19. Cos'è la forma?
Un percorso didattico sulla similitudine delle figure piane
Contesto
L'attività proposta, rivolta agli studenti della seconda classe delle scuole secondarie di secondo
grado, va inserita fin dall'inizio della trattazione del modulo didattico sulle omotetie e similitudini,
fungendo al tempo stesso sia da strumento di motivazione degli allievi che da guida per lo sviluppo
delle relative tematiche senza sottovalutare, infine, la capacità di svolgere il ruolo di ponte di
collegamento con aspetti della geometria solida dei programmi del triennio successivo. Per questo
motivo l'attività non è inquadrata in una specifica unità didattica ma costituisce, essenzialmente, lo
scheletro sul quale si imperniano tutte le unità didattiche afferenti al modulo di appartenenza.
Obiettivi
Gli obiettivi cui mira l’attività descritta nella presente scheda sono riassunti nella seguente tabella
in forma di abilità e conoscenze che gli studenti dovranno acquisire, accompagnate dalla
specificazione dei nuclei coinvolti e dei collegamenti interdisciplinari
Abilità
Individuare nel mondo
reale situazioni
riconducibili alla
similitudine e descrivere
le figure con la
terminologia specifica.
Conoscenze
Nuclei coinvolti
Teorema di Talete
Spazio e figure
Storia dell’arte
Omotetie nel piano
Numeri e algoritmi
Scienze
Similitudini nel piano Argomentare
come composizione congetturare e
di un’isometria e di dimostrare
Determinare l’altezza di
un’omotetia.
un edificio utilizzando la
Misurare
tecnica di Talete, con una Invarianti
delle
fotografia e con uno
similitudini
Risolvere e porsi
specchio
problemi
Individuare proprietà
invarianti per similitudini.
Collegamenti
Disegno
Fisica
Laboratorio di
matematica
Analizzare e risolvere
semplici problemi
riguardanti la similitudine
Prerequisiti
•
Concetto di misura
•
Concetto di trasformazione geometrica (le isometrie);
•
Concetto di proporzione
•
Proprietà delle figure piane (in particolare rette, triangoli e quadrilateri)
94
Attività proposte
[descrizione dei contenuti trattati e degli oggetti impiegati]
1. Discussione in classe, con modalità di brainstorming, su cosa sia la forma e la sua percezione
e/o rappresentazione. Oggetti impiegati: fogli di carta di varie forme rettangolari, banchi, cattedra,
lavagna, finestre, porte, zainetti, penne e in generale tutti gli oggetti presenti in aula, nonché tutti
quelli visibili oltre la porta (eventualmente aperta) e le finestre.
2. Attività di laboratorio: la forma veicola in sé delle informazioni che possono essere in qualche
modo sfruttate. Per esempio due oggetti che hanno la stessa forma ma dimensioni diverse portano
con loro ciascuno informazioni riguardanti l’altro. Conoscendo le dimensioni dell’uno è possibile
dedurre quelle dell’altro. Nella fattispecie si individuano le seguenti attività che possono essere
svolte indipendentemente, in alternativa o congiuntamente a discrezione del docente, volte a far
emergere il concetto di rapporto di omotetia:
a) fotografia come strumento di misura. Oggetti utilizzati: Computer collegato a Internet,
proiettore digitale, fotocamera, metro.
b) Uno strumento che conserva la forma: l’ingranditore fotografico. Oggetti utilizzati:
ingranditore (eventualmente simulato con una lavagna luminosa), metro.
3. Familiarizzazione con il concetto di omotetia: La misura della piramide da parte di Talete.
Oggetti utilizzati: cannucce di varie dimensioni, metro.
4. Sistemazione teorica dei concetti affrontati: l’omotetia e gli invarianti
5. Valutazione intermedia: La misura con uno specchio. Attività complementata da esperimento a
casa con specchio e metro.
6. La similitudine.
7. La definizione di forma.
8. Valutazione finale.
9. Certificazione delle competenze.
10. Eventuali approfondimenti.
Modalità
Brainstorming, lezione frontale, lavoro di gruppo con scheda guida, attività individuale, uso del
laboratorio, ecc. Il principio guida consiste nel far scoprire agli allievi i concetti che devono
apprendere mediante il loro coinvolgimento diretto in attività che li vedono protagonisti, elemento
motivante, mentre la sistemazione teorica verrà svolta successivamente.
Strumenti e materiali necessari
•
•
•
•
•
•
•
Fogli di carta;
Fotocamera;
Ingranditore fotografico se disponibile (eventualmente simulabile con una lavagna luminosa);
Computer, proiettore digitale;
Specchi
Metro
Cannucce di diversa lunghezza
95
Tempi
Le attività proposte si svolgeranno secondo la tempistica riportata nella seguente tabella:
Attività
Durata
1 ora
1 ora + attività a casa
1 ora
1 ora
1 ora
1 ora + attività a casa
3 ore
1 ora
1 ora
1. Discussione
a. Foto
b. Ingranditore
3. Talete e l’omotetia
4. Teoria: omotetia e invarianti
5. La misura con lo specchio
6. Teoria: La similitudine
7. La forma
8. Verifica finale
2. Laboratorio
Non sono indicate le ore adibite ad attività di esercitazione, essendo dipendenti dalla classe in cui
si opera.
Descrizione delle attività
Fase 1: Cos’è la forma?
Lo scopo della fase iniziale è duplice: individuare le conoscenze degli studenti in merito al concetto
di forma e far emergere alla consapevolezza degli stessi i suoi aspetti più salienti, già noti in forma
intuitiva forse ma non ancora esplicita. Gli allievi dovrebbero comprendere, per esempio, che due
oggetti di “forma rettangolare” (o meglio parallelepipedi) non hanno in genere la stessa forma, cosa
che invece necessita l’uguaglianza delle proporzioni tra le varie parti.
La classe divisa in gruppi di 3 o 4 studenti discute, in modalità brainstorming, il concetto di forma
stimolata dalle seguenti domande:
•
Cos’è la forma? Ci sono in aula oggetti che hanno la stessa forma?
•
Quali sono le proprietà che si conservano in due oggetti che hanno la stessa forma?
•
Due rettangoli hanno la stessa forma? In quali casi si può rispondere affermativamente?
•
Piegate a metà una o più volte i fogli di carta che vi sono stati forniti. Ottenete rettangoli che
hanno la stessa forma dei fogli originali?
•
È possibile che due oggetti con la stessa forma ci appaiano avere forma diversa?
•
L’immagine che si vede in una fotografia ha la stessa forma dell’oggetto fotografato?
Tra i vari fogli rettangolari forniti al gruppo c’è anche un foglio A3 con le
suddivisioni corrispondenti a formati standard di dimensione minore, come
in figura
Ad ogni gruppo viene fornito un foglio di formato A3 per registrare le idee di
ogni membro e formulare assieme una sintesi
1______
2______
Sintesi
3______
4______
96
Al termine della discussione all’interno di ciascun gruppo, che dura circa mezz’ora, i gruppi si
confrontano tra loro per comparare e condividere i risultati. Il foglio di registrazione facilita l’analisi
della situazione d’ingresso da parte del docente.
Fase 2: Prime analisi della forma in laboratorio
Dopo aver preso coscienza dei principali aspetti che bisogna dominare quando si parla di forma, la
classe viene coinvolta in attività laboratoriale per prendere confidenza con gli aspetti legati alla
misura di oggetti che hanno la stessa forma ma sono tra loro diversi per dimensione. Vengono
proposte due tipologie di attività indipendenti l’una dall’altra che, a discrezione del docente,
possono essere svolte in alternativa o congiuntamente, ma hanno entrambe lo scopo di far
emergere il concetto di rapporto di omotetia. Si osservi che, strettamente parlando, le
trasformazioni considerate (ed effettivamente eseguite) sono similitudini o omotetie nello spazio
anche se riguardano solo proprietà di figure piane (ottenute, per esempio, per proiezione di figure
solide su un piano).
a.
La fotografia come strumento di misura
Può capitare di dover misurare le dimensioni di un oggetto anche se non sono direttamente
accessibili, per esempio l’altezza di un edificio. La misura può essere fatta, in questo caso, su un
modellino in scala (quando la scala è nota) o su una rappresentazione bidimensionale che
conservi la forma, come una fotografia.
Si propone, per sperimentare prima di farlo in prima persona, la misura di un edificio o monumento
mediante ricerca in Internet di fotografie che lo ritraggono. Il passo successivo consiste
nell’applicazione pratica del metodo da parte degli studenti che dovranno misurare l’altezza di un
edificio di loro scelta che fotograferanno nel modo corretto. Gli oggetti utilizzati sono sia di tipo
virtuale (foto che raffigurano edifici) che di tipo reale (edifici veri e propri dei quali si misura la
larghezza).
Per fare un esempio si possono ricercare in Internet foto dell’Empire State Building di New York
che lo ritraggano di fronte e non deformato da fenomeni di prospettiva:
Immagine quasi adatta (non proprio frontale)
Immagine non adatta: deformata dalla
prospettiva
97
Conoscendo la larghezza di una sezione orizzontale dell’edificio è possibile stabilire la scala della
fotografia (rapporto di omotetia) e quindi calcolare la sua altezza. Fortunatamente è possibile
misurare, con qualche margine di errore trascurabile ai fini della discussione, la larghezza si una
sezione dell’edificio sfruttando il programma Google Earth:
Misura della larghezza di una sezione dell’Empire State Building
Dopo aver calcolato l’altezza dell’edificio con questo metodo è possibile ricercare in Internet il dato
reale per confrontarlo con il risultato ottenuto. È importante discutere con la classe le discrepanze
osservate in relazione alla foto utilizzata (frontale o inclinata) e alla precisione della misura
effettuata con Google Earth.
Si consiglia di ripetere il procedimento anche con altri edifici di forma meno regolare, che
presentano angoli non retti, chiedendo per esempio di determinare la lunghezza di parti inclinate,
in modo da rendere più evidenti gli invarianti delle omotetie.
L’esempio analizzato in laboratorio di informatica viene poi messo in pratica a scuola o casa dagli
studenti, in gruppo o singolarmente a seconda della loro preferenza e da
aspetti logistici, seguendo la scheda guida riportata in allegato (S1).
b.
Uno
fotografico
strumento
che
conserva
la
forma:
l’ingranditore
L’ingranditore, visibile nella figura a lato, opera come un proiettore per
diapositive. Esso è, in definitiva, solo una scatola che emette luce, la cui
forma è stata adattata in modo tale che funzioni come un proiettore
verticale di negativi; ciò consente di avere sulla carta da stampa, posta alla
base, immagini di formato superiore a quello del negativo da ingrandire
posto tra la sorgente luminosa e l'obiettivo. La luce, attraversato il negativo,
è costretta a passare attraverso l’obiettivo (che svolge la funzione di messa
a fuoco) e, successivamente, raggiungendo la carta posta sul piano dell'ingranditore, che è
stratificata con un’emulsione fotosensibile che contiene cristalli di atomi di argento, proietta su di
essa l’immagine del negativo.
L’annerimento dell’immagine stampata dipende dalla quantità di cristalli di argento che si trasforma
in argento metallico grazie all’azione della luce incidente (l’immagine risulterà visibile solo in
98
seguito allo sviluppo). Quindi, tanta più luce incide sulla carta fotografica, tanto più l’immagine
risulterà annerita.
Disponendo di una camera oscura, si propone agli studenti un’attività volta a analizzare due
problematiche di carattere matematico inerenti la stampa delle fotografie:
1.
Avendo già eseguito una stampa corretta di piccole dimensioni (ad esempio su un formato
di carta di 10 × 15 cm), come fare ad ottenerne una di area doppia, tripla, ecc.? Di quanto si deve
alzare la colonna dell'ingranditore? In generale, volendo ottenere una stampa di area kx da una
stampa di area x, di quanto bisogna spostare la colonna dell’ingranditore?
2.
Come si deve variare il tempo di esposizione alla luce nel caso di un ingrandimento in
modo che non cambi il grado di annerimento della fotografia, cioè che questa non risulti più
sbiadita o più scura?
Gli oggetti e i materiali utilizzati sono:
•
Ingranditore fotografico (già disponibile);
•
Metro flessibile;
•
Stecca almeno da 50 cm;
•
Un cronometro contasecondi;
•
Quaderno e penna;
•
Un ambiente completamente buio (se non si dispone di una camera oscura);
•
Lo stretto necessario presente in una camera oscura (acqua, bagni di sviluppo e fissaggio,
carta fotografica in bianco e nero, bacinelle, pinzette, luce rossa di sicurezza, immagini negative su
pellicola in bianco e nero).
In questo modo è possibile stampare effettivamente le fotografie e l’esperienza diventa più
interessante per gli studenti, soprattutto in relazione a un lavoro interdisciplinare svolto assieme ad
un insegnante di fotografia.
Se non si dispone né di camera oscura né di un ingranditore l’esperienza può comunque essere
svolta utilizzando una lavagna luminosa per simulare l’ingranditore; la questione dell’annerimento
della carta fotografica corrisponde esattamente, in questo caso, alla variazione dell’intensità
dell’immagine proiettata in relazione alla variazione della distanza dello schermo dalla lavagna.
Gli allievi dovranno prendere familiarità con il fatto geometrico che sta alla base del processo di
ingrandimento, che verrà in seguito chiamato omotetia (in questo caso inversa). Gli studenti,
sperimentando, scopriranno che il rapporto tra le aree delle due figure, quella piccola e quella
ingrandita, sarà uguale al quadrato del rapporto tra le rispettive altezze della colonna
dell’ingranditore.
Analogamente, il rapporto tra i tempi di esposizione è legato all’energia dell’onda luminosa che si
propaga distribuendosi uniformemente su superfici sferiche, quindi è nuovamente uguale al
quadrato del rapporto tra le rispettive altezze della colonna dell’ingranditore.
L’attività sarà guidata dalla scheda allegata (S2) che i gruppi useranno sia durante la fase pratica,
svolta a turni, che in preparazione di questa nell’attesa del proprio turno e in seguito per l’analisi
dei dati.
Le misurazioni dell’altezza della colonna dell’ingranditore verranno fatte con il metro flessibile: più
precisamente andrà misurata la distanza tra l’obiettivo dell’ingranditore e il piano di appoggio (dove
si porrà la carta fotografica); ci si potrà limitare ad una precisione di mezzo centimetro. Per
misurare il tempo di esposizione sarà sufficiente una precisione al secondo.
Gli studenti saranno chiamati ad eseguire delle verifiche delle loro congetture, provando a variare
l’area di stampa e modificando di conseguenza l’altezza della colonna dell’ingranditore. Tutti i
valori dovranno essere annotati.
Una seconda serie di misurazioni andrà fatta per determinare il corretto tempo di esposizione negli
ingrandimenti. L’immagine (o un suo dettaglio) sarà stampato diverse volte con tempi diversi (per
esempio intervallati da 2 o 3 secondi) e, alla fine, si giudicherà quale delle stampe effettuate sarà
più vicina (come tonalità di grigi) alla stampa di prova.
Si lascia al singolo docente la semplice modifica dell’attività e della corrispondente scheda qualora
si utilizzi la lavagna luminosa.
99
Fase 3: La misura della piramide da parte di Talete
Esistono diverse tecniche di misura che sfruttano la similitudine. Senza spiegare ancora il concetto
di similitudine, si affronta l’omotetia ancora una volta in modo intuitivo attraverso una attività di
gruppo guidata, di tipo problematico, in cui si chiede di misurare con le ombre la lunghezza di
oggetti come le cannucce seguendo l’aneddoto che riferisce dell’analoga misura di Talete.
Alla classe viene presentato l’aneddoto nella seguente forma:
“Talete partì da Mileto, un giorno d’estate, su una nave
diretta in Egitto. Si imbarcò poi su una feluca che risaliva
il Nilo e, dopo un viaggio di alcuni giorni, giunse a vedere
le piramidi …
Man mano che si avvicinava alla piramide di Cheope i
suoi passi diventavano sempre più lenti come se quella
piramide, in ragione della sua massa, riuscisse a
rallentare la sua avanzata …
Quel monumento volutamente smisurato rappresentava
una sfida per Talete. Pensò: ‘Se la mia mano non può
effettuare la misurazione, lo farà il mio pensiero’.
Osservò la propria ombra, quindi guardò il sole con aria
di complicità: aveva trovato il suo alleato!
Si sdraiò per terra e fece due segni sulla sabbia, uno con
la testa e l’altro con i piedi quindi si alzò e tracciò una
linea tra i due segni. Poi disse al fellah ( contadino della
valle del Nilo) che lo accompagnava: ‘Ora mi metterò in
piedi in una estremità di questa linea ed aspetterò che la mia ombra sia altrettanto lunga. Quando
ciò accadrà tu correrai a segnare il punto in cui arriverà l’ombra della piramide perché ….’”
[Tratto dal “Teorema del pappagallo “ di D Gjedj ed. Longanesi]
Lasciato in sospeso il racconto ai gruppi, formati da 3 o 4 studenti, viene fornita la scheda di attività
allegata (S3) che li guida a riflettere sull’aneddoto e ad eseguire la misura della lunghezza di una
cannuccia mediante il confronto tra le ombre che questa e un’altra più corta proiettano sul banco.
Fase 4: Sistemazione teorica del concetto di omotetia
Analizzato ampiamente dal punto di vista pratico, il concetto di omotetia (e degli invarianti di tale
trasformazione) viene formalizzato attraverso una trattazione teorica del docente che, mentre
sistema l’argomento in modo rigoroso, stimola comunque gli studenti attraverso domande
appropriate. Vengono discussi il teorema di Talete e le sue applicazioni, la definizione di omotetia
e alcune esemplificazioni notevoli.
Fase 5: Valutazione intermedia – La misura con uno specchio
Per verificare l’apprendimento degli studenti fino a questo punto, e quindi predisporre le necessarie
attività correttive, è necessario somministrare una prova di valutazione nella quale gli studenti sono
invitati ad affrontare un problema simile ma nuovo: la progettazione di un esperimento di misura
dell’altezza di un albero mediante uno specchio, sfruttando il concetto di omotetia.
100
Ai gruppi di 2 studenti viene
presentata
la
scheda
allegata (S4), in cui sono
specificate le richieste, e
sono lasciati liberi di trovare
una soluzione entro un
tempo limite di mezz’ora.
Nella mezz’ora successiva,
dopo
aver
ritirato
gli
elaborati, si procederà alla
distribuzione della scheda
seguente (S5) che riporta
una traccia di soluzione da
completare, in modo che gli studenti abbiano un ritorno immediato su quali erano i ragionamenti da
mettere in atto per ottenere il risultato richiesto qualora non fossero riusciti autonomamente. L’esito
della prova potrà essere usato a discrezione del docente sia come elemento di valutazione
effettivo che come semplice indicatore dell’apprendimento.
L’insegnante propone alla classe la realizzazione effettiva della misura a scuola o a casa a
seconda delle esigenze e delle possibilità.
Fase 6: Teoria – La similitudine
A questo punto si introduce, con la stessa modalità della fase 4, il concetto di similitudine come
composizione di una omotetia con una isometria, si studiano le proprietà della trasformazione
(invarianti), si trattano i criteri di similitudine dei triangoli, si possono discutere e/o (ri)dimostrare i
teoremi di Euclide, si discute la similitudine nei poligoni (compresi il perimetro e l’area di poligoni
simili) e l’applicazione della similitudine alla circonferenza (teoremi delle corde e delle secanti).
Fase 7: La definizione di forma
Finalmente il cerchio si chiude: sono disponibili tutti gli strumenti per definire dal punto di vista
matematico il concetto di forma – la classe di equivalenza delle figure simili tra loro. In questa
ultima fase, prima della valutazione finale, si può ridiscutere quanto è emerso nella prima alla luce
di ciò che è stato appreso, permettendo così una valutazione critica da parte di tutti sul percorso
realizzato.
Fase 8: Valutazione finale
La valutazione finale dell’intero modulo coinvolge singolarmente ogni studente attraverso la
somministrazione di una prova scritta preparata dal docente. Ovviamente sono utilizzabili tutti gli
strumenti di valutazione esistenti.
Fase 9: Certificazione delle competenze
Si prevede anche una successiva fase di certificazione delle competenze acquisite mediante la
somministrazione di una prova in cui si evidenzino pure le capacità progettuali degli studenti: la
discussione di una situazione reale o realistica, eventualmente affiancata da una prova pratica di
applicazione della soluzione trovata .
Valutazione degli allievi
Per quanto riguarda la valutazione degli allievi si faccia riferimento alle corrispondenti fasi
individuate in precedenza e alle schede allegate.
101
Spunti per possibili approfondimenti
Dato che le possibilità di applicazione delle similitudini sono ampie, esistono numerose attività di
approfondimento che non possono essere prese in considerazione esaurientemente in questo
ambito. Si esemplificano due attività, la prima è legata all’arte mentre la seconda costituisce un
ponte di collegamento con la geometria solida che si affronterà nel prosieguo degli studi.
La sezione aurea e il rettangolo aureo: un’applicazione della similitudine.
Per introdurre la sezione aurea si può partire di un rettangolo e
ritagliare da esso un quadrato. Se il rettangolo “rimasto” è
simile a quello di partenza allora quello iniziale è detto
“aureo”. Per ragioni misteriose viene considerato il
rettangolo più “bello”, da cui il largo impiego in architettura e
nell’arte come testimoniano per esempio le strutture del Partenone
di Atene o dell’Arco di Costantino a Roma, anche se attualmente
siamo più abituati al formato A4 invece che al rettangolo
aureo.
Il rapporto tra il lato maggiore e il lato
minore di questo
rettangolo si dice “rapporto aureo” (in inglese, “golden ratio”; in
francese “nombre d’or”). Il rapporto aureo di solito è indicato con
la lettera greca tau . Il matematico Luca Pacioli (circa 14451509) ha chiamato tale rapporto divina proportione e, ispirato da
Piero della Francesca (circa 1416 - 1492), ha scritto su di esso un
trattato dal titolo De divina proportione (1509).
La costruzione della sezione aurea di un segmento AB è la seguente:
•
•
•
•
•
•
si traccia la perpendicolare ad AB per B;
si prende il punto O in modo che OB sia la metà di AB;
si traccia la circonferenza di centro O e raggio OB;
si congiunge O con A;
si interseca OA con la circonferenza e si trova il punto C;
si riporta OC su AB, trovando il punto P.
La sezione aurea di AB è AP.
Nella figura a lato è rappresentata la costruzione di un rettangolo
aureo a partire da un quadrato iniziale di lato AB (costruzione detta di
Leon Battista Alberti, 1404-1472).
Considerato il quadrato di lato AB, si individua il punto medio M di AB.
Con apertura del compasso AB, si riporta a partire da M il segmento
MC sul prolungamento di AB dalla parte di B, ottenendo il punto E.
La costruzione precedente della sezione aurea si trova negli
Elementi di Euclide e rappresenta la soluzione geometrica della equazione
ottenuta dalla proporzione
=
a : x x : (a − x) ,
x 2 = a(a − x )
la quale esprime la similitudine tra il rettangolo di partenza (di lato maggiore a) e quello che rimane
togliendo un quadrato (di lato x).
Se poniamo a =1, si ottiene l’equazione quadratica
x 2 + x − 1 =0
la cui radice positiva è il numero cercato
102
5 −1
.
2
x=
Un rettangolo in cui il lato minore sia la sezione aurea dell’altro lato si chiama “rettangolo aureo”. Il
rapporto a/x del rettangolo aureo è il numero:
5 +1
≈ 1, 61803398
2
=
τ
quindi x =
1
τ
.
1
x
Dall’equazione x 2 + x − 1 =
0 si ottiene x 2 + x =
1 , ovvero (posto x ≠ 0 ) x + 1 = che fornisce la
notevole proprietà
1+
1
τ
=
τ
Moltiplicando questa uguaglianza per τ si ottiene τ + 1 =
τ 2 e ancora
τ 2 +τ =
τ3
τ 3 +τ 2 =
τ4
cioè ogni potenza ad esponente intero di τ è somma delle due potenze precedenti. Qui
osserviamo una proprietà che “assomiglia” a quella che definisce la celebre successione
dei numeri di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .
Con sorpresa si scopre che in realtà vi è un legame più stretto con questa successione e si
può anche fare osservare, mediante una esplorazione numerica, che il rapporto tra due numeri di
Fibonacci successivi tende, al crescere di n, al rapporto aureo.
La discussione può essere ulteriormente approfondita prendendo in
considerazione un altro tipo di formato rettangolare. Con la grande diffusione
delle stampanti e delle fotocopiatrici, siamo abituati al foglio A4; ma qual è la
storia del foglio A4 e, soprattutto, perché si usa un tale formato di
carta piuttosto di altri?
Un foglio A4 è un rettangolo costruito in modo che piegandolo a metà rispetto al lato maggiore si
ottiene un altro rettangolo simile a quello di partenza che viene indicato come foglio A5.
Se si raddoppia un foglio A4, affiancandone due per il lato più lungo, si ottiene il foglio A3 Simile
al foglio A4.
Chiamato a il lato maggiore e x il lato minore di un rettangolo, si
vuole determinare il rapporto tra a e x in modo che piegando il foglio
secondo la linea tratteggiata della figura a lato si ottenga un
rettangolo simile a quello dato. Ciò si traduce nella seguente
proporzione:
a:x = x:
Da cui si ottiene che x = a
a
2
2
2
Quindi in un foglio A4 il rapporto tra i lati dovrebbe essere 2 . Calcolando il rapporto tra le
103
lunghezze dei lati (297 mm x 210 mm) si ottiene: 1, 4142857 che è un’approssimazione di
2
con quattro cifre decimali esatte, 2 = 1, 414213562373 .
Il foglio A3 ha per dimensioni 297 mm e 420 mm.
Ottica geometrica: la fisica delle lenti sottili, la deformazione prospettica nelle foto e nella
percezione e lo sfruttamento per la misura
Avendo svolto l’attività di laboratorio a. indicata precedentemente nella fase 2, può sorgere la
curiosità di sapere a cosa sia dovuto l’effetto della prospettiva nelle fotografie di un palazzo prese
da vicino e nella percezione stessa che ciascuno di noi ha quando osserva un oggetto molto alto
da vicino. È interessante far osservare agli alunni che alcuni scultori (per esempio …) hanno
considerato tale fenomeno nella realizzazione delle loro opere, rendendole volutamente
sproporzionate in modo tale, però, che l’osservatore le percepisca ben fatte.
La spiegazione si ricava dalla fisica delle lenti sottili, dopotutto sia gli obiettivi fotografici che i nostri
occhi usano proprio le lenti per focalizzare. Brevemente, un raggio luminoso parallelo all’asse
ottico che colpisce la superficie della lente viene deflesso in modo da attraversare il fuoco situato
dalla parte opposta quando fuoriesce dalla lente e viceversa. Se invece il raggio passa per il
centro della lente allora prosegue senza essere deviato.
La figura a pagina seguente illustra il meccanismo e permette di ricavare, attraverso l’uso della
similitudine tra i diversi triangoli coinvolti, la relazione tra fattore di ingrandimento e distanza
dell’oggetto dalla lente.
A
D
B
F
C
F ′ B′
E
A′
Esplicitamente: ABC è simile a A′B′C e quindi AB : BC = A′B′ : B′C ′ . Nella pratica si può
approssimare assumendo che l’immagine si formi essenzialmente su un piano che passa per il
fuoco F ′ , quindi il rapporto d’ingrandimento è
=
i
A′B′ B′C f
,
= =
AB
BC d
dove f è la distanza focale della lente e d è la distanza dell’oggetto dalla stessa.
La larghezza di un oggetto è quindi inversamente proporzionale alla distanza dalla lente, così ad
esempio i binari ferroviari appaiono avvicinarsi man mano che si allontanano da noi
104
Si può anche spiegare facilmente il motivo per il quale i binari appaiono comunque rettilinei
anziché di forma iperbolica come la proporzionalità inversa sembrerebbe suggerire: fissiamo un
sistema di riferimento nella foto che ha per origine il punto in cui convergono i binari. Dal punto di
vista della geometria solida tale punto è la proiezione sul piano dello sfondo della semiretta che
rappresenta lo sguardo dell’osservatore (umano o meccanico che sia), e questa semiretta ha una
distanza fissata h dal piano dei binari (sono paralleli). Il binario di sinistra si trovi a distanza l
rispetto alla proiezione sul piano di base dell’occhio dell’osservatore. Allora il generico punto del
binario che si trova a distanza d dall’occhio dell’osservatore ha coordinate
f
f
e y =− h ⋅
d
d
h
e quindi appartiene alla retta di equazione y=
⋅ x . Un discorso analogo vale per
l
x =−l ⋅
l’altro binario.
Ciò detto risulta anche possibile determinare l’altezza di un edificio a partire
dall’esame di una foto che presenta il fenomeno della prospettiva.
La larghezza l nella foto di una sezione posta ad una data altezza permette di
calcolare l’altezza della sezione stessa se si conoscono la distanza focale f
dell’obiettivo, la larghezza reale L e la distanza d dell’osservatore dalla base
dell’edificio:
f⋅
L
l
d
è sufficiente usare il teorema di Pitagora. Se non si conoscesse la distanza focale sarebbe
comunque possibile calcolare l’altezza di un edificio a forma di parallelepipedo: basterebbe
includere nella foto anche la base dell’edificio così, con notazione analoga, si avrebbe
f= d ⋅
lbase
Lbase
Si potrebbe a questo punto ripetere l’esperimento fotografico di misura effettuato nella fase 2
senza preoccuparsi più di eventuali fenomeni prospettici, o si potrebbe sfruttare il fenomeno per
calcolare la lunghezza di una strada dalla misura di una foto.
105
Appendici: Schede studenti
La fotografia come strumento di misura
Classe: _______________
Data:_______________
S1
Studente:________________________
Studente:________________________
Studente:________________________
Edificio da misurare celto:_________________________________________________________
Motivazione della scelta:
Nel fotografare l’edificio è necessario prendere delle precauzioni opportune affinché l’immagine
nella foto abbia la stessa forma dell’soggetto fotografato. Quali sono le considerazioni fatte prima
di fotografare e gli accorgimenti presi per assicurare la buona riuscita della misura?
Macchina fotografica utilizzata:_____________________________________________________
Larghezza della facciata dell’edificio fotografata:_______________________________________
Larghezza misurata sulla fotografia:_________________________________________________
Altezza stimata dell’edificio:________________________________________________________
106
L’ingranditore fotografico
Classe: _______________
Data:_______________
S2
Studente:________________________
Studente:________________________
Studente:________________________
a.
L’ingrandimento
Sistemate la testa dell’ingranditore alla posizione più elevata in modo che la proiezione del
negativo sia completamente contenuta nel foglio di carta da stampa.
A che altezza si trova l’obiettivo dalla base? ___________________________________________
Che dimensioni ha la proiezione del negativo? _________________________________________
Spostate la testa dell’ingranditore in modo che le dimensioni della proiezione dimezzino, diventino
un terzo, diventino un quarto e registrate le corrispondenti altezze dell’obiettivo:
•
dimensioni dimezzate: h = ____________
•
dimensioni divise per 3: h = ____________
•
dimensioni divise per 4: h = ____________
Che relazione c’è tra le dimensioni lineari della proiezione e l’altezza dell’obiettivo?
Quali sono le proprietà della foto che rimangono invariate nei processi di ingrandimento e
riduzione?
A che altezza deve trovarsi l’obiettivo in modo che l’area della proiezione sia doppia o tripla
rispetto a quella dell’ultima fra le precedenti situazioni? Giustificate la risposta e verificate la
correttezza con l’ingranditore.
Segue
107
S2
b.
L’esposizione
L’annerimento della carta da stampa dipende da quanta luce colpisce ogni suo punto, quindi dal
tempo di esposizione: in effetti la quantità di energia assorbita dalla carta è
direttamente proporzionale
inversamente proporzionale
alla durata dell’esposizione perché ……
Che relazione c’è invece tra l’ingrandimento ed il tempo di esposizione?
Le vostre opinioni.
Se raddoppiano le dimensioni lineari della proiezione quanta luce colpisce una stessa zona (quindi
con la stessa area!) della carta fotografica? Giustificare la risposta.
Quindi il tempo necessario affinché il grado di annerimento sia lo stesso è …….
L’esperimento.
Dopo aver preso nota del tempo di esposizione utilizzato per stampare una foto, stampate foto di
area doppia con tempi di esposizione diversi, intervallati da 2 o 3 secondi l’uno dall’altro.
A quale tempo di esposizione corrisponde la foto con le tonalità di grigi più vicine a quelle della
foto più piccola?
Questo risultato concorda con l’analisi che avete fatto precedentemente? In caso negativo, come
potete spiegare il risultato osservato?
In conclusione, se la superficie della foto viene ingrandita di un fattore n il tempo di esposizione
deve essere moltiplicato per un fattore uguale a _________________.
108
La misura di Talete
Classe: _______________
Data:_______________
S3
Studente:________________________
Studente:________________________
Studente:________________________
Secondo voi Talete riuscì a dire quanto era alta la piramide? Perché?
Ora provate voi: la cannuccia lunga (AB) rappresenta la piramide, la cannuccia corta ( A′B′ )
rappresenta invece l’altezza di Talete. C’è un solo problema: non potete aspettare, come Talete,
che l’ombra e l’oggetto siano della stessa lunghezza!
La situazione è illustrata nel disegno: notate che i raggi del Sole (r), che è molto lontano, arrivano a
colpire la superficie dalla Terra praticamente paralleli tra loro, perciò l’angolo in P e l’angolo in P′
sono tra loro __________________.
Completate con le misure ed eseguite i
calcoli richiesti:
r
r
B′
B
A
P
A′
Altezza della 1° cannuccia: AB = ________
P′
Ombra proiettata: AP = ________________
Altezza della 2° cannuccia: A′B′ = ______
Ombra proiettata: A′P′ = ______________
Calcolo AB : AP = __________
Calcolo A′B′ : A′P′ = __________
Che cosa notate osservando i risultati dei due calcoli?
In base alle risposte date finora, provate a scrivere sul retro della scheda una regola che permetta,
conoscendo le misure di A′B′ , A′P′ e AP, di trovare la lunghezza di AB (cioè l’altezza della
piramide) senza poterla misurare direttamente e senza dover aspettare per forza l’ora in cui gli
oggetti proiettano un’ombra pari alla loro altezza.
A proposito: che ampiezza ha l’angolo tra i raggi del sole e il terreno (angolo in P) quando gli
oggetti proiettano un’ombra pari alla loro altezza?
109
Prova di valutazione intermedia
Classe: _______________
Data:_______________
S4
Studente:________________________
Studente:________________________
Tempo a disposizione: 30 minuti
Dovete misurare l’altezza di un albero molto grande disponendo solo di un decametro e di uno
specchio ma non potete raggiungere la sua cima. Alla luce di quanto è stato discusso in questo
periodo sulle omotetie ideate un procedimento adatto o soddisfare la richiesta e descrivetelo qui
sotto motivando ogni vostra scelta.
Quali figure geometriche possono aiutarvi a ottenere la misura?
Il procedimento di misura è il seguente (con spiegazione):
Spazio disponibile per eventuali illustrazioni:
110
La misura con uno specchio
Classe: _______________
Data:_______________
S5
Studente:________________________
Studente:________________________
Dopo aver individuato l’albero/palo/edificio da misurare e deciso chi fa il protagonista e chi
l’aiutante:
1.
Sistemate lo specchio a terra tra il protagonista e l’albero (come nella figura)
2.
Il protagonista indietreggia dallo specchio finché non riesce a vedere, riflessa nello
specchio, la cima dell’albero
3.
Misurate la distanza tra i suoi piedi e la cima dell’albero riflesso nello specchio
4.
Misurate la distanza tra la cima dell’albero riflesso nello specchio e i piedi dell’albero
5.
Misurate l’altezza del protagonista
6.
Ricordando che quando il protagonista vede l’immagine di un oggetto riflesso in uno
specchio si formano due angoli uguali (gli angoli 1 e 2 della figura), chiamati angolo d’incidenza e
di riflessione,completate il disegno con le lettere ed esplicitate i calcoli necessari per fornire la
risposta.
Come sono i triangoli che vedete nel disegno?
L’albero/il palo/l’edificio è alto _____________
111
