Lunghezza circonferenze e area cerchio

La circonferenza è una linea curva e misurarla, per esempio, con il righello è
un procedimento impossibile. Come fare allora?
Vediamo di trovare un procedimento adeguato.
1. Procuriamoci un oggetto il cui contorno sia una circonferenza, per
esempio una lattina.
2. Segniamo sulla lattina un punto P ben preciso e, a partire da P,
avvolgiamola con del nastro fino a ritornare ancora a P.
3. Facciamo un segno sul nastro in corrispondenza di P e distendiamolo.
4. Otteniamo il segmento PA, che si chiama circonferenza rettificata.
5. Basterà quindi con un righello misurare PA per avere la lunghezza della
circonferenza.
Il mio righello
P
P
A
Procuriamoci qualche oggetto i cui contorni siano delle circonferenze
diverse e procediamo a misurare la circonferenza e il diametro. Calcoliamo
in rapporto fra la circonferenza e il diametro : C/d, noteremo che questo
rapporto rimane costante, è sempre 3,…
d1
C1
d2
C2
1
diametro
2
3
1
C3
2
3
d1
1
circonferenza rettificata
in conclusione:
Il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza
qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è
costante.
2
3
Indicando questa costante con π, potremo scrivere:
C
  ovvero C    d
d
  3,14
La lunghezza della circonferenza si ottiene moltiplicando la lunghezza
del diametro per = 3,14

in formule avremo:
C  d
d
C

( formula diretta )
( formula inversa )
Ricordando
che
C  2r e
C
r
2
d  2r
Disegnamo una circonferenza e in essa 3 angoli al centro rispettivamente
di 45°, 90° e 180° e, in corrispondenza, consideriamo i 3 archi di
circonferenza AB, AC, AD. Ci accorgiamo che l’ampiezza degli angoli al
centro e la lunghezza degli archi corrispondenti sono grandezze
direttamente proporzionali. Infatti se raddoppia l’angolo da 45° a 90°,
raddoppia anche l’arco da AB = 1/8 della circonferenza ad AC = ¼.
Ricordando che all’angolo al centro di ampiezza 360° corrisponde tutta la
circonferenza, possiamo scrivere:
Lunghezza arco
Ampiezza angolo al centro
C
360°
l
da cui:
Ricaviamo:
l  360
C

0
C : l  360 :  
C  
l
360
l  360
 
C
Disegnamo un cerchio e inscriviamo in esso dei poligoni regolari con un
numero di lati via via crescente: un triangolo equilatero, un quadrato, un
pentagono, …., un decagono, un dodecagono.
Osserviamo che all’aumentare del numero dei lati dei poligoni:
•I perimetri tendono a coincidere con la circonferenza;
•I rispettivi apotemi tendono a coincidere con il raggio;
•Le aree si approssimano sempre più all’area del cerchio.
Per un poligono regolare abbiamo:
pa
per il cerchio avremo :
2
Cr
2 r  r
A
ma C  2 r ; quindi A 
  r2
2
2
in definitica : A   r 2 ( formula diretta)
A
L’area del cerchio si
ottiene moltiplicando il
quadrato della misura del
suo raggio per 
r
A

( formula inversa)
Disegnamo un cerchio e in esso due settori
circolari corrispondenti a due angoli al centro,
uno il doppio dell’altro. Ci accorgiamo che,
raddoppiando l’ampiezza dell’angolo al centro,
raddoppia l’area del settore circolare
corrispondente, cioè le due grandezze sono
direttamente proporzionali.
90°
O
45°
Osservando che all’angolo al centro ampio
360° corrisponde l’area di tutto il cerchio,
possiamo scrivere:
Area settore
Ampiezza angolo
al centro
Ac
As
360°
α°
da cui:
Ac : As  360 :  
da questa proporzion e ricaviamo le formule :
Ac 
As  360

As 
Ac   
360
 
As  360
Ac
Confrontiamo le due proporzioni:
C : l  360 :  
dal confronto deduciamo che:
Ac : As  360 :  
C : l  Ac : As
Sostituendo a C e ad Ac i loro valori 2 π r e π r², avremo:
2  r : l   r : As
2
l  r 2 l  r
da cui As 

2 r
2
L’area di un settore circolare si può calcolare moltiplicando la misura della
lunghezza dell’arco che lo limita per la misura della lunghezza del raggio
della circonferenza e divivendo tale prodotto per 2:
lr
As 
2
Consideriamo due casi:
A
B
1. Il segmento circolare considerato è quello
minore della semicirconferenza.
L’area del segmento circolare sarà data dalla
differenza fra l’area del settore circolare che
insiste sullo stesso arco di circonferenza e
l’area del triangolo ABO.
o
A
B
O
2. Il segmento circolare considerato è
maggiore della semicirconferenza.
L’area del segmento circolare sarà data dalla
somma dell’area del settore circolare
corrispondente e dell’area del triangolo ABO.
A
B
O