Le misure del raggio e della circonferenza terrestre di Eratostene

Storia
La storia della trigonometria si perde nella notte dei tempi e si è sviluppata grazie al contributo di
molti studiosi che hanno operato in epoche diverse e in differenti culture. Della sua storia più antica
si possono solo seguire le tracce in modo discontinuo, basandosi su testi e trattati di matematica che
ci sono pervenuti o sulle notizie riportate in altre opere.
La trigonometria stabilisce relazioni tra grandezze angolari e grandezze lineari, per cui già in epoca
molto antica gli Egiziani misuravano l'inclinazione di un piano rispetto ad un altro attraverso questa
scienza, anche se allora non era ancora conosciuta come tale.
L'uso delle funzioni trigonometriche nacque però principalmente in astronomia: del resto, gli antichi
popoli della Mesopotamia, detti anche Babilonesi, si dedicavano parecchio alle osservazioni
astronomiche.
Presso i Greci, poi, l'astronomia divenne una scienza molto legata alla matematica e in particolar
modo alla trigonometria, al punto di essere considerata parte integrante di essa.
Gli Indiani non fecero trattazioni sistematiche, anche se la prima apparizione dell'attuale seno di un
angolo si ritrova in una loro opera.
Gli Arabi, dopo un primo periodo in cui proseguirono con l'uso delle corde fatto dai Greci,
adottarono l'uso indiano di lavorare con la funzione seno.
Dal Rinascimento, infine, la trigonometria si sviluppò prevalentemente presso gli Europei, con un
costante sviluppo, fino al secolo XVIII.
-1-
Gli Egiziani - 5000 a.C.
Già in epoca molto antica si possono riscontrare notizie riguardanti la trigonometria nelle forme
originarie.
Gli Egizi furono i primi a utilizzarla per lo studio
dei fenomeni celesti, per prevedere fenomeni
quali la piena del fiume Nilo, ma soprattutto nella
progettazione e nella costruzione delle piramidi.
Essi misuravano l’inclinazione di un piano
rispetto ad un altro con un rapporto tra segmenti:
per esempio, l’inclinazione delle facce di una
piramide rispetto alla base era misurata
utilizzando il seqt o seked, che oggi potremmo
paragonare alla cotangente.
Un noto documento egizio è il papiro di Rhind nel quale ritroviamo lo studio trigonometrico della
costruzione delle piramidi nella risoluzione del problema n.56.
Il papiro di Rhind
Il papiro di Rhind è il più esteso papiro egizio
di natura matematica giunto fino a noi.
Deve il suo nome all'antiquario scozzese
Henry Rhind che lo acquistò nel 1858 a Luxor
in Egitto. È anche noto come papiro di Ahmes
dal nome dello scriba che lo trascrisse verso il
1650 a.C. durante il regno di Aphophis (quinto
sovrano della XV dinastia) traendolo da un
papiro precedente composto fra il 2000 a.C. e
il 1800 a.C. Si trova attualmente al British
Museum che lo acquistò nel 1865; alcuni
piccoli frammenti sono conservati al Brooklyn
Museum di New York.
È scritto in ieratico ed è largo 33 cm e lungo 3
m.
Contiene tabelle di frazioni e 84 problemi
aritmetici, algebrici e geometrici con le relative soluzioni.
-2-
I Babilonesi - 3000 a.C.
La storia delle funzioni trigonometriche si estende per circa 4000 anni.
Vi sono delle prove che indicano che i Babilonesi furono fra i primi ad usare delle funzioni
trigonometriche, in base ad una tabella di numeri scritti su una tavola cuneiforme, detta Plimpton
322, risalente circa al 1900 a.C. che si può interpretare come una tabella di secanti.
L’aspetto particolare del calcolo babilonese fu l’uso di tavole come aiuto per i calcoli.
L'uso delle funzioni trigonometriche
nasce però principalmente in
astronomia:è da notare che gli antichi
popoli della Mesopotamia si
dedicaronono parecchio alle
osservazioni astronomiche per cui si può
capire perché sia nata prima la
trigonometria sferica e dopo quella
piana.
I Babilonesi, inoltre, avevano ereditato
dai Sumeri il sistema posizionale in base
60. Ancora oggi per misurare gli angoli
usiamo il sistema sessagesimale:
suddividiamo, cioè, il grado in 60 partes
minutae primae e ciascuna di queste in
60 partes minutae secundae.
-3-
Gli Indiani - dall' VIII sec. a.C.
Il più antico uso della funzione seno
appare nel testo Sulba Sutras scritto
nell'antica India fra l'ottavo e il sesto
secolo a.C.
In tale opera venne calcolato
correttamente il seno di π/4 (45°) come
1/√2 sebbene non fosse ancora stata
sviluppata la nozione di seno in senso
generale.
La prima apparizione dell'attuale seno di
un angolo si ha nell'opera del
matematico Aryabhata che tabulò i
valori di mezze corde.
Le stesse tabelle appaiono in un’opera di un successivo matematico, Bhaskara, che nel 1150 d.C.
illustrò un metodo più dettagliato per il calcolo del seno di un angolo.
-4-
Gli Arabi
La trigonometria araba nasce contemporaneamente agli studi,
effettuati in astronomia, riguardanti le funzioni circolari. Essa
risente sia degli influssi di quella greca (per quanto riguarda le
corde) sia di quella indiana (per quanto riguarda le tavole del
seno). Sono studiosi di astronomia e di trigonometria degni di
nota Al Battani, Al Biruni e Nasir Al Din Al Tusi.
Verso la fine dell’ VIII secolo gli astronomi islamici,
avvalendosi dei risultati di Greci e Indiani, perfezionarono le
tavole sulla funzione seno e svilupparono una trigonometria
fondata più sull’uso dell’aritmetica e dell’algebra che sulle
nozioni di geometria. Tali tavole erano essenziali per i calcoli
richiesti in numerosa aree della scienza e delle applicazioni
pratiche; si pensi, ad esempio, all'importanza dell'algoritmo di
prostaferesi per la navigazione e l'astronomia a cui si dedicò in
particolar modo Al Khwarizmi.
Negli ultimi anni del X secolo, gli Arabi scoprirono diversi
teoremi fondamentali della trigonometria piana e sferica e sostituirono il valore r = 1 a quello di
derivazione babilonese r = 60, anticipando con questa innovazione le moderne definizioni delle
funzioni trigonometriche. Oltre che in campo astronomico, i risultati ottenuti trovarono svariate
applicazioni pratiche: famoso, ad esempio, è l’uso della trigonometria per individuare la direzione
della Mecca, città a cui rivolgere le preghiere giornaliere prescritte dalla religione islamica.
Infatti, nel mondo arabo, la direzione della
Mecca, la Qibla, era indicata da una nicchia,
la mihrab, tracciata su tutti gli orologi solari
pubblici, la cui direzione era determinata
risolvendo il triangolo sferico avente come
vertici il posto, la Mecca e il polo nord, a
partire dalla conoscenza della latitudine e
della longitudine del posto e della Mecca.
Il X secolo vide la produzione da parte di
Abu'l-Wafa di risultati trigonometrici che
vennero applicati, in particolare da Al Biruni
al problema principale della geometria
matematica, e cioe' la determinazione della
latitudine e longitudine.
L’Occidente latino conobbe la trigonometria
islamica solo a partire dal XII secolo, grazie
alle traduzioni dei manuali astronomici
arabi.
Infine, è importante sottolineare che gli Arabi furono i primi ad utilizzare le funzioni tangente e
cotangente per tracciare i quadranti delle meridiane. Per questo motivo tali funzioni furono
chiamate, in origine, ombra recta e ombra versa.
-5-
Gli antichi Greci - da III sec. a.C.
La trigonometria presso i Greci è molto legata all' astronomia essendo una scienza legata alla
matematica e parte integrante di essa. Il primo studioso greco che si ricorda è Anassimandro (1500
a.C), il quale si servì di calcoli trigonometrici per studiare l’ universo e il
tempo.
Segue Aristarco di Samo (310 a.C.), fautore del sistema eliocentrico, e
Eratostene di Cirene (276 a.C) che fu il primo a misurare le dimensioni
della terra.
La prima opera sistematica sulle funzioni trigonometriche di cui si ha
notizia è correlata all'astronomo greco Ipparco da Rodi, vissuto nel II
secolo a.C.
Ipparco tabulò i valori delle corde degli archi circolari e per questo è
ricordato come il fondatore della trigonometria. Nel I secolo d.C. il
matematico greco Menelao produsse altre tabelle riportanti i valori delle
corde; quest'opera è andata perduta, mentre una sua opera sulla
trigonometria sferica si è conservata ed è la più antica opera nota su tale argomento. In tale opera è
dimostrato un famoso teorema di trigonometria sferica, noto ora come teorema di Menelao.
L'opera trigonometrica più influente e significativa dell'antichità è l’Almagesto del famoso
astronomo alessandrino Tolomeo (circa II secolo d.C.), che riporta delle tavole sulle corde.
Probabilmente, questi autori si ispirarono alla tradizione dei Babilonesi, seguita anche da Ipparco:
infatti, Tolomeo divide il cerchio in 360 parti uguali e il diametro in 120 parti.
-6-
Anassimandro (1500 a.C. ca.)
Anassimandro visse a Sparta e fu principalmente un filosofo interessato a dare una spiegazione sull’origine
dell’universo: in tal modo comprese che spazio e tempo diventano entità descrivibili e misurabili; l'universo
e il tempo possono divenire oggetto di uno studio reale con l’ applicazione della matematica. Osservando che
i corpi illuminati dal sole proiettano un’ombra, pensò di studiare il tempo utilizzando un’asta (denominata in
seguito gnomone) la cui proiezione descriveva un raggio; iniziò così ad applicare calcoli trigonometrici
all’invisibile.
Aristarco di Samo (310-230 a.c.)
Aristarco di Samo (Samo, 310 a.C. circa – 230 a.C. circa) è stato un astronomo e scienziato greco.
Nato su una delle maggiori isole egee in prossimità dell'attuale Turchia, studiò ad Alessandria, dove ebbe
come maestro Stratone di Lampsaco.
Ideò il sistema eliocentrico, utilizzando la trigonometria per stabilire la distanza di Terra, Luna e Sole.
Aristarco di Samo, infatti, fu il primo a suggerire che fosse la Terra a girare attorno al Sole, piuttosto che il
contrario. Egli fece anche la prima stima della distanza della Luna, e furono le sue accurate osservazioni di
un'eclisse lunare che permisero a Ipparco, 169 anni più tardi, di scoprire la precessione degli equinozi. I suoi
calcoli suggerivano che il Sole fosse molto più grande della Terra per cui gli sembrava improbabile che un
oggetto così grande orbitasse attorno ad uno così piccolo.
Le distanze Terra - Sole e Terra - Luna di Aristarco
Quando la Luna è in quadratura, ossia è illuminata per metà, essa, con la Terra e il Sole, forma il triangolo
rettangolo mostrato in figura.
-7-
Misurando in tale condizione l'angolo β compreso tra la direzione Terra-Sole e la direzione Terra-Luna
Aristarco vide che era possibile calcolare il rapporto tra le loro distanze mediante ragionamenti di tipo
geometrico.
Cerchiamo di capire il ragionamento di Aristarco.
A tal fine supponiamo che il diametro dell'ombra della Luna corrisponda a quello della Terra (in realtà è un
po' minore), per cui il diametro della Luna dovrebbe essere la metà del diametro terrestre. Aristarco cercò di
osservare il momento esatto in cui metà della Luna era illuminata dal Sole. Perché questo avvenga occorre
che l'angolo Terra-Luna-Sole sia esattamente 90 gradi. Conoscendo il moto del Sole lungo la sfera celeste,
Aristarco fu anche in grado di individuare il punto P del cielo, sull'orbita lunare (vicino all'eclittica), che era
esattamente a 90 gradi dalla direzione del Sole come visto dalla Terra.
Aristarco sapeva, infatti, che, se il Sole era molto lontano, la Luna al primo (o all'ultimo) quarto sarebbe stata
anch'essa su questa linea. Aristarco stimò tuttavia che la direzione verso il quarto di Luna formasse un
piccolo angolo α con la direzione verso P, circa 1/30 di angolo retto, cioè 3°. Anche geometricamente si
osserva che l'angolo TSL (Terra-Sole-Luna) è uguale a 3°.
Se RS è la distanza della Terra dal Sole e RL quella dalla Luna, una circonferenza completa intorno al Sole
alla distanza dalla Terra avrebbe una lunghezza di 2πRs (π = 3,14159...). La distanza RL = TL è quindi pari a
un arco di quella circonferenza, corrispondente a soli 3° cioè 1/120 della circonferenza completa. Ne segue
che
LT/ST ~ sen 3°
Ma sen3°~1/19, per cui ST~19 LT (In realtà, oggi sappiamo che ST~ 388 LT)
Poichè 0 ‹ α ‹ β ‹ π /2 , segue che
sen α ‹ α ‹ tg α e sen β ‹ β ‹ tg β
per cui
sen α /sen β › α / β › tg α /tg β
Poiché Aristarco sa che il Sole e la Luna si vedono dalla Terra sotto lo stesso angolo (circa 30°) , deduce che
Rs ~ 19 RL
-8-
Infine, egli dimostra che
19/60 ‹ RL/RT ‹ 43/108
19 /3 ‹ RS/RT ‹ 43/6
Le misure di Aristarco furono imprecise. L’angolo α, anziché
essere di 3°, è in realtà così piccolo (circa 20 volte più piccolo)
che Aristarco non poteva essere in grado di valutarlo,
specialmente senza un telescopio. L'effettiva distanza del Sole
è così circa 400 volte quella della Luna, non 19 volte, e quindi
il diametro del Sole è circa 400 volte quello della Luna e più di
100 volte quello terrestre. La conclusione principale, però, che
il Sole è enormemente più grande della Terra, è tuttora valida.
Aristarco poteva anche dire che l'angolo α era al massimo 3°,
nel qual caso il Sole sarebbe stato come minimo 19 volte più
lontano della Luna, e il suo diametro come minimo 19/3 volte
quello della Terra. In realtà egli disse così, ma sostenne anche
che era minore di 43/6 volte quello terrestre (i Greci usavano le
frazioni semplici, poiché non conoscevano i decimali), e
questo valore si rivelò completamente errato, essendo il Sole
molto più grande della Terra.
Aristarco per misurare gli angoli ebbe bisogno di un particolare strumento, oggi conosciuto con il nome di
diottra di Ipparco.
Probabilmente fu proprio tale diottra a suggerirgli l’idea di sostituire
all’angolo l’arco.
Il problema risolto da Aristarco, di calcolare il rapporto tra i cateti di
un triangolo del quale si conoscono gli angoli, è quello di calcolare,
o stimare, la tangente trigonometrica di un angolo. L'opera di
Aristarco può pertanto essere considerata una delle prime opere di
trigonometria. Il metodo di Aristarco permette, comunque, di stimare
dall'alto e dal basso la tangente di qualsiasi angolo e in questo è
probabilmente il maggior valore della sua opera.
Eratostene di Cirene (276 a.C. – 194 a.C.)
Eratostene di Cirene (Cirene, 276 a.C. – Alessandria d'Egitto, 194 a.C.) è
stato un matematico, astronomo, geografo e poeta greco.
Fu probabilmente l'intellettuale più versatile della sua epoca. Bibliotecario
della Biblioteca di Alessandria, è oggi ricordato soprattutto per aver misurato
per primo con grande precisione le dimensioni della Terra; infatti, misurò il
raggio e la circonferenza terrestre attraverso lo gnomone: studiando l’ombra
che si genera si possono seguire i movimenti del sole.
-9-
Le misure del raggio e della circonferenza terrestre di
Eratostene
Eratostene nel III secolo a.C. misurò la circonferenza terrestre utilizzando gli angoli corrispondenti tra due
rette parallele.
Eratostene aveva notato che il 21 Giugno i raggi solari alle ore 12 cadevano perpendicolari a Siene (Assuan)
mentre lo stesso giorno ad Alessandria formavano un angolo di 7,2° con la verticale. Considerando i raggi
solari paralleli notò che l’angolo al centro della circonferenza terrestre è uguale all’angolo α perché
corrispondenti.
La distanza angolare tra le due città corrisponde ad un cinquantesimo di angolo giro. Sapendo che i cammelli
impiegavano 5 giorni da Alessandria a Siene, trovò che tale distanza corrispondeva a 5000 stadi. Eratostene
stimò la circonferenza terrestre con una notevole precisione: 250.000 stadi. Se, come alcuni sostengono, la
stadia corrispondeva a 157,5 m, si ottiene, infatti, il valore di 39.690 Km che è vicinissimo alla misura
effettiva calcolata con i mezzi moderni di 40.009 Km. Quindi, trovò che il raggio terrestre dovesse misurare
6.364 km. Anche in questo caso la misura trovata è sorprendente, se si pensa che tale raggio oggi è stimato
6.356 km ai poli e 6.377 km all'equatore.
- 10 -
Ipparco da Rodi (185-127 a.C.)
Nacque a Nicea di Bitinia e visse per la maggior parte della sua vita a Rodi.
Trascorse qualche tempo anche ad Alessandria d'Egitto che era un centro di
attrazione per i migliori artisti, scienziati e tecnici dell'epoca. Le sue opere,
che non sono giunte fino a noi, sono state tramandate da Tolomeo, suo
grande ammiratore, che visse tre secoli dopo. Nonostante abbia contribuito
a far abbandonare la teoria eliocentrica di Aristarco, è considerato il più
grande astronomo dell'antichità e il padre della trigonometria, in quanto, al
fine di perfezionare i suoi calcoli astronomici, gettò le basi di quel ramo
della geometria che più tardi si chiamerà trigonometria, delineando la
moderna funzione del seno e stilando la tavola trigonometrica. Scoprì, fra
l'altro, la precessione degli equinozi. Gli studi accurati dei moti del Sole e
della Luna gli permisero di determinare la lunghezza dell'anno solare in
365 giorni e 6 ore e predire le eclissi con maggiore precisione di altri.
Tolomeo (ca. 100 d.C.- ca. 175 d.C.)
Claudio Tolomeo, noto semplicemente come Tolomeo, è stato un astronomo greco di epoca imperiale che
visse e lavorò ad Alessandria d'Egitto. Fu autore di importanti opere scientifiche, la principale delle quali è il
trattato astronomico Sintassi matematica conosciuto sotto il nome di Almagesto (corruzione araba con il
prefisso “al” della parola greca megistos = il più grande).
Della sua vita sappiamo solo il poco ricavabile dalle sue opere, anche se
la sua fama perdurò per tutto il Medio Evo grazie al suo sistema che vedeva
la terra assolutamente immobile al centro dell'universo (sistema Tolemaico).
Seguendo la tradizione dei Babilonesi, probabilmente seguita anche da
Ipparco, Tolomeo divide il cerchio in 360 parti uguali e il diametro in 120
parti. Egli, come i suoi predecessori, usa per il calcolo delle corde una
variante della relazione fondamentale che ora indichiamo con:
(che deriva dal teorema di Pitagora).
Nei calcoli delle corde di Tolomeo ha un ruolo centrale una proprietà dei quadrilateri detta oggi teorema di
Tolomeo (la somma dei prodotti dei lati opposti di un quadrilatero inscrittibile in un cerchio è uguale al
prodotto delle diagonali). Da essa si possono oggi ricavare le quattro formule per calcolare seno e coseno
della somma e della differenza di due angoli, oggi dette formule di Tolomeo.
Egli conosceva anche la proprietà che attualmente si esprime con le uguaglianze: a/sin A = b/sin B = c/sin C
(dove: a, b, c sono i lati di un triangolo opposti agli angoli A, B, C). Tolomeo inscrive nel cerchio poligoni di
3, 4, 5, 6 e 10 lati e ciò gli permette di calcolare le corde sottese da angoli di 120, 90, 72, 60 e 36 gradi. Poi
utilizza nelle sue tavole le formule per la corda della somma e della differenza di due angoli (paragonabili a
quelle attuali per il seno della somma e della differenza) e applica un metodo per trovare la corda sottesa
dalla metà dell'angolo di una corda data. In questo modo, con un'interpolazione, riesce a calcolare corde con
un buon grado di approssimazione.
- 11 -
Gli Europei
La trigonometria giunse nell'occidente europeo nel Rinascimento, attraverso fonti arabe. Questi
studi vennero, tuttavia, presi in considerazione ancora una volta per risolvere problemi
d’astronomia, disciplina che ebbe in Europa uno sviluppo costante fino al XVIII sec. In questo
periodo, la maggior precisione degli strumenti richiedeva tavole sempre più perfezionate, per cui i
seni degli angoli furono calcolati con un numero sempre maggiore di decimali e considerando
angoli ad intervalli sempre minori.
Furono diversi gli studiosi che, nel Rinascimento,
condussero ricerche in questo campo. Da ricordare è
Nicolò Copernico, il più grande astronomo dell’epoca,
che fu un notevole studioso di trigonometria. Un suo
discepolo, G. J. Rheticus, contribuì allo sviluppo della
trigonometria utilizzando tutte e sei le funzioni per lo
studio del rapporto dei lati di un triangolo rettangolo.
Queste tavole vennero però pubblicate postume da un
suo studente, Valentin Otho.
Si possono ricordare, ancora, studiosi quali Georg
Peurbach, Johann Muller, Francois Viète, Johann
Werner, Bartholomaeus Pitiscus, Edmund Gunter,
Thomas Fincke, Leonhard Euler: tutti costoro ebbero un
ruolo importante nello sviluppo della trigonometria.
Ulteriori ricerche sulla trigonometria furono messe a punto da alcuni tedeschi dalla fine del XV
secolo e dell’inizio del XVII secolo. Il lavoro sulla trigonometria era giustificato dalla navigazione,
dal calendario e dall’astronomia; l’interesse in quest’ultimo campo fu connesso all’ideazione della
teoria eliocentrica.
Le ricerche per la soluzione dei
triangoli piani e sferici furono le più
importanti; fino al 1450 la
trigonometria sferica consisteva in
regole slegate e basate su versioni
greche, indù e arabe.
Johann Muller fu abile nel trarre
vantaggio dall’opera di Nasir-Eddin nel
De Triangulis, nel quale raccolse
organicamente tutte le conoscenze
disponibili relative alla trigonometria
piana e sferica. Egli diede il teorema dei
seni per i triangoli sferici e il teorema
dei coseni facendo intervenire i lati.
- 12 -
Johann Werner (Norimberga 1468 d.C. - 1522 d.C.)
Johann Wener nacque a Norimberga il 14 febbraio 1468 e fu cartografo,
matematico e religioso tedesco. Morì a Norimberga nel maggio del 1522.
In campo matematico, lasciò un contributo in trigonometria con le
formule di prostaferesi e le formule di Werner.
Queste ultime svolgono un ruolo fondamentale nell’algoritmo di
prostaferesi, un metodo per semplificare il calcolo manuale delle
moltiplicazioni.
François Viète ( 1540 d.C. - 1603 d.C.)
François Viète nacque in Francia nel 1540 e fu un matematico e uomo politico. Figlio di un agiato
procuratore, Viète studiò diritto presso l'Università di Poitièrs e nel 1560 si iscrisse al foro di Fontenay ed
esercitò l'avvocatura. Le sue attività si divisero tra una intensa vita politica e una serie di ricerche
matematiche.
Viète dedicò alla matematica soltanto il tempo che gli rimaneva libero dagli
impegni politici, ma ciò nonostante riuscì a dare notevoli contributi
all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria.
Morì in Francia nel 1603.
In campo matematico, fu il primo a trattare la trigonometria sotto l’aspetto
della goniometria, considerando la circonferenza di raggio unitario.
Nella sua opera, Canon Mathematicus, del 1579, risolse i problemi dei
triangoli qualunque riconducendoli ai triangoli rettangoli. La trigonometria è
applicata a problemi aritmetici ed algebrici e sono ricavate anche alcune
formule dette oggi di prostaferesi, o di Werner (dal nome di Johann Werner,
matematico tedesco), che trasformano il prodotto di due funzioni
trigonometriche in una somma.
Vietè scrisse: La trigonometria è la massima gloria dei matematici perchè abilita a sottomettere ad un
calcolo meraviglioso cielo, terra e mare.
- 13 -
Bartholomaeus Pitiscus ( 1561 d.C. - 1613 d.C.)
Bartholomaeus Pitiscus è autore di Trigonometria, il trattato piu importante di trigonometria scritto fino ad
allora, nel quale coniò per la prima volta tale termine.
La parola trigonometria deriva dal greco: più precisamente, da τρίγωνον che significa triangolo e da μέτρον
che significa misura.
Lazare Carnot (1753 d.C. - 1823 d.C. )
Lazare Carnot nacque a Nolay, in Borgogna, il 13 maggio 1753.
Egli fu matematico, generale, fisico, politico francese.
Morì a Magdeburgo nel 1823.
In campo trigonometrico, enunciò il teorema del coseno per la risoluzione dei
triangoli qualunque nell’opera Geometrie de position.
- 14 -
Nicolò Copernico (Frombork 1473 d.C. - 1543 d.C.)
Nicolò Copernico studiò all’Università di Cracovia e poi a Bologna, a
Padova e a Ferrara dove si addottorò in diritto canonico nel 1503. Si
interessò anche di studi trigonometrici, contribuendo al loro sviluppo
utilizzando tutte e sei le funzioni, e si interessò dello studio del rapporto
dei lati di un triangolo rettangolo. Dopo un soggiorno a Padova tra il
1503 e il 1506 ritornò in patria, dove visse tra le cure amministrative di
un suo canonicato e gli studi astronomici. Morì a Frauenburg nel 1543.
La sua opera fondamentale è De revolutionibus orbium coelestium (Le
Rivoluzioni dei corpi celesti) che vide la luce solo nel 1543, quando egli
era ormai moribondo; in essa ripudiò l’intera teoria di Tolomeo e pose il
Sole al centro del sistema, riducendo la posizione della Terra a quella di
un comunissimo pianeta.
Leonhard Euler (Basilea, 1707 – San Pietroburgo, 1783)
Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783)
è stato un matematico e fisico svizzero. È considerato il più importante matematico dell'Illuminismo. Allievo
di Johann Bernoulli, è noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi ed ha fornito contributi storicamente
cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste,
teoria dei numeri, teoria dei grafi.
L'opera Introductio in analysin infinitorum pubblicata nel 1748 ebbe il
merito di stabilire la moderna trattazione analitica delle funzioni
trigonometriche in Europa, definendole tramite serie infinite.
Eulero è stato senz'altro il più grande fornitore di denominazioni
matematiche, offrendo il suo nome a una quantità impressionante di
formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni.
Egli introdusse moltissime notazioni in uso ancora oggi: tra queste, f(x)
per la funzione, l'attuale notazione per le funzioni trigonometriche
come seno e coseno, e la lettera greca Σ per la sommatoria. Per primo
usò la lettera e per indicare la base dei logaritmi naturali, un numero
reale che ora è appunto chiamato anche numero di Eulero, e la lettera i
per indicare l'unità immaginaria. L'uso della lettera greca π per indicare
pi greco, introdotto all'inizio del XVIII secolo da William Jones, diventò standard dopo l'utilizzo che ne fece
Eulero.
Inoltre, Eulero usò le abbreviazioni sin, cos, tang, cot, sec e cosec rimaste quasi invariate anche nell'uso
moderno.
- 15 -
Johannes Müller (1436 d.C. - 1476 d.C.)
Regiomontano, pseudonimo di Johannes Müller da Königsberg (Unfinden, 6 giugno 1436 – Roma, 6 luglio
1476), è stato un matematico, astronomo e astrologo tedesco.
Egli ebbe fama di matematico e astronomo prodigio fin dalla prima giovinezza in quanto a undici anni
divenne studente all'Università a Lipsia, in Sassonia. Tre anni dopo continuò gli studi in Austria, all'Alma
Mater Rudolfina, l'Università di Vienna. Là divenne pupillo ed amico di Georg von Peurbach. Nel 1457
ottenne il titolo di Magister Artium (Maestro delle Scienze) e da allora tenne lezioni di ottica e letteratura
antica.
Dal 1461 al 1465 Regiomontano visse e lavorò nell'abitazione del
cardinale Bessarione a Roma; qui pubblicò l'opera De triangulis
omnimodis, un'esposizione sistematica dei metodi per risolvere
problemi relativi ai triangoli, che contiene risultati di trigonometria
piana e sferica e che segna la rinascita della trigonometria. In
particolare tratta il seno e la sua funzione inversa.
Tale opera fu uno dei primi libri a presentare in Europa lo stato delle
conoscenze del tempo sulla trigonometria e ad includere liste di
domande che richiamavano le nozioni presentate in ciascuno dei
singoli capitoli. In essa Regiomontano scrisse:
Coloro che intendono studiare queste magnifiche cose, e che si
interrogano sul movimento delle stelle, devono leggere questi teoremi
sui triangoli. La conoscenza di queste idee aprirà la porta ad alcuni problemi geometrici e a tutti quelli
dell'astronomia.
- 16 -
Applicazioni
Le applicazioni della trigonometria spaziano in diversi campi:
dalla topografia all’acustica, all’ottica, all’elettronica.
Già anticamente si utilizzava la trigonometria per determinare l’altezza di una torre.
Tutti i fenomeni oscillatori possono essere adeguatamente rappresentati da curve sinusoidali.
A partire dalla sinusoide e dalla cosinusoide e da loro somme (anche infinite) si possono descrivere:
• i moti armonici;
• le onde sonore;
• le onde elettromagnetiche.
Consideriamo alcune applicazioni:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
La scomposizione dei vettori
La legge di Snell
Il moto armonico
L'equazione di un'onda
La distanza dei punti inaccessibili
L'orologio solare
- 17 -
La scomposizione dei vettori
Ogni vettore a si può scomporre in modo unico nelle sue due proiezioni ax e ay lungo due rette fissate.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine O e scegliamo un vettore a.
Si possono determinare le proiezioni del vettore a lungo i due assi come nella figura sottostante:
Il vettore ax è la proiezione di a lungo l'asse x e analogamente il vettore ay proiezione di a lungo l'asse y.
Applicando la trigonometria al triangolo che si ottiene:
si ottengono le componenti del vettore a:
ax = a cos θ
ay = a sen θ
- 18 -
Facciamo ora un esempio che capirne l’utilità.
Un aeroplano decolla da un aeroporto e viene successivamente avvistato ad una distanza di 215 km
dall’aeroporto e in una direzione che fa un angolo di 22° Est rispetto al Nord geografico.
Quali sono le componenti della spostamento?
Facciamo un disegno per evidenziare la situazione espressa dal problema:
Proviamo ora a fare i calcoli:
dx = d cos θ = (215 km) (cos 68°) = 81 km
dy = d sen θ = (215 km) (sen 68°) = 109 km
- 19 -
La legge di Snell
La rifrazione è la deviazione che un’onda subisce quando passa da un mezzo fisico ad un altro nel quale
cambia la velocità di propagazione.
La rifrazione della luce è il caso più comunemente osservato, ma ogni tipo di onda può essere rifratta;
quindi, per esempio, si ha il fenomeno della rifrazione anche quando onde sonore passano da un mezzo ad
un altro o quando le onde dell’acqua si spostano a zone con diversa profondità.
La legge di Snell descrive quanto i raggi sono deviati quando passano da un mezzo ad un altro.
Se il raggio proviene da una regione con indice di rifrazione n1 ed entra in un mezzo ad indice di rifrazione
n2 , gli angoli di incidenza θi e di rifrazione θr sono legati dall’espressione:
dove v1 e v2 sono le velocità nei mezzi.
La figura soprastante mostra due mezzi trasmissivi con indice di rifrazione n1 (a sinistra) e n2 (a destra) in
contatto tra loro attraverso una superficie, che viene chiamata interfaccia (linea verticale in figura). Nel caso
n2 > n1, la luce ha una velocità di fase più bassa nel secondo mezzo.
Il raggio luminoso PO proveniente dal mezzo di sinistra colpisce l'interfaccia nel punto O. A partire da tale
punto O tracciamo una retta perpendicolare all'interfaccia stessa, che viene chiamata normale all'interfaccia
(linea orizzontale in figura). L'angolo tra la normale e il raggio luminoso PO viene chiamato angolo
d'incidenza, θ1.
Il raggio attraversa l'interfaccia e prosegue nel mezzo di destra, indicato come OQ. L'angolo che tale raggio
rifratto forma con la normale si chiama angolo di rifrazione, θ2.
La legge di Snell fornice la relazione tra gli angoli θ1 e θ2:
- 20 -
Si noti che nel caso θ1 = 0°, ovvero nel caso in cui il raggio risulti perpendicolare all'interfaccia, la soluzione
è θ2 = 0° per qualunque valore di n1 e n2. In altri termini, un raggio che entra in un mezzo in modo
perpendicolare alla sua superficie non viene mai deviato.
Quanto detto sopra vale anche nel caso di un raggio luminoso che passi da un mezzo
più denso ad uno meno denso; la simmetria della legge di Snell mostra che gli stessi
percorsi luminosi sono validi anche nella direzione opposta.
La legge di Snell è valida in generale solo per mezzi isotropi, come il vetro. Nel caso
di mezzi anisotropi (ad esempio alcuni cristalli) il fenomeno della birifrangenza può
dividere in due il raggio rifratto. Si vengono allora ad avere due raggi, uno ordinario
che segue la legge di Snell, e uno straordinario che può non essere complanare con
quello incidente.
Il fenomeno di rifrazione può essere osservato, per esempio, guardando all’interno di un bicchiere pieno
d’acqua.
L’aria ha un indice di rifrazione di circa 1,0003, mentre l’acqua di circa 1,33.
Tale fenomeno è responsabile degli arcobaleni e della scomposizione della luce bianca nei colori
dell’arcobaleno che avviene quando la luce passa attraverso un prisma.
Il vetro ha un alto indice di rifrazione rispetto all’aria e le diverse frequenze della luce viaggiano a velocità
diverse, causando la rifrazione dei colori a diversi angoli, e quindi la scomposizione. La differenza nella
frequenza corrisponde nella diversità della tonalità.
La legge di Snell si può verificare facilmente in laboratorio.
- 21 -
Il moto armonico
Le forze elastiche possono generare alcuni moti che si ripetono in modo periodico e regolare.
Fra questi vi sono il moto armonico semplice, il moto oscillatorio smorzato e il moto oscillatorio forzato.
Il moto armonico semplice
Il moto armonico semplice è un tipo semplice di moto periodico: la legge del moto di un punto che si
muova di moto armonico, cioè la funzione che descrive la posizione del punto in funzione del tempo, è una
semplice sinusoide di ampiezza costante. Esso è caratterizzato da oscillazioni di ampiezza costante, positiva
e dipendente dalle condizioni iniziali del moto; dal periodo, ovvero il tempo di ripetizione di una
oscillazione, e da una fase che dipende da velocità e spostamento dell'oggetto in movimento.
Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme, in quanto la proiezione del moto circolare
su una qualsiasi retta dà luogo ad un moto armonico.
Il moto armonico è realizzabile, per esempio, attraverso il pendolo semplice o una molla alla quale venga
legato un oggetto.
In generale, ci si trova di fronte ad un moto armonico ogni qualvolta l'oggetto sia soggetto ad una forza
periodica con intensità proporzionale allo spostamento, direzione uguale a quella dello spostamento e verso
opposto:
In tal caso, il moto armonico semplice è sempre descritto da un'equazione della forma:
dove A è l’ampiezza del moto e T è il periodo legato alla frequenza f dalla relazione T=1/f.
Il moto armonico, pertanto, è descritto da soli tre parametri: il periodo, la frequenza e l'ampiezza
dell'oscillazione.
Il periodo è il tempo impiegato a compiere l’ oscillazione completa.
La frequenza è il numero di oscillazioni complete effettuate nell’ unità di tempo.
- 22 -
L’ ampiezza dell’ oscillazione è la distanza che separa il valore massimo della curva da quello minimo.
Vi sono altri tipi di moti che tuttavia, riescono pure ad oscillare con una certa periodicità.
Questi moti si realizzano facendo agire sul sistema, oltre alla forza elastica,altre particolari specifiche forze.
Il moto armonico smorzato
Nello studio di fenomeni fisici reali i corpi in movimento sono solitamente soggetti a forze smorzanti il
moto stesso, come ad esempio l’ attrito. Tali forze sono di solito direttamente proporzionali alla velocità.
Pertanto l‘equazione è:
F = -kx-bv
dove k rappresenta la costante elastica e b il coefficiente di resistenza del mezzo.
Per il secondo principio della dinamica, (il quale descrive ciò che succede quando interviene la forza ad
alterare questo stato):
m a = -kx-bv
a è la componente dell’ accelerazione secondo l’ asse x, ed m è la massa del sistema oscillante.
Si dimostra che, se b è piccolo, la legge oraria del moto armonico smorzato è espressa dalla seguente
formula:
in cui e= 2,718… è il numero di Nepero.
La presenza del fattore di smorzamento b/2m fa sì che l’ampiezza del moto
decresca esponenzialmente, mentre la funzione seno conferisce al moto il carattere oscillatorio, come è ben
visibile nella figura sottostante.
- 23 -
Il moto armonico forzato
Il moto oscillatorio forzato è un moto di ampiezza non decrescente nel tempo che si può ottenere facendo
agire una forza esterna periodica di frequenza v su un sistema oscillante di frequenza propria v0 .
L’ampiezza di tale moto è tanto più grande quanto più piccola è la differenza tra la frequenza propria v0 e la
frequenza v dell’eccitazione esterna.
Se la forza esterna ha una frequenza prossima a quella del sistema oscillante, le vibrazioni aumentano di
ampiezza e il sistema si dice in risonanza.
Inoltre, può accadere che in condizioni di risonanza si possono raggiungere sollecitazioni tali da perturbare la
struttura del sistema oscillante.
Se oltre alla forza elastica e a quella periodica esterna il sistema oscillante è soggetto alle forze resistenti di
attrito, l’ampiezza delle oscillazioni saranno ridotte, ma sempre forzate.
- 24 -
L'equazione di un'onda
Un’onda è una perturbazione che si propaga trasportando energia, ma non materia.
Prendiamo in considerazione un’onda periodica in particolare di tipo armonico; si dice periodica quando
ogni elemento del mezzo materiale ripete lo stesso movimento a intervalli di tempo regolari.
E’ caratterizzata dalle seguenti grandezze:
1) Periodo T: è il più piccolo intervallo di tempo (quello di un’oscillazione completa) dopo il quale il moto
riassume le stesse caratteristiche in ogni punto del mezzo in cui si propaga l’onda.
2) Frequenza v: rappresenta il numero di vibrazioni complete che avvengono in un secondo.
La relazione tra periodo e frequenza è v=1/T
L’unità di misura della frequenza, rappresentata da un oscillazione al secondo, si chiama Hertz.
3) Lunghezza d’onda λ: è la distanza percorsa dall’onda in un periodo o anche la distanza minima tra due
punti in cui lo spostamento dalla configurazione di equilibrio assume lo stesso valore.
4) Ampiezza: rappresenta il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio ed è uguale sia per gli
spostamenti positivi sia per quelli negativi.
Nel grafico seguente si nota lo spostamento dalla posizione di equilibrio di un punto qualsiasi del mezzo
elastico in funzione del tempo.
Se come abbiamo supposto l’onda è armonica si ottiene una sinusoide che rappresenta il diagramma orario
del moto.
Dalla figura sottostante si vede chiaramente che lo spostamento è una funzione periodica del tempo di
periodo T.
L’equazione dell’onda permette di calcolare in ogni istante lo spostamento dalla posizione di equilibrio di
un qualsiasi punto del mezzo. Essa ha la seguente forma:
y=Asin2π(t/T-x/λ)
- 25 -
Eseguiamo lo studio di combinazioni di oscillazioni.
Supponiamo che due onde abbiamo uguale frequenza e uguale direzione di oscillazione e siano in fase.
Osserviamo che se le due onde hanno ampiezza massima nello stesso istante, anche l’onda risultante ha
ampiezza massima nel medesimo istante.
Osserviamo che quando le due onde raggiungono il valore massimo o il valore minimo, anche l'onda
risultante raggiunge il valore massimo o minimo, quando le due onde si annullano, anche l'onda risultante si
annulla.
Consideriamo ora il caso in cui le due onde abbiamo uguale frequenza e uguale direzione di oscillazione, ma
siano in opposizione di fase.
- 26 -
Osserviamo che quando un'onda raggiunge la massima ampiezza, l’altra contemporaneamente raggiunge la
minima ampiezza: l’onda risultante è nulla.
Consideriamo ora il caso in cui le due onde abbiano uguale direzione di propagazione e la frequenza delle
due onde sia quasi uguale.
Per esempio, consideriamo le due onde di equazione
y=sin(100t) e y=sin(110t)
L'onda risultante ha il grafico sottostante:
Si presenta il fenomeno dei battimenti cioè l’onda risultante ha circa la stessa frequenza e lunghezza d'onda
delle onde iniziali, ma l'ampiezza è modulata secondo un fattore sinusoidale.
Consideriamo, infine, il caso in cui due onde si propaghino, avendo una differenza di fase generica, uguale
frequenza e uguale ampiezza. Supponiamo, per esempio, che le due onde abbiano le seguenti equazioni:
y=2sin(3x) e y=2sin(3x+2)
Come si può vedere nella figura sottostante, l'onda risultante ha la stessa frequenza, ma ampiezza differente.
- 27 -
La distanza dei punti inaccessibili
Distanza di due punti lontani tra loro e situati su differenti livelli
Vogliamo misurare la distanza di due punti lontani tra loro e situati a differenti livelli. Consideriamo come
superficie di riferimento un piano orizzontale con quota pari a quella media della zona in esame.
La distanza che viene misurata è la distanza inclinata di, cioè la congiungente il centro dello strumento per
fare la misura con il punto da misurare. Considerando l'angolo zenitale z, ben visibile nella figura
sottostante,
e la distanza orizzontale d0, si trova facilmente, applicando un noto teorema di trigonometria relativo ai
triangoli rettangoli, che:
Lunghezza di un segmento verticale i cui estremi sono inaccessibili
Vogliamo determinare l’ altezza AB = x di una torre o di una montagna la cui base A non sia accessibile.
- 28 -
Misuriamo sul terreno una base CD lunga a che non sia orizzontale e non sia posta in uno stesso piano
verticale con AB, ma tale però che il punto C sia sul piano orizzontale passante per A.
Misuriamo i tre angoli:
AĈB = α
BĈD = β
CDB = γ
L’angolo α, se il punto A non è visibile, è l’angolo che la visuale BC forma con l’orizzontale.
Dal triangolo BCD, con il teorema dei seni, si trova la misura BC:
BC : sen γ = a : sen [180º-( β+ γ)]
BC= a sen γ / sen ( β+ γ)
Quindi, dal triangolo rettangolo BAC, si ha:
AB = x = BC sen α = a sen α sen γ / sen (β+ γ)
Distanza tra due punti separati da un ostacolo
Vogliamo determinare la distanza x tra due punti A e B separati da un ostacolo, ma ambedue accessibili.
Fissiamo un punto C, distante dai punti A e B rispettivamente b ed a e dal quale i due punti siano visibili;
misuriamo l’angolo ABC = γ.
- 29 -
Del triangolo ABC sono noti due lati e l’angolo compreso, perciò la distanza AB è calcolabile con il teorema
del coseno o di Carnot.
Se i due punti A e B sono visibili l’uno dall’altro, ma solo B è accessibile, come nel caso della figura
sottostante,
si misura una base BC= a tale che da C sia visibile il punto A, poi si misurano gli angoli ABC = β e AĈB= γ
e dal triangolo ABC, col teorema dei seni, si ottiene:
x: sen γ = a : sen [180º-( β+ γ)]
x= a sen γ / sen ( β+ γ)
Distanza fra due punti entrambi inaccessibili
Vogliamo trovare la distanza tra due punti A, B inaccessibili, ma visibili.
Scelta una base CD = a,
- 30 -
si misurano gli angoli ADC= α ; BDC= β ; DĈA = γ ; BĈD = δ.
Dai triangoli ACD e BCD, per il teorema dei seni, si ha:
AC : sen α = a : sen (α + γ)
BC : sen β = a : sen (β + δ)
cioè
AC = a sen α / sen (α + γ)
BC = a sen β / sen (β + δ)
Ora del triangolo ACB si conoscono i lati AC, BC e l’angolo compreso δ-β, quindi col teorema del coseno o
di Carnot potremo trovare la distanza incognita AB.
Calcolo della distanza della terra dalla luna
Vogliamo trovare la distanza di un punto A della Terra (punto accessibile) da un punto L inaccessibile, ma
visibile, quale può considerarsi la Luna. A tal fine, usiamo il metodo seguito nella distanza tra due punti
separati da un ostacolo; però, trattandosi di una distanza piuttosto grande (qualche centinaia di migliaia di
chilometri), conviene prendere sulla Terra la base AB di parecchi chilometri, per avere angoli di visuale non
troppo piccoli. Prendiamo come base la corda AB che sottenda un arco di meridiano terrestre nel cui piano
(piano meridiano) vi sia anche il punto L che rappresenta la Luna, come possiamo osservare nella figura
sottostante.
Per trovare la lunghezza di AB si considera il triangolo ABC, dove C è il centro della terra.
Con osservazioni astronomiche si misurano le latitudini di A (λ1 ) e di B (λ2) e se A, B sono da bande
opposte dell’equatore si ha AĈB = λ1+ λ2.
- 31 -
Si trovano poi le lunghezze dei raggi CA e CB dato che si conoscono le latitudini di A e B; a questo punto,
del triangolo ABC si conoscono quindi due lati e l'angolo compreso, per cui si trovano: la misura c di AB e
le misure di CAB = α e di CBA = β; poi si misurano direttamente gli angoli α' e β' che le verticali CA e CB
formano rispettivamente con le visuali AL e BL.
Infine si ha LÂB= 180°-(α + α') e ABL=180°-(β + β' ) ; così del triangolo ABL si conoscono un lato e i due
angoli adiacenti e risolvendo il triangolo si ottiene la distanza AL di circa km 384100 cioè circa 60,27 volte
il raggio equatoriale terrestre.
Calcolo della distanza della terra dal sole
Per trovare la distanza della terra dal Sole, si può usare anche il metodo precedente, ma, poichè la
distanza Terra-Sole è enorme, non è possibile trovare sulla Terra una base adeguata, per cui si
ricorre alla parallasse del Sole.
La parallasse di un astro S, rispetto ad un punto P sulla Terra, è l'angolo sotto cui è visto il raggio terrestre
dal centro S dell'astro, cioè l'angolo OSP nella figura sottostante.
La parallasse varia col moto della Terra e dell'astro.
Se il raggio terrestre OP è perpendicolare alla congiungente SP, la parallasse si dice equatoriale orizzontale,
come si vede nella figura seguente:
- 32 -
Per calcoli di astronomia, si sa che la parallasse equatoriale orizzontale del Sole è di circa 8'',8; quindi, la
distanza Terra-Sole SO si ottiene considerando il triangolo rettangolo OPS e, precisamente, facendo il
seguente calcolo:
OS = OP / sin8'',8
e poichè
OP = R = km 6367,397
si trova
OS = km 150000000 circa.
Calcolo della lunghezza del raggio della terra (supposta sferica)
Consideriamo la seguente figura in cui sia AB un arco di meridiano e φ l'ampiezza del corrispondente angolo
al centro.
La lunghezza l dell'arco AB può essere calcolata mediante un procedimento detto della "triangolazione
geodetica", misurando, mediante la risoluzione di triangoli, le lunghezze degli archi AP, PQ, ..., SB.
L'angolo φ è dato dalla differenza fra gli angoli α e β che sono detti distanze zenitali della stella polare P, in
B e in A.
Bisogna osservare che, data l'enorme distanza della Terra dalla stella polare, le visuali AP e BP si possono
ritenere parallele.
Note le misure di l e di φ, si trova facilmente la misura R del raggio terrestre, utilizzando la seguente
proporzione:
2πR : l = 360° : φ
Il primo a calcolare la lunghezza del raggio della Terra fu Eratostene di Cirene in un modo assai elementare.
- 33 -
L'orologio solare
Circa duemila e cinquecento anni fa, Anassimadro, il primo filosofo greco, eseguiva dei prodigiosi
esperimenti matematici nella sua città preferita, Sparta, osservando l’ombra del Sole proiettata da un’asta
fatta di qualsiasi materiale. Più tardi quest’ asta è stata denominata gnomone perchè, in greco, il verbo
gnomon vuol dire indicatore. In questo caso, infatti, l'asta gnomone è un indicatore di frazioni di tempo. Il
periodo di Anassimandro è oggi generalmente accettato come l’inizio della gnomonica, ma orologi solari di
tipo gnomonico erano in uso anche nelle altre civiltà, quali quelle degli Egiziani, dei Babilonesi e non solo.
Infatti, il più antico è la Sundial Stone, un vero e proprio orologio solare orizzontale ritrovato nel complesso
archeologico di Newgrange in Inghilterra e risalente al V millennio a.C.
La tangente e la cotangente di un angolo sono legate alla gnomonica.
In particolare, la tangente è l'ombra che uno gnomone, un'asta infissa perpendicolarmente su un muro
verticale, di lunghezza 1, proietta sul muro per una data altezza del sole, come è ben visibile nella figura
sottostante.
Corrispondentemente, la cotangente è l'ombra dello gnomone piantato verticalmente su un piano orizzontale,
come si può osservare nella figura qui sotto:
- 34 -
In ambedue i casi, l'angolo è legato all'altezza del sole sull'orizzonte e può essere determinato dalla misura
delle ombre.
Vale la pena di ricordare che i termini originari per denotare tangente e cotangente sono zill e zill màkus, che
in latino si traducono umbra recta e umbra versa.
La gnomonica
In mancanza di prove e testimonianze concrete, la storia della gnomonica è fatta soprattutto di supposizioni, congetture
ed ipotesi, basate sull'interpretazione delle citazioni che ci giungono. L'esempio più ricorrente è costituito dal libro IX
dell'Architettura di Marco Vitruvio Pollione, vissuto probabilmente verso la fine del I secolo a.C. E' questo il libro più
antico che ci è pervenuto sulla gnomonica dove sono elencati gli orologi solari dell'antichità, di cui alcuni sconosciuti,
e dove è descritto il famoso analemma, una particolare curva geometrica a forma di otto, per mezzo della quale si
costruirono gli orologi solari fino al XVII secolo, quando subentrarono i metodi analitici.
La figura a destra descrive la posizione del sole nei diversi giorni dell'anno ed è stata realizzata
attraverso una serie di fotografia sovrapposte, mentre la figura sottostante presenta la curva che
si ottiene su carta millimetrata.
Le discordanze storiche più famose sull'inventore dell'orologio solare sono due. Da una parte c'è Plinio il Vecchio che,
nella sua Storia Naturale, cita il filosofo Anassimandro quale inventore dell'orologio solare in Grecia; dall'altra
troviamo Diogene Laerzio che nel II sec. d.C. rivendica
questa gloria ad Anassimene. Già P. Biagio La Leta
dichiarava nella sua opera Gnomonica ossia l'arte di
costruire gli orologi solari, che lo storico Plinio il
Vecchio era in errore quando affermava che gli orologi
da sole erano stati inventati dal filosofo Anassimene,
nel VI secolo a.C., ricordando che ancor prima, tali
strumenti erano costruiti in Giudea. Nella metà del
secolo XVIII, l'erudito benedettino Augusto Calmet,
riportò una notizia molto interessante. La sua fonte è
Apione, grammatico e poligrafo di Alessandria del I
secolo d.C., il quale scrisse che ancor prima di Mosè, si
costruivano (forse in Egitto) delle colonne, sotto le
quali era raffigurata una berca ovvero un emisfero, e
sopra una statua rappresentante un uomo, che girava
continuamente descrivendo con la sua ombra il corso
del Sole: l'ombra cadeva nell'emisfero sottoposto, per
cui segnava in questo le ore del giorno. Il tipo di orologio descritto deve appartenere alla famiglia degli emisferi, ma
oltre a questa considerazione, si apre la porta delle ipotesi e della fantasia.
- 35 -
Comunque, questa notizia rafforza senz'altro la tesi secondo cui gli orologi solari non sono nati in Grecia, ma sono qui
approdati dall'Egitto e dalla grande valle dell'Eufrate. Oggi, alla luce degli incredibili ritrovamenti archeologici che
sono stati effettuati in tutta l'area del Mediterraneo, possiamo ammirare strani orologi solari risalenti al 1500 a.C.,
appartenuti a faraoni egizi. Tuttavia, la gnomonica, intesa come lo studio metodico del movimento dell'ombra del Sole
proiettata da un bastone piantato in terra, o sopra un qualsiasi altro piano, risale al VII - VI secolo a.C., cioè ad
Anassimandro.
Gli eruditi dei secoli scorsi analizzarono invano tutte le fonti storiche disponibili, alla ricerca di citazioni di orologi
solari. Nell’ antichità quando indicavano l'ora della cena, non facevano riferimento agli orologi solari, ma ad un metodo
di misura del tempo chiamato da Dionisio Petavio (sec. XVIII) Decempedalis. Si tratta della misurazione dell'ombra del
proprio corpo in unità chiamate piedi. Aristofane indicava l'ora o meglio il momento della cena quando l'ombra di un
uomo aveva la lunghezza di dieci piedi. Questo tipo di orologio era chiamato Stoicheion e fu usatissimo fino al IX
secolo.
Con l'affermarsi della gnomonica si giunse nel III secolo a.C. a delle innovazioni davvero eccezionali, dovute in gran
parte agli eccellenti studi matematici dei vari filosofi greci. Così, Vitruvio ci informa su alcuni orologi solari
maggiormente in uso nella sua epoca e sui relativi inventori, lasciandoci al gioco interpretativo delle sue parole per
quanto concerne la descrizione degli stessi.
- 36 -