Circonferenza e cerchio

CIRCONFERENZA E CERCHIO
Definizione di circonferenza
La circonferenza è
una linea chiusa i
cui punti sono tutti
equidistanti da un
punto fisso detto
CENTRO
Definizione di cerchio
Si definisce CERCHIO la porzione di piano racchiusa da una
circonferenza
Raggio
Si definisce RAGGIO
di una circonferenza
il segmento che
unisce il centro con un
qualsiasi punto della
circonferenza
Corda e diametro


Si definisce CORDA qualsiasi segmento che unisce due
punti della circonferenza
Si definisce
DIAMETRO
una corda che
passa per il centro
della circonferenza
È facile vedere che :
d = 2r
Rapporto fra circonferenza e diametro
Qualunque sia il cerchio
(da quello di un bicchiere a quello di una grande
piazza),
il rapporto fra circonferenza e diametro è sempre
costante:
c/d = costante
Se un cerchio ha il diametro doppio del primo anche la
circonferenza sarà doppia e così via.
Vediamo con Excel...
Rapporto fra circonferenza e diametro



Questa costante è un numero che non può essere espresso
come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla
categoria dei numeri irrazionali
Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando
abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2
Nel nostro caso abbiamo che:
C
d
p
p
3,14…
Formule
C=pxd
Circonferenza
uguale a p greco
per il diametro
d
C
p
Ma d = 2 x r
allora
C = p x 2r
Circonferenza uguale
a p greco per due
volte il raggio
Formule
inverse
r
C
2p
Problemi




Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo
diametro misura 12 cm
c=pxd
c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm
Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio
r = c/2p
r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm
Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm
c= 2xpxr
c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm
Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro
d = c/ p
d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm
Arco di circonferenza



Prendiamo una
circonferenza e mettiamo
su di essa due punti
Si definisce arco di
circonferenza ciascuna
delle parti in cui la
circonferenza risulta
suddivisa dai due punti
I punti B e C individuano
l’arco c e l’arco d
Arco e angolo al centro




Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi
si forma un angolo al centro a
Tale angolo prende il nome di angolo al centro
Si dice che l’arco AB sottende un angolo
a e l’angolo a è sotteso da un arco AB
Cosa succede se in una circonferenza
aumento l’ampiezza dell’arco?
Cosa succede all’angolo a?
Vediamo che esso aumenta e
questo aumento è proporzionale
all’ampiezza dell’arco
Calcolo della lunghezza dell’arco


Se il valore dell’angolo al centro
arriva a 360° il corrispondente
valore dell’arco sarà l’intera
circonferenza
Quindi possiamo scrivere:
l :  = C : 360°
 = (l  360°) : C
C = (l  360°) : 
C
=
360°
l

Cx
l =
360°
p x 2r x 
l=
360°
Area del cerchio
Consideriamo i seguenti poligoni regolari
 Un poligono a 6 lati
 Un poligono a 10 lati
 Un poligono a 24 lati ...
La formula per calcolare l’area di questi poligoni è
sempre la stessa:
A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)
2P = n x l (n = numero dei lati l lato)
 Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in
rosso è mostrato il raggio
 Osserviamo cosa succede al poligono
all’aumentare del numero dei lati fissando prima
la nostra attenzione sulla differenza fra poligono
e circonferenza circoscritta
Puoi osservare che all’aumentare del
numero dei lati il poligono tende sempre di Adesso fissiamo la nostra
più ad assomigliare ad una circonferenza attenzione sul raggio e
sull’apotema
tanto che già a 24 lati si fa fatica a
distinguerli
Si nota che nella prima
figura la differenza è
Se noi facciamo diventare infinito il
percettibile ma nell’ultima
numero dei lati il poligono coinciderà con
la circonferenza e l’apotema con il raggio essa diventa trascurabile
Conclusioni
Nella formula
Formula della lunghezza
di una circonferenza
segue
A = (2pr x r) : 2
infine
Formula inversa
Problemi

Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchio
c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm
A = 3,14 x (10 cm )2= 314 cm2
c = 2 p r A = p r2

Un cerchio ha l’area di 1256 cm2 trovare raggio, diametro e circonferenza del
cerchio
r = √ (A/p)
r = √ (1256 cm2 /3,14) = √ 400 cm = 20 cm
d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm
c = p d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm
Formule Inverse
l
x
360°
c =

l x 360°
=
c
l x 360°
d=
px
l x 360°
=
pxd
l x 360°
r =
2px 
l x 360°
=
2pxr
Settore circolare
Prendiamo un cerchio e un suo arco
BC
Tracciamo i due raggi che uniscono
gli estremi dell’arco con il centro
Otteniamo cosi una porzione di
cerchio




Si dice settore circolare la
porzione di cerchio
racchiusa da due raggi e un
arco di circonferenza.
Cosa succede se aumento a?
Calcolo dell’area settore circolare





L’area del settore circolare è
proporzionale al valore dell’angolo al
centro
Se il valore il valore dell’angolo al centro
arriva a 360° il corrispondente settore
circolare coinciderà con l’area del cerchio
Questo rapporto e quello precedente
saranno uguali
Da questa constatazione posso impostare
la proporzione per calcolarmi l’area de
settore circolare
La cui soluzione mi darà l’area del settore
circolare
Formule Inverse
Segmento circolare




Consideriamo un cerchio ed una sua
corda a
La corda divide il cerchio in due
parti
Si definisce segmento circolare
ciascuna delle due parti
Si definisce segmento
circolare una porzione di
cerchio delimitata da una
corda
Se il segmento non contiene il centro


In questo caso debbo
considerare il settore circolare il
cui arco sottende al corda AB e
il triangolo ABO
L’area del segmento circolare
sarà data dalla differenza fra
l’area del settore circolare a
l’area del triangolo
Asc = As - At
Se il segmento contiene il centro


In questo caso debbo
considerare il settore
circolare il cui arco
sottende al corda AB e il
triangolo ABO
L’area del segmento
circolare sarà data dalla
somma fra l’area del
settore circolare a e
l’area del triangolo
Asc = As + At
Se non diversamente specificato il segmento
circolare si riferisce all’angolo convesso
Corona circolare



Consideriamo due
circonferenze concentriche
di raggio r1 ed r2 con r1 >
r2
fra le due circonferenze si
trova una porzione di piano
Chiamiamo questa porzione
di piano corona circolare
Si definisce corona circolare la porzione di piano
racchiusa fra due circonferenze
Area della corona circolare
L’area della corona circolare si ottiene
sottraendo all’area del cerchio maggiore
quella del cerchio minore
Acc = πr22 – πr12
Acc = π (r22 – r12)