto
Per iniziare, ci occuperemo del caso in cui µ è noto, anche se questa assunzione è
solitamente irrealistica all'atto pratico. In questo caso, la stima è semplice. Sia
Wn2 = (1 / n)
i = 1, ..., n
(Xi - µ)2.
1. Prova che Wn2 è la media campionaria di un campione di dimensione n estratto dalla
distribuzione di (X - µ)2.
2. Usa il risultato dell'esercizio 1 per dimostrare che
1. E[Wn2] = d2.
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Varianza campionaria
2. var[Wn2] = (d4 - d4) / n.
3. Wn2
d2 as n
quasi certamente.
In particolare, 2(a) significa che Wn2 è uno stimatore corretto per d2.
3. Usa le proprietà della covarianza per provare che
cov(Mn, Wn2) = d3 / n.
Ne segue che la media campionaria e la varianza campionaria sono incorrelate se d3 = 0, e
in ogni caso asintoticamente incorrelate.
4. Usa la disuguaglianza di Jensen per mostrare che E(Wn)
d.
Pertanto, Wn è uno stimatore distorto che tende a sottostimare d.
La varianza campionaria
Consideriamo ora il caso, più realistico, in cui µ è ignoto. In questo caso un'idea naturale
potrebbe essere quella di utilizzare una qualche media dei (Xi - Mn)2 per i = 1, 2, ..., n. Si
potrebbe pensare di dividere per n; tuttavia un'altra possibilità è di dividere per una
costante che ci dia uno stimatore corretto per d2.
5. Usa tecniche algebriche di base per dimostrare che
i = 1, ..., n
(Xi - Mn)2 =
i = 1, ..., n (Xi
- µ)2 - n(Mn - µ)2.
6. Usa i risultati dell'esercizio 5 e le proprietà del valore atteso per dimostrare che
E[
i = 1, ..., n
(Xi - Mn)2] = (n - 1)d2.
Segue pertanto dall'esercizio 6 che la variabile casuale
Sn2 = [1 / (n - 1)]
i = 1, ..., n
(Xi - Mn)2
è uno stimatore corretto per d2; tale statistica è detta varianza campionaria. All'atto
pratico, se n è abbastanza grande, fa poca differenza dividere per n piuttosto che per n - 1.
Ritornando all'esercizio 5, osserva che
Sn2 = [n / (n - 1)] Wn2 + [n / (n - 1)](Mn - µ)2 .
7. Usa la legge forte dei grandi numeri per dimostrare che
Sn2
d2 as n
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Varianza campionaria
quasi certamente.
Ora dimostreremo che Sn2 è un multiplo della somma di tutte le differenze al quadrato.
Ciò ci permette di identificare formule per la varianza di Sn2 e per la covarianza tra Mn e
Sn2.
La formula presentata nell'esercizio seguente è spesso più utile, a fini computazionali,
della definizione.
8. Mostra che
Sn2 = [1 / (n - 1)]
2
i = 1, ..., n Xi
- [n / (n - 1)] Mn2.
La serie di esercizi che seguono ci permetteranno di calcolare la varianza di Sn2 .
9. Dimostra che
Sn2 = {1 / [2n(n -1)]}
(i, j)
(Xi - Xj)2.
Suggerimento: Parti dal membro di destra, aggiungi e sottrai Mn nel termine (Xi - Xj)2,
espandi e somma termine a termine.
10. Mostra che, per i e j distinti
E[(Xi - Xj)m] =
k = 0, ..., m
C(m, k) dk dm - k.
Suggerimento: Aggiungi e sottrai µ al termine E[(Xi - Xj)m], e usa il teorema binomiale e
l'indipendenza.
11. Mostra che var(Sn2) = (1 / n)[d4 - (n - 3)d4 / (n - 1)] utilizzando i seguenti passi:
1. Usa gli esercizi 8 e 9, e il fatto che la somma e la somma di tutte le covarianze
prese a coppia.
2. Mostra che cov[(Xi - Xj)2, (Xk - Xl)2] = 0 se i = j o k = l o i, j, k, l sono distinti.
3. Prova che cov[(Xi - Xj)2, (Xi - Xj)2] = 2d4 + 2d4 se i e j sono distinti ed esistono
2n(n - 1) termini analoghi nella somma delle covarianze in (a).
4. Mostra che cov[(Xi - Xj)2, (Xk - Xj)2] = d4 - d4 se i, j, k sono distinti ed esistono
4n(n - 1)(n - 2) termini analoghi nella somma delle covarianze in (a).
12. Prova che var(Sn2) > var(Wn2). Ti sembra intuitivo?
13. Dimostra che var(Sn2) tende a 0 per n che tende a infinito.
14. Usa una tecnica simile a quella proposta nell'esercizio 11 per dimostrare che
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Varianza campionaria
cov(Mn, Sn2) = d3 / n.
Nota in particolare che cov(Mn, Sn2) = cov(Mn, Wn2). Di nuovo, media e varianza
campionaria sono incorrelate se µ3 = 0, e asintoticamente incorrelate altrimenti.
La radice quadrata della varianza campionaria è la deviazione standard campionaria,
indicata con Sn.
15. Usa la disuguaglianza di Jensen per dimostare che E(Sn)
d.
Quindi Sn è uno stimatore distorto che tende a sottostimare d.
Simulazioni
Molte delle applets contenute in questo progetto sono simulazioni di esperimenti con una
variabile casuale semplice. Quando lanci una simulazione, generi delle replicazioni
indipendenti dell'esperimento. Nella maggior parte dei casi, l'applet mostra la deviazione
standard d della distribuzione sia numericamente in una tabella che graficamente, come
lunghezza della barra orizzontale blu sotto il grafico. Quando fai una simulazione, la
deviazione standard campionaria Sn è visualizzata numericamente nella tabella e
graficamente come lunghezza della barra orizzontale rossa sotto il grafico.
16. Nell'esperimento binomiale della moneta, la variabile casuale è il numero di teste.
Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della deviazione
standard campionaria a quella della distribuzione.
17. Nel matching experiment, la varibile casuale è il numero di successi. Simula 1000
replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della deviazione standard
campionaria a quella della distribuzione.
18. Simula 1000 replicazioni dell'esperimento esponenziale aggiornando ogni 10.
Osserva la convergenza della deviazione standard campionaria a quella della
distribuzione.
Analisi esplorativa dei dati
La media e la deviazione standard campionaria si usano spesso nell'analisi esplorativa dei
dati come misure rispettivamente del centro e della dispersione dei dati.
19. Calcola media e deviazione standard sui dati di Michelson relativi alla velocità
della luce.
20. Calcola media e deviazione standard sui dati di Cavendish relativi alla densità della
terra.
21. Calcola media e deviazione standard del peso sui dati M&M.
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Varianza campionaria
22. Calcola media e deviazione standard della lunghezza dei petali sui dati di Fisher
relativi agli iris nei casi seguenti e confronta i risultati.
1.
2.
3.
4.
Tutte le varietà
Solo la setosa
Solo la versicolor
Solo la verginica
Supponiamo di avere, invece dei dati originari, una distribuzione di frequenza di classi
A1, A2, ..., Ak, con valori centrali di classe x1, x2, ..., xk, e frequenze n1, n2, ..., nk. Allora
nj = #{i
{1, 2, ..., n}: Xi
Aj}.
In questo caso i valori approssimati di media e varianza sono
●
M=
j = 1, ..., k nj xj.
●
S2 =
j = 1, ..., k nj
( xj - M)2.
Queste approssimazioni sono basate sull'ipotesi che i valori centrali di classe
rappresentino fedelmente i dati presenti in ogni classe.
23. Nell' istogramma interattivo, seleziona media e deviazione standard. Poni
l'ampiezza di classe a 0.1 e costruisci una distribuzione di frequenza con almeno 6 classi
non vuote e almeno 10 valori. Calcola manualmente media, varianza e deviazione
standarde verifica i risultati con quelli riportati dall'applet.
24. Nell' istogramma interattivo, seleziona media e deviazione standard. Poni
l'ampiezza di classe a 0.1 e costruisci una distribuzione di frequenza con almeno 30 valori
di ciascuno dei tipi indicati sotto. Incrementa l'ampiezza di classe e osserva la posizione e
la dimensione della barra media/deviazione standard.
1. Distribuzione uniforme.
2. Distribuzione simmetrica unimodale.
3. Distribuzione unimodale asimmetrica a destra.
4. Distribuzione unimodale asimmetrica a sinistra.
5. Distribuzione simmetrica bimodale.
6. Distribuzione a forma di u.
25. Nell' istogramma interattivo, costruisci una distribuzione con la più alta deviazione
standard possibile.
26. Basandoti sulla risposta all'esercizio 25, definisci le distribuzioni (su un intervallo
[a, b] dato) con la deviazione standard più alta possibile.
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Varianza campionaria
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Il problema della concordanza
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6. Il problema della concordanza
Il problema della concordanza è un esperimento casuale che può essere formulato in molti
modi coloriti:
● Supponiamo che n coppie sposate siano a una festa e che uomini e donne si
scelgano a caso per un ballo. La concordanza si ha se una coppia sposata balla
insieme.
● Una segretaria distratta prepara n lettere e buste per spedirle a n persone diverse,
ma poi mette le lettere a caso nelle buste. Una concordanza si ha se la lettera viene
inserita nella busta corretta.
● n persone che portano il cappello hanno bevuto troppo a una festa. Quando escono,
ciascuno prende un cappello a caso. Si ha concordanza se una persona prende il
proprio cappello.
Tali esperimenti sono ovviamente equivalenti dal punto di vista formale, e corrispondono
ad estrarre l'intera popolazione, senza reinserimento, dalla popolazione D = {1, 2, ..., n}.
Quindi la variabile esito
X = (X1, X2, ..., Xn)
è distribuita uniformemente sullo spazio campionario di permutazioni di D. Il numero di
unità n è il parametro dell'esperimento.
Concordanze
Diremo che si ha una concordanza alla posizione i se Xi = i. Quindi il numero di
concordanze è la variabile casuale Nn definita formalmente come
Nn = I1 + I2 + ··· + In dove Ij = 1 se Xj = j e Ij = 0 altrimenti.
Per trovare la funzione di densità discreta del numero di concordanze, dobbiamo contare il
numero di permutazioni con un numero specificato di concordanze. Ciò è facile una volta
contato il numero di permutazioni senza concordanze che si dicono discordanze di {1, 2,
..., n}. Indicheremo il numero di permutazioni che presentano esattamente k concordanze
con
bn(k) = #{Nn = k} for k in {0, 1, ..., n}.
Discordanze
1. Usa le proprietà della misura di conteggio per mostrare che
bn(0) = n! - #{Xi = i per qualche i}.
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Il problema della concordanza
2. Usa la formula di inclusione-esclusione del calcolo combinatorio per mostrare che
bn(0) = n! dove nj =
j = 1, ..., n
{J: #(J) = j}
(-1)j nj.
#{Xi = i per i
J}.
3. Prova che se #(J) = j allora
#{Xi = i per i appartenente a J} = (n - j)!.
4. Usa i risultati degli esercizi 2 e 3 per mostrare che
bn(0) = n!
j = 0, ..., n
(-1)j / j!.
5. Calcola il numero di discordanze di 10 unità.
Permutazioni con k concordanze
6. Mostra che la seguente procedura a due passo genera tutte le permutazioni con
esattamente k concordanze.
1. Seleziona i k interi che concordano.
2. Seleziona una permutazione dei restanti n - k interi che non concordano.
7. Prova che il numero di modi di eseguire i passi dell'esercizio 6 sono,
rispettivamente,
1. C(n, k)
2. bn - k(0)
8. Usa la regola del prodotto del calcolo combinatorio per mostrare che
bn(k) = (n! / k!)
j = 0, ..., n - k
(-1)j / j!.
9. Con n = 5, calcola il numero di permutazioni con k concordanze, per k = 0, ..., 5.
La funzione di densità
10. Usa il risultato dell'esercizio 8 per mostrare che la funzione di densità di Nn è
P(Nn = k) = (1 / k!)
j = 0, ..., n - k
(-1)j / j! per k = 0, 1, ..., n.
11. Nell'esperimento della concordanza, inizia con n = 2 e clicca ripetutamente sulla
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Il problema della concordanza
barra a scorrimento per incrementare n, osservando come cambia il grafico della funzione
di densità. Con n = 10, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza della densità empirica a quella teorica.
12. Calcola esplicitamente la funzione di densità di N5.
13. Mostra che P(Nn = n - 1) = 0. Dai una dimostrazione probabilistica mostrando che
l'evento è impossibile e una dimostrazione algebrica utilizzando la funzione di densità
dell'esercizio 8.
L'approssimazione di Poisson
14. Prova che
P(Nn = k)
e-1 / k! as n
.
Come funzione di k, il membro di destra dell'espressione dell'esercizio 1 è la funzione di
densità di Poisson con parametro 1. Pertanto, la distribuzione del numero di concordanze
converge alla distribuzione di Poisson con parametro 1 al crescere di n. La convergenza è
molto rapida: la distribuzione del numero di concordanze con n = 10 è più o meno la
stessa del caso in cui n = 1000000!
15. Nell'esperimento della concordanza, poni n = 10. Simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Confronta le frequenze relative, le probabilità vere e le
probabilità-limite di Poisson per il numero di concordanze.
Momenti
Media e varianza del numero di concordanze possono essere ricavate direttamente dalla
distribuzioni. Tuttavia, è molto più comoda la rappresentazione in termini di variabili
indicatore. La proprietà di scambiabilità è molto importante in questo contesto.
16. Mostra che E(Ij) = 1 / n per ogni j.
17. Prova che E(Nn) = 1. Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio 1 e le proprietà
del valore atteso.
Segue quindi che il numero atteso di concordanze è 1, indipendentemente dalla
dimensione della permutazione n.
18. Nell'esperimento della concordanza, inizia con n = 2 e clicca ripetutamente sulla
barra a scorrimento per incrementare n, osservando come la media non cambi. Con n =
10, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della media
campionaria alla media della distribuzione.
19. Prova che var(Ij) = (n - 1) / n2 per ogni j.
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Il problema della concordanza
Una concordanza in una posizione dovrebbe rendere più probabili una concordanza in
un'altra. Possiamo quindi immaginare che le variabili indicatore siano positivamente
correlate.
20. Prova che se j e k sono distinti allora
1. cov(Ij, Ik) = 1 / [n2(n - 1)].
2. cor(Ij, Ik) = 1 / (n - 1)2.
Dall'esercizio 20, per n = 2, l'evento in cui c'è una concordanza alla posizione 1 è
perfettamente correlato con la concordanza alla posizione 2. Ti sembra ragionevole?
21. Mostra che var(Nn) = 1. Suggerimento: Usa gli esercizi 4 e 5 e la proprietà della
covarianza.
Segue che la varianza del numero di concordanze è 1, indipendentemente dalla
dimensione della permutazione n.
22. Per n = 5, calcola la covarianza e la correlazione tra una concordanza alla
posizione j e una alla posizione k, dove j e k sono distinti.
23. Nell'esperimento della concordanza, inizia con n = 2 e clicca ripetutamente sulla
barra a scorrimento per incrementare n, osservando come la deviazione standard non
cambi. Con n = 10, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza della deviazione standard campionaria alla deviazione standard della
distribuzione.
24. Mostra che, per j e k distinti,
cov(Ij, Ik)
0 per n
.
Segue che l'evento concordanza alla posizione j è praticamente indipendente dalla
concordanza alla posizione k se n è grande. Per n sufficientemente grande, le variabili
indicatore si comportano quasi come n prove Bernoulliane con probabilità di successo 1 /
n. Ciò dà ulteriori indizi sulla convergenza della distribuzione del numero di concordanze
alla distribuzione di Poisson al crescere di n. Nota inoltre che la distribuzione limite di
Poisson ha media 1 e varianza 1.
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Covarianza e correlazione campionaria
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9. Covarianza e correlazione campionaria
Il modello bivariato
Introduciamo, come al solito, un esperimento casuale semplice definito su un certo spazio
campionario e con una certa misura di probabilità. Supponiamo che X e Y siano variabili
casuali a valori reali relative all'esperimento. Indicheremo medie, varianze, e covarianze
come segue:
● µX = E(X)
●
µY = E(Y)
●
dX2 = var(X)
●
dY2 = var(Y)
●
dX,Y = cov(X, Y).
Ricordiamo infine che la correlazione vale pX,Y = cor(X, Y) = dX,Y / (dX dY).
Supponiamo ora di ripetere l'esperimento n volte per ottenere n vettori aleatori indipendenti,
ciscuno distribuito come (X, Y). Ciò significa estrarre un campione casuale di dimensione n
dalla distribuzione
(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn).
Come sopra, utilizzeremo l'indice inferiore per distinguere media campionaria e varianza
campionaria delle variabili X e Y. Ovviamente queste statistiche dipendono dalla dimensione
del campione n, ma per semplicità non terremo conto di questa dipendenza nella notazione.
In questo paragrafo definiremo e studieremo statistiche che costituiscono stimatori naturali
della covarianza e della correlazione della distribuzione. Queste statistiche misurano la
relazione lineare che intercorre tra i punti del campione nel piano. Al solito, le definizioni
dipenderanno da quali parametri sono noti e quali no.
Uno stimatore della covarianza con µX e µY noti
Immaginiamo in primo luogo che le medie µX e µY siano note. Questa assunzione è di solito
poco realistica, ma è un buon punto di partenza, poiché il risultato è molto semplice e utile
per quanto seguirà. In questo caso, uno stimatore naturale per dX,Y è
WX,Y = (1 / n)
i = 1, ..., n
(Xi - µX)(Yi - µY).
1. Prova che WX,Y è la media campionaria di un campione di dimensione n estratto dalla
distribuzione di (X - µX)(Y - µY).
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Covarianza e correlazione campionaria
2. Usa il risultato dell'esercizio 1 per mostrare che
1. E(WX,Y) = dX,Y.
2. WX,Y
dX,Y per n
quasi certamente.
In particolare, WX,Y è uno stimatore corretto per dX,Y.
La covarianza campionaria
Consideriamo ora il caso più realistico in cui le medie µX e µY sono ignote. In questo caso un
approccio naturale è fare la media dei
(Xi - MX)(Yi - MY)
per i = 1, 2, ..., n. Piuttosto che dividere per n, però, dovremo dividere per una costante che
restituisca uno stimatore corretto per dX,Y.
3. Interpreta geometricamente il segno degli (Xi - MX)(Yi - MY), in termini della
dispersione di punti e del suo centro.
4. Dimostra che cov(MX, MY) = dX,Y / n.
5. Prova che
i = 1, ..., n
(Xi - MX)(Yi - MY) = n [WX,Y - (MX - µX)(M2 - µY)].
6. Usa il risultato dell'esercizio 5 e le proprietà del valore atteso per dimostrare che
E[
i = 1, ..., n
(Xi - MX)(Yi - MY)] = (n - 1)dX,Y.
Pertanto, per avere uno stimatore corretto di dX,Y, dobbiamo definire la covarianza
campionaria come
SX,Y = [1 / (n - 1)]
i = 1, ..., n
(Xi - MX)(Yi - MY).
Analogamente a quanto avviene per la varianza campionaria, se n è grande non fa molta
differenza dividere per n piuttosto che per n - 1.
Proprietà
La formula presentata nel prossimo esercizio è spesso più utile di quella generale ai fini
computazionali.
7. Prova che
SX,Y = [1 / (n - 1)]
i = 1, ..., n
XiYi - [n / (n - 1)]MXMY.
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Covarianza e correlazione campionaria
8. Usa il risultato dell'esercizio 5 e la legge forte dei grandi numeri per dimostrare che
SX,Y
dX,Y as n
quasi certamente.
Le proprietà che saranno introdotte negli esercizi seguenti sono analoghe a quelle relative
alla covarianza della distribuzione.
9. Prova che SX,X = SX2.
10. Mostra che SX,Y = SY,X.
11. Dimostra che, se a è costante, allora SaX, Y = a SX,Y.
12. Supponi di avere un campione casuale di dimensione n estratto dalla distribuzione di
(X, Y, Z). Prova che
SX,Y + Z = SX,Y + SX,Z.
La correlazione campionaria
Analogamente alla correlazione della distribuzione, la correlazione campionaria si ottiene
dividendo la covarianza campionaria per il prodotto delle deviazioni standard campionarie:
RX,Y = SX,Y / (SXSY).
13. Usa la legge forte dei grandi numeri per dimostrare che
RX,Y
pX,Y as n
quasi certamente 1.
14. Clicca sull'applet diseprsione interattiva per definire 20 punti e cerca di avvicinarti il
più possibile alle seguenti condizioni: media campionaria 0, deviazione standard
campionaria 1, correlazione campionaria: 0, 0.5, -0.5, 0.7, -0.7, 0.9, -0.9.
15. Clicca sull'applet dispersione interattiva per definire 20 punti e cerca di avvicinarti il
più possibile alle seguenti condizioni: media campionaria di X 1, media campionaria di Y 3,
deviazione standard campionaria di X 2, deviazione standard campionaria di Y 1,
correlazione campionaria: 0, 0.5, -0.5, 0.7, -0.7, 0.9, -0.9.
Il miglior predittore lineare
Ricorda che nella sezione su correlazione e regressione (relative alla distribuzione), abbiamo
dimostrato che il miglior predittore lineare di Y dato X, ovvero la previsione che minimizza
l'errore quadratico medio è
aX + b dove a = dX,Y / dX2 e b = µY - a µX .
Inoltre, il valore (minimo) dell'errore quadratico medio, con questi valori di a e b, è
E{[Y - (aX + b)]2} = dY2 (1 - pX,Y2).
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Covarianza e correlazione campionaria
Ovviamente, all'atto pratico, è improbabile conoscere i parametri della distribuzione
necessari per trovare a e b. Siamo pertanto interessati al problema della stima del miglior
predittore lineare di Y dato X sulla base dei dati del campione.
(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn).
Un approccio naturale è trovare la retta
y = Ax + B
che si adatta meglio ai punti della dispersione. Questo è un problema fondamentale in molti
rami della matematica e non solo in statistica. Il termine migliore sta a significare che
vogliamo trovare la retta (ovvero, trovare A e B) che minimizza la media degli errori
quadratici tra i valori reali e quelli previsti per y:
MSE = [1 / (n - 1)]
i = 1, ..., n[Yi
- (AXi + B)]2.
Trovare A e B che minimizzano MSE è un problema comune in analisi.
16. Prova che MSE è minimo per
1. A = SX,Y / SX2.
2. B = MY - AMX.
17. Prova che il valore minimo di MSE, per A e B dati nell'esercizio 16, è
MSE = SY2[1 - RX,Y2].
18. Usa il risultato dell'esercizio 17 per mostrare che
a. RX,Y [-1, 1].
2. RX,Y = -1 se e solo se i punti della dispersione giacciono su una retta con pendenza
negativa.
3. RX,Y = 1 se e solo se i punti della dispersione giacciono su una retta con pendenza
positiva.
Pertanto, la correlazione campionaria misura il grado di linearità dei punti della dispersione. I
risultati dell'esercizio 18 possono essere ottenuti anche osservando che la correlazione
campionaria è semplicemente la correlazione della distribuzione empirica. Ovviamente, le
proprietà (a), (b) e (c) sono note per la correlazione della distribuzione.
Il fatto che i risultati degli esercizio 17 e 18 siano gli stessi di quelli ottenuti in precedenza
relativamente alla distribuzione è importante e rassicurante. La retta y = Ax + B, dove A e B
sono quelli indicati nell'esercizio 17, è detta retta di regressione (campionaria) per Y dato X.
Nota dal 17 (b) che la retta di regressione passa per (MX , MY ), ovvero il centro della
distribuzione empirica. Naturalmente, A e B possono essere interpretati come stimatori
rispettivamente a e b.
19. Usa la legge dei grandi numeri per dimostrare che A converge quasi certamente ad a e
B a b per n che tende a infinito.
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Covarianza e correlazione campionaria
Esattamente come nel caso delle rette di regressione relative alla distribuzione, la selezione
del predittore e delle variabili di risposta è importantissima.
20. Dimostra che la retta di regressione del campione di Y da X e quella di X da Y non
coincidono, a parte il caso in cui i punti giacciano tutti su una linea.
Ricorda che la costante B che minimizza
MSE = [1 / (n - 1)]
i = 1, ..., n
(Yi - B)2.
è la media campionaria MY, e il valore minimo di MSE è la varianza campionaria SY2.
Pertanto, la differenza tra questo valore dell'errore quadratico medio e quello riportato
nell'esercizio 17, cioè
SY2 RX,Y2,
è la riduzione di variabilità delle Y quando il termine lineare in X viene aggiunto al
predittore. La riduzione, in termini frazionari, è RX,Y2, e pertanto questa statistica è detta
coefficiente di determinazione (campionario).
Simulazione
21. Clicca sull'applet dispersione interattiva in vari punti e osserva come la retta di
regressione varia.
22. Clicca sull'applet dispersione interattiva e definisci 20 punti. Cerca di fare in modo
che la media delle x sia 0 e la deviazione standard 1, e che la retta di regressione abbia
1. pendenza 1, intercetta 1
2. pendenza 3, intercetta 0
3. pendenza -2, intercetta 1
23. Clicca sull'applet dispersione interattiva e definisci 20 punti con le seguenti proprietà:
media delle x 1, media delle y 1, retta di regressione con pendenza 1 e intercetta 2.
Se l'esercizio 23 ti ha creato problemi, è perché le condizioni sono impossibili da soddisfare!
24. Esegui l'esperimento bivariato uniforme 2000 volte, aggiornando ogni 10, in ciascuno
dei casi seguenti. Osserva la convergenza delle medie campionarie, delle deviazioni standard
campionarie, della correlazione campionaria e della retta di regressione campionaria alle loro
controparti teoriche.
1. Distribuzione uniforme su un quadrato
2. Distribuzione uniforme su un triangolo
3. Distribuzione uniforme su un cerchio
25. Esegui l'esperimento bivariato uniforme 2000 volte, aggiornando ogni 10, in ciascuno
dei casi seguenti. Osserva la convergenza delle medie campionarie, delle deviazioni standard
campionarie, della correlazione campionaria e della retta di regressione campionaria alle loro
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Covarianza e correlazione campionaria
controparti teoriche.
1. sd(X) = 1, sd(Y) = 2, cor(X, Y) = 0.5
2. sd(X) = 1.5, sd(Y) = 0.5, cor(X, Y) = -0.7
Esercizi numerici
26. Calcola la correlazione tra lunghezza e larghezza dei petali nei seguenti casi sui dati di
Fisher sugli iris. Commenta le differenze.
1.
2.
3.
4.
Tutte le varietà
Solo la Setosa
Solo la Verginica
Solo la Versicolor
27. Calcola la correlazione tra ciascuna coppia di colori sui dati M&M.
28. Utilizzando tutte le varietà sui dati di Fisher inerenti gli iris,
1. Calcola la retta di regressione con la lunghezza del petalo come variabile indipendente
e larghezza come variabile dipendente.
2. Disegna la dispersione dei punti e la retta di regressione.
3. Trova il valore previsto per la larghezza di un petalo di lunghezza 40
29. Usando solo i dati della varietà Setosa nei dati di Fisher inerenti gli iris,
1. Calcola la retta di regressione con la lunghezza del sepalo come variabile indipendente
e larghezza come variabile dipendente.
2. Disegna la dispersione dei punti e la retta di regressione.
3. Trova il valore previsto per la larghezza di un sepalo di lunghezza 45
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La distribuzione lognormale
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14. La distribuzione lognormale
Una variabile casuale X ha distribuzione lognormale, con parametri µ e d, se ln(X) ha
distribuzione normale con media µ e deviazione standard d. Equivalentemente
X = exp(Y)
dove Y è distribuita normalmente con media µ e deviazione standard d. Ricorda che il
parametro µ può essere un qualsiasi reale, mentre d dev'essere positivo. La distribuzione
lognormale si utilizza per modellare quantità aleatorie continue che si ritengono avere
distribuzione asimmetrica, ad esempio certi tipi di reddito o la speranza di vita.
Distribuzione
1. Usa il teorema del cambiamento di variabile per dimostrare che la funzione di
densità lognormale con parametri µ e d, è data da
f(x) = exp{-[ln(x) - µ]2 / (2d2)] / [x (2 )1/2 d] for x > 0.
2. Dimostrare che la distribuzione lognormale è unimodale e asimmetrica a destra.
Mostrare in particolare che
1. f(x) è cerscente per 0 < x < exp(µ - d2) e decrescente per x > exp(µ - d2).
2. La moda è exp(µ - d2).
3. f(x)
4. f(x)
0 per x
0 per x
.
0+.
3. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione lognormale. Modifica i
parametri e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Ponendo µ = 0 e d =
1, simula 1000 replicaziuni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della densità
empirica a quella teorica.
Sia G la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata. Ricorda che i
valori di G sono tabulati e possono essere ottenuti dall'axplet quantile. Gli esercizi
seguenti mostrano come calcolare la funzione di ripartizione e i quantili utilibzando la
funrione di riaprtizione e i quantili della normale standardizzata.
4. Mostra che la funzione di ripartizione F della distribuzione lognormale è data da
F(x) = G{[-µ + ln(x)] / d} per x > 0.
5. Prova che la funzione quantile è data da
F-1(p) = exp[µ + d G-1(p)] per 0 < p < 1.
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La distribuzione lognormale
6. Supponi che il reddito (in migliaia di euro) X di un individuo preso a caso da una
certa popolazione abbia distribuziore lognormale con parametri µ = 2 e d = 1. Trova P(X
> 20).
7. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione lognormale. Modifica i parametri e
osserva la forma e la posizione delle funzioni di densità e di ripartizione. Ponendo µ = 0
and d = 1, trova la mediana e il primo e il terzo quartile.
Momenti
I momenti della distribuzione lognormale possono essere calcolati sulla base della
funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale.
8. Si supponga X abbia distribuzione lognormale con parametri µ e d.
Mostrare che
E(Xn) = exp(nµ + n3d2 / 2).
9. Si mostri che media e varianza di X valgono
1. E(X) = exp(µ + d2 / 2).
2. var(X) = exp[2(µ + d2)] - exp(2µ + d2).
Anche se la distribuzione lognormale ha momenti finiti di qualsiasi ordine, la funzione
generatrice dei momenti è infinita per ogni numero positivo. Questa proprietà è una delre
ragioni della notorietà della distribuzione lognormale.
10. Prova che E[exp(tX)] =
per ogni t > 0.
11. Supponi che il reddito (in migliaia di euro) X di un individuo preso a caso da una
certa popolazione abbia distribuzione lognormale con parametri µ = 2 e d = 1. Trova
1. E(X)
2. sd(X)
12. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione lognormale. Modifica i
parametri e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard.
Ponendo µ = 0 e d = 1, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
Trasformazioni
Le trasformazioni più rilevanti sono quelle già presentate nella definizione di questa
distribuzione: se X ha distribuzione lognormale, allora ln(X) ha distribuzione normale; di
converso, se Y ha distribuzione normale, allora exp(Y) ha distribuzione lognormale.
13. Dato un certo d, mostra che la distribuzione lognormale con parametri µ e d è una
famiglia di scala con parametro di scala exp(µ).
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La distribuzione lognormale
14. Prova che la distribuzione lognormale è una famiglia esponenziale a due parametri
con parametri naturali e statische naturali dati da
1. -1/(2d2), µ / d2.
2. ln2(x), ln(x)
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Principi fondamentali
Laboratorio virtuale > Calcolo combinatorio > [1] 2 3 4 5
1. Principi fondamentali
Distribuzioni uniformi discrete
Se una variabile casuale X di un esperimento è distribuita uniformemente su un
sottinsieme finito S, allora la distribuzione di probabilità di X è proporzionale alla misura
di conteggio:
P(X
A) = #(A) / #(S) per A
S.
Variabili casuali di questo tipo si presentano di frequente in diversi tipi di esperimento, in
particolare quelli che possono essere interpretati come campionamento da un insieme
finito. L'insieme S è di solito molto grande, sono quindi essenziali metodi di conteggio
efficienti. Il primo problema combinatorio è attribuito al matematico greco Xenocrate.
Corrispondenza biunivoca
In molti casi, un insieme di oggetti può essere contato stabilendo una corrispondenza
biunivoca tra l'insieme dato e un altro insieme. Ovviamente, i due insiemi hanno lo stesso
numero di elementi, ma per qualche ragione il secondo può essere più semplice da
contare.
La regola additiva
La regola additiva del calcolo combinatorio è semplicemente l'assioma di additività della
misura di conteggio. Se A1, A2, ..., An sono sottinsiemi disgiunti di un insieme finito S
allora
#(A1
A2
···
An) = #(A1) + #(A2) + ··· + #(An)
Ricorda inoltre che le regole della probabilità hanno i loro analoghi per la misura di
conteggio. Le più importanti sono riportate nei seguenti esercizi:
1. Prova che #(Ac) = #(S) - #(A)
2. Prova che #(B
Ac) = #(B) - #(A
3. Prova che se A
B allora #(B
B).
Ac) = #(B) - #(A).
La formula di inclusione-esclusione
4. Prova che #(A
B) = #(A) + #(B) - #(A
B).
5. Prova che
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Principi fondamentali
#(A
B
C).
C) = #(A) + #(B) + #(C) - #(A
B) - #(A
C) - #(B
C) + #(A
B
Gli esercizi 11 e 12 possono essere generalizzati all'unione di n eventi Ai, i = 1, 2, ...n; la
generalizzazione è detta formula di inclusione-esclusione. Per semplificare la notazione,
sia N l'insieme di indici: I = {1, 2, ..., n} e definiamo
nJ = # [
mk =
j in J
Aj] for J
{J: #(J) = k} nJ
6. Prova che # [
N,
per k
N.
i = 1, ..., n
Ai] =
k = 1, ..., n
(-1)k - 1 mk.
Le disuguaglianze di Bonferroni affermano che se la sommatoria al termine di destra è
troncata dopo k termini (k < n), allora la sommatoria troncata è un limite superiore per la
cardinalità dell'unione se k è dispari (cosicché l'ultimo termine ha segno positivo) e
inferiore per la cardinalità dell'unione se k è pari (cosicché l'ultimo ha segno negativo).
La regola del prodotto
La regola del prodotto del calcolo combinatorio è basata sulla formulazione di una
procedura (o algoritmo) che genera gli oggetti che vengono contati. Specificamente,
supponiamo che la procedura consista di k passi, eseguiti in sequenza, e che per ogni
passo j possa essere eseguito in nj modi, indipendentemente dalle scelte fatte ai passi
precedenti. Allora, il numero di modi in cui si può eseguire l'intero algoritmo (e quindi il
numero di oggetti) è
n1 n2 ··· nk.
Il modo per applicare correttamente la regola del prodotto a un problema di conteggio è
formulare in maniera precisa un algoritmo che genera gli oggetti che si devono contare,
cosicché ogni oggetto sia generato una e una sola volta.
I primi due esercizi qui sotto riportano formulazioni equivalenti del principio del prodotto.
7. Supponi che S sia un insieme di successioni di lunghezza k, e che si indichino gli
elementi di S con
(x1, x2, ..., xk)
Supponi che, per ogni j, xj abbia nj differenti valori, indipendentemente dai valori delle
coordinate precedenti. Prova che la cardinalità di A è
n1 n2 ··· nk.
8. Supponi che T sia un albero ordinato con profondità k e che ogni vertice di livello i -
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Principi fondamentali
1 abbia ni figli per i = 1, 2, ..., k. Prova che il numero di vertici a livello k è
n1 n2 ··· nk.
9. Un numero identificativo è formato da due lettere (maiuscole) seguite da cinque
numeri (0-9).
1. Quanti diversi numeri identificativi esistono?
2. Se si sceglie a caso un numero identificativo, trova la probabilità che i numeri siano
tutti minori di 5.
10. Supponi che un PIN (Personal Identification Number) sia una parola formata da
quattro simboli in cui ciascun simbolo può essere un numero o una lettera (maiuscola).
1. Quanti PIN esistono?
2. Se si sceglie a caso un PIN, trova la probabilità che tutti i simboli siano lettere.
11. Nel gioco da tavola Cluedo, il signor Boddy è stato assassinato. Ci sono sei
sospettati, sei possibili rami del delitto e nove possibili stanze del delitto.
1. Il gioco include una carta per ogni sospettato, arma e stanza. Quante carte ci sono?
2. L'esito del gioco è una sequenza formata da un sospettato, un'arma e una stanza
(per esempio, il Colonello Mustard col coltello nella stanza del biliardo). Quanti
esiti ci sono?
3. Una volta che le tre carte che costituiscono la soluzione sono state estratte, le carte
restanti sono distribuite tra i giocatori. Supponi di ricevere 5 carte: quale mano è la
migliore al fine di trovare la soluzione?
Insiemi prodotto
12. Supponi che Si sia un insieme con ni elementi per i = 1, 2, ..., k. Prova che
#(S1 × S2 × ··· × Sn ) = n1 n2 ··· nk.
In particolare, se Si è lo spazio campionario dell'esperimento Ei, allora questo prodotto dà
il numero di esiti dell'esperimento composto consistente nell'eseguire E1, ..., Ek in
sequenza.
13. Un esperimento consiste nel lanciare un dado bilanciato, estrarre una carta da un
mazzo standard e lanciare una moneta equilibrata.
1. Quanti esiti ci sono?
2. Trova la probabilità che il punteggio del dado sia pari, la carta sia di cuori e la
moneta sia testa.
14. Mostra che, se S è un insieme di m elementi, allora Sn ha mn elementi.
In particolare, se un esperimento semplice ha m esiti, allora l'esperimento composto che
consiste di n replicazioni dell'esperimento semplice ha mn esiti.
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Principi fondamentali
15. Si lancia 5 volte un dado bilanciato e si registra la sequenza di punteggi.
1. Quanti esiti ci sono?
2. Trova la probabilità che il primo e l'ultimo lancio siano 6.
16. Prova che il numero di campioni ordinati di dimensione n che può essere estratto
con reinserimento da una popolazione di m unità è mn.
17. Supponi che 10 persone siano selezionate a caso e se ne registrino i compleanni.
1. Quanti esiti ci sono?
2. Trova la probabilità che tutte e 10 le persone siano nate di maggio.
18. Mostra che il numero di funzioni da un insieme A di n elementi in un insieme B di
m elementi è mn.
Gli elementi di {0,1}n si dicono a volte stringhe di bit di lunghezza n. L'esito
dell'esperimento formato da n prove Bernoulliane è una stringa di bit di lunghezza n.
19. Prova che il numero di stringhe di bit di lunghezza n è 2n.
20. Si lancia 10 volte una moneta bilanciata.
1. Quanti esiti ci sono?
2. Trova la probabilità che i primi tre lanci diano testa.
21. Una ghirlanda di luci ha 20 lampadine, ciascuna delle quali può essere guasta o
funzionante. Quante possibili configurazioni ci sono?
22. L'esperimento dado-moneta consiste nel lanciare un dado e poi lanciare una
moneta il numero di volte indicato dal dado. Si registra la sequenza di risultati delle
monete.
1. Quanti esiti ci sono?
2. Trova la probabilità che tutte le monete risultino testa.
23. Replica l'esperimento dado-moneta 1000 volte, aggiornando ogni 10. Confronta la
probabilità empirica che tutte le monete siano testa con la probabilità vera trovata
nell'esercizio precedente.
La tavola di Galton
La tavola di Galton, che prende nome da Francis Galton, è una matrice triangolare di
chiodi (Galton la chiamò quincunx). Le righe sono numerate, da cima a fondo, con 0, 1,
.... La riga k ha k + 1 chiodi etichettati, da sinistra a destra, con 0, 1, ..., i. Pertanto, un
chiodo può essere identificato unicamente da una coppia ordinata (i, j) dove i è il numero
di riga j è il numero del chiodo della riga.
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Principi fondamentali
Si lascia cadere una pallina sul chiodo iniziale (0, 0) della tavola di Galton. In generale,
quando la pallina colpisce il chiodo (i, j), può finire a sinistra, sul chiodo (i + 1, j) o a
destra, sul chiodo (i + 1, j + 1). La sequenza di chiodi che la pallina colpisce è detta
sentiero.
24. Mostra che esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascuna coppia delle seguenti
tre collezioni:
1. Stringhe di bit di lunghezza n
2. Sentieri nella tavola di Galton da (0, 0) fino a un chiodo della riga n.
3. Sottinsiemi di un insieme con n elementi.
Segue quindi, dall'esercizio precedente, che ciascuna delle seguenti collezioni ha 2n
elementi. In particolare, un esperimento con n esiti ha 2n eventi.
25. Nel gioco della tavola di Galton, muovi la pallina da (0,0) a (10,6) seguendo un
sentiero a tua scelta. Osserva la corrispondente stringa di bit e sottinsieme.
26. Nel gioco della tavola di Galton, genera la stringa di bit 011100101. Osserva il
corrispondente sentiero e sottinsieme.
27. Nel gioco della tavola di Galton, genera il sottinsieme {2, 4, 5, 9, 12}. Osserva la
corrispoendente stringa di bit e sentiero.
28. Nel gioco della tavola di Galton, genera tutti i sentieri tra (0, 0) e (4, 2). Quanti
sentieri ci sono?
29. Supponi che A1, A2, ..., Ak siano eventi di un esperimento casuale. Prova che
esistono 2^(2k) eventi differenti (in genere) che possono essere costruiti a partire dai k
eventi dati, utilizzando le operazioni di unione, intersezione e complementazione. I
seguenti passi mostrano come:
1. Mostra che esistono 2k eventi a due a due disgiunti della forma B1
Bk dove Bi è o Ai o Aic per ogni i.
B2
···
2. Spiega perché ogni evento che può essere costruito a partire da A1, A2, ..., Ak è
l'unione di qualcuno (forse tutti, forse nessuno) degli eventi in (a).
30. Nell'applet diagramma di Venn, osserva il diagramma di ciascuno dei 16 eventiche
possono essere costruiti a partire da A e B.
31. Supponi che S sia un insieme formato da n elementi e che A sia un sottinsieme di
S con k elementi. Se si seleziona casualmente un sottinsieme di S, trova la probabilità che
contenga A.
Argomenti correlati
Le applicazioni più semplici del principio del prodotto sono le permutazioni e le
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Principi fondamentali
combinazioni. È interessante anche notare che il principio del prodotto è la misura di
conteggio analoga alla regola del prodotto per la probabilità condizionata. I metodi di
calcolo combinatorio ricoprono un ruolo fondamentale nel capitolo sui modelli di
campionamento finito.
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Permutazioni
Laboratorio virtuale > Calcolo combinatorio > 1 [2] 3 4 5
2. Permutazioni
Permutazioni
Consideriamo un insieme D con n elementi. Una permutazione di lunghezza k da D è una
sequenza ordinata
(x1, x2, ..., xk)
di k elementi distinti di D (ovviamente, k non può essere maggiore di n). Statisticamente,
una permutazione di lunghezza k da D corrisponde a un campione ordinato di dimensione
k estratto senza reinserimento.
Il numero di permutazioni
1. Usa la regola del prodotto per mostrare che il numero di permutazion i di lunghezza
k da un insieme di n elementi è
(n)k = n(n - 1) ··· (n - k + 1)
2. Prova che il numero di permutazioni di lunghezza n dall'insieme D di n (che
prendono semplicemente il nome di permutazioni di D) è
n! = (n)n = n(n - 1) ··· (1)
3. Dimostra che
(n)k = n! / (n - k)!
4. In una corsa di 10 cavalli si registrano i primi tre arrivati, in ordine. Quanti esiti ci
sono?
5. Otto persone, formate da otto coppie sposate, si devono sedere in una fila di 8 sedie.
Quante combinazioni possibili ci sono se:
1. Non ci sono restrizioni
2. Gli uomini devono sedere insieme e le donne devono sedere insieme
3. Gli uomini devono sedere insieme
4. Le moglie di ciascuna coppia devono sedere insieme
6. Supponi che n persone debbano sedersi attorno a una tavola rotanda. Mostra che ci
sono (n - 1)! combinazioni distinte. Suggerimento: il senso matematico di una tavola
rotonda è che non c'è una prima sedia.
7. Dodici libri, di cui 5 sono di matematica, 4 di scienze e 3 di storia sono sistemati
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Permutazioni
casualmente su una mensola.
1. Quanti esiti ci sono?
2. Trova la probabilità che i libri della stessa materia capitino assieme.
3. Trova la probabilità che i libri di matematica capitino assieme.
8. Il problema del compleanno. Supponi di scegliere a caso n persone e di registrare i
loro compleanni.
1. Trova la probabilità che tutti i compleanni siano diversi.
2. Definisci le assunzioni che fai in (a).
3. Calcola esplicitamente la probabilità in (a) per n = 10, 20, 30 e 40.
9. Replica esperimento del compleanno 1000 volte per i seguenti valori di n. In ciascun
caso, confronta la frequenza relativa dell'evento in cui i compleanni sono distinti coi
valori teorici dell'esercizio 8.
10. Supponi che ci siano 5 cacciatori di anatre, tutti ottimi tiratori. Passa uno stormo di
10 anatre, e ogni caccitori sceglie a caso un'anatra e spara. Trova la probabilità che
vengano uccise 5 anatre.
11. Prova che il numero di permutazioni delle carte di un mazzo standard è
52! = 8.0658 × 1068.
Il numero trovato nell'esercizio 10 è enorme. Infatti, se esegui l'esperimento di estrarre
tutte e 52 le carte di un mazzo ben mischiato, probabilmente genererai una sequenza mai
generata prima.
12. Supponi di posizionare casualmente 8 pedoni su una scacchiera. Prova che la
probabilità che nessun pedone possa mangiarne un altro è
8! 8! / (64)8.
13. Supponi di lanciare 5 dadi equilibrati. Trova la probabilità che tutti i punteggi siano
differenti.
14. Il numero di una patente è formato da 2 lettere e 5 numeri. Trova la probabilità che
lettere e numeri siano tutti differenti.
La formula di permutazione generalizzata
La formula per (n)k dell'esercizio 1 ha senso per ogni numero reale n e intero non
negativo k. L'espressione risultante è detta formula di permutazione generalizzata.
15. Calcola
1. (-5)3
2. (1 / 2)4
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Permutazioni
3. (-1 / 3)5
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Coefficienti multinomiali
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4. Coefficienti multinomiali
In questo paragrafo, generalizzeremo la formula di conteggio che abbiamo studiato nel
pargarfo precedente. Questa generalizzazione è utile per due tipi di problemi molto
differenti (ma evidentemente equivalenti).
Partizioni di un insieme
Ricordiamo che il coefficiente binomiale C(n, j) è il numero di sottinsiemi di dimensione j
di un insieme S di n elementi. Notiamo inoltre che quando si selezione un sottinsieme A
di dimensione j da S, di fatto partizioniamo S in due sottinsiemi disgiunti di dimensione,
rispettivamente, j e n - j, detti A e Ac.
Una generalizzazione naturale è partizionare S in un'unione di k sottinsiemia due a due
disgiunti
S1, S2, ..., Sk dove #(Si) = ni.
Ovviamente dobbiamo avere n1 + n2 + ··· + nk = n
1. Usa la regola del prodotto per mostrare che il numero di tali partizioni è
C(n, n1)C(n - n1, n2) ··· C(n - n1 - ··· - nk - 1, nk).
2. Prova che il risultato dell'esercizio 1 si semplifica a
C(n; n1, n2, ..., nk) = n! / (n1! n2! ··· nk!)
3. Riporta una dimostrazione algebrica e combinatoria per l'identità
C(n; k, n - k) = C(n, k).
4. Un giro di bridge consiste nel distribuire 13 carte (una mano di bridge) a 4 distinti
giocatori da un mazzo standard di 52 carte. Mostra che il numero di giri di bridge è
53644737765488792839237440000 ~ 5.36 × 1028.
5. Supponi che un club di 20 membri voglia formare 3 comitati distnti, ciascuno con
rispettivamente 6, 5 e 4 membri. In quanti modi si può farlo? Suggerimento: i membri che
non fanno parte di un comitato formano uno degli insiemi della partizione.
Sequenze
Consideriamo ora l'insieme T = {1, 2, ..., k }n. Gli elementi di questo insieme sono
sequenze di lunghezza n in cui ciascuna coordinata è uno dei k valori. Quindi, queste
sequenze generalizzano le stringhe di bit di lunghezza n del paragrafo precedente. Di
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Coefficienti multinomiali
nuovo, siano n1, n2, ..., nk interi non negativi con
n1 + n2 + ··· + nk = n.
6. Costruisci una corrispondenza biunivoca tra le seguenti collezioni:
1. Partizioni di S in sottinsiemi a due a due disgiunti S1, S2, ..., Sk dove #(Si) = ni. per
ogni i.
2. Sequenze in {1, 2, ..., k }n in cui i si verifica ni volte per ogni i.
Segue dagli esercizi 3 e 4 che il numero di sequenze in {1, 2, ..., k }n in cui i si verifica ni
volte per ogni i è
C(n; n1, n2, ..., nk).
7. Supponi di avere n oggetti di k tipi differenti, con ni elementi del tipo i per ogni i.
Inoltre, oggetti di un tipo dato sono considerati identici. Costruisci una corrispondenza
biunivoca tra le seguenti collezioni:
1. Sequenze in {1, 2, ..., k }n in cui i si verifica ni volte per ogni i.
2. Permutazioni distinguibili degli n oggetti.
8. Trova il numero di diverse combinazioni di lettere in ciascuna delle seguenti parole:
1. statistics
2. probability
3. mississippi
4. tennessee
5. alabama
9. Un bambino ha 12 dadi, 5 rossi, 4 verdi e 3 blu. In quanti modi si possono formare
linee di dadi (blocchi di colore uguali sono considerati identici):
Il teorema multinomiale
10. Dai una dimostrazione combinatoria del teorema multinomiale:
(x1 + ··· + xk)n =
C(n; n1, n2, ..., nk)x1n1 x2n2 ... xknk.
dove la sommatoria è per tutti gli (n1, ..., nk) tali che ni è un intero non negativo per ogni i
e n1 + ··· + nk = n.
Per l'esercizio 10, i coefficienti C(n; n1, n2, ..., nk) sono detti coefficienti multinomiali.
11. Prova che ci sono C(n + k - 1, k - 1) termini nell'espansione multinomiale
dell'esercizio 10.
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Coefficienti multinomiali
12. Trova il coefficiente di x3y7z5 in (x + y + z)15.
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Note conclusive
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5. Note conclusive
Il calcolo combinatorio è un argomento matematico ricco e interessante in sé, non solo per
il suo legame con la probabilità.
Libri
●
Applied Combinatorics, di Fred Roberts
●
Applied Combinatorics, di Alan Tucker
●
An Introduction to Probability and Its Applications, di William Feller
Risposte agli esercizi del paragrafo 1
1.9.
1. 67600000
2. 1 / 32
1.10.
1. 1679616
2. 264 / 364 ~ 0.2721
1.11
1. 21 carte
2. 324 esiti
3. La mano migliore sarebbe formata dalle 5 armi restanti o dai 5 sospettati restanti.
1.13.
1. 624
2. 1 / 16
1.15.
1. 7776
2. 1 / 36
1.16.
1. 41969002243198805166015625
2. 0.1953 × 10-10.
1.20.
1. 1024
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Note conclusive
2. 1 / 8
1.21. 1048576
1.22.
1. 126
2. 21 / 128.
1.31. 1 / 2k.
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.4. 720
2.5.
1. 40320
2. 1152
3. 2880
4. 384
2.7.
1. 479001600
2. 103680
2.8. Sia pn l'evento in cui i compleanni delle n persone sono distinti.
1. pn = (365)n / 365n.
2. Assumiamo che i compleanni siano distribuiti uniformemente su tutto l'anno.
3. p10 = 0.8831, p20 = 0.5886, p30 = 0.2937, p40 = 0.1088.
2.10. 189 / 624
2.13. 5 / 54.
2.14. 189 / 650.
2.15.
1. -210
2. -15 / 16
3. -3640 / 243
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.4.
2. 3744 / 2598960 = 0.001441.
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Note conclusive
3. 624 / 2598860 = 0.000240.
3.5.
b. 0.238608.
c. 0.0741397
d. 0.017959
3.7.
1. 38760
2. 13860
3. 30800
3.8. 1913496
3.9.
2. 1.41662 × 10-7.
3.15.
1. 210 / 1024.
2. 56 / 1024.
3.16. 6160 / 15504 = 0.297317.
3.23. 108864
3.24. 71680
3.29. 364
3.32.
1. 1771
2. 969
3.33. 252
3.34.
1. 66
2. 36
3.35.
1. Con reinserimento, ordinate: 10000
2. Con reinserimento, non ordinate: 715
3. Senza reinserimento, ordinate: 5040
4. Senza reinserimento, non ordinate: 210
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Note conclusive
3.36.
1. 1 / 16.
2. 70
3. -91 / 729.
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.5. 9777287520
4.8.
1. 50400
2. 9979200
3. 34650
4. 3780
5. 210
4.9. 27720
4.12. 360360
Laboratorio virtuale > Calcolo combinatorio > 1 2 3 4 [5]
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Il problema del compleanno
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7. Il problema del compleanno
Analogamente al modello di campionamento semplice, supponiamo di selezionare n
numeri a caso, con reinserimento, dalla popolazione D = {1, 2, ..., N}:
X = (X1, X2, ..., Xn).
Ricordiamo che l'assunzione di base è che X sia distribuita uniformemente su
S = {1, 2, ..., N}n.
Il problema del compleanno consiste nel calcolare la probabilità dell'evento che ci sia
almeno un valore doppio nel campione:
BN, n = {Xi = Xj per almeno una coppia distinta di indici i, j}.
Supponi di scegliere a caso n persone e registrare i loro compleanni. Se ignoriamo gli anni
bisestili e assumiamo che i compleanni siano distribuiti uniformemente sull'anno, allora
possiamo applicare il modello di campionamento con N = 365. In questo contesto, il
problema del compleanno consiste nel calcolare la probabilità che almeno due persone
abbiano lo stesso compleanno (di qui il nome del problema).
La soluzione generale al problema del compleanno è un semplice esercizio di calcolo
combinatorio.
1. Usa la regola del prodotto del calcolo combinatorio per mostrare che
1. P(BN, n) = 1 - (N)n / Nn se n
N.
2. P(BN, n) = 1 se n > N.
Suggerimento: L'evento complementare si verifica se e solo se il vettore degli esiti X
forma una permutazione di dimensione n da {1, 2, ..., N}
Il fatto che la probabilità sia 1 per n > N è detto a volte principio della piccionaia: se più
di N piccioni si posizionano in N caselle, allora almeno una casella ospita più di un
piccione.
2. Sia N = 365 (problema del compleanno standard). Mostra che la probabilità è
1. 0.117 per n = 10
2. 0.411 per n = 20
3. 0.706 per n = 30
4. 0.891 per n = 40
5. 0.970 per n = 50
6. 0.994 per n = 60
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Il problema del compleanno
3. Disegna il grafico dei valori dell'esercizio 2 in funzione di n. Se smussa (per
apparire in maniera più chiara), la curva dovrebbe somigliare al grafico sottostante.
4. Nell'esperimento del compleanno, poni N = 365. Per n = 10, 20, 30, 40, 50 e 60
simula 1000 replicazioni per ciascun caso, calcolando la frequenza relativa dell'evento in
cui qualche cella contiene 2 o più palline. Confronta la frequenza relativa con le
probabilità calcolate nell'esercizio 4.
Nonostante la sua semplice soluzione, il problema del compleanno è molto noto perché,
numericamente, le probabilità possono sembrare sorprendenti. Per solo 60 persone,
l'evento è quasi certo! Matematicamente, la crescita rapida delle probabilità al crescere di
n, è dovuta al fatto che Nn cresce più velocemente di (N)n.
5. Si scelgono a caso 10 persone. Trova la probabilità che almeno due siano nati nella
stessa settimana.
6. Nell'esperimento del compleanno, poni N = 52. Modifica n con la barra a
scorrimento e osserva graficamente come le probabilità cambiano. Con n = 10, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa
alla probabilità teorica.
7. Si lanciano quattro dadi equilibrati. Trova la probabilità che i punteggi siano
distinti.
8. Nell'esperimento del compleanno, poni N = 6. Modifica n con la barra a scorrimento
e osserva graficamente come le probabilità cambiano. Con n = 10, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla
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Il problema del compleanno
probabilità teorica.
9. Si scelgono a caso 5 persone. Trova la probabilità che almeno due siano nate nello
stesso mese.
10. Nell'esperimento del compleanno, poni N = 12. Modifica n con la barra a
scorrimento e osserva graficamente come le probabilità cambiano. Con n = 10, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa
alla probabilità teorica.
11. Un fast-food distribuisce 10 pupazzi diversi insieme ai menu per bambini. Una
famiglia con cinque bambini compra 5 menu. Trova la probabilità che i pupazzi siano tutti
diversi.
12. Nell'esperimento del compleanno, poni N = 5. Modifica n con la barra a
scorrimento e osserva graficamente come le probabilità cambiano. Con n = 5, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla
probabilità teorica.
Ricorrenza
13. Sia bN,n la probabilità dell'evento complementare che le variabili campionarie
siano distinte. Prova le seguente relazione ricorsiva in due modi: in primo luogo partendo
dal risultato dell'esercizio 1, e poi utilizzando la probabilità condizionata.
1. bN, 1 = 1
2. bN, n+1 = [(N - n) / N]bN, n per n = 1, 2, ..., N - 1.
14. Sia N = 52 (corrispondenti alle settimane di nascita). Trova il valore più piccolo di
n per cui la probabilità di duplicazione è almeno 1/2.
15. Esegui l'esperimento del compleanno 1000 volte, con N = 52 e col valore di n
ricavato nell'esercizio 14. Confronta la frequenza relativa della duplicazione col valore di
probabilità.
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10
Sommario | Applets | Dati | Biografie | Risorse | Indice analitico | ©
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Poker
Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > 1 [2] 3 4 5 6 7 8
2. Poker
La mano di poker
Un mazzo di carte ha la struttura naturale di un insieme prodotto e può quindi essere
rappresentato matematicamente da
D = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3}
dove la prima coordinata rappresenta il tipo (asso, 2-10, jack, regina, re) e la seconda
coordinata il seme (picche, quadri, fiori, cuori).
Ci sono molti modi diversi di giocare a poker, ma ci interessiamo solo al poker a pescata,
che consiste nel pescare a caso 5 carte dal mazzo D. L'ordine delle carte non è rilevante,
per cui registriamo l'esito dell'esprimento casuale come l'insieme (mano)
X = {X1, X2, X3, X4, X5} dove Xi = (Yi, Zi) appartiene a D per ogni i e Xi
i e j.
Xj per ogni
Quindi lo spazio campionario è formato da tutte le possibili mani di poker:
S = {{x1, x2, x3, x4, x5}: xi in D per ogni i e xi
xj per ogni i e j}.
L'assunzione di base per la creazione del modello è che tutte le mani abbiano uguale
probabilità. La variabile casuale X è quindi uniformemente distribuita sull'insieme di tutte
le possibili mani S.
P(X in A) = #(A) / #(S) per A
S.
In terimini statistici, una mano di poker è un campione casuale di dimensione 5 estratto
senza reinserimento e senza attenzione all'ordine dalla popolazione D. Per ulteriori
approfondimenti su questo argomento, vedi il capitolo sui modelli di campionamento
finito.
Il valore della mano
Esistono nove tipi differenti di mani di poker in termini di valore. Useremo numeri da 0 a
8 per indicare il valore della mano, dove 0 è il valore minimo (ovvero nessun valore) e 8 è
il valore massimo. Il valore della mano V è pertanto una variabile aleatoria che assume
valori da 0 a 8 ed è definita come segue:
● V = 0: Nulla. La mano non è di nessuno degli altri casi.
● V = 1: Coppia. Ci sono quattro diversi tipi di carta nella mano, una si presenta due
volte e le altre una volta.
● V = 2: Doppia coppia. Ci sono tre diversi tipi di carta nella mano; due si presentano
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Poker
●
●
●
●
●
●
due volte e l'altra una volta.
V = 3: Tris. Ci sono tre diversi tipi di carta, una si presenta tre volte e le altre due
una volta.
V = 4: Scala. I tipi di carta possono essere ordinati in sequenza ma non sono dello
stesso seme. Un asso può essere considerato il tipo di minore o di maggior valore.
V = 5: Colore. Le carte sono tutte dello stesso seme, ma i tipi non possono formare
una sequenza.
V = 6: Full. Ci sono due diversi tipi di carta; uno si presenta tre volte e l'altro due
volte.
V = 7: Poker. Ci sono due diversi tipi di carta; uno si presenta quattro volte e l'altro
una volta.
V = 8: Scala colore. Le carte sono tutte dello stesso seme e possono essere ordinate
in seuqenza.
1. Esegui l'esperimento del poker 10 volte passo per passo. Per ciascuno degli esiti,
nota il valore della variabile casuale che corrisponde al tipo di mano, come riportato
sopra.
La funzione di densità
Il calcolo della funzione di densità per V è un buon esercizio di calcolo combinatorio.
2. Mostra che il numero di mani di poker distinte è #(S) = C(52, 5) = 2598960.
Negli esercizi seguenti dovrai spesso utilizzare la regola del prodotto del calcolo
combinatorio per contare il numero di mani di vari tipi. In ciascun caso, prova a costruire
un algoritmo per generare le mani di poker di un certo tipo, e conta il numero di modi in
cui puoi eseguire ciascun passo dell'algoritmo.
4. Mostra che P(V = 1) = 1098240 / 2598960 = 0.422569.
5. Mostra che P(V = 2) = 123552 / 2598960 = 0.047539.
6. Mostra che P(V = 3) = 54912 / 2598960 = 0.021129.
7. Mostra che P(V = 8) = 40 / 2598960 = 0.000015.
8. Mostra che P(V = 4) = 10200 / 2598960 = 0.003925. Suggerimento: Usa il risultato
dell'esercizio 7.
9. Mostra che P(V = 5) = 5108 / 2598960 = 0.001965. Suggerimento: Usa il risultato
dell'esercizio 7.
10. Mostra che P(V = 6) = 3744 / 2598960 = 0.001441.
11. Mostra che P(V = 7) = 624 / 2598960 = 0.000240.
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Poker
12. Mostra che P(V = 0) = 1,302,540 / 2598960 = 0.501177. Suggerimento: Usa la
regola additiva della probabilità e il risultato dell'esercizio precedente.
Notiamo che la funzione di densità di V è decrescente; più vale una mano, meno è
probabile che esca. Nota inoltre che le mani nulla e coppia costituiscono più del 92% dei
casi.
13. Nell'applet poker, osserva la forma del grafico della densità. Nota che alcune delle
probabilità sono così piccole che sono praticamente invisibili nel grafico. Esegui 1000
replicazioni dell'esperimento, aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza delle
frequenze relative alla funzione di densità.
14. Nell'applet poker, poni la frequenza di aggiornamento a 100 e imponi un criterio
d'arresto sulla base dei valori di V riportati qui sotto. Nota il numero di mani necessarie.
1. V = 3
2. V = 4
3. V = 5
4. V = 6
5. V = 7
6. V = 8
15. Trova la probabilità che una mano sia tris o più.
16. Nel film Genitori in trappola (1998), entrambi i gemelli fanno scala colore allo
stesso giro di poker. Trova la probabilità di tale evento.
17. Classifica V in termini di livello di misura: nominale, ordinale, intervallare, o a
rapporto. Ha qualche significato il valore atteso di V?
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Giochi di fortuna
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D. Giochi di fortuna
Sommario
1. Introduzione
2. Poker
3. Poker di dadi e Chuck-a-Luck
4. Craps
5. Roulette
6. Il problema di Monty Hall
7. Lotterie
8. Note conclusive
Applets
●
Poker
●
Poker di dadi
●
Chuck-a-Luck
●
Craps
●
Roulette
●
Gioco di Monty Hall
●
Esperimento di Monty Hall
Citazioni
●
●
"È un gioco di fortuna?" ... "Non come lo gioco io, no." Risposta di WC Fields a
una domanda di una delle sue numerose vittime.
Più semplice è un gioco, maggiore è il vantaggio del banco. The Wizard of Odds.
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Lotterie
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7. Lotterie
Le lotterie sono tra i giochi di fortuna più semplici e più diffusi, e, sfortunatamente per il
giocatore, tra i peggiori in termini di valore atteso. Esistono innumerevoli forme di lotteria
ed è inutile analizzarle una per una. In questo paragrafo ne studieremo i tipi più diffusi.
La lotteria semplice
La lotteria semplice è un esperimento casuale in cui il banco (in molti casi gestito da
un'ente governativo) estrae n numeri a caso e senza reinserimento tra gli interi 1, 2, ..., N.
I parametri interi N e n variano da lotteria a lotteria, e ovviamente n non può essere
maggiore di N. L'ordine in cui i numeri sono estratti di solito non è rilevante, e quindi, in
questo caso, lo spazio campionario S dell'esperimento è formato da tutti i sottinsiemi
(combinazioni) di dimensione n estratti dalla popolazione {1, 2, ..., N}:
S = {x
{1, 2, ..., N}: #(x) = n}.
1. Ricorda, o mostra, che #(S) = C(N, n) = N! / [n!(N - n)!].
Naturalmente si assume che tutte le combinazioni di questo tipo siano equiprobabili, per
cui la combinazione estratta X, variabile casuale di base per l'esperimento, è distribuita
uniformemente su S.
P(X = x) per 1 / C(N, n) per x appartenente a S.
Il giocatore della lotteria paga un biglietto e deve scegliere m numeri, senza ripetizione,
tra gli interi da 1 a N. Anche in questo caso, l'ordine non è rilevante, per cui il giocatore
fondamentalemnte sceglie una combinazione y di dimensione m dalla popolazione {1, 2,
..., N}. In molti casi m = n, per cui il giocatore sceglie lo stesso numero di numeri che poi
il banco estrae. In generale, quindi, ci sono tre parametri nella lotteria semplice N, n, m.
L'obiettivo del giocatore, ovviamente, consiste nel massimizzare il numero di
corrispondenze (spesso dette catches dai giocatori) tra la sua combinazione y e la
combinazione casuale X estratta dal banco. Essenzialmente, il giocatore cerca di
indovinare l'esito dell'esperimento casuale prima che venga eseguito. Sia quindi U il
numero di concordanze.
2. Prova che il numero di concordanze U nella lotteria N, n, m ha funzione di densità
di probabilità discreta
P(U = k) = C(m, k) C(N - m, n - k) / C(N, n) for k = 0, 1, ..., m.
La distribuzione di U è ipergeometrica con parametri N, n e m, ed è analizzata in dettaglio
nel capitolo sui modelli di campionamento finito. In particolare, si ricava che media e
varianza del numero di concordanze U è
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Lotterie
E(U) = n (m / N), var(U) = n (m / N) (1 - m / N) (N - n) / (N - 1).
Notiamo che P(U = k) è 0 k > n o k < n + m - N. In ogni caso, nella maggior parte delle
lotterie, m n e N è molto maggiore di n + m. In questi casi, la funzione di densità è
positiva per i valori di k riportati nell'esercizio 2.
Indicheremo il caso particolare in cui m = n lotteria N, n; la maggior parte delle lotterie
pubbliche funzionano in questo modo. In questo caso, funzione di densità di probabilità,
media e varianza del numero di concordanze U è
P(U = k) = C(n, k) C(N - n, n - k) / C(N, n) per k = 0, 1, ..., n.
E(U) = n2 / N, var(U) = (n2 / N)(N - n)2 / [N(N - 1)].
3. Trova esplicitamente funzione di densità di probabilità, media e deviazione
standard del numero di concordanze in una lotteria 47, 5.
4.Trova esplicitamente funzione di densità di probabilità, media e deviazione standard
del numero di concordanze in una lotteria 49, 5.
5. Trova esplicitamente funzione di densità di probabilità, media e deviazione
standard del numero di concordanze in una lotteria 47, 7.
L'analisi precedente si è basata sull'assunzione che la combinazione y sia selezionata dal
giocatore in maniera deterministica. Fa differenza se la combinazione viene scelta a caso?
Supponiamo che la combinazione selezionata Y sia una variabile casuale a valori in S.
(Per esempio, in alcune lotterie i giocatori acquistano biglietti con combinazioni
selezionate a caso da un computer; si parla in questo caso di Quick Pick). Ovviamente, X
e Y devono essere indipendenti, poiché né il giocatore né il computer deveono poter
sapere la combinazione vincente X. Negli esercizi seguenti, mostrerai che la
casualizzazione non ha influenza.
6. Sia U il numero di concordanze nella lotteria N, n, m nel caso in cui la
combinazione Y scelta dal giocatore è una variabile casuale, indipendente dalla
combinazione vincente X. Prova che U ha la stessa distribuzione trovata nell'esercizio 1.
Suggerimento: condiziona al valore di Y.
Ci sono molti siti internet che pubblicano dati sulla frequenza dei numeri estratti in varie
lotterie. Alcuni giocatori ritengono che alcuni numeri siano più fortunati di altri.
7. Date le assunzioni e l'analisi precedenet, credi che alcuni numeri siano più fortunati
di altri. Ha un qualche senso teorico studiare i dati storici di una lotteria?
Il montepremi in palio nelle lotterie di stato dipende dal numero di biglietti venduti. In
genere, il 50% dell'incasso è messo in palio, il resto va in costi amministrativi e incasso
per lo stato. Il montepremi viene diviso tra i biglietti vincenti, e il premio per ciascun
biglietto dipende dal numero di concordanze U. Per queste ragioni, è impossibile
pervenire a un'analisi semplice del valore atteso di una lotteria. Notiamo però che, poiché
lo stato si tiene una percentuale fissa sulle vendite, non è esposto ad alcun rischio.
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Lotterie
Da un punto di vista del gioco, le lotterie non sono buoni giochi. In confronto, nella
maggior parte dei giochi da casinò, il 90% o più delle puntate va a formare il montepremi.
Ovviamente le lotterie di stato possono essere viste come una forma di tassazione
volontaria e non come semplici giochi. I profitti fatti con le lotterie vengono impiegati per
istruzione, sanità e altri servizi di pubblico interesse. Tuttavia, un'analisi dei benefici e dei
costi delle lotterie dal punto di vista politico e sociale (e non in semplice ottica
matematica) va oltre gli scopi di questo lavoro.
Numeri Jolly
Molti lottrie di stato arricchiscono il formato N, n con un numero Jolly. Il numero Jolly T
è estratto da un insieme specifico di interi, in addizione alla combinazione X, che
abbiamo visto prima. Ugualmente, il giocatore sceglie un numero Jolly s, in addizione alla
combinazione y. La vittoria del giocatore dipende quindi dal numero di concordanze U tra
X e y, come già visto, e in più dal fatto che il numero Jolly del giocatore s concordi col
numero Jolly T estratto dal banco. Sia I la variabile indicatore di quest'ultimo evento.
Siamo ora interessati alla distribuzione congiunta di (I, U).
In un caso comune, il numero Jolly T è scelto a caso tra gli interi 1, 2, ..., M,
indipendentemente dalla combinazione X di dimensione n estratta da 1, 2, ..., N. Di solito
M < N. Notiamo che, in questo tipo di lotteria, il gioco è formato da due lotterie
indipendenti, una di formato N, n, e l'altra di formato M, 1.
8. Calcola esplicitamente la densità congiunta di (I, U) per la lotteria 47, 5 con numeri
Jolly indipendenti da 1 a 27. Tale schema è utilizzato, tra l'altro, nella lotteria della
California.
9. Calcola esplicitamente la densità congiunta di (I, U) per la lotteria 49, 5 con numeri
Jolly indipendenti da 1 a 42. Tale schema è utilizzato, tra l'altro, nella lotteria Powerball.
In altri casi, il numero Jolly T è estratto tra 1 e N, ed è distinto dai numeri della
combinazione X. Per modellare tale situazione, assumiamo che T sia distribuita
uniformemente su {1, 2, ..., N}, e dato T = t, X sia distribuito uniformemente sull'insieme
di combinazione di dimensione n estratte da {1, 2, ..., N}- {t}. In questo caso, la densità
congiunta è più difficile da calcolare.
10. Prova che
P(I = 1, U = k) = C(n, k) C(N -1 - n, n - k) / [N C(N - 1, n)] per k = 0, 1, ..., n.
11. Condiziona al fatto che T appartenga o no a {y1, ..., yn} per mostrare che
P(I = 0, U = k) = (N - n + 1) C(n, k) C(N -1 - n, n - k) / [N C(N - 1, n)]
+ n C(n - 1, k) C(N - n, n - k) / [N C(N - 1, n)] per k = 0, 1, ..., n.
12. Calcola esplicitamente la densità congiunta di (I, U) per la lotteria 47, 7 col numero
Jolly estratto in questo modo. Tale schema è utilizzato dalla lotteria Super 7 Canada, tra le
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Lotterie
altre.
Keno
Keno è una lotteria che si gioca nei casinò. Per dati N (di solito 80) e n (di solito 20), il
giocatore può scegliere una serie di giochi N, n, m, come presentato poc'anzi. Di solito, m
varia da 1 a 15, e la vincita dipende da m e dal numero di concordanze V. Vediamo ora
come calcolare funzione di densità, media e deviazione standard della vincita casuale,
basandoti su una puntata unitaria, per una lotteria Keno tipica (N = 80, n = 20 e m da 1 a
15). Le tavole di vincita sono adattate dai dati presentati in The Wizard of Odds, e sono
basati sulla lotteria Keno al casinò Tropicana di Atlantic City, New Jersey.
Ricorda che la funzione di densità di probabilità del numero di concordanze U,
dall'esercizio 2, è data da
P(U = k) = C(m, k) C(80 - m, 20 - k) / C(80, 20) per k = 0, 1, ..., m.
13. La tavola di vincite per m = 1 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=1
Indovinati 0 1
Vincita 0 3
14. La tavola di vincite per m = 2 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=2
Indovinati 0 1 2
Vincita 0 0 12
15. La tavola di vincita per m = 3 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=3
Indovinati 0 1 2 3
Vincita 0 0 1 43
16. La tavola di vincite per m = 4 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=4
Indovinati 0 1 2 3 4
Vincita 0 0 1 3 130
17. La tavola di vincite per m = 5 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=5
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Lotterie
Indovinati 0 1 2 3 4 5
Vincita 0 0 0 1 10 800
18. La tavola di vincite per m = 6 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=6
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6
Vincita 0 0 0 1 4 95 1500
19. La tavola di vincite per m = 7 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=7
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7
Vincita 0 0 0 0 1 25 350 8000
20. La tavola di vincite per m = 8 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=8
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7
8
Vincita 0 0 0 0 0 9 90 1500 25,000
21. La tavola di vincite per m = 9 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m=9
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
Vincita 0 0 0 0 0 4 50 280 4000 50,000
22. La tavola di vincite per m = 10 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m = 10
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
Vincita 0 0 0 0 0 1 22 150 1000 5000 100000
23. La tavola di vincite per m = 11 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m = 11
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
Vincita 0 0 0 0 0 0 8 80 400 2500 25000 100000
24. La tavola di vincite per m = 12 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m = 12
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Lotterie
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11
12
Vincita 0 0 0 0 0 0 5 32 200 1000 5000 25000 100000
25. La tavola di vincite per m = 13 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m = 13
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
13
Vincita 1 0 0 0 0 0 1 20 80 600 3500 10000 50000 100000
26. La tavola di vincite per m = 14 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m = 14
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
Vincita 1 0 0 0 0 0 1 9 42 310 1100 8000 25000 50000 100000
27. La tavola di vincite per m = 15 è riportata qui sotto. Calcola funzione di densità,
media e deviazione standard della vincita.
m = 15
Indovinati 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
15
Vincita 1 0 0 0 0 0 0 10 25 100 300 2800 25000 50000 100000 100000
Dagli esercizi precedenti dovresti aver notato che la vincita attesa di una puntata unitaria
varia tra 0.71 a 0.75 circa, per cui il profitto atteso (per il giocatore) varia tra -0.25 e -0.29.
Ciò è abbastanza poco pere un gioco da casinò, ma al solito la possibilità di una vincita
molto alta con una puntata molto bassa copre l'analisi del valore atteso per molti giocatori.
28. Con m = 15, mostra che i 4 premi più alti (25000, 50000, 100000, 100000)
contribuiscono solo allo 0.017 (meno di 2 centesimi) al valore atteso complessivo di circa
0.714.
D'altro canto, la deviazione standard della vincita varia di parecchio, da 1 a circa 55.
29. Anche se il gioco è altamente sfavorevole per ogni m, con valore atteso
praticamente costante, cosa pensi che sia meglio per il giocatore: uno schema con
devizione standard alta o bassa?
Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > 1 2 3 4 5 6 [7] 8
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Statistiche d'ordine
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10
5. Statistiche d'ordine
Supponiamo che le unità della popolazione siano numerate da 1 a N, dimodoché D = {1,
2, ..., N}. Per esempio, la popolazione può essere formata da manufatti, e la numerazione
può corrispondere ai numeri di serie. Campioniamo n unità a caso e senza reinserimento
da D:
X = (X1, X2, ..., Xn), dove Xi appartenente a D è l'i-esima unità estratta.
Ricordiamo che X è distribuita uniformemente sull'insieme delle permutazioni di
dimensione n estratte da D. Ricordiamo inoltre che W = {X1, X2, ..., Xn} è il campione
non ordinato, distribuito uniformemente sull'insieme delle combinazioni di dimensione n
estratto da D.
Per i = 1, 2, ..., n, sia X(i) l'i-esima unità minore di X1, X2, ..., Xn. La variabile casuale X(i)
è detta i-esima statistica d'ordine del campione. Notiamo in particolare che X(1) è il
minimo valore e X(n) il massimo.
1. Mostra che X(i) assume valori i, i + 1, ..., N - n + i.
Indicheremo il vettore di statistiche d'ordine con
U = (X(1), X(2), ..., X(n)).
Notiamo che U assume valori in L = {(x1, x2, ..., xn): 1
x1 < x2 < ··· < xn
N}
2. Esegui l'esperimento delle statistiche d'ordine. Nota che puoi modificare l'ampiezza
della popolazione N e l'ampiezza del campione n. Le statistiche d'ordine sono registrate ad
ogni aggiornamento.
Distribuzioni
3. Mostra che L ha C(N, n) elementi e che U è distribuita uniformemente su L.
Suggerimento: U = (x1, x2, ..., xn) se e solo se W = {x1, x2, ..., xn} se e solo se X è una
delle n! permutazioni di (x1, x2, ..., xn).
4. Usa una prova di calcolo combinatorio per mostrare che la funzione di densità di
X(i) è:
P(X(i) = k) = C(k - 1, i - 1)C(N - k, n - i) / C(N, n) per k = i, i + 1, ..., N - n + i.
5. Nell'esperimento delle statistiche d'ordine, modifica i parametri e osserva la forma
della funzione di densità. Con N = 30, n = 10 e i = 5, simula 1000 replicazioni,
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Statistiche d'ordine
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza delle densità empiriche alla funzione di
densità teorica.
Momenti
La funzione di densità dell'esercizio 4 può essere utilizzata per ricavare un'interessante
identità che riguarda i coefficienti binomiali. Tale identità può essere utilizzata per trovare
media e varianza di X(i) .
5. Mostra che per ogni i = 1, 2, ..., N,
k = i, ..., N - n + i
C(k, i) C(N - k, n - i) = C(N + 1, n + 1).
6. Usa l'identità dell'esercizio 5 per mostrare che
E(X(i)) = i (N + 1) / (n + 1).
7. Usa l'identità dell'esercizio 5 per mostrare che
var(X(i)) = (N + 1)(N - n)i(n + 1 - i) / [(n + 1)2(n + 2)].
8. Nell'esperimento delle statistiche d'ordine, modifica i parametri e osserva la
dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard. Con N = 30, n = 10 e i =
5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza dei momenti
empirici ai loro valori teorici.
10. Supponi che, in una lotteria, si mettano biglietti numerati da 1 a 25 in un'urna. Si
estraggono a caso e senza reinserimento cinque biglietti. Calcola
1. La funzione di densità di X(3).
2. E(X(3)).
3. var(X(3)).
Stimatori
11. Usa il risultato dell'esercizio 6 per mostra che, per i = 1, 2, ..., n, la statistica
seguente è uno stimatore corretto per N:
Wi = [(n + 1) X(i) / i] - 1.
Poiché Wi è corretto, la sua varianza è l'errore quadratico medio, una misura della qualità
dello stimatore.
12. Prova che var(Wi) = (N + 1)(N - n)(n + 1 - i) / [i(n + 2)]
13. Mostra che, per dati N e n, var(Wi) decresce al crescere di i.
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Statistiche d'ordine
Pertanto gli stimatori migliorano al crescere di i; in particolare, Wn è il migliore e W1 il
peggiore.
14. Mostra che var(Wj) / var(Wi) = j(n + 1 - i) / [i(n + 1 - j)]
Tale rapporto è detto efficienza relativa di Wi rispetto a Wj.
Di solito si spera che gli stimatori migliorino (secondo il criterio dell'errore quadratico
medio) al crescere della dimensione campionaria n (più informazioni si hanno, migliore ci
si aspetta che sia la stima). Tale proprietà è detta consistenza.
15. Mostra che var(Wn) tende a 0 per n che tende a N.
16. Mostra che, per dato i, var(Wi) prima cresce e poi decresce a 0 all'aumentare di n
da 1 a N.
Il grafico seguente, dovuto a Christine Nickel, mostra var(W1) in funzione di n per N =
50, 75 e 100.
Lo stimatore Wn venne usato dagli alleati durante la seconda guerra mondiale per stimare
il numero N di carri armati tedeschi prodotti. I carri armati avevano un numero di serie, e i
carri catturati e i loro numeri seriali formavano i dati campionari. Seguendo Richard
Larsen e Morris Marx, tale stima della produzione di carri nel 1942 fu 3400, molto vicina
al numero reale.
17. Supponi che, in una guerra, vengano catturati 100 carri nemici. Il numero seriale
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Statistiche d'ordine
più elevato è 1423. Stima il numero totale di carri prodotti.
18. Nell'esperimento delle statistiche d'ordine, poni N = 100 e n = 10. Simula 50
replicazioni, aggiornando ogni volta. Per ciascuna replicazione, calcola la stima di N
basandoti su ciascuna delle statistiche d'ordine. Per ciascuno stimatore, calcola la radice
quadrata della media dei quadrati degli errori per le 50 replicazioni. Basandoti su tali
stime empiriche dell'errore, disponi gli stimatori di N in ordine di qualità.
19. Supponi che, in una guerra, vengano catturati 100 carri nemici. Il numero seriale
più basso è 23. Stima il numero totale di carri prodotti.
Estrazioni con reinserimento
Se il campionamento è con reinserimento, le variabili del campione X1, X2, ..., Xn sono
indipendenti e identicamente distribuite. Le statistiche d'ordine da campioni di tale tipo
sono studiate nel capitolo sui campioni casuali.
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10
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Note conclusive
Laboratorio virtuale > Spazi di Probabilità > 1 2 3 4 5 6 7 [8]
8. Note conclusive
Libri
●
●
An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume 1 (terza
edizione) di William Feller è considerato uno dei migliori testi sulla probabilità mai
scritti.
Un testo eccellente per la probabilità elementare ricco di esempi ed esercizi è A
First Course in Probability (quinta edizione) di Sheldon Ross
●
Una trattazione sintetica della probabilità elementare si ha in The Essentials of
Probability di Richard Durrett
●
Per una trattazione più completa dal punto di vista della misura di probabilità, puoi
vedere Probability and Measure, di Patrick Billingsley.
●
Una trattazione della storia della probabilità è in Games, Gods and Gambling, di
Florence David
Siti esterni
●
Il sito più importante per informazioni storiche sulla probabilità è History of
Mathematics.
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.13.
1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 .
2. A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
3. B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
4. A
1)}
B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,
5. A
B = {(1, 6)}
6. Ac
Bc = (A B)c = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3,
5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
2.15. Indica i nomi delle carte con 1 (asso), 2-10, 11 (jack), 12 (regina), 13 (re) e i semi
con 0 (fiori), 1 (quadri), 2 (cuori), 3 (picche).
1. S = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3}.
2. Q = {(12, 0), (12, 1), (12, 2), (12, 3)}
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Note conclusive
3. H = {1, 2, ..., 13} × {2}
4. Q
H = {(y, z)
S: y = 12 o z = 2}
5. Q
H = {(12, 2}}
6. Q
Hc = {(12, 0), (12, 1}, (12, 3)}
2.17.
1. S = [-1/2, 1/2]2 .
2. A = [-1/2 + r, 1/2 - r]2.
3. Ac = {(x, y)
S: x < -1/2 + r o x > 1/2 - r o y < -1/2 + r o y > 1/2 + r}
2.19. S = {1, 2, 3, ...}
2.20.
1. S = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
2. A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
2.21. Sia 1 testa e 0 croce.
1. S = {(i1, i2, ..., in): n {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ij
{0, 1} j = 1, ..., n}
2. A = {11, 011, 101, 110, 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100,
00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100, 11000
000011, 000101, 000110, 001001, 001010, 001100, 010001, 010010, 010100,
011000,
100001, 100010, 100100, 101000, 110000}
2.23. Sia 1 testa e 0 croce.
1. S = {0, 1} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. A = {0, 1} × {4, 5, 6}
2.25. Per il sesso, sia 0 femmina e 1 maschio.
S = ({18, 19, ...} × {0, 1} × {1, 2, 3})100.
2.26. Per il sesso, sia 0 femmina e 1 maschio. Per la specie, sia 1 la tredecula, 2 la
tredecim e 3 la tredecassini.
1. S = (0, )4 × {0, 1} × {1, 2, 3}
2. F = {(x1, x2, x3, x4, y, z) S: y = 0}
4. S104 dove S è dato in (a).
2.27.
1. S = {0, 1, 2, 3, ...}6 × (0, ).
2. A = {(n1, n2, n3, n4, n5, n6, w)
S: n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 > 57}.
4. S30 dove S è dato da (a).
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Note conclusive
2.28.
1. S = {0, 1}5.
2. A = {(x1, x2, x3, x4, x5)
S: x1 + x2 + x3 + x4 + x5
3}
2.29.
1.
2.
3.
4.
S = (0, )2.
A = (1000, ) × (0, ).
B = {(x, y) S: y > x}.
A B = {(x, y) S: x > 1000 or y > x}
5. A
B = {(x, y)
6. A
Bc = {(x, y)
S: x > 1000 and y > x}
S: x > 1000 and y
x}
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.16.
1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.
2. Y(x1, x2) = x1 + x2 for (x1, x2)
S.
3. U(x1, x2) = min{x1, x2} for (x1, x2)
S.
4. V(x1, x2) = max{x1, x2} for (x1, x2)
S.
5. {X1 < 3, X2 > 4} = {(1, 5), (2, 5), (1, 6), (2, 6)}
6. {Y = 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
7. {U = V} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
3.18. Denote the denominations by 1 (ace), 2-10, 11 (jack), 12 (queen), 13 (king) and
the suits by 0 (clubs), 1 (diamonds), 2 (hearts), 3 (spades).
1. S = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3}.
2. U(x, y) = x if x < 10, U(x, y) = 10 otherwise.
3. {U = 10} = {10, 11, 12, 13) × {0, 1, 2, 3}.
3.20.
1. S = [-1/2, 1/2]2 .
2. Z(x, y) = (x2 + y2)1/2 for (x, y)
3. {X < Y} = {(x, y) S: x < y}.
4. {Z < 1/2} = {(x, y)
S.
S: x2 + y2 < 1/4}
3.22.
1. S = {0, 1}3.
2. X(i1, i2, i3) = i1 + i2 + i3 for (i1, i2, i3)
S.
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Note conclusive
3. {X > 1} = {110, 101, 011, 111}
3.23.
1.
2.
3.
4.
S = (0, )2.
{X <1000} = {(x, y) S: x < 1000}
{X < Y} = {(x, y) S: x < y}
{X + Y > 2000} = {(x, y) S: x + y > 2000}
3.24.
1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3.
2. W(x1, x2, x3) = #{i: xi = 6} - 1.
3.27. Sia 1 testa e 0 croce.
1. S = {(i1, i2, ..., in): n {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ij
2. N(i1, i2, ..., in) = n for (i1, i2, ..., in)
{0, 1} j = 1, ..., n}
S.
3. X(i1, i2, ..., in) = i1 + ··· + in for (i1, i2, ..., in)
S.
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.20.
1.
2.
3.
4.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.
Se i dadi sono equilibrati, ciascun esito in S deve avere la stessa probabilità.
P(A) = 1 / 3
P(B) = 5 / 36
5. P(A
B) = 2 / 36.,
6. P(A
B) = 5 / 12.
7. P(B
Ac) = 1 / 12.
4.22. Sia D = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2, 3} il mazzo di carte, con le denominazioni 1
(asso), 2-10, 11 (jack), 12 (regina), 13 (re) e i semi sono 0 (fiori), 1 (quadri), 2 (cuori), 3
(picche).
1. S = {(x1, x2): x1, x2 in D, x1 e x2 distinti} (2652 esiti).
2. Poiché il mazzo è ben mischiato, ciascun esito di S deve avere la stessa probabilità.
3. P(H1) = 1 / 4.
4. P(H1
5. P(H1c
H2) = 1 / 17.
H2) = 13 / 68.
6. P(H2) = 1 / 4.
7. P(H1
H2) = 15 / 34.
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Note conclusive
4.24.
1. S = [-1/2, 1/2]2 .
2. Poiché la moneta è lanciata "casualmente," nessuna regione di S dev'essere
preferita a un'altra.
3. P(A) = (1 - 2r)2.
4. P(Ac) = 1 - (1 - 2r)2.
4.26.
Bc) = 7 / 30.
1. A si veriica, ma non B. P(A
2. A o B si verifica. P(A
B) = 29 / 60.
3. Uno degli eventi non si verifica. P[(A
B)c] = 9 / 10.
B)c] = 31 / 60.
4. Nessun evento si verifica. P[(A
Bc) = 17 / 20.
5. Si verifica A o B non si verifica. P(A
4.27.
1. P(A
B
2. P[(A
B
3. P[(A
Bc
4. P[(A
B
C) = 0.67.
C)c] = 0.33.
Cc)
Cc)
(Ac
(A
B
Bc
Cc)
C)
(Ac
(Ac
Bc
B
C)] = 0.45
C)] = 0.21
4.28.
1. S = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
2. Poiché i dadi sono equilibrati, ciascun esito di S dev'essere ugualmente probabile.
3. P(A) = 2 / 5.
4.29.
1. S = {0, 1}3.
2. Poiché le monete sono bilanciate, ciascun esito di S dev'essere ugualmente
probabile.
3. P(A) = 1 / 2.
4. P(B) = 3 / 8.
5. P(A
B) = 1 / 4.
6. P(A
B) = 5 / 8
7. P(Ac
Bc) = 3 / 4.
8. P(Ac
Bc) = 3 / 8
9. P(A
Bc) = 7 / 8.
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Note conclusive
4.30. Supponi che le palline siano numerate da 1 a 12, con le palline da 1 a 5 rosse, da
6 a 9 verdi, da 10 a 12 blu.
1. S = {{x, y, z}: x, y, z {1, 2, ..., 12}, x, y, z distinti} (220 esiti)
2. P(A) = 3 / 44.
3. P(B) = 3 / 11.
4.31. Supponi che le palline siano numerate da 1 a 12, con le palline da 1 a 5 rosse, da
6 a 9 verdi, da 10 a 12 blu.
1. S = {1, 2, ..., 12}3 (1728 esiti).
2. P(A) = 1 / 8.
3. P(B) = 5 / 24.
4.33.
1. P(R) = 13 / 30.
2. P(T) = 19 / 30.
3. P(W) = 9 / 30.
4. P(R
T) = 9 / 30.
5. P(T
Wc) = 11 / 30.
4.34.
1. P(W) = 37 / 104.
2. P(F) = 59 / 104.
3. P(T) = 44 / 104.
4. P(W
F) = 34 / 104.
5. P(W
T
F) = 85 / 104.
Risposte agli esercizi del paragrafo 5
5.5.
1. P(A | B) = 2 / 5.
2. P(B | A) = 3 / 10.
3. P(Ac | B) = 3 / 5.
4. P(Bc | A) = 7 / 10.
5. P(Ac | Bc) = 31 / 45.
5.6.
1. P(X1 = 3 | Y = 6) = 1 / 5, P(X1 = 3) = 1 / 6, positivamente correlati.
2. P(X1 = 3 | Y = 7) = 1 / 6, P(X1 = 3) = 1 / 6, indipendenti.
3. P(X1 < 3 | Y > 7) = 1 / 15, P(X1 < 3) = 1 / 3, negativamente correlati.
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Note conclusive
5.8.
1. P(Q1) = 1 / 13, P(H1) = 1 / 4, P(Q1 | H1) = 1 / 13, P(H1 | Q1) = 1 / 4, indipendenti.
2. P(Q1) = 1 / 13, P(Q2) = 1 / 13, P(Q1 | Q2) = 3 / 51, P(Q2 | Q1) = 3 / 51,
negativamente correlati.
3. P(Q2) = 1 / 13, P(H2) = 1 / 4, P(Q2 | H2) = 1 / 13, P(H2 | Q2) = 1 / 4, indipendenti.
4. P(Q1) = 1 / 13, P(H2) = 1 / 4, P(Q1 | H2) = 1 / 13, P(H2 | Q1) = 1 / 4, indipendenti.
5.10. Sia Hi l'evento in cui la carta i-esima è di cuori e Si l'evento in cui la carta i-esima
è di picche.
1. P(H1
H2
H3) = 11 / 850.
2. P(H1
H2
S3) = 13 / 850.
3. P(H1
S2
H3) = 13 / 850.
5.12. Per un soggetto scelto a caso dalla popolazione, sia S l'evento in cui il soggetto
fuma e D l'evento in cui il soggetto è ammalato.
1. P(D
S) = 0.036.
2. P(S | D) = 0.45
3. S e D sono positivamente correlati.
5.13.
1. P(A
Bc)| C) = 1 / 4.
2. P(A
B | C) = 7 / 12.
3. P(Ac
Bc | C) = 5 / 12.
5.14.
1. P(A
B) = 1 / 4.
2. P(A
B) = 7 / 12.
3. P(B
Ac) = 3 / 4.
4. P(B | A) = 1 / 2.
5.15. Sia R il numero di pastiglie rosse e W il peso.
P(R
10 | W
48) = 10 / 23.
5.16. Sia M l'evento in cui la cicala è maschio, U l'evento in cui la cicala è treducla, e
W il peso corporeo.
1. P(W
0.25 | M) = 2 / 45.
2. P(W
0.25 | U) = 7 / 44.
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Note conclusive
5.17. La distribuzione condizionata di (X1, X2) dato Y = 7 è uniforme su {(1, 6), (2, 5),
(3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.
5.18.
1. P(X > 30) = 2 / 3.
2. P(X > 45 | X > 30) = 1 / 2.
3. Dato X > 30, X è uniformemente distribuito su (30, 60).
5.19.
1. P(Y > 0 | X < Y) = 3 / 4.
2. Dato (X, Y)
1/2 - r]2.
[-1/2 + r, 1/2 - r]2, (X, Y) è uniformemente distribuito su [-1/2 + r,
5.23. Sia X il punteggio dei dadi e H l'evento in cui tutti i lanci sono testa.
1. P(H) = 21 / 128.
2. P(X = i | H) = (64 / 63)(1 / 2i) for i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
5.25. Sia U la probabilità di testa per la moneta estratta a caso, e H l'evento in cui esce
testa.
1. P(H) = 41 / 72
2. P(U = 1 / 2 | H) = 15 / 41, P(U = 1 / 3 | H) = 8 / 41, P(U = 1 | H) = 18 / 41
5.26. Sia X il punteggio del dado H l'evento in cui esce testa.
1. P(X = i) = 5 / 24 per i = 1, 6; P(X = i) = 7 / 48 per i = 2, 3, 4, 5.
2. P(H | X = 4) = 3 / 7, P(T | X = 4) = 4 / 7.
5.28. Sia X la linea di produzione dell'unità selezionata, e D l'evento in cui l'unità è
difettosa.
1. P(D) = 0.037.
2. P(X = 1 | D) = 0.541, P(X = 2 | D) = 0.405, P(X = 3 | D) = 0.054
5.29.
1. 3.75% della popolazione è daltonica
2. 93.3% dei daltonici sono maschi.
5.30. Sia Ri l'evento in cui la pallina i-esima è rossa e Gi l'evento in cui la pallina
i-esima è verde.
1. P(R1
R2
G3) = 4 / 35.
2. P(R2) = 3 / 5.
3. P(R1 | R2) = 2 / 3.
5.31. Sia G l'evento in cui la pallina è verde e U1 l'evento in cui si seleziona l'urna 1.
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Note conclusive
1. P(G) = 9 / 20.
2. P(U1 | G) = 2 / 3.
5.32. Sia G1 l'evento in cui la pallina dell'urna 1 è verde e G2 l'evento in cui la pallina
dell'urna 2 è verde.
1. P(G2) = 9 / 25.
2. P(G1 | G2) = 2 / 3.
Risposte agli esercizi del paragrafo 6
6.1.
1. P(Q1) = P(Q2) = 1 / 13, P(Q2 | Q1) = P(Q1 | Q2) = 1 / 17. Q1, Q2 sono
negativamente correlati.
2. P(H1) = P(H2) = 1 / 4, P(H2 | H1) = P(H1 | H2) = 4 / 17. H1, H2 sono negativamente
correlati.
3. P(Q1) = P(Q1 | H1) = 1 / 13, P(H1) = P(H1 | Q1) = 1 / 4. Q1, H1 sono indipendenti.
4. P(Q2) = P(Q2 | H2) = 1 / 13, P(H2) = P(H2 | Q2) = 1 / 4. Q2, H2 sono indipendenti.
5. P(Q1) = P(Q1 | H2) = 1 / 13, P(H2) = P(H2 | Q1) = 1 / 4. Q1, H2 sono indipendenti.
6. P(Q2) = P(Q2 | H1) = 1 / 13, P(H1) = P(H1 | Q2) = 1 / 4. Q2, H1 sono indipendenti.
6.5. Devono esserci 9 dirigenti donna.
6.11. A, B, C sono indipendenti se e solo se
1. P(A
B) = P(A)P(B).
2. P(A
C) = P(A)P(C).
3. P(B
C) = P(B)P(C).
4. P(A
B
C) = P(A)P(B)P(C).
6.12. A, B, C, D sono indipendenti se e solo se
1. P(A
B) = P(A)P(B).
2. P(A
C) = P(A)P(C).
3. P(A
D) = P(A)P(D).
4. P(B
C) = P(B)P(C).
5. P(B
D) = P(B)P(D).
6. P(C
D) = P(C)P(D).
7. P(A
B
C) = P(A)P(B)P(C).
8. P(A
B
D) = P(A)P(B)P(D).
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Note conclusive
9. P(A
C
D) = P(A)P(C)P(D).
10. P(B
C
D) = P(B)P(C)P(D).
11. P(A
B
C
B
C) = 0.93.
D) = P(A)P(B)P(C)P(D).
6.13.
1. P(A
2. P(Ac
Bc
Cc) = 0.07.
3. P[(A
Bc
Cc)
4. P[(A
B
Cc)
(Ac
(A
B
Bc
Cc)
C)
(Ac
(Ac
Bc
B
C)] = 0.220.
C)] = 0.430.
6.17.
1. P[(A
2. P[A
3. P[(Ac
B)
Bc
Bc)
C] = 3 / 8.
C] = 7 / 8.
Cc] = 5 / 6.
6.18. 1/16
6.21. Sia A l'evento in cui esce almeno un sei.
P(A) = 1 - (5 / 6)5 ~ 0.5981.
6.22. Sia A l'evento in cui esce almeno un doppio sei.
P(A) = 1 - (35 / 36)10 ~ 0.2455
6.23.
1. P(X = 0) = 32 / 243
2. P(X = 1) = 80 / 243
3. P(X = 2) = 80 / 243
4. P(X = 3) = 40 / 243
5. P(X = 4) = 10 / 243
6. P(X = 5) = 1 / 243
6.27.
1. P(X < Y) = 11 / 12.
2. P(X > 20, Y > 20) = 8 / 27.
6.32. Sia F in cui esce un punteggio somma di 4 prima di un punteggio somma di 7.
P(F) = 1 / 3.
6.37.
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Note conclusive
1. R = 0.504
2. R = 0.902
3. R = 0.994
6.38.
R = (p1 + p2 - p1 p2)(p4 + p5 - p4 p5)p3 + (p1 p4 + p2 p5 - p1 p2 p4 p5)(1 - p3)
6.39. Sia L l'evento in cui la situazione è di basso stress e W l'evento in cui il sistema
funziona
1. P(W) = 0.9917
2. P(L | W) = 0.504
6.42. Sia A l'evento in cui la donna è incinta e Ti l'evento in cui il test i-esimo è
positivo.
P(A | T1
T2c
T3) = 0.834.
6.43.
1. sensitività 1 - (1 - a)3, specificità b3.
2. sensitività 3a2(1 - a) + a3, specificità b3 + 3b2(1 - b).
3. sensitività a3, specificità 1 - (1 - b)3.
6.44. Sia C l'evento in cui l'imputato è condannato e G l'evento in cui l'imputato è
colpevole.
1. P(C) = 0.51458
2. P(G | C) = 0.99996
6.55. 11 / 12.
Risposte agli esercizi del paragrafo 7
7.25. Sia Hn l'evento in cui il lancio n-esimo risulta testa, e Tn l'evento in cui il lancio
n-esimo risulta croce.
1. P(lim supn Hn) = 1, P(lim supn Tn) = 1 se 0 < a
1.
2. P(lim supn Hn) = 0, P(lim supn Tn) = 1 se a > 0.
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Introduzione
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1. Introduzione
Il modello di campionamento semplice
Supponiamo di avere una popolazione D di N unità. La popolazione può essere un mazzo
di carte, un insieme di persone, un'urna piena di palline, o qualsiasi altro tipo di
collezione. In molti casi, indichiamo semplicemente le unità con numeri da 1 a N, per cui
D = {1, 2, ..., N}. In altri casi (ad esempio in quello delle carte) può essere più naturale
indicare le unità con vettori. In ogni caso, D è un sottinsieme di Rk per qualche k.
L'esperimento di base consiste nell'estrarre a caso n unità dalla popolazione D e registrare
la sequenza di unità estratte:
X = (X1, X2, ..., Xn), dove Xi appartenente a D è l'i-esima unità estratta.
Se l'estrazione avviene con reinserimento, la dimensione campionaria n può essere
qualsiasi intero positivo. In questo caso, lo spazio campionario S è
S = Dn = {(x1, x2, ..., xn): x1, x2, ..., xn in D}.
Se l'estrazione avviene senza reinserimento, la dimensione campionaria n non può essere
maggior della dimensione della popolazione N. In questo caso, lo spazio campionario S è
costituito da tutte le permutazioni di dimensione n estratte da D:
S = Dn = {(x1, x2, ..., xn): x1, x2, ..., xn in D sono distinti}.
1. Prova che
1. #(Dn) = Nn.
2. #(Dn) = (N)n = N(N - 1) ··· (N - n + 1).
In entrambe le modalità di estrazione assumiamo che i campioni siano equiprobabili e
quindi che la variabile esito X sia distribuita uniformemente su S; tale è il significato del
termine campione casuale:
P(X
A) = #(A) / #(S) per A
S.
Esempi e casi particolari
Siamo particolarmente interessati ai seguenti modelli speciali:
1. Una popolazione dicotomica è formata da due tipi di unità. Per esempio, possiamo
avere un'urna contenente palline rosse o verdi, una scatola di componenti elettronici
che possono essere funzionanti o difettosi, una popolazione di soggetti che possono
essere maschi o femmine, o una popolazione di animali che sono marchiati o non
marchiati.
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Introduzione
2. Più in generale, una popolazione multitipo è formata da unità di k tipi diversi. Per
esempio, un gruppo di elettori può essere formato da democratici, repubblicani e
indipendenti, o un'urna può contenere palline di diversi colori.
3. Un mazzo di carte standard può essere modellato da D = {1, 2, ..., 13} × {0, 1, 2,
3}, dove la prima coordinata codifica la denominazione (asso, 2-10, jack, regina,
re) e la seconda coordinata il seme (picche, quadri, fiori, cuori). L'esperimento delle
carte consiste nell'estrarre n carte a caso e senza reinserimento dal mazzo D.
Pertanto la carta i-esima è Xi = (Yi, Zi) dove Yi è la denominazione e Zi è il seme.
Il caso in cui n = 5 è l'esperimento del poker e il caso n = 13 è l'esperimento del
bridge.
4. Lanciare n dadi bilanciati a sei facce è equivalente a scegliere un campione di
dimensione n con reinserimento dalla popolazione D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. In
generale, selezionare un campione casuale di dimensione n con reinserimento da D
= {1, 2, ..., N} è equivalente a lanciare n dadi equilibrati a N facce.
5. Supponiamo di scegliere n persone a caso e registrare i loro compleanni. Se
assumiamo che i loro compleanni siano distribuiti uniformemente nell'anno, e se
ignoriamo gli anni bisestili, allora l'esperimento è equivalente ad estrarre un
campione di dimensione n, con reinserimento, da D = {1, 2, ..., 365}. Similmente,
possiamo registrare i mesi e le settimane di nascita.
6. Supponiamo di distribuire a caso n palline distinte in N caselle. L'esperimento si
adatta al modello di base, in cui D è la popolazione di caselle e Xi è la casella che
contiene l'i-esima pallina. Campionamento con reinserimento significa che una
casella può contenere più di una pallina, campionamento senza reinserimento
significa che una casella può contenere al massimo una pallina.
7. Supponiamo che all'acquisto di un certo prodotto (gomme da masticare o cereali,
per esempio), si riceva un coupon (una figurina di calciatori o un giocattolo, per
esempio), con identica probabilità di ricevere ciascuno degli N tipi. Possiamo
pensare a questo esperimento come a un campionamento con reinserimento dalla
popolazione dei tipi di coupon; Xi è il coupon che riceviamo all'i-esimo acquisto.
La proprietà di scambiabilità
Torniamo al modello generale consistente nell'estrarre a caso n unità dalla popolazione D,
con o senza reinserimento.
2. Mostra che ogni permutazione di (X1, X2, ..., Xn) ha la medesima distribuzione di
(X1, X2, ..., Xn) stesso (cioè uniforme sullo spazio campionario appropriato S).
Una sequenza di variabili casuali che godono di tale proprietà è detta scambiabile. Anche
se il concetto è molto semplice da afferrare, sia intuitivamente che formalmente, è in ogni
caso estremamente importante. Useremo spesso nel corso di questo capitolo la proprietà
di scambiabilità.
3. Mostra che ogni sequenza di m delle n variabili esito è distribuita uniformemente
sullo spazio campionario appropriato:
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Introduzione
1. Dm se l'estrazione è con reinserimento.
2. Dm se l'estrazione è senza reinserimento.
In particolare, per ciascun modello di campionamento, Xi è distribuita uniformemente su
D per ogni i.
4. Mostra che, se l'estrazione è con reinserimento, X1, X2, ..., Xn sono indipendenti.
Pertanto, nel caso di campionamento con reinserimento, le variabili del campione
formano un campione casuale dalla distribuzione uniforme, in senso tecnico.
5. Mostra che, se l'estrazione è senza reinserimento, allora la distribuzione
condizionata della sequenza di m delle variabili esito data una sequenza di altre j variabili
esito è la distribuzione uniforme sull'insieme delle permutazioni di dimensione m estratte
dalla popolazione quando le j unità note sono rimosse (ovviamente, m + j non può essere
maggiore di n).
In particolare, Xi e Xj sono dipendenti per i e j distinti se il campionamento è senza
reinserimento.
Campioni non ordinati
In molti casi, in particolare se il campionamento è senza reinserimento, l'ordine in cui le
unità vengono estratte non è rilevante, ciò che importa è l'insieme (non ordinato) di unità:
W = {X1, X2, ..., Xn}.
Supponiamo in primo luogo che l'estrazione avvenga senza reinserimento. In questo caso,
W assume valori nell'insieme di combinazioni di dimensione n estratte da D:
T = {{x1, x2, ..., xn}: x1, x2, ..., xn in D sono distinti}.
6. Mostra che #(T) = C(N, n)
7. Prova che W è distribuita uniformemente su T:
P(W
B) = #(B) / #(T) = #(B) / C(N, n) per B
T.
Suggerimento: Per ogni combinazione di dimensione n da D, esistono n! permutazioni di
dimensione n.
Se l'estrazione è con reinserimento, W assume valori nella collezioni di sottinsiemi di D,
di dimensione da 1 a n:
T = {{x1, x2, ..., xn}: x1, x2, ..., xn in D}.
8. Prova che #(T) = C(N + n - 1, n).
9. Mostra che W non è distribuita uniformemente su T.
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Introduzione
Esercizi computazionali
10. Supponi di estrarre un campione di dimensione 2 dalla popolazione {1, 2, 3, 4, 5,
6}. Fai la lista di tutti i campioni
1. Ordinati con reinserimento.
2. Ordinati senza reinserimento.
3. Non ordinati con reinserimento.
4. Non ordinati senza reinserimento.
11. Nell'esperimento delle carte con n = 5 carte (poker), mostra che ci sono
1. 311875200 mani ordinate
2. 2598960 mani non ordinate
12. Nell'esperimento delle carte con n = 13 carte (bridge), mostra che ci sono
1. 3954242643911239680000 mani ordinate
2. 635013559600 mani non ordinate
13. Nell'esperimento delle carte, poni n = 3. Simula 5 replicazioni e ogni volta segna le
sequenza (ordinate) di carte che darebbero la stessa mano non ordinata che hai ottenuto.
14. Nell'esperimento delle carte, mostra che
1. Yi è distribuita uniformemente su {1, 2, ..., 13} per ogni i.
2. Zi è distribuita uniformemente su {0, 1, 2, 3} per ogni i.
15. Nell'esperimento delle carte, mostra che Yi e Zj sono indipendenti per ogni i e j.
16. Nell'esperimento delle carte, mostra che (Y1, Y2), (Z1, Z2) sono dipendenti.
Confronta questo risultato con quello dell'esercizio precedente.
17. Supponi di estrarre una sequenza di 5 carte.
1. Trova la probabilità che la terza carta sia di picche.
2. Trova la probabilità che la seconda e la quarta carta siano regine.
3. Trova la probabilità condizionata che la seconda carta sia di cuori sapendo che la
quinta è di cuori.
4. Trova la probabilità che la terza carta sia una regina e la quarta sia di cuori.
18. Replica l'esperimento delle carte 500 volte, aggiornando ogni volta. Calcola la
frequenza relativa che corrisponde a ciascun valore di probabilità nell'esercizio
precedente.
19. Trova la probabilità che una mano di bridge non contega "10", jack, regine, re o
assi. Tale mano si dice Yarborough, in onore di Earl of Yarborough.
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Introduzione
Il problema della chiave
Supponiamo che una persona abbia n chiavi, di cui solo una apre una certa porta. La
persona prova a caso le chiavi. Indicheremo con N il numero di prova alla quale la
persona trova la chiave giusta.
20. Supponi che le chiavi che non aprono vengano scartate (il che è la cosa più
razionale da fare, ovviamente). Prova che
1. P(N = i) = 1 / n per i = 1, 2, ..., n. Quindi N ha distribuzione uniforme su {1, 2, ...,
n}.
2. E(N) = (n + 1) / 2.
3. var(N) = (n2 - 1) / 12.
21. Supponi che le chiavi che non aprono non vengano scartate (magari la persona ha
bevuto un po' troppo). Prova che
1. P(N = i) = [(n - 1) / n]i - 1(1 / n) for i = 1, 2, ... Quindi N ha distribuzione geometrica
su {1, 2, ...} con parametro 1 / n.
2. E(N) = n.
3. var(N) = n(n - 1).
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Problema della moneta di Buffon
Laboratorio virtuale > Modelli geometrici > [1] 2 3 4 5
1. Problema della moneta di Buffon
L'esperimento della moneta di Buffon è un esperimento casuale, molto antico e
conosciuto, che prende nome dal conte di Buffon. L'esperimento consiste nel lanciare a
caso una moneta su un pavimento coperto da mattonelle di identica forma. L'evento di
interesse è che la moneta cada su una intercapedine tra le mattonelle. Inizieremo a
modellare il problema della moneta di Buffon con il caso di mattonelle quadrate di lato 1
(assumere lunghezza del lato unitaria equivale a misurare la distanza in unità di lato).
Assunzioni
Iniziamo definendo l'esperimento in termini più formali. Come al solito, procederemo
idealizzando gli oggetti fisici: assumiamo che la moneta sia un cerchio perfetto di raggio r
e che le intercapedini siano segmenti di linee. Un modo naturale per descrivere l'esito
dell'esperimento è registrare il centro della moneta relativamente al centro della
mattonella su cui è caduta. Più precisamente, costruiremo assi di coordinate tali che la
mattonella dove cade la moneta occupi il quadrato
S = [-1/2, 1/2]2 = {(x, y): -1/2
x
1/2, -1/2
y
1/2}
Ora, quando la moneta viene lanciata, indichiamo il suo centro con (X, Y) S cosicché S
è lo spazio campionario e X e Y sono le nostre variabili casuali. Assumiamo infine che r <
1/2 per cui è almeno possibile che la moneta cada dentro una mattonella senza toccare una
delle intercapedini.
Ora dobbiamo definira una misura di probabilità appropriata per il nostro vettore aleatorio
(X, Y). Se la moneta è gettata "a caso" sul pavimento, è naturale assumere che (X, Y) sia
distribuita uniformemente su S. Per definizione ciò significa che
P[(X, Y)
A] = area(A) / area(S) per A
S.
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Problema della moneta di Buffon
1. Esegui l'esperimento della moneta di Buffon con le impostazioni predefinite.
Osserva come i punti finiscono per riempire lo spazio campionario S in maniera uniforme.
La probabilità di toccare un'intercapedine
Il nostro interesse è puntato sull'evento C in cui la moneta cade su un intercapedine. In
ogni caso, sembra più semplice descrivere l'evento complementare, in cui la moneta non
incrocia nessuna fessura.
2. Mostra che
Cc = {r - 1/2 < X < 1/2 - r, r - 1/2 < Y < 1/2 - r}
3. Usa il risultato dell'esercizio 2 per mostrare che
1. P(Cc) = (1 - 2r)2
2. P(C) = 1 - (1 - 2r)2.
4. Usa l'analisi (o ciò che sai sulle parabole) per provare che P(C), in funzione di r, ha
il grafico sotto riportato:
5. Nell'esperimento della moneta di Buffon, modifica il raggio con la barra a
scorrimento e osserva come variano gli eventi C e Cc. Simula l'esperimento con diversi
valori di r e confronta l'esperimento fisico coi punti della dispersione. Osserva la
convergenza della frequenza relativa di C alla probabilità di C.
La convergenza della frequenza relativa di un evento (al ripetersi dell'esperimento) alla
probabilità dell'evento è un caso particolare della legge dei grandi numeri.
6. Risolvi il problema della moneta di Buffon nel caso di mattonelle rettangolari di
altezza h e base w.
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Problema della moneta di Buffon
7. Risolvi il problema della moneta di Buffon nel caso di mattonelle triangolari di lato
1.
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La distribuzione multinomiale
Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 2 3 4 5 [6] 7
6. La distribuzione multinomiale
Prove multinomiali
Un processo di prove multinomiali è una successione di variabili casuali indipendenti e
identicamente distribuite
U1, U2, ...,
ciascuna suscettibile di assumere k possibili valori. Pertanto il processo di prove
multinomiali è una semplice generalizzazione del processo di prove Bernoulliane (che
corrisponde al caso k = 2). Per semplicità indicheremo gli esiti con gli interi 1, 2, ..., k. La
funzione di densità comune alle variabili della prova è
pi = P(Uj = i) per i = 1, 2, ..., k (e per ogni j).
Ovviamente pi > 0 per ogni i e p1 + p2 + ··· + pk = 1.
Analogamente al caso della distribuzione binomiale, siamo interessati alle variabili che
indicano il numero di volte in cui ciascun esito si è verificato. Sia
Zi = #{j
{1, 2, ..., n}: Uj = i} per i = 1, 2, ..., k
(per semplicità omettiamo la dipendenza da n). Notiamo che
Z1 + Z2 + ··· + Zk = n,
per cui se conosciamo i valori di k - 1 delle variabili di conteggio, possiamo trovare il
valore della rimanente. Così come per ogni altra variabile di conteggio, possiamo
esprimere Zi come somma di variabili indicatore:
1. Prova che Zi = Ii1 + Ii2 + ··· + Iin dove Iij = 1 if Uj = i e Zij = 0 altrimenti.
Distribuzioni
Per ricavare le distribuzioni congiunte, marginali e condizionate delle variabili conteggio
possiamo utilizzare alcuni semplici strumenti di indipendenza e calcolo combinatorio. In
particolare, ricordiamo la definizione di coefficiente multinomiale
C(n; j1, j2, ..., jk) = n! / (j1! j2! ··· jk!) per interi positivi j1, j2, ..., jk con j1 + j2 + ··· + jk = n.
2. Prova che per interi positivi j1, j2, ..., jk con j1 + j2 + ··· + jk = n,
P(Z1 = j1, Z2 = j2, ..., Zk = jk) = C(n; j1, j2, ..., jk) p1j1 p2j2 ··· pkjk.
La distribuzione di (Z1, Z2, ..., Zk) è detta distribuzione multinomiale con parametri n e
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La distribuzione multinomiale
p1, p2, ..., pk.
Diciamo inoltre che (Z1, Z2, ..., Zk-1) ha tale distribuzione (ricorda che i valori di k - 1
delle variabili di conteggio determinano il valore della rimanente). Di solito è chiaro dal
contesto il senso in cui si intende il termine distribuzione multinomiale. Di nuovo, la
semplice distribuzione binomiale corrisponde a k = 2.
3. Prova che Zi ha distribuzione binomiale con parametri n e pi:
P(Zi = j) = C(n, j) pij (1 - pi)n - j for j = 0, 1, ..., n
La distribuzione multinomiale è preservata dalla combinazione delle variabili di
conteggio. In particolare, supponiamo che A1, A2, ..., Am sia una partizione dell'insieme
di indici {1, 2, ..., k} in sottinsiemi non vuoti. Per ciascun j, sia Wj la somma degli Zi
sugli i in Aj, e sia qj la somma dei pi sugli i in Aj.
4. Mostra che (W1, W2, ..., Wm) ha distribuzione multinomiale con parametri n e
q1, q2, ..., qm.
La distribuzione multinomiale rimane anche quando alcune delle variabili di conteggio
sono osservate. In particolare, supponiamo che A, B sia una partizione dell'insieme di
indici {1, 2, ..., k} in sottinsiemi non vuoti. Supponiamo di osservare Zj = zj per j
appartenente a B. Sia z la somma degli zj sugli j appartenenti a B, e sia p la somma dei pi
sugli i appartenenti a A.
5. Mostra che la distribuzione condizionata di Zi, i appartenente a A dato Zj = zj, j
appartenente a B è multinomiale con parametri n - z e pi / p per i appartenente a A.
Combinazioni dei risultati degli esercizi 5 e 6 possono essere utilizzate per calcolare
qualunque distribuzione marginale o condizionata.
6. Nell'esperimento dei dadi, seleziona il numero di uno. Per ciascuna distribuzione del
dado, inizia con un dado e aggiungine uno ogni volta, osservando la forma della funzione
di densità. Quando arrivi a 10 dadi, esegui la simulazione, aggiornando ogni 10
replicazioni. Osserva la convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.
Momenti
Calcoliamo ora media, varianza, covarianza e correlazione delle variabili di conteggio,
utilizzando i risultati relativi alla binomiale e la rappresentazione in termini di variabili
indicatore.
7. Prova che
1. E(Zi) = npi.
2. var(Zi) = npi(1 - pi).
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La distribuzione multinomiale
8. Mostra che, per i e j distinti,
1. cov(Zi, Zj) = -n pi pj.
2. cor(Zi, Zj) = - {pi pj / [(1 - pi)(1 - pj)]}1/2.
Dall'esercizio 8, nota che il numero di volte che si verifica l'esito i e il numero di volte che
si verifica l'esito j sono negativamente correlati, ma la correlazione non dipende da n o k.
Ti sembra ragionevole?
9. Usa il risultato dell'esercizio 8 per mostrare che, se k = 2, allora il numero di volte
che si verifica il risultato 1 e il numero di volte che si verifica l'esito 2 sono perfettamente
correlati. Ti sembra ragionevole?
10. Nell'esperimento dei dadi, seleziona il numero di uno. Per ciascuna distribuzione
del dado, inizia con un dado e aggiungine uno ogni volta, osservando la dimensione e la
posizione della barra media/deviazione standard. Quando arrivi a 10 dadi, esegui la
simulazione, aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza dei momenti
empirici ai momenti teorici.
Problemi computazionali
11. Supponi di lanciare 10 dadi equilibrati. Trova la probabilità che
1. I punteggi 1 e 6 si verifichino una volta ciascuno e gli altri punteggi due volte
ciascuno.
2. I punteggi 2 e 4 si presentino 3 volte ciascuno.
3. Ci siano 4 punteggi pari e 6 punteggi dispari.
4. I punteggi 1 e 3 si presentino due volte ciascuno sapendo che il punteggio 2 si
presenta una volta e il 5 tre volte.
12. Supponi di lanciare 4 dadi piatti uno-sei (le facce 1 e 6 hanno probabilità 1/4
ciascuna e le facce 2, 3, 4 e 5 hanno probabilità 1/8 ciascuna). Trova la funzione di densità
congiunta del numero di volte in cui ogni punteggio si verifica.
13. Nell'esperimento dei dadi, seleziona 4 dadi piatti uno-sei. Simula 500 replicazioni,
aggiornando ogni volta. Calcola la funzione di frequenza relativa congiunta del numero di
volte che ciascun punteggio si presenta. Confronta la funzione di frequenza relativa con la
funzione di densità teorica.
14. Supponi di lanciare 20 dadi piatti uno-sei. Trova covarianza e correlazione del
numero di uno e due.
15. Nell'esperimento dei dadi, seleziona 20 dadi piatti uno-sei. Simula 500
replicazioni, aggiornando ogni volta. Calcola i valori empirici di covarianza e
correlazione del numero di uno e di due. Confronta i risultati coi loro valori teorici trovati
nell'esercizio 14.
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La distribuzione multinomiale
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Inferenza nel modello ipergeometrico
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3. Inferenza nel modello ipergeometrico
Concetti preliminari
Supponiamo ancora di avere una popolazione dicotomica D con R unità di tipo 1 e N - R
di tipo 2. Come nell'introduzione, estraiamo a caso n unità da D:
X = (X1, X2, ..., Xn), dove Xi appartenente a D è l'i-esima unità estratta.
In molte applicazioni reali, i parametri R o N (o entrambi) possono essere ignoti. In tal
caso, si può essere interessati a trarre inferenza dai parametri ignoti basandosi sulle
osservazioni di Y, ovvero il numero di unità di tipo 1 nel campione. Assumiamo per
iniziare che il campionamento avvenga senza reinserimento, il che è l'ipotesi più realistica
nella maggior parte dei casi. Ricordiamo che, in questo caso, Y ha distribuzione
ipergeometrica con parametri n, R e N.
Stima di R con N noto
Supponiamo che la dimensione della popolazione N sia nota, ma che sia ignoto il numero
R di unità di tipo 1. Tale situazione si può presentare, ad esempio, se abbiamo una scatola
di N chip di memoria che contengono un numero di unità difettose R. Sarebbe troppo
costoso e forse distruttivo sottoporre a test tutti gli N chip, per cui si possono invece
selezionare n chip a caso e sottoporli a test.
Un semplice stimatore di R può essere ricavato sperando che la proporzione campionaria
di unità di tipo uno sia prossima alla proporzione nella popolazione di unità di tipo 1.
Cioè,
Y / n ~ R / N per R ~ N Y / n.
1. Prova che E(N Y / n) = R.
Il risultto dell'esercizio 1 implica che N Y / n è uno stimatore corretto per R. Quindi la
varianza è misura della qualità dello stimatore, nel senso della media quadratica.
2. Mostra che var(N Y / n) = R (N - R) (N - n) / [n (N - 1)].
3. Prova che, per dati N e R, l'errore quadratico medio tende a 0 per n che tende a N.
Lo stimatore quindi migliora all'aumentare della dimensione campionaria; tale proprietà è
nota come consistenza.
4. Nell'esperimento delle palline nell'urna, seleziona l'estrazione senza reinserimento e
poni N = 50, R = 20 e n = 10. Simula 100 replicazioni, aggioranando ogni volta.
1. Per ciascuna replicazione, calcola N Y / n (stima di R), NY / n - R (errore) e (NY /
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Inferenza nel modello ipergeometrico
n - R)2 (errore quadratico).
2. Calcola l'errore medio e l'errore quadratico medio per le 100 replicazioni.
3. Calcola la radice quadrata dell'errore quadratico medio e confronta tale valore,
ricavato empiricamente, con la varianza dell'esercizio 2.
5. Supponi che, da una scatola di 100 chip di memoria, se ne estraggano a caso e
senza reinserimento 10. I chip vengono provati e 2 risultano difettosi. Stima il numero di
chip difettosi nell'intera scatola.
6. Un comune ha 5000 elettori. Supponi che se ne scelgano a caso 100 e che,
intervistati, 40 preferiscano il candidato A. Stima il numero di elettori del comune che
preferiscono A.
Campioni per accettazione
A volte non siamo interessati alla stima di R, ma a determinare se R raggiunge o supera
un certo valore critico C. Questa situazione si presenta in particolare per i campioni per
accettazione. Supponiamo di avere una popolazione di unità buone o difettose. Se il
numero di unità difettose R è maggiore o uguale a C (il valore critico), allora rifiutiamo
l'intero lotto. Testare tutte le unità è costoso e distruttivo, per cui dobbiamo testare un
campione casuale di n unità (ovviamente estratte senza reinseirmento) e basare la nostra
decisione di accettare o rifiutare il lotto sul numero di unità difettose nel campione.
Chiaramente, l'unico approccio ragionevole è scegliere un nuovo valore critico c e
rifiutare il lotto se il numero di unità difettose nel campione è maggiore o uguale a c. In
termini statistici, abbiamo descritto un test di ipotesi.
Nei seguenti esercizi, poni N = 100 e C = 10. Rifiutiamo il lotto di 100 unità se il numero
di unità difettose R è 10 o più. Supponiamo di poterci permettere al massimo di verificare
n = 10 unità.
Analizziamo in primo luogo il test seguente: Rifiutare il lotto se il numero di unità
difettose del campione è almeno 1.
7. Per ciascuno dei seguenti valori di R (il numero "vero" di unità difettose), trova la
probabilità di prendere la decisione corretta e quella di prendere la decisione sbagliata:
1. R = 6
2. R = 8
3. R = 10
4. R = 12
5. R = 14
8. Nell'esperimento delle palline nell'urna, seleziona l'estrazione senza reinserimento e
poni N = 100 e n = 10. Per ciascuno dei valori di R proposti nell'esercizio 7, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola la frequenza relativa dei rifiuti e confrontala
con la probabilità trovata nell'esercizio 7.
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Inferenza nel modello ipergeometrico
Analizziamo ora il test seguente: Rifiutare il lotto se il numero di unità difettose del
campione è almeno 2.
9. Per ciascuno dei seguenti valori di R (il numero "vero" di unità difettose), trova la
probabilità di prendere la decisione corretta e quella di prendere la decisione sbagliata:
1. R = 6
2. R = 8
3. R = 10
4. R = 12
5. R = 14
10. Nell'esperimento delle palline nell'urna, seleziona l'estrazione senza reinserimento
e poni N = 100 e n = 10. Per ciascuno dei valori di R proposti nell'esercizio 9, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 100. Calcola la frequenza relativa dei rifiuti e
confrontala con la probabilità trovata nell'esercizio 9.
11. Dei due test appena visti,
1. Quale funziona meglio quando il lotto dovrebbe essere accettato (R < 10)?
2. Quale funziona meglio quando il lotto dovrebbe essere rifiutato (R
10)?
Stima di N con R noto
Supponiamo ora che il numero di unità di tipo 1 R sia noto e che la dimensione della
popolazione N sia ignota. Come esempio di questo tipo di situazione, supponiamo di
avere un lago contenente N pesci, con N ignoto. Catturiamo R pesci, li marchiamo e li
ributtiamo nel lago. Poi catturiamo di nuovo n pesci e osserviamo Y, numero di pesci
marchiati nel campione. Vogliamo stimare N a partire da questi dati. In questo contesto, il
problema della stima è detto a volte problema di cattura-ricattura.
12. Pensi che l'assunzione principale dell'esperimento delle palline e dell'urna, ovvero
equiprobabilità dei campioni, sia soddisfatto in un problema reale di cattura e ricattura?
Spiega perché.
Di nuovo, possiamo ricavare una stima di N sperando che la proporzione campionaria
delle unità di tipo 1 sia prossima alla proporzione della popolazione di unità di tipo 1.
Cioè
Y / n ~ R / N per N ~ nR / Y (se Y > 0).
Quindi, il nostro stimatore per N è nR / Y se Y > 0 ed è indefinito se Y = 0.
13. Nell'esperimento delle palline nell'urna, seleziona l'estrazione senza reinserimento
e poni N = 80, R = 30 e n = 20. Simula 100 replicazioni, aggiornando ogni volta
1. Per ciascuna replicazione, calcola nR / Y (stima di R), nR / Y - N (errore) e (nR / Y
- N)2 (errore quadratico).
2. Calcola l'errore medio e l'errore quadratico medio per le 100 replicazioni.
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Inferenza nel modello ipergeometrico
3. Calcola la radice quadrata dell'errore quadratico medio. Tale valore è una stima
empirica dell'errore quadratico medio dello stimatore.
14. In un certo lago si catturano 200 pesci, li si marchiano e li si ributtano nel lago.
Poi si catturano 100 pesci e si vede che 10 di essi sono marchiati. Stima la popolazione di
pesci nel lago.
15. Prova che, se k > 0, allora nR / k massimizza P(Y = k) in funzione di N per dati R e
n. Ciò significa che nR / Y è lo stimatore di massima verosimiglianza di N.
16. Usa la disuguaglianza di Jensen per mostrare che E(nR / Y)
Lo stimatore è quindi distorto e tende a sovrastimare N. Infatti, se n
= 0) > 0, E(nR / Y) è infinito.
N.
N - R, per cui P(Y
17. Nell'esperimento delle palline e dell'urna, seleziona campionamento senza
reinserimento e poni N = 100, R = 60 e n = 30. Simula 100 replicazioni, aggiornando ogni
volta. Per ciascuna replicazione, calcola nR / Y, stima di N. Fai la media delle stime e
confrontala con N.
Per un approccio diverso alla stima di N, vedi il paragrafo sulle statistiche d'ordine.
Estrazioni con reinserimento
Supponiamo ora che il campionamento sia con reinserimento, anche se ciò è poco
realistico in molte applicazioni pratiche. In questo caso, Y ha distribuzione binomiale con
parametri n e R / N.
18. Prova che
1. E(N Y / n) = R.
2. var(N Y / n) = R (N - R) / n.
Quindi lo stimatore di R con N noto è sempre corretto, ma ha errore quadratico medio
maggiore. Pertanto il campionamento senza reinserimento funziona meglio, qualunque
siano i valori dei parametri, di quello con reinserimento.
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10
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La distribuzione ipergeometrica multivariata
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10
4. La distribuzione ipergeometrica multivariata
Supponiamo ora di avere una popolazione di più tipi, in cui ciascuna unità è di uno dei k
tipi. Per esempio, possiamo avere un'urna con palline di diversi tipi, o una popolazione di
elettori che possono essere democratici, repubblicani o indipendenti. Sia Di il sottinsieme
di tutte le unità di tipo i e sia Ni il numero di unità di tipo i, per i = 1, 2, ..., k. Quindi
D = D1
D2
···
Dk e N = N1 + N2 + ··· + Nk.
Il modello dicotomico considerato in precedenza è ovviamente un caso particolare con k =
2. Come nel modello di campionamento semplice, estraiamo a caso n unità da D:
X = (X1, X2, ..., Xn), dove Xi appartenente a D è l'i-esima unità estratta.
Sia ora Yi il numero di unità di tipo i nel campione, per i = 1, 2, ..., k. Notiamo che
Y1 + Y2 + ··· + Yk = n,
per cui se conosciamo i valori di k - 1 delle variabili conteggio, possiamo trovare il valore
della rimanente. Così come avviene per le altre variabili di conteggio, possiamo esprimere
Yi come somma di variabili indicatore:
1. Prova che Yi = Ii1 + Ii2 + ··· + Iin dove Iij = 1 se Xj appartiene a Di e Iij = 0
altrimenti.
Per iniziare, possiamo assumere che le estrazioni avvengano senza reinserimento, poiché
si tratta del caso più realistico nella maggior parte delle applicazioni.
Distribuzioni
Per ricavare la densità congiunta delle variabili di conteggio si possono usare semplici
risultati di calcolo combinatorio. Ricordiamo che, poiché si estrae senza reinserimento, il
campione non ordinato è distribuito uniformemente sulle conbinazioni di dimensione n
estratte da D.
2. Mostra che, per interi nonnegativi j1, j2, ..., jk con j1 + j2 + ··· + jk = n,
P(Y1 = j1, Y2 = j2, ..., Yk = jk) = C(N1, j1)C(N2, j2) ··· C(Nk, jk) / C(N, n).
La distribuzione di (Y1, Y2, ..., Yk) è detta distribuzione ipergeometrica multivariata con
parametri N, N1, N2, ..., Nk e n. Si dice anche che (Y1, Y2, ..., Yk - 1) ha tale distribuzione
(ricordiamo di nuovo che k - 1 valori qualsiasi delle variabili individuano il valore della
restante). Di solito è evidente dal contesto of quale significato dare a ciò. La distribuzione
ipergeometrica ordinaria corrisponde a k = 2.
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La distribuzione ipergeometrica multivariata
3. Ricava la seguente formula alternativa della densità ipergeometrica multivariata in
due modi: combinatorialmente, considerando il campione ordinato distribuito
uniformemente sulle permutazioni di dimensione n estratte da D, e algebricamente, a
partire dal risultato dell'esercizio 2.
P(Y1 = j1, Y2 = j2, ..., Yk = jk) = C(n; j1, j2, ..., jk) (N1)j1(N2)j2··· (Nk)jk / (N)n.
4. Prova che Yi ha distribuzione ipergeometrica con parametri N, Ni e n:
P(Yi = j) = C(Ni, j)C(N - Ni, n - j) / C(N, n) per j = 0, 1, ..., n.
La distribuzione ipergeometrica multivariata permane sotto combinazioni delle variabili
di conteggio. In particolare, supponiamo che A1, A2, ..., Al sia una partizione dell'insieme
degli indici {1, 2, ..., k} in sottinsiemi non vuoti. Per ogni j, sia Wj la somma degli Yi
sugli i in Aj e sia Mj la somma degli Ni sugli i in Aj.
5. Mostra che (W1, W2, ..., Wl) ha distribuzione ipergeometrica multivariata con
parametri N, M1, M2, ..., Ml e n.
La distribuzione ipergeometrica multivariata permane anche quando alcune delle variabili
di conteggio sono note. In particolare, supponiamo che A, B sia una partizione
dell'insieme di indici {1, 2, ..., k} in sottinsiemi non vuoti. Supponiamo di osservare Yj =
yj per j appartenente a B. Sia z la somma degli yj sui j in B e sia M la somma degli Ni
sugli i in A.
6. Mostra che la distribuzione condizionata degli Yi, per i appartenenti ad A dati Yj =
yj, per j appartenenti a B è ipergeometrica multivariata con parametri M, Ni, per i
appartenente ad A e n - z.
Combinando i risultati degli esercizi 5 e 6 si possono calcolare le distribuzioni marginali o
condizionate delle variabili di conteggio.
Momenti
Vediamo ora come calcolare media, varianza, covarianza e correlazione delle variabili di
conteggio. Gli strumenti principali che utilizzeremo sono i risultati relativi alla
distribuzione ipergeometrica univariata e la rappresentazione in termini di variabili
indicatore.
7. Mostra che
1. E(Yi) = n Ni / N
2. var(Yi) = n (Ni / N)(1 - Ni / N) (N - n) / (N - 1)
8. Supponi che i e j siano distinti. Prova che
1. cov(Iir, Ijr) = -NiNj / N2 per r = 1, 2, ..., n.
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La distribuzione ipergeometrica multivariata
2. cov(Iir, Ijs) = -NiNj / [N2(N - 1)] per distinti r, s = 1, 2, ..., n.
9. Supponi che i e j siano distinti. Prova che
1. cor(Iir, Ijr) = -{NiNj / [(N - Ni)(N - Nj)]}1/2 per r = 1, 2, ..., n.
2. cor(Iir, Ijs) = {NiNj / [(N - Ni)(N - Nj)]}1/2 [1 / (N - 1)] per distinti r, s = 1, 2, ..., n.
In particolare, Iir, Ijr sono negativamente correlati per i e j distnti e per qualsiasi valore di r
e s. Ti sembra ragionevole?
10. Usa il risultato degli esercizi 7 e 8 per mostrare che, per i e j distinti,
1. cov(Yi, Yj) = -(nNiNj / N2)[(N - n) / (N - 1)]
2. cor(Yi, Yj) = -{NiNj / [(N - Ni)(N - Nj)]}1/2.
Estrazioni con reinserimento
Supponiamo ora che le estrazioni avvengano con reinserimento, anche se questa
assunzione è spesso poco realistica nelle applicazioni reali.
11. Mostra che il tipo di unità del campione forma una sequenza di n prove
multinomiali con parametri N1 / N, N2 / N, ..., Nk / N.
I seguenti risultati discendono immediatamente dalla teoria generale delle prove
multinomiali, anche se si possono usare dimostrazioni diverse.
12. Prova che (Y1, Y2, ..., Yk) ha distribuzione multinomiale con parametri n e N1 / N,
N2 / N, ..., Nk / N: per interi non negativi j1, j2, ..., jk con j1 + j2 + ··· + jk = n,
P(Y1 = j1, Y2 = j2, ..., Yk = jk) = C(n; j1, j2, ..., jk) N1j1N2j2··· Nkjk / Nn.
13. Mostra che
1. E(Yi) = n Ni / N.
2. var(Yi) = n (Ni / N)(1 - Ni / N).
3. cov(Yi, Yj) = -(nNiNj / N2) per i e j distinti.
4. cor(Yi, Yj) = -{NiNj / [(N - Ni)(N - Nj)]}1/2 per i e j distinti.
Convergenza dell'ipergeometrica multivariata alla multinomiale
Supponiamo che la dimensione della popolazione N sia molto grande rispetto alla
dimensione del campione n. In questo caso, sembra ragionevole che il campionamento
senza reinserimento non sia troppo diverso da quello con reinserimento, e che quindi la
distribuzione ipergeometrica multivariata possa essere approssimata con la multinomiale.
L'esercizio seguente precisa meglio questa osservazione. Si tratta di un risultato molto
utile nella pratica, poiché in molti casi non si conosce con precisione l'ampiezza della
popolazione.
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La distribuzione ipergeometrica multivariata
14. Supponi che Ni dipenda da N e che
Ni / N
pi in [0, 1] per N
for i = 1, 2, ..., k.
Prova che, per dato n, la funzione di densità ipergeometrica multivariata con parametri N,
N1, N2, ..., Nk, e n converge alla funzione di densità multinomiale con parametri n e p1,
p2..., pk. Suggerimento: Usa la rappresentazione dell'esercizio 3.
Problemi computazionali
15. Supponi che si estragga casualmente da un mazzo standard di 52 carte una mano
di bridge (13 carte). Trova la probabilità che la mano contenga
1. 4 carte di cuori.
2. 4 carte di cuori e 3 di picche.
3. 4 carte di cuori, 3 di picche e 2 di fiori
4. 7 carte rosse e 6 carte nere.
16. Supponi che si estragga casualmente da un mazzo standard di 52 carte una mano
di bridge (13 carte). Trova
1. Media e varianza del numero di carte di cuori.
2. Covarianza tra numero di carte di cuori e di picche.
3. Correlazione tra numero di carte di cuori e di picche.
17. Una popolazione di 100 elettori è formata da 40 repubblicani, 35 democratici e 25
indipendenti. Si estrae un campione di 10 elettori
1. Trova la probabilità che il campione contenga almeno 4 repubblicani, 3 democratici
e 2 indipendenti.
2. Trova l'approssimazione multinomiale alla probabilità in (a).
18. Supponi che si estragga casualmente da un mazzo standard di 52 carte una mano
di bridge (13 carte). Trova la probabilità condizionata che la mano contenga
1. 4 cuori e 3 picche dati 4 fiori.
2. 4 cuori dati 3 picche e 2 fiori.
Vuoti
Nell'esperimento delle carte, una mano che non contiene carte di un certo seme è detta
vuota in tale seme.
19. Usa la regola di inclusione-esclusione per mostrare che la probabilità che una mano
di poker sia vuota in almeno un seme è
1913496 / 2598960 ~ 0.736.
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La distribuzione ipergeometrica multivariata
20. Nell'esperimento delle carte, poni n = 5. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni volta. Calcola la frequenza relativa dell'evento in cui la mano sia vuota in almeno un
seme e confrontala con la probabilità trovata nell'esercizio 10.
21. Usa la regola di inclusione-esclusione per mostrare che la probabilità che una mano
di bridge sia vuoa in almeno un seme è
32427298180 / 635013559600 ~ 0.051.
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10
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Il problema del collezionista
Laboratorio virtuale > Modelli di campionamento finito > 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10
9. Il problema del collezionista
Concetti preliminari
L'esperimento casuale consiste nel campionare ripetutamente, con reinserimento, dalla
popolazione D = {1, 2, ..., N}. Si genera così una sequenza di variabili casuali
indipendenti, ciascuna con distribuzione uniforme su D:
X1, X2, X3, ...
Interpretiamo questo tipo di campionamento come una collezione di figurine: ogni volta
che il collezionista compra un certo prodotto (gomme da masticare o cereali, per
esempio), riceve una figurina o un giocattolo, equiprobabilmente uno degli N tipi. Quindi,
in questo contesto, Xi è il tipo di figurina che si trova all'i-esimo acquisto.
Sia VN, n il numero di valori distinti nelle prime n estrazioni, cioè la variabile casuale che
abbiamo visto nel paragrafo precedente. In questo paragrafo ci interessiamo alla
dimensione campionaria necessaria per avere k valori distinti:
WN, k = min{n: VN, n = k}, k = 1, 2, ..., N.
In termini del collezionista, tale variabile casuale indica il numero di acquisti necessari
per avere k tipi di figurine diverse. Notiamo che i valori possibili di WN, k sono k, k + 1, k
+ 2, .... Siamo particolarmente interessati a WN,N, cioè la dimensione campionaria
necessaria per ottenere l'intera popolazione. In termini del collezionista, ciò rappresenta il
numero di prodotti necessario per avere l'insieme completo di figurine.
1. Nell'esperimento del collezionista, poni N = 50 e modifica k. Osserva forma e
posizione del grafico di densità. Con k = 20, esegui l'esperimento passo per passo un paio
di volte e osserva i risultati. Simula poi 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva
la convergenza delle frequenze relative alla distribuzione "vera".
La funzione di densità
Troviamo ora la distribuzione di WN, k. Ci saranno d'aiuto i risultti del paragrafo
precedente
2. Dimostra che
WN, k = n se e solo se VN, n - 1 = k - 1 and VN, n = k.
3. Usa l'esercizio 2 e la probabilità condizionata per provare che
P(WN, k = n) = P(VN, n - 1 = k - 1)(N - k + 1) / N.
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Il problema del collezionista
4. Usa il risultato dell'esercizio precedente e la distribuzione di VN, n - 1 individuata nel
paragrafo precedente per mostrare che n = k, k + 1, ...,
P(WN,k = n) = C(N - 1, k - 1)
j = 0, ..., k - 1
(-1)j C(k - 1, j)[(k - 1 - j) / N]n - 1.
5. Nell'esperimento del collezionista, poni N = 100 e modifica k. Osserva forma e
posizione del grafico di densità. Con k = 50, esegui l'esperimento passo per passo un paio
di volte e osserva i risultati. Simula poi 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva
la convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.
6. Supponi che dei soggetti vengano selezionati a caso finché non si ottengono 10
distinte settimane di nascita. Trova la probabilità che si estraggano al più 12 persone.
7. Supponi di lanciare un dado equilibrato finché non sono usciti tutti e 6 i punteggi.
Trova la probabilità di tirare meno di 10 volte.
8. Le scatole di una certa marca di cereali contengono un pupazzo di 10 tipi diversi.
Trova la probabilità di trovarli tutti acquistando al più 15 scatole.
Momenti
Mostreremo ora come WN, k possa essere scompsta in una somma di k variabili
indipendenti e con distribuzione geometrica. Ciò spiega meglio la natura della
distribuzione e rende più semplice il calcolo di media e varianza.
Per i = 1, 2, ... N, sia Zi il numero di valori campionari necessari per passare da i - 1 a i
valori distinti.
9. Dimostra che
1. Z1, Z2, ..., ZN sono indipendenti.
2. Zi ha distribuzione geometrica con parametro pi = (N - i + 1) / N.
3. WN, k = Z1 + Z2 + ··· + Zk.
L'esercizio 9 mostra che, una volta ottenuta una figurina, diventa più difficile ottenere la
seguente.
10. Nell'esperimento del collezionista, poni N = 50 e modifica k. Osserva forma e
posizione del grafico di densità. Con k = 25, esegui l'esperimento passo per passo un paio
di volte e osserva i risultati. Simula poi 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva
la convergenza delle statistiche campionarie ai parametri della distribuzione.
11. Usa il risultato dell'esercizio 9 per mostrare che
1. E(WN, k) =
i = 1, ..., k
N / (N - i + 1).
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Il problema del collezionista
2. var(WN, k) =
i = 1, ..., k (i
- 1)N / (N - i + 1)2.
12. Calcola media e deviazione standard del numero di persone che devono essere
scelte per avere 10 settimane di nascita distinte.
13. Calcola media e deviazione standard del numero di volte che un dado dev'essere
lanciato per avere tutti e sei i punteggi.
14. Le scatole di una certa marca di cereali contengono un pupazzetto di 10 tipi
diversi. Trova media e deviazione standard del numero di scatole che si devono acquistare
per avere la collezione completa di pupazzi.
15. Calcola media e deviazione standard del numero di persone che devono essere
scelte per avere compleanni tutti e 365 i giorni dell'anno.
16. Nell'esperimento del collezionista, poni N = 10 e modifica k. Osserva forma e
posizione del grafico di densità. Con k = 10, esegui l'esperimento passo per passo un paio
di volte e osserva i risultati. Simula poi 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva
la convergenza delle statistiche campionarie ai parametri della distribuzione.
17. Usa il risultato dell'esercizio 9 per mostrare che la funzione generatrice di
probabilità di WN, k è
GN, k(t) = tk
i = 1, ..., k
[N - (i - 1)] / [N - (i - 1)t] for |t| < N / (k - 1).
Relazione ricorsiva
Un approccio alternativo alla distribuzione della dimensione campionaria necessaria per
avere k valori distinti è tramite una formula ricorsiva.
18. Sia cN, k(n) = P(WN, k = n) per n = k, k + 1, .... Usa la probabilità condizionata per
mostrare che
cN, k(n + 1) = [(k - 1) / N]cN, k(n) + [(N - k + 1) / N]cN, k - 1(n).
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Note conclusive
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10. Note conclusive
Simulazione dei campioni casuali
È molto semplice simulare un campione casuale di dimensione n con reinserimento da D
= {1, 2, ..., N}. Ricorda che la funzione ceil(x) dà il minore intero maggiore di x.
1. Sia Ui un numero casuale per i = 1, 2, ..., n. Prova che Xi = ceil(NUi), i = 1, 2, ..., n
simula un campione casuale con reinserimento da D.
È un po' più difficile simulare un campione di dimensione n, senza reinserimento, poiché
dobbiamo rimuovere il valore estratto prima di ogni estrazione successiva.
2. Prova che l'algoritmo seguente genera un campione casuale di dimensione n, senza
reinserimento, da D.
Per i = 1 a N, sia bi = i.
Per i = 1 a n,
sia j = N – i + 1;
sia Ui = numero casuale;
sia J = ceil(j Ui);
sia Xi = bJ;
sia k = bj;
sia bj = bJ;
sia bJ = k.
Restituisci (X1, X2, ..., Xn).
Argomenti correlati
●
Il campionamento con reinserimento (o campionamento da popolazione infinita) dà
variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite. Il capitolo sui campioni
casuali studia in generale variabili di tale tipo.
●
I giochi di carte sono basati su estrazioni senza reinserimento; i giochi di dadi su
estrazioni con reinserimento. Il capitolo sui giochi presenta alcuni risultati in questo
senso.
Le prove multinomiali sono basate sul campionamento con reinserimento da una
popolazione di più tipi.
Il problema della stima dei parametri a partire da un campione casuale è analizzato
nel capitolo sulla stima puntuale.
●
●
Libri
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Note conclusive
●
Il miglior riferimento sulla probabilità combinatoria resta forse il classico An
Introduction to Probability Theory and its Applications, di William Feller.
●
Un numero incredibile di problemi di probabilità possono essere formulati in
termini di esperimenti di palline e urne. Il rfierimento migliore per questa teoria è
Urn Models and Their Application di Johnson e Kotz.
Risposte agli esercizi del paragrafo 1
1.17.
1. 1 / 4
2. 1 / 221
3. 4 / 17
4. 1 / 52
1.19. 0.000547
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.15. Y = numero di chip difettosi nel campione
1. P(Y = k) = C(10, k) C(90, 5 - k) / C(100, 5) per k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2. E(Y) = 0.5, var(Y) = 0.432
3. P(Y > 0) = 0.416
2.16. Y = numero di donne, Z = 10 - Y = numero di uomini
1. E(Y) = 6, var(Y) = 1.959
2. E(Z) = 4, var(Z) = 1.959
3. P(Y = 0) + P(Y = 10) = 0.00294
2.22. Y = numero di pesci marchiati nel campione
1. P(Y
2) = 0.6108
2. P(Y 2) = 0.6083
3. Errore relativo: 0.0042.
2.23. 0.6331
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.5. 20
3.6. 2000
3.7.
R Corretto Sbagliato
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Note conclusive
6 0.523
8 0.417
10 0.670
12 0.739
14 0.795
0.478
0.583
0.330
0.261
0.205
3.9.
R Corretto Sbagliato
6 0.890
0.109
8 0.818
0.182
10 0.262
0.732
12 0.343
0.657
14 0.424
0.526
3.11.
1. Rifiuta il lotto se Y
2.
2. Rifiuta il lotto se Y
1.
3.14. 2000
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.15.
1. 0.2386
2. 0.0741
3. 0.0180
4. 0.2385
4.16.
1. 3.25
2. 1.864
3. -0.6213
4. -1 / 3
4.17.
1. 0.2370
2. 0.2168
4.18.
1. 0.0753
2. 0.3109
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Note conclusive
Risposte agli esercizi del paragrafo 5
5.6.
1. P(X(3) = k) = C(k - 1, 2) C(25 - k, 2) / C(25, 5) per k = 3, 4, ..., 22
2. E(X(3)) = 13
3. var(X(3)) = 125 / 7.
5.17. 1437
5.19. 2322
Risposte agli esercizi del paragrafo 6
6.5. 1,334,961
6.9.
k 0 1 2 3 45
b5(k) 44 45 20 10 0 1
6.12.
k
0
1
2
3
45
P(N5 = k) 0.3667 0.3750 0.1667 0.0833 0 0.0083
6.22.
1. 1 / 100
2. 1 / 16
Risposte agli esercizi del paragrafo 7
7.5. 0.6029
7.7. 0.2778
7.9. 0.6181
7.11. 0.3024
7.14. 9
Risposte agli esercizi del paragrafo 8
8.9. 0.3041
8.11. 0.2218
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Note conclusive
8.14. 0.3415
8.16. 0.3174
8.20. 87.576, 2.942
8.21. 22.952, 1.826
8.21. 9.894, 1.056
8.25. Sia V il numero di risposte distinte.
1.
j
1 2 3
P(V = j) 1/16 9/16 6/16
2. P(V = 1) = 1/16
3. E(V) = 37/16
4. sd(V) = 0.6830
8.25. Sia V il numero di oche uccise.
1.
j
1
2
3 4
5
P(V = j) 1/10000 927/2000 9/50 63/127 189/625
2. E(V) = 4.095
3. sd(V) = 0.727
Risposte agli esercizi del paragrafo 9
9.6. 0.9104
9.7. 0.8110
9.8. 0.0456
9.12. 10.988, 1.130
9.13. 14.700, 6.244
9.14. 29.290, 11.211
9.15. 2364.646, 456.207
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Craps
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4. Craps
Craps è un gioco popolare nei casinò grazie alla sua complessità e alla ricca varietà di puntate
che si possono fare. Una tavola da craps tipica è mostrata nella figura seguente:
Secondo Richard Epstein, craps discende da un gioco precedente detto Hazard, che risale al
medioevo. Le regole di Hazard vennero precisate formalmente da Montmort all'inizio del 1700.
L'origine del nome craps è dubbia, ma può derivare dall'inglese crabs (granchi) o dal francese
Crapeaud (rospo).
Dal punto di vista formale, craps è interessante perché costituisce un esempio di esperimento
casuale in fasi distinte; l'evoluzione del gioco dipende dall'esito del primo lancio. In particolare,
il numero di lanci è una variabile casuale.
Definizione del gioco
Le regole di craps sono le seguenti: il giocatore (detto tiratore) lancia due dadi equilibrati
1. Se la somma è 7 o 11 al primo lancio, il tiratore ha vinto; tale evento è detto natural.
2. Se la somma è 2, 3, o 12 al primo lancio, il tiratore ha perso; tale evento è detto craps.
3. Se la somma è 4, 5, 6, 8, 9, o 10 al primo lancio, tale numero è il punteggio del tiratore. Il
tiratore continua a tirare i dadi finché esce di nuovo il punteggio (nel qual caso vince) o
esce 7 (nel qual caso perde).
Finché il giocatore vince o perde tirando craps, tiene i dadi e continua a tirare. Una volta che
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Craps
perde non riuscendo a fare il punteggio, si passano i dadi al tiratore seguente.
Consideriamo il gioco in termini più formali. L'assunzione di base è ovviamente che i dadi siano
equilibrati e che gli esiti dei vari lanci siano indipendenti. Sia N il numero di lanci effettuato e sia
(Xi, Yi) l'esito dell'i-esimo lancio per i = 1, 2, ..., N. Infine, sia Zi = Xi + Yi, la somma dei
punteggi all'i-esimo lancio, e sia I la variabile indicatore della vittoria del giocatore.
1. Nell'applet craps, esegui un paio di volte l'esperimento e osservane gli esiti. Assicurati di
aver capito bene le regole del gioco.
La probabilità di vittoria
Calcoliamo la probabilità che il tiratore vinca in più fasi, basandoci sull'esito del primo lancio.
2. Prova che Z1 ha la funzione di densità di probabilità riportata nella tabella seguente:
z
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(Z1 = z) 1 / 36 2 / 36 3 / 36 4 / 36 5 / 36 6 / 36 5 / 36 4 / 36 3 / 36 2 / 31 1 / 36
La probabilità che il giocatore tiri il punteggio può essere calcolata utilizzando il
condizionamento. Per esempio, supponiamo che il giocatore tiri un 4, per cui 4 è il punteggio. Il
giocatore continua a tirare finché non esce un 4 o un 7. Il lancio finale è quindi uno dei seguenti:
(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
Poiché i dadi sono equilibrati, i risultati sono equiprobabili, pertanto la probabilità che il
giocatore faccia il punteggio 4 è 3 / 9). Un'argomento simile può essere utilizzato per gli altri
punti. I risultati sono presentati nell'esercizio seguente.
3. Prova che la probabilità di fare il punteggio z sono quelle riportate nella tabella seguente:
z
4 5
6
8
9
10
P(I = 1 | Z1 = z) 3 / 9 4 / 10 5 / 11 5 / 11 4 / 10 3 / 9
4. Usa i risultati degli esercizi 1 e 3 per mostrare che
1. P(I = 1) = 244 / 495 ~ 0.49292
2. P(I = 0) = 251 / 495 ~ 0.50707
Notiamo che craps è un gioco quasi equilibrato.
Puntate
Nel gioco del craps vi è un'incredibile varietà di puntate. Negli esercizi seguenti presenteremo
alcune puntate tipiche e calcoleremo le loro densità, media e deviazione standard. (La maggior
parte di tali puntate sono evidenziate nella figura del tavolo da craps presentata sopra). Notiamo,
in ogni caso, che alcuni dei dettagli delle puntate e in particolare gli odds variano da casinò a
casinò. Ovviamente il valore atteso di ogni puntata è inevitabilmente negativo (per il giocatore),
per cui il giocatore è destinato a perdere, nel lungo termine. Tuttavia, come vedremo, alcune
puntate sono migliori di altre.
Una puntata pass punta sul fatto che il tiratore vinca e paga 1:1.
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Craps
5. Sia W la vincita di una puntata pass unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 251 / 495, P(W = 1) = 244 / 495.
2. E(W) = -0.0141.
3. sd(W) = 0.9999.
6. Nell'applet craps, seleziona la puntata pass. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10,
e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici.
Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata don't pass punta sul fatto che il tiratore perda, a parte il fatto che il 12 al primo
lancio è escluso (cioè, il tiratore perde, ma chi ha puntato su don't pass non vince né perde). Tale
è il significato della frase don't pass bar double 6 sul tavolo da craps. Anche la puntata don't pass
paga 1:1.
7. Sia W la vincita di una puntata don't pass unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 244 / 495, P(W = 0) = 1 / 36, P(W = 1) = 949 / 1980.
2. E(W) = -0.01363.
3. sd(W) = 0.9859.
8. Nell'applet craps, seleziona la puntata don't pass. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
netta?
Le puntate come e don't come sono analoghe a pass e don't pass, ma vengono fatte dopo aver
stabilito il punteggio.
Una puntata field è relativa all'esito del tiro successivo. Paga 1:1 se esce 3, 4, 9, 10, o 11, 2:1 se
esce 2 o 12 e perde altrimenti.
9. Sia W la vincita di una puntata field unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 5 / 9, P(W = 1) = 7 / 18, P(W = 2) = 1 / 18.
2. E(W) = -0.0556
3. sd(W) = 1.0787
10. Nell'applet craps, seleziona la puntata field. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni
10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici.
Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata 7 è relativa all'esito del lancio successivo. Paga 4:1 se esce un 7 e perde altrimenti.
Similmente, una puntata 11 paga 15:1 se esce 11. Nonostante la cabalistica del numero 7,
mostreremo nel prossimo esercizio che la puntata 7 è una delle peggiori.
11. Sia W la vincita di una puntata 7 unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 5 / 6, P(W = 4) = 1 / 6.
2. E(W) = -0.1667.
3. sd(W) = 1.8634.
12. Nell'applet craps, seleziona la puntata 7. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
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Craps
osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi
di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
13. Sia W la vincita di una puntata 11 unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 17 / 18, P(W = 15) = 1 / 18.
2. E(W) = -0.1111
3. sd(W) = 3.6650;
14. Nell'applet craps, seleziona la puntata 11. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10,
e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici.
Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Tutte le puntate craps sono relative al tiro successivo. Pagano 7:1 se esce 2, 3 o 12 e perdono
altrimenti. Similmente, la craps 12 paga 30:1 se esce un 12 e perde altrimenti. Infine, la craps 3
paga 15:1 se esce 3 e perde altrimenti
15. Sia W la vincita di una puntata craps unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 8 / 9, P(W = 7) = 1 / 9.
2. E(W) = -0.1111.
3. sd(W) = 2.5142
16. Nell'applet craps, seleziona la puntata craps. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni
10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici.
Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
17. Sia W la vincita di una puntata craps 2 o craps 12 unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 35 / 36, P(W = 30) = 1 / 36.
2. E(W) = -0.1389.
3. sd(W) = 5.0944.
18. Nell'applet craps, seleziona la puntata craps 2. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
netta?
19. Nell'applet craps, seleziona la puntata craps 12. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
netta?
20. Sia W la vincita di una puntata craps 3 unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 17 / 18, P(W = 15) = 1 / 18.
2. E(W) = -0.1111
3. sd(W) = 3.6650.
21. Nell'applet craps, seleziona la puntata craps 3. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
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Craps
netta?
La puntata big 6 scommette che 6 esca prima di 7. Similmente, la puntata big 8 scommette che 8
esca prima di 7. Entrambe pagano alla pari (1:1).
22. Sia W la vincita di una puntata big 6 o big 8 unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 6 / 11, P(W = 1) = 5 / 11.
2. E(W) = -0.0909
3. sd(W) = 0.9959
23. Nell'applet craps, seleziona la puntata big 6. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni
10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici.
Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
24. Nell'applet craps, seleziona la puntata big 8. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni
10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici.
Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata hardway può essere fatta sui numeri 4, 6, 8 o 10. Scommette che il numero scelto n
esca "a metà" cioè (n / 2, n / 2), prima che esca 7 e prima che il numero scelto esca in qualche
altra combinazione. Le puntate sul 4 e sul 10 pagano 7:1 e quelle sul 6 e l'8 9:1.
25. Sia W la vincita di una puntata hardway 4 o hardway 10 unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 8 / 9, P(W = 7) = 1 / 9.
2. E(W) = -0.1111.
3. sd(W) = 2.5142
26. Nell'applet craps, seleziona la puntata hardway 4. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
netta?
27. Nell'applet craps, seleziona la puntata hardway 10. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
netta?
28. Sia W la vincita di una puntata hardway 6 o hardway 8 unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 10 / 11, P(W = 9) = 1 / 11.
2. E(W) = -0.0909
3. sd(W) = 2.8748
29. Nell'applet craps, seleziona la puntata hardway 6. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
netta?
30. Nell'applet craps, seleziona la puntata hardway 8. Simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori
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Craps
teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita
netta?
La distribuzione del numero di lanci
Calcoliamo ora la distribuzione e i momenti del numero di lanci N in una partita di craps. Tale
variabile casuale non è di interesse particolare per il casinò o i giocatori, ma costituisce un buon
esercizio. Per definizione, se il tiratore vince o perde al primo tiro, N = 1. Altrimenti il tiratore
continua finché non fa il punteggio o tira 7. In quest'ultimo caso, possiamo utilizzare la
distribuzione geometrica, che indica il numero di prova a cui si verifica il primo successo in una
sequenza di prove Bernoulliane.
31. Mostra che P(N = 1 | Z1 = z) = 1 if z = 2, 3, 7, 11, 12.
32. Mostra che P(N = n | Z1 = z) = p(1 - p)n - 2 per n = 2, 3, 4, ... per i valori di z e p indicati
nella tabella seguente. La distribuzione condizionata di N - 1 dato Z1 = z è quindi geometrica con
parametro p.
z4
5
6
8
9
10
p 9 / 36 10 / 36 11 / 36 11 / 36 10 / 36 9 / 36
La distribuzione di N è una mistura.
33. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
1. P(N = 1) = 12 / 36.
2. P(N = n) = (1 / 24)(3 / 4)n - 2 + (5 / 81)(13 / 18)n - 2 + (55 / 648)(25 / 36)n - 2 per n = 2, 3, ...
34. Semplifica numericamente per trovare i primi valori della funzione di densità di
probabilità di N:
n
1
2
3
4
5
P(N = n) 0.33333 0.18827 0.13477 0.09657 0.06926
35. Trova la probabilità che il gioco duri più di 8 lanci.
36. Usa il condizionamento e i momenti della distribuzione geometrica per mostrare che
1. E(N) = 3.3758
2. E(N2) = 15.0013.
3. var(N) = 3.6056.
4. sd(N) = 1.8988.
Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > 1 2 3 [4] 5 6 7 8
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Introduzione
Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > [1] 2 3 4 5 6 7
1. Introduzione
Prove Bernoulliane
Il processo di Bernoulli, così detto in onore di James Bernoulli, è uno dei più semplici ma
più importanti processi aleatori di tutta la probabilità. Essenzialemnte, il processo è
l'astrazione matematica del lancio di una moneta, ma a causa della sua ampia applicabilità
è spesso espresso in termini di una sequenza di prove generiche che soddisfano le
seguenti assunzioni:
1. Ogni prova ha due possibili esiti, detti in genere successo e fallimento.
2. Le prove sono indipendenti. Intuitivamente, l'esito di una prova non ha influenza
sugli esiti delle altre.
3. In ogni prova, la probabilità di successo è p e quella di fallimento è 1 - p.
In termini formali, possiamo definire la sequenza di prove Bernoulliane come vettore di
variabili casuali indicatore:
I1, I2, I3, ...
Una variabile indicatore è una variabile casuale che assume i valori 1 e 0, che in questo
contesto indicano rispettivamente successo e fallimento. La j-esima variabile indicatore
registra semplicemente l'esito della prova j. Quindi, le variabili indicatore sono
indipendenti e hanno la stessa funzione di densità:
P(Ij = 1) = p, P(Ij = 0) = (1 - p)
Pertanto, il processo di prove di Bernoulli è caratterizzato da un singolo parametro p.
Come abbiamo notato poc'anzi, l'esempio più ovvio di prova Bernoulliana è quello del
lancio della moneta, dove successo indica testa e fallimento croce. Il parametro p è la
probabilità di testa (per cui, in generale, la moneta è sbilanciata).
1. Nell'esperimento della moneta, poni n = 20 e p = 0.1. Simula l'esperimento con p =
0.1 e osserva i risultati. Ripeti con p = 0.3, 0.5, 0.7, 0.9.
2. Usa le assunzioni di base per mostrare che
P(I1 = i1, I2 = i2, ..., In = in) = pk(1 - p)n-k dove k = i1 + i2 + ··· + in.
3. Supponi che I1, I2, I3, ... sia un processo di prove di Bernoulli con parametro p.
Mostra che 1 - I1, 1 - I2, 1 - I3, ... è un processo di prove di Bernoulli con parametro 1 - p.
Esempi generici
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Introduzione
In un certo senso, l'esempio più generale di prova di Bernoulli si ha replicando un
esperimento. In particolare, supponiamo di avere un esperimento aleatorio semplice e un
evento di interesse A. Supponiamo ora di creare un esperimento composto formato da
replicazioni indipendenti dell'esperimento semplice. Definiamo successo alla prova j il
fatto che l'evento A si sia verificato in tale prova, e viceversa fallimentio il fatto che A
non si sia verificato. Ciò definisce ovviamente un processo di prove di Bernoulli con
parametro p = P(A).
Le prove di Bernoulli si verificano anche estraendo campioni da una popolazione
dicotomica. Specificamente, supponiamo di avere una popolazione di due tipi di unità,
che indicheremo come tipo 0 e tipo 1. Le unità possono essere ad esempio persone,
classificate come maschio o femmina, o componenti, classificati come funzionante o
difettoso. Estraiamo n unità a caso dalla popolazione; per definizione, ciò significa che
ogni unità della popolazione ha uguale probabilità di essere estratta. Se l'estrazione
avviene con reinserimento, allora ciascuna unità estratta viene reinserita prima
dell'estrazione successiva. In questo caso, le prove successive sono indipendenti, per cui i
tipi di unità del campione formano una serie di prove Bernoulliane, in cui il parametro p è
la proporzione di oggetti di tipo 1 all'interno della popolazione. Se l'estrazione avviene
senza reinserimento, allora le estrazioni sono dipendenti, per cui le unità del campione
non formano una sequenza di prove Bernoulliane. Ad ogni modo, se la numerosità della
popolazione è elevata rispetto a quella del campione, la dipendenza provocata dal
mancato reinseirmento può essere trascurabile, per cui a fini pratici le unità del campione
possono essere trattate come sequenza di prove Bernoulliane. Ulteriori approfondimenti
sul campionamento da una popolazione dicotomica si trova nel capitolo sui modelli di
campionamento finiti.
Momenti
Per riferimento futuro, calcoliamo media, varianza e funzione generatrice di probabilità di
una generica variabile indicatore I con P(I = 1) = p.
4. Prova che E(I) = p
5. Prova che var(I) = p(1 - p)
6. Prova che E(tI) = 1 - p + pt per t appartenente a R.
7. Disegna il grafio della varianza dell'esercizio 5 in funzione di p. Nota in particolare
che la varianza è massima per p = 1/2 e minima per p = 0 o p = 1.
Esercizi
8. Supponi che uno studente faccia un test a risposta multipla. Il test presenta 10
domande, ciascuna delle quali ha 4 possibili risposte (di cui una sola è corretta). Se lo
studente tira a indovinare, le domande formano una sequenza di prove Bernoulliane? Se
si, identifica gli esiti della prova e il parametro p.
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Introduzione
9. Il candidato A concorre per una carica pubblica in un certo comune. Si scelgono a
caso tra gli elettori del comune venti persone e si chiede se approvano il candidato. Le
risposte formano una sequenza di prove Bernoulliane? Se si, identifica gli esiti della prova
e il significato del parametro p.
10. Una roulette americana ha 38 caselle: 18 rosse, 18 nere e 2 verdi. Un giocatore
gioca 15 volte, puntando ogni volta sul rosso. Gli esiti formano una sequenza di prove
Bernoulliane? Se si, identifica gli esiti della prova e il parametro p..
11. Due giocatori di tennis giocano 6 partire. Le partite formano una sequenza di
prove Bernoulliane? Se si, identifica gli esiti della prova e il significato del parametro p.
Esame del sangue raggruppato
Supponiamo che ogni soggetto di una popolazione, indipendentemente dagli altri, abbia
una certa malattia con probabilità p. La malattia può essere identificata tramite un esame
del sangue, ma ovviamente l'esame costa.
Per un gruppo di k > 1 persone, confronteremo due strategie. La prima è sottoporre a test i
k soggetti individualmente, cosicché, ovviamente, servono k test. La seconda è di
raggruppare il sangue prelevato dai k soggetti e esaminare per primo il sangue
raggruppato. Assumeremo che il test dia esito negativo se e solo se tutti e k i soggetti sono
sani; in questo caso serve solo un test. D'altra parte, il test dà esito positivo se e solo se
almeno un soggetto è malato, e in questo caso si dovranno testare i soggetti
individualmente; in questo caso servono k + 1 test. Sia quindi X il numero di test
necessari per la strategia di raggruppamento.
12. Prova che
1. P(X = 1) = (1 - p)k, P(X = k + 1) = 1 - (1 - p)k.
2. E(X) = (k + 1) - k (1 - p)k.
13. Mostra che, in termini di valore atteso, la strategia di raggruppamento è migliore
dell'altra se e solo se
p < 1 - (1 / k)1 / k.
Il grafico del valore critico pk = 1 - (1 / k)1 / k in funzione di k nell'intervallo [2, 20] è
mostrato nel grafico seguente:
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Introduzione
14. Prova che
1. Il valore massimo di pk si verifica in k = 3, e p3 ~ 0.307.
2. pk tende a 0 per k che tende a
.
Segue dagli esercizi 13 e 14 che se p > 0.307, il raggruppamento non ha senso,
indipendentemente dalla dimensione del gruppo k. Al contrario, se p è molto piccolo, per
cui la malattia è molto rara, il raggruppamento è ottimale a meno che la dimensione del
gruppo k non sia molto grande.
Supponiamo ora di avere n soggetti. Per ogni k che divide n, possiamo partizionare la
popolazione in n / k gruppi di k unità ciascuno e raggruppare i prelievi di sangue in ogni
gruppo. Nota che k = 1 corrisponde all'esame individuale. Sia Xi il numero di test
necessari per il gruppo i.
15. Spiega perché k > 1, X1, X2, ..., Xn/k sono indipendenti e ciascuno ha la
distribuzione riportata nell'esercizio 12.
Il numero totale di test necessario in questo schema di partizionamento è
Yk = X1 + X2 + ··· + Xn/k.
16. Mostra che il numero atteso totale di test è
1. E(Yk) = n se k = 1
2. E(Yk) = n[1 + 1 / k - (1 - p)k] se k > 1.
Quindi, in termini di valore atteso, la strategia ottimale è di raggruppare la popolazione in
n / k gruppi di dimensione k, dove k minimizza la funzione definita nell'esercizio
precedente. È difficile ottenere una formula chiusa per il valore ottimale di k, ma questo
valore può essere determinato numericamente per dati n e p.
17. Per i valori seguenti di n e p, trova la dimensione di raggruppamento ottimale k e
il numero atteso di test.
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Introduzione
1. n = 100, p = 0.01.
2. n = 1000, p = 0.05
3. n = 1000, p = 0.001
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La distribuzione binomiale negativa
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5. La distribuzione binomiale negativa
Supponiamo ancora una volta che il nostro esperimento casuale consista nell'eseguire
delle prove Bernoulliane I1, I2, ... In questo paragrafo studieremo la variabile casuale Yk
che indica il numero di prove necessario per il k-esimo successo. Notiamo che Y1 è il
numero di prove necessarie per avere il primo successo, che abbiamo indicato con
distribuzione geometrica. Ricordiamo inoltre che Xn, il numero di successi nelle prime n
prove, ha distribuzione binomiale con parametri n e p.
La funzione di densità
1. Mostra che Yk = n se e solo se In = 1 e Xn-1 = k - 1.
2. Usa l'esercizio 1, l'indipendenza e la distribuzione binomiale per provare che
P(Yk = n) = C(n - 1, k - 1)pk(1 - p)n - k for n = k, k + 1, k + 2, ...
La distribuzione definita dalla funzione di densità dell'esercizio 2 è detta distribuzione
binomiale negativa; ha due parametri: il numero di successi k e la probabilità di successo
p.
3. Nell'esperimento della binomiale negativa, modifica k e p con le barre a scorrimento
e osserva la forma della funzione di densità. Poni k = 2 e p = 0.4 ed esegui l'esperimento
aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la convergenza delle frequenze relative ai loro
valori teorici.
4. Prova che le sequenze binomiale e binomiale negativa sono l'una l'inversa dell'altra
nel senso che
Xn
k se e solo se Yk
n
Quindi ogni evento che può essere rappresentato in termini della binomiale negativa può
anche essere espresso in termini della distribuzione binomiale.
5. Prova che
P(Yk = n) > P(Yk = n - 1) se e solo se n < (k - 1 + p) / p.
Quindi la funzione di densità prima cresce e poi decresce, raggiungendo il massimo per
l'intero maggiore in (k - 1 + p) / p. Tale intero è la moda della distribuzione, per cui la
distribuzione binomiale negativa è unimodale.
6. Si lancia un dado bilanciato finché non escono 3 uno. Trova la probabilità che
servano almeno 15 lanci.
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La distribuzione binomiale negativa
Somma di variabili geometriche indipendenti
Definiamo le variabili casuali che indicano il numero di prove tra i successi consecutivi:
Z1 = Y1 e Zk = Yk - Yk-1 per k = 2, 3, ...
7. Dimostra che tali variabili sono indipendenti e hanno ciascuna distribuzione
geometrica con parametro p. Inoltre,
Yk = Z1 + Z2 + ··· + Zk.
La media, varianza e la funzione generatrice di probabilità di Yk seguono facilmente dai
risultati sulla distribuzione geometrica.
8. Dimostra che E(Yk) = k / p.
9. Prova che var(Yk) = k(1 - p) / p2.
10. Mostra che E(tYk) = [pt / (1 - t + tp)]k per |t| < 1 / (1 - p).
11. Supponi che U e V siano variabili casuali indipendenti relative a un certo
esperimento, che U abbia distribuzione binomiale negativa con parametri j e p e che V
abbia distribuzione binomiale negativa con parametri k e p. Prova che U + V ha
distribuzione binomiale negativa con parametri j + k e p.
1. Dai una dimostrazione probabilistica, basandoti sulle prove Bernoulliane.
2. Dai una dimostrazione basata sulla funzione generatrice dei momenti.
12. Nell'esperimento della binomiale negativa, modifica k e p con le barre a
scorrimento e osserva la posizione e la dimensione della barra media/deviazione standard.
Poni k = 3 e p = 0.25 ed esegui l'esperimento aggiornando ogni 10 replicazioni. Osserva la
convergenza di media e deviazione standard campionarie ai loro valori teorici.
13. Un certo tipo di missile ha probabilità di fallimento 0.02. Trova media e
deviazione standard del numero di lanci per il quarto fallimento.
Approssimazione alla normale
14. Nell'esperimento della binomiale negativa, inizia con p = 0.5 e k = 1. Incrementa k
di 1 e osserva ogni volta la forma della funzione di densità. Ripeti per p = 0.3 e p = 0.8.
Anche se siamo limitati a k = 5, possiamo comunque vedere la caratteristica forma
campanulare. Ciò è conseguenza del teorema del limite centrale, poiché la variabile
casuale binomiale negativa può essere scritta come somma di k variabili casuali
(geometriche) indipendenti e identicamente distribuite.
15. Prova che la distribuzione della variabile standardizzata tende alla distribuzione
normale standardizzata al crescere di k.
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La distribuzione binomiale negativa
(Yk - k / p) / [k(1 - p) / p]1/2 = (pYk - k) / [k(1 - p)]1/2.
16. Nell'esperimento della binomiale negativa, inizia con p = 0.5 e k = 5. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 100, e calcola e confronta i seguenti valori:
1. P(8
Y5
15)
2. La frequenza relativa dell'evento {8
3. L'approssimazione normale a P(8
Y5
Y5
15}.
15).
17. Si lancia una moneta finché non esce la cinquantesima testa.
1. Assumendo che la moneta sia bilanciata, trova l'approssimazione normale alla
probabilità che la moneta debba essere lanciata almeno 125 volte.
2. Supponi di eseguire l'esperimento e che siano necessari 125 lanci. Credi che la
moneta sia equilibrata?
Il problema dei fiammiferi di Banach
Supponiamo che un professore distratto (ce ne sono di non distratti?) abbia N fiammiferi
nella tasca destra e N fiammiferi nella tasca sinistra. Quando ha bisogno di un fiammifero
per accendersi la pipa, pesca con uguale probabilità da una tasca o dall'altra. Vogliamo
calcolare la funzione di densità della variabile casuale W che indica il numero di
fiammiferi che restano quando il professore si accorge che una delle sue tasche è vuota.
Questo problema è detto problema dei fiammiferi di Banach, in onore del matematico
Stefan Banach, che evidentemente si comportava in questo modo.
Possiamo riformulare il problema utilizzando la distribuzione binomiale. Chiaramente, la
scelta dei fiammiferi forma una sequenza di prove Bernoulliane con paramatro p = 1/2.
Più precisamente, possiamo considerare un fiammifero preso dalla tasca destra come
vittoria del giocatore R e uno preso dalla tasca sinistra come vittoria del giocatore L. In
un'ipotetica sequenza infinita di prove, sia Y il numero di prove necessarie affinché R
vinca N + 1 prove e Z il numero di prove necessarie affinché L vinca N + 1 prove.
Notiamo che sia Y che Z hanno distribuzione binomiale negativa con parametri N + 1 e p.
18. Per k = 0, 1, ..., N, prova che
1. L vince N - k prove nel momento in cui R vince N + 1 prove se e solo se Y = 2N - k
+1
2. {Y = 2N - k + 1} è equivalente all'evento in cui il professore scopre che la tasca di
destra è vuota e nella sinistra restano k fiammiferi
3. P(Y = 2N - k + 1) = C(2N - k, N)(1/2)2N - k + 1.
19. Per k = 0, 1, ..., N, prova che
1. R vince N - k prove nel momento in cui L vince N + 1 prove se e solo se Z = 2N - k
+1
2. {Z = 2N - k + 1} è equivalente all'evento in cui il professore scopre che la tasca di
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La distribuzione binomiale negativa
sinistra è vuota e nella destra restanok fiammiferi
3. P(Z = 2N - k + 1) = C(2N - k, N)(1/2)2N - k + 1.
20. Combina i risultati dei due esercizi precedeti per concludere che
P(W = k) = C(2N - k, N) (1/2)2N - k per k = 0, 1, ..., N.
Col metodo proposto si può risolvere anche il problema dei fiammiferi di Banach non
simmetrico. Supponiamo che il professore cerchi nella tasca destra con probabilità p e
nella sinistra con probabilità 1 - p, dove 0 < p < 1. Ciò che cambia nell'analisi è che Y ha
distribuzione binomiale negativa con parametri N + 1 e p, mentre Z ha distribuzione
binomiale negativa con parametri N + 1 e 1 - p.
21. Prova che
P(W = k) = C(2N - k, N)[pN + 1 (1 - p)N - k + (1 - p)N pN - k] per k = 0, 1, ..., N.
Il problema dei punti
Supponi che due squadre (o due individui) A e B giochino una sequenza di prove
Bernoulliane, dove p è la probabilità che il giocatore A vinca una prova. Per due interi
non negativi n e m, sia Fn,m(p) la probabilità che A faccia n punti prima che B ne faccia
m. Il calcolo di Fn,m(p) è un problema storico noto come problema dei punti, che fu
risolto da Pierre de Fermat e Blaise Pascal.
22. Commenta la validità dell'assunzione di prove Bernoulliane (indipendenza delle
prove e probabilità di successo costante) per i giochi sportivi che presentano una
componente di abilità oltre a quella casuale.
La soluzione al problema dei punti è semplice utilizzando la distribuzione binomiale (fu
questa la soluzione proposta da Pascal). Assumiamo ce si giochino n + m - 1 partite,
indipendentemente dagli esiti, e sia Xn + m - 1 il numero di prove in cui A vince. Per
definizione Xn + m - 1 ha distribuzione binomiale con parametri n + m - 1 e p.
23. Mostra che A vince n partite prima che B ne vinca m se e solo se
Xn + m - 1
n.
24. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
Fn,m(p) =
k = n, ..., n + m -1
C(n + m - 1, k) pk(1 - p)n + m - 1 - k.
25. Nell'esperimento del problema dei punti, modifica i parametri n, m e p, e osserva
come variano le probabilità. Con n = 10, m = 5 e p = 0.5, simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla probabilità.
Esiste un'altra soluzione al problema che ricorre all'uso della distribuzione binomiale
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La distribuzione binomiale negativa
negativa. Ciò si spiega bene se si ricorda l'equivalenza tra distribuzione binomiale e
distribuzione binomiale negativa. Assumiamo in primo luogo che il gioco continui
all'infinito, indipendentemente dagli esiti, e sia Yn il numero di partite necessarie perché
A vinca n volte. Per definizione, Yn ha distribuzione binomiale negativa con parametri n e
p.
26. Prova che A vince n partite prima che B ne vinca m se e solo se
Yn
n + m -1
27. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
Fn,m(p) =
j = n, ..., n + m - 1
C(j - 1, n - 1) pn(1 - p)j - n.
28. Nell'esperimento del problema dei punti, modifica i parametri j, k e p e osserva
come variano le probabilità. Con n = 10, m = 10 e p = 0.7, simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla probabilità.
29. Prova che, per dati n e m, Fn,m(p) aumenta da 0 a 1 per p che cresce da 0 e 1.
30. Nell'esperimento del problema dei punti, modifica i parametri n, m e p, e osserva
come variano le probabilità. Con n = 5, m = 10 e p = 0.3, simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla probabilità.
31. Prova che Fn,m(p) decresce al crescere di n per dati m e p, e che Fn,m(p) cresce al
crescere di m per dati n e p.
32. Nell'esperimento del problema dei punti, modifica i parametri n, m e p, e osserva
come variano le probabilità. Con n = 10, m = 15 e p = 0.3, simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della frequenza relativa alla probabilità.
33. Condiziona all'esito della prima prova per derivare la seguente relazione ricursiva e
le condizioni di limite (questa è la soluzione che propose Fermat):
1. Fn,m(p) = pFn - 1,m(p) + (1 - p)Fn,m - 1(p), per n, m = 1, 2, ...
2. Fn,0(p) = 0, F0,m(p) = 1.
Serie di giochi
Il caso particolare n = m è importante poiché Fn,n(p) è la probabilità che A vinca almeno n
di 2n - 1 partite. Tali serie, specialmente con n = 2, 3 o 4 sono spesso utilizzate nei tornei.
34. Poni p = 0.6. Calcola la probabilità che la squadra A vinca
1. Almeno 3 di 5 partite (n = 3).
2. Almeno 4 di 7 partite (n = 4).
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La distribuzione binomiale negativa
35. Nell'esperimento del problema dei punti, modifica i parametri n, m e p (tenendo n
= m), e osserva come variano le probabilità. Simula un gioco 3 di 5 ponendo n = m = 3, p
= 0.6. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della
frequenza relativa alla probabilità.
36. Prova che Fn,n(1 - p) = 1 - Fn,n(p) per ogni n e p.
1. Prova a dare una spiegazione probabilistica e una analitica.
2. Mostra che tale condizione implica che il grafico di Fn,n sia simmetrico rispetto a p
= 1/2.
3. Mostra che tale condizione implica che Fn,n(1/2) = 1/2.
37. Nell'esperimento del problema dei punti, modifica i parametri n, m e p (tenendo n
= m), e osserva come variano le probabilità. Simula un gioco 4 di 7 ponendo n = m = 4, p
= 0.45. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della
frequenza relativa alla probabilità.
38. Sia n > m. Prova che Fn,n(p) > Fm,m(p) se e solo se p > 1/2. Interpreta il risultato.
Divisione delle puntate
Il problema dei punti nacque da una domanda posta dal Chevalier de Mere, che era
interessato alla corretta divisione delle puntate quando un gioco viene interrotto.
Specificamente, supponiamo che i giocatori A e B giochino ciascuno C unità monetarie, e
poi esegui prove Bernoulliane finché uno di loro non vince un numero fissato di prove. Il
vincitore si prende l'intero piatto 2C.
39. Se il gioco si interrompe quando A deve vincere ancora n partite e B ne deve
vincere altre m, dimostra che il piatto dev'essere diviso tra A e B, rispettivamente, come
segue:
1. 2C Fn,m(p) per A,
2. 2C[1 - Fn,m(p)] per B.
40. Supponi che i giocatori A e B giochino 50$ ciascuno. I giocatori lanciano una
moneta finché uno di loro vince 10 volte; il vincitore si prende il piatto. Supponi che il
gioco venga interrotto dalla guardia di finanza quando A ha vinto 5 volte e B 3 volte.
Come si deve dividere il piatto?
Laboratorio virtuale > Prove Bernoulliane > 1 2 3 4 [5] 6 7
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Note conclusive
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7. Note conclusive
Simulazione di prove Bernoulliane
È molto semplice simulare prove Bernoulliane attraverso numeri casuali.
1. Sia p nell'intervallo [0, 1] e sia U1, U2, U3, ... una sequenza di variabili aleatorie,
ciascuna distribuita uniformemente su (0, 1). Mostra che la sequenza seguente è un
processo di prove Bernoulliane con parametro p:
Ij = 1 se Uj
p, Ij = 0 se Uj > p
Gli esperimenti binomiale e binomiale negativa possono essere simulati direttamente a
partire dalla sequenza di prove Bernoulliane, poiché tali variabili risultano esserne
funzione.
Argomenti correlati
Le prove Bernoulli si trovano in molti altri capitoli di questo lavoro, a ulteriore conferma
dell'importanza del modello.
● Il campionamento con reinserimento da una popolazione dicotomica produce prove
Bernoulliane. Il capitolo sui modelli di campionamento finito tratta diversi casi
basati su questo tipo di campionamento.
● Molti giochi sono basati su prove Bernoulliane. Il capitolo sui giochi di fortuna ne
presenta alcuni.
● Il capitolo su rosso e nero è più avanzato e tratta delle strategie pe giochi basati su
prove Bernoulliane.
● Il processo random walk, analizzato nel capitolo sul random walk si basa su prove
Bernoulliane.
● La stima di p è trattata nei capitoli sulla stima puntuale e stima intervallare.
●
I test di ipotesi per p sono presentati nel capitolo sui test di ipotesi.
Libri
Il modello di prove Bernoulliane è trattato praticamente in ogni libro di probabilità. In
particolare puoi vedere
● A First Course in Probability, quinta edizione, di Sheldon Ross
●
An Introduction to Probability Theory and its Applications, (Vol 1) terza edizione,
di William Feller
Risposte agli esercizi del paragrafo 1
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Note conclusive
1.8. Si, probabilmente. Gli esiti sono corretto e sbagliato e p = 1 / 4.
1.9. Si, approssimatamente. Gli esiti sono preferisce A e non preferisce A; p è la
proporzione di elettori dell'intero comune che preferisce A.
1.10. Si, gli esiti sono rosso e nero, e p = 18 / 38.
1.11. No, probabilmente, no. I giochi sono quasi certamente dipendenti, e la probabilità
di vincita dipende da chi serve e quindi non è costante da partita a partita.
1.17.
1. k = 10, E(Yk) = 19.56
2. k = 5, E(Yk) = 426.22
3. k = 32, E(Yk) = 62.76
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.5. f(0) = 0.4019, f(1) = 0.4019, f(2) = 0.1608, f(3) = 0.0322, f(4) = 0.0032, f(5) =
0.0001.
2.6. 0.07813
2.11.
1. P(almeno un 1 in 6 lanci) = 0.6551
2. P(almeno due 1 in 12 lanci) = 0.6187
2.12.
1. P(almeno un 1 in 4 lanci di 1 dado) = 0.5177
2. P(almeno due 1 in 24 lanci di 2 dadi) = 0.4914.
2.23. X = Numero di fallimenti. E(X) = 1, sd(X) = 0.9899
2.24. X = Numero di 1. E(X) = 166.67, sd(X) = 11.79
2.31. Xn = Numero di teste nei primi n lanci. P(X20 = j | X100 = 30) = C(20, j) C(80, 30
- j) / C(100, 30).
2.37. X = Numero di elettori che preferiscono A
1. E(X) = 20, sd(X) = 3.464.
2. P(X < 19) = 0.3356.
3. P(X < 19) ~ 0.3335
2.44.
1. R3,2(p) = 3p2 - 2p3.
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Note conclusive
2. R5,3(p) = 10p3 - 15p4 + 6p5.
3. 3 di 5 è migliore per p
1 / 2.
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.13. R: Rifiutare l'ipotesi nulla che la moneta sia bilanciata.
1. P(R) = 0.180, P(Rc) = 0.820
2. P(R) = 0.384, P(Rc) = 0.616
3. P(R) = 0.678, P(Rc) = 0.322
4. P(R) = 0.930, P(Rc) = 0.070
3.15. No: 0.0262
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.5. 0.482
4.10. X = # lanci. E(X) = 50, sd(X) = 49.497.
4.12. 0.4
4.18. Geometrica con p = 18 / 38.
4.22. $1000.
4.27.
1. P(W = 1) = 2/3, P(W = 2) = 1/3
2. P(W = 1) = 4/7, P(W = 2) = 2/7, P(W = 3) = 1/7.
3. P(W = i) = 2n - i / (2n - 1) per i = 1, 2, ..., n.
Risposte agli esercizi del paragrafo 5
5.6. 0.579
5.13. X = numero di lancio del quarto fallimento. E(X) = 200, sd(X) = 98.995
5.17. X = numero di lanci necessari per avere 50 teste.
1. 0.0072
2. No.
5.30.
1. 0.6825.
2. 0.7102
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Note conclusive
5.36. A prende $72.56, B prende $27.44
Risposte agli esercizi del paragrafo 6
6.11.
1. 0.0075
2. 0.0178
3. 0.205
4. 0.123
6.12. f(u, v, w, x, y, z) = C(4; u, v, w, x, y, z) (1/4)u + z (1/8)v + w + x+ y per u, v, w, x, y,
z interi non negativi la cui somma è 4
6.14.
1. -0.625
2. -0.0386
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Random Walk
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B C D E F [G] H
G. Random Walk
Sommario
1. Introduzione
2. Posizione massima
3. Ultimo passaggio da 0
4. Il problema del ballottaggio
Applets
●
Random Walk
●
Esperimento del ballottaggio
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B C D E F [G] H
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Sistemi di particelle interagenti
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B C D E F G [H]
H. Sistemi di particelle interagenti
Sommario
1. Il processo dell'incendio
2. Il processo degli elettori
3. Note conclusive
Applets
●
Esperimento dell'incendio
●
Esperimento degli elettori
Laboratorio virtuale > Modelli speciali > A B C D E F G [H]
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Introduzione
Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > [1] 2 3 4 5 6 7 8
1. Introduzione
Gioco d'azzardo e probabilità
I giochi di fortuna si annoverano tra le prime invenzioni del genere umano. L'uso di un
certo tipo di osso animale (detto astragalo) come dado risale circa al 3600 A.C.. I moderni
dadi a sei facce risalgono circa al 2000 A.C. e il termine bones (ossa) è utilizzata anche
oggi come espressione gergale (roll the bones). È a causa di questa origine remota, tra
l'altro, che utilizziamo il dado come base delle simulazioni in questo progetto.
Il gioco d'azzardo è intimamente legato allo sviluppo della teoria della probabilità. La
maggior parte dei primi risultati in probabilità, in particolare, fu simulata attraverso
problemi di gioco d'azzardo come
● il problema di DeMere,
●
il problema di Pepy,
●
il problema dei punti,
●
il problema di San Pietroburgo.
Molti dei primi libri di probabilità sono stati scritti per analizzare il gioco d'azzardo, per
esempio Liber de Ludo Aleae (Libro sui giochi di fortuna), di Girolamo Cardano e Essay
d’ Analyse sur les Jeux de Hazard (Saggio analitico sui giochi di fortuna), di
Pierre-Remond Montmort. I problemi di gioco d'azzardo continuano ad essere fonte di
interessanti e profondi problemi di probabilità a tutt'oggi (vedi ad esempio il capitolo su
rosso e nero).
Ovviamente è importante ricordare che le scoperte in probabilità, anche se motivate da
problemi di gioco, sono profondamente importanti in molti campi delle scienze naturali,
delle scienze sociali, della medicina e della giurisprudenza. Inoltre, i giochi di fortuna
costituiscono esempi chiari e puliti di esperimenti casuali, e quindi il loro studio può
essere utile per gli studenti.
In ogni caso, nulla di questo capitolo ha l'intento di avviarti, caro lettore, al gioco
d'azzardo. Al contrario, la nostra analisi mostrerà che, nel lungo termine, gli unici a
guadagnarci sono quelli che organizzano il gioco. Il giocatore, inevitabilmente, cade
vittima della legge dei grandi numeri.
In questo capitolo studieremo alcuni interessanti giochi di fortuna. Il poker, il poker di
dadi, craps e la roulette sono giochi molto popolari. Il problema di Monty Hall, al
contrario, è interessante per la controversia che ha prodotto.
Terminologia
Presentiamo ora la terminologia di base che useremo in alcuni paragrafi di questo
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/games/games1.html (1 di 3) [22/11/2001 17.55.24]
Introduzione
capitolo. Supponiamo che A sia un evento in un esperimento casuale. Gli odds matematici
di A si riferiscono alla probabilità di A. Più specificamente, se a e b sono numeri positivi,
allora per definizione le affermazioni seguenti si equivalgono:
● gli odds a favore di A sono a : b.
● P(A) = a / (a + b).
● gli odds contro A sono b : a.
●
P(Ac) = b / (a + b).
In molti casi a e b possono essere interi senza fattori comuni.
1. Similmente, supponi che p appartenga a (0, 1). Prova che le seguenti affermazioni
sono equivalenti:
1. P(A) = p.
2. Gli odds a favore di A sono p : 1 - p.
3. P(Ac) = 1 - p.
4. Gli odds contro A sono 1 - p : p.
D'altro canto, le quote di un evento si riferiscono al payout che si ha quando si punta
sull'evento. Dire che una puntata sull'evento A paga n : m significa che se il giocatore
punta m unità di danaro su A e A si verifica, il giocatore riprende le m unità iniziali più n
unità aggiuntive (per un profitto netto di n); se A non si verifica, il giocatore perde la
puntata di m unità (per un profitto netto di -m). Equivalentemente, il giocatore punta m
unità (su A), il banco punta n unità (su Ac) e il vincitore prende il piatto. Ovviamente, non
è necessario che il giocatore punti esattamente m; si possono avere puntate minori o
maggiori. Se il giocatore punta k unità e vince, il suo payout è k(n / m).
Naturalmente, il nostro interesse primario è alla vincita netta se puntiamo su un qualche
evento. L'esercizio seguente riporta la densità, media e varianza per una puntata unitaria.
Il valore atteso è particolarmente interessante a causa della legge dei grandi numeri, indica
il guadagno (o perdita) nel lungo termine per unità puntata.
2. Supponi che gli odds a favore dell'evento A siano a : b e che una puntata su A paghi
n : m. Sia W la vincita generata da una puntata unitaria su A. Prova che
1. P(W = -1) = b / (a + b), P(W = n / m) = a / (a + b).
2. E(W) = (an - bm) / [m(a + b)].
3. var(W) = ab(n - m)2 / [m2(a + b)2].
In particolare, il valore atteso della puntata è 0 se e solo se an = bm, positivo se e solo se
an > bm e negativo se e solo se an < bm. Il primo caso indica che la scommessa è giusta, e
si verifica quando il guadagno è uguale agli odds contro l'evento. Il secondo caso indica
che la scommessa è favorevole per il giocatore, e si verifica quando il guadagno è
maggiore degli odds contro l'evento. Il terzo caso indica che la scommessa è sfavorevole
per il giocatore e si verifica quando il guadagno è minore degli odds contro l'evento.
Sfortunatamente, tutti i giochi da casinò cadono in quest'ultima categoria.
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Introduzione
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Poker di dadi e Chuck-a-Luck
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3. Poker di dadi e Chuck-a-Luck
Poker di dadi
Il gioco del poker del dadi è simile al poker tradizionale, ma si gioca con dadi al posto
delle carte. Si lanciano 5 dadi equilibrati. Registriamo l'esito dell'esperimento casuale
come sequenza (ordinata) di punteggi:
X = (X1, X2, X3, X4, X5) dove Xi in {1, 2, 3, 4, 5, 6} è il punteggio sull'i-esimo dado.
Lo spazio campionario è quindi S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}5. Poiché i dadi sono bilanciati,
l'assunzione di base per il modello è che le variabili casuali X1, X2, X3, X4, X5 siano
indipendenti, e con distribuzione uniforme su {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1. Mostra che la mano casuale di poker di dadi X ha distribuzione uniforme su S:
P(X in A) = #(A) / #(S) per A
S.
In termini statistici, una mano di poker di dadi è un campione casuale di dimensione 5
estratto con reinserimento e con interesse per l'ordine dalla popolazione D = {1, 2, 3, 4, 5,
6}. Per ulteriori approfondimenti su questo argomento, vedi il capitolo sui modelli di
campionamento finito. In particolare, in questo capitolo vedremo che il risultato
dell'esercizio 1 non varrebbe se si registrasse la sequenza in modo non ordinato invece
che ordinato.
Il valore della mano
Il valore V della mano di poker di dadi è definito come segue:
● V = 0: Nulla. Cinque punteggi diversi.
● V = 1: Coppia. Quattro punteggi diversi, uno di essi si presenta due volte e gli altri
una volta.
● V = 2: Doppia coppia. Tre punteggi diversi; due si presentano due volte e l'altro una
volta.
● V = 3: Tris. Tre punteggi diversi; uno si presenta tre volte e gli altri due una volta.
● V = 4. Full. Due punteggi diversi; uno si presenta tre volte e l'altro due volte.
● V = 5. Quadris. Due punteggi diversi; uno si presenta quattro volte e l'altro una
volta.
● V = 6. Poker. Un punteggio si presenta 5 volte.
2. Esegui l'applet poker di dadi 10 volte passo per passo. Per ciascun esito, osserva il
valore della variabile casuale corrispondente al tipo di mano, come definito poc'anzi.
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Poker di dadi e Chuck-a-Luck
La funzione di densità
Il calcolo della funzione di densità di V è un buon esercizio di calcolo combinatorio.
3. Mostra che il numero di mani di poker di dadi distinte è #(S) = 65 = 7776.
Negli esercizi seguenti dovrai spesso utilizzare la regola del prodotto del calcolo
combinatorio per contare il numero di mani di vari tipi. In ciascun caso, prova a costruire
un algoritmo per generare le mani di poker di un certo tipo, e conta il numero di modi in
cui puoi eseguire ciascun passo dell'algoritmo.
4. Mostra che P(V = 0) = 720 / 7776 = 0.09259.
5. Mostra che P(V = 1) = 3600 / 7776 = 0.46396.
6. Mostra che P(V = 2) = 1800 / 7776 = 0.23148.
7. Mostra che P(V = 3) = 1200 / 7776 = 0.15432.
8. Mostra che P(V = 4) = 300 / 7776 = 0.03858.
9. Mostra che P(V = 5) = 150 / 7776 = 0.01929.
10. Mostra che P(V = 6) = 6 / 7776 = 0.00077.
11. Esegui l'applet poker di dadi 1000 volte, aggiornando ogni 10, e osserva la
convergenza delle frequenze relative alla funzione di densità.
12. Trova la probabilità che lanciando una mano si ottenga un tris o di più.
13. Nell'applet poker di dadi, poni la frequenza di aggiornamento a 100 e imponi un
criterio d'arresto sulla base dei valori di V riportati qui sotto. Nota il numero di mani
necessarie.
1. V = 3
2. V = 4
3. V = 5
4. V = 6
Chuck-a-Luck
Chuck-a-luck è un gioco popolare nei paesi anglosassoni che si gioca con tre dadi.
Seguendo Richard Epstein, il nome originario era Sweat Cloth, e nei pub inglesi il gioco è
noto come corona e ancora (poiché sulle sei facce del dado sono disegnati picche, quadri,
fiori, cuori, corona e ancora). I dadi sono più grossi di quelli normali e si tengono in una
gabbia a forma di clessidra detta birdcage. I dadi si lanciano facendo girare la gabbia.
Chuck-a-luck è molto semplice. Il giocatore sceglie un numero da uno a sei e poi lancia i
dadi. Se in esattamente k dadi esce il punteggio detto dal giocatore, si vince k:1. Come a
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Poker di dadi e Chuck-a-Luck
poker di dadi, l'assunzione di base è che i dadi siano equilibrati, per cui il vettore degli
esiti è distribuito uniformemente su {1, 2, 3, 4, 5, 6}3:
X = (X1, X2, X3) dove Xi in {1, 2, 3, 4, 5, 6} è il punteggio sul dado i.
14. Sia Y il numero di dadi che mostrano il numero detto dal giocatore. Mostra che Y
ha distribuzione binomiale con parametri n = 3 e p = 1 / 6:
P(X = k) = C(3, k) (1 / 6)k(5 / 6)3 - k, per k = 0, 1, 2, 3.
15. Sia W la vincita netta per una puntata unitaria. Mostra che
W = -1 se Y = 0; W = Y se Y > 0.
16. Prova che
1. P(W = -1) = 125 / 216
2. P(W = 1) = 75 / 216
3. P(W = 2) = 15 / 216
4. P(W = 3) = 1 / 216
17. Esegui l'applet chuck-a-luck 1000 volte, aggiornando ogni 10. Nota la convergenza
della densità empirica di W alla densità teorica.
18. Prova che
1. E(W) = -0.0787
2. var(W) = 1.239
19. Esegui l'applet chuck-a-luck 1000 volte, aggiornando ogni 10. Nota la convergenza
dei momenti empirici di W ai momenti teorici. Supponi di aver puntato 1$ in ognuna delle
1000 partite. Quanto sarebbe la tua vincita netta?
Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > 1 2 [3] 4 5 6 7 8
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Roulette
Laboratorio virtuale > Giochi di fortuna > 1 2 3 4 [5] 6 7 8
5. Roulette
La roulette (americana) ha 38 caselle numerate 00, 0 e 1-36. Come si vede dalla figura seguente,
● le caselle 0, 00 sono verdi;
● le caselle 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 32, 34, 36 sono rosse;
● le caselle 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35 sono nere.
A parte 0 e 00, le caselle sono alternativamente nere e rosse. L'ordine dei numeri sulla ruota è fatto in modo che numeri
grandi e piccoli e pari e dispari si alternino.
Secondo Richard Epstein, la roulette è il più vecchio gioco da casinò che si gioca ancora. La sua invenzione è stata
attribuita volta volta a Blaise Pascal, al matematico italiano Don Pasquale e a molti altri. In ogni caso, le prime roulette
apparvero a Parigi intorno al 1765.
L'esperimento della roulette è molto semplice. Si fa girare la ruota e vi si getta una pallina, facendola girare nella
scanalatura in direzione opposta a quella di rotazione. Prima o poi la pallina cade in una delle caselle. Assumiamo
ovviamente che la ruota sia equilibrata, per cui la variabile casuale X che indica il numero di casella è distribuita
uniformemente sullo spazio campionario
S = {00, 0, 1, 2, ..., 36}.
Quindi, P(X = x) = 1 / 38 per ogni x in S.
Puntate
Esattamente come craps, la roulette è molto popolare nei casinò per la grande varietà di puntate ammesse. La figura
precedente mostra un tavolo da roulette e indica alcune delle puntate che studieremo. Vedremo che tutte le puntate hanno
lo stesso valore atteso (negativo, ovviamente).
Una puntata singola è una puntata su un singolo numero, e paga 35:1.
1. sIA W la vincita di una puntata straight bet unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 37 / 38, P(W = 35) = 1 / 38.
2. E(W) = -0.0526.
3. sd(W) = 5.7626
2. Nell'applet roulette, seleziona la puntata su un numero singolo. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni
replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata su 2 numeri (o puntata doppia) punta su due numeri adiacenti sul tavolo. La puntata paga 17:1 se uno dei
numeri esce e perde altrimenti.
3. Sia W la vincita di una puntata su due numeri unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 36 / 38, P(W = 17) = 2 / 38.
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Roulette
2. E(W) = -0.0526.
3. sd(W) = 4.0193.
4. Nell'applet roulette, seleziona la puntata su due numeri. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la
convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione.
A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata su 3 numeri (o puntata riga) punta su tre numeri di una delle righe verticali. La puntata paga 11:1 se uno dei
numeri esce e perde altrimenti.
5. Sia W la vincita di una puntata su tre numeri unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 35 / 38, P(W = 11) = 3 / 38.
2. E(W) = -0.0526.
3. sd(W) = 3.2359.
6. Nell'applet roulette, seleziona la puntata su tre numeri. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la
convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione.
A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata su 4 numeri punta su quattro numeri che formano un quadrato sul tavolo. La puntata paga 8:1 se uno dei
numeri esce e perde altrimenti.
7. Sia W la vincita di una puntata su quattro numeri unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 34 / 38, P(W = 8) = 4 / 38.
2. E(W) = -0.0526.
3. sd(W) = 2.7620.
8. Nell'applet roulette, seleziona la puntata su quattro numeri. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni
replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata su 6 numeri punta su sei numeri su due righe del tavolo. La puntata paga 5:1 se uno dei numeri esce e perde
altrimenti.
9. Sia W la vincita di una puntata su sei numeri unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 37 / 38, P(W = 5) = 1 / 38.
2. E(W) = -0.0526.
3. sd(W) = 2.1879.
10. Nell'applet roulette, seleziona la puntata su sei numeri. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la
convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni replicazione.
A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata su 12 numeri può essere una puntata colonna, su una delle tre colonne di 12 numeri che formano la tavola, o
sui primi 12 (1-12), i 12 centrali (13-24), e gli ultimi 12 (25-36). Una puntata su 12 numeri paga 2:1 se uno dei numeri
esce e perde altrimenti (anche se escono 0 o 00).
11. Sia W la vincita di una puntata su dodici numeri unitaria. Mostra che
1. P(W = -1) = 26 / 38, P(W = 2) = 12 / 38.
2. E(W) = -0.0526.
3. sd(W) = 1.3945.
12. Nell'applet roulette, seleziona la puntata su dodici numeri. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni
replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
Una puntata su 18 numeri può essere sul colore (rosso o nero), sulla parità (numeri dispari da 1 a 36 o numeri pari da 1 a
36 o sulla posizione bassa (numeri da 1 a 18) o alta (numeri da 19 a 36). Una puntata su 18 numeri paga 1:1 se uno dei
numeri esce e perde altrimenti (anche se escono 0 o 00).
13. Sia W la vincita di una puntata su diciotto numeri unitaria. Mostra che
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Roulette
1. P(W = -1) = 20 / 38, P(W = 1) = 18 / 38.
2. E(W) = -0.0526.
3. sd(W) = 0.9986.
14. Nell'applet roulette, seleziona la puntata su diciotto numeri. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
osserva la convergenza della densità empirica e dei momenti di W ai loro valori teorici. Supponi di puntare 1$ per ogni
replicazione. A quanto ammonterebbe la tua vincita netta?
15. Anche se tutte le puntate hanno lo stesso valore atteso, le deviazioni standard variano inversamente rispetto al
numero di numeri su cui si punta. Quali sono le implicazioni di questo fatto per il giocatore?
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Il problema di Monty Hall
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6. Il problema di Monty Hall
Termini del problema
Il problema di Monty Hall riguarda una situazione di gioco classica e prende nome da
Monty Hall, conduttore per lunghi anni della trasmissione TV Let's Make a Deal. Si
hanno tre porte indicate con numeri da 1 a 3. Dietro una delle porte c'è un'automobile,
dietro le altre delle capre:
Le regole sono le seguenti:
1. Il giocatore sceglie una porta.
2. Il conduttore sceglie una porta diversa e la apre.
3. Il conduttore dà al giocatore la possibilità di cambiare la porta con quella che resta.
4. La porta che il giocatore alla fine sceglie viene aperta e il giocatore vince o perde.
Il problema di Monty Hall ha generato molte controversie a causa di alcuni articoli di
Marilyn Vos Savant nella rubrica Ask Marilyn del Parade magazine, un popolare
supplemento domenicale al giornale. La controversia ebbe inizio quando un lettore pose il
problema nei seguenti termini:
Supponi di essere alla trasmissione e di dover scegliere tra tre porte. Ne
sceglie una, ad esempio la prima, e il conduttore, che sa che che c'è dietro le
porte, ne apre un'altra, ad esempio la terza, dietro alla quale c'è la capra. Poi
ti chiede “Vuoi cambiare e scegliere la seconda porta?” Ti conviene
cambiare la scelta?
Marilyn rispose che il concorrente deve cambiare, affermando che c'è una possibilità di
1/3 che l'automobile sia dietro la porta 1 e di 2/3 che sia dietro la 2. Nelle rubriche
seguenti, Marilyn pubblicò diverse risposte, alcune di accademici, che affermavano in
toni arrabbiati o sarcastici che era in errore e che ci sono uguali probabilità che la capra
sia dietro ciascuna delle porte. Marilyn rimase della sua opinione e presentò ulteriori
argomenti, non formali.
1. Pensa al problema. Concordi con Marilyn o pensi che nessuna delle due soluzioni
sia esatta?
2. Nel gioco di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a standard (il significato di
tale strategia sarà spiegato più avanti). Esegui il gioco 50 volte utilizzando le seguenti
strategie. Hai cambiato idea sulla risposta all'esercizio 1?
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Il problema di Monty Hall
1. Cambia sempre
2. Non cambiare mai
2. Nel gioco di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a cieco (il significato di
tale strategia sarà spiegato più avanti). Esegui il gioco 50 volte utilizzando le seguenti
strategie. Hai cambiato idea sulla risposta all'esercizio 1?
1. Cambia sempre
2. Non cambiare mai
Modellare il problema
Quando si inizia a riflettere sul problema di Monty Hall, si capisce che i termini posti dal
lettore a Marilyn sono così vaghi che è impossibile una discussione sensata senza
assunzioni chiarificatrici sulle strategie del conduttore e del giocatore. Vedremo che, di
fatto, fraintendimenti su tali strategie sono la causa della controversia.
Proviamo a formalizzare il problema. In genere le decisioni di conduttore e concorrente
possono variare da gioco a gioco, ma se abbiamo un esperimento casuale nel senso
classico del termine, dobbiamo assumere che le stesse distribuzioni di probabilità regolino
il comportamento di conduttore e giocatore in ciascuna partita, e che quest'ultime siano tra
di loro indipendenti.
Ci sono quattro variabili casuali in ogni partita:
1.
2.
3.
4.
U: il numero della porta che contiene l'automobile.
X: il numero della prima porta scelta dal concorrente.
V: il numero della porta aperta dal conduttore.
Y: il numero della seconda porta scelta dal concorrente.
Ciascuna di queste variabili casuali assume i valori possibili 1, 2 e 3. In ogni caso, per le
regole del gioco, il conduttore non può aprire la porta scelta dal giocatore:
V
X, V
Y.
Ammettiamo la possibilità che V = U, cioè che il conduttore apra la porta con dietro
l'automobile. Se ciò sia ragionevole è la fonte della controversia.
Ci sono tre eventi di interesse. Indicheremo con W la variabile indicatore dell'evento che
il concorrente vinca:
W = 1 se Y = U; W = 0 altrimenti.
Indicheremo con S la variabile indicatore dell'evento che il concorrente cambi porta:
S = 1 se Y
X; S = 0 altrimenti.
Infine, indicheremo con G la variabile indicatore dell'evento che il conduttore apra una
porta con dietro la capra:
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Il problema di Monty Hall
G = 1 se V
U; G = 0 altrimenti.
L'esperimento di Monty Hall sarà definito formalmente una volta individuata la
distribuzione congiunta delle variabili indicate. Tale distribuzione dipende dalle strategie
di conduttore e concorrente, che consideremo in seguito.
Strategie del conduttore
Nell'esperimento di Monty Hall, nota che il conduttore determina la funzione di densità
della porta con l'automobile:
P(U = i) per i = 1, 2, 3.
La scelta più ovvia è quella di assegnare a caso l'automobile a una delle porte. Ciò porta
ad avere una distribuzione uniforme, e se non specificato diversamente, assumeremo che
U abbia la distribuzione:
P(U = i) = 1/3 per i = 1, 2, 3.
Il conduttore determina inoltre la funzione di densità condizionata della porta che apre,
data la conoscenza della porta che nasconde l'automobile e della prima porta scelta dal
giocatore:
P(V = k | U = i, X = j) per i, j, k = 1, 2, 3.
Ricorda che, poiché il conduttore non può aprire la porta scelta dal giocatore, tale
probabilità dev'essere 0 per k = j. La distribuzione di U e la distribuzione condizionata di
V costituiscono la strategia del conduttore.
Nella maggior parte dei giochi reali, il conduttore aprirà sempre una porta con la capra
dietro. Se la prima decisione del giocatore è sbagliata, allora il conduttore non ha scelta:
non può aprire la porta con l'automobile o quella scelta dal giocatore e deve quindi aprire
solo la porta restante. D'altra parte, se la prima decisione del giocatore è corretta, allora il
conduttore può aprire una qualcunque delle due porte restanti, poiché entrambe
nascondono la capra. Quindi può sceglierne una a caso.
4. Mostra che questa strategia porta alla seguente distribuzione condizionata:
1. P(V = k | U = i, X = j) = 1 se i, j, k sono distinti
2. P(V = k | U = i, X = j) = 1/2 se i = j e k i
3. P(V = k | U = i, X = j) = 0 se k = i o k = j
La distribuzione dell'esercizio 4 accoppiata alla distribuzione uniforme di U, saranno
indicate come startegia standard del conduttore.
5. Nel gioco di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a standard. Esegui il gioco
50 volte utilizzando le seguenti strategie. Quale funziona meglio?
1. Cambia sempre
2. Non cambiare mai
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Il problema di Monty Hall
Un'altra possibile strategia del conduttore è quella di aprire una porta scelta comunque a
caso tra le due restanti, per cui può aprire anche la porta con dietro l'automobile.
6. Mostra che questa strategia porta alla seguente distribuzione condizionata:
1. P(V = k | U = i, X = j) = 1/2 se k j
2. P(V = k | U = i, X = j) = 0 se k = i
La distribuzione dell'esercizio 6 accoppiata alla distribuzione uniforme di U, è detta
strategia cieca del conduttore. La strategia cieca può sembrare strana, ma la confusione tra
le due strategie sta alla base della controversia su questo problema.
7. Nel gioco di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a cieco. Esegui il gioco 50
volte utilizzando le seguenti strategie. Quale funziona meglio?
1. Cambia sempre
2. Non cambiare mai
Strategie del giocatore
Il giocatore, per parte sua, determina la funzione di densità della sua prima scelta:
P(X = j) per j = 1, 2, 3.
La strategia ovvia è quella di scegliere una porta a caso, poiché a questo punto del gioco
non ha informazioni. Ciò porta alla distribuzione uniforme:
P(X = j) = 1/3 per j = 1, 2, 3.
Il giocatore determina inoltre la funzione di densità condizionata della sua seconda scelta,
conoscendo la prima e la porta aperta dal conduttore:
P(Y = l | X = j, V = k) per j, k, l = 1, 2, 3 con j
k.
Ricorda che, poiché il giocatore non può scegliere la porta aperta dal conduttore, tale
probabilità deve valere 0 per l = k. La distribuzione di X e la distribuzione condizionata di
Y costituiscono la strategia del giocatore.
8. Supponi che il giocatore cambi la porta con probabilità p. Mostra che ciò porta alla
seguente distribuzione condizionata
1. P(Y = l | X = j, V = k) = p se j, k, l sono distinti
2. P(Y = l | X = j, V = k) = 1 - p se j k e l = j
3. P(Y = l | X = j, V = k) = 0 se j = k o l = k
In particolare, se p = 1, il giocatore cambia sempre, mentre se p = 0, il giocatore non
cambia mai.
Indipendenza
Dobbiamo fare alcune assunzioni di indipendenza per tener conto della mancanza di
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Il problema di Monty Hall
informazioni che il giocatore e il conduttore hanno sul comportamento l'uno dell'altro. In
primo luogo, il giocatore non conosce la porta che nascondo l'auto, per cui assumiamo che
U e X siano indipendenti. Inoltre, l'unica informazione sulla posizione dell'auto che il
giocatore ha al momento di fare la seconda scelta è l'informazione (se ce n'è) contenuta
nella sua prima scelta e nella conseguente decisione del conduttore. Formalmente, ciò
significa che Y è condizionalmente indipendente da U dati X e V.
Le strategia del conduttore e del giocatore costituiscono i dati di base del problema di
Monty Hall. Grazie alle assunzioni di indipendenza, la distribuzione congiunta delle
variabili casuali di base è completamente individuata da tali strategie.
9. Usa la regola del prodotto della probabilità condizionata per mostrare che, per ogni
i, j, k e l,
P(U = i, X = j, V = k, Y = l) = P(U = i)P(X = j)P(V = k | U = i, X = j)P(Y = l | X = j, V =
k)
La probabilità di un evento definito in termini del problema di Monty Hall può essere
calcolata sommando la densità congiunta per i valori appropriati di i, j, k e l.
10. Prova che con ciascuna delle strategie di base del conduttore, V è distribuita
uniformemente su {1, 2, 3}.
11. Supponi che il giocatore cambi porta con probabilità p. Prova che con ciascuna
delle strategie di base del conduttore, Y è distribuita uniformemente su {1, 2, 3}.
12. Nell'esperimento di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a standard. Per
ciascuno dei seguenti valori di p, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
Basandoti sulla frequenza relativa, quale strategia funziona meglio?
1. p = 0 (non cambiare mai)
2. p = 0.3
3. p = 0.5
4. p = 0.7
5. p = 1 (cambiare sempre)
13. Nell'esperimento di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a cieco. Per
ciascuno dei seguenti valori di p, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10.
Basandoti sulla frequenza relativa, quale strategia funziona meglio?
1. p = 0 (non cambiare mai)
2. p = 0.3
3. p = 0.5
4. p = 0.7
5. p = 1 (cambiare sempre)
La probabilità di vittoria
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Il problema di Monty Hall
L'evento in cui il giocatore vince è {W = 1} = {Y = U}. Calcoliamo ora la probabilità di
tale evento con le due strategie del conduttore che abbiamo proposto.
14. Supponi che il conduttore segua la strategia standard e che il giocatore cambi porta
con probabilità p. Mostra che la probabilità di vittoria del giocatore è
P(Y = U) = 1/3(1 + p).
In particolare, se il giocatore cambia sempre, la probabilità di vittoria è 2/3, mentre se non
cambia la probabilità è 1/3.
15. Nell'esperimento di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a standard. Per
ciascuno dei seguenti valori di p, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. In
ciascun caso, osserva la convergenza della frequenza relativa di vittorie alla probabilità di
vittoria.
1. p = 0 (non cambiare mai)
2. p = 0.3
3. p = 0.5
4. p = 0.7
5. p = 1 (cambiare sempre)
16. Supponi che il conduttore segua la strategia cieca. Mostra che per qualsiasi
strategia del giocatore (non solo le standard),
P(Y = U) = 1/3.
17. Nell'esperimento di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a cieco. Per
ciascuno dei seguenti valori di p, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10. In
ciascun caso, osserva la convergenza della frequenza relativa di vittorie alla probabilità di
vittoria.
1. p = 0 (non cambiare mai)
2. p = 0.3
3. p = 0.5
4. p = 0.7
5. p = 1 (cambiare sempre)
Per una soluzione completa al problema di Monty Hall, dobbiamo calcolate la probabilità
condizionata che il giocatore vinca, sapendo che il conduttore apre una porta con dietro
una capra:
P(Y = U | V
U) = P(Y = U) / P(V
U).
Attraverso le strategie del giocatore e del conduttore abbiamo definito il numeratore,
ovvero la probabilità di vittoria. Ora dobbiamo considerare il denominatore, ovvero la
probabilità che il conduttore apra una porta con la capra.
Se facciamo affidamento sulla strategia standard, la probabilità condizionata di vittoria è
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Il problema di Monty Hall
uguale alla probabilità condizionata, indipendentemente dalla strategia del giocatore. Se il
giocatore cambia porta con probabilità p, allora, per l'esercizio 1,
P(Y = U | V
U) = 1/3(1 + p).
18. Prova che se il conduttore segue la strategia cieca, allora per qualunque strategia
del giocatore,
P(V
U) = 2/3 e quindi P(Y = U | V
U) = 1/2.
19. Nell'esperimento di Monty Hall, poni la strategia del conduttore a cieco. Per
ciascuno dei seguenti valori di p, simula 500 replicazioni, aggiornando ogni volta. In
ciascun caso, calcola la frequenza relativa di vittorie, sapendo che il conduttore apre la
porta con la capra, e confrontala con la risposta teorica all'esercizio 18.
1. p = 0 (non cambiare mai)
2. p = 0.3
3. p = 0.5
4. p = 0.7
5. p = 1 (cambiare sempre)
La confusione tra la probabilità condizionata di vittoria per queste due strategie è stata la
fonte delle controversie circa questo problema. Marilyn pensava probabilmente alla
strategia standard per il conduttore, mentre alcuni dei suoi critici si riferivano alla
strategia cieca. Questo problema sottolinea l'importanza di una modellazione attenta e di
un'espressione precisa delle assunzioni. Marilyn ha ragione se il conduttore segue la
strategia standard, i cirtici hanno ragione se il conduttore segue la strategia cieca, ogni
altra risposta può essere corretta se il conduttore segue altre strategie.
La rappresentazione matematica che abbiamo utilizzato è praticamente la più completa
possibile. In ogni caso, se vogliamo semplicemente risolvere il problema di Marilyn,
esiste una via molto più semplice (che forse hai trovato da solo). Supponiamo che il
conduttore apra sempre una porta con la capra. Se la prima porta scelta dal giocatore è
sbagliata (cioè nasconde una capra), allora il conduttore non ha scelta e deve aprire per
forza l'altra porta con la capra. Quindi se il giocatore cambia porta vince. D'altra parte, se
la prima porta che il giocatore sceglie è la giusta e poi cambia, allora ovviamente perde.
Si vede quindi che se il giocatore cambia sempre porta vince se e solo se la sua prima
scelta era sbagliata, evento che ha ovviamente probabilità 2/3. Se il giocatore non cambia
mai, allora vince se e solo se la sua prima scelta è corretta, e tale evento ha probabilità
1/3.
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Note conclusive
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8. Note conclusive
Simulazione
È molto semplice simulare il lancio di un dado equilibrato attraverso un generatore di
numeri casuali. Ricorda che la funzione tetto ceil(x) indica l'intero più piccolo maggiore o
uguale a x.
1. Supponi che U sia distribuita uniformemente su (0, 1) (numero casuale). Prova che
ceil(6U) è distribuita uniformemente su {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Per vedere come simulare una mano di carte, vedi il paragrafo note conclusive nel
capitolo sui modelli di campionamento finito. Un metodo generale per simulare variabili
casuali è basato sulla funzione quantile.
Argomenti correlati
●
Per molti dei modelli presentati in questo capitolo, il giocatore vince o perde,
indipendentemente da partita a partita e con la stessa probabilità. Tali processi
casuali sono studiati in dettaglio nel capitolo sulle prove Bernoulliane.
●
Molti dei giochi che abbiamo studiato in questo capitolo possono essere visti, in
termini statistici, come campionamento da una popolazione finita. Il capitolo sui
modelli di campionamento finito tratta tali modelli di campionamento.
●
Nella nostra analisi sul valore atteso condotta in questo capitolo, abbiamo assunto
che il giocatore punta consistenetemente da partita a partita. Molti giocatori
ritengono che si possa costruire una strategia vincente variando le puntate a
seconda degli esiti delle prove precedenti. Tali strategie sono fallimentari, tuttavia
alcune sono migliori di altre. Il capitolo su rosso e nero presenta un confronto tra
due strategie opposte: gioco prudente e gioco avventuroso.
Una delle strategie più semplici per variare le puntate è trattata nel problema di
Pietroburgo.
●
Siti web
●
●
Gambler's Anonymous è un gruppo di supporto psicologico fondato nel 1947 per
aiutare i giocatori d'azzardo compulsivi.
The Wizard of Odds è una grande risorsa per raccogliere informazioni su giochi
d'azzardo e di fortuna. Il sito comprende regole e probabilità per quasi tutti i giochi
da casinò, regole di comportamento per il giocatore e altre cose, e programmi di
simulazione per alcuni giochi scelti.
Libri
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/games/games8.html (1 di 6) [22/11/2001 17.55.55]
Note conclusive
●
Un buon riferimento elementare per l'analisi di vari giochi di fortuna è The
Mathematics of Games and Gambling di Edward Packel.
●
Per una buona trattazione formale approfondita dei giochi d'azzardo, puoi vedere
The Theory of Gambling and Statistical Logic, di Richard Epstein
●
Un'interessante storia del gioco d'azzardo e della teoria della probabilità si trova in
Games, Gods, and Gambling di Florence David.
●
Un bel racconto immaginario (ma in parte autobiografico) su un giocatore
d'azzardo compulsivo è Il giocatore, di Fedor Dostoyevsky.
●
Un'interessante biografia di Cardano è Cardano, the Gambling Scholar di Oystein
Ore.
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.15. 0.0287
2.16. 3.913 × 10-10
2.17. Ordinale. No.
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.12. 0.2130
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.36. 0.09235
Risposte agli esercizi del paragrafo 7
7.3. E(U) = 0.5319148936, sd(U) = 0.6587832083
k P(U = k)
0 0.5545644253
1 0.3648450167
2 0.0748400034
3 0.0056130003
4 0.0001369024
5 0.0000006519
7.4. E(U) = 0.5102040816, sd(U) = 0.6480462207
k P(U = k)
0 0.5695196981
1 0.3559498113
2 0.0694536217
3 0.0049609730
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Note conclusive
4 0.0001153715
5 0.0000005244
7.5. E(U) = 1.042553191, sd(U) = 0.8783776109
k P(U = k)
0 0.2964400642
1 0.4272224454
2 0.2197144005
3 0.0508598149
4 0.0054983583
5 0.0002604486
6 0.0000044521
7 0.0000000159
7.8.
P(I = i, U = k)
k
0
1
2
3
4
5
i
0
1
0.5340250022 0.0205394232
0.3513322383 0.0135127784
0.0720681514 0.0027718520
0.0054051114 0.0002078889
0.0001318320 0.0000050705
0.0000006278 0.0000000241
7.9.
P(I = i, U = k)
k
0
1
2
3
4
5
i
0
1
0.5559597053 0.0135599928
0.3474748158 0.0084749955
0.0677999641 0.0016536577
0.0048428546 0.0001181184
0.0001126245 0.0000027469
0.0000005119 0.0000000125
Nei seguenti esercizi di Keno, sia V la vincita casuale generata da una puntata unitaria.
7.13. m = 1. E(V) = 0.75, sd(V) = 1.299038106
v P(V = v)
0 0.75
3 0.25
7.14. m = 2. E(V) = 0.7215189873, sd(V) = 2.852654587
v
P(V = v)
0 0.9398734177
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Note conclusive
12 0.0601265822
7.15. m = 3. E(V) = 0.7353943525, sd(V) = 5.025285956
v
P(V = v)
0 0.8473709834
1 0.1387536514
43 0.0138753651
7.16. m = 4. E(V) = 0.7406201394, sd(V) = 7.198935911
v
P(V = v)
0 0.7410532505
1 0.2126354658
3 0.0432478914
130 0.0030633923
7.17. m = 5. E(V) = 0.7207981892, sd(V) = 20.33532453
v
P(V = v)
0 0.9033276850
1 0.0839350523
10 0.0120923380
800 0.0006449247
7.18. m = 6. E(V) = 0.7315342885, sd(V) = 17.83831647
v
P(V = v)
0
0.8384179112
1
0.1298195475
4
0.0285379178
95 0.0030956385
1500 0.0001289849
7.19. m = 7. E(V) = 0.7196008747, sd(V) = 40.69860455
v
P(V = k)
0
0.9384140492
1
0.0521909668
25 0.0086385048
350 0.0007320767
8000 0.0000244026
7.20. m = 8. E(V) = 0.7270517606, sd(V) = 55.64771986
v
0
9
90
P(V = v)
0.9791658999
0.0183025856
0.0023667137
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Note conclusive
1500 0.0001604552
25000 0.0000043457
7.21. m = 9. E(V) = 0.7486374371, sd(V) = 48.91644787
v
P(V = v)
0
0.9610539663
4
0.0326014806
50
0.0057195580
280 0.0005916784
4000 0.0000325925
50000 0.0000007243
7.22. m = 10. E(V) = 0.7228896221, sd(V) = 38.10367609
v
P(V = v)
0
0.9353401224
1
0.0514276877
22
0.0114793946
150
0.0016111431
1000 0.0001354194
5000 0.0000061206
100000 0.0000001122
7.23. m = 11. E(V) = 0.7138083347, sd(V) = 32.99373346
v
P(V = k)
0
0.9757475913
8
0.0202037345
80
0.0036078097
400
0.0004114169
2500 0.0000283736
25000 0.0000010580
100000 0.0000000160
7.24. m = 12. E(V) = .7167721544, sd(V) = 20.12030014
v
P(V = k)
0
0.9596431653
5
0.0322088520
32
0.0070273859
200
0.0010195984
1000 0.0000954010
5000 0.0000054280
25000 0.0000001673
100000 0.0000000021
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Note conclusive
7.25. m = 13. E(V) = 0.7216651326, sd(V) = 22.68311303
v
P(V = k)
0
0.9213238456
1
0.0638969375
20
0.0123151493
80
0.0021831401
600
0.0002598976
3500 0.0000200623
10000 0.0000009434
50000 0.0000000240
100000 0.0000000002
7.26. m = 14. E(V) = 0.7194160496, sd(V) = 21.98977077
v
P(V = k)
0
0.898036333063
1
0.077258807301
9
0.019851285448
42
0.004181636518
310
0.000608238039
1100 0.000059737665
8000 0.000003811015
25000 0.000000147841
50000 0.000000003084
100000 0.000000000026
7.27. m = 15. E(V) = 0.7144017020, sd(V) = 24.31901706
v
P(V = k)
0
0.95333046038902
1
0.00801614417729
10
0.02988971956684
25
0.00733144064847
100
0.00126716258122
300
0.00015205950975
2800 0.00001234249267
25000 0.00000064960488
50000 0.00000002067708
100000 0.00000000035046
100000 0.00000000000234
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Stimatori
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > [1] 2 3 4 5 6
1. Stimatori
Il modello statistico di base
Al solito, iniziamo introducendo un esperimento casuale definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Nel modello statistico di base, si ha una
variabile casuale X osservabile che assume valori in S. Ricorda che, in generale, X può
avere struttura complessa. Per esempio, se l'esperimento consiste nell'estrarre un
campione di n oggetti da una popolazione e registrare i valori di interesse, allora
X = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è il vettore di misurazione per l'oggetto i-esimo. Il caso particolare più importante
si ha quando X1, X2,..., Xn sono indipendenti e identicamente distribuite (IID). In questo
caso le n variabili casuali costituiscono un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione comune
Ricorda anche che una statistica è una funzione osservabile dell'esito di un esperimento
casuale:
W = h(X).
Pertanto, una statistica è semplicemente una variabile casuale drivata dai dati X, con
l'ipotesi che anche W sia osservabile. Tipicamente, anche W è un vettore.
Parametri
In senso generale, un parametro a è una funzione della distribuzione X, che assume valori
in uno spazio parametrico A. Di solito, la distribuzione di X avrà k parametri reali di
interesse, cosicché a = (a1, a2, ..., ak), e A è un sottinsieme di Rk. In molti casi, uno o più
parametri sono sconosciuti e devono essere stimati a partire dal vettore degli esiti
dell'esperimento X. Questo è uno dei problemi più importanti di tutta la statistica e
costituisce l'oggetto di questo capitolo.
Proprietà fondamentali degli stimatori
Supponiamo di avere un parametro reale ignoto a che assume valori in uno spazio
parametrico A R. Una statistica a valori reali W che si utilizza per stimare a è detta,
appunto, stimatore di a. Quindi uno stimatore è una variabile casuale e possiede pertanto
una distribuzione, valore atteso, varianza e così via. Quando si esegue l'esperimento e si
osservano i dati, il valore osservato w (che è un numero) è la stima del parametro a.
L'errore (variabile casuale) è la differenza tra lo stimatore e il parametro:
W - a.
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Stimatori
Il valore atteso dell'errore è detto distorsione (bias):
bias(W) = E(W - a)
1. Usa le proprietà del valore atteso per dimostrare che
bias(W) = E(W) - a.
Pertanto, uno stimatore si dice corretto se la distorsione è 0 per ogni valore di a, o
equivalentemente se il valore atteso dello stimatore è il valore "vero" del paraemtro che si
stima: E(W) = a for a in A.
La qualità di uno stimatore è spesso misurata attravero l'errore quadratico medio:
MSE(W) = E[(W - a)2].
2. Usa le proprietà di valore atteso e varianza per provare che
MSE(W) = var(W) + bias2(W).
In particolare, se lo stimatore è corretto, l'errore quadratico medio di W è semplicemente
la varianza di W.
L'ideale sarebbe avere stimatori corretti e con errore quadratico medio basso. Ciò però
non è sempre possibile, e l'esercizio 2 mostra la relazione che intercorre tra distorsione e
errore quadratico medio. Nel prossimo paragrafo vedremo un esempio con due stimatori
che sono l'uno multiplo dell'altro; uno è corretto ma l'altro ha errore quadratico medio più
piccolo.
In ogni caso, se abbiamo due stimatori corretti per a, che indichiamo con U e V, è naturale
preferire quello con minore varianza (errore quadratico medio). L'efficienza relativa di V
rispetto a U è semplicemente il rapporto delle varianze:
var(U) / var(V).
Proprietà asintotiche
Consideriamo il caso particolare in cui la variabile dei dati X ha forma
X = (X1, X2, ...)
e si ha un parametro di interesse a a valori reali. Di nuovo, questa è la situazione che si ha
quando si estraggono a ripetizione dei campioni dalla popolazione; tipicamente, Xi è il
vettore delle misurazioni sull'i-esima unità del campione. Quindi, per ogni n, (X1, ..., Xn)
sono le osservazioni dal campione di dimensione n. In questa situazione, abbiamo una
formula generale che definisce uno stimatore di a per ogni dimensione del campione.
Tecnicamente, si ha allora una sequenza di stimatori di a:
Wn = hn(X1, X2, ..., Xn), n = 1, 2, ...
In questo caso si può parlare di proprietà asintotiche degli stimatori per incrementi di n.
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Stimatori
La maggior parte delle definizioni sono generalizzazioni immediate delle precedenti.
La sequenza di stimatori Wn si dice asintoticamente corretta per a se
bias(Wn)
0 per n
per a in A.
3. Prova che Wn è asintoticamente corretto se e solo se
E(Wn)
a per n
per a appartenente a A.
Supponiamo che Un e Vn siano due sequenze di stimatori per a, entrambe asintoticamente
corrette. L'efficienza relativa asintotica di Vn rispetto a Un è il seguente limite (se esiste):
limn [var(Un) / var(Vn)].
Ovviamente ci si aspetta che gli stimatori migliorino, in un certo senso, al crescere di n.
Più precisamente, la sequenza di stimatori Wn si dice consistente per a se Wn converge in
probabilità ad a per n che tende a infinito:
P[|Wn - a| > r]
0 per n
per ogni r > 0 e ogni a appartenente a A.
4. Supponi che MSE(Wn)
0 per n
per ogni a appartenente ad A. Prova che
Wn è consistente per a. Suggerimento: Usa la disuguaglianza di Markov.
La condizione presentata nell'esercizio 4 è detta consistenza in media quadratica. Quindi,
la consistenza in media quadratica implica la consistenza semplice. Questa è
semplicemente una conseguenza del fatto che la convergenza in media quadratica implica
la convergenza in probabilità.
Media e varianza campionaria
Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione di dimensione n proveniente dalla
distribuzione di una variabile casuale a valori reali X con media µ e varianza d2. Ricorda
che media campionaria e varianza sono definite rispettivamente come
Mn = (1 / n)
i = 1, ..., n
Sn2 = [1 / (n - 1)]
Xi.
i = 1, ..., n
(Xi - Mn)2.
Le proprietà di queste statistiche sono esaminate in dettaglio nel capitolo sui campioni
casuali. Ribadiremo qui alcune di queste proprietà, focalizzando l'attenzione sulle
questioni di stima.
5. Mostra che
1. E(Mn) = µ, per cui Mn è uno stimatore corretto di µ.
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Stimatori
2. var(Mn) = d2 / n, so Mn è uno stimatore consistente per µ.
6. Nell'esperimento della media campionaria, seleziona la distribuzione gamma.
Incrementa la dimensione del campione con la barra di scorrimento e osserva
graficamente e numericamente le proprietà di consistenza e correttezza. Simula 1000
replicazioni aggiornando ogni 10.
7. Lancia l'applet stima della distribuzione normale 1000 volte, aggiornando ogni 10,
con diversi valori dei parametri. In ciascun caso, confronta la distorsione empirica e
l'errore quadratico medio di Mn coi valori teorici.
La consistenza di Mn come stimatore di µ è semplicemente la legge debole dei grandi
numeri. Inoltre, ci sono molti casi particolari dei risultati dell'esercizio 5. Vedi il
paragrafo Distribuzioni empiriche nel capitolo sui campioni casuali per ulteriori dettagli.
●
●
●
Se X = IA, ovvero la variabile indicatrice di un evento A con probabilità p, allora la
media campionaria di Xi, i = 1, 2, ..., n è la frequenza relativa fn di A. Quindi, fn è
uno stimatore corretto e consistente di p.
Se F è la funzione di ripartizione di X, allora dato x, la funzione di ripartizione
empirica Fn(x) è semplicemente la media del campione casuale I{Xi x}, i = 1, 2,
..., n. Quindi Fn(x) è uno stimatore corretto e consistente di F(x).
Se X è discreta e f indica la funzione di densità di X, allora, dato x, la funzione di
ensità empirica fn(x) è semplicemente la media campionaria del campione casuale
1{Xi = x}, i = 1, 2, ..., n. Quindi fn(x) è uno stimatore corretto e consistente di f(x).
8. Nell'esperimento della concordanza, la variabile casuale è il numero di successi.
Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza
1. della media campionaria al valore atteso della distribuzione
2. della deviazione standard campionaria a quella della distribuzione
3. della funzione di densità empirica a quella teorica
Nei seguenti esercizi, assumiamo che d4 = E[(X - µ)4] sia finito.
9. Mostra che
a. E(Sn2) = d2 per cui Sn2 è uno stimatore corretto di d2.
b. var(Sn2) = (1 / n)[d4 - (n - 3)d4 / (n - 1)] so Sn2 è uno stimatore consistente di d2.
10. Simula l'esperimento esponenziale 1000 volte aggiornando ogni 10. Osserva la
convergenza della deviazione standard campionaria a quella della distribuzione.
Reicorda che, se µ è noto, uno stimatore naturale di d2 è
Wn2 = (1 / n)
i = 1, ..., n
(Xi - µ)2.
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Stimatori
11. Dimostra che
1. E(Wn2) = d2 so Wn2 è uno stimatore corretto di d2.
2. var(Wn2) = (1 / n)(d4 - d4)so Wn2 è uno stimatore consistente per d2.
12. Prova che l'efficienza relativa asintotica di Sn2 rispetto a Wn2 è 1.
13. Replica la stima della distribuzione normale 1000 volte, aggiornando ogni 10, per
valori diversi dei parametri. In ciascun caso, confronta la distorsione empirica e l'errore
quadratico medio di Sn2 e Wn2 coi loro valori teorici. Quale stimatore sembra funzionare
meglio?
Gli stimatori di media e varianza che abbiamo considerato in questo paragrafo sono in un
certo senso naturali. Per altri tipi di parametri però non è immediatamente evidente come
ottenere degli stimatori ragionevoli. Nei prossimi paragrafi si esaminerà il problema della
costruzione degli stimatori.
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > [1] 2 3 4 5 6
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Proprietà dei campioni normali
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9
6. Proprietà dei campioni normali
Supponiamo che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione
normale con media µ e deviazione standard d. In questo paragrafo, enunceremo alcune
proprietà speciali di media campionaria, varianza campionaria e altre importanti
statistiche.
Media campionaria
Richiamiamo in primo luogo la definizione di media campionaria
M = (1 / n)
i = 1, ..., n
Xi.
La distribuzione M segue dalle proprietà delle variabili normali indipendenti:
1. Prova che M è distribuita normalmente con media µ e varianza d2 / n.
2. Mostra che Z = (M - µ) / (d / n1/2) ha distribuzione normale standardizzata.
La variabile standardizzata Z si incontrerà in diversi casi, più avanti.
Lo stimatore per d2 quando µ è nota
Ricorda che, µ è noto, uno stimatore naturale della varianza d2 è
W2 = (1 / n)
i = 1, ..., n
(Xi - µ)2.
Anche se l'ipotesi che µ sia noto è di solito irrealistica, W2 è semplice da analizzare e sarà
usato in alcune dimostrazioni più avanti.
3. Mostra che nW2 / d2 ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà.
4. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
1. E(W2) = d2.
2. var(W2) = 2d4 / n.
Indipendenza di media campionaria e varianza campionaria
Ricorda che la varianza campionaria è definita come
S2 = [1 / (n - 1)]
i = 1, ..., n
(Xi - M)2.
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Proprietà dei campioni normali
Il prossimo gruppo di esercizi dimostra che la media campionaria M e la varianza
campionaria S2 sono indipendenti. Notiamo in primo luogo un fatto semplice ma
interessante, che vale per campioni casuali provenienti da ogni distribuzione e non solo
per la normale.
5. Usa le proprietà della covarianza per dimostrae che, per ogni i, M e Xi - M sono
incorrelati:
La nostra analisi fa perno sulla media campionaria M e sul vettore di scarti dalla media
campionaria:
Y = (X1 - M, X2 - M, ..., Xn - 1 - M).
6. Prova che
Xn - M = -
i = 1, ..., n - 1
(Xi - M).
e dimosra quindi che S2 può essere scritto con funzione di Y.
7. Dimostra che M e il vettore Y hanno distribuzione normale multivariata congiunta.
8. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che M e il vettore Y sono
indipendenti.
9. Dimostra infine che M e S2 sono indipendenti.
La varianza campionaria
Possiamo ora determinare la distribuzione della varianza campionaria S2.
10. Prova che nW2 / d2 = (n - 1)S2 / d2 + Z2 dove W2 e Z sono quelli introdotti in
precedenza.
Suggerimento: Nella sommatoria del membro di sinistra aggiungi e sottrai M ed espandi.
11. Dimostra che (n - 1) S2 / d2 ha distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà.
Suggerimento: Usa il risultato dell'esercizio precedente, l'indipendenza e le funzioni
generatrici dei momenti.
12. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che
1. E(S2) = d2.
2. var(S2) = 2d4 / (n - 1)
Ovviamente si tratta di casi particolari di quelli ottenuti in precedenza.
La statistica T
La prossima serie di esercizi individuerà òa distribuzione di
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Proprietà dei campioni normali
T = (M - µ) / (S / n1/2).
13. Dimostra che T = Z / [V / (n - 1)]1/2, dove Z è quella introdtta in precedenza e V =
(n - 1) S2 / d2.
14. Usa i risultati ottenuti per mostrare che T ha distribuzione t con n - 1 gradi di
libertà.
La variabile T ha un ruolo fondamentale nella costruzione di intervalli di conidenza e
nell'esecuzione di test di ipotesi su µ.
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9
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Grafici quantile-quantile
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9
8. Grafici quantile-quantile
Derivazione del test
Supponiamo di osservare dati a valori reali
x1, x2, ..., xn
da un campione casuale di dimensione n. Siamo interessati a sapere se i dati possono
ragionevolmente provenire da una distribuzione continua (a valori in un certo intervallo)
con funzione di ripartizione F.
Per prima cosa, ordiniamo i dati dal più piccolo al più grande (i valori osservati delle
statistiche d'ordine)
x(1) < x(2) < ··· < x(n).
1. Prova che x(i) è il quantile del campione di ordine i / (n + 1). .
2. Dimostra che il quantile di ordine i/ (n + 1) della distribuzione è
yi = F-1[i / (n + 1)]
Se i dati provengono relamente dalla distribuzione ipotizzata, allora ci si deve attendere
che i punti
(x(i), yi); i = 1, 2, ..., n
giacciano nei pressi della diagonale y = x; al contrario, deviazioni marcate da questa linea
indicano che i dati non sono stati generati da quella distribuzione. Il grafico di questi punti
è noto come grafico quantile-quantile.
Negli esercizi che seguono, analizzeremo i grafici quantile-quantile per le distribuzioni
normale, esponenziale, e uniforme.
3. Nell'applet quantile-quantile, scegli la distribuzione normale standardizzata e poni la
dimensione del campione a n = 20. Per ciascuna delle distribuzioni sottoindicate, genera
50 replicazioni e osserva la forma del disegno probabilistico.
1. Normale standardizzata
2. Uniforme (0, 1)
3. Esponenziale (1)
4. Nell'applet quantile-quantile, scegli la distribuzione uniforme (0, 1) e poni la
dimensione del campione a n = 20. Per ciascuna delle distribuzioni sottoindicate, genera
50 replicazioni e osserva la forma del disegno probabilistico.
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Grafici quantile-quantile
1. Normale standardizzata
2. Uniforme (0, 1)
3. Esponenziale (1)
5. Nell'applet quantile-quantile, scegli la distribuzione esponenziale (1) e poni la
dimensione del campione a n = 20. Per ciascuna delle distribuzioni sottoindicate, genera
50 replicazioni e osserva la forma del disegno probabilistico.
1. Normale standardizzata
2. Uniforme (0, 1)
3. Esponenziale (1)
Famiglie di posizione e scala
In genere non si cerca di adattare i dati a una distribuzione specifica, ma piuttosto a una
famiglia parametrica di distribuzioni (come la normale, l'uniforme o l'esponenziale).
Normalmente infatti non possiamo lavorare con una distribuzione specifica perché non ne
conosciamo i parametri. Fortunatamente, il metodo del grafico quantile-quantile è
semplicemente estendibile alle famiglie di posizione e scala di distribuzioni.
Supponi che G sia una funzione di ripartizione data. Ricorda che la famiglia di posizione
e scala associata a G ha funzione di ripartizione
F(x) = G[(x - a) / b],
dove a è il parametro di posizione e b > 0 è il parametro di scala.
6. Per p appartenente a (0, 1), sia zp il quantile di ordine p per G e yp il quantile di
ordine p per F. Prova che
yp = a + b zp.
Dall'esercizio 6 segue che se il grafico costruito con la funzione di ripartizione F è quasi
lineare (e in particolare, se è prossimo alla diagonale), allora il disegno probabilistico
costruito con la funzione di ripartizione G sarà anch'esso quasi lineare. Pertanto, possiamo
usare la funzione di ripartizione G anche senza conoscere i parametri.
7. Nell'esperimento quantile-quantile, scegli la distribuzione normale con media 5 e
deviazione standard 2 e poni la dimensione del campione a n = 20. Per ciascuna delle
distribuzioni sottoindicate, genera 50 replicazioni e osserva la forma del disegno
probabilistico.
1. Normale standardizzata
2. Uniforme (0, 1)
3. Esponenziale (1)
8. Nell'esperimento quantile-quantile, scegli la distribuzione uniforme sull'intervallo
(4, 10) e poni la dimensione del campione a n = 20. Per ciascuna delle distribuzioni
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Grafici quantile-quantile
sottoindicate, genera 50 replicazioni e osserva la forma del disegno probabilistico.
1. Normale standardizzata
2. Uniforme (0, 1)
3. Esponenziale (1)
9. Nell'esperimento quantile-quantile, scegli la distribuzione esponenziale con
parametro 3 e poni la dimensione del campione a n = 20. Per ciascuna delle distribuzioni
sottoindicate, genera 50 replicazioni e osserva la forma del disegno probabilistico.
1. Normale standardizzata
2. Uniforme (0, 1)
3. Esponenziale (1)
Esercizi numerici
10. Traccia il disegno probabilistico normale coi dati di Michelson sulla velocità della
luce. Interpreta i risultati.
11. Traccia il disegno probabilistico normale coi dati di Cavendish sulla densità della
terra. Interpreta i risultati.
12. Traccia il disegno probabilistico normale coi dati sulla parallasse solare di Short.
Interpreta i risultati.
13. Traccia il disegno probabilistico normale per la variabile lunghezza dei petali sui
dati di Fisher sugli iris, nei casi seguenti. Confronta i risultati.
1.
2.
3.
4.
Tutte le varietà
Solo la Setosa
Solo la Verginica
Solo la Versicolor
Interpretazione dei risultati
Ci aspettiamo che tu abbia tratto alcune conclusioni da questi esperimenti. In primo luogo,
il metodo del disegno probabilistico è di poca utilità se si dispone di campioni di piccola
dimensione. Se si hanno solo cinque punti, ad esempio, è quasi impossibile valutare la
linearità del grafico risultante. Anche con campioni più grandi, tuttavia, i risultati possono
essere ambigui. Per esempio, un campione estratto da una distribuzione normale di solito
sembra adattarsi bene anche a una distribuzione uniforme. Per trarre conclusioni adeguate
è di grande aiuto la pratica con diversi tipi di distribuzione.
Laboratorio virtuale > Campioni casuali > 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9
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Problema dell'ago di Buffon
Laboratorio virtuale > Modelli geometrici > 1 [2] 3 4 5
2. Problema dell'ago di Buffon
L'esperimento dell'ago di Buffon è un esperimento casuale antico e ben noto, che prende
nome dal Compte De Buffon. L'esperimento consiste nel far cadere un ago su un
pavimento di assi di legno. L'evento di interesse è che l'ago vada a cadere su
un'intercapedine tra un'asse e l'altra. Stranamente, la probabilità di questo evento conduce
a una stima statistica del numero pi greco!
Assunzioni
Il primo passo consiste nel definire l'esperimento in termini matematici. Di nuovo,
astraiamo gli oggetti fisici assumendo che le assi del pavimento siano identiche e di
larghezza unitaria. Assumeremo inoltre che l'ago abbia lunghezza L < 1 cosicché non
possa incorciare più di una fessura. Assumeremo infine che le intercapedini tra le assi
siano segmenti di retta.
Lanciando l'ago, vogliamo registrare il suo orientamento rispetto alle fessure. Un modo
per farlo è registrare l'angolo X che l'estremita superiore dell'ago forma con la retta che
passa per il centro dell'ago parallela alle assi, e la distanza Y dal centro dell'ago
all'intercapedine inferiore. Si tratta di variabili casuali semplice per l'esperimento, per cui
lo spazio campionario è
S = (0,
) × (0, 1) = {(x, y): 0 < x <
, 0 < y < 1}
Di nuovo, l'assunzione che facciamo è di lanciare l'ago "a caso" sul pavimento. Quindi,
un'assunzione matematica ragionevole può essere che il vettore aleatorio (X, Y) sia
distribuito uniformemente sullo spazio campionario. Per definizione, ciò significa che
P[(X, Y)
A] = area(A) / area(S) per A
S.
1. Esegui l' esperimento dell'ago di Buffon con le impostazioni predefinite e osserva
gli esiti sullo spazio campionario. Osserva come i punti della dispersione sembrano
riempire lo spazio campionario S in maniera uniforme.
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Problema dell'ago di Buffon
La probabilità della caduta su una fessura
L'evento di interesse C è quello in cui l'ago cade su una fessura tra le assi.
2. Usa la trigonometria per mostrare che C può essere scritto come segue in termini
delle variabili angolo e distanza:
C = {Y < (L / 2)sin(X)}
{Y > 1 - (L / 2)sin(X)}
3. Usa l'analisi per mostrare che area(C) = 2L e quindi
P(C) = 2L /
4. Usa quello che sai sulle rette per mostrare che P(C) in funzione di L, ha il grafico
seguente:
5. Trova la probabilità che l'ago non cada su una fessura.
Le curve
y = (L / 2)sin(x), y = 1 - (L / 2)sin(x)
sono disegnate in blu nel grafico a dispersione, per cui l'evento C è l'unione delle regioni
tra la curva inferiore e la curva superiore. Pertanto, l'ago cade su una fessura esattamente
quando un punto cade nella regione.
6. Nell' Buffon, modifica la lunghezza dell'ago L con la barra a scorrimento e osserva
come gli eventi C e Cc cambiano. Esegui l'esperimento con diversi valori di L e confronta
l'esperimento fisico coi punti della dispersione. Osserva la convergenza della frequenza
relativa di C alla probabilità di C.
La convergenza della frequenza relativa di un evento (al ripetersi dell'esperimento) alla
probabilità dell'evento è un caso particolare della legge dei grandi numeri.
7. Trova le probabilità dei seguenti eventi nell'esperimento dell'ago di Buffon. In
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Problema dell'ago di Buffon
ciascun caso, disegna l'eveno come sottinsieme dello spazio campionario.
1.
2.
3.
4.
{0 < X < / 2, 0 < Y < 1 / 3}
{1/4 < Y < 2 / 3}
{X < Y}
{X + Y < 2}
Stima di pi greco
Supponiamo di eseguire l'esperimento dell'ago di Buffon un numero molto elevato di
volte. Per la legge dei grandi numeri, la proporzione degli incroci dev'essere prossima alla
probabilità di incrociare una fessura. Più precisamente, indicheremo il numero di incroci
nelle prime n prove con Nn. Nota che Nn è una variabile casuale per l'esperimento
composito formato da n replicazioni dell'esperiemnto semplice. Quindi, se n è grande,
dovremmo avere
Nn / n ~ 2L /
e quindi
~ 2Ln / Nn.
Questa è la celebre stima di Buffon di π. Nella simulazione, tale stima è calcolata ad
ogni ciclo ed è mostrata numericamente nella seconda tabella e visualmente nel grafico a
barre.
8. Esegui l' esperimento dell'ago di Buffon con lunghezza dell'ago L = 0.3, 0.5, 0.7, e
1. In ciascun caso, osserva la stima di pi all'evolversi della simulazione.
Analizziamo più attentamente il problema della stima. Per ciascuna esecuzione j si ha la
variabile indicatore
Ij = 1 se l'ago incrocia una fessura alla j-esima replicazione; Ij = 0 altrimenti
Queste variabili indicatrici sono indipendenti e identicamente distribuite, poiché stiamo
assumendo replicazioni indipendenti dell'esperimento. Quindi, la sequenza forma un
processo di prove Bernoulliane.
9. Prova che il numero di incorci nelle prime n replicazioni dell'esperimento è
Nn = I1 + I2 + ··· + In.
10. Usa il risultato dell'esercizio 9 per mostrare che il numero di incroci nelle prime n
replicazioni ha distribuzione binomiale con parametri n e
p = 2L /
11. Usa il risultato dell'esercizio 9 per mostrare che media e varianza del numero di
incroci sono
1. E(Nn) = 2Ln /
2. var(Nn) = (2Ln /
)(1 - 2L /
)
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Problema dell'ago di Buffon
12. Usa la legge forte dei grandi numeri per mostrare che
1. Nn / 2Ln
1/
2. 2Ln / Nn
per n
per n
Si hanno quindi due stimatori:
1. Nn / 2Ln per 1 /
2. 2Ln / Nn per
.
.
Proprietà
Lo stimatore (1) gode di molte importanti proprietà statistiche. In primo luogo, è corretto,
poiché il valore atteso dello stimatore è pari al parametro:
13. Usa l'esercizio 11 e le proprietà del valore atteso per mostrare che
E(Nn / 2Ln) = 1 /
.
Poiché lo stimatore è corretto, la varianza coincide con l'errore quadratico medio:
var(Nn / 2Ln) = E[(Nn / 2Ln - 1 /
)2]
14. Usa l'esercizio 4 e le proprietà della varianza per mostrare che
var(Nn / 2Ln) = (
- 2L) / (2L n
2)
15. Mostra che la varianza dell'esercizio 11 è funzione decrescente della lunghezza
dell'ago L.
L'esercizio 15 mostra che lo stimatore (1) migliora all'aumentare della lunghezza dell'ago.
Lo stimatore (2) è distorto e tende a sovrastimare pi:
16. Usa la disuguaglianza di Jensen per provare che
E(2Ln / Nn)
.
Anche lo stimatore (2) migliora all'aumentare della lunghezza dell'ago, ma non è facile
dimostrarlo formalmente. In ogni caso, puoi vederlo empiricamente.
17. Nell'esperimento dell'ago di Buffon, poni la frequenza di aggiornamento a 100.
Simula 5000 replicazioni, con L = 0.3, L = 0.5, L = 0.7, e L = 1. Osserva come sembra
funzionare lo stimatore in ciascun caso.
Infine, dobbiamo notare che, all'atto pratico, l'esperimento dell'ago di Buffon non è un
modo molto efficiente di approssimare pi. Seguendo Richard Durrett, la stima di pi con
un'approssimazione di quattro posizioni decimali con L = 1 / 2 richiederebbe circa 100
milioni di lanci!
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Problema dell'ago di Buffon
18. Simula l'esperimento dell'ago di Buffon con frequenza di aggiornamento 100 fino a
che la stima di pi sembra consistentemente corretta alla seconda posizione decimale. Nota
il numero di replicazioni necessarie. Prova con le lunghezze L = 0.3, L = 0.5, L = 0.7, e L
= 1 e confronta i risultati.
Laboratorio virtuale > Modelli geometrici > 1 [2] 3 4 5
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Introduzione
Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > [1] 2 3 4 5 6 7 8
1. Introduzione
Consideriamo ora un processo in cui i punti si presentano casualmente nel tempo. La frase
punti nel tempo è volutamente generica, e può rappresentare ad esempio:
● Il tempo al quale un pezzo di materiale radioattivo emette determinate particelle.
● Il tempo in cui le automobili arrivano a una stazione di servizio.
● Il tempo in cui arrivano a un server delle richeste dai computer periferici.
● Il tempo in cui si verificano incidenti a un certo incrocio.
Si vedrà che, sotto alcune assunzioni di base che hanno a che fare con indipendeza e
uniformità nel tempo, un singlo, modello probabilistico a un parametro governa tutti i
processi di questo tipo. Tale risultato è sorprendente ed è una delle ragioni per cui il
processo di Poisson (che prende nome da Simeon Poisson) è uno dei più importanti in
tutta la teoria della probabilità.
Variabili casuali
Ci sono due categorie di variabili casuali che possiamo utilizzare per descrivere questo
tipo di processo, che corrispondono a due diversi tipi di esperimento.
Per cominciare, sia Tk il tempo del k-esimo arrivo per k = 1, 2, ... L'esperimento gamma
consiste nell'eseguire il processo finché si verifica il k-esimo arrivo e registrare il tempo
di tale arrivo. Sia invece Nt il numero di arrivi nell'intervallo (0, t] per t 0.
L'esperimento di Poisson consiste nell'eseguire il processo fino al tempo t e registrare il
numero di arrivi. Notiamo che
Nt
k se e solo se Tk
t
poiché ognuno di tali eventi indica che ci sono almeno k arrivi nell'intervallo (0, t].
L'assunzione di base
L'assunzione che faremo può essere presentata intuitivamente (ma non correttamente)
come segue: se fissiamo un tempo t, sia costante o dipendente dai tempi di arrivo, allora il
processo dopo il tempo t è indipendente dal processo prima del tempo t e si comporta,
probabilisticamente, come il processo originale. Quindi il processo casuale ha proprietà di
rigenerazione. Precisare meglio quest'assunzione ci consentire di ricavare la distribuzione
di:
● I tempi tra gli arrivi,
● I tempi di arrivo,
● Il numero di arrivi in un intervallo.
1. Pensa all'applicazione di base in ciascuna delle applicazioni specifiche riportate
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Introduzione
sopra.
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Splitting
Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 2 3 4 [5] 6 7 8
5. Splitting
Il processo di due tipi
Supponiamo che ciascuno degli arrivi in un processo di Poisson sia, indipendenetemente
dagli altri, di due tipi: tipo 1 con probabilità p e tipo 0 con probabilità q = 1 - p.
Ciò è a volte detto splitting di un processo di Poisson. Per esempio, supponi che gli arrivi
siano emissioni radioattive e che ciascuna particella possa essere rilevata (tipo 1) o
mancata (tipo 0) da un misuratore. Se gli arrivi sono automobili a una stazione di servizio,
ciascun guidatore può essere maschio (tipo 1) o femmina (tipo 0).
La distribuzione congiunta
Siamo interessati agli arrivi di tipo 1 e di tipo 0 congiuntamente. Sia
1. Mt = numero di arrivi di tipo 1 in (0, t].
2. Wt = Nt - Mt = numero di arrivi di tipo 0 in (0, t].
1. Usa la definizione di probabilità condizionata per mostrare che
P(Mt = j, Wt = k) = P(Mt = n | Nt = j + k)P(Nt = j + k).
2. Dimostra che, in termini di tipo, gli arrivi successivi formano un processo di prove
Bernoulliane, per cui se ci sono j + k arrivi nell'intervallo (0, t], allora il numero di arrivi
di tipo 1 ha distribuzione binomiale con parametri j + k e p.
3. Usa i risultati degli esercizi 1 e 2 per mostrare che
P(Mt = j, Wt = k) = [e-rpt (rpt)j / j!][e-rqt (rqt)k / k!] per j, k = 0, 1, ...
Segue dall'esercizio 3 che il numero di arrivi di tipo 1 nell'intervallo (0, t] e il numero di
arrivi di tipo o nell'intervallo (0, t] sono indipendenti e hanno distribuzione di Poisson con
parametri rispettivamente rpt e rqt. Più in generale, gli arrivi di tipo 1 e di tipo 0 formano
due distinti (e indipendenti) processi di Poisson.
4. Nell'esperimento di Poisson di due tipi modifica r, p e t con le barre a scorrimento e
osserva la forma delle funzioni di densità. Poni r = 2, t = 3 e p = 0.7. Simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza delle frequenze relative alle
funzioni di densità.
5. Nell'esperimento di Poisson di due tipi, poni r = 2, t = 3 e p = 0.7. Simula 500
replicazioni, aggiornando ogni volta e calcola le appropriate frequenze relative per
analizzare empiricamente l'indipendenza tra numero di donne e numero di uomini.
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Splitting
6. Supponi che le automobili arrivino a una stazione di servizio seguendo il modello
di Poisson, con velocità r = 20 l'ora. Inoltre, ciascun guidatore può essere,
indipendentemente dagli altri, femmina con probabilità 0.6 o maschio con probabilità 0.4.
Trova la probabilità che, su un periodo di due ore, si presentino almeno 20 donne e 15
uomini.
Stima del numero di arrivi
Supponiamo che Nt non sia osservabile, ma che lo sia Mt. Questa situazione si presenta,
ad esempio, se gli arrivi sono emissioni radioattive, e quelle di tipo 1 sono rilevate da un
misuratore, mentre quelle di tipo 0 gli sfuggono. Vogliamo stimare il numero totale di
arrivi Nt in (0, t] dopo aver osservato il numero di arrivi di tipo 1 Mt.
7. Prova che la distribuzione condizionata di Nt dato Mt = k è identica alla
distribuzione di k + Wt.
8. Prova che E(Nt | Mt = k) = k + r(1 - p)t.
Quindi, se la velocità complessiva r e la probabilità p che un arrivo sia di tipo 1 sono note,
segue dalla teoria generale del valore atteso condizionato che
Mt + r(1 - p)t
è il miglior stimatore di Nt basata su Mt nel senso dei minimi quadrati.
9. Prova che E{[Nt - (Mt + r(1 - p)t)]2} = r(1 - p)t.
10. Nell'esperimento di Poisson di due tipi, poni r = 3, t = 4 e p = 0.8. Simula 100
replicazioni, aggiornando ogni volta.
1. Calcola la stima di Nt basata su Mt per ciascuna replicazione.
2. Calcola, per tutte e 100 le replicazioni, la media della somma dei quadrati degli
errori.
3. Confronta il risultato di (b) con quello dell'esercizio 9.
11. Supponi che un frammento di materiale radioattivo emetta particelle seguendo il
modello di Poisson con velocità r = 100 al secondo. Supponi inoltre che lo strumento di
misura che si utilizza individui ciascuna particella emessa, indipendentemente dalle altre,
con probabilità 0.9. Se in un periodo di 5 secondi sono registrate 465 particelle,
1. Stima il numero di particelle emesse.
2. Calcola l'errore quadratico medio della stima.
Il processo di k tipi
Supponi che ciascun arrivo del processo di Poisson sia, indipendentemente dagli altri, di
uno dei k tipi: i con probabilità pi per i = 1, 2, ..., k. Ovviamento dobbiamo avere
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Splitting
p1 + p2 + ··· + pk = 1.
Sia Mi(t) il numero di arrivi di tipo i in (0, t] per i = 1, 2, ..., k.
12. Mostra che, per dati t, M1(t), M2(t), ..., Mk(t) sono indipendenti e Mi(t) ha
distribuzione di Poisson con parametro rpit.
Più in generale, M1(t), M2(t), ..., Mk(t) sono processi di Poisson indipendenti.
Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 2 3 4 [5] 6 7 8
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Processi di Poisson in più dimensioni
Laboratorio virtuale > Il processo di Poisson > 1 2 3 4 5 6 [7] 8
7. Processi di Poisson in più dimensioni
Il processo
Il processo di Poisson può essere definito in un contesto bidimensionale per modellare
punti nello spazio. Alcuni esempi specifici di "punti casuali" sono
1. Difetti in un foglio di materiale.
2. Uvetta in una torta.
3. Stelle nel cielo.
Il modo in cui abbiamo introdotto il processo di Poisson su [0, ), partendo dai tempi
interarrivo, non si generalizza facilmento, poiché tale costruzione dipende dall'ordine dei
numeri reali. Tuttavia, la costruzione alternativa motivata dall'analogia con le prove
Bernoulliane, si presta in modo molto naturale.
Fissato k, sia m la misura in k-dimensioni, definita su sottinsiemi di Rk. Pertanto, se k = 2,
m(A) è l'area di A e se k = 3, m(A) è il volume di A. Sia ora D un sottinsieme di Rk e
consideriamo un processo stocastico che genera punti casuali in D. Per A
D con m(A)
positivo e finito, sia N(A) il numero di punti casuali in A. Tale collezione di variabili
casuali è un processo di Poisson su D con parametro di densità r se i seguenti assiomi
sono soddisfatti:
1. N(A) ha distribuzione di Poisson con parametro r m(A).
2. If A1, A2, ..., An sono sottinsiemi mutualmente disgiunti di D allora N(A1), N(A2),
..., N(An) sono indipendenti.
1. Nel processo di Poisson in due dimensioni, modifica l'ampiezza w e la velocità r.
Osserva forma e posizione della densità di N. Con w = 3 e r = 2, simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della densità empirica a quella teorica.
Usando i risultati precedentemente ricavati sui momenti, segue che
E[N(A)] = r m(A), var[N(A)] = r m(A).
In particolare, r può essere interpretato come densità attesa dei punti casuali, giustificando
così il nome del parametro
2. Nel processo di Poisson in due dimensioni, modifica l'ampiezza w e la velocità r.
Osserva dimensione e poisizone della barra media/deviazione standard. Con w = 4 e r = 3,
simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti
empirici ai loro valori teorici.
3. Supponi che i difetti in un foglio di materiale seguano il modello di Poisson con
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Processi di Poisson in più dimensioni
una media di 1 difetto ogni 2 metri quadrati. In un foglio di 5 metri quadrati,
1. Trova la probabilità che ci siano almeno 3 difetti.
2. Trova media e deviazione standard del numero di difetti.
4. Supponi che l'uvetta in un panettone segua il modello di Poisson, con una media di
2 uvette per pollice cubico. In un pezzo che misura 3 per 4 per 1 pollici,
1. Trova la probabilità che ci siano non più di 20 uvette.
2. Trova media e deviazione standard del numero di uvette.
5. Supponi che il numero di alberi di una foresta che superano una certa dimensione
segua il modello di Poisson. In una regione di foresta di un chilometro quadrato ci sono
40 alberi che superano la dimensione fissata.
1. Stima il parametro di densità.
2. Utilizzando il parametro di densità stimato, trova la probabilità di trovare almeno
100 alberi che superano la dimensione fissata in un chilometro quadrato di foresta.
I punti più vicini
Consideriamo il processo di Poisson in R2 con parametro di densità r. Per t > 0, sia Mt =
N(Ct) dove Ct è la regione circolare di raggio t, centrata sull'origine. Sia Z0 = 0 e per k =
1, 2, ... sia Zk la distanza del k-esimo punto più vicino all'origine. Notiamo che Zk è
analogo al k-esimo tempo di arrivo per il processo di Poisson su [0, ).
6. Mostra che Mt ha distribuzione di Poisson con parametro
7. Mostra che Zk
8. Mostra che
velocità r.
t se e solo se Mt
t2r.
k.
Zk2 ha distribuzione gamma con parametro di forma k e parametro di
9. Mostra che Zk ha funzione di densità
g(z) = 2(
r)k z2k - 1 exp(-
r z2) / (k - 1)!, z > 0.
10. Mostra che Zk2 - Zk - 12, k = 1, 2, ... sono indipendenti e ciascuno ha
distribuzione esponenziale con parametro di velocità r.
La distribuzione dei punti casuali
Di nuovo, il processo di Poisson indica il modo più casuale per distribuire punti nello
spazio, in un cero senso. Più specificamente, consideriamo il processo di Poisson su Rk
con parametro r. Ricordiamo di nuovo che si considerano sottinsiemi A di Rk con m(A)
positivo e finito.
11. Supponi che una regione regione A contenga esattamente un punto casuale. Prova
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Processi di Poisson in più dimensioni
che la posizione X = (X1, X2, ..., Xk) del punto è distribuita uniformemente in A.
Più in generale, se A contiene n punti, allora le posizione dei punti sono indipendenti e
distribuite uniformemente in A.
12. Supponi che i difetti in un certo materiale seguano il modello di Poisson. Si sa che
un foglio quadrato di lato 2 metri contiene un difetto. Trova la probabilità che il difetto sia
in una regione circolare del materiale di raggio 1/4 di metro.
13. Supponi che una regione A contenga n punti casuali. Sia B sottinsieme di A.
Mostra che il numero di punti contenuti in B ha distribuzione binomiale con parametri n e
p = m(B) / m(A).
14. Più in generale, supponi che una regione A sia suddivisa in k sottinsiemi B1, B2, ...,
Bk. Prova che la distribuzione condizionata di (N(B1), N(B2), ..., N(Bk)) dato N(A) = n è
multinomiale con parametri n e pi = m(Bi) / m(A), i = 1, 2, ..., k.
15. Supponi che l'uvetta in un panettone segua il modello di Poisson. Si divide una
fetta di 6 pollici cubici con 20 uvette in 3 parti uguali. Trova la probabilità che ogni pezzo
contenga almeno 6 uvette.
Splitting
Lo splitting di un processo di Poisson in k dimensioni funziona esattamente come lo
splitting del processo di Poisson standard. In particolare, supponiamo he i punti casuali
siano di j tipi diversi e che ciascuno, indipendentemente dagli altri, sia di tipo i con
probabilità pi per i = 1, 2, ..., j. Sia Ni(A) il numero di punti di tipo i in una regione A, per
i = 1, 2, ..., j.
16. Prova che
1. N1(A), N2(A), ..., Nj(A) sono indipendenti
2. Ni(A) ha distribuzione di Poisson con parametro rpi m(A) per i = 1, 2, ..., j.
Più in generale, i punti di tipo i formano un processo di Poisson con parametro di densità
rpi per ogni i, e tali processi sono indipendenti.
17. Supponi che i difetti di fabbricazione in un foglio di materiale seguano il modello
di Poisson, con una media di 5 difetti per metro quadro. Ciascun difetto,
indipendentemente dagli altri, è lieve con probabilità 0.5, moderato con probabilità 0.3 o
grave con probabilità 0.2. Considera un pezzo circolare di materiale con raggio 1 metro.
1. Trova media e deviazione standard del numero di difetti di ciascun tipo nel pezzo.
2. Trova la probabilità che ci siano almeno 2 difetti di ciascun tipo nel pezzo.
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Note conclusive
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8. Note conclusive
Simulazione del processo di Poisson in una dimensione
Col metodo utilizzato in questo capitolo, tutte le variabili casuali del processo di Poisson
su [0, ) sono costruite come sequenza di variabili casuali indipendenti, ciascuna con
distribuzione esponenziale con parametro r. Per simulare il processo ci basta quindi capire
come simulare variabili casuali indipendenti partendo da numeri casuali.
Ricordiamo che, se F è la funzione di ripartizione di una variabile casuale X, allora F-1 è
la funzione quantile. Inoltre, se U è distribuita uniformemente sull'intervallo (0, 1), (per
cui U è un numero casuale) allora F-1(U) ha la stessa distribuzione di X. Tale
metodo-quantile per la simulazione di X richiede, ovviamente, di poter calcolare la
funzione quantile F-1 in forma chiusa. Fortunatamente, ciò è possibile per la distribuzione
esponenziale.
1. Prova che se Uj, j = 1, 2, ... è una sequenza di numeri casuali, allora la sequenza
sottostante simula variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita esponenzialemente
con parametro di velocità r.
Xj = -ln(1 - Uj) / r, j = 1, 2, ...
Tali variabili simulano quindi i tempi interarrivo per un processo di Poisson su [0,
Quindi i tempi di arrivo sono simulati come
).
Tk = X1 + X2 + ··· + Xk per k = 1, 2, ...
e le variabili di conteggio sono simulate come
Nt = #{k: Tk
t} per t > 0.
Simulazione di processi di Poisson in più dimensioni
Possiamo anche simulare una variabile di Poisson direttamente. Il metodo generale
proposto nell'esercizio seguente è anche un caso speciale del metodo-quantile presentato
poc'anzi.
2. Supponiamo che f sia una funzione di densità discreta su {0, 1, 2, ...}. Se U è
distribuita uniformemente su (0, 1) (un numero casuale), mostra che la variabile definita
qui sotto ha densità f:
N = j se e solo se f(0) + ··· + f(j - 1) < U
f(0) + ··· + f(j).
Possiamo ora utilizzare il risultato dell'esercizio 4 per simulare un processo di Poisson in
una regione D di Rk. Illustreremo questo metodo sul rettangolo D = [a, b] × [c, d] in R2
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Note conclusive
dove a < c e b < d. Per cominciare, utilizziamo un numero casuale U per simulare una
variabile casuale N che abbia distribuzione di Poisson con parametro r(b - a)(d - c), come
nell'esercizio precedente. Ora, se N = n, siano U1, U2, ..., Un e V1, V2, ..., Vn numeri
casuali e definiamo
Xi = a + (b - a)Ui, Yi = c + (d - c)Vi per i = 1, 2, ..., n.
3. Mostra che i punti casuali di un processo di Poisson con velocità r su D sono
simulati da
(Xi, Yi), i = 1, 2, ..., n.
Libri
Per ulteriori informazioni sui processi di Poisson e le loro generalizzazioni puoi vedere
● Stochastic Processes di Sheldon Ross
●
A First Course in Stochastic Processes di Samuel Karlin and Howard Taylor
●
Introduction to Stochastic Processes di Ehran Çinlar
●
Poisson Processes di JFC Kingman.
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.8. Sia X la lunghezza della telefonata.
1. P(2 < X < 4) = 0.4237
2. Q1 = 1.4384, Q2 = 3.4657, Q3 = 6.9315, Q3 - Q1 = 5.4931
2.9. Sia T la durata
1. P(T > 2000) = 0.1353
2. Q1 = 287.682, Q2 = 693.147, Q3 = 1386.294, Q3 - Q1 = 1098.612.
2.14. Sia T il tempo tra le richieste.
1. E(T) = 0.5, sd(T) = 0.5
2. P(T < 0.5) = 0.6321
3. Q1 = 0.1438, Q2 = 0.3466, Q3 = 0.6931, Q3 - Q1 = 0.5493
2.15. Sia X la durata.
1. r = 0.02231
2. E(X) = 44.814, sd(X) = 44.814
3. Q1 = 12.8922, Q2 = 31.0628, Q3 = 62.1257, Q3 - Q1 = 49.2334.
2.16. Sia X la posizione del primo difetto.
1. r = 0.01
2. P(X < 200 | X > 150) = 0.3935.
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Note conclusive
3. sd(X) = 100
4. Q1 = 28.7682, Q2 = 69.3147, Q3 = 138.6294, Q3 - Q1 = 109.8612
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.4. 0.1991
3.5. 0.1746
3.10. 2, 0.6325
3.11. r = 1 / 10, k = 4
3.16. 0.5752
3.20. r = 6.67 richieste al minuto.
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.6. 0.7798
4.7. 0.8153
4.12. 32, 5.657
4.20. 0.8818
4.23. 0.6
4.26. 0.9452
4.30. r = 5.7 al minuto
Risposte agli esercizi del paragrafo 5
5.6. 0.5814
5.11.
1. 515
2. 50
Risposte agli esercizi del paragrafo 6
6.10. 0.7350
6.13.
1. 0.1227
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Note conclusive
2. 0.0803
Risposte agli esercizi del paragrafo 7
7.3.
1. 0.4562
2. 2.5, 1.581
7.4.
1. 0.2426
2. 24, 4.899
7.5.
1. r = 80 per chilometro quadrato
2. 0.0171
7.12. 0.0491
7.15. 0.2146
7.17.
1. Lieve: 7.854, 2.802; Moderato: 4.712, 2.171; Grave: 3.142, 1.772
2. 0.7762
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Stima puntuale
Laboratorio virtuale > Statistica > A B [C] D E
C. Stima puntuale
Sommario
1. Stimatori
2. Metodo dei momenti
3. Massima verosimiglianza
4. Stimatori Bayesiani
5. Migliori stimatori corretti
6. Sufficienza, completezza e ancillarità
Applets
●
Stima della distribuzione normale
●
Stima della distribuzione uniforme
●
Stima della distribuzione gamma
●
Stima della distribuzione beta
●
Esperimento della moneta non bilanciata
Citazione
●
È molto meglio una risposta approssimativa a una domanda giusta, che è spesso
vaga, piuttosto che una risposta esatta a una domanda sbagliata, che può essere
spesso precisa. John Tukey, Annals of Mathematical Statistics, 33 (1962).
Laboratorio virtuale > Statistica > A B [C] D E
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Distribuzioni notevoli
Laboratorio virtuale > Statistica > [A] B C D E
A. Distribuzioni notevoli
Sommario
1. Introduzione
2. La distribuzione normale
3. La distribuzione gamma
4. La distribuzione chi-quadro
5. La distribuzione t di Student
6. La distribuzione F
7. La distribuzione normale bivariata
8. La distribuzione normale multivariata
9. La distribuzione beta
10. La distribuzione di Weibull
11. La distribuzione zeta
12. La distribuzione di Pareto
13. La distribuzione logistica
14. La distribuzione lognormale
15. Note conclusive
Applets
●
Variabile casuale
●
Normale bivariata
●
Applet quantile
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Introduzione
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1. Introduzione
In questo capitolo introdurremo una serie di famiglie parametriche di distribuzioni che
hanno un ruolo di particolare importanza in statistica. In alcuni casi, queste distribuzioni
sono rilevanti perché si presentano come limite di altre. In altri casi, l'importanza di una
distribuzione deriva dal fatto che può essere utilizzata per modellare un'ampia varietà di
fenomeni aleatori. Ciò è di solito importante perché queste famiglie presentano un'ampia
varietà di densità con un numero limitato di parametri (di solito uno o due). Come
principio generale, è uile modellare un fenomeno aleatorio col minor numero possibile di
parametri; questo è noto come principio di parsimonia. Questo, tra l'altro, è un riflesso
particolare del rasoio di Occam, che prende il nome da Guglielmo di Occam; tale
principio stabilisce che per descrivere un certo fenomeno è sempre meglio utilizzare il
modello più semplice.
Molte altre famigile parametriche di distribuzioni sono presentate altrove in questo
ipertesto, poiché la loro posizione naturale è accanto ai processi aleatori a cui si
riferiscono, ovvero:
● La distribuzione binomiale
●
La distribuzione binomiale negativa
●
La distribuzione multinomiale
●
La distribuzione ipergeometrica
●
La distribuzione ipergeometrica multivariata
●
La distribuzione di Poisson
Prima di iniziare lo studio delle famiglie parametriche notevoli, studieremo due famiglie
parametriche generali. La maggior parte delle distribuzioni che saranno presentate in
questo capitolo appartengono a una o a entrambe queste famiglie generali.
Famiglie di posizione e scala
1. Supponiamo che una variabile casuale Z a valori reali abbia una distribuzione
continua con funzione di densità g e funzione di ripartizione G. Siano a e b costanti con b
> 0. Dimostrare che X = a + bZ ha funzione di densità f e funzione di ripartizione F, con
1. F(x) = G[(x - a) / b]
2. f(x) = (1 / b) g[(x - a) / b]
Questa famiglia a doppio parametro è indicata come famiglia di posizione e scala
associata alla distribuzione data; a è detto parametro di posizione e b parametro di scala.
Nel caso in cui b = 1, la famiglia possiede un solo parametro ed è detta famiglia di
posizione associata alla distribuzione data; nel caso in cui a = 0, si parla invece di famiglia
di scala.
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Introduzione
2. Interpretare graficamente i parametri di posizione e di scala:
1. Per la famiglia di posizione associata a g, mostrare che il grafico di f si ottiene
traslando il grafico di g di a unità, a destra se a > 0 o a sinistra se a < 0.
2. Per la famiglia di scala associata a g, mostrare che, se b > 1, il grafico di f si ottiene
stirando in senso orizzontale e comprimendo in senso verticale il grafico di g
secondo il fattore b. Se 0 < b < 1, il grafico di f si ottiene comprimendo
orizzontalmente e stirando verticalmente il grafico di g secondo il fattore b.
3. Dimostrare che se Z ha moda z, X ha moda x = a + bz.
Il seguente esercizio mette in relazione le funzioni quantile.
4. Mostrare che
1. F-1(p) = a + bG-1(p) per p in (0, 1).
2. Se z è un quantile di ordine p di Z, allora x = a + bz è un quantile di ordine p di X.
5. Mostrare che la distribuzione uniforme sull'intervallo (a, a + b), con parametri a
appartenenete ad R e b > 0 è una famiglia di posizione e scala.
6. Sia g(z) = exp(-z) con z > 0. Questa è la funzione di densità della distribuzione
esponenziale con parametro 1.
1. Trovare la famiglia di posizione e scala delle densità.
2. Disegnare i grafici.
La famiglia di distribuzioni dell'esercizio precedente è nota come distribuzione
esponenziale a due parametri.
7. Sia g(z) = 1 / [ (1 + z2)] con z appartenente a R. Questa è la densità della
distribuzione di Cauchy, che prende il nome da Augustin Cauchy.
1. Trovare la famiglia di posizione e scala delle densità.
2. Disegnare i grafici.
L'esercizio seguente evidenzia le relazioni tra medie e varianze.
8. Mostrare che
1. E(X) = a + bE(Z)
2. var(X) = b2 var(Z)
L'esercizio seguente esamina le relazioni tra le funzioni generatrici dei momenti:
9. Si supponga che Z abbia funzione generatrice dei momenti M. Si mostri che la
funzione generatrice dei momenti di X è data da:
N(t) = exp(ta)M(tb).
Famiglie esponenziali
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Introduzione
Supponiamo che X sia una variabile casuale a valori in S, e che la sua distribuzione
dipenda da un parametro a, che assume valori in uno spazio parametrico A. In generale,
sia X che a possono essere vettori e non scalari. Indicheremo con f(x | a) la funzione di
densità di X in x appartenente a S, individuata da a in A.
La distribuzione di X è una famiglia esponenziale a k parametri se S non dipende da a e se
la funzione di densità f può essere scritta come:
f(x | a) = c(a) r(x) exp[
i = 1, ..., k bi(a) hi(x)]
con x
S, a
A.
dove c e b1, b2, ..., bk sono funzioni in A, e r e h1, h2, ..., hk funzioni in S. Si assume
inoltre che k sia il più piccolo possibile. I parametri b1(a), b2(a), ..., bk(a) sono a volte
indicati come parametri naturali della distribuzione, e le variabili casuali h1(X), h2(X), ...,
hk(X) come statistiche naturali della distribuzione.
10. Supponiamo che X abbia distribuzione binomiale con parametri n e p, dove n è
dato e p appartiene a (0, 1). Si mostri che questa distribuzione è una famiglia esponenziale
a un parametro, con parametro naturale ln[(p / (1 - p)] e statistica naturale X.
11. Si abbia X con distribuzione di Poisson con parametro a > 0. Si mostri che tale
distribuzione è una famiglia esponenziale a un parametro, con parametro naturale ln(a) e
statistica naturale X.
12. Sia X con distribuzione binomiale negativa a parametri k e p, con k noto e p
appartenente a (0, 1). Mostrare che la distribuzione è una famiglia esponenziale a un
parametro, con parametro naturale ln(1 - p) e statistica naturale X.
In molti casi, la distribuzione di una variabile casuale X non può essere una famiglia
esponenziale se il supporto definito qui sotto dipende da a.
{x: f(x | a) > 0}.
13. Sia X distribuita uniformemente su (0, a), con a > 0. Mostrare che la distribuzione
di X non è una famiglia esponenziale.
L'esercizio seguente mostra che se si estrae un campione dalla distribuzione di una
famiglia esponenziale, allora la distribuzione del campione casuale è anch'essa una
famiglia esponenziale con la stessa statistica naturale.
14. Supponiamo che la distribuzione di una variabile aleatoria X sia una famiglia
esponenziale a k parametri, con parametri naturali b1, b2, ..., bk, e statistiche naturali
h1(X), h2(X), ..., hk(X). Siano X1, X2, ..., Xn variabili casuali indipendenti e identicamente
distribuiti come X. Dimostrare che Y = (X1, X2, ..., Xn) è una famiglia esponenziale a k
parametri, con parametri naturali b1, b2, ..., bk, e statistiche naturali
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Introduzione
uj(Y) =
i = 1, ..., n hj(Xi)
per j = 1, 2, ..., k.
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La distribuzione gamma
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3. La distribuzione gamma
In questo paragrafo studieremo una famiglia di distribuzioni che ricopre particolare
importanza nel calcolo delle probabilità. In particolare i tempi di arrivo nei processi di
Poisson hanno distribuzione gamma, e la distribuzione chi-quadro è un caso speciale della
gamma.
La funzione gamma
La funzione gamma è definita per k > 0 da
gam(k) =
{s: s > 0}
sk - 1exp(-s)ds.
1. Mostrare che l'integrale che definisce la funzione gamma converge per ogni k > 0.
Riportiamo qui sotto il grafico della funzione gamma sull'intervallo (0, 5):
2. Integrare per parti e mostrare che per ogni k > 0,
gam(k + 1) = k gam(k).
3. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che se k è un intero positivo,
allora
gam(k) = (k - 1)!.
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La distribuzione gamma
4. Usa la funzione di densità normale standardizzata per mostrare che
gam(1/2) =
1/2.
La distribuzione gamma semplice
5. Mostrare che la seguente funzione è funzione di densità di probabilità per ogni k >
0:
f(x) = xk - 1exp(-x) / gam(k) per x > 0.
Una variabile casuale X che possiede questa funzione di densità ha distribuzione gamma
con parametro di forma k. L'esercizio seguente mostra che questa famiglia ha una ricca
varietà di forme grafiche, e fa capire perché k si chiama parametro di forma.
6. Disegna la funzione di densità di probabilità della distribuzione gamma in ognuno
dei seguenti casi:
1. 0 < k < 1.
2. k = 1.
3. k > 1. Mostra che la moda è a k - 1.
7. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione gamma. Modifica il
parametro di forma e osserva la forma della funzione di densità. Poni k = 3, e replica la
simulazione 1000 volte, con frequenza di aggiornamento di 10, e osserva la convergenza
della funzione di densità empirica a quella teorica.
8. Supponiamo che la durata di un certo apparecchio (in unità di 100 ore) abbia
distribuzione gamma con k = 3. Trova la probabilità che l'apparecchio duri più di 300 ore.
La funzione di ripartizione e la funzione quantile non posseggono forme chiuse e
semplici. Valori approssimati di queste funzioni si possono ottenere tramite l' applet
quantile.
9. Utilizzando l' applet quantile, trova la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto
interquartile in ciascuno dei casi seguenti:
1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3
Il seguente esercizio dà la media e la varianza della distribuzione gamma.
10. Sia X gamma-distribuita con parametro di forma k. Si dimostri che
1. E(X) = k.
2. var(X) = k.
In generale, i momenti possono essere espressi facilmente in termini della funzione
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La distribuzione gamma
gamma:
11. Si abbia X con distribuzione gamma con parametro di forma k. Si dimostri che
1. E(Xn) = gam(n + k) / gam(k) per n > 0.
2. E(Xn) = k(k + 1) ··· (k + n -1) se n è un intero positivo.
L'esercizio seguente individua la funzione generatrice dei momenti.
12. Supponi che X abbia distribuzione gamma con parametro di forma k. Mostra che
E[exp(tX)] = 1 / (1 - t)k per t < 1.
13. Nella simulazione variabile casuale, seleziona la distribuzione gamma. Modifica il
parametro di forma e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione
standard. Poni k = 4, e simula 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento 10 e
osserva la convergenza dei momenti empirici ai momenti teorici.
14. Immagina che la lunghezza dei petali di un certo tipo di fiore (in cm) abbia
distribuzione gamma con k = 4. Trova la media e la deviazione standard della lunghezza
dei petali.
La distribuzione gamma generalizzata
Spesso la distribuzione gamma viene generalizzata aggiungendo un parametro di scala.
Pertanto, se Z possiede distribuzione gamma semplice con parametro di forma k, come
definita sopra, allora per b > 0, X = bZ ha distribuzione gamma con parametro di forma k
e parametro di scala b. Il reciproco del parametro di scala è noto come parametro di
velocità, specie nel contesto del processo di Poisson. La distribuzione gamma con
parametri k = 1 e b è detta distribuzione esponenziale con parametro di scala b (o
parametro di velocità r = 1 / b).
Risultati analoghi a quelli presentati poc'anzi seguono da semplici proprietà della
trasformazione di scala.
15. Sia X gamma-distribuita con parametro di forma k e parametro di scala b. Si mostri
che X ha funzione di densità
f(x) = xk - 1 exp(-x / b) / [gam(k)bk] per x > 0.
Si ricordi che l'aggiunta di un parametro di scala non modifica la forma della
distribuzione, ma semplicemente dimensiona il grafico orizzontalmente e verticalmente.
In particolare, si hanno le stesse forme elementari presentate nell'esercizio 6.
16. Sia X gamma-distribuita con parametro di forma k e parametro di scala b. Mostra
che, se k > 1, la moda è a (k - 1)b.
17. Sia X gamma-distribuita con parametro di forma k e parametro di scala b. Mostra
che
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La distribuzione gamma
1. E(X) = kb.
2. var(X) = kb2.
18. Sia X gamma-distribuita con parametro di forma k e parametro di scala b. Mostra
che,
1. E(Xn) = bn gam(n + k) / gam(k) per n > 0.
2. E(Xn) = bn k(k + 1) ··· (k + n -1) se n è un intero positivo.
19. Sia X gamma-distribuita con parametro di forma k e parametro di scala b. Mostra
che,
E[exp(tX)] = 1 / (1 - bt)k per t < 1 / b.
20. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione gamma. Modifica i
parametri e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard.
Poni k = 4 e b = 2, e simula 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento 10 e
osserva la convergenza dei momenti empirici ai momenti teorici.
21. Supponi che la durata di un certo congegno (in ore) abbia distribuzione gamma con
parametro di forma k = 4 e parametro di scala b = 100.
1. Trova la probabilità che il congegno duri più di 300 ore.
2. Trova la media e la deviazione standard della durata del congegno.
Trasformazioni
La prima trasformazione che presentiamo è semplicemente una ridefinizione del
significato del parametro di scala.
22. Supponi che X abbia distribuzione gamma con parametro di forma k e parametro
di scala b. Mostra che, se c > 0 allora cX ha distribuzione gamma con parametro di forma
k e parametro di scala bc.
Si noti che, se il parametro di scala è fisso, la famiglia gamma è chiusa rispetto alla
somma di variabili indipendenti.
23. Supporre che X1 abbia distribuzione gamma con paraemtro di forma k1 e
parametro di scala b; che X2 abbia distribuzione gamma con paraemtro di forma k2 e
parametro di scala b; e che X1 e X2 siano indipendenti. Dimostrare che X1 + X2 ha
distribuzione gamma con parametro di forma k1 + k2 e parametro di scala b.
Suggerimento: Usare le funzioni generatrici dei momenti.
24. Supponi che X abbia distribuzione gamma con parametro di forma k > 0 e
parametro di scala b > 0. Mostra che tale distribuzione è una famiglia esponenziale a due
parametri con parametri naturali k - 1 e 1 / b, e statistiche naturali X e ln(X).
Approssimazione alla normale
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La distribuzione gamma
Dall'esercizio precedente si deduce che, se Y ha distribuzione gamma con paramero di
forma intero k ae parametro di scala b, allora
Y = X1 + X2 + ··· + Xk
dove X1, X2, ..., Xk sono indipendenti e distribuite esponenzialmente con parametro b.
Segue dal teorema limite centrale che se k è grande (e non necessariamente intero), la
distribuzione gamma può essere approssimata dalla normale con media kb e varianza kb2.
Più precisamente, la distribuzione della variabile standardizzata riportata qui sotto
converge alla normale standardizzata per k che tende a infinito:
(Y - kb) / (kb)1/2.
25. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione gamma. Modifica k e b e
osserva la forma della funzione di densità. Poni k = 10 e b = 2, e simula 1000 replicazioni
con frequenza di aggiornamneto pari a 10 e osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
26. Supponi che Y abbia distribuzione gamma con parametri k = 10 e b = 2. Trova le
approssimazioni della normale a:
1. P(18 < Y < 25).
2. L' 80esimo percentile di Y.
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La distribuzione chi-quadro
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4. La distribuzione chi-quadro
In questa sezione studieremo una distribuzione di particolare utilità in statistica, che si
impiega nello studio della varianza campionaria quando la distribuzione sottostante è
normale e nel test per la bontà di adattamento.
La funzione di denistà chi-quadro
Per n > 0, la distribuzione gamma con parametro di forma k = n / 2 e parametro di scala 2
è detta distribuzione chi-square con n gradi di libertà.
1. Mostra che la distribuzione che-quadro con n gradi di libertà ha funzione di densità
f(x) = xn/2 - 1exp(-x / 2) / [2n/2 gam(n / 2)] per x > 0.
2. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione chi-quadro. Modifica n e
osserva la forma della funzione di densità. Poni n = 5, e replica la simulazione 1000 volte,
con frequenza di aggiornamento di 10, e osserva la convergenza della funzione di densità
empirica a quella teorica.
3. Mostra che la distribuzione chi-quadro con 2 gradi di libertà è una distribuzione
esponenziale con parametro di scala 2.
4. Disegna la funzione di densità della distribuzione gamma in ciascuno dei seguenti
casi:
1. 0 < n < 2.
2. n = 2 (distribuzione esponenziale).
3. n > 2. Mostra che la moda è n - 2.
La funzione di ripartizione e al funzione quantile non sono esprimibili in forma chiusa
tramite le funzioni elementari. Valori approssimati di queste funzioni di possono ottenere
dalla tavola della distribuzione chi-quadro e dall'applet quantile.
5. Nell'applet quantile , seleziona la distribzuione chi-quadro. Modifica i gradi di
libertà e osserva la forma della funzione di densità e della funzione di riaprtizione. In
ognuno dei seguenti casi trova la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto
interquartile.
1. n = 1
2. n = 2
3. n = 5
4. n = 10
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La distribuzione chi-quadro
Momenti
Media, varianza, momenti, e funzione generatrice dei momenti della distribuzione
chi-quadro possono essere ricavate dai risultati ottenuti per la distribuzione gamma. Nei
seguenti esercizi, si supponga che X abbia distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà.
6. Mostra che
1. E(X) = n
2. var(X) = 2n
7. Si mostri che
E(Xk) = 2k gam(n/2 + k) / gam(n/2).
8. Dimostrare che
E[exp(tX)] = (1 - 2t)-n/2 per t < 1/2.
9. Nell'applet variabile casuale, scegliere la distribuzione chi-quadro. Modificare n con
la barra di scorrimento e osservare la forma e la posizione della barra media/deviazione
standard. Con n = 4, simulare 1000 replicazioni con frequenza di aggiornamento 10 e
osservare la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
Trasformazioni
10. Sia Z una variabile casuale normale standardizzata. Usa le tecniche di
cambiamento di variabile per dimostrare che U = Z2 ha distribuzione chi-quadro con un
grado di libertà.
11. Usa le proprietà della funzione generatrice dei momenti della distribuzione gamma
per mostrare che, se X ha distribuzione chi-quadro con m gradi di libertà, Y ha
distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, e X e Y sono indipendenti, allora X + Y ha
distribuzione chi-quadro con m + n gradi di libertà.
12. Siano Z1, Z2, ..., Zn variabili casuali indipendenti con distribuzione normale
standardizzata (ovvero, un campione casuale di dimensione n della distribuzione normale
standardizzata). Si usino i risultati dei due esercizi precedenti per dimostrare che
V = Z12 + Z22 + ··· + Zn2
ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà.
Il risultato di questo esercizio spiega perché la distribuzione chi-quadro sia distinta dalle
altre distribuzioni gamma. La somma di variabili casuali normali indipendenti si osserva
spesso in statistica. D'altra parte, l'esercizio seguente mostra che ogni variabili casuale con
distribuzione gamma può essere trasformata in una variabile con distribuzione chi-quadro.
13. Sia X gamma-distribuita con parametro di forma k e parametro di scala b. Si
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La distribuzione chi-quadro
dimostri che Y = 2X / b ha distribuzione chi-quadro con 2k gradi di libertà.
14. Supponi che un proiettile sia lanciato verso un bersaglio che si trova all'origine di
un sistema di coordinate Cartesiano, con unità di misura espressa in metri. Il proiettile
colpisce il punto (X, Y), dove X e Y sono indipendenti e normalmente distribuite con
media 0 e varianza 100. Il proiettile distrugge il bersaglio se colpisce a meno di 20 metri
dal bersaglio. Trova la probabilità di questo evento.
Approssimazione alla normale
Dal teorema limite centrale, e dai risultati precedentemente ottenuti per la distribuzione
gamma, segue che, se n è sufficientemente grande, la distribuzione chi-quadro con n gradi
di libertà può essere approssimata dalla distribuzione normale con media n e varianza 2n.
Più precisamente, se X ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, allora la
distribuzione della variabile standardizzata
(X - n) / (2n)1/2,
converge alla normale standardizzata per n che tende a infinito:
15. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione chi-quadro. Inizia con n = 1
e fai crescere n. Osserva la forma della funzione di densità. Simula 1000 replicazioni
(frequenza di aggiornamento 10) con n = 20 e osserva la convergenza della funzione di
densità empirica a quella teorica.
16. Supponi che X abbia distribuzione chi-quadro con n = 18 gradi di libertà. In
ciascuno dei casi seguenti, calcola e confronta il valore esatto, ottenuto utilizzando l'
applet quantile, e l'approssimazione alla normale.
1. P(15 < X < 20)
2. Il 75esimo percentile di X.
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La distribuzione normale bivariata
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7. La distribuzione normale bivariata
Definizione
Suppobiamo che U e V siano variabili casuali indipendenti, entrambe con distribuzione
normale . Ci serviremo dei 5 parametri seguenti:
µ1 e µ2 appartenenti a R, d1 e d2 > 0, e p appartenente a [-1, 1].
Siano ora X e Y due nuove variabili casuali definite da
● X = µ1 + d1U
●
Y = µ2 + d2pU + d2(1 - p2)1/2V.
La distribuzione congiunta di (X, Y) è detta distribuzione normale bivariata con parametri
µ1, µ2, d1, d2 e p.
Proprietà fondamentali
Si utilizzino, per i seguenti esercizi, le proprietà di valore atteso, varianza, covarianza, e
della distribuzione normale.
1. Si mostri che X è distribuita normalmente con media µ1 e deviazione standard d1.
2. Si mostri che Y è distribuita normalmente con media µ2 e deviazione standard d2.
3. Si mostri che cor(X, Y) = p.
4. Si mostri che X e Y sono indipendenti se e solo se cor(X, Y) = 0.
5. Nell'applet normale bivariata, modifica le deviazioni standard di X Y con le barre a
scorrimento. Osserva il cambiamento di forma delle funzioni di densità di probabilità.
Modifica la correlazione e osserva che le funzioni di densità non cambiano.
6. Nell'applet normale bivariata, poni la deviazione standard di X a 1.5 e quella di Y a
0.5. Per ciascuno dei seguenti valori di correlazione, simula 2000 replicazioni con
aggiornamento ogni 10. Osserva lo scatter di punti di (X, Y) e verifica la convergenza
della funzione di densità empirica a quella teorica: p = 0, p = 0.5, p = -0.5, p = 0.7, p =
-0.7, p = 0.9, p = -0.9.
Funzioni di densità
Ora utilizzeremo la tecnica del cambiamento di variabile per trovare la funzione di densità
di probabilità congiunta di (X, Y).
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La distribuzione normale bivariata
7. Mostrare che la trasformazione inversa è data da
1. u = (x - µ1) / d1.
2. v = (y - µ2) / [d2(1 - p2)1/2] - p(x - µ1) / [d1(1 - p2)1/2].
8. Mostrare che il Jacobiano della trasformazione dell'esercizio precedente è
d(u, v) / d(x, y) = 1 / [d1d2(1 - p2)1/2].
Osserva che il Jacobiano è una costante: questo perché la trasformazione è lineare.
9. Usa i risultati degli esercizi precedenti, l'indipendenza di U e V, e la tecnica di
cambiamento di variabile per mostrare che la densità congiunta di (X, Y) è
f(x, y) = C exp[Q(x, y)]
dove la costante di normalizzazione C e la forma quadratica Q sono date da
●
C = 1 / [2 d1d2(1 - p2)1/2]
●
Q(x, y) = -[(x - µ1)2 / d12 - 2p(x - µ1)(y - µ2) / (d1d2) + (y - µ2)2 / d22] / [2(1 - p2)]
Se c è costante, l'insieme di punti {(x, y), appartenenti a R2:f(x, y) = c} è detto curva di
livello di f (ovvero punti con la stessa densità di probabilità).
10. Si mostri
1. Le curve di livello di f sono ellissi con centro (µ1, µ2)
2. Gli assi di tali ellissi sono paralleli agli all'asse delle ascisse e delle ordinate se e
solo se p = 0.
11. Nell'applet normale bivariata, poni la deviazione standard di X a 2 e quella di Y a
1. Per ognuno dei seguenti valori di correlazione, simula 2000 replicazioni con
aggiornamento ogni 10 e osserva la nube di punti nello scatterplot (X, Y): p = 0, p = 0.5, p
= -0.5, p = 0.7, p = -0.7, p = 0.9, p = -0.9.
Trasformazioni
L'esercizio seguente mostra che la distribuzione normale bivariata è riproduttiva sotto
trasformazioni affini.
12. Siano W = a1X + b1Y + c1 e Z = a2X + b2Y + c2. Usa la formula del cambiamento
di variabile per dimostrare che (W, Z) ha distribuzione normale bivariata. Trova le medie,
le varianze e la correlazione.
13. Dimostrare che la distribuzione condizionata di Y dato X = x è normale con media
e varianza
1. E(Y | X = x) = µ2 + p d2 (x - µ1) / d1.
2. var(Y | X = x) = d22 (1 - p2).
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La distribuzione normale bivariata
14. Usa la rappresentazione di X e Y in termini delle variabili standardizzate U e V per
dimostrare che
Y = µ2 + d2 p (X - µ1) / d1 + d2 (1 - p2)1 / 2 V.
Presentiamo ora un'ulteriore "dimostrazione" del risultato dell'esercizio 13 (ricorda che X
sono V sono indipendenti).
15. Nell'applet normale bivariata, poni la deviazione standard di X a 1.5, quella di Y a
0.5, e la correlazione a 0.7.
1. Simula n = 100 replicazioni, aggiornando ogni volta.
2. Per ogni replicazione, calcola E(Y | X = x), ovvero il valore atteso di Y una volta
noto il valore di X.
3. Terminate le 100 replicazioni, calcola la radice quadrata dell'errore quadratico
medio tra il valore atteso di Y e il suo valore vero.
Il seguente problema è un ottimo esercizio per impratichirsi con l'uso del cambiamento di
variabile e sarà utile quando si parlerà di simulazione di variabili normali.
16. Siano U e V variabili casuali indipendenti con distribuzione normale
standardizzata. Definisci le coordinate polari (R, T) per (U, V) attraverso le equazioni
U = R cos(T), V = R sin(T) dove R > 0 e 0 < T < 2 .
Dimostra che
1. R ha funzione di densità g(r) = r exp(-r2 / 2), r > 0. La distribuzione di R è detta
distribuzione di Rayleigh.
2. T ha distribuzione uniforme su (0, 2 ).
3. R e T sono indipendenti.
I risultati presentati in questo paragrafo hanno analoghi diretti per il caso più generale
della distribuzione normale multivariata.
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La distribuzione normale multivariata
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8. La distribuzione normale multivariata
La distribuzione normale multivariata è una naturale generalizzazione della distribuzione
normale bivariata. La forma analitica è molto compatta ed elegante se si utilizzano le
matrici di valori attesi e covarianze, e sarebbe di converso terribilmente complessa senza
l'uso di esse. Pertanto questo paragrafo presuppone la conoscenza dell'algebra lineare a
livello intermedio.
La distribuzione normale multivariata standardizzata
Si abbiano Z1, Z2, ..., Zn, indipendenti e ciascuna avente distribuzione normale
standardizzata. Il vettore aleatorio Z = (Z1, Z2, ..., Zn) è detto avere distribuzione normale
satndardizzata in n-dimensioni.
1. Mostra che E(Z) = 0 (vettore di zeri in Rn).
2. Dimostra che VC(Z) = I (matrice identità di dimensione n × n).
3. Mostra che Z ha funzione di densità
g(z) = [1 / (2 )n/2] exp(-zTz / 2) per z appartenente a Rn.
4. Dimostra che Z ha funzione generatrice dei momenti
E[exp(tTZ)] = exp(tTt / 2) per t appartenente a Rn.
La distribuzione normale multivariata generalizzata
Supponiamo ora che Z abbia distribuzione normale satndardizzata in n-dimensioni. Sia µ
un vettore in Rn e sia A una matrice n × n invertibile. Si dice allora che il vettore aleatorio
X = µ + AZ. ha distribuzione normale in n-dimensioni..
5. Mostra che E(X) = µ.
6. Mostrare che VC(X) = AAT e che questa matrice è invertibile e quindi definita
positiva.
7. Sia V = VC(X) = AAT. Usa il teorema di cambiamento di variabile multivariato per
dimostrare che X ha funzione di densità
f(x) = {1 / [(2 )n/2 (det V)1/2]} exp[-(x - µ)T V-1 (x - µ) / 2) per x
appartenente a Rn.
8. Dimostrare che X ha funzione generatrice de momenti
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La distribuzione normale multivariata
E[exp(tTX)] = exp(tTµ + tTVt / 2) per t appartenente a Rn.
Si osservi che la matrice A che si incontra nella trasformazione non è unica, mentre
ovviamente lo è la matrice di varianze e covarianze V. In generale, data una matrice
definita positiva V, esistono più matrici invertibili A tali che AAT = V. Tuttavia, un
teorema dell'algebra lineare afferma che esiste una sola matrice triangolare bassa L che
soddisfa questa relazione.
9. Trova la matrice triangolare bassa L nel caso della distribuzione normale bivariata.
Trasformazioni
La distribuzione normale multivariata è invariante a due importanti famiglie di
trasformazioni: le trasformazioni affini con una matrice invertibile e la creazione di
sottosequenze.
10. Sia X distribuita normalmente in n-dimensioni. Siano inoltre a appartenente a Rn e
B matrice n × n invertibile. Dimostrare che Y = a + BX ha distribuzione normale
multivariata. Trovare il vettore delle medie e la matrice di varianze e covarianze di Y.
11. Sia X distribuita normalmente in n-dimensioni. Mostrare che ogni permutazione
delle coordinate di X ha anch'essa distribuzione normale in n-dimensioni. Trovare il
vettore delle medie e la matrice di varianze e covaraizne. Suggerimento: Permutare le
coordinate di X equivale a moltiplicare X per una matrice di permutazione--una matrice di
0 e 1 in cui ogni riga e colonna presenta un solo 1.
12. Sia X = (X1, X2, ..., Xn) distribuita normalmente in n-dimensioni. Mostra che, se k
< n, W = (X1, X2, ..., Xk) ha distribuzione normale in k-dimensioni. Trova il vettore delle
medie e la matrice di varianze e covarianze.
13. Usa i risultati degli esercizi 11 e 12 per dimostrare che, se X = (X1, X2, ..., Xn) ha
distribuzione normale in n-dimensioni e se i1, i2, ..., ik sono indici distinti, allora W = (Xi1,
Xi2, ..., Xik) ha distribuzione normale in k-dimensioni.
14. Supponi che X abbia distribuzione normale in n-dimensioni, che a appartenga a Rn,
e che B sia una matrice m × n a righe linearmente indipendeti (per cui m n). Dimostra
che Y = a + BX ha distribuzione normale in m-dimensioni. Suggerimento: esiste una
matrice invertibile C di dimensioni n × n in cui le prime m righe sono le righe di B. Usa
poi i risultati degli esercizi 10 e 12.
Osserva che i risultati degli esercizi 10, 11, 12 e 13 sono casi particolari del risultato
dell'esercizio 14.
15. Supponi che X abbia distribuzione normale in n-dimensioni, che Y abbia
distribuzione normale in m-dimensioni e che X e Y siano indipendenti. Mostrare che (X,
Y) ha distribuzione normale in n + m-dimensioni. Trova il vettore delle medie e la matrice
di varianze e covarianze.
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La distribuzione normale multivariata
16. Supponi X sia un vettore casuale in Rn, che Y sia un vettore casuale in Rm e che
(X, Y) abbia distribuzione normale in n + m-dimensioni. Dimostra che X e Y sono
indipendenti se e solo se cov(X, Y) = 0.
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La distribuzione zeta
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11. La distribuzione zeta
La distribuzione zeta si usa per modellare la dimensione di certi tipi di oggetti estratti
casualmente da certi tipi di popolazioni. Esempi classici sono la lunghezza di una parola
scelta casualmente da un testo o la popolazione di una città scelta a caso in un certo paese.
La distribuzione zeta è nota anche come distribuzione di Zipf, in onore del linguista
Americano George Zipf.
La funzione zeta
La funzione zeta di Riemann, che prende il nome da Bernhard Riemann, è definita come:
z(a) =
n = 1, 2, ...
1 / na. per a > 1.
(Ricorda che, la serie nella funzione zeta converge per a > 1 ed esplode per a
Riportiamo qui sotto il grafico della funzione zeta nell'intervallo (1, 10):
1).
1. Prova a verificare analiticamente le proprietà del grafico. Mostra in particolare che
1. z(a) decresce per a > 1.
2. z(a) è concava verso l'alto per a > 1.
3. z(a)
4. z(a)
1 as a
as a
.
1+.
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La distribuzione zeta
La zeta è una funzione trascendente, e la maggior parte dei valori che assume devono
essere ottenuti per approssimazione. Si possono però individuare gli z(a) per valori interi
e pari di a; in particolare,
z(2) =
2
/ 6, z(4) =
4
/ 90.
Funzione di densità
2. Mostra che la funzione f qui sotto riportata è una funzione di densità di probabilità
discreta per ogni a > 1.
f(n) = 1 / [na z(a)] per n = 1, 2, ...
La distribuzione discreta definita nell'esercizio 2 è detta distribuzione zeta con parametro
a.
3. Sia X la lunghezza di una parola scelta a caso da un testo, e si supponga che X
abbia distribuzione zeta con parametro a = 2. Si trovi P(X > 4).
4. Supponi che X abbia distribuzione zeta con parametro a. Dimostra che questa
distribuzione è una famiglia esponenziale a un parametro con parametro naturale a e
statistica naturale -ln(X).
Momenti
I momenti della distribuzione zeta possono essere espressi semplicemente in termini della
funzione zeta.
5. Supponi che X abbia distribuzione zeta con parametro a > k + 1. Dimostra che
E(Xk) = z(a - k) / z(a).
6. Mostra in particolare che
1. E(X) = z(a - 1) / z(a) if a > 2
2. var(X) = z(a - 2) / z(a) - [z(a - 1) / z(a)]2 se a > 3.
7. Sia X la lunghezza di una parola scelta a caso da un testo; supponi che X abbia
distribuzione zeta con parametro a = 4. Trova il valore approssimato di
1. E(X)
2. sd(X)
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La distribuzione logistica
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13. La distribuzione logistica
La distribuzione logistica si usa nei modelli di crescita e in certi tipi di regressione, che
prendono il nome di regressioni logistiche.
La distribuzione logistica standard
1. Sia F(x) = ex / (1 + ex) per x appartenente a R. Mostrare che F è una funzione di
ripartizione.
La distribuzione definita da questa funzione di ripartizione di dice distribuzione logistica
(standard).
2. Supponi che X abbia distribuzione logistica. Trova P(-1 < X < 2).
3. Mostra che la funzione di densità f della distribuzione logistica è data da
f(x) = ex / (1 + ex)2 per x appartenente a R.
4. Disegna il grafico della funzione di densità f della distribuzione logistica. Mostra in
particolare che
1. f è simmetrica attorno a x = 0.
2. f(x) è crescente per x < 0 e decrescente per x > 0. La moda è pertanto x = 0.
5. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione logistica. Osserva la forma e
la posizione della funzione di densità. Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e
osserva la convergenza della densità empirica a quella teorica.
6. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = ln[p / (1 - p)] per p appartenente a (0, 1).
Ricorda che p : 1 - p sono gli odds in favore di un evento con probabilità p. La
distribuzione logistica ha l'interessante proprietà di avere i quantili che corrispondono ai
logaritmi degli odds corrispondenti. Questa funzione di p è alle volte indicata come
funzione logit. Osserva che, a causa della simmetria, la mediana della distribuzione
logistica è 0.
7. Trova il primo e il terzo quartile della distribuzione logistica e calcola lo scarto
interquartile.
8. Nell'applet quantile applet, seleziona la distribuzione logistica. Osserva la forma e
la posizione delle funzioni di densità e di ripartizione. Individua i quantili di ordine 0.1 e
0.9.
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La distribuzione logistica
La funzione generatrice dei momenti della distribuzione logistica è rappresentabile
semplicemente in termini della funzione beta, e di conseguenza anche in termini della
funzione funzione gamma. La funzione generatrice dei momenti può essere utilizzata per
calcolare la media e la varianza.
9. Dimostra che la funzione generatrice dei momenti è
M(t) = beta(1 + t, 1 - t) = gam(1 + t) gam(1 - t) fper -1 < t < 1.
Suggerimento: Sostituici u = 1 / (2 + ex) nell'integrale per M.
10. Supponi che X abbia distribuzione logistica. Mostra che
1. E(X) = 0
2. var(X) =
2/
3.
11. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione logistica. Osserva la
dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard. Simula 1000
replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli
teorici.
La distribuzione logistica generalizzata
La distribuzione logistica generalizzata è la famiglia di posizione e scala associata alla
distribuzione logistica standard. Pertanto, se Z ha distribuzione logistica standard, allora
per ogni a e per ogni b > 0,
X = a + bZ
ha distribuzione logistica con parametro di posizione a e parametro di scala b. Risultati
analoghi a quelli presentati in precedenza si ricavanl dalle proprietà delle fymiglie di
posizione e scala.
12. Mostra che la funzione di densità è
f(x) = (6 / b) exp[(x - a) / b] / {1 + exp[(x - a) / b]}2 per x appartenente a R.
13. Disegna il grafico della funzione di densità f. Mostra in particolare che
1. f è simmetrica attorno a x = a.
2. f(x) è crescente per x < a e decrescente per x > a. La moda, pertanto, si trova in x =
a.
14. Mostra che la funzione di ripartizione è
F(x) = exp[(x - a) / b] / {1 + exp[(x - a) / b]} per x appartenente a R.
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La distribuzione logistica
27. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = a + b ln[p / (3 - p)] per p appartenente a (0, 1).
In particolare, la mefiana si trova a x = a.
16. Mostra che la funzione generatrice dei momenti è
M(t) = exp(ta) beta(1 + tb, 2 - tb) per -1 < t < 1.
15. Mostra che media e varianza valgono
1. E(X) = a.
2. var(X) = b2
2/
3.
Trasformazioni
18. Supponi che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a = 1.
Dimostra che Y = ln(X - 1) ha distribuzione logistica standard.
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Note conclusive
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15. Note conclusive
Esiste in letteratura un'enorme varietà di altre distribuzioni notevoli, e col trascorrere del
tempo se ne aggiungono sempre di nuove. Per meritare pienamente l'aggettivo notevole,
una distribuzione deve possedere un certo livello di eleganza matematica e di praticità, e
deve presentarsi in diverse importanti applicazioni.
Libri
I testi più rilevanti sulle distribuzioni notevoli sono quelli di Johnson e Kotz e dei loro
coautori:
● Univariate Discrete Distributions, seconda edizione, di Norman L. Johnson, Samuel
Kotz e Andrienne W. Kemp, editore John Wiley & Sons (1992).
●
Continuous Univariate Distributions, Volume 1, seconda edizione, di Norman L.
Johnson, Samuel Kotz e N. Balakrishnan, editore John Wiley & Sons (1994)
●
Continuous Univariate Distributions, Volume 2, seconda edizione, di Norman L.
Johnson, Samuel Kotz e N. Balakrishnan, editore John Wiley & Sons (1995)
●
Discrete Multivariate Distributions, di Norman L. Johnson, Samuel Kotz e N.
Balakrishnan, editore John Wiley & Sons (1997)
Continuous Multivariate Distributions: Models and Applications, seconda edizione,
di Samuel Kotz, N. Balakrishnan e Normal L. Johnson, editore John Wiley & Sons
(2000).
●
Siti web
●
Compendium of Common Probability Distributions. Questo compendio raccoglie
un'ampia lista di distribuzioni e di proprietà, comprendente distribuzioni continue,
discrete e misture.
Risposte agli esercizi del paragrafo 1
1.6. f(x) = (1 / b) exp[-(x - a) / b] per x > a.
1.7. f(x) = 1 / {b
[1 + (x - a) / b]2} per x appartenente a R.
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.22. Sia X il volume di birra in litri.
1. P(X > 0.48) = 0.9772
2. x0.95 = 0.51645
2.23. Sia X il raggio della barra e Y il raggio del foro.
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Note conclusive
P(Y - X < 0) = 0.0028.
2.24. Sia X il peso complessivo delle cinque pesche espresso in once.
P(X > 45) = 0.0127.
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.8. P(X >3) = 17 exp(-3) / 2 ~ 0.4232.
3.9.
1. Q1 = 0.287, Q2 = 0.693, Q3 = 1.396, Q3 - Q1 = 1.109.
2. Q1 = 0.961, Q2 = 1.678, Q3 = 2.692, Q3 - Q1 = 1.731.
3. Q1 = 1.727, Q2 = 2.674, Q3 = 3.920, Q3 - Q1 = 2.193.
3.14. Sia X la lunghezza del petalo in centimetri.
1. E(X) = 4.
2. sd(X) = 2
3.21. Sia X la durata di funzionamento in ore.
1. P(X > 300) = 13 exp(-3) ~ 0.6472.
2. E(X) = 400
3. sd(X) = 200
3.26.
1. P(18 < Y < 25) ~ 0.4095.
2. y80 ~ 25.325.
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.5.
1. Q1 = 0.102, Q2 = 0.455, Q3 = 1.323, Q3 - Q1 = 1.221.
2. Q1 = 0.575, Q2 = 1.386, Q3 = 2.773, Q3 - Q1 = 2.198.
3. Q1 = 2.675, Q2 = 4.351, Q3 = 6.626, Q3 - Q1 = 3.951.
4. Q1 = 6.737, Q2 = 9.342, Q3 = 12.549, Q3 - Q1 = 5.812.
4.14. Sia Z la distanza tra il proiettile e il bersaglio.
P(Z < 20) = 1 - exp(-2) ~ 0.8647.
4.16.
1. P(15 < X < 20) = 0.3252, P(15 < X < 20) ~ 0.3221
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Note conclusive
2. x.075 = 21.605, x0.75 ~ 22.044
Risposte agli esercizi del paragrafo 5
5.5.
1. Q1 = -1, Q2 = 0, Q3 = 1, Q3 - Q1 = 2
2. Q1 = -0.816, Q2 = 0, Q3 = 0.816, Q3 - Q1 = 1.632
3. Q1 = -0.727, Q2 = 0, Q3 = 0.727, Q3 - Q1 = 1.454
4. Q1 = -0.7, Q2 =0, Q3 = 0.7, Q3 - Q1 = 1.4.
Risposte agli esercizi del paragrafo 6
6.4.
1. Q1 = 0.528, Q2 = 1, Q3 = 1.895, Q3 - Q1 = 1.367
2. Q1 = 0.529, Q2 = 0.932, Q3 = 1.585, Q3 - Q1 = 1.056
3. Q1 = 0.631, Q2 = 1.073, Q3 = 1.890, Q3 - Q1 = 1.259
4. Q1 = 0.645, Q2 = 1, Q3 = 1.551, Q3 - Q1 = 0.906.
Risposte agli esercizi del paragrafo 9
9.13.
1. Q1 = 0.25, Q2 = 0.5, Q3 = 0.75, Q3 - Q1 = 0.5.
2. Q1 = 0.091, Q2 = 0.206, Q3 = 0.370, Q3 - Q1 = 0.279
3. Q1 = 0.630, Q2 = 0.794, Q3 = 0.909, Q3 - Q1 = 0.279
4. Q1 = 0.194, Q2 = 0.314, Q3 = 0.454, Q3 - Q1 = 0.260.
5. Q1 = 0.546, Q2 = 0.686, Q3 = 0.806, Q3 - Q1 = 0.260.
6. Q1 = 0.379, Q2 = 0.5, Q3 = 0.621, Q3 - Q1 = 0.242.
Risposte agli esercizi del paragrafo 10
10.7. Q1 = 0.5364 Q2 = 0.8326, Q3 = 1.1774, Q3 - Q1 = 0.6411.
10.24.
1. P(T > 1500) = 0.1966
2. E(T) = 940.656, sd(T) = 787.237
3. h(t) = 0.000301 t0.2.
Risposte agli esercizi del paragrafo 11
11.3. P(X > 4) = 1 - 49 / 6
2
~ 0.1725.
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Note conclusive
11.7.
1. E(X) = 1.1106
2. sd(X) = 0.5351
Risposte agli esercizi del paragrafo 12
12.6. Q1 = 1.1006, Q2 = 1.2599, Q3 = 1.5874, Q3 - Q1 = 0.4868
12.7. Q1 = 1.1547, Q2 = 1.4142, Q3 = 2, Q3 - Q1 = 0.8453
12.16. Sia X il reddito.
1. P(2000 < X < 4000) = 0.1637, per cui la percentuale è 16.37%
2. Q2 = 1259.92
3. Q1 = 1100.64, Q3 = 1587.40, Q3 - Q1 = 486.76
4. E(X) = 1500
5. sd(X) = 866.03
6. F-1(0.9) = 2154.43
Risposte agli esercizi del paragrafo 13
13.2. P(-1 < X < 2) = 0.6119
13.7. Q1 = -1.0986, Q2 = 0, Q3 = 1.0986, Q3 - Q1 = 2.1972
13.8. F-1(0.1) = -2.1972, F-1(0.9) = 2.1972
Risposte agli esercizi del paragrafo 14
14.6. P(X > 20) = 0.1497
14.7. Q1 = 0.5097, Q2 = 1, Q3 = 1.9621, Q3 - Q1 = 1.4524
14.11.
1. E(X) = exp(5 / 2) = 12.1825.
2. sd(X) = [exp(6) - exp(5)]1/2 = 15.9692.
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La distribuzione F
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6. La distribuzione F
In questa sezione studieremo una distribuzione particolarmente utile quando si ha a che
fare con rapporti di somme di quadrati provenienti da una distribuzione normale.
La funzione di densità F
Supponiamo che U e V siano indipendenti e abbiano entrambi distribuzione chi-quadro
con, rispettivamente, m e n gradi di libertà. Sia
X = (U / m) / (V / n).
1. Si dimostri che X ha funzione di densità di probabilità
f(x) = Cm,n x(m - 2) / 2 / [1 + (m / n)x](m + n) / 2 per x > 0,
dove la costante di normalizzazione Cm,n vale
Cm,n = gam[(m + n) / 2] (m / n)m / 2 / [gam(m / 2) gam(n / 2)].
La distribuzione definita dalla funzione di densità ricavata nell'esercizio 1 prende il nome
di distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al
denominatore. La distribuzione F ha questo nome in onore di Sir Ronald Fisher.
2. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione F. Modifica i parametri con
le barre di scorrimento e osserva la forma della funzione di densità. Ponendo n = 3 e m =
2, genera 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la convergenza della funzione
di densità empirica a quella teorica.
3. Disegna il grafico della funzione di densità F introdotta nell'esercizio 1. Mostra in
particolare che
1. f(x) è inizialmente crescente e poi decrescente e raggiunge il massimo a x = (m - 2)
/ [m(n + 2)].
2. f(x) converge a 0 per x che tende a infinito.
Pertanto, la distribuzione F è unimodale ma asimmetrica.
La funzione di ripartizione e la funzione quantile non sono esprimibili in forma chiusa
tramite le funzioni elementari. Valori approssimati di queste funzioni di possono ottenere
dall'applet quantile.
4. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione F. Modifica i parametri e osserva la
forma della funzione di densità e della funzione di ripartizione. In ognuno dei casi
seguenti, trova la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.
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La distribuzione F
1.
2.
3.
4.
m = 5, n = 5
m = 5, n = 10
m = 10, n = 5
m = 10, n = 10
Momenti
Supponiamo X abbia distribuzione F con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di
libertà al denominatore. La rappresentazione data nell'esercizio 1 può essere utilizzata per
trovare valore atteso, varianza e gli altri momenti.
5. Mostra che, se n > 2, E(X) = n / (n - 2).
Il valore atteso, quindi, dipende solo dai gradi di libertà al denominatore.
6. Mostra che, se n > 4, allora
var(X) = 2 n2(m + n - 2) / [(n - 2)2 m (n - 4)].
7. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione F. Modifica i parametri con
la barra di scorrimento e osserva la dimensione e la posizione della barra
media/deviazione standard. Ponendo n = 3 e m = 5, simula 1000 replicazioni, aggiornando
ogni 10, e osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
8. Mostrare che, se k < n / 2, allora
E(Xk) = gam[(m + 2k) / 2] gam[(n - 2k) / 2] (n / m)k / [gam(m / 2) gam(n / 2)].
Trasformazioni
9. Sia X F-distribuita con m gradi di libertà al numeratore e n gradi di libertà al
denominatore. Dimostrare che 1/X è F-distribuita con n gradi di libertà al numeratore e m
gradi di libertà al denominatore.
10. Supponi che T abbia distribuzione t con n gradi di libertà. Dimostra che X = T2 ha
distribuzione F con 1 grado di libertà al numeratore e n gradi di libertà al denominatore.
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Stima intervallare
Laboratorio virtuale > Statistica > A B C [D] E
D. Stima intervallare
Sommario
1. Introduzione
2. Stima della media nel modello normale
3. Stima della varianza nel modello normale
4. Stima del modello di Bernoulli
5. Stima nel modello normale bivariato
6. Intervalli di confidenza Bayesiani
Applets
●
Esperimento di stima della media
●
Esperimento di stima della proporzione
●
Esperimento di stima della varianza
●
Applet quantile
Laboratorio virtuale > Statistica > A B C [D] E
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Test di ipotesi
Laboratorio virtuale > Statistica > A B C D [E]
E. Test di ipotesi
Contents
1. Introduzione
2. Test per la media nel modello normale
3. Test per la varianza nel modello normale
4. Test nel modello di Bernoulli
5. Test nel modello normale bivariato
6. Test del rapporto di verosimiglianza
7. Test per la bontà di adattamento
Applets
●
Esperimento del test della media
●
Esperimento del test della proporzione
●
Esperimento del test della varianza
●
Esperimento chi-quadro dei dadi
●
Esperimento del test del segno
●
Applet quantile
Laboratorio virtuale > Statistica > A B C D [E]
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Triangoli aleatori
Laboratorio virtuale > Modelli geometrici > 1 2 3 [4] 5
4. Triangoli aleatori
Termini del problema
Supponiamo di spezzare un bastoncino in due punti: qual è la probabilità che i tre pezzi
formino un triangolo?
1. Prova a indovinare senza guardare più avanti.
2. Replica l'esperimento del triangolo 50 volte. Non preoccuparti delle altre
informazioni riportate nell'applet, nota solamente quando i pezzi formano un triangolo.
Vuoi rivedere la tua risposta all'esercizio 1?
Formulazione matematica
Al solito, il primo passo è di formalizzare l'esperimento casuale. Consideriamo la
lunghezza del bastoncino come unità di misura, in modo da poter identificare il
bastoncino con l'intervallo [0, 1]. Per rompere il bastoncino in tre pezzi basta scegliere
due punti. Sia quindi X il primo punto e Y il secondo. Notiamo che X e Y sono variabili
casuali e quindi lo spazio campionario del nostro esperimento è
S = [0, 1]2.
Ora, per rappresentare il fatto che i punti sono selezionati a caso, assumiamo, come nei
paragrafi precedenti, che X e Y siano indipendenti e distribuite uniformemente su [0, 1].
3. Prova che (X, Y) è distribuito uniformemente su S = [0, 1]2.
Quindi, P(A) = area(A) / area(S) = area (A) per A
S.
La probabilità del triangolo
4. Spiega perché i tre pezzi formano un triangolo se e solo se valgono le
disuguaglianze triangolari: la somma delle lunghezze di due qualunque dei pezzi
dev'essere maggiore della lunghezza del terzo.
5. Prova che l'evento in cui i tre pezzi formano un triangolo è T = T1
1. T1 = {(x, y)
S: y > 1/2, x < 1/2, y - x < 1/2}
2. T2 = {(x, y)
S: x > 1/2, y < 1/2, x - y < 1/2}
Un grafico dell'evento T è riportato qui sotto:
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/buffon/buffon4.html (1 di 4) [22/11/2001 17.57.54]
T2 dove
Triangoli aleatori
6. Prova che P(T) = 1/4.
Quanto ti sei avvicinato nell'esercizio 1? Il valore di probabilità relativamente basso
dell'esercizio 6 è abbastanza sorprendente.
7. Replica l'esperimento del triangolo 1000 volte, aggiornando ogni 10 replicazioni.
Osserva la convergenza della probabilità empirica di Tc al valore teorico.
Triangoli di tipi diversi
Calcoliamo ora la probabilità che i pezzi formino un triangolo di un dato tipo. Ricorda che
in un triangolo acutangolo tutti e tre gli angoli misurano meno di 90°, mentre un triangolo
ottusangolo ha uno e un solo angolo maggiore di 90°. Un triangolo rettangolo,
ovviamente, ha un angolo di 90°.
8. Supponi che un triangolo abbia lati di lunghezza a, b e c, dove c è il valore
maggiore. Ricorda (o prova) che il triangolo è
1. acutangolo se e solo se c2 < a2 + b2.
2. ottusangolo se e solo se c2 > a2 + b2.
3. rettangolo se e solo se c2 = a2 + b2.
La parte (c), ovviamente, è il celebre teorema di Pitagora, che prende nome dal celebre
matematico greco Pitagora.
9. Prova che le equazioni del triangolo rettangolo per i pezzi sono
1. (y - x)2 = x2 + (1 - y)2 in T1.
2. (1 - y)2 = x2 + (y - x)2 in T1.
3. x2 = (y - x)2 + (1 - y)2 in T1.
4. (x - y)2 = y2 + (1 - x)2 in T2.
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/buffon/buffon4.html (2 di 4) [22/11/2001 17.57.54]
Triangoli aleatori
5. (1 - x)2 = y2 + (x - y)2 in T2
6. y2 = (x - y)2 + (1 - x)2 in T2.
10. Sia R l'evento in cui i pezzi formano un triangolo rettangolo. Prova che
P(R) = 0.
11. Prova che l'evento in cui i pezzi formano un triangolo acutangolo è A = A1
dove
1. A1 è la regione racchiusa tra le curve (a), (b) e (c) dell'esercizio 7.
A2
2. A2 è la regione racchiusa tra le curve (d), (e) e (f) dell'esercizio 7.
12. Prova che l'evento in cui i pezzi formano un triangolo ottusangolo è B = B1
B3
B4
B5
B2
B6 dove
1. B1, B2, B3 sono le regioni dentro T1 e fuori dalle curve (a), (b) e (c) dell'esercizio 7,
rispettivamente.
2. B4, B5, B6 sono le regioni dentro T2 e fuori dalle curve (d), (e) e (f) dell'esercizio 7,
rispettivamente.
13. Prova che
1. P(B1) =
[0, 1/2]
[x(1 - 2x) / (2 - 2x)]dx = 3 / 8 - ln(2) / 2.
2. P(B2) =
[0, 1/2]
[x(1 - 2x) / (2 - 2x)]dx = 3 / 8 - ln(2) / 2.
3. P(B3) =
[1/2, 1]
[y + 1 / (2y) - 3 / 2]dy = 3 / 8 - ln(2) / 2.
http://www.ds.unifi.it/~stefanin/VL/VL_IT/buffon/buffon4.html (3 di 4) [22/11/2001 17.57.54]
Triangoli aleatori
14. Spiega con la simmetria che
P(B) = 9 / 4 - 3 ln(2) ~ 0.1706
Puoi anche spiegare perché P(Bi) dev'essere lo stesso per ogni i, anche se B1 e B2 (per
esempio) non sono congruenti.
15. Prova che
P(A) = 3 ln(2) - 2 ~ 0.07944.
16. Replica l'esperimento del triangolo 1000 volte, aggiornando ogni 10. Osserva a
convergenza delle probabilità empiriche ai loro valori teorici.
Laboratorio virtuale > Modelli geometrici > 1 2 3 [4] 5
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Note conclusive
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5. Note conclusive
Note storiche
I problemi di Buffon sulla moneta e sull'ago sono considerati tra i primi problemi della
probabilità geometrica. Il problema originale dell'ago è stato esteso in molte maniere, a
partire da Simon Laplace, che ha considerato il caso del pavimento con mattonelle
rettangolari. Modifiche del problema costituiscono argomenti di ricerca attivi tutt'oggi.
Il problema dell'ago di Buffon viene risolto per integrazione MonteCarlo. In generale, i
metodi MonteCarlo usano il campionamento statistico per approssimare le soluzioni a
problemi di difficile soluzione analitica. La teoria moderna dei metodi MonteCarlo inizia
con Stanislaw Ulam, che ha utilizzato questi metodi su problemi associati alla costruzione
della bomba all'idrogeno.
Simulazione
Ciascuno dei problemi geometrici che abbiamo considerato sono basati su variabili
casuali con distribuzione uniforme continua. Il problema seguente mostra come simulare
tali variabili; si tratta di un caso particolare del metodo di simulazione quantile.
1. Supponi che la variabile casuale U sia distribuita uniformemente sull'intervallo (0,
1) (cioè, U è un numero casuale). Siano a e b numeri reali con a < b. Prova che la
variabile casuale W riportata sotto è distribuita uniformemente sull'intervallo (a, b).
W = a + (b - a)U
2. Mostra come simulare il centro della moneta (X, Y) nell'esperimento della moneta
di Buffon utilizzando numeri casuali.
3. Mostra come simulare l'angolo X e la distanza Y nell'esperimento dell'ago di Buffon
utilizzando numeri casuali.
Neil Weiss ha osservato che la nostra simulazione dell'esperimento dell'ago di Buffon è
circolare, nel senso che il programma assume di conoscere pi (puoi vederlo come risultato
dell'esercizio 3).
4. Prova a scrivere un algoritmo per il problema dell'ago di Buffon, senza assumere il
valore di pi o di altri numeri trascendenti.
5. Nel problema di Bertrand con distanza uniforme, mostra come simulare D, A, X e Y
utilizzando un numero casuale.
6. Nel problema di Bertrand con l'angolo uniforme, mostra come simulare D, A, X e Y
utilizzando un numero casuale.
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Note conclusive
Siti web
●
Per le biografie di Buffon e Bertrand, visita il sito di storia della matematica.
●
Per un'altra trattazione dell'ago di Buffon scritta da George Reese, visita Buffon's
Needle - An Analysis and Simulation.
Libri
●
Per una trattazione matematica del problema dell'ago e delle sue estensioni vedi il
libro Geometric Probability, di Herbert Solomon.
Risposte agli esercizi del paragrafo 1
1.6. 1 - (h - 2r)(w - 2r) / (hw), r < min{h / 2, w / 2}
Risposte agli esercizi del paragrafo 2
2.7.
1. 1 / 6
2. 5 / 12
3. 1 / (2 )
4. 3 / (2 )
Risposte agli esercizi del paragrafo 3
3.17. Distanza uniforme
3.18. Angolo uniforme
3.19. Angolo uniforme
Risposte agli esercizi del paragrafo 4
4.2. X = U - 1/2, Y = V - 1/2, dove U e V sono numeri casuali.
4.3. X =
U, Y = V, dove U e V sono numeri casuali.
4.5. A = arccos(D), X = 2D2 - 1, Y = 2D(1 - D2)1/2, dove D è un numero casuale.
4.6. A =
casuale.
U / 2, D = cos(A), X = 2D2 - 1, Y = 2D(1 - D2)1/2, dove U è un numero
Laboratorio virtuale > Modelli geometrici > 1 2 3 4 [5]
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Introduzione
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > [1] 2 3 4 5
1. Introduzione
In questo capitolo analizzeremo uno dei modelli di gioco più semplici. Nonostante la sua
semplicità, l'analisi formale porta a risultati interessanti e a volte sorprendenti che trovano
applicazione ben oltre il gioco d'azzardo.
Assunzioni
La situazione iniziale è la seguente: il giocatore inizia con una somma (non casuale) di
denaro. Può puntare su una prova semplice con due esiti: vincita o perdita. Se vince,
riceve quanto ha puntato; se perde deve pagare quanto ha puntato. Il gioco quindi è alla
pari.
Proviamo a formulare questo esperimento in termini formali e precisiamo alcune
assunzioni sulle variabili casuali di base. In primo luogo, assumiamo che le prove siano
indipendenti e che le probabilità di vincita e perdita restino costanti da prova a prova.
Abbiamo quindi una sequenza di prove Bernoulliane:
●
I1, I2, ... dove Ij è l'esito della prova j (1 vincita e 0 perdita)
●
I1, I2, ... sono indipendenti e P(Ij = 1) = p, P(Ij = 0) = q = 1 - p.
Se p = 0, il giocatore perde sempre e se p = 1 vince sempre. Tali casi triviali non sono
interessanti, per cui assumiamo 0 < p < 1. Ovviamente, nelle case da gioco reali, p < 1/2
(cioè le prove sono sfavorevoli per il giocatore), per cui siamo particolarmente interessati
a questo caso.
Processi casuali
La ricchezza del giocatore nel corso del tempo è il processo di interesse: sia
X0 = la ricchezza iniziale, Xi = la ricchezza dopo i prove.
La strategia del giocatore è formata dalla decisioni su quanto puntare a ciascuna prova e
quando abbandonare il gioco. Sia
Yi = l'ammontare dell'i-esima puntata.
e sia N il numero di prove giocate. Se vogliamo possiamo anche assumere che le prove
durino all'infinito, ma assumendo che il giocatore punti 0 a ciascuna prova successiva alla
N. Con queste considerazioni, l'esito della prova, la ricchezza e la puntata sono definiti
per ogni i.
1. Mostra che il processo della ricchezza è legato al processo delle puntate dalla
relazione seguente:
Xj = Xj - 1 + (2Ij - 1)Yj per j = 1, 2, ...
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Introduzione
Strategie
La strategia del giocatore può essere molto complessa. Per esempio, la puntata alla prova
n (Yn) o la decisione di smettere dopo n - 1 prove ({N = n - 1}) può essere basata
sull'intera storia passata del processo, fino al tempo n:
Hn = (X0, Y1, I1, Y2, I2, ..., Yn - 1, In - 1).
Inoltre, vi possono essere ulteriori fonti di casualità. Per esempio, un giocatore di roulette
può basare le sue puntate basandosi sul lancio di un dado fortunato che tiene in tasca.
Tuttavia il giocatore non può leggere il futuro (sfortunatamente, dal suo punto di vista),
per cui possiamo assumere almeno che
Yn e {N = n - 1} siano indipendenti da In, In + 1, In + 2 ...
Mostreremo ora che, almeno in termini di valore atteso, ogni strategia di gioco è futile se
le prove sono sfavorevoli.
2. Usa il risultato dell'esercizio 1 e l'assunzione di non prescienza per mostrare che
E(Xi) = E(Xi - 1) + (2p - 1)E(Yi ) per i = 1, 2, ...
3. Supponi che il giocatore abbia probabilità positiva di puntare alla prova i. Usa il
risultato dell'esercizio 2 per mostrare che
1. E(Xi) < E(Xi - 1) se p < 1 / 2
2. E(Xi) = E(Xi - 1) se p > 1 / 2
3. E(Xi) = E(Xi - 1) se p = 1 / 2
L'esercizio 3 mostra che, per ogni prova in cui il giocatore punta, la sua ricchezza attesa
decresce strettamente se le prove sono sfavorevoli, resta la stessa se le prove sono alla pari
e cresce strettamente se le prove sono favorevoli.
Come già notato in precedenza, una strategia generale può dipendere dal passato e può
essere casualizzata. Tuttavia, poiché le prove Bernoulliane sottostanti sono indipendenti,
si può supporre che tali complesse strategie non siano migliori di strategie semplici in cui
l'ammontare della puntata e la decisione di smettere sono basate solo sulla ricchezza
corrente del giocatore. Tali strategie semplici hanno un ruolo fondamentale e sono dette
strategie stazionarie e deterministiche. Tali strategie possono essere descritte da una
funzione di puntata S dallo spazio delle ricchezze allo spazio delle puntate possibili, per
cui S(x) è la cifra che il giocatore punta quando la sua ricchezza attuale è x.
Rosso e nero
Da ora in poi, assumeremo che la regola di arresto del giocatore sia molte semplice e
standard: punterà su tutte le prove finché avrà perso tutto o avrà raggiunto una ricchezza
prefissata a:
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Introduzione
N = min{n = 0, 1, 2, ...: Xn = 0 or Xn = a}.
Questo tipo di gioco è detto rosso e nero e prende nome dal gioco della roulette.
Se vogliamo, possiamo pensare alla differenza tra la ricchezza obiettivo e la ricchezza
iniziale come alla ricchezza del banco. Con questa interpretazione, il giocatore e il banco
assumono ruoli simmetrici: il gioco continua fino il giocatore o il banco sono rovinati.
Siamo interessati principalmente alla ricchezza finale XN del giocatore. Nota che tale
variabile assume solo due valori: 0 e a.
4. Mostra che media e varianza della ricchezza finale sono date da
1. E(XN) = aP(XN = a)
2. var(XN) = a2 P(XN = a) [1 - P(XN = a)]
Dall'esercizio 1, il giocatore vuole massimizzare la probabilità di raggiungere la ricchezza
obiettivo. È meglio puntare poco o puntare molto, o non è rilevante? Quanto dipende la
strategia ottimale, se ne esiste una, dalla ricchezza iniziale, dalla ricchezza obiettivo e
dalle probabilità di vittoria? Analizzeremo e confronteremo due strategie in un certo senso
opposte:
● Gioco prudente: A ciascuna prova, finché il gioco non finisce, il giocatore fa una
piccola puntata costante, ad esempio 1 unità.
● Gioco aggressivo: A ciascuna prova, finché il gioco non finisce, il giocatore punta o
tutto quello che ha o quello che gli serve per raggiungere la ricchezza obiettivo, se
tale ammontare è minore. Per esempio, supponiamo che la ricchezza obiettivo sia di
100 unità di moneta. Se il giocatore ne ha 25, punterà 25, se ha 60, ne punterà 40.
La strategia di gioco prudente è detta anche rovina del giocatore, forse perché, come
vedremo, è una pessima strategia nelle case da gioco reali.
Simulazioni
5. Nel gioco del rosso e nero poni la ricchezza iniziale a 8, la ricchezza obiettivo a 16 e
la probabilità di vincita a 0.5. Gioca 10 turni con ciascuna delle seguenti strategie.
Osserva il comportamento della ricchezza finale e il numero di prove e, in particolare,
osserva quale strategia sembra funzionare meglio.
1. Gioco prudente.
2. Gioco aggressivo.
3. Puntare 4 ad ogni giocata.
6. Nel gioco del rosso e nero poni la ricchezza iniziale a 8, la ricchezza obiettivo a 16 e
la probabilità di vincita a 0.45. Gioca 10 turni con ciascuna delle seguenti strategie.
Osserva il comportamento della ricchezza finale e il numero di prove e, in particolare,
osserva quale strategia sembra funzionare meglio.
1. Gioco prudente.
2. Gioco aggressivo.
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Introduzione
3. Puntare 4 ad ogni giocata.
7. Nel gioco del rosso e nero poni la ricchezza iniziale a 8, la ricchezza obiettivo a 16 e
la probabilità di vincita a 0.55. Gioca 10 turni con ciascuna delle seguenti strategie.
Osserva il comportamento della ricchezza finale e il numero di prove e, in particolare,
osserva quale strategia sembra funzionare meglio.
1. Gioco prudente.
2. Gioco aggressivo.
3. Puntare 4 ad ogni giocata.
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > [1] 2 3 4 5
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Gioco prudente
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2. Gioco prudente
Ricordiamo che, nella strategia di gioco prudente, il giocatore fa una piccola puntata
costante, ad esempio 1$, per ogni prova, finché non smette. Per ciascuna prova, quindi, la
ricchezza del giocatore può aumentare di 1 o diminuire di 1, finché non arriva a 0 o
raggiunge l'obiettivo a (un intero positivo). Il processo che la ricchezza segue è quindi un
random walk con barriere di assorbimento 0 e a. Ricorda che indichiamo tale processo
con
Xi, i = 0, 1, 2, ...
Al solito, siamo interessati alla probabilità di vincita e al numero atteso di prove. L'idea
chiave nella nostra anlisi è che, dopo ogni prova, la ricchezza riparta da capo, ma con un
diverso valore iniziale. Si tratta di un esempio di proprietà di Markov, e ciò è di
fondamentale importanza nella teoria della probabilità. L'analisi basata sulla proprietà di
Markov suggerisce di trattare la ricchezza iniziale come variabile.
La probabilità di vittoria
Indicheremo la probabilità che il giocatore raggiunga l'obiettivo a, iniziando da una
ricchezza iniziale x, con
f(x) = P(XN = a | X0 = x) per x = 0, 1, ..., a.
1. Condizionando all'esito della prima prova, mostra che f soddisfa
1. f(x) = qf(x - 1) + pf(x + 1) per x = 1, 2, ..., a - 1 (equazione alle differenze)
2. f(0) = 0, f(a) = 1 (condizioni di limite)
L'equazione alle differenze dell'esercizio 1 è lineare, omogenea e di secondo ordine.
2. Prova che l'equazione caratteristica dell'equazione alle differenze dell'esercizio 1 è
pr2 - r + q = 0
e che le radici sono r = 1 e r = q / p.
3. Prova che, se p è diverso da 1/2, allora le radici dell'esercizio 2 sono distinte. Mostra
che, in questo caso, la probabilità che il giocatore raggiunga l'obiettivo prefissato è
f(x) = [(q / p)x - 1] / [(q / p)a - 1] per x = 0, 1, ..., a.
4. Prova che, se p = 1/2, l'equazione caratteristica ha una singola radice unitaria di
molteplicità 2. Mostra che, in questo caso, la probabilità che il giocatore raggiunga
l'obiettivo è semplicemente il rapporto tra la ricchezza iniziale e la ricchezza obiettivo:
f(x) = x / a per x = 0, 1, ..., a.
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Gioco prudente
Dagli esercizi 3 e 4 ricaviamo la distribuzione della ricchezza finale XN in tutti i casi:
P(XN = 0 | X0 = x) = 1 - f(x), P(XN = a | X0 = x) = f(x).
5. Nell'esperimento del rosso e nero, scegli gioco prudente e poni a = 32 e p = 0.45.
Fai variare x da 0 a 32 con la barra a scorrimento e osserva come varia la distribuzione
della ricchezza finale. Con x = 24, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100, e
osserva la convergenza delle frequenze relative alla densità teorica.
Proprietà
6. Mostra che, in funzione di x e per dati p e a, f(x) cresce da 0 a 1 al crescere di x da 0
ad a.
7. Nell'esperimento del rosso e nero, scegli gioco prudente e poni a = 64 e x = 16. Fai
variare p da 0 a 1 con la barra a scorrimento e osserva come varia la distribuzione della
ricchezza finale. Con p = 0.55, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100, e osserva
la convergenza delle frequenze relative alla densità teorica.
8. Prova che f(x) è continua in funzione di p, per dati x e a. In particolare, usa la regola
di L'Hopital per mostrare che l'espressione dell'esercizio 3 converge a quella dell'esercizio
4 al tendere di p a 1/2.
9. Nell'esperimento del rosso e nero, scegli gioco prudente e poni a = 64 e x = 32. Fai
variare p da 0 a 1 con la barra a scorrimento e osserva come varia la distribuzione della
ricchezza finale. Con p = 0.45, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100, e osserva
la convergenza delle frequenze relative alla densità teorica.
10. Mostra che, per dati x e a, f(x) cresce da 0 a 1 al crescere di p da 0 a 1.
Puntate costanti
Che succede se il giocatore fa puntate costanti ma di importo maggiore di 1? La risposta a
questa domanda può dare qualche idea su quello che succede nel caso di gioco aggressivo.
11. Nel gioco del rosso e nero, poni la ricchezza iniziale a 8, quella obiettivo a 16 e la
probabilità di vittoria a 0.45. Gioca 10 partite con ciascuna delle seguenti strategie. Quale
sembra funzionare meglio?
1. Puntare 1 a ciascuna prova (gioco prudente).
2. Puntare 2 a ciascuna prova.
3. Puntare 4 a ciascuna prova.
4. Puntare 8 a ciascuna prova (gioco aggressivo).
Dobbiamo appesantire la notazione per indicare la dipendenza dalla ricchezza obiettivo:
f(x; a) = P(XN = a | X0 = x).
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Gioco prudente
Fissiamo ora p e supponiamo che la ricchezza obiettivo sia 2a e quella iniziale 2x. Se il
giocatore gioca in maniera prudente, allora ovviamente la sua probabilità di raggiungere
l'obiettivo è f(2x; 2a). D'altro canto:
12. Supponi che il giocatore punti 2 ad ogni prova. Dimostra che
Xi / 2, i = 0, 1, 2, ...
corrisponde al gioco prudente con ricchezza iniziale x e ricchezza obiettivo a e che quindi
la probabilità che il giocatore raggiunga l'obiettivo è f(x; a)
Dobbiamo quindi confrontare le probabilità f(2x; 2a) e f(x; a).
13. Prova che
1. f(2x; 2a) = f(x; a)[(q / p)x + 1] / [(q / p)a + 1]
2. f(2x; 2a) < f(x; a) se p < 1 / 2; f(2x; 2a) > f(x; a) se p > 1 / 2.
Sembra quindi che aumentare le puntate sia una buona idea se le prove sono sfavorevoli e
una cattiva idea se sono favorevoli e che non faccia differenza se le prove sono
equilibrate.
14. Generalizza gli esercizi 12 e 13 per confrontare la strategia di gioco prudente con
quella di puntare k$ a ciascuna prova (sia kx la ricchezza iniziale e ka quella obiettivo).
Numero atteso di prove
Consideriamo ora il numero atteso di prove necessarie col gioco prudente, quando la
ricchezza iniziale è x:
g(x) = E(N | X0 = x) per x = 0, 1, ..., a.
15. Condizionando all'esito della prima prova, mostra che g soddisfa l'equazione alle
differenze
1. g(x) = qg(x - 1) + pg(x + 1) + 1 per x = 1, 2, ..., a - 1 (equazione alle differenze)
2. g(0) = 0, g(a) = 0 (condizioni di limite).
L'equazione alle differenze dell'esercizio precedente è lineare, di secondo ordine ma non
omogenea. L'equazione omogenea corrispondente è quella soddisfatta dalla funzione di
probabilità di vincita f. Quindi abbiamo bisogno di poco lavoro.
16. Mostra che, se p è diverso da 1/2, allora
g(x) = x / (q - p) - [a / (q - p)][(q / p)x - 1] / [(q / p)a - 1] per x = 0, 1, ..., a.
17. Mostra che, se p = 1/2, allora
g(x) = x (a - x) per x = 0, 1, ..., a.
Per varie scelte di parametri, il numero di prove atteso è sorprendentemente elevato. Per
esempio, supponiamo che p = 1/2 e che la ricchezza obiettivo sia 100. se la ricchezza
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Gioco prudente
iniziale del giocatore è 1, allora il numero atteso di prove è 99, anche se la metà delle
volte il giocatore perderà tutto alla prima prova. Se la ricchezza iniziale è 50, il numero
atteso di prove è 2500.
18. Nell'esperimento del rosso e nero, scegli gioco prudente. Modifica la ricchezza
iniziale, quella finale e la probabilità di vincita e osserva come varia il numero atteso di
prove. Con x = 16, a = 32 e p = 0.5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 100.
Osserva la convergenza della media campionaria del numero di prove al valore atteso.
19. Nell'esperimento del rosso e nero, scegli gioco prudente. Poni la ricchezza
obiettivo a 128, quella iniziale a 64 e la probabilità di vincita a 0.5. Simula 100
replicazioni e osserva il numero e la variabilità elevata del numero di prove.
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > 1 [2] 3 4 5
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Strategie ottimali
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > 1 2 3 [4] 5
4. Strategie ottimali
Condizione di ottimalità
Ricordiamo che la regola di arresto nel gioco del rosso e nero è di continuare a giocare
finché il giocatore non esaurisce la sua ricchezza o non raggiunge la ricchezza obiettivo a.
Pertanto la strategia del giocatore consiste nel decidere quanto puntare in ciascuna prova
prima di smettere di giocare. Supponiamo di avere una classe di strategie corrispondenti a
puntate e ricchezze valide:
A: insieme di ricchezze, Bx: insieme di puntate valide per x
A.
Per esempio, a volte (come avviene nel caso del gioco prudente) possiamo voler
restringere le ricchezze agli interi compresi tra 0 e a; altre volte (come avviene nel caso
del gioco aggressivo) possiamo voler usare l'intervallo [0, 1] come spazio per le ricchezze.
Per quanto riguarda le puntate, assumeremo sempre che il giocatore non possa puntare ciò
che non ha e che non punti più di quanto gli serve per raggiungere la ricchezza obiettivo.
Si hanno quindi le condizioni minime
x
A, y
Bx implica 0
y
min{x, a - x}.
Restringiamo inoltre le strategie a quelle per cui il tempo di arresto N è finito.
Una strategia con funzione di probabilità di vincita V è ottimale se per ogni altra strategia
con funzione di probabilità di vincita U si ha
U(x)
V(x) for x
A.
1. Mostra che, se esiste una strategia ottimale, la funzione di probabilità di vincita è
unica.
Può però non esserci una strategia ottimale, o ce ne possono essere molte. Inoltre, la
questione dell'ottimalità dipende dal valore della probabilità di vittoria della prova p, oltre
che dalla struttura di ricchezze e puntate.
Supponiamo ora che S sia una strategia con funzione di probabilità di vincita V.
Vogliamo mostrare che se
pV(x + y) + qV(x - y)
V(x) per x
A, y
Bx,
allora S è ottimale.
2. Considera la seguente strategia: se la ricchezza iniziale è x in A, prendiamo un y in
Bx e puntiamo y sulla prima prova, seguiamo poi la strategia S. Condiziona all'esito della
prima prova per mostrare che la funzione di probabilità di vincita per tale nuova strategia
è
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Strategie ottimali
U(x) = pV(x + y) + qV(x - y).
Pertanto, il teorema che stiamo cercando di dimostrare può essere riespresso come segue:
se S è ottimale rispetto alla classe di strategie dell'esercizio 2, allora S è ottimale rispetto a
tutte le strategie.
Supponiamo ora che la condizione di ottimalità valga. Sia T una strategia arbitraria con
funzione di probabilità di vincita U. La variabile casuale V(Xn) può essere interpretata
come probabilità di vincita se la strategia del giocatore è sostituita dalla strategia S da n in
poi.
3. Condiziona all'esito della prova n-esima per mostrare che
E[V(Xn) | X0 = x] = E[pV(Xn - 1 + Yn) + qV(Xn - 1 - Yn) | X0 = x].
4. Usa il risultato dell'esercizio 3 e la condizione di ottimalità per mostrare che, per n =
1, 2, ...
E[V(Xn) | X0 = x]
E[V(Xn - 1) | X0 = x].
5. Usa il risultato dell'esercizio 4 per provare che
E[V(Xn) | X0 = x]
V(x) per n = 1, 2, ...
6. Calcola il limite al crescere di n nell'esercizio 5 per mostrare che
E[V(XN) | X0 = x]
V(x) dove N è il tempo di arresto per la strategia T.
7. Prova che E[V(XN) | X0 = x] = U(x)
Abbiamo infine mostrato negli esercizi 6 e 7 che la strategia S è di fatto ottimale:
U(x)
V(x) per x
A.
Prove favorevoli con puntata minima
Supponiamo ora che p 1 / 2, per cui le prove sono favorevoli (o almeno non
sfavorevoli) per il giocatore. Mostreremo ora che se il banco vuole che tutte le puntate
siano multiplo di una puntata minima (che è quanto avviene nelle case da gioco reali), la
strategia ottimale è quella prudente, facendo la puntata minima ad ogni prova fino alla
fine del gioco.
Assumiamo in primo luogo che tutte le puntate siano multipli di un'unità minima, che
possiamo assumere essere 1$. Gli insiemi di ricchezze e di puntate valide sono quindi
A = {0, 1, ..., a}, Bx = {0, 1, ..., min{x, a - x}}.
Sia f la funzione di probabilità di vincita per il gioco prudente. Per mostrare che la
strategia di gioco prudente è ottimale, basta verificare che la condizione di ottimalità è
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Strategie ottimali
soddisfatta, cioè in questo caso
pf(x + y) + qf(x - y)
f(x) per x in A, y in Bx.
8. Mostra che la condizione di ottimalità è soddisfatta per p = 1 / 2.
9. Se p > 1 / 2, mostra che la condizione di ottimalità è equivalente a
p(q / p)x + y + q(q / p)x - y
(q / p)x.
10. Mostra che la disuguaglianza dell'esercizio precedente equivale a
pq(py - qy)(py - 1 - qy - 1)
0.
La disuguaglianza dell'ultimo esercizio è soddisfatta per p> 1 / 2, per cui il gioco prudente
è ottimale quando le prove sono favorevoli.
11. Nel gioco del rosso e nero, poni a = 16, x = 8 e p = 0.55. Definisci una strategia a
piacimento e gioca 100 partite. Confronta la tua frequenza relativa di vittoria con la
probabilità di vincita del gioco prudente.
Prove favorevoli senza puntata minima
Assumiamo ora che il banco ammetta puntate arbitrariamente piccole e che p > 1/2, per
cui le prove sono strettamente favorevoli. In questo caso è naturale prendere come
obiettivo l'unità monetaria, per cui l'insieme di ricchezze e puntate diventa
A = [0, 1], Bx = [0, min{x, 1 - x}} per x
A.
Mostreremo che V(x) = 1 per x in (0, 1]. I risultati ricavati per il gioco prudente ricoprono
un ruolo molto importante per la nostra analisi, per cui indicheremo con f(j; a) la
probabilità di raggiungere un intero obiettivo a, partendo dall'intero j appartenente a [0, a],
con puntate unitarie.
Fissiamo in primo luogo una ricchezza iniziale razionale x = k / n in [0, 1].
12. Sia m un intero positivo. Supponi che, a partire da x, il giocatore punti 1/mn su
ciascuna prova. Prova che ciò equivale al gioco prudente con obiettivo mn e ricchezza
inziale mk e che quindi la probabilità di raggiungere l'obiettivo 1 è f(mk; mn).
13. Prova che
f(mk; mn)
1 per m
.
14. Usa i risultati degli esercizi 6 e 7 per provare che
V(x) = 1 se x
(0, 1] è razionale.
15. Usa il risultato dell'esercizio precedente e il fatto che V è crescente per provare che
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Strategie ottimali
V(x) = 1 per ogni x
(0, 1].
Prove sfavorevoli
Assumiamo ora che p 1 / 2, per cui le prove sono sfavorevoli, o almeno non favorevoli.
Mostreremo che il gioco aggressivo è ottimale. Come in precedenza, considereremo la
ricchezza obiettivo come l'unità monetaria di base e consentiremo di puntare ogni frazione
valida di tale unità. Gli insiemi di ricchezze e puntate sono quindi
A = [0, 1], Bx = [0, min{x, 1 - x}] per x
A.
Sia F la funzione di probabilità di vincita per il gioco aggressivo. Per mostrare che tale
strategia è ottimale, basta mostrare che soddisfa la condizione generale di ottimalità.
16. Mostra che la condizione di ottimalità è equivalente a
D(r, s) = F[(r + s) / 2] - pF(s) - qF(r)
0 per 0
r
s
1.
17. Usa la continuità di F per mostrare che è sufficiente provare la disuguaglianza
dell'esercizio 16 nel caso in cui r e s sono binari razionali.
Useremo ora l'induzione su m per mostrare che la disuguaglianza dell'esercizio 16 è
verificata se r e s sono binari razionali di rango m o meno, con m = 0, 1, ...
18. Prova che la disuguaglianza dell'esercizio 16 è verificata se r e s hanno rango 0;
mostra cioè che la disgugaglianza vale per
1. r = 0, s = 0,
2. r = 0, s = 1,
3. r = 1, s = 1.
Supponiamo ora che la disuguaglianza dell'esercizio 16 valga per r e s di rango m o
inferiore, per un dato m. Supponiamo inoltre che r e s abbiano rango m + 1 o inferiore.
Mostreremo che la disuguaglianza è soddisfatta in ciascuno dei seguenti quattro casi
1. r
s
2. 1 / 2
1/2
r
s
3. r
(r + s) / 2
1/2
s
4. r
1/2
(r + s) / 2
s
L'equazione funzionale di base per F sarà il nostro principale strumento di lavoro.
19. Mostra che, nel caso (a), D(r, s) = pD(2r, 2s)
20. Mostra che, nel caso (b), D(r, s) = qD(2r - 1, 2s - 1)
21. Per il caso (c), segui i passi proposti:
1. D(r, s) = pF(r + s) - p[p + qF(2s - 1)] - q[pF(2r)]
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Strategie ottimali
2. 1 / 2
r+s
1 so F(r + s) = p + qF(2r + 2s - 1)
3. 0 r + s - 1 / 2 1 / 2 per cui F(r + s - 1 / 2) = pF(2r + 2s - 1)
4. D(r, s) = q[F(r + s - 1 / 2) - pF(2s - 1) - pF(2r)]
5. Se 2s - 1
6. Se 2r
2r allora D(r, s) = (q - p)F(2s - 1) + qD(2s - 1, 2r)
2s - 1 allora D(r, s) = (q - p)F(2r) + qD(2r, 2s - 1)
22. Per il caso (d), segui i passi proposti:
1. D(r, s) = [p + qF(r + s - 1)] - p[p + qF(2s - 1)] - q[pF(2r)]
2. 0
r+s-1
1 / 2 so F(r + s - 1) = pF(2r + 2s - 2)
3. 1 / 2 r + s - 1 1 per cui F(r + s - 1 / 2) = p + qF(2r + 2s - 2)
4. D(r, s) = p(q - p) + p[F(r + s - 1 / 2) - qF(2s - 1) - qF(2r)]
5. Se 2s - 1
6. Se 2r
2r allora D(r, s) = p(q - p)[1 - F(2r)] + pD(2s - 1, 2r)
2s - 1 allora D(r, s) = p(q - p)[1 - F(2s - 1)] + pD(2r, 2s - 1)
23. Usa l'ipotesi di induzione e i risultati degli esercizi precedenti per terminare la
dimostrazione del fatto che il gioco aggressivo è ottimale nel caso in cui le prove siano
sfavorevoli.
24. Nel gioco del rosso e nero, poni a = 16, x = 8 e p = 0.45. Definisci una strategia a
piacimento e gioca 100 partite. Confronta la tua frequenza relativa di vittoria con la
probabilità di vincita del gioco aggressivo.
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > 1 2 3 [4] 5
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Note conclusive
Laboratorio virtuale > Rosso e nero > 1 2 3 4 [5]
5. Note conclusive
Libri
●
●
Il libro più classico su rosso e nero e su molti altri modelli di gioco è Inequalities
for Stochastic Processes (How to Gamble if You Must) di Dubbins e Savage. Tale
libro è stato la fonte della maggior parte della teoria presentata in questo capitolo.
Un testo recente sui modelli di gioco è Discrete Gambling and Stochastic Games di
Sudderth e Maitra.
Ringraziamenti
Il grafico della funzione di probabilità di vittoria sotto il gioco aggressivo è stato fatto da
Marcus Pendergrass utilizzando Maple.
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Stima del modello di Bernoulli
Laboratorio virtuale > Stima intervallare > 1 2 3 [4] 5 6
4.Stima del modello di Bernoulli
Concetti preliminari
Supponi che I1, I2, ..., In sia un campione casuale estratto da una distribuzione di
Bernoulli con parametro ignoto p appartenente a (0, 1). Si tratta quindi di variabili casuali
indipendenti che assumono valore 1 e 0, rispettivamente con probabilità p e 1 - p. Di
solito, questo modello si presenta in una delle seguenti situazioni:
1. Abbiamo un evento d'interesse con probabilità ignota p nel contesto di un
esperimento semplice. Replichiamo l'esperimento n volte e poniamo Ii = 1 se e solo
se l'evento si è verificato nell'i-esima prova.
2. Abbiamo una popolazione di unità di tipo diverso; p è la proporzione (ignota) di
unità di un particolare tipo. Estraiamo n unità dalla popolazione e poniamo Ii = 1 se
e solo se l'i-esima unità è del tipo d'interesse. Se il campionamento è con
reinserimento, queste variabili costituiscono un campione della distribuzione di
Bernoulli. Se invece il campionamento avviene senza ripetizione, le varibili sono
dipendenti, ma il modello di Bernoulli può essere comunque un'approssimazione.
Per ulteriori dettagli su questi punti, vedi l'esperimento dell'urna.
In questo paragrafo, costruiremo intervalli di confidenza per p. Una trattazione parallela
dei test nel modello di Bernoulli si trova nel capitolo sul test di ipotesi.
Intervalli di confidenza per p
Ricorda che media e varianza della distribuzione di Bernoulli valgono
E(I) = p, var(I) = p(1 - p).
Nota che la media campionaria M è la proporzione di unità (calcolata sul campione) del
tipo di interesse. Per il teorema limite cenrale,
Z = (M - p) / [M(1 - M) / n]1/2
ha approssimativamente distribuzione normale standardizzata ed è quindi
(approssimativamente) un elemento pivotale per p.
1. Usa la variabile pivot Z per mostrare che intervallo di confidenza al livello 1 - r e
limite di confidenza inferiore e superiore per p sono:
1. [M - z1 - r/2 [M(1 - M) / n]1/2, M + z1 - r/2 [M(1 - M) / n]1/2].
2. M + z1 - r [M(1 - M) / n]1/2.
3. M - z1 - r [M(1 - M) / n]1/2.
La distribuzione di Z è prossima alla normale quando p è circa 1/2 e differisce dalla
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Stima del modello di Bernoulli
normale quando p è prossimo a 0 o 1 (cioè gli estremi).
2. Usa la simulazione dell'esperimento di stima della proporzione per impratichirti con
questa procedura. Selexione diversi valori di p, livelli di confidenza, numerosità
campionarie e tipi di intervallo. Per ciascuna configurazione, simula 1000 replicazioni
aggiornando ogni 10. Osserva che l'intervallo di confidenza cattura con successo la
deviazione standard se e solo se il valore della variabile pivot giace tra i quantili. Nota la
dimensione e la posizione degli intervalli di confidenza e quanto bene la proporzione di
intervalli "riusciti" approssima il livello di confidenza teorico.
3. Prova che la varianza della distribuzione di Bernoulli è massima per p = 1/2, per cui
la varianza massima è 1/4.
4. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che un intervallo di confidenza
conservativo a livello 1 - r e limite di confidenza inferiore e superiore per p sono:
1. [M - z1 - r/2 / (2n1/2), M + z1 - r/2 / (2n1/2)].
2. M + z1 - r / (2n1/2).
3. M - z1 - r / (2n1/2).
Pertanto gli intervalli di confidenza conservativi sono più grandi di quelli che si ottengono
utilizzando la prima procedura. La stima conservativa può essere utilizzata per il disegno
dell'esperimento.
5. Supponiamo che p debba essere stimato con margine d'errore E e con confidenza 1 r. Mostra che una stima conservativa della dimensione campionaria è
n = ceil[(z / 2E)2]
dove z = z1 - r/2 per un intervallo bilaterale e z = z1 - r per un intervallo unilaterale.
6. Su un campione di 1000 votanti in un certo collegio, 427 preferiscono il candidato
X. Costruisci l'intervallo di confidenza bilaterale al 95% per la proporzione degli elettori
che preferiscono X.
7. Si lancia una moneta 500 volte e si ottengono 302 teste. Costruisci un intervallo di
confidenza al 95% per la probabilità della testa. Credi che la moneta sia equilibrata?
8. Si testa un campione di 400 chip di memoria da una certa linea produttiva, e 30
risultano difettosi. Costruisci l'intervallo di confidenza bilaterale conservativo al 90% per
la proporzione di chip difettosi.
9. Un'industria farmaceutica vuole stimare la proporzione di soggetti che
manifesteranno effetti collaterali assumendo un nuovo farmaco. La società vuole un
intervallo bilaterale con margine d'errore 0.03 e confidenza del 95%. Quanto dovrebbe
essere grande il campione?
10. Un'agenzia pubblicitaria vuole trovare il limite di confidenza inferiore, al 99%, per
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Stima del modello di Bernoulli
la proporzione di dentisti che consigliano una certa marca di dentifricio. Il margine
d'errore desiderato è 0.02. Quanto dev'essere grande il campione?
Laboratorio virtuale > Stima intervallare > 1 2 3 [4] 5 6
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Test per la varianza nel modello normale
Laboratorio virtuale > Test di ipotesi > 1 2 [3] 4 5 6 7
3. Test per la varianza nel modello normale
Concetti preliminari
Supponiamo che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale della distribuzione normale con
media µ e varianza d2. In questo paragrafo impareremo a costruire test di ipotesi per d. Gli
strumenti fondamentali che utilizzeremo sono la media campionaria e la varianza
campionaria, e le proprietà di queste statistiche nel caso della distribuzione normale.
Questo paragrafo è parallelo a quello sulla Stima della varianza nel modello normale nel
capitolo sulla stima intervallare.
La media µ avrà il ruolo di parametro di disturbo, nel senso che le procedure di test sono
diverse a seconda che µ sia noto oppure no.
Assumeremo in primo luogo che la media µ sia nota, anche se questa assunzione è spesso
poco realistica. In questo caso lo spazio parametrico è {d: d > 0} e le ipotesi su d
definiscono sottinsiemi di questo spazio. Una statistica test naturale è
V0 = (1 / d02)
i = 1, ..., n
(Xi - µ)2.
Nota che W2 = d02 V0 / n è lo stimatore naturale della varianza quando µ è noto.
1. Mostra che, se d0 = d, V0 ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà
Consideriamo ora il caso più realistico in cui anche µ è ignoto. In questo caso, lo spazio
parametrico sottostante è {(µ, d): µ appartiene a R, d > 0}, e tutte le ipotesi su d
definiscono sottinsiemi di questo spazio. Una statistica test naturale è
V0 = (1 / d02)
i = 1, ..., n
(Xi - M)2.
2
2
dove M = (1 / n)
i = 1, ..., n Xi è la media campionaria. Nota che S = d0 V0 / (n - 1) è la
varianza campionaria.
2. Mostra che, se d0 = d, V0 ha distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà.
Test di ipotesi
I test di ipotesi per d funzionano nello stesso modo, sia µ noto oppure no; l'unica
differenza sta nella definizione della statistica test V0 e nel numero dei gradi di libertà
della distribuzione chi-quadro. Indicheremo con vk, p il quantile di ordine p della
distribuzione chi-quadro con k gradi di libertà. Se µ è noto, avremo k = n; in caso
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Test per la varianza nel modello normale
contrario k = n - 1. Per dati valori di k e p, vk, p può essere ottenuto dalla tavola della
distribuzione chi-quadro.
3. Mostra che, per H0: d = d0 contro H1: d
significatività r:
d0, il seguente test ha livello di
Rifiutare H0 se e solo se V0 > vk, 1 - r/2 o V0 < vk, r/2.
4. Prova che per H0: d
significatività r:
d0 contro H1: d > d0, il seguente test ha livello di
Rifiutare H0 se e solo se V0 > vk, 1 - r.
5. Mostra che per H0: d
significatività r:
d0 versus H1: d < d0, il seguente test ha livello di
Rifiutare H0 se e solo se V0 < vk, r.
6. Prova che, nei test degli esercizi 3, 4 e 5 non rifiutiamo H0 a livello di significatività
a se e solo se la varianza test d02 giace nel corrispondente intervallo di confidenza a
livello 1 - r.
Ovviamente, il risultato dell'esercizio 6 è un caso particolare dell'equivalenza tra test di
ipotesi e stima intervallare che abbiamo discusso nell'introduzione.
Curve di potenza
Ricorda che la funzione di potenza per un test su d è Q(d) = P(Rifiutare H0 | d). Per i test
presentati sopra, possiamo calcolare esplicitamente le funzioni di potenza in termini della
funzione di ripartizione Fk della distribuzione chi-quadro con k gradi di libertà. Di nuovo,
k = n se µ è nota e k = n - 1 altrimenti.
7. Per il test H0: d = d0 contro H1: d
risultati e traccia il grafico di Q:
d0 al livello di significatività r, prova i seguenti
1. Q(d) = 1 - Fk[d02 vk, 1 - r/2 / d2] + Fk[d02 vk, r/2 / d2]
2. Q(d) è decrescente per d < d0 ed è crescente per d > d0.
3. Q(d0) = r.
4. Q(d)
1 per d
0+ e Q(d)
1 per d
.
8. Per il test H0: d d0 contro H1: d > d0 al livello di significatività r, prova i seguenti
risultati e traccia il grafico di Q:
1. Q(d) = 1 - Fk[d02 vk, 1 - a / d2]
2. Q(d) è crescente per d > 0.
3. Q(d0) = a.
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Test per la varianza nel modello normale
4. Q(d)
0 per d
0+ e Q(d)
1 per d
.
9. Per il test H0: d d0 contro H1: d < d0 al livello di significatività r, prova i seguenti
risultati e traccia il grafico di Q:
1. Q(d) = Fk[d02 vk, r / d2]
2. Q(d) è decrescente per d > 0.
3. Q(d0) = r.
4. Q(d)
1 as d
0+ e Q(d)
0 per d
.
10. Prova che, in ciascun caso, il test per d è più potente quando µ è noto.
Simulazioni
11. Nell'esperimento di test della varianza, seleziona la distribuzione normale a media
0, il test bidirezionale a livello di significatività 0.1, dimensione campionaria n = 10, e
testa che la deviazione standard sia 1.0.
1. Per ogni valore vero della deviazione standard 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2, 1.3,
simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la frequenza relativa dei
rifiuti di H0.
2. Quando la deviazione standard vera è 1.0, confronta la frequenza relativa di rifiuto
di H0 col livello di significatività.
3. Utilizzando le frequenze relative in (a), traccia la curva di potenza empirica.
12. Nell'esperimento di test della varianza, ripeti l'esercizio 11 col test sulla coda
sinistra.
13. Nell'esperimento di test della varianza, ripeti l'esercizio 11 col test sulla coda
destra.
14. Nell'esperimento di test della varianza, seleziona la distribuzione normale con µ =
0 e deviazione standard 2, intervallo di confidenza bidirezionale al livello 0.90, e
dimensione campionaria n = 10. Simula 20 replicazioni, aggiornando ogni volta. Formula
le ipotesi corrispondenti e il livello di significatività e per ogni replicazione riporta
l'insieme di deviazioni standard test per cui l'ipotesi nulla sarebbe rifiutata.
15. Nell'esperimento di test della varianza, ripeti l'esercizio 14 col limite di confidenza
inferiore.
16. Nell'esperimento di test della varianza, ripeti l'esercizio 14 col limite di confidenza
superiore.
Distribuzioni non normali
Anche quando la distribuzione sottostante non è normale, le procedure esaminate in
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Test per la varianza nel modello normale
questo paragrafo si possono utilizzare per sottoporre a test, approssimativamente, la
varianza. Vedrai, nelle simulazioni che seguono, che questa procedura non è così robusta
come quella relativa alla media. In ogni caso, se la distribuzione non è troppo difforme
dalla normale, la procedura dà risultati soddisfacenti.
17. Nell'esperimento di test della varianza, seleziona la distribuzione gamma con
parametro di forma 1 e parametro di scala 1 (la deviazione standard è quindi 1). Seleziona
il test bidirezionale al livello di significatività 0.1 e con dimensione campionaria n = 10.
1. Per ciascun valore di deviazione standard test 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la frequenza relativa dei rifiuti di
H0.
2. Quando la deviazion standard test è 1.0, confronta la frequenza relativa di (a) col
livello di significatività.
18. Nell'esperimento di test della varianza, ripeti l'esercizio 17 con dimensione
campionaria n = 20.
19. Nell'esperimento di test della varianza, seleziona la distribuzione gamma con
parametro di forma 4 e parametro di scala 1 (la deviazione standard è quindi 2). Seleziona
il test bidirezionale al livello di significatività 0.1 e con dimensione campionaria n = 10.
1. Per ciascun valore di deviazione standard test 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, simula 1000
replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la frequenza relativa dei rifiuti di H0.
2. Quando la deviazion standard test è 2.0, confronta la frequenza relativa di (a) col
livello di significatività.
20. Nell'esperimento di test della varianza, seleziona la distribuzione uniforme su (0, 4)
(pertanto la deviazione standard vera è circa 1.15). Seleziona il test bidirezionale al livello
di significatività 0.1 e con dimensione campionaria n = 10..
1. Per ciascun valore di deviazione standard test 0.69, 0.92, 1.15, 1.39, 1.62, simula
1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e osserva la frequenza relativa dei rifiuti di
H0.
2. Quando la deviazion standard test è 1.15, confronta la frequenza relativa di (a) col
livello di significatività.
Esercizi numerici
21. Utilizzando i dati di Michelson, esegui un test per vedere se la deviazione standard
delle misurazioni della velocità della luce è inferiore a 80 km/sec, al livello di
significatività di 0.1
1. Assumendo che µ sia il "valore vero."
2. Assumendo che µ sia ignoto.
22. Utilizzando i dati di Cavendish, esegui un test per vedere se la deviazione standard
delle misurazioni è maggiore di 0.2, al livello di significativtà di 0.05
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Test per la varianza nel modello normale
1. Assumendo che µ sia il "valore vero."
2. Assumendo che µ sia ignoto.
23. Utilizzando i dati di Short, esegui un test per vedere se la deviazione standard delle
misurazioni della parallasse differisce da 0.7 secondi di grado, al livello di significatività
di 0.1.
1. Assumendo che µ sia il "valore vero."
2. Assumendo che µ sia ignoto.
24. Utilizzando i dati di Fisher sugli iris, esegui i seguenti test, al livello di
significatività di 0.1:
1. La deviazione standard della lunghezza dei petali della Setosa è diversa da 2 mm.
2. La deviazione standard della lunghezza dei petali della Verginica è maggiore di 5
mm.
3. La deviazione standard della lunghezza dei petali della Versicolor è minore di 5.5
mm.
Laboratorio virtuale > Test di ipotesi > 1 2 [3] 4 5 6 7
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Introduzione
Laboratorio virtuale > Test di ipotesi > [1] 2 3 4 5 6 7
1. Introduzione
Il modello statistico di base
Al solito, iniziamo con l'introdurre un esperimento casuale definito su un certo spazio
campionario e con misura di probabilità P. Nel modello statistico di base, abbiamo una
variabile casuale osservabile X che assume valori in S. In generale, X può avere struttura
complessa. Ad esempio, se l'esperimento consiste nell'estrarre n unità da una popolazione
e registrare le varie misure di interesse, allora
X = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è il vettore di misurazioni per l'i-esima unità. Il caso più importante si ha quando
X1, X2, ..., Xn, sono indipendenti e identicamente distribuite. Si ha allora un campione
casuale di dimensione n dalla distribuzione comune.
Test di ipotesi generali
Un'ipotesi statistica è un'asserzione sulla distribuzione della variabile X;
equivalentemente, un'ipotesi statistica individua un insieme di possibili distribuzioni per
X. L'obiettivo dei test di ipotesi è valutare se vi è sufficiente evidenza statistica per
rifiutare un'ipotesi nulla in favore dell'ipotesi alternativa. L'ipotesi nulla si indica di solito
con H0, mentre l'ipotesi alternativa con H1. Un'ipotesi che specifica una singola
distribuzione per X si dice semplice; un'ipotesi che ne specifica più di una X si dice
invece composta.
Un test di ipotesi conduce a una decisione statistica; la conclusione potrà essere di
rifiutare l'ipotesi nulla in favore di quella alternativa, o di non poter rifiutare l'ipotesi
nulla. Ovviamente la decisione che prendiamo è basata sui dati di cui disponiamo X.
Pertanto, dobbiamo trovare un sottinsieme R dello spazio campionario S e rifiutare H0 se
e solo se X appartiene a R. L'insieme R è detto regione di rifiuto o regione critica.
Usualmente, la regione critica è definita in funzione di una statistica W(X), detta statistica
test.
Errori
La decisione che prendiamo può essere corretta o errata. Esistono due tipi di errore, a
seconda di quale delle due ipotesi è vera:
1. Un errore di prima specie consiste nel rifiutare l'ipotesi nulla quando è vera.
2. Un errore di seconda specie consiste nel non rifiutare l'ipotesi nulla quando è falsa.
Similmente, esistono due modi di prendere una decisione corretta: possiamo rifiutare
l'ipotesi nulla quando è falsa o non rifiutare l'ipotesi nulla quando è vera. Le possibilità
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Introduzione
sono riportate nella tabella seguente:
Test di ipotesi
Stato reale
Non rifiuto H0
Decisione
Rifiuto H0
H0 è vera Decisione corretta
Errore di prima specie
H0 è falsa Errore di seconda specie Decisione corretta
Se H0 è vera (cioè la distribuzione di X è specificata da H0), allora P(X R) è la
probabilità di un errore di prima specie per questa distribuzione. Se H0 è composta, allora
H0 specifica una varietà di distribuzioni per X e pertanto esiste un insieme di probabilità
di errori di prima specie. La massima probabilità di un errore di prima specie è detta
livello di significatività del test o ampiezza della regione critica, che indicheremo con r.
Di solito si costruisce la regione di rifiuto in modo che il livello di significatività sia un
valore prefissato e piccolo (tipicamente 0.1, 0.05, 0.01).
Se H1 è vera (cioè la distribuzione di X è specificata da H1), allora P(X Rc) è la
probabilità di un errore di seconda specie per questa distribuzione. Di nuovo, se H1 è
composta, allora H1 specifica una varietà di distribuzioni per X, ed esiste quindi un
insieme di probabilità di errori di seconda specie. Esiste di solito un compromesso tra le
probabilità di errori di prima e seconda specie. Se riduciamo la probabilità di un errore di
prima specie, riducendo l'ampiezza della regione R incrementiamo necessariamente la
probabilità di errore di seconda specie, poiché Rc è più grande.
Potenza
Se H1 è vera (cioè la distribuzione di X è specificata da H1), allora P(X R), la
probabilità di rifutare H0 (e prendere quindi una decisione corretta), è detta potenza del
test.
Supponiamo di avere due test, a cui corrispondono rispettivamente le regioni di rifiuto R1
e R2, ciascuna con livello di significatività r. Il test con regione R1 è uniformemente più
potente del test con regione R2 se
P(X
R1)
P(X
R2) per ogni distribuzione di X specificata da H1.
Ovviamente, in questo caso, preferiremmo il primo test. Infine, se un test ha livello di
significativtità r ed è uniformemente più potente di ogni altro test con livello di
significativtà r, allora il test si dice uniformemente più potente al livello a. Un test del
genere è il migliore di cui possiamo disporre.
p-value
Nella maggior parte dei casi si dispone di una procedura generale che ci consente di
costruire un test (cioè una regione di rifiuto Rr) per ogni dato livello di significativtà r.
Tipicamente, Rr decresce (nel senso della dimensione del sottinsieme) al crescere di a. In
questo contesto, il p-value della variabile X, indicato come p(X) è definito come il più
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Introduzione
piccolo r per cui X appartiene a Rr; cioè il minor livello di significatività per cui H0
sarebbe rifiutata dato X. Conoscere p(X) ci consente di testare H0 ad ogni livello di
significatività, sulla base dei dati: se p(X) r, allora rifiuteremo H0 al livello di
significatività r; se p(X) > r, non rifiuteremo H0 al livello di significatività r. Nota che
p(X) è una statistica.
Test su un parametro ignoto
Il test di ipotesi è un concetto generale, ma un caso particolare importante si ha quando la
distribuzione della variabile X dipende da un parametro a, che assume valori in uno
Rk
spazio parametrico A. Ricorda che, usualmente, a è un vettore di parametri reali A
per un certo k. L'ipotesi, di solito, ha forma
H0: a
A0 contro H1: a
A - A0
dove A0 è un sottinsieme di A. In questo caso, la probabilità di compiere un errore (o di
prendere una decisione corretta) dipende dal valore vero di a. Se R è la regione di rifiuto,
allora la funzione di potenza è
Q(a) = P(X
R | a) per a
A.
1. Dimostra che
1. Q(a) è la probabilità di un errore di prima specie quando a
2. max{Q(a): a
A0.
A0} è il livello di significativtà del test.
2.Dimostra che
1. 1 - Q(a) è la probabilità di un errore di seconda specie quando a
2. Q(a) è la potenza del test quando a
A - A0.
A - A0.
Supponiamo di avere due test, che corrispondono rispettivamente alle regioni di rifiuto R1
e R2, ciascuno con livello di significativtà r. Il test con regione R1 è uniformemente più
potente del test con regione R2 se
QR1(a)
QR2(a) per a
A - A0.
La maggior parte dei test riguardanti un parametro reale ignoto a ricadono nei tre casi
speciali:
1. H0: a = a0 contro H1: a
a0.
2. H0 : a
a0 contro H1: a < a0.
3. H0 : a
a0 contro H1: a > a0.
dove a0 è un valore dato. Il caso 1 è noto come test bidirezionale, il caso 2 come test
unidirezionale sinistro e il caso 3 come test unidirezionale destro (sulla base
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Introduzione
dell'alternativa). Possono esserci altri parametri ignoti oltre ad a (detti parametri di
disturbo).
Equivalenza tra test di ipotesi e stima intervallare
Esiste un'equivalenza tra test di ipotesi e stima intervallare per un parametro a.
3. Supponi che [L(X), U(X)] sia un intervallo di confidenza al livello 1 - r per a.
Mostra che il test sotto riportato ha livello di significatività r per l'ipotesi H0: a = a0 contro
H1: a
a0.
Rifiutare H0 se e solo se a0 < L(X) o a0 > U(X).
4. Supponi che U(X) is a 1 - r sia un limite di confidenza superiore al livello a. Prova
che il test sotto riportato ha livello di significatività r per l'ipotesi H0 : a a0 contro H1: a
< a0.
Rifiutare H0 se e solo se a0 > U(X).
5. Supponi che U(X) is a 1 - r sia un limite di confidenza inferiore al livello a. Prova
che il test sotto riportato ha livello di significatività r per l'ipotesi H 0 : a a0 versus H1:
a > a0.
Rifiutare H0 if and only if a0 < L(X).
Concludendo, non rifiutiamo H0 al livello di significativtà r se e solo se a0 giace nel
corrispondente intervallo di confidenza al livello 1 - r.
Laboratorio virtuale > Test di ipotesi > [1] 2 3 4 5 6 7
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Massima verosimiglianza
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > 1 2 [3] 4 5 6
3. Massima verosimiglianza
Il metodo
Supponiamo di nuovo di avere una variabile casuale osservabile X, per un certo
esperimento, che assuma valori in un insieme S. Supponiamo inoltre che la distribuzione
di X dipenda da un parametro ignoto a, suscettibile di assumere valori in uno spazio
parametrico A. Più specificamente, indicheremo con f(x | a) la funzione di densità di X in
x. In generale, sia X che a sono vettori.
La funzione di verosimiglianza L è la funzione che si ottiene invertendo i ruoli di x e a;
ovvero interpretando a come la variabile x come l'informazione nota (cioè il punto di vista
della stima):
L(a | x) = f(x | a) per a appartenente a A e x appartenente a S.
Col metodo della massima verosimiglianza, si cerca un valore u(x) del parametro a che
massimizzi L(a | x) per ogni x in S. Se riusciamo a trovare tale valore, u(X) è detto
stimatore di massima verosimiglianza di a. Il metodo è intuitivamente seducente:
cerchiamo di trovare i valori dei parametri che possono aver prodotto con la maggiore
probabilità i dati osservati.
Poiché la funzione logaritmo naturale ln è strettamente crescente, il valore massimo di L(a
| x), se esiste, si ha allo stesso punto in cui è massima ln[L(a | x)]. Quest'ultima funzione è
detta funzione di log-verosimiglianza e in molti casi è più semplice da trattare della
funzione di verosmiglianza (di solito perché la densità f(x | a) include una produttoria).
Casi particolari
Un caso particolare importante si ha quando a = (a1, a2, ..., ak) è un vettore di k parametri
reali, cosicché A
Rk. In questo caso, il problema è massimizzare una funzione di più
variabili. Se A è un insieme continuo, si possono utilizzare metodi di analisi: se il valore
massimo è ad a (compreso in A), allora L(· | x) ha massimo locale ad a e quindi
(d/dai)L(a | x) = 0 per i = 1, 2, ..., k.
D'altro canto, il punto di massimo può trovarsi sul confine di A, oppure non esistere
affatto.
Consideriamo il prossimo caso, dove X = (X1, X2, ..., Xn) è un campione casuale di
dimensione n estratto dalla distribuzione di X con funzione di densità g(x | a). Quindi la
densità congiunta di X è il prodotto delle densità marginali, per cui la funzione di
verosimiglianza, in questo caso, vale
L(a | x) = f(x | a) = g(x1 | a)g(x2 | a)···g(xn | a) dove x = (x1, x2, ..., xn).
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Massima verosimiglianza
Nelle sezioni seguenti, studieremo la stima di massima verosimglianza in alcuni casi
speciali classici.
La distribuzione di Bernoulli
Supponiamo di avere una moneta con probabilità di ottenere testa ignota p. La lanciamo n
volte e registriamo la sequenza di teste e croci. Pertanto, il vettore dei dati (I1, I2, ..., In) è
un campione casuale di dimensione n estratto dalla distribuzione di Bernoulli con
probabilità di successo p. Sia Xn = I1 + I2 + ··· + In il numero di teste e Mn = Xn / n la
proporzione di teste ottenute (la media campionaria).
1. Supponi che p sia compreso in (0, 1). Prova che lo stimatore di massima
verosimiglianza di p è Mn.
Ricorda Mn è anche lo stimatore ottenuto col metodo dei momenti per p.
2. Supponi che la moneta sia equilibrata oppure a due teste, cosicché p appartiene a
{1/2, 1}. Mostra che lo stimatore di massima verosimiglianza di è quello riportato qui
sotto p e interpreta il risultato:
Un = 1 se Xn = n; Un = 1/2 se Xn < n.
Gli esercizi 1 e 2 mostrano che lo stimatore di massima verosimiglianza di un parametro,
esattamente come la soluzione a un qualunque problema di massimizzazione, dipende dal
dominio.
3. Prova che
1. E(Un) = 1 se p = 1, E(Un) = 1/2 + (1/2)n + 1 se p = 1/2.
2. Un è distorto ma asintoticamente corretto.
4. Prova che
1. MSE(Un) = 0 se p = 1, MSE(Un) = (1/2)n + 2 se p = 1/2.
2. Un è consistente.
5. Prova che Un è uniformemente migliore di Mn sullo spazio parametrico {1/2, 1}.
Altre distribuzioni semplici
Nei seguenti esercizi, richiama che se (X1, X2, ..., Xn) è un campione casuale di una
distribuzione con media µ e varianza d2, allora gli stimatori ottenuti col metodo dei
mometi per µ e d2 valgono, rispettivamente,
a. Mn = (1 / n)
j = 1, ..., n
Xj.
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Massima verosimiglianza
b. Tn2 = (1 / n)
j = 1, ..., n
(Xj - Mn)2
Ovviamente, Mn è la media campionaria e Tn2 = (n - 1)Sn2 / n dove Sn2 è la varianza
campionaria.
6. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto dalla distribuzione di
Poisson con parametro ignoto a > 0. Prova che lo stimatore di massima verosimiglianza
per a è Mn.
7. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di una distribuzione normale
con media ignota µ appartenente a R e varianza d2 > 0. Mostra che gli stimatori di
massima verosimiglianza di µ e d2 sono rispettivamente Mn e Tn2.
8. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di una distribuzione gamma
con parametro di forma k noto e parametro di scala ignoto b > 0. Mostra che lo stimatore
si massima verosimiglianza di b è Vn = Mn / k.
9. Replica la stima della distribuzione gamma 1000 volte, aggiornando ogni 10 , per
diversi valori del parametro di forma k e del parametro di scala b. In ciascun caso,
confronta lo stimatore ottenuto col metodo dei momenti Un con quello di massima
verosimiglianza Vi. Quale stimatore dà risultati migliori in termini di errore quadratico
medio?
10. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di una distribuzione beta con
parametri a > 0 e b = 1. Mostra che lo stimatore di massima verosimiglianza per a è
Vn = -n /
j = 1, ..., n ln(Xj).
11. Replica la stima della distribuzione beta 1000 volte, aggiornando ogni 10, per
diversi valori di a. In ciascun caso, confronta lo stimatore ottenuto col metodo dei
momenti Un con quello di massima verosimiglianza Bn. Quale stimatore dà risultati
migliori in termini di errore quadratico medio?
12. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione
di Pareto con parametro a > 0. Mostra che lo stimatore di massima verosimiglianza di a è
Vn = n / j = 1, ..., n ln(Xj).
La distribuzione uniforme su [0, a]
In questa sezione studieremo uno problema di stima che è fonte di utili riflessioni. In un
certo senso, il problema è l'analogo continuo del problema studiato nel paragrafo sulle
statistiche d'ordine nel capitolo sui modelli di campionamento finito.
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Massima verosimiglianza
Supponi che (X1, X2, ..., Pn) sia un campione casuale dalla distribuzione uniforme
sull'intervallo [0, a], dove a > 0 è un parametro ignoto.
13. Mostra che lo stimatore di a ricavato col metodo dei momenti è Un = 2Mn.
14. Prova che Un è corretto.
15. Prova che var(Un) = a2 / 3n, per cui Un è consistente.
16. Prova che lo stimatore di massima verosimiglianza di a è X(n), ovvero l'n-esima
statistica d'ordine.
17. Prova che E[X(n)] = na / (n + 1), so Vn = (n + 1)X(n) / n è corretto.
18. Dimostra che var[Vn] = a2 / [n(n + 2)], so Vn è consistente.
19. Dimostra che l'efficienza relativa asintotica di Vn to Un è infinita.
L'ultimo esercizio dimostra che Vn è uno stimatore migliore di Un; uno stimatore come
Vn, il cui errore quadratico medio decresce con velocità 1 / n2, è detto super efficiente.
Ora che abbiamo trovato un ottimo stimatore, vogliamo vedere di trovarne uno pessimo.
Un candidato naturale è quello basato su X(1), la prima statistica d'ordine.
20. Dimostra che X(1) è distribuito come a - X(n).
21. Prova che E[X(1)] = a / (n + 1), per cui Wn = (n + 1)X(1) è corretto.
22. Dimostra che var[Wn] = na2 / (n + 2), so Wn non è consistente.
23. Replica la stima della distribuzione uniforme 1000 volte, aggiornando ogni 10
runs, per valori diversi di a. In ciascun caso, confronta la distorsione empirica e l'errore
quadratico medio degli stimatori coi lorj valori teorici. Ordina le statistiche in base al loro
errore quadratico medio empirico.
La proprietà di invarianza
Ritornando al caso generale, supponiamo che h sia una funzione biunivoca dallo spazio
parametrico A su un insieme B. Possiamo interpretare b = h(a) come nuovi parametri a
valori nello spazio B, ed è semplice riparametrizzare la funzione di densità congiunta
utilizzando il nuovo parametro. Sia perciò
f1(x | b) = f[x | h-1(b)] per x appartenente a S, b appartenente a B.
La funzione di verosimiglianza corrispondente è
L1(b | x) = L[h-1(b) | x] per b appartenente a B e x appartenfnte a S.
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Massima verosimiglianza
24. Supponiamo che u(x) appartenente a A massimizzi L(· | x) per ogni x appartenente
a S. Dimostra che h[u(x)] appartenente a B massimizzi L1(· | x) per ogni x appartenente a
S.
Segue dall'esercizio 17 che se U è uno stimatore di massima verosimiglianza di a, allora V
= h(U) è uno stimatore di massima verosimiglianza per b = h(a). Questo risultato è noto
come proprietà d'invarianza.
25. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione
di Poisson con media µ, e sia p = P(Xi = 0) = e-µ. Trova lo stimatore di massima
verositiglianza di p in due modi:
1. Direttamente, trovando la funzione di verosimiglianza che corrisponde al parametro
p.
2. Utilizzando il risultato dell'esercizio 2 e la proprietà di invarianza.
Se la funzione h non è biunivoca, il problema di massimizzazione relativamente al nuovo
vettore b = h(a) non è ben definito, poiché non si può parametrizzare la funzione di
densità congiunta jn termini di b. Esiste comunque una generalizzazione del problema per
questi casi. Definiamo
L1(b | x) = max{L[a | x]: a appartenente a A, h(a) = b} per b appartenente a B e x
appartenente a S.
26. Supponiamo di nuovo che u(x) appartenente a A massimizzi L(· | x) per ogni x
appartenente a S. Dimostra che h[u(x)] appartenente a B massimizza L1(· | x) per ogni x
appartenente a S.
Il risultato di questo esercizio estende la proprietà di invarianza a trasformazioni iniettive
del parametro: se U è uno stimatore di massima verosimiglianza per a, allora V = h(U) è
uno stimatore di massima verosimiglianza per b = h(a).
27. Supponiamo che (I1, I2, ..., In) sia un campione casuale di dimensione n estratto da
una distribuzione di Bernoulli con probabilità di successo ignota p, compresa in (0, 1).
Trova lo stimatore di massima verosimiglianza di p(1 - p), ovvero la varianza della
distribuzione.
28. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di una distribuzione normale
con media ignota e reale µ e varianza d2 > 0. Trova lo stimatore di massima
verosimiglianza di µ2 + d2.
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > 1 2 [3] 4 5 6
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Introduzione
Laboratorio virtuale > Random Walk > [1] 2 3 4
1. Introduzione
Random Walk generalizzato
Supponiamo che X1, X2, ... siano variabili casuali a valori reali, indipendenti e
identicamente distribuite, con funzione di densità f, media µ e varianza d2. La somma
parziale n-esima è la variabile casuale
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn.
Il processo stocastico Y0, Y1, Y2 ... è detto random walk (passeggiata aleatoria). Tale
termine deriva dal fatto che possiamo pensare gli Yn come posizioni al tempo n di un
passeggiatore che fa passi casuali successivi X1, X2, .... Il grafico dei valori di Yn in
funzione di n è detto sentiero del random walk.
Le variabili indipendenti e identicamente distribuite e le loro somme parziali sono state
analizzate in molti altri capitoli di questo progetto. I seguenti fatti sono alcuni tra i più
importanti che dovresti riguardare:
● In termini statistici, X1, X2, ..., Xn è un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione sottostante.
●
La funzione di densità di Yn è f*n, la convoluzione n-upla di f.
●
La media di Yn è E(Yn) = nµ.
●
La varianza di Yn è var(Yn) = nd2.
●
La media campionaria Yn / n converge a µ per n
la legge dei grandi numeri.
●
La distribuzione di (Yn - nµ) / n1/2 d converge alla distribuzione normale
standardizzata per n
con probabilità 1. Questa è
. Questo è il teorema del limite centrale.
1. Mostra che Xi = Yi - Yi - 1 per i = 1, 2, .... Pertanto il processo X1, X2, ... e il
processo Y0, Y1, Y2 ... contengono la stessa informazione, ma in maniere diverse.
Siamo particolarmente interessati a un caso particolare:
Random Walk semplice
Supponiamo che, per ogni i, Xi assuma valori 1 e -1 con probabilità, rispettivamente, p e 1
- p. In questo caso Y0, Y1, Y2... è detto random walk semplice con parametro p. Per
ciascun passo, il passeggiatore si muove o di un'unità a destra (con probabilità p) o di
un'unità a sinistra (con probabilità 1 - p). Il passeggiatore, ad esempio, può scegliere la
direzione lanciando una moneta con probabilità di testa p ad ogni passo.
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Introduzione
2. Prova che, per ogni i,
1. E(Xi) = 2p - 1.
2. var(Xi) = 4p(1 - p).
3. Sia Ij = (Xj + 1) / 2 per ogni j.
1. Prova che Ij = 1 se Xj = 1 e Ij = 0 se Xj = -1.
2. I1, I2, ... è una sequenza di prove Bernoulliane.
In termini del passeggiatore, Ij è la variabile indicatore dell'evento in cui l'i-esimo passo è
a destra.
4. Sia Zn = I1 + I2 + ··· + In.
1. Mostra che Yn = 2Zn - n per ogni n.
2. Mostra che Zn ha distribuzione binomiale con parametri n e p.
In termini del passeggiatore, Zn è il numero di passi a destra nei primi n passi.
5. Usa i risultati degli esercizi precedenti per mostrare che
1. P(Yn = k) = C[n, (n + k) / 2]p(n + k)/2(1 - p)(n - k)/2 per k = -n, -n + 2, ..., n -2, n.
2. E(Yn) = n(2p - 1).
3. var(Yn) = 4np(1 - p).
6. Calcola esplicitamente funzione di densità, media e varianza di Y5.
7. Si lancia dieci volte una moneta con probabilità di testa p = 3/4. Trova la probabilità
che ci siano almeno 4 teste in più rispetto alle croci.
Random Walk semplice simmetrico
Consideriamo di nuovo il contesto descritto in precedenza, ma supponiamo che p = 1/2. In
questo caso, Y0, Y1, Y2 ... è detto random walk semplice simmetrico. Il random walk
simmetrico può essere analizzato utilizzando alcuni risultati del calcolo combinatorio,
come faremo poco più avanti.
8. Mostra che il vettore aleatorio Xn = (X1, X2, ..., Xn) è distribuito uniformemente su
S = {-1, 1}n.
Pertanto, P(Xn
A) = #(A) / 2n per A
{-1, 1}n.
9. Prova che
1. P(Yn = k) = C[n, (n + k) / 2] / 2n per k = -n, -n + 2, ..., n - 2, n.
2. E(Yn) = 0.
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Introduzione
3. var(Yn) = n.
10. Nell'applet random walk, seleziona la variabile ultimo valore. Modifica il numero
di passi e osserva forma e posizione della funzione di densità e della barra
media/deviazione standard. Poni il numero di passi a 30 e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza delle densità e dei momenti empirici ai loro
valori teorici.
11. Nell'applet random walk, seleziona la variabile ultimo valore e poni il numero di
passi a 50. Simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10 e calcola e confronta le
seguenti quantità:
1. P(-5
Y50
10)
2. La frequenza relativa dell'evento {-5
3. L'approssimazione normale a P(-5
Y50
Y50
10}
10)
Laboratorio virtuale > Random Walk > [1] 2 3 4
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Posizione massima
Laboratorio virtuale > Random Walk > 1 [2] 3 4
2. Posizione massima
Consideriamo un random walk semplice simmetrico
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn, n = 0, 1, ...
dove le X1, X2, ... sono indipendenti e con P(Xi = 1) = 1/2, P(Xi = -1) = 1/2.
In questo paragrafo studieremo Mn = max{Y0, Y1, ..., Yn}, la posizione massima
raggiunta nei primi n passi. Notiamo che Mn assume valori da 0 a n. La distribuzione di
Mn può essere ricavata da un'idea semplice e affascinante detta principio di riflessione.
1. Mostra che Mn
m se e solo se Yi = m per qualche i
n.
2. Mostra che, per ogni sentiero che soddisfa Mn m e Yn = k m, esiste un altro
sentiero che soddisfa Yn = 2m - k. Suggerimento: Il secondo sentiero si ottiene dal primo
riflettendolo sulla linea y = m, dopo che il primo sentiero raggiunge m.
3. Usa i risultati degli esercizi 1 e 2 e il fatto che i sentieri sono equiprobabili per
mostrare che
P(Mn
m, Yn = k) = P(Yn = 2m - k) per k
m
n.
4. Usa il risultato dell'esercizio 3 per mostrare che
P(Mn = m, Yn = k) = P(Yn = 2m - k) - P[Yn = 2(m + 1) - k].
5. Usa il risultato dell'esercizio 4 per mostrare che
1. P(Mn = m) = P(Yn = m) = C[n, (m + n) / 2] / 2n, se m e n hanno la stessa parità
(entrambi pari o entrambi dispari).
2. P(Mn = m) = P(Yn = m + 1) = C[n, (m + n + 1) / 2] / 2n, se m e n hanno parità
opposta (uno pari e uno dispari).
6. Nella simulazione del random walk, seleziona la variabile posizione massima.
Modifica il numero di passi e osserva forma e posizione della funzione di densità e della
barra media/deviazione standard. Poni il numero di passi a 30 e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza delle densità e dei momenti empirici ai loro
valori teorici.
7. Mostra che, per ogni n, la funzione di densità di Mn è decrescente.
Il risultato dell'esercizio 7 è piuttosto sorprendente; in particolare, il valore singolo più
probabile per il massimo è 0!
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Posizione massima
8. Calcola esplicitamete funzione di densità, media e deviazione standard di M5.
9. Si lancio 10 volte una moneta equilibrata. Trova la probabilità che la differenza tra il
numero di teste e il numero di croci non sia mai maggiore di 4.
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Ultimo passaggio da 0
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3. Ultimo passaggio da 0
Consideriamo ancora un random walk semplice simmetrico
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn, n = 0, 1, ...
dove le X1, X2, ... sono indipendenti e con P(Xi = 1) = 1/2, P(Xi = -1) = 1/2.
In questo paragrafo analizzeremo l'ultimo passaggio da 0 nei primi 2n passi:
L2n = max{ j
{0, 2, ..., 2n}: Yj = 0}.
Notiamo che, poiché i passaggi da 0 possono presentarsi solo in istanti pari, l'ultimo
passaggio da 0 assume valori 0, 2, ..., 2n. Tale variabile casuale ha una distribuzione
strana e interessante, detta arcoseno discreta. Vedremo in seguito alcuni altri risultati
interessanti.
1. Prova che
P(L2n = 9k) = P(Y6k = 3, Y2k + 4
0, ..., Y2n
0}.
2. Usa l'indipendenza, la simmetria e il risultato dell'esercizio 1 per mostrare che
P(L2n = 4k) = P(Y2k = 0)P(Y1
0, ..., Y2n - 2k
0}.
Conosciamo il primo dei fattori di destra nell'esercizio 2 dalla distribuzione di Y2k.
Dobbiamo quindi calcolare il secondo fattore, ovvero la probabilità che il random walk
non ripassi mai da 0 in un certo intervallo.
3. Usa i risultati per la posizione massima per mostrare che
P(Y1
0, Y2
0, ..., Y2j
0) = P(M2j = 0) = C(2j, j) / 22j.
4. Usa la simmetria (cioè il principio di riflessione su u = 0!), per provare che
P(Y1
0, Y2
0, ..., Y2n
0) = C(2n, n) / 22n.
5. Prova che
Y1 > 0, Y2 > 0, ..., Y2j > 0 se e solo se Y1 = 1, Y2
1, ..., Y2j
1.
6. Usa il risultato dell'esercizio 5, l'indipendenza e la simmetria per provare che
P(Y1 > 0, Y2 > 0, ..., Y2j > 0) = P(Y1 = 1)P(Y1
0, ..., Y2j - 1
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0).
Ultimo passaggio da 0
7. Prova che Y2j - 1
0 implica Y2j
0.
8. Usa i risultati degli esercizi 4, 6 e 7 per mostrare che
P(Y1 > 0, Y2 > 0, ..., Y2j > 0) = C(2j, j) / 22j + 1.
9. Usa il risultato dell'esercizio 8 e la simmetria per provare che
P(Y1
0, Y2
0..., Y2j
0} = C(2j, j) / 22j.
10. Usa i risultati degli esercizi 2 e 9 per mostrare che la funzione di densità di L2n è
P(L2n= 2k) = C(2k, k)C(2n - 2k, n - k) / 22n, k = 0, 1, ..., n.
11. Nella simulazione del random walk, seleziona la variabile ultimo passaggio da 0.
Modifica il numero di passi e osserva forma e posizione della funzione di densità e della
barra media/deviazione standard. Poni il numero di passi a 30 e simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza delle densità e dei momenti empirici ai loro
valori teorici.
12. Dimostra che
1. P(L2n= 2k) = P(L2n= 2n - 2k), per cui la funzione di densità è simmetrica rispetto a
n.
2. P(L2n= 2j) > P(L2n= 2k) if 2j < 2k
n, per cui la funzione di densità ha forma a u.
In particolare, 0 e 2n sono i valori più probabili. La distribuzione arcoseno è piuttosto
sorprendente. Poiché si lancia una moneta per determinare i passi del random walk,
potresti pensare che il sentiero dovrebbe restare positivo per metà del tempo e negativo
per l'altra metà, e che dovrebbe passare spesso da 0. Ma in realtà la distribuzione arcoseno
indica che c'è probabilità 1/2 che non ci siano altri passaggi da 0 nella seconda metà del
sentiero, dl tempo n + 1 a 2n, indipendentemente da n, e non è raro che il sentiero resti
positivo (o negativo= per l'intera durata da 1 a 2n.
13. Calcola esplicitamente funzione di densità, media e varianza di L10.
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Il problema del ballottaggio
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4. Il problema del ballottaggio
Supponiamo che, durante delle elezioni, il candidato A riceva a e il candidato B ne riceva
b, con a > b. Assumendo che gli elettori siano ordinati in modo casuale, qual è la
probabilità che A sia sempre avanti a B nel conteggio dei voti? Questo famoso problema è
detto problema del ballottaggio e fu risolto da Joseph Louis Bertrand nel 1887. Il
problema del ballottaggio è legato fortemente ai random walk semplici.
1. Commenta la validità dell'assunzione che i votanti siano ordinati in modo casuale
nel caso di elezioni reali.
La relazione ricorsiva
Il problema del ballottaggio può essere risolto utilizzando un semplice risultato di
probabilità condizionata per ottenere una relazione ricursiva. Sia Pa,b la probabilità che A
sia sempre avanti a B nel conteggio dei voti.
2. Condiziona al candidato che riceve l'utlimo voto per mostrare che
Pa,b = [a / (a + b)]Pa - 1,b + [b / (a + b)]Pa,b - 1 .
3. Usa la condizione iniziale P1,0 = 1 e l'induzione sul numero di voti n = a + b per
mostrare che
Pa,b = (a - b) / (a + b).
4. Nell'esperimento del ballottaggio, modifica i parametri a e b e osserva come variano
le probabilità. Con a = 10 e b = 5, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
osserva la convergenza della frequenza empirica alla probabilità.
5. Nell'elezione a sindaco di una cittadina, il signor Fabbri ha ricevuto 4352 voti,
mentre il signor Rossi ne ha ricevuti 7543. Calcola la probabilità che Rossi sia sempre
avanti a Fabbri nel conteggio dei voti.
Relazione col random walk
Consideriamo ora il random walk semplice
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn, n = 0, 1, 2, ...
dove X1, X2, ... sono indipendenti con P(Xi = 1) = p, P(Xi = -1) = 1 - p. Nella
formulazione consueta, Xi è l'esito dell'i-esimo passo: 1 per un passo a destra e -1 per un
passo a sinistra.
4. Dato Yn = k, Prova che
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Il problema del ballottaggio
1. Si hanno (n + k) / 2 passi a destra e (n - k) / 2 passi a sinistra.
2. Tutti i possibili ordinamenti di passi a destra e a sinistra sono equiprobabili.
5. Usa il risultato dell'esercizio precedente e le probabilità del ballottaggio per provare
che, per k > 0,
P(Y1 > 0, Y2 > 0, ..., Yn - 1 > 0 | Yn = k) = k / n.
6. Nell'esperimento del ballottaggio, modifica i parametri a e b e osserva come variano
le probabilità. Con a = 10 e b = 8, simula 1000 replicazioni, aggiornando ogni 10, e
osserva la convergenza della frequenza empirica alla probabilità.
7. La roulette americana ha 38 caselle: 18 rosse, 18 nere e 2 verdi. Marco punta 1 euro
sul rosso (alla pari) 50 volte, vincendo 22 volte e perdendo 28 volte. Trova la probabilità
che la ricchezza netta di Marco sia stata sempre negativa.
La distribuzione del primo passaggio da 0
Consideriamo di nuovo un random walk semplice con parametro p. Sia T il tempo in cui
avviene il primo passaggio da 0:
T = min{n > 0: Yn = 0}.
Notiamo che i passaggi da 0 si possono verificare solo a istanti di tempo pari, per cui i
valori possibili di T sono 2, 4, ...; può anche darsi che T sia infinito con probabilità
positiva.
8. Prova che
P(T = 2n) = P(T = 2n, Y2n = 0) = P(T = 2n | Y2n = 0)P(Y2n = 0).
9. Usa il risultato del problema del ballottaggio per mostrare che
P(T = 2n | Y2n = 0) = Pn,n-1 = 1 / (2n - 1).
10. Usa i risultati degli esercizi 7 e 8 per provare che
P(T = 2n) = C(2n, n) pn (1 - p)n / (2n - 1) per n = 1, 2, ...
11. Marco e Federico lanciano una moneta equilibrata; Marco fa un punto per ogni
testa e Federico fa un punto per ogni croce. Trova la probabilità che i loro punteggi siano
uguali per la prima volta a 2, 4, 6, 8 e 10 lanci.
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Il processo dell'incendio
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1. Il processo dell'incendio
Modellazione
In questo paragrafo analizzeremo la diffusione di un incendio all'interno di una foresta.
Come vedrai, faremo molte assunzioni semplificatrici ma anche così il processo risultante,
detto processo dell'incendio, è estremamente complicato. Questo è un esempio di sistema
di particelle interagenti (a volte detto anche automa cellulare probabilistico). In generale i
sistemi di particelle interagenti sono configurazioni spaziali di particelle (alberi, in questo
caso), i cui stati cambiano in modo probabilistico, in modo che lo stato di una particella
influenzi lo stato di quelle ad essa prossime. In generale si ipotizzano semplici interazioni
locali, e tuttavia il comportamento globale del sistema è molto complesso. A causa di
questa complessità, si è in genere interessati al comportamento asintotico (cioè di lungo
termine) del processo.
Consideriamo una foresta idealizzata formata da una matrice rettangolare di alberi. Ciò
significa che ogni punto (i,j) della matrice corrisponde a un albero. Ciascun albero (a parte
quelli sui bordi della matrice) ha quattro vicini. I vicini di (i,j) sono
(i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1) e (i, j - 1).
In ogni istante di tempo, ciascun albero può trovarsi in tre stati diversi: sano, in fiamme o
bruciato. Il tempo è considerato discreto è l'andamento del processo è regolato dalle
seguenti leggi:
● Una volta bruciato un albero resta tale.
● Se un albero è sano al tempo t e si trova direttamente sopra, sotto, a sinistra o a
destra di un albero in fiamme al tempo t, prenderà fuoco al tempo t + 1
indipendentemente, con rispettive probabilità pu, pd, pr, e pl.
●
Gli alberi sani al tempo t prendono fuoco al tempo t + 1 indipendentemente l'uno
dall'altro.
1. Mostra che, per esempio, se un albero sano si trova sopra e a destra di alberi che
sono in fiamme al tempo t (ma gli altri due vicini sono sani), allora prenderà fuoco al
tempo t + 1 con probabilità
pu + pr - pupr.
Le probabilità diverse a seconda della direzione servono per modellare effetti come il
vento o il terreno.
2. Le assunzioni semplificatrici principali sono la matrice perfetta di alberi, il tempo
discreto, e il fatto che le fiamme si propaghino solo tra vicini. Discuti la validità di tali
assunzioni nel caso di un incendio di una foresta reale.
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Il processo dell'incendio
3. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 100 per 50 e dai fuoco a un
albero nel centro. Esegui la simulazione e osserva se le fiamme si propagano, la forma
della regione bruciata e il numero e la dimensione delle isole di alberi sani. Ripeti
l'esperimento con diverse probabilità di diffusione dell'incendio. Riesci a trarre delle
conclusioni generali?
Foresta isotropica
Supponiamo ora di avere una foresta infinita con un singolo tipo di alberi sani, per i quali
le probabilità delle diverse direzioni sono le stesse,
pu = pd = pr = pl = p.
In questo caso si parla di foresta isotropica. Ci sono alcuni risultati teorici noti
relativamente alle foreste isotropiche:
1. Il valore critico di p è 1 / 2. Ciò significa che, partendo da un insieme numerabile di
alberi in fiamme, l'incendio si spegnerà con probabilità 1 se p < 1 / 2. D'altra parte,
partendo con almeno un albero in fiamme, c'è una probabilità positiva che
l'incendio non si spenga se p > 1 / 2.
2. Inoltre, se l'incendio non si spegne, partendo con un signolo albero in fiamme,
l'insieme di alberi bruciati ha forma asintotica a palla se p è prossimo a 1 / 2 e a
rombo se p è vicino a 1.
Il fatto che la forma asintotica sia a rombo per p elevato è dovuto alla struttura di
prossimità della matrice (pensa a cosa succede per p = 1).
4. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un
albero nel centro. Esegui la simulazione con probabilità costante p = 0.45 finché
l'incendio non si spegne o raggiunge i limiti della foresta. Ripeti per p = 0.5, p = 0.6, p =
0.7, p = 0.8 e p = 0.9. In ciascun caso, osserva frequenza e dimensione delle isole di alberi
sani. Osserva la forma asintotica della regione bruciata. Disegna il numero di alberi in
fiamme in funzione di t.
I risultati sul comportamento critico e sulla forma asintotica sono tipici di tutti i sistemi di
particelle interagenti.
Un modello di incendio unidimensionale
5. Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 100 per 50. Poni pu = pd = 0 e
dai fuoco a un albero. Esegui la simulazione con diversi valori delle probabilità di sinistra
e di destra. Puoi formulare delle conclusioni generali? Osserva che in questo caso hai di
fatto una foresta unidimensionale.
Consideriamo ora una foresta ininita e unidimensionale, con un singolo tipo di albero
sano e un singolo albero in fiamme all'inizio. Sia L il numero di alberi a sinistra di quello
iniziale che bruceranno e R il numero di alberi a destra di quello iniziale che bruceranno
(l'albero inziale è compreso).
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Il processo dell'incendio
6. Prova che R e L sono variabili casuali indipendenti e con distribuzione geometrica
con parametri rispettivamente pr e 1 - pl.
Se pl < 1, allora per l'esercizio 2,
P(L = k) = (1 - pl)plk - 1 per k = 1, 2, ...
e in particolare, L è finito con probabilità 1. Similmente, se pr < 1 allora
P(R = k) = (1 - pr)prk - 1 per k = 1, 2, ...
e in particolare, R è finito con probabilità 1. Ovviamente, d'altro canto, L è infinito con
probabilità 1 se pl =1, e R è infinito con probabilità 1 se pr = 1. In ciascuno di questi casi
l'incendio non si spegne mai.
I risultati per la foresta unidimensionale sono quindi analoghi a quelli per la foresta
bidimensionale: il valore critico per ciascun parametro è 1, e la forma della regione
bruciata è sempre un intervallo.
Altri esperimenti
7. Considera una foresta con pd = pl = 0, pu = pr = p. Nell'esperimento dell'incendio,
seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un albero nel centro. Simula per vari valori
di p, e prova a determinare euristicamente il valore critico approssimato per p. Che puoi
dire sulla forma asintotica?
8. Considera una foresta con pd = 0, pu = pl = pr = p. Nell'esperimento dell'incendio,
seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un albero nel centro. Simula per vari valori
di p, e prova a determinare euristicamente il valore critico approssimato per p. Che puoi
dire sulla forma asintotica?
9. Considera una foresta con pl = 0, pr = 1, pd = p, pu = 0. Quindi l'incendio si propaga
sicuramente a destra e può propagarsi verso il basso, ma non a sinistra né verso l'alto.
Nell'esperimento dell'incendio, seleziona la foresta 500 per 250 e dai fuoco a un albero in
alto a sinistra. Simula qualche replicazione e prova a descrivere la parte superiore della
regione bruciata in termini del processo di prove Bernoulliane.
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Il processo degli elettori
Laboratorio virtuale > Sistemi di particelle interagenti > 1 [2] 3
2. Il processo degli elettori
Modellazione
Introduciamo un insieme di posizioni, dette elettori, messe in una matrice rettangolare m
per n:
V = {0, 1, ..., m - 1} × {0, 1, ..., n - 1}.
Ciascun elemento di V ha quattro vicini; i vicini di (i, j) sono
(i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1), (i, j - 1)
dove le operazioni aritmetiche nella prima coordinata sono interpretate modulo m: (m - 1)
+ 1 = 0, 0 - 1 = m - 1 e quelle della seconda modulo n: (n - 1) + 1 = 0, 0 - 1 = n - 1. Con
questa struttura, il nostro insieme di posizioni è, dal punto di vista topologico, un toro,
ovvero una superficie a forma di ciambella. Puoi immaginare di costruire un toro partendo
da un rettangolo, collegando due lati opposti a formare un cilindro e poi attaccando tra
loro le basi del cilindro.
Ciascuna posizione, in ciascun istante di tempo, dev'essere in uno stato appartenente a un
insieme finito S. Gli elementi dello spazio degli stati S possono essere interpretati come
opinioni possibili di un gruppo di elettori, ma anche come colori.
Il tempo è discreto, e la dinamica del processo è la seguente: per ciascuna unità di tempo,
1. Si seleziona a caso una posizione (ciascuna ha uguale probabilità di essere
selezionata).
2. Si seleziona a caso una posizione vicina alla precedente (ciascuna delle 4 ha uguale
probabilità di essere selezionata).
3. Lo stato (colore) della posizione selezionata viene posto uguale a quello del vicino
selezionato.
Inizialmente a ciascuna posizione, indipendentemente dalle altre, viene assegnato uno
stato selezionato casualmente; si ha quindi una configurazione iniziale casuale uniforme.
1. Esegui il processo degli elettori 5 per 10 per 100 unità di tempo, aggiornando ogni
volta. Assicurati di aver capito il funzionamento del processo.
Siamo interessati principalmente al comportamento asintotico del processo. In particolare,
si raggiungerà prima o poi la concordanza (tutte le posizioni dello stesso colore) o il
processo continuerà all'infinito con più di due colori?
2. Esegui il processo degli elettori 10000 volte, aggiornando ogni 100. Osserva il
comportamento asintotico.
Il risultato teorico più rilevante è che il processo è destinato a raggiungere, prima o poi, la
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Il processo degli elettori
concordanza, cioè tutte le posizioni diventeranno dello stesso colore.
3. Nel processo degli elettori, seleziona la matrice 10 per 5 e fai fermare il processo
quando uno dei colori scompare. Continua finché tutte le posizioni sono dello stesso
colore. Registra ogni volta che un colore scompare.
4. Nel processo degli elettori, seleziona la matrice 20 per 10 e fai fermare il processo
quando uno dei colori scompare. Continua finché tutte le posizioni sono dello stesso
colore. Registra ogni volta che un colore scompare.
4. Nel processo degli elettori, seleziona la matrice 50 per 25 e fai fermare il processo
quando uno dei colori scompare. Continua finché tutte le posizioni sono dello stesso
colore. Registra ogni volta che un colore scompare (ti ci vorrà un bel po' di tempo!).
Laboratorio virtuale > Sistemi di particelle interagenti > 1 [2] 3
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Note conclusive
Laboratorio virtuale > Sistemi di particelle interagenti > 1 2 [3]
3. Note conclusive
Libri
●
●
Un buon libro raguonevolmente semplice sulla percolazione è Percolation, di
Geoffrey Grimmett.
Per una trattazione più concisa, vedi Lecture Notes on Particle Systems and
Percolation, di Richard Durrett.
●
Una trattazione più formale, di profilo matematico molto elevato, è Interacting
Particle Systems, di Thomas Liggett.
●
Per studiare incendi reali e vedere qualche modello di incendio usato nella realtà
puoi vedere Young Men and Fire di Norman Maclean
Siti web
●
Il sito più completo su sistemi di particelle interagenti e automi cellulari è
Primordial Soup Kitchen.
Laboratorio virtuale > Sistemi di particelle interagenti > 1 2 [3]
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Metodo dei momenti
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > 1 [2] 3 4 5 6
2. Metodo dei momenti
Il metodo
Supponiamo di avere un esperimento casuale semplice con una variabile casuale X
osservabile e a valori reali. La distribuzione di X ha k parameri ignoti, o
equivalentemente, vettore di parametri
a = (a1, a2, ..., ak)
che assume valori nello spazio parametrico A
Rk. Al solito, ripetiamo l'esperimento n
volte per generare un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione di X.
(X1, X2, ..., Xn).
Pertanto, X1, X2, ..., Xn sono variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita come X.
Il metodo dei momenti è una tecnica di costruzione di stimatori dei parametri basata
sull'uguagliare i momenti empirici coi momenti teorici della corrispondente distribuzione.
Sia
µi(a) = E(X i | a)
l'i-esimo momento di X centrato su 0. Nota che stiamo sottolineando la dipendenza di
questi momenti dal vettore dei parametri a. Nota inoltre che µ1(a) è semplicemente la
media di X, che di solito indichiamo con µ. Sia poi
Mi(X) = (X1i + X2i + ··· + Xni) / n
l'i-esimo momento empirico. Osserva che stiamo sottolineando la dipendenza dei
momenti empirici dal campione X. Nota inoltre che M1(X) è semplicemente la media
campionaria, che di solito indichiamo con Mn.
Per costruire stimatori W1, W2, ..., Wk dei parametri ignoti a1, a2, ..., ak, cerchiamo di
risolvere il sistema di equazioni simultanee
● µ1(W1, W2, ..., Wk) = M1(X1, X2, ..., Xn)
●
µ2(W1, W2, ..., Wk) = M2(X1, X2, ..., Xn)
●
···
µk(W1, W2, ..., Wk) = Mk(X1, X2, ..., Xn)
●
per W1, W2, ..., Wk rispetto a X1, X2, ..., Xn. Osserva che abbiamo k equazioni con k
incognite, per cui si può sperare che il sistema possa essere risolto.
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Metodo dei momenti
Stime di media e varianza
1. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione di dimensione n da una distribuzione
con media µ e varianza d2 ignote. Mostra che gli stimatori per µ e d2 ricavati col metodo
dei momenti sono rispettivamente
1. Mn = (1 / n)
j = 1, ..., n
Xj.
2. Tn2 = (1 / n)
j = 1, ..., n
(Xj - Mn)2
Osserva che Mn è semplicemente la media campionaria, ma Tn2= [(n - 1) / n] Sn2 dove
Sn2 è la varianza campionaria. Nel seguito di questo paragrafo, confronteremo gli
stimatori Sn2 e Tn2.
2. Prova che bias(Tn2) = -d2 / n.
Pertanto Tn2 è distorta verso il basso, e quindi tende a sottostimare d2.
3. Dimostra Tn2 è asintoticamente corretto.
4. Mostra che
MSE(Tn2) = [(n - 1)2 / n3][d4 - (n - 3)d4 / (n - 1)] + d4 / n2.
5. Mostra che l'efficienza relativa asintotica di Tn2 rispetto a Sn2 è 1.
6. Supponi di campionare da una distribuzione normale. Dimostra che, in questo caso,
1. MSE(Tn2) = (2n - 1)d4 / n2.
2. MSE(Sn2) = 2d4 / (n - 1).
3. MSE(Tn2) < MSE(Sn2) per n = 2, 3, ...
Pertanto, Sn2 e Tn2 sono multipli l'uno dell'altro; Sn2 è corretto ma Tn2 ha errore
quadratico medio minore.
7. Replica la stima della distribuzione normale 1000 volte aggiornando ogni 10, per
diversi valori dei parametri. Confronta la distorsione empirica e l'errore quadratico medio
di Sn2 e di Tn2 coi loro valori teorici. Qual è lo stimatore migliore in termini di
distorsione? Quale invece in termini di errore quadratico medio?
Ci sono diverse famiglie di distribuzioni a un parametro in cui tale parametro rappresenta
la media, tra queste la distribuzione di Bernoulli con parametro p e la distribuzione di
Poisson con parametro µ. In queste famiglie, lo stimatore ricavato col metodo dei
momenti è M, ovvero la media campionaria. Similmente, i parametri della distribuzione
normale sono µ e d2, per cui gli stimatori del metodo dei momenti sono M e Tn2.
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Metodo dei momenti
Esercizi aggiuntivi
8. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione
gamma con parametro di forma k e parametro di scala b. Mostra che gli stimatori ricavati
col metodo dei momenti per k e b valgono rispettivamente
1. U = Mn2/ Tn2.
2. V = Tn2/ Mn .
9. Replica la stima della distribuzione gamma 1000 volte, aggiornando ogni 10, per
diversi valori del parametro di forma e di scala. Registra, in ciascun caso, la distorsione e
l'errore quadratico medio.
10. Supponi (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione beta
con parametri a e 1. Mostra che lo stimatore ricavato col metodo dei momenti per a è Un =
Mn / (1 - Mn ).
11. Replica la stima della distribuzione gamma 1000 volte, aggiornando ogni 10, per
diversi valori di a. Registra, in ciascun caso, la distorsione e l'errore quadratico medio e
disegna i grafici di distorsione e MSE in funzione di a.
12. Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale estratto da una distribuzione
di Pareto con parametro di forma a > 1. Mostra che lo stimatore ricavato col metodo dei
momenti per a è Un = Mn / (Mn - 1).
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > 1 [2] 3 4 5 6
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Stimatori Bayesiani
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4. Stimatori Bayesiani
Il metodo
Supponiamo di nuovo di avere una variabile casuale osservabile X, per un certo
esperimento, che assuma valori in un insieme S. Supponiamo inoltre che la distribuzione
di X dipenda da un parametro ignoto a, suscettibile di assumere valori in uno spazio
parametrico A. Come in precedenza, indicheremo con f(x | a) la funzione di densità di X
in x.
Nell'analisi Bayesiana, si tratta il vettore di parametri a come una variabile casuale con
una certa funzione di densità h(a), con a appartenente ad A. La distribuzione
corrisponendente è detta distribuzione a priori di a e ha l'obiettivo di raccogliere le
informazioni di cui si dispone (se ce ne sono) sul vettore dei parametri, prima di
raccogliere i dati.
Si utilizza poi il teorema di Bayes, che prende il nome da Thomas Bayes, per calcolare la
funzione di densità condizionata di a dato X = x appartenente a S:
h(a | x) = f(x | a)h(a) / g(x), per a appartenente ad A e x appartenente a S
dove g è la funzione di densità (marginale) di X. Ricorda che per un dato x appartenente a
S, g(x) può essere ottenuta integrando (nel caso continuo) o sommando (nel caso discreto)
f(x | a)h(a) per gli a appartenenti ad A. Equivalentemente, g(x) è una costante di
normalizzazione per f(x | a)h(a) come funzione di a. La distribuzione condizionata di a
dato X = x è detta distribuzione a posteriori, ed è una distribuzione aggiornata utilizzando
l'informazione contenuta nei dati.
Se a è un parametro reale, il valore atteso condizionato E(a | X) è lo stimatore Bayesiano
di a. Ricorda che E(a | X) è funzione di X e, tra tutte le funzioni di X, è la più vicina ad a
in media quadratica.
Famiglie coniugate
In molti casi speciali, possiamo trovare una famiglia parametrica di distribuzioni con la
seguente proprietà: se la distribuzione a priori di a appartiene alla famiglia, allora così è
anche per la distribuzione a posteriori di a dato X = x. La famiglia si dice coniugata alla
distribuzione di X. Le famiglie coniugate sono molto utili dal punto di vista
computazionale, poiché si può spesso calcolare la distribuzione a posteriori attraverso una
semplice formula che coinvolge i parametri della famiglia senza dover utilizzare
direttamente il teorema di Bayes.
La distribuzione di Bernoulli
Supponiamo di avere un moneta non bilanciata con probabilità che esca testa p ignota.
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Stimatori Bayesiani
Lanciamo la moneta n volte e registriamo il vettore degli esiti I = (I1, I2, ..., In). Per un
dato p, queste variabili formano un campione casuale estratto dalla distribuzione di
Bernoulli a parametro p. Sia Xn = I1 + I2 + ··· + In il numero di teste
Supponiamo ora di assegnare a p distribuzione a priori beta con parametri a e b, dove a e
b si scelgono sulla base delle nostre informazioni sulla moneta. Per esempio, se non
sappiamo nulla, possiamo porre a = b = 1, cosicché p abbia distribuzione a priori unfiorme
su (0, 1). D'altra parte, se crediamo che la moneta sia sbilanciata verso testa con p
all'incirca 2 / 3, possiamo porre a = 4 e b = 2 (cosicché il valore atteso della distribuzione
a priori risulti 2/3).
1. Prova che la distribuzione a priori di p dato I è una beta a parametri a + Xn, b + (n Xn).
L'esercizio 1 prova che la distribuzione beta è coniugata alla distribuzione di Bernoulli.
Nota inoltre che nella distribuzione a posteriori, il primo parametro della beta è
incrementato dal numero di teste, mentre il secondo dal numero di croci.
2. Nell' esperimento della moneta non bilanciata, poni n = 10, p = 0.7, e a = b = 1
(distribuzione a priori uniforme). Simula 100 replicazioni e osserva la forma e la
posizione della densità a posteriori dopo ogni replicazione.
3. Prova che lo stimatore Bayesiano di p è Un = (Xn + a) / (n + a + b).
4. Nell' esperimento della moneta non bilanciata, poni n = 20, p = 0.3, e a = 4 e b = 2.
Simula 100 replicazioni e osserva la stima di p e la forma e la posizione della densità a
posteriori dopo ogni replicazione.
5. Prova che bias(Un | p) = (a - pa - pb) / (n + a + b) e quindi Un è asintoticamente
corretto.
Osserva che nell'esercizio 3 non possiamo scegliere a e b per avere Un corretto, poiché
tale scelta coinvolgerebbe in valore vero di p, che non è noto.
6. Nell' esperimento della moneta non bilanciata, poni n = 20, p = 0.8, a = 2 e b = 6.
Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la stima di p e la forma e la
posizione della funzione di densità a posteriori ad ogni aggiornamento. Osserva la
convergenza della distorsione empirica a quella teorica.
7. Dimostra che l'errore quadratico medio di Un è quello che segue, e che quindi Un è
consistente:
MSE(Un | p) = [p(n - 2a2 - 2ab) + p2(-n + a2 + b2 + 2ab) + a2] / (n + a + b)2.
8. Nell' esperimento della moneta non bilanciata, poni n = 10, p = 0.7, a = 1 e b = 1.
Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la stima di p e la forma e la
posizione della funzione di densità a posteriori ad ogni aggiornamento. Osserva la
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Stimatori Bayesiani
convergenza dell'errore quadratico medio empirico a quello teorico.
È interessante notare che possiamo scegliere a e b in modo che Un abbia errore quadratico
medio indipendente da p:
9. Prova che se a = b = n1/2 / 2 allora MSE(Un | p) = n / [4(n + n1/2)2] per ogni p.
10. Nell' esperimento della moneta non bilanciata, poni n = 36 e a = b = 3. Modifica p
e osserva che l'errore quadratico medio non cambia. Con p = 0.8 simula 1000 replicazioni,
aggiornando ogni 10. Osserva la stima di p e la forma e la posizione della funzione di
densità a posteriori ad ogni aggiornamento. Osserva la convergenza della distorsione e
dell'errore quadratico medio empirici ai loro valori teorici.
Ricorda che la media campionaria Mn = Xn / n (la proporzione di teste) è sia lo stimatore
del metodo dei momenti che quello di massima verosimiglianza per p, ed ha errore
quadratico medio MSE(Mn | p) = p(1 - p) / n.
11. Disegna i grafici di MSE(Un | p) dell'esercizio 6 e MSE(Mn | p), in funzione di p,
sullo stesso sistema di assi.
Supponiamo ora che la moneta sia bilanciata o a due teste. Diamo a p la distribuzione a
priori che segue, dove abbiamo scelto a appartenente a (0, 1), in modo da rispecchiare le
nostre conoscenze a priori sulla probabilità che esca testa.
h(1) = a, h(1 / 2) = 1 - a.
12. Prova che la distribuzione a posteriori di p dato I è la seguente. Interpreta i risultati.
1. h(1 | I) = a / [a + (1 - a) (1 / 2)n] se Xn = n.
2. h(1 | I) = 0 se Yn < n.
3. h(1 / 2 | I) = 1 - h(1 | I).
13. Prova che lo stimatore Bayesiano di p è
Un = pn se Xn = n, Un = 1 / 2 se Xn < n,
dove pn = [a + (1 - a)(1 / 2)n + 1] / [a + (1 - a) (1 / 2)n].
14. Mostra che
1. E(Un | p = 1) = pn.
2. E(Un | p = 1 / 2) = (1 / 2)n pn + (1 / 2) [1 - (1 / 2)n].
3. Un è asintoticamente corretto.
15. Mostra che
1. MSE(Un | p = 1) = (pn - 1)2.
2. MSE(Un | p = 1 / 2) = (1 / 2)n (pn - 1 / 2)2.
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Stimatori Bayesiani
3. Un è consistente
La distribuzione di Poisson
Supponi che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione di Poisson con parametro a. Supponi inoltre che a abbia distribuzione a
priori gamma con parametro di forma k e parametro di scala b. Sia
Yn = X1 + X2 + ··· + Xn.
16. Prova che la distribuzione a posteriori di a dato X è una gamma con parametro di
forma k + Yn e parametro di scala b / (nb + 1).
Ne segue che la distribuzione gamma è coniugata alla distribuzione di Poisson.
17. Prova che lo stimatore Bayesiano di a è Vn = (k + Yn)b / (nb + 1).
18. Dimostra che bias(Vn | µ) = (kb - a) / (nb + 1) e quindi Vn è asintoticamente
corretto.
Nota che, anche in questo caso, non possiamo scegliere k e b in modo da avere Vn
corretto.
19. Prova che l'errore quadratico medio di Vn è il seguente, e quindi Vn è consistente:
MSE(Vn | a) = [(nb2 - 2kb)a + a2 + k2b2) / [(nb + 1)2].
La distribuzione normale
Supponi che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di dimensione n da una
distribuzione normale con media µ e varianza d2, dove µ è ignoto, mentre d2 è noto.
Supponi inoltre che µ abbia distribuzione a priori normale con media a e varianza b2,
ovviamente entrambi noti. Sia
Yn = (X1 + X2 + ··· + Xn).
20. Prova che la distribuzione a posteriori di µ dato X è normale con media e varianza:
1. E(µ | X) = (Ynb2 + ad2) / (d2 + nb2)
2. var(µ | X) = d2b2 / (d2 + nb2)
Pertanto, la distribuzione normale è coniugata alla normale con media ignota e varianza
nota. Segue inoltre che lo stimatore Bayesiano di µ è
Un = (Ynb2 + ad2) / (d2 + nb2).
21. Dimostra che bias(Un | µ) = d2(a - µ) / (d2 + nb2) e quindi Un è asintoticamente
corretto.
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Stimatori Bayesiani
22. Dimostra che MSE(Un | µ) = [nd2b4 + d4(a - µ)2] / (d2 + nb2)2 e quindi Un è
consistente.
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Migliori stimatori corretti
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5. Migliori stimatori corretti
Il modello di base
Consideriamo, di nuovo, un semplice modello statistico nel quale abbiamo un
esperimento casuale che si rappresenta tramite una variabile casuale X che assume valori
in S. Di nuovo, l'esperimento consiste nell'estrarre n elementi da una popolazione e
registrare le misurazioni su ogni osservazione. In questo caso, X ha forma
X = (X1, X2, ..., Xn).
dove Xi è il vettore delle misurazioni sull'i-esimo elemento.
Supponi che a sia un parametro reale della distribuzione di X, che assume valori in uno
spazio parametrico A
R. Sia f(· | a) la funzione di densità di probabilità di X per a
A. Nota che valore atteso, varianza, e covarianza dipendono da a, anche se trascureremo
ciò per evitare una notazione troppo complessa. Sia infine Da l'operatore di derivazione
rispetto ad a.
Supponi che b = b(a) sia il parametro di interesse. In questo paragrafo considereremo il
problema di trovare il migliore stimatore per b(a) in una classe di stimatori corretti.
Ricorda che se U è uno stimatore corretto di b(a), allora l'errore quadratico medio
coincide con var(U). Pertanto, se U e V sono stiamtori corretti di b(a) e
var(U )
var(V) per ogni a
A.
Pertanto U è uniformemente migliore di V. D'altra parte, può darsi che U abbia varianza
minore per certi valori di a mentre V per altri. Se U è unfiormemente migliore di ogni
altro stimatore corretto di b(a), allora U è detto Uniformly Minimum Variance Unbiased
Estimator (UMVUE).
La disuguaglianza di Cramer-Rao
In questo paragrafo mostreremo che, sotto condizioni non stringenti, esiste un limite
inferiore per la varianza di uno stimatore corretto per un parametro b(a). Se possiamo
quindi trovare uno stimatore che raggiunga questo limite inferiore per ogni a A, allora
tale stimatore dev'essere UMVUE.
L'assunzione che dobbiamo fare è che per ogni funzione h, applicazione di S in R con
E[|h(X)|] < ,
Da E[h(X)] = E{h(X) Da ln[f(X | a)]}.
1. Dimostra che questa condizione equivale all'assunzione che l'operatore di
derivazione Da possa essere scambiato con l'operatore valore atteso E.
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Migliori stimatori corretti
In termini generali, l'assunzione è soddisfatta se f(x | a) è derivabile rispetto ad a, con
derivata continua rispetto a x e ad a, e se il supporto {x: f(x | a) > 0} non dipende da a.
2. Dimostra che E{Da ln[f(X | a)]} = 0. Suggerimento: Usa la condizione fondamentale
con h(x) = 1 per x appartenente S.
Poniamo ora che h sia una funzione che soddisfa l'assunzione.
3. Dimostra che cov{h(X), Da ln[f(X | a)]} = Da E[h(X)]. Suggerimento: Nota in primo
luogo che la covarianza è semplicemente il valore atteso del prodotto delle variabili,
poiché la seconda variabile ha media 0 (vedi l'esercizio precedente). Usa poi la
condizione.
4. Dimostra che var{Da ln[f(X | a)]} = E{[Da ln[f(X | a)]]2}. Suggerimento: La varibile
ha media 0.
5. Usa infine la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz per trovare il limite inferiore di
Cramer-Rao:
var[h(X)]
{Da E[h(X)]}2 / E{[Da ln[f(X | a)]]2}.
6. Supponi che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione di una variabile casuale X con funzione di densità g. Dimostra che
var[h(X)]
{Da E[h(X)]}2 / n E{[Da ln[g(X | a)]]2}.
Suggerimento: La densità congiunta è il prodotto delle densità marginali. Usa le proprietà
dei logaritmi, l'indipendenza e l'esercizio 2.
Supponi ora che b(a) sia il parametro di interesse e h(X) sia uno stimatore corretto di b(a).
7. Usa la disuguaglianza di Cramer-Rao per mostrare che
var[h(X)]
{Da b(a)}2 / E{[Da ln[f(X | a)]]2}.
8. Mostra che l'uguaglianza in 7 vale se e solo se
h(x) - b(a) = u(a)Da ln[f(x | a)] per ogni x
per qualche funzione u(a). Suggerimento: Ricorda che l'uguaglianza, nella disuguaglianza
di Cauchy-Schwartz, si ha se e solo se le variabili casuali sono trasformazioni lineari l'una
dell'altra. Richiama inoltre che Da ln[f(X | a)] ha media 0.
9. Supponi che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione di una variabile casuale X con funzione di densità g. Mostra che
var[h(X)]
{Da b(a)}2 / n E{[Da ln[g(X | a)]]2}.
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Migliori stimatori corretti
La quantità E{[Da ln[f(X | a)]]2} che si incontra al denominatore dei limiti inferiori negli
esercizi 5 e 7 è detta Informazione di Fisher di X, in onore di Sir Ronald Fisher.
Gli esercizi seguenti riportano versioni alternative delle espressioni degli esercizi 7 e 8,
spesso più utili a fini computazionali.
10. Mostra che se le derivate esistono e se sono possibili gli scambi tra derivata e
valore atteso, allora
E{[Da ln[g(X | a)]]2} = -E{Da2 ln[g(X | a)]}.
La distribuzione di Bernoulli
Supponi che (I1, I2, ..., In) sia un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione di
Bernoulli con parametro p. L'assunzione fondamentale è soddisfatta.
11. Prova che p(1 - p) / n è il limite inferiore di Cramer-Rao per la varianza degli
stimatori corretti di p.
12. Prova che la media campionaria (o, equivalentemente, la proporzione) Mn
raggiunge il limite inferiore di Cramer-Rao ed è quindi un UMVUE di p.
La distribuzione di Poisson
Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di dimensione n della distribuzione
di Poisson con parametro a. L'assunzione fondamentale è soddisfatta.
13. Prova che a / n è il limite inferiore di Cramer-Rao per la varianza degli stimatori
corretti di a.
14. Mostra che la media campionaria Mn raggiunge il limite inferiore di Cramer-Rao
ed è pertanto UMVUE di a.
La distribuzione normale
Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione di dimensione n della distribuzione normale
con media µ e varianza d2. L'assunzione fondamentale è soddisfatta sia per µ che per d2.
Ricorda inoltre che E[(X - µ)4] = 3d4.
15. Prova che d2 / n è il limite inferiore per la varianza degli stimatori corretti di µ.
16. Prova che la media campionaria Mn raggiunge il limite di Cramer-Rao ed è
pertanto UMVUE di µ.
17. Prova che 2d4 / n è il limite inferiore per la varianza degli stimatori corretti di d2.
18. Prova che la varianza campionaria S2 ha varianza 2d4 / (n - 1) e quindi non
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Migliori stimatori corretti
raggiunge il limite di Cramer-Rao presentato nell'esercizio 17.
19. Prova che, se µ è noto, allora la statistica sottoindicata raggiunge il limite inferiore
di Cramer-Rao ed è pertanto UMVUE di d2:
W2 = (1 / n)
i = 1, ..., n
(Xi - µ)2.
20. Dimostra che, se µ è ignota, nessuno stimatore di d2 raggiunge il limite inferiore di
Cramer-Rao.
La distribuzione gamma
Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di dimensione n della distribuzione
gamma con parametro di scala b e parametro di forma k. L'assunzione fondamentale è
soddisfatta per b.
21. Prova che b2 / nk è il limite inferiore per la varianza degli stimatori corretti di b.
22. Dimostra che, se k è noto, allora Mn / k raggiunge il limite inferiore di Cramer-Rao
ed è pertanto UMVUE di b.
La distribuzione uniforme
Supponi che (X1, X2, ..., Xn) sia un campione casuale di dimensione n della distribuzione
uniforme su (0, a).
23. Prova che l'assunzione fondamentale non è soddisfatta.
24. Mostra che il limite inferiore per la varianza degli stimatori corretti di a è a2 / n.
25. Prova (o richiama) che [(n + 1) / n]X(n) è corretto ed ha varianza a2 / n(n + 2),
inferiore al limite di Cramer-Rao dell'esercizio precedente.
La ragione per cui l'assunzione fondamentale non è soddisfatta è che il supporto {x: f(x |
a) > 0} dipende da a.
Migliori stimatori lineari corretti
Consideriamo ora un problema più specifico, che riguarda comunque l'argomento di
questo paragrafo. Supponiamo che X1, X2, ..., Xn siano variabili casuali osservabili, a
valori reali, inocrrelate e con lo stesso valore atteso µ, ma potenzialmente diverse
deviazioni standard. Sia di = sd(Xi) per i = 1, 2, ..., n. Consideremo solo stimatori di µ che
siano funzioni lineari dei valori osservati:
Y=
i = 1, ..., n ciXi
dove c1, ..., cn devono essere determinati.
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Migliori stimatori corretti
26. Dimostra che Y è corretto se e solo se
i = 1, ..., n ci
= 1.
27. Calcola la varianza di Y in termini di c1, c2, ..., cn e d1, d2, ..., dn.
28. Usa i moltiplicatori di Lagrange per provare che la varianza è minima, sotto il
vincolo di correttezza, se
cj = (1 / dj2) /
i = 1, ..., n
(1 / di2) for j = 1, 2, ..., n.
Questo esercizio mostra come costruire il miglior stimatore lineare corretto (BLUE) di µ,
assumendo che d1, d2, ..., dn siano noti.
Supponiamo ora che di = d per ogni i, cosicché le variabili abbiano la stessa deviazione
standard. In particolare, ciò si verifica quando le variabili formano un campione casuale di
dimensione n da una distribuzione con media µ e deviazione standard d.
29. Mostra che in questo caso la varianza è minima quando ci = 1 / n per ogni i, e
quindi Y è la media campionaria.
Questo esercizio ha mostrato che la media campionaria Mn è il miglior stimatore lineare
corretto di µ quando le deviazioni standard sono costanti e che, inoltre, non è necessario
conoscere il loro valore.
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > 1 2 3 4 [5] 6
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Completezza, sufficienza e ancillarità
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6. Completezza, sufficienza e ancillarità
Consideriamo un modello statistico di base, con un espiremento casuale a cui è associata
una variabile casuale osservabile X a valori in S. Di nuovo, l'esperimento consiste
nell'estrarre n unità da una popolazione e registrarne le misure in un vettore. In questo
caso, X ha forma
X = (X1, X2, ..., Xn).
dove Xi è il vettore delle misurazioni per l'i-esima unità.
Supponiamo che la distribuzione di X dipenda da un parametro a che assume valori in uno
spazio parametrico A. In genere, a è un vettore di parametro reali.
Statistiche sufficienti
Intuitivamente, una statistica U = h(X) è sufficiente per a se U contiene tutta
l'informazione relativa ad a disponibile nell'intero vettore dei dati X. Formalmente, U è
sufficiente per a se la distribuzione condizionata di X dato U non dipende da a.
Il concetto di sufficienza è collegato a quello di riduzione dei dati. Supponiamo che X
assuma valori in Rn. Se possiamo individuare una statistica sufficiente U a valori in Rj,
allora possiamo ridurre il vettore X (la cui dimensione n è solitamente grande) al vettore
di statistiche U (la cui dimensione j è di solito molto minore) senza perdita di
informazione sul parametro a.
Il seguente risultato è una condizione di sufficienza equivalente a questa definizione.
1. Si abbia U = h(X) e siano f(x | a) e g(u | a) le funzioni di densità di probabilità di X e
U, rispettivamente. Dimostra che U è sufficiente per a se e solo se
f(x | a) / g(h(x) | a)
è indipendente da a per ogni x appartenente a S. Suggerimento: La distribuzione
congiunta di (X, U) è concentrata sull'insieme {(x, h(x)): x S}.
2. Supponi che I1, I2, ..., In sia un campione casuale di dimensione n della distribuzione
di Bernoulli con parametro p appartenente a (0, 1). Dimostra che Xn = I1 + I2 + ··· + In è
sufficiente per p.
Il risultato dell'esercizio 2 è molto seducente in termini concettuali: in una sequenza di
prove Bernoulliane, tutta l'informazione relativa alla probabilità di successo p è contenuta
nel numero di successi Xn. L'ordine in cui si verificano successi e insuccessi non aggiunge
alcuna informazione.
Il teorema di fattorizzazione
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Completezza, sufficienza e ancillarità
La definizione di sufficienza riportata poc'anzi coglie il significato intuitivo di questo
concetto, ma può essere complessa da applicare. Dobbiamo conoscere a priori una
statistica "candidata" U, e dobbiamo poi essere in grado di trovare la distribuzione
condizionata di X dato U. Il teorema di fattorizzazione, che riportiamo nell'esercizio
seguente, ci consente in molti casi di identificare una statistica sufficiente a partire dalla
forma della funzione di densità di X.
3. Sia f(x | a) la funzione di densità di X. Dimostra che U = h(X) è sufficiente per a se e
solo se esistono funzioni G(u | a) e r(x) tali che
f(x | a) = G[h(x) | a] r(x) per x appartenente a S e a appartenente a A.
Come la notazione stessa suggerisce, r dipende solo dal vettore dei dati x e non dal
parametro a.
4. Prova che, se U e V sono statistiche equivalenti e U è sufficiente per a, allora V è
sufficiente per a.
5. Supponi che la distribuzione di X sia una famiglia esponenziale a k parametri con
statistica naturale h(X). Prova che h(X) è sufficiente per a.
Sulla base di questo risultato, h(X) è spesso indicata come statistica sufficiente naturale
per la famiglia esponenziale.
6. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale di dimensione n della
distribuzione normale con media µ appartenente a R e varianza d2 > 0.
1. Prova che (X1 + X2 + ··· + Xn, X12 + X22 + ··· + Xn2) è sufficiente per (µ, d2),
2. Prova che (M, S2) è sufficiente per (µ, d2) dove M è la media campionaria e S2 la
varianza campionaria. Suggerimento: Usa il risultato (a) e l'equivalenza.
7. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione di Poisson con parametro a > 0. Prova che X1 + X2 + ··· + Xn è sufficiente
per a dove
8. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale di dimensione n distribuzione
gamma con parametro di forma k > 0 e parametro di scala b > 0.
1. Mostra che (X1 + X2 + ··· + Xn, X1X2 ··· Xn) è sufficiente per (k, b).
2. Mostra che (M, U) è sufficiente per (k, b) dove M è la media (aritmetica)
campionaria e U è la media geometrica campionaria. Suggerimento: Usa il risultato
(a) e l'equivalenza.
9. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale estratto da una distribuzione
beta con parametri a > 0 e b > 0. Mostra che (U, V) è sufficiente per (a, b) dove
U = X1X2 ··· Xn, V = (1 - X1)(1 - X2) ··· (1 - Xn).
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Completezza, sufficienza e ancillarità
10. Supponiamo che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale estratto dalla distribuzione
uniforme sull'intervallo [0, a] dove a > 0. Mostra che X(n) (l'n-esima statistica d'ordine) è
sufficiente per a.
Statistiche sufficienti minimali
Ovviamente il vettore X è sufficiente per a. Tuttavia, come abbiamo già osservato, spesso
esiste una statistica U sufficiente per a ma di dimensioni più piccole, cosicché è possibile
ridurre effettivamente la dimensione dei dati. Chiaramente vorremmo individuare la
statistica U di minori dimensioni possibili. In molti casi, la dimensione più piccola j
coincide con la dimensione k del vettore dei parametri a. Tuttavia non è sempre così; j
può essere più piccolo o più grande di k.
In termini più formali, supponiamo che una statistica U sia sufficiente per a. U è
sufficiente minimale se U è funzione di una qualsiasi altra statistica V sufficiente per a.
Di nuovo, la definizione coglie alla perfezione il concetto di sufficienza minimale, ma è di
difficile applicabilità. L'esercizio seguente presenta una condizione equivalente.
11. Sia f(x | a) la funzione di densità di X e sia U = h(X). Prova che U è sufficiente
minimale per a se valgono le seguenti condizioni:
f(x | a) / f(y | a) non dipende da a se e solo se h(x) = h(y).
Suggerimento: Se V = g(X) è un'altra statistica sufficiente, usa il teorema di
fattorizzazione e la condizione di cui sopra per mostrare che g(x) = g(y) implica h(x) =
h(y). Concludi quindi che U è funzione di V.
12. Prova che, se U e V sono statistiche equivalenti e U è sufficiente minimale per a
allora V è sufficiente minimale per a.
13. Supponi che la distribuzione di X sia una famiglia esponenziale a k parametri con
statistica sufficiente naturale U = h(X). Prova che U è sufficiente minimale per a.
Suggerimento: Ricorda che j è il più piccolo intero per cui X è una famiglia esponenziale
a j parametri.
14. Prova che le statistiche sufficienti presentate sopra per le distribuzioni di Bernoulli,
di Poisson, normale, gamma e beta sono sufficienti minimali per i parametri dati.
15. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale estratto dalla distribuzione
uniforme sull'intervallo [a, a + 1] dove a > 0. Dimostra che (X(1), X(n)) è sufficiente
minimale per a.
Nell'ultimo esercizio, osserva che si ha un unico parametro, ma la statistica minimale è un
vettore a due dimensioni.
Proprietà delle statistiche sufficienti
La sufficienza è correlata ai metodi di costruzione degli stimatori che abbiamo studiato.
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Completezza, sufficienza e ancillarità
16. Supponi che U sia sufficiente per a e che esista uno stimatore di massima
verosimiglianza di a. Mostra che esiste uno stimatore di massima verosimiglianza V che è
funzione di U. Suggerimento: Usa il teorema di fattorizzazione.
In particolare, supponi che V sia l'unico stimatore di massima verosimiglianza di a e che
V sia sufficiente per a. Se U è sufficiente per a, allora V è funzione di U, sulla base
dell'esercizio precedente. Segue quindi che V è sufficiente minimale per a.
17. Supponi che la statistica U sia sufficiente per a e che V sia uno stimatore
Bayesiano di a. Prova che V è funzione di U. Suggerimento: Usa il teorema di
fattorizzazione.
L'esercizio seguente riporta il teorema di Rao-Blackwell, che mostra come una statistica
sufficiente possa essere utilizzata per migliorare uno stimatore corretto.
18. Supponi che U sia sufficiente per a e che V sia uno stimatore corretto del
parametro reale b = b(a). Usa la sufficienza, le proprietà di valore atteso condizionato e di
varianza condizionata per mostrare che
1. E(V | U) è una statistica valida (ovvero non dipende da a) ed è funzione di U.
2. E(V | U) è uno stimatore corretto di b.
3. var[E(V | U)]
var(V) per ogni a, per cui E(V | U) è uniformemente migliore di V.
Statistiche complete
Supponi che U = h(X) sia una statistica. U si dice completa se
E[g(U) | a] = 0 per ogni a appartenente a A implica P[g(U) = 0 | a] = 1 per ogni a
appartenente a A.
19. Mostra che, se U e V sono statistiche equivalenti e U è completa per a allora V è
completa per a.
20. Supponi che I1, I2, ..., In sia un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione di Bernoulli con parametro p appartenente a (0, 1). Mostra che la somma è
completa per p:
Y = I1 + I2 + ··· + In.
Suggerimento: Osserva che Ep[g(Y)] può essere scritto come polinomio in t = p / (1 - p).
Se tale polinomio vale 0 per ogni t > 0, allora i coefficienti devono valere 0.
21. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale di dimensione n dalla
distribuzione di Poisson con parametro a > 0. Mostra che la somma è completa per a:
Y = X1 + X2 + ··· + Xn.
Suggerimento: Osserva che Ea[g(Y)] può essere scritta come serie in a. Se la serie vale 0
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Completezza, sufficienza e ancillarità
per ogni a > 0, i coefficienti devono essere 0.
22. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale di dimensione n estratto da
una distribuzione esponenziale con parametro di scala b > 0. Mostra che la somma è
completa per b.
Y = X1 + X2 + ··· + Xn.
Suggerimento: Prova che Eb[g(Y)] è la trasformata di Laplace di una certa funzione . Se
tale trasformata è 0 per ogni b > 0, allora la funzione dev'essere identicamente 0.
Il risultato dell'esercizio precedente si può generalizzare alle famiglie esponenziali, anche
se la dimostrazione è complessa. In particolare, se la distribuzione di X è una famiglia
esponenziale a j parametri con vettore di statistiche sufficieni naturali U = h(X) allora U è
completa per a (nonché sufficiente minimale per a). Questo risultato si applica a campioni
casuali estratti da distribuzioni di Bernoulli, di Poisson, normale, gamma e beta.
La nozione di completezza è dipendente dallo spazio parametrico.
23. Supponi che I1, I2, I3 sia un campione casuale di dimensione 3 estratto da una
distribuzione di Bernoulli con parametro p appartenente a {1/3, 1/2}. Prova che Y = I1 +
I2 + I3 non è completa per p.
L'esercizio seguente mostra l'importanza delle statistiche complete e sufficienti, ed è noto
come teorema di Lehmann-Scheffe.
24. Supponi che U sia sufficiente e completa per a e che T = r(U) sia uno stimatore
corretto del parametro reale b(a). Dimostra che T è UMVUE per b(a). La dimostrazione fa
uso dei seguenti passi:
1. Supponi che V sia uno stimatore corretto di b(a). Per il teorema di Rao-Blackwell,
anche E(V | U) è uno stimatore corretto di b(a) ed è uniformemente migliore di V.
2. Poiché E(V | U) è funzione di U, usa la completezza per concludere che T = E(V |
U) (quasi certamente).
25. Supponi che (I1, I2, ..., In) sia un campione casuale di dimensione n estratto dalla
distribuzione di Bernoulli con parametro p appartenente a (0, 1). Mostra che un UMVUE
per la varianza della distribuzione p(1 - p)
è
X / (n - 1) - X2 / [n(n - 1)] dove X = I1 + I2 + ··· + In.
26. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un sia un campione casuale di dimensione n da una
distribuzione di Poisson con parametro a. Mostra che un UMVUE per P(X = 0) = e-a è
[(n - 1) / n]Y dove Y = X1 + X2 + ··· + Xn.
Suggerimento: Usa la funzione generatrice di probabilità di Y.
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Completezza, sufficienza e ancillarità
Statistiche ancillari
Supponi che V = r(X) sia una statistica. Se la distribuzione di V non dipende da a, allora
V è detta statistica ancillare per a. Pertanto, la nozione di ancillarità è complementare a
quella di sufficienza (ovvero il contenere tutte le informazioni disponibili sul parametro).
Il risultato del seguente teorema, dimostrato da Basu, rende la situazione più chiara.
27. Supponi che U sia completa e sufficiente per a e che V sia una statistica ancillare.
Prova che U e V sono indipendenti percorrendo i seguenti passi:
1. Supponi che V assuma valori in T . Sia g la funzione di densità di V e sia g(· | U) la
densità condizionata di V dato U.
2. Usa le proprietà del valore atteso condizionato per mostrare che E[g(v | U)] = g(v)
per v appartenente a T.
3. Usa la completezza per concludere che g(v | U) = g(v) quasi certamente.
28. Prova che, se U e V sono equivalenti e U è ancillare per a, allora anche V è
ancillare per a.
29. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale estratto da una famiglia di
scala con parametro di scala b > 0. Prova che se V è funzione di X1 / Xn, X2 / Xn, ..., Xn 1 / Xn allora V è ancillare per b.
30. Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale di dimensione n della
distribuzione gamma con parametro di forma k > 0 e parametro di scala b > 0. Sia M la
media campionaria (aritmetica) e U la media campionaria geometrica. Dimostra che M /
U è ancillare per b, e concludi che M e M / U sono indipendenti. Suggerimento: Usa il
risultato dell'esercizio precedente.
Laboratorio virtuale > Stima puntuale > 1 2 3 4 5 [6]
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Introduzione
Laboratorio virtuale > Stima intervallare > [1] 2 3 4 5 6
1. Introduzione
Il modello statistico di base
Al solito, iniziamo considerando un esperimento casuale con un certo spazio campionario
e con misura di probabilità P. Nel modello statistico di base, abbiamo una variabile
casuale osservabile X a valori in S. In generale, X può avere struttura complessa. Per
esempio, se l'esperimento consiste nell'estrarre un campione di n unità da una popolazione
e registare le misurazioni di interesse, allora
X = (X1, X2, ..., Xn)
dove Xi è il vettore di misurazioni per l'i-esima unità. Il caso particolare più importante si
ha quando X1, X2, ..., Xn, sono indipendenti e identicamente distribuite. In questo caso, si
ha un campione casuale di dimensione n dalla distribuzione comune.
Supponiamo inoltre che la distribuzione di X dipenda da un parametro a che assume
valori in uno spazio parametrico A. Normalmente, a è un vettore di parametri reali,
cosicché A è un sottinsieme di Rk per dati k e
a = (a1, a2, ..., ak).
Insiemi di confidenza
Un insieme di confidenza è un sottinsieme A(X) dello spazio parametrico A che dipende
esclusivamente dalla variabile X, e non da altri parametri ignoti. Quindi, in un certo
senso, è una statistica che assume come valori degli insiemi. Un insieme di confidenza è
una stima di a, nel senso che ci aspettiamo che a appartenga ad A(X) con probabilità
elevata. In particolare, il livello di confidenza è la più piccola probabilità che a appartenga
ad A(X):
min{P[a
A(X) | a]: a
A}.
Di solito si cerca di costruire un insieme di confidenza per a con un certo livello di
confidenza 1 - r, dove 0 < r < 1. Livelli di confidenza comunemente utilizzati sono 0.9,
0.95, e 0.99. A volta la cosa migliore che si può fare è costruire un insieme di confidenza
il cui livello di confidenza è almeno 1 - r; questo è detto insieme di confidenza
conservative 1 - r per a.
Osserva che, quando effettuiamo un esperimento e osserviamo i dati x, l'insieme di
confidenza calcolato è A(x). Il valore vero del parametro a può appartenere oppure no a
questo insieme, e di solito ciò è ignoto. In ogni caso, per la legge dei grandi numeri, se
ripetiamo più volte l'esperimento, la proporzione di insiemi che contiene a converge a
P[a
A(X) | a)
1 - r.
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Introduzione
Questo è il significato del termine confidenza.
Nota inoltre che la qualità di un intervallo di confidenza come stimatore di a, dipende da
due fattori: il livello di confidenza e la dimensione dell'insieme; una buona stima ha
dimensione ridotta (e pertanto definisce un intervallo ristretto per a) ed elevata
confidenza. In ogni caso, per un dato X, esiste di solito un compromesso tra livello di
confidenza e dimensione: aumentare il livello di confidenza implica aumentare la
dimensione dell'insieme. Osserva infine che, in generale, la dimensione dell'insieme è una
variabile casuale, anche se in alcuni casi è una costante.
In molte situazioni si ha interesse a stimare un certo parametro reale b = b(a). Per
esempio, se a è un vettore, b può rappresentare una delle coordinate di a; le altre
coordinate, in questo contesto, risulterebbero essere parametri di disturbo. In questo caso,
l'insieme di confidenza ha forma
A(X) = {a
A: L(X)
b
U(X)}
dove L(X) e U(X) sono statistiche. In questo caso [L(X), U(X)] è detto intervallo di
confidenza (bilaterale) per b. Se l'insieme di confidenza ha forma
A(X) = {a
A: L(X)
b}
allora L(X) è detto limite inferiore di confidenza per b. Se l'insieme di confidenza ha
forma
A(X) = {a
A: b
U(X)}
allora U(X) è detto limite superiore di confidenza per b.
Se possiamo costruire un intervallo di confidenza per un parametro, allora possiamo
costruire un intervallo di confidenza per una funzione del parametro.
1. Supponi che [L, U] sia un livello di confidenza 1 - r per b e supponi che g sia una
funzione definita sullo spazio parametrico A.
1. Se g è crescente, prova che [g(L), g(U)] è l'intervallo al livello di confidenza 1 - r
per g(b).
2. Se g è decrescente, prova che [g(U), g(L)] è l'intervallo al livello di confidenza 1 -r
per g(b).
2. Supponi che L sia il limite di confidenza inferiore al livello 1 - r1 per a e che U sia il
limite di confidenza inferiore al livello 1 - r2 per a. Dimostra che se r = r1 + r2 < 1 allora
[L, U] è un intervallo di confidenza conservative a livello 1 - r per a. Suggerimento: Usa
la disuguaglianza di Bonferroni.
Elementi pivotali
Potrebbe sembrare molto difficile costruire intervalli di confidenza per un parametro c.
Tuttavia, in molti importanti situazioni, gli insiemi di confidenza possono essere costruiti
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Introduzione
semplicemente utilizzando variabili casuali note come elementi pivotali.
Una elemento pivotale per a è una variabile casuale V(X, a) funzione della variabile delle
osservazioni X e del parametro a, ma la cui distribuzione non dipende da a. Supponi che
V(X, a) assuma valori in T. Se conosciamo la distribuzione dell'elemento pivotale, allora
T (che non dipende da a) tale che
per un dato r possiamo trovare B
P[V(X, a)
B | a] = 1 - r.
Segue quindi che un insieme di confidenza al livello 1 - r per il parametro è dato da
A(X) = {a
A: V(X, a)
B}.
In molti casi, abbiamo un parametro reale a di interesse, e la variabile pivot a valori reali
V(x, a) è funzione monotona di a per dati x. L'insieme di confidenza è quindi un
intervallo:
3. Prova che, se V(x, a) è monotona rispetto ad a per ogni x allora l'insieme di
confidenza è un intervallo di forma
[L(X, v1), U(X, v2)].
Ci sono molti modi di costruire i numeri v1 e v2 riportati poc'anzi; la scelta ottimale è
quella che rende minima la lunghezza dell'intervallo. Per r appartenente a (0, 1), sia v(r) il
quantile di ordine r per la variabile pivot V(X, a) (di nuovo, questo quantile non dipende
da a).
4. Supponi che 0 < p < 1. Prova che v1 = v[(1 - p)r], v2 = v[(1 - pr)] soddisfa le
condizioni per la costruzione di intervalli di confidenza.
La scelta p = 1 / 2 corrisponde a un intervallo di confidenza con code bilanciate; si tratta
del tipo più utilizzato di intervalli di confidenza, ed è normalmente (ma non sempre) la
scelta ottimale. Di nuovo, esiste un trade-off tra il livello di confidenza e la dimensione
dell'insieme di confidenza.
5. Sia A(X) l'insieme di confidenza ottenuto utilizzando v1 e v2 dell'esercizio
precedente. Prova che, per dati p e X, A(X) è decrescente rispetto ad a e pertanto
crescente rispetto a 1 - r.
Gli elementi pivotali non sono unici; è quindi importante individuare quelli che
possiedono distribuzioni note e che limitano il parametro in maniera ottimale.
6. Supponi che V sia una variabile pivot per a. Se u è una funzione definita su V e u
non ha parametri ingoti, mostra che U = u(V) è anch'essa un elemento pivotale pera.
Famiglie di posizione e scala
Nel caso delle famiglie di posizione e scala di distribuzioni, possiamo individuare
facilmente degli elementi pivotali. Supponi che U sia una variabile casuale a valori reali
con funzione di densità g e senza parametri ignoti. Sia
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Introduzione
X = µ + dU dove µ appartiene a R e d > 0.
Ricorda che la funzione di densità di X è
f(x | µ, d) = g[(x - µ) / d] / d
e che la corrispondente famiglia di distribuzioni è detta famiglia di posizione e scala
associata alla distribuzione di U. Supponi ora che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale
di dimensione n estratto dalla distribuzione di X. Ricorda che media campionaria e
varianza campionaria sono definite rispettivamente da
1. M = (1 / n)
i = 1, ..., n
2. S2 = [1 / ( n - 1)]
Xi.
i = 1, ..., n
(Xi - M)2.
7. Supponi che d sia noto e µ ignoto. Prova che (M - µ) / d è elemento pivotale per µ.
8. Siano µ e d ignoti. Dimostra che (M - µ) / S è elemento pivotale per µ.
9. Supponi che µ sia noto e d ignoto. Mostra che (M - µ) / d è elemento pivotale per d.
10. Supponi che µ e d siano ignoti. Prova che S / d è elemento pivotale per d.
La famiglia di posizione e scala più importante è la normale. Il problema della stima dei
parametri di questa famiglia di distribuzioni è esaminato nei prossimi due paragrafi. Ci
occuperemo qui di seguito di alcuni altri problemi.
La distribuzione esponenziale
Supponi che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale di dimensione n della distribuzione
esponenziale con parametro di scala b > 0.
11. Dimostra che 2nM / b ha distribuzione chi-quadro con 2n gradi di libertà, ed è
pertanto variabile pivot per b.
Osserva che la variabile dell'esercizio 11 è un multiplo di quella dell'esercizio 9 (per µ =
0). Per p appartenente a (0, 1), sia vp il quantile di ordine p della distribuzione chi-quadro
con 2n gradi di libertà.
12. Usa la variabile pivot dell'esercizio precedente per dimostrare che l'intervallo a
lievllo di confidenza 1 - r e i limiti di confidenza inferiore e superiore sono dati da:
1. [2nM / v1 - r/2, 2nM / vr/2]
2. 2nM / vr.
3. 2nM / v1 - r.
Laboratorio virtuale > Stima intervallare > [1] 2 3 4 5 6
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Introduzione
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Stima della media nel modello normale
Laboratorio virtuale > Stima intervallare > 1 [2] 3 4 5 6
2. Stima della media nel modello normale
Concetti preliminari
Supponiamo che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale della distribuzione normale con
media µ e varianza d2. In questa sezione ci occuperemo della costruzione di intervalli di
confidenza per µ, cioè di uno dei casi più importanti di stima intervallare. Un paragrafo
parallelo riguardo ai test sulla media nel modello normale si trova all'interno del capitolo
sul test di ipotesi.
Costruiremo gli intervalli di confidenza cercando delle variabili pivot per µ. Il metodo di
costruzione dipende dal fatto che d sia noto oppure no; d è quindi un parametro di
disturbo riguardo alla stima di µ. Gli elementi fondamentali per la costruzione degli
intervalli di confidenza sono la media campionaria e la varianza campionaria
1. M = (1 / n)
i = 1, ..., n
2. S2 = [n / (n - 1)]
Xi.
i = 1, ..., n
(Xi - M)2.
e le proprietà di queste statistiche nel caso in cui la distribuzione sia normale. Ricordiamo
inoltre che la famiglia normale è una famiglia di posizione e scala.
Intervalli di confidenza per µ con d noto
Supponiamo in primo luogo che d sia; questa assunzione è spesso (ma non sempre)
artificiale ricorda che la statistica
Z = (M - µ) / (d / n1/2)
ha distribuzione normale standardizzata ed è quindi pivot per µ. Per p appartenente a (0,
1), sia zp il quantile di ordine p della distribuzione normale standardizzata. Per dati valori
di p, zp può essere ottenuto dall'ultima riga della tavola della distribuzione t, o dalla tavola
della normale standardizzata, o dall'applet quantile.
1. Usa la variabile pivot Z per mostrare che intervallo di confidenza al livello 1 - a e
limite di confidenza inferiore e superiore per µ sono:
1. [M - z1 - r/2 d / n1/2, M + z1 - r/2 d / n1/2].
2. M + z1 - r d / n1/2.
3. M - z1 - r d / n1/2.
Osserva che abbiamo utilizzato code bilanciate nella costruzione dell'intervallo
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Stima della media nel modello normale
bidirezionale, per cui tale intervallo è simmetrico rispetto alla media campionaria M.
2. Usa l'esperimento di stima della media per impratichirti con la procedura. Seleziona
la distribuzione normale e il pivot normale. Usa diversi valori dei parametri, livelli di
confidenza, numerosità campionarie e tipi di intervallo. Per ciascuna configurazione,
simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva che l'intervallo di confidenza
cattura con successo la media se e solo se il valore della variabile pivot giace tra i quantili.
Nota la dimensione e la posizione degli intervalli di confidenza e quanto bene la
proporzione di intervalli "riusciti" approssima il livello di confidenza teorico.
Sia E la distanza tra la media campionaria M e uno dei limiti di confidenza
E = z d / n1/2,
dove z = z1 - r/2 per l'intervallo bidirezionale e z = z1 - r per gli intervalli monodirezionali.
Osserva che E è deterministico, e che la lunghezza dell'intervallo bidirezionale è 2E. Il
numero E è a volte detto margine d'errore.
3. Prova che
1. E decrescere al crescere della dimensione del campione n.
2. E cresce al crescere della devizione standard d
3. E cresce al crecsere del livello di confidenza 1 - r.
L'esercizio 3(c) mostra un'altra volta che esiste un trade-off tra il livello di confidenza e
l'ampiezza dell'intervallo di confidenza. Se n e d sono dati, possiamo ridurre E, e quindi
avere un intervallo più piccolo solo al prezzo di ridurre la confidenza nella stima. Al
contrario, possiamo aumentare la confidenza nella stima solo al costo di aumentare E. In
molti casi, il primo passo del disegno dell'esperimento consiste nel determinare la
dimensione del campione necessaria per stimare µ con un dato margine di errore e un dato
livello di confidenza.
4. Prova che la dimensione campionaria necessaria per stimare µ con confidenza 1 - r e
margine di errore E è
n = ceil[(zd / E)2].
Osserva che n è direttamente proporzionale al quadrato z2 e a d2 e inversamente a E2. Ciò
implica che vale una legge dei rendimenti marginali decrescenti nella riduzione del
margine d'errore. Per esempio, se vogliamo dimezzare un dato margine d'errore,
dobbiamo quadruplicare l'ampiezza del campione.
Intervalli di confidenza per µ con d ignoto
Consideriamo ora il caso, più realistico, in cui anche d è ignoto. Ricorda che
T = (M - µ) / (S / n1/2)
ha distribuzione t di Student con n - 1 gradi di libertà, ed è pertanto elemento pivotale per
µ. Per k > 0 e p appartenente a (0, 1), sia tk, p il quantile di ordine p per la distribuzione t
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Stima della media nel modello normale
con n - 1 gradi di libertà. Per dati valori di k r p, i valori tk, p possono essere ottenuti dalla
tavola della distribuzione t o dall'applet quantile.
5. Usa l'elemento pivotale T per mostrare che intervallo di confidenza al livello 1 - r e
limite di confidenza inferiore e superiore per µ sono:
1. [M - tn - 1, 1 - r/2 S / n1/2, M + tn - 1, 1 - r/2 S / n1/2].
2. M + tn - 1, 1 - r S / n1/2.
3. M - tn - 1, 1 - r S / n1/2.
Osserva che abbiamo utilizzato code bilanciate nella costruzione dell'intervallo
bidirezionale, per cui tale intervallo è simmetrico rispetto alla media campionaria.
Osserva inoltre che centro e lunghezza dell'intervallo sono casuali.
6. Usa l'esperimento di stima della media per impratichirti con la procedure. Seleziona
la distribuzione normale con elemento pivotale di Student. Usa diversi valori dei
parametri, livelli di confidenza, numerosità campionarie e tipi di intervallo. Per ciascuna
configurazione, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva che l'intervallo di
confidenza cattura con successo la media se e solo se il valore della variabile pivot giace
tra i quantili. Nota la dimensione e la posizione degli intervalli di confidenza e quanto
bene la proporzione di intervalli "riusciti" approssima il livello di confidenza teorico.
Distribuzioni non normali
Una delle assunzioni fondamentali che abbiamo fatto finora è che la distribuzione
sottostante sia normale. Ovviamente, nelle applicazioni pratiche, non possiamo sapere
granché della distribuzione che genera i dati. Supponiamo che la distribuzione sottostante
non sia normale. Se n è relativamente grande, la distribuzione della media campionaria
sarà comunque approssimatamente normale, sulla base del teorema limite centrale, e
quindi le conclusioni dovrebbero restare approssimativamente valide. Gli esercizi
seguenti trattano della robustezza di questa procedura.
7. Simula l'esperimento di stima della media per impratichirti con la procedure.
Seleziona la distribuzione gamma con elemento pivotale di Student. Usa diversi valori dei
parametri, livelli di confidenza, numerosità campionarie e tipi di intervallo. Per ciascuna
configurazione, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva che l'intervallo di
confidenza cattura con successo la media se e solo se il valore della variabile pivot giace
tra i quantili. Nota la dimensione e la posizione degli intervalli di confidenza e quanto
bene la proporzione di intervalli "riusciti" approssima il livello di confidenza teorico.
8. Nell'esperimento di stima della media, ripeti l'esercizio precedente utilizzando la
distribuzione uniforme.
La dimensione minima di n affinché la procedura di test funzioni dipende, ovviamente,
dalla distribuzione sottostante; più la distribuzione devia dalla normalità, più osservazioni
sono necessarie. Fortunatamente, la convergenza alla normalità nel teorema limite
centrale è rapida, per cui, come avrai osservato dagli esercizi, possiamo, nella maggior
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Stima della media nel modello normale
parte dei casi, cavarcela con dimensioni campionarie relativamente ridotte (30 o più
osservazioni).
Esercizi numerici
9. La lunghezza di un certo pezzo meccanico dev'essere 10 centimetri, ma a causa di
imperfezioni del processo produttivo, la lunghezza effettiva è distribuita normalmente con
media µ e varianza d2. La varianza è dovuta a fattori inerenti al processo produttivi e
rimane stabile nel tempo. È noto dai dati storici che d = 0.3. D'altra parte, µ può essere
influenzata da vari parametri del processo e quindi può variare di frequente. Un campione
di 100 pezzi ha media 10.2. Costruire un intervallo di confidenza al 95% per µ.
10. Supponi che il peso di un pacchetto di patatine (in grammi) sia una variabile
casuale con media µ e varianza d2, entrambe ignote. Un campione di 75 pacchetti ha
media 250 e deviazione standard 10. Costruisci un intervallo di confidenza al 90% per µ.
11. In un'azienda di telemarketing, la durata di una telefonata (in secondi) è una
variabile casuale con media µ e varianza d2, entrambe ignote. Un campione di 50
telefonatè ha durata media 300 e deviazione standard 30. Costruisci l'intervallo di
confidenza monodirezionale superiore (al 95%) per µ.
12. In una fattoria, il peso di una pesca (in once) alla raccolta è una variabile casuale
con deviazione standard 0.5. Quante pesche si devono esaminare per stimare il peso
medio con margine d'errore ± 0.2 e livello di confidenza del 95%?
13. Il salario orario per un certo lavoro edile è una variabile casuale con deviazione
standard 1.25. Quanti lavoratori devono essere estratti per costruire un intervallo di
confidenza monodirezionale inferiore al 95% con margine di errore di 0.25?
14. Costruisci l'intervallo di confidenza bidirezionale al 95%, e quelli monodirezionali
inferiore e superiore per la velocità della luce, utilizzando i dati di Michelson. In ciascun
caso, nota se il valore "vero" giace nell'intervallo di confidenza.
15. Costruisci l'intervallo di confidenza bidirezionale al 95%, e quelli monodirezionali
inferiore e superiore per la densità della terra utilizzando i dati di Cavendish. In ciascun
caso, nota se il valore "vero" giace nell'intervallo di confidenza.
16. Costruisci l'intervallo di confidenza bidirezionale al 95%, e quelli monodirezionali
inferiore e superiore per la parallasse del sole, utilizzando i dati di Short. In ciascun caso,
nota se il valore "vero" giace nell'intervallo di confidenza.
17. Per la lunghezza dei petali di iris Setosa sui dati di Fisher sugli iris, costruisci un
intervallo di confidenza al 90% per µ.
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Stima della varianza nel modello normale
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3. Stima della varianza nel modello normale
Concetti preliminari
Supponiamo che X1, X2, ..., Xn sia un campione casuale della distribuzione normale con
media µ e varianza d2. In questo paragrafo impareremo a costruire intervalli di confidenza
per d2; è questo uno dei casi più rilevanti di stima intervallare. Una trattazione parallela,
relativa ai test per la varianza nel modello normale si trova nel capitolo sul test di ipotesi .
Al solito, costruiremo gli intervalli di confidenza cercando elementi pivotali per d2. Il
metodo di costruzione dipende dal fatto che la media µ sia nota oppure no; µ è pertanto un
termine di disturbo ai fini della stima di d2. Ricordiamo inoltre che la famiglia normale è
una famiglia di posizione e scala.
Intervalli di confidenza per d2 con µ noto
Supponiamo, per iniziare, che µ sia noto, anche se questa assunzione è di solito irrealistica
nelle applicazioni pratiche. Ricorda che, in questo caso, lo stimatore naturale di d2 is
W2 =(1 / n)
i = 1, ..., n (Xi
- µ)2.
Ricorda inoltre che V = nW2 / d2 ha distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, ed è
pertanto variabile pivot per d2. Per k > 0 e p appartenente a (0, 1), sia vk, p il quantile di
ordine p di una distribuzione chi-quadro con k gradi di libertà. Per valori dati di k, p e n,
vk, p può essere ricavato dalla tavola della distribuzione chi-quadro o dall'applet quantile.
1. Usa la variabile pivot V per