Sovrapposizione di forze
gravitazionali
Una sfera A di 1000 kg si trova all'origine di un
sistema Oxy di assi cartesiani ortogonali. Altre due
sfere uguali B e C di 2500 kg sono poste rispettivamente nei punti di coordinate (0; 1 m) e (2 m; 0).
Qual è la forza gravitazionale complessiva F esercitata su A?
Richiest
Dati del problema
e
forza gravitazionale esercitata
m = 1000 kg
massa della sfera A
F
su A
M = 2500 kg
massa delle sfere B e C
xB = 0; yB = 1 m
coordinate della sfera B
xC = 2 m; yC = 0
coordinate della sfera B
-11
2
G = 6.673 10 N m / costante di gravitazione
kg2
universale
La sfera A risente sia dell'attrazione della sfera B, sia di quella della sfera C: le due azioni si
sovrappongono.
Bisogna calcolare indipendentemente le due forze (con la legge di gravitazione) e poi sommarle
vettorialmente.
Modulo della forza esercitata da B su A:
FB = G m M / yB2 = 1,67 10-4 N = 167,0 μN
Modulo della forza esercitata da C su A:
FC = G m M / yC2 = 4,17 10-5 N = 41,7 μN
Dal momento che le due forze sono perpendicolari, il modulo della forza risultante F si trova
applicando Pitagora:
F = (FB2 + FC2)1/2 = 172,1 μN
La forza F forma con l'asse x un angolo α tale che:
tg α = FB / FC = 4
Satelliti geostazionari
I satelliti geostazionari sono satelliti che, visti
dalla Terra, occupano sempre la stessa posizione
nel cielo. Questo avviene perchè il loro periodo
di rivoluzione intorno alla Terra è uguale al
periodo di rotazione della Terra, cioè 1 giorno. I
satelliti geostazionari permettono una facile
orientazione delle antenne e sono utilizzati per il
meteo (METEOSAT) e per le comunicazioni
come quella televisiva. A quale distanza dalla
Terra deve orbitare un satellite geostazionario?
Dati del problema
T = 1 giorno = 8,64 104 s periodo di rivoluzione
RT = 6,37 106 m
raggio terrestre
24
MT = 5,97 10 kg
massa della Terra
-11
2
-2
G = 6,67 10 N m kg costante di gravitazione universale
Richiest
e
h
quota
Per la III legge di Keplero, il periodo di rivoluzione T è legato al raggio R dell'orbita (R = RT + h)
R3 / T2 = costante
Il valore della costante è determinato dalla massa MT della Terra
R3 / T2 = 4 π2 / G MT
Dall'ultima relazione si ricava il raggio R dell'orbita
R = 4,22 107 m
e quindi, sottraendo il raggio terrestre RT, la quota h
h = 3,6 107 m = 36 000 km
Conservazione dell'energia meccanica
gravitazionale
Due masse M e m si trovano inizialmente ferme a distanza dA. Esse sono sottoposte solo all'azione
della forza gravitazionale (attrattiva). Considerando un sistema di riferimento solidale con la massa
M, quanto vale la velocità vB della massa m ad una distanza dB minore di dA?
Richiest
Dati del problema
e
M, m
masse
vB
velocità finale di m rispetto ad M
dA
distanza iniziale tra le masse
vA = 0
velocità iniziale di m rispetto ad M
dB
distanza finale tra le masse
Quando le masse si avvicinano, la forza attrattiva è più intensa. Durante lo spostamento essa compie
un lavoro positivo e quindi il sistema acquista energia cinetica a spese dell'energia potenziale
iniziale.
Poiché la forza gravitazionale è conservativa, l'energia meccanica totale delle due masse rimane
costante.
L'energia totale è la somma K1 + K2 dell'energia cinetica di ogni massa e dell'energia potenziale
(negativa) U del sistema. In simboli:
E = K1 + K2 + U = costante
Nei problemi che riguardano il moto di due corpi, conviene spesso prendere un sistema di
riferimento solidale con uno dei due corpi e considerare solo il moto dell'altro. Nel riferimento della
massa M, l'energia cinetica di M è nulla e la legge di conservazione dell'energia meccanica (tra le
due configurazioni iniziale e finale) diventa:
E (A) = E (B)
1/2 m vA2 - G M m / dA = 1/2 m vB2 - G M m / dB
Nella configurazione iniziale A la massa m è immobile e l'energia meccanica e solo potenziale.
Dividendo tutto per m, si ha:
- G M / dA = 1/2 vB2 - G M / dB
La velocità della massa m nella configurazione B è quindi:
vB = (2 G M (1 / dA - 1 / dB))1/2
