Uso di software didattico

Piano Lauree Scientifiche
Progetto MATEMATICA e STATISTICA
Sapienza – Università di Roma a.a. 2010/11
Corso di formazione rivolto a insegnanti delle Superiori
Giuseppe Accascina
[email protected]
Uso di software didattico
Seconda parte
Programmi di geometria dinamica 2D
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Nota.
Tutte le schede e i file Cabri usati durante la lezione sono scaricabili
da:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/
(per scrivere il simbolo ~ in Windows:
attivare il tasto Bloc-Num, premere il tasto ALT e contemporaneamente scrivere il numero
126 sul tastiera dei numeri a destra, quindi rilasciare il tasto ALT).
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SCHEDA 1
1. I primi disegni
Il software Cabri è nato per disegnare. Per far ciò si utilizzano alcuni strumenti che, per comodità
d’uso, sono raccolti in alcune caselle degli strumenti.
Gli strumenti che ci vengono messi a disposizione da Cabri sono di vario tipo. Tuttavia nel fare
disegni noi ne useremo solo alcuni. Vogliamo infatti simulare il disegno in cui si faccia uso
esclusivamente della riga non graduata e del compasso. Useremo quindi gli strumenti Punto (che
disegna un punto che può muoversi a piacere nel piano), Punto su un oggetto (che disegna un
punto che può muoversi solo su un oggetto definito in precedenza), Intersezione di due oggetti
(che disegna un punto che sia intersezione di due oggetti definiti in precedenza), Retta, Segmento,
Semiretta, Triangolo, Poligono, Circonferenza (che disegna la circonferenza di centro assegnato
e passante per un punto assegnato), Arco di circonferenza (che disegna l’arco di circonferenza
delimitato da due punti e passante per un terzo punto).
Problema 1.1.
Disegnare due punti A e B e uno dei triangoli equilateri aventi
come lato il segmento AB (proposizione 1 del libro 1 degli
Elementi di Euclide)
Nota.
Questa scheda, come tutte le altre numerate con numeri interi, sono tratte da:
Giuseppe Accascina, Giovanni Margiotta
Alla ricerca di triangoli equilateri con Cabri
Progetto Alice, n.8 (2002) pp. 175 – 199
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2002_Alla_ricercaPrima_parte.pdf
- Progetto Alice, n.9 (2002) pp. 383 – 408
- http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2002_Alla_ricercaSeconda_parte.pdf
- Progetto Alice, n.10 (2003) pp. 1 – 23
- http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2003_Alla_ricercaTerza_parte.pdf
Si possono anche scaricare le schede da usare in classe e i relativi file Cabri:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2002_Alla_ricerca_Schede_e_
files/
Le ultime due schede sono state invece create in occasione di questo corso.
Chi vuole usare Cabri sul proprio PC (con sistema operativo Windows o Mac) può usare la versione
demo scaricabile dal sito
http://www.campustore.it/cabri
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SCHEDA 2
Sviluppo del problema 1.1.
Con lo strumento Punto disegniamo due punti che chiamiamo A e B;
con lo strumento Circonferenza disegniamo la circonferenza avente centro in A e passante
per B e la circonferenza avente centro in B e passante per A;
- con lo strumento Punto disegniamo uno dei due punti di intersezione delle due
circonferenze; lo chiamiamo C;
- con lo strumento Segmento disegniamo i segmenti AB, AC e BC.
Il triangolo ABC è equilatero.
-
Figura_1_1
- con lo strumento File Salva con nome salviamo la figura nel file Figura_1_1.fig .
Non esiste in Cabri uno strumento che costruisca il triangolo equilatero. Possiamo costruircelo noi
stessi. Ci costruiamo cioè una macro.
− Costruiamo una macro avente come Oggetti iniziali i punti A e B e come Oggetti finali il
terzo vertice e i tre lati del triangolo equilatero; con lo strumento Definizione di una macro
diamo alla macro il nome Equilat. Salviamo la macro anche come file in modo tale da
poterla caricare quando ne avremo bisogno.
Proviamo ad usare la macro appena costruita.
- Selezioniamo la macro Equilat e disegniamo due punti. Cabri disegna, oltre i due
punti (oggetti iniziali della macro), il terzo vertice e i lati di uno dei due triangoli
equilateri aventi come vertici i due punti (oggetti finali della macro).
Figura_1_1a
- Salviamo la figura nel file Figura_1_1a.fig.
Ora vogliamo ottenere anche l’altro triangolo equilatero di vertici gli stessi due punti. Come fare?
Semplice. Usiamo di nuovo la macro Equilat ma, questa volta, clicchiamo prima sul secondo punto
e poi sul primo.
Figura_1_1b
- Salviamo la figura nel file Figura_1_1b.fig.
Ecco che al primo triangolo equilatero disegnato in precedenza si è aggiunto il secondo.
Ecco un altro problema.
Problema 1.2
Disegnare due punti A e B, il segmento AB, il suo punto medio e il
suo asse (proposizione 10 del libro 1 degli Elementi di Euclide).
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SCHEDA 3
Sviluppo del problema 1.2.
Con lo strumento Punto disegniamo due punti A e B distinti;
con lo strumento Segmento disegniamo il segmento di estremi A e B;
con la macro Equilat disegniamo uno dei due triangoli aventi come vertici i punti A e B; con
lo strumento Nomi chiamiamo C il terzo vertice del triangolo;
- con la macro Equilat disegniamo l’altro triangolo equilatero avente come vertici i punti A e
B; con lo strumento Nomi chiamiamo C’ il terzo vertice del triangolo;
- con lo strumento Retta disegniamo la retta passante per C e C’; la chiamiamo r;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto di intersezione della retta
passante per A e B con la retta r; lo chiamiamo M.
La retta r e il punto M sono rispettivamente asse e punto medio del segmento AB.
-
Figura_1_2
- Salviamo la figura nel file Figura 1_2.fig.
La costruzione appena fatta è proprio quella descritta da Euclide negli Elementi. Essa fa uso
della macro Equilat. Quest’ultima in effetti fa uso della circonferenza di centro A passante per B
e della circonferenza di centro B passante per A. I punti C e C’ sono i punti di intersezione delle
due circonferenze. Non è quindi necessario disegnare i due triangoli equilateri.
Ecco questa costruzione:
- Con lo strumento Punto disegniamo i punti A e B;
- con lo strumento Segmento disegniamo il segmento di estremi A e B;
- con lo strumento Circonferenza disegniamo la circonferenza di centro A passante per B e la
circonferenza di centro B passante per A;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo i punti di intersezione delle due
circonferenze; con lo strumento Nomi li chiamiamo C e C’;
- con lo strumento Retta disegniamo la retta passante per C e C’; la chiamiamo r;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto di intersezione della retta
passante per A e B con la retta r; lo chiamiamo M.
Figura_1_2a
Salviamo la figura nel file Figura_1_2a.fig.
In effetti in Cabri esiste già lo strumento Asse che costruisce direttamente l’asse di un segmento di
estremi assegnati. Dal momento che abbiamo visto che l’asse di un segmento può essere ottenuto
con riga e compasso d’ora in poi useremo anche lo strumento Asse.
Ecco un altro problema.
Problema 1.3
Disegnare un punto A, una retta r, la retta passante per A e
perpendicolare a r (proposizioni 11 e 12 del libro 1 degli
Elementi di Euclide).
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SCHEDA 4
Sviluppo del Problema 1.3
Analizziamo prima il caso in cui il punto A appartiene alla retta r.
- Con lo strumento Punto disegniamo un punto A;
- con lo strumento Retta disegniamo una retta passante per A; la chiamiamo r;
- con lo strumento Circonferenza disegniamo una circonferenza di centro il punto A;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo i punti di intersezione della
circonferenza con la retta r; con lo strumento Nomi li chiamiamo B e C;
- con lo strumento Asse disegniamo l’asse del segmento BC.
Quest’ ultima retta è perpendicolare alla retta r e passa per A.
Figura_1_3
- Salviamo la figura nel file Figura_1_3.fig.
Analizziamo ora il caso in cui il punto A non appartiene alla retta r.
- Con lo strumento Punto disegniamo un punto A;
- con lo strumento Retta disegniamo una retta r non passante per A;
- con lo strumento Circonferenza disegniamo una circonferenza di centro il punto A
intersecante la retta r;
- con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo i punti B e C di intersezione della
circonferenza con la retta r;
- con lo strumento Asse disegniamo l’asse del segmento di estremi B e C.
Quest’ ultima retta è perpendicolare alla retta r e passa per A.
Figura_1_3a
- Salviamo la figura nel file Figura_1_3a.fig.
Notiamo che la costruzione è identica a quella data nel caso in cui il punti A appartiene alla retta r.
Abbiamo dovuto però scegliere una circonferenza di centro A intersecante la retta r. Notiamo cosa
succede se la circonferenza non interseca la retta r.
Figura 1_3b
La retta cercata non viene disegnata. Anche in questo caso in Cabri esiste lo strumento Retta
perpendicolare che costruisce la retta perpendicolare ad una retta r assegnata passante per un punto
A, non necessariamente appartenente alla retta r. D’ora in poi useremo questo comando.
Ecco un altro problema.
Problema 1.4
Disegnare un triangolo ABC e la circonferenza ad esso circoscritta
(proposizione 5 del quarto libro degli Elementi di Euclide).
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SCHEDA 5
-
Sviluppo del problema 1.4.
Con lo strumento Triangolo disegniamo un triangolo ABC;
Con lo strumento Asse disegniamo l’asse del segmento AB e l’asse del segmento AC;
con lo strumento Punto disegniamo il punto D di intersezione dei due assi:
con il comando Circonferenza disegniamo la circonferenza di centro D e passante per A.
La circonferenza ottenuta è la circonferenza cercata.
Figura_1_4
Non esiste in Cabri lo strumento circonferenza circoscritta. Ne costruiamo pertanto una macro.
- Creiamo una macro di nome Circ_Circ avente come Oggetti iniziali tre punti e come
Oggetti finali la circonferenza passante per essi e il suo centro. Salviamo la macro anche
come file.
- Salviamo la figura nel file Figura_ 1_4.fig
Nella nostra costruzione la circonferenza circoscritta ad un triangolo di vertici A, B e C ha come
centro il punto D di intersezione de gli assi dei lati AB e AC e passa per A.
La circonferenza ottenuta, oltre a passare ovviamente per A, sembra passare anche per i punti B e
C. Ma siamo sicuri che ciò avvenga effettivamente?
Ci poniamo anche la seguente domanda:
Dati tre punti, esiste sempre una circonferenza passante per essi?
Spostiamo pian piano il punto C fino a farlo appartenere alla retta passante per A e B. Otteniamo la
seguente figura:
Figura_1_4°
-
Salviamo la figura nel file Figura_1_4a.fig
La figura, nel caso in cui i punti A, B e C sono allineati, non mostra alcuna circonferenza passante
per essi.
Ecco un altro problema.
Problema 1.5.
Disegnare due punti A e B,uno dei triangoli equilateri aventi come
vertici i punti A e B, la circonferenza ad esso circoscritta e il
suo centro.
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SCHEDA 6
Sviluppo del problema 1.5.
Abbiamo a disposizione le macro Equilat e Circ_Circ. Utilizziamole.
- Con lo strumento Punto disegniamo due punti A e B;
- Con la macro Equilat disegniamo uno dei due triangoli equilateri di vertici A e B;
indichiamo con C il terzo vertice;
- Con la macro Circ_Circ disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo ABC;
- con lo strumento Macro costruiamo una macro, che chiamiamo Equilat_Circ_Circ, avente
come Oggetti iniziali i punti A e B e come Oggetti finali il triangolo equilatero ABC, la
circonferenza ad esso circoscritta e il suo centro. Salviamo la macro anche come file.
Proviamo la macro appena costruita.
- Selezioniamo la macro Equilat_Circ_Circ, disegniamo due punti; oltre ad essi, vengono disegnati
uno dei due triangoli aventi come vertici i due punti, la circonferenza ad esso circoscritta e il suo
centro.
Figura 1_5a
2. Le prime esplorazioni con Cabri.
Abbiamo fino ad ora usato Cabri come strumento per far disegni utilizzando solo strumenti che
simulano l’uso della riga non graduata e del compasso.
Vogliamo ora esplorare le proprietà delle figure che costruiamo usando tutti gli strumenti che ci
mette a disposizione Cabri, non solo quelli che simulano l’uso della riga e del compasso.
Problema 2.1.
Disegnare due punti A e B, un triangolo equilatero di vertici A e
B, la circonferenza c ad esso circoscritta, il suo centro O, un
punto P sulla circonferenza c e i segmenti AP e BP.
Cosa possiamo dire sull’ampiezza dell’angolo APB?
Nota. Avremo bisogno delle tre macro Equilat, Circ_Circ, Equilat_Circ_Circ costruite in
precedenza.
Se nel frattempo non abbiamo chiuso Cabri esse sono presenti nel menu delle macro.
In caso contrario le dobbiamo caricare con il comando Apri File avendo cura di indicare Macro
come tipo di File. Troviamo i file delle macro nella cartella Alla ricerca di triangoli equilateriFile.
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SCHEDA 7
Sviluppo del problema 2.1.
Con lo strumento Punto disegniamo i punti A e B;
con la macro Equilat_Circ_Circ disegniamo un triangolo equilatero di vertici A e B, la
circonferenza ad esso circoscritta e il suo centro;
- con lo strumento Nomi chiamiamo C il terzo vertice del triangolo equilatero, c la
circonferenza ad esso circoscritta e O il suo centro.
Vogliamo mettere in evidenza l’uguaglianza dei tre angoli del triangolo equilatero ABC:
- con lo strumento Segna un angolo poniamo lo stesso simbolo per i tre angoli del triangolo
equilatero.
Ora disegniamo il punto P e i segmenti PA e PB:
- con lo strumento Punto su un oggetto disegniamo un punto P sulla circonferenza c;
- con lo strumento Segmento disegniamo i segmenti PA e PB.
Vogliamo mettere in evidenza l’angolo APB e determinarne l’ampiezza:
- Con lo strumento Segna un angolo poniamo un simbolo differente dal precedente sull’angolo
APB;
- con lo strumento Misura dell’ angolo misuriamo l’angolo APB;
-
Figura_2_1 Figura_2_1a
- Salviamo le figure.
Notiamo che l’angolo APB misura 120° o 60°.
Formuliamo la seguente:
Congettura. Dato un triangolo equilatero ABC, e dato un punto P sulla circonferenza ad esso
circoscritta, si ha che l’angolo APB misura 120° o 60°.
Ciò va dimostrato o confutato.
Problema 2.2.
Dimostrare o confutare la congettura precedente.
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SCHEDA 12 (parte)
….
3. Le circonferenze di Fermat
Problema 3.1.
Dato un triangolo ABC, costruire sul lato AB il triangolo
equilatero ABR esterno al triangolo e la circonferenza c1 ad esso
circoscritta; ripetere la stessa operazione sul lato BC e sul lato
AC. Si ottengono i triangoli equilateri BCP e ACQ e le
circonferenze c2 e c3 ad essi circoscritte. Quali proprietà
suggerisce la figura?
Scrivere le proprietà nell’ordine con il quale si sono trovate:
(Nota bene: non si vuole una dimostrazione. In altre parole si vuole un elenco di congetture)
1) __________________________________________
2) ___________________________________________
3) ___________________________________________
4) ___________________________________________
5) ___________________________________________
6) ___________________________________________
7) ___________________________________________
8) ___________________________________________
9) ___________________________________________
10) ___________________________________________
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SCHEDA 13
Sviluppo del problema 3.1.
Disegniamo con lo strumento Triangolo un triangolo ABC;
- applichiamo al lato AB la macro Equilat_Circ_Circ per disegnare il triangolo ABR e la
circonferenza circoscritta c1 di centro O1;
- applichiamo al lato BC la macro Equilat_Circ_Circ per disegnare il triangolo ABR e la
circonferenza circoscritta c2 di centro O2;
- applichiamo al lato AC la macro Equilat_Circ_Circ per disegnare il triangolo ABR e la
circonferenza circoscritta c3 di centro O3.
Figura_3_1
Chiamiamo le circonferenze c1, c2 e c3 circonferenze di Fermat.
Questa costruzione potrebbe esserci utile in seguito. Creiamo quindi una macro:
- Costruiamo quindi una macro avente come Oggetti iniziali tre punti e come Oggetti finali il
triangolo da essi determinato, le sue tre circonferenze di Fermat e i loro centri; con lo
strumento Definizione di una macro diamo alla macro il nome Circonferenze_Fermat.
Salviamo la macro anche come file.
Mettiamo alla prova la macro.
- Selezioniamo la macro Circonferenze_Fermat e disegniamo tre punti. La macro, oltre ai tre
punti, disegna tutti i punti finali richiesti.
- Salviamo la figura.
SCHEDA 13.1
Le tre circonferenze di Fermat hanno molte proprietà. Ne elenchiamo alcune.
1) Le tre circonferenze di Fermat si intersecano in un punto F (che chiamiamo punto di
Fermat)
2) Il triangolo O1O2O3 è equilatero (Teorema di Napoleone)
3) I punti FCR sono allineati
4) I punti FAP sono allineati
5) I punti FB e Q sono allineati
6) I segmenti AP, BQ e CR hanno uguale lunghezza
7) AF+BF+CF=AP = BQ = CR
Alcune di queste proprietà si dimostrano facilmente. Altre meno.
Il fatto interessante è, che di solito, la proprietà 1), sebbene sia ben visibile, non sempre
viene osservata.
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SCHEDA 27 (parte)
6. Triangoli equilateri circoscritti a triangoli.
In tutti i problemi esaminati fino ad ora non abbiamo mai trovato grandi difficoltà nel disegnare
con Cabri le figure proposte. Le difficoltà sono di solito nate nel momento in cui abbiamo
cercato di dimostrare ciò che le figure costruite suggerivano.
Vogliamo ora studiare un problema nel quale la prima difficoltà risiede proprio nella
costruzione della figura con Cabri.
Consideriamo il seguente problema descritto a pagina 25 del libro di Maria Dedò
Trasformazioni geometriche, Decibel, Zanichelli, Bologna, 1996
Problema 6.1.
Dato un triangolo ABC, determinare
A*,B*,C* ad esso circoscritto.
un
triangolo
C*
B
A
A*
C
B*
Figura_6_1
Il problema non è di facile soluzione. Diamo pertanto qualche suggerimento.
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equilatero
SCHEDA 28
Sviluppo del problema 6.1.
Mostriamo alcuni particolari che nella Figura_6_1 avevamo nascosto.
C*
B
A
B*
A*
C
Figura_6_2
Riproponiamo il nostro problema.
Problema 6.2.
Determinare un triangolo equilatero circoscritto al triangolo
ABC.
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SCHEDA 29
Sviluppo del problema 6.2.
Forse il problema non è ancora di facile soluzione. Mostriamo allora qualche altro particolare e
riproponiamo il nostro problema.
C*
C'
B
A
A*
C
B*
A'
B'
Figura_6_3
Problema 6.3.
Determinare un triangolo equilatero circoscritto al triangolo
ABC.
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SCHEDA 30
Sviluppo del problema 6.3.
Ora dovrebbe essere tutto chiaro. Gli archi di circonferenza disegnati sono archi delle
circonferenze di Fermat del triangolo ABC. Questi archi sono i luoghi dei punti del piano esterni
al triangolo che vedono i tre lati con angoli di 60°.
La costruzione di un triangolo A*B*C* circoscritto al triangolo ABC è presto fatta.
Scegliamo un qualsiasi punto C* sull’arco AC’B e da esso conduciamo le semirette passanti
per A e B.
Esistono pertanto infiniti triangoli equilateri che circoscrivono il triangolo ABC.
Descriviamo in tutti i suoi particolari l’algoritmo di costruzione di un triangolo equilatero
circoscritto al triangolo ABC.
− Con gli strumenti Punto e Segmento disegniamo tre punti A, B e C e i lati del triangolo ABC;
− con la macro Equilat disegniamo i tre triangoli equilateri ABC’, ACB’, BCA’ esterni al
triangolo;
− con lo strumento Arco di circonferenza disegniamo gli archi di circonferenza AC’B, AB’C e
BA’C;
− con lo strumento Punto su un oggetto disegniamo un punto C* sull’arco AC’B;
− con lo strumento Semiretta disegniamo la semiretta s di origine C* passante per A;
− con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto B* di intersezione della
semiretta s con l’arco di circonferenza AB’C;
− con lo strumento Segmento disegniamo il segmento C*B*;
− con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo la semiretta s;
− con lo strumento Semiretta disegniamo la semiretta s’ di origine C* passante per B;
− con lo strumento Intersezione di due oggetti disegniamo il punto A* di intersezione della
semiretta s’ con l’arco di circonferenza CA’B;
− con lo strumento Segmento disegniamo il segmento C*A*;
− con lo strumento Mostra/Nascondi nascondiamo la semiretta s’;
− con lo strumento Segmento disegniamo il segmento A*B*.
Il triangolo A*B*C* è uno dei triangoli equilateri circoscritti al triangolo ABC. Muovendo il
punto C* sull’arco AC’B otteniamo tutti i triangoli equilateri circoscritti al triangolo ABC.
Problema 6.4.
Abbiamo risolto completamente il nostro problema?
SCHEDA 31
Sviluppo del problema 6.4.
In effetti dobbiamo ancora mettere in luce alcuni particolari.
Notiamo innanzitutto che, se spostiamo il punto C* in vicinanza del punto B, non appare più il
punto B*.
C'
C*
A
B
C
A*
A'
B'
Figura_6_4
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Analogamente, se spostiamo il punto C* in vicinanza del punto A, non appare il punto A*.
C'
C*
A
B
C
B'
A'
B*
Figura_6_5
Ci siamo resi conto che non possiamo scegliere il punto C* in un punto qualsiasi dell’arco AC’B.
Ci poniamo allora il seguente:
Problema 6.5
In quale parte dell’arco AC’B dobbiamo scegliere il punto C*?
SCHEDA 32
Sviluppo del problema 6.5.
Osserviamo di nuovo la Figura_6_4. Notiamo che il punto B* non appare perché la semiretta con
origine C* passante per A interseca la circonferenza di Fermat AB’C, oltre che in A, in un punto
non appartenente all’arco AB’C.
Nel caso della Figura_6_5 la situazione è analoga.
E’ facile ora capire che dobbiamo considerare, se esistono:
− l’intersezione A’’ con l’arco AC’B della tangente nel punto B alla circonferenza di Fermat c2;
− l’intersezione B’’ con l’arco AC’B della tangente nel punto A alla circonferenza di Fermat c3.
C'
C*
B''
A''
A
B
C*
C
A'
B*
Figura_6_6
Possiamo ora rispondere al problema 6.5:
Dobbiamo scegliere il punto C* sull’arco A’’C’B’’.
Ovviamente, se il punto A’’ (o il punto B’’) non esiste, scegliamo il punto C* sull’arco AC’B’’ (o
sull’arco A’’C’B).
Risolto il problema 6.5., ci chiediamo se vi siano altri problemi.
Problema 6.6.
Abbiamo effettivamente determinato un triangolo equilatero
circoscritto al triangolo ABC?
B'
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SCHEDA 33
Sviluppo del problema 6.6.
In effetti dobbiamo ancora porci la seguente domanda: il triangolo A*B*C* passa per i punti A, B e
C?
Le figure ottenute con Cabri ci danno risposta affermativa. Ma sappiamo bene che ciò non
costituisce una dimostrazione.
Esaminando con attenzione la nostra costruzione notiamo che, dopo aver fissato C*, abbiamo
scelto i punti B* e A* in modo tale che i segmenti B*C* e A*C* contenessero rispettivamente i
punti A e B. Abbiamo poi disegnato il segmento A*B*. Non ci siamo mai posti il problema di
dimostrare che il punto C appartenga al segmento B*A*. Poniamo quindi il seguente problema:
Problema 6.7
Il punto C appartiene al segmento A*B*?
SCHEDA 34
Sviluppo del problema 6.8.
Proprio il fatto che in tutte le figure ottenute con Cabri il punto C sembra appartenere al
segmento A*B* ci fa capire che, se vogliamo farci aiutare da una figura, è conveniente
abbandonare le figure fatte con Cabri e fare un disegno “sbagliato” in cui i punti A*, C e B* non
appaiono allineati. Potremmo fare un disegno a mano libera.
Nella seguente figura noi abbiamo preferito usare Cabri; abbiamo però disegnato tre archi che solo
apparentemente appartengono alle tre circonferenze di Fermat.
Ovviamente nella dimostrazione che ora faremo supporremo che questi tre archi appartengano alle
circonferenze di Fermat e che quindi i suoi punti vedano i tre lati del triangolo ABC sotto angoli di
60°.
C*
B
A
H
K
C
A*
B*
Figura_6_7
Vogliamo dimostrare che l’angolo HCK misura 180°.
Abbiamo:
HCK = HCC* + C*CK
D’altronde, per il teorema sull’angolo esterno ad un triangolo, abbiamo:
HCC* = CC*A* + CA*C*
C*CK= CC*B* + C*B*C
Sommando membro a membro otteniamo:
HCK = CC*A* + CA*C* + CC*B* + C*B*C.
Abbiamo poi:
CA*C* = C*B*C = 60° e CC*B* + CC*A* = B*C*A* = 60°.
L’angolo HCK misura pertanto 180° e quindi il punto C appartiene al segmento A*B*.
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Notiamo che avremmo avuto la stessa dimostrazione se avessimo fatto la seguente figura:
C*
B
A
A*
B*
C
K
H
Figura_6_8
Abbiamo finalmente dimostrato che il triangolo A*B*C* è circoscritto al triangolo ABC.
In effetti si può dare un’altra dimostrazione di ciò modificando leggermente la costruzione.
Consideriamo un punto C* sull’arco AC’B così come abbiamo fatto nella costruzione
precedente.
Consideriamo la semiretta di origine C* passante per A e la sua intersezione B* con l’arco
AB’C così come abbiamo fatto nella costruzione precedente.
Consideriamo la semiretta di origine C* passante per B e (qui sta la novità) la semiretta
passante per B* passante per C.
Consideriamo il punto B** di intersezione di queste due ultime semirette.
Il triangolo C*B*A** è, per costruzione, circoscritto al triangolo ABC.
Si dimostra come nella costruzione precedente che gli angoli del triangolo C*B*A** di
vertici C* e B* sono di 60°. Pertanto anche il terzo angolo del triangolo, quello di vertice A**,
è di 60°.
Il triangolo C*B*A** è quindi equilatero. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
C'
C*
B
A
A**
C
B'
B*
A'
Figura_6_9.
Osserviamo infine, che poiché il punto A** vede il segmento AB con un angolo di 60°,
appartiene all’arco CA’B della circonferenza di Fermat. Pertanto il punto A** coincide con il
punto A* costruito con la precedente costruzione.
Abbiamo dato due dimostrazioni differenti.
Per dare queste due dimostrazioni abbiamo dovuto “dimenticarci” alcune proprietà
“VNOD” (Visibili ma Non Osservate nei Diagrammi).
Nella prima dimostrazione abbiamo dovuto “dimenticarci” che i punti B*CA* sono
allineati. Per far ciò abbiamo dovuto creare dei “falsi” diagrammi.
Nella seconda dimostrazione abbiamo dovuto “dimenticare” che il punto A* appartiene
all’arco CA’B della circonferenza di Fermat. Per far ciò abbiamo nascosto l’arco CA’B.
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Il tappeto di Dubnov
Abbiamo visto come in alcuni casi non vengano osservate proprietà ben visibili nei diagrammi.
Abbiamo chiamato queste proprietà VNOD. Abbiamo avuto un esempio di proprietà VNOD con le
circonferenze di Fermat (scheda 13.1) e un altro con il triangolo equilatero circoscritto ad un
triangolo (scheda 34). Ciò accade molto spesso con gli studenti. Per esempio accade che molti
studenti, nel costruire la circonferenza circoscritta ad un triangolo (scheda 5) non si chiedano perché
la circonferenza avente il centro nell’intersezione di due assi del triangolo e passante per uno dei
vertici del triangolo, passi anche per gli altri due vertici del triangolo e quindi non sentano la
necessità di dimostrare ciò.
E’ interessante notare come, nel dimostrare ciò, si dimostri anche che i tre assi di un triangolo si
intersecano in un punto. Anche quest’ultima proprietà non viene di solito osservata esplicitamente
dagli studenti che usano un diagramma di geometria dinamica.
Ne segue che un uso non accorto di programmi di geometria dinamica può indurre gli studenti a
considerare inutile dimostrare ciò che “si vede” nel diagramma.
Si rende necessario quindi far capire agli studenti quanto sia necessaria una dimostrazione anche
quando il diagramma mostra l’evidenza di un’affermazione. Proprio un uso accorto di programmi di
geometria dinamica può far capire agli studenti la necessità delle dimostrazioni.
Eccone un esempio che prende spunto dal primo problema trattato nel libro Ya. S. Dubnov Errori
nelle dimostrazioni di geometria purtroppo fuori commercio da tempo.
Abbiamo riprodotto con Cabri il disegno che si trova nel libro. Quest’ultimo ha più di 50 anni. Non
era stato quindi previsto l’uso di Cabri.
21
C
B
13
8
D
A
13
P1
21
P2
D'
13
B'
A'
C'
Il disegno “dimostra” che un quadrato di lato uguale a 21 cm ha la stessa area di un rettangolo di lati
34 e 13. Poiché 21x21=441 e 34x13=442 la “dimostrazione” è sbagliata.
Per capire quale errore si è commesso nella “dimostrazione” apriamo il file Tappeto di Dubnov.
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I punti base del disegno sono solo due, i punti P1 e P2.
Ne segue che muovendo uno dei due punti si muove tutta la figura. Sia il quadrato che il rettangolo.
Allontanando il punto P2 dal punto P1 la figura si ingrandisce. Con un ingrandimento opportuno ci
si accorge che l’ipotenusa del triangolo D’ non coincide con il lato del trapezio A’ e che l’ipotenusa
del triangolo C’ non coincide il lato del trapezio B’. Insomma tra A’, B’, C’ e D’ c’è un “buco” la
cui area è ovviamente uguale a 1.
Per avere un’idea di come sia stato costruito il disegno si può usare lo strumento Ricostruzione
passo a passo (si trova nella icona Edita) per vedere via tutti i passi della costruzione.
Può anche essere utile usare lo strumento Mostra-Nascondi per rendere visibili tutti gli oggetti che
sono stati necessari per la costruzione.
Esempi come questo dovrebbero convincere gli studenti che è necessario verificare la verità o
falsità di ciò che appare in un diagramma.
Nel paragrafo “Dimostrazioni dinamiche senza parole e proprietà nascoste” di “Movimento,
percezione e dimostrazione” scaricabile da
http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/
viene discusso più approfonditamente questo argomento.
I triangoli e i trapezi usati nel “tappeto di Dubnov” rettangolare sono immagini attraverso opportune
trasformazioni geometriche delle analoghe figure che compongono il tappeto di Dubnov. Si
selezionano le varie trasformazioni geometriche con la seguente icona:
L’uso di questi strumenti può essere molto utile per illustrare varie proprietà delle isometrie.
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“Ellisse” di Piazza San Pietro
Consideriamo la seguente costruzione utilizzata da Bernini per disegnare la pianta di Piazza San
Pietro.
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Per descrivere la figura abbiamo usato la Descrizione della figura che può essere visualizzata da
Cabri premendo il tasto F10.
La figura rappresentata in rosso è data dai quattro archi di circonferenza disegnati per ultimi.
Per darle maggior evidenza, l’abbiamo appunto disegnata in rosso. Per far ciò abbiamo dovuto
innanzitutto mostrare la Barra degli attributi premendo il tasto F9. Poi abbiamo scelto il colore
usando la prima icona dall’alto della barra degli attributi (quella rappresentata da una matita).
Abbiamo poi rappresentato i quattro archi con un tratto più marcato usando la quinta icona della
barra degli attributi.
Abbiamo poi tratteggiato le rette e le circonferenze che ci sono servite per costruire i quattro archi.
Per far ciò abbiamo usato la sesta icona della barra degli attributi.
Ora che abbiamo capito come fare la figura rappresentata nella pagina precedente, torniamo a ciò
che essa rappresenta.
I quattro archi di circonferenza formano una curva che chiamiamo D.
La curva D appare essere un’ellisse.
ESERCIZIO: Verificare se la curva D è effettivamente un’ellisse.
Nel caso in cui ciò non sia vero, tracciare con Cabri l’ellisse E che meglio approssima la curva D.
Per avere un’idea della risposta, si può usare lo strumento Conica
che disegna la conica passante per cinque punti. Infatti, dati 5 punti, esiste una ed una sola conica,
eventualmente degenere (cioè formata da due rette coincidenti o distinte), passante per essi.
Questa unità didattica prende spunto dall’interessante articolo Matematica, Astronomia,
Architettura: Un incontro di Lina Mancini Proia, pubblicato nel bel libro Lina Mancini Proia:
Geometria in Cielo e in Terra (a cura di M. Menghini e M.R. Trabalza), Edizioni dell’Arquata,
Perugia, 2003.
Il libro ricorda la Professoressa Lina Mancini Proia la quale ha insegnato per molti anni matematica
al Liceo Virgilio di Roma.
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