ESERCITAZIONE 7
ESERCIZIO 1 (5.3 dal testo)
Soluzione: a) discreto b) discreto c) continuo d) discreto.
ESERCIZIO 2 (5.10 dal testo)
Determinare la funzione di probabilità del numero di teste nel lancio di una moneta regolare.
Soluzione
Sia X il numero di teste. X può assumere solamente due valori: 0 e 1. Il primo valore viene assunto
quando esce croce e pertanto con probabilità ½ mentre il secondo valore viene assunto quando esce
testa, quindi sempre con probabilità ½. Pertanto la funzione di probabilità richiesta è:
X
0
1
P(x)
0,50
0,50
ESERCIZIO 3 (5.11 dal testo)
Determinare la funzione di probabilità del numero di teste nel lancio di tre monete regolari
indipendenti.
Soluzione
Come nel precedente esercizio sia X il numero di teste. Questa volta X può assumere quattro valori:
0, 1, 2 e 3. Il numero aleatorio X assume valore zero solamente se in nessuno dei tre lanci esce testa.
Essendo i tre lanci indipendenti avremo Pr(X=0) = (1/2) 3 = 1/8. Ragionando in modo analogo si
ricava Pr(X=3)=1/8. Inoltre X assume il valore 1 quando testa esce esattamente una volta. Questo
può avvenire in tre modi (TCC, CTC,CCT) e ciascuno dei tre modi ha probabilità pari ad 1/8
pertanto, essendo i tre eventi disgiunti, avremo Pr(X=1)=1/8+1/8+1/8 = 3/8. Ragionando in modo
simile si ricava Pr(X=2)=3/8. Pertanto la funzione di probabilità richiesta è:
Nota:
X
0
1
2
3
P(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
potuto
osservare
avremmo
che
X
ha distribuzione binomiale (perché?) di
3
parametri(n=3,p=1/2) e di conseguenza Pr(X=x)= (0.5) x (1-0.5) 3 x , x=0,1,2,3 che, ovviamente,
x
fornisce le stesse probabilità ricavate sopra.
ESERCIZIO 4 (5.13 dal testo)
Il numero di computer venduti giornalmente in un negozio è definito dalla seguente funzione di
probabilità:
X
0
1
2
P(x)
0.05
0.10
0.20 0.20
Ricavare:
a) P(3<=X<6)
b) P(X>3)
c) P(X<=4)
d) P(2<X<=5)
3
4
5
6
0.20
0.15
0.10
ESERCIZIO 5 (5.16 dal testo)
Sia data la seguente funzione di probabilità:
X
0
1
P(x)
0.25
0.50
a) rappresentarla graficamente;
b) ricavate e rappresentate graficamente la funzione di ripartizione;
c) ricavate media e varianza.
2
0.25
ESERCIZIO 6 (5.20 dal testo)
Un azienda produce scatole di graffette per carta. Il numero di graffette per scatola varia, come
indicato nella tabella seguente:
Numero di
47
48
49
50
51
52
53
Graffette
Proporzione
0.04
0.13
0.21
0.29
0.20
0.10
0.03
di scatole
a) disegnate la funzione di probabilità
b) Calcolate e disegnate la funzione di ripartizione
c) Qual è la probabilità che una scatola scelta a caso contenga tra 49 e 51 graffette (estremi
inclusi)?
d) Si scelgono a caso due scatole. Qual è la probabilità che almeno una di queste contenga
come minimo 50 graffette?
e) Trovare media e deviazione standard del numero di graffette per scatola
f) Il costo di produzione (in cent) di una scatola di graffette è uguale a 16 + 2X dove X
rappresenta il numero di graffette per scatola. Il ricavo della vendita di una scatola è,
indipendentemente dal numero di graffette contenute, pari a 1,50 dollari. Se definiamo
l’utile come differenza tra ricavo e costo qual è la media e la deviazione standard dell’utile
per scatola?
g)
ESERCIZIO 7 (5.34 dal testo)
Per una variabile binomiale con p=0.7 ed n=18 trovare la probabilità di 12 successi. Qual è la
probabilità che il numero di successi sia inferiore a 6?
ESERCIZIO 8 (5.46 dal testo)
Il responsabile finanziario di un campus rileva che solo il 78% delle le multe per divieto di sosta
viene pagato. Ogni multa è di 2 dollari e nelle ultime settimane ne sono state comminate 620.
a)Trovate media e scarto quadratico medio del numero di multe che verranno pagate
b)Trovate la media e lo scarto quadratico medio della somma che sarà ricavata dal pagamento di
queste multe.
ESERCIZIO 9 (5.52 dal testo)
Calcolare la probabilità di 9 successi in un campione casuale di dimensione n=20 ottenuto da una
popolazione di dimensione N=80 che contiene 42 successi.
ESERCIZIO 10 (5.58 dal testo)
Un funzionario di banca riceve 10 richieste di concessione fido. I profili dei richiedenti sono simili,
5 sono immigrati e 5 no. Alla fine il funzionario approva 6 richieste. Se queste sono state scelte a
caso tra le dieci qual è la probabilità che meno della metà delle richieste approvate sia stata inoltrata
da immigrati?
ESERCIZIO 11 (5.74 dal testo)
Si consideri la seguente distribuzione congiunta:
X
1
2
0
0.20
0.25
1
0.30
0.25
Y
a) Calcolare le distribuzioni marginali di X e di Y;
b)Calcolare la covarianza e il coefficiente di correlazione tra X e Y.
c)Calcolare la media e la varianza della funzione lineare W=X-3Y
