CAMPO GRAVITAZIONALE: esempio di
campo di forza centrale
Moto dei corpi celesti
Sistema tolemaico o geocentrico: sole, luna e
pianeti si muovono su epicicli
Sistema copernicano o eliocentrico:
considerando il sole come origine del sistema
di riferimento si ha una descrizione cinematica
più semplice
Keplero, analizzando i dati relativi alle
osservazioni di un astronomo danese, formula
le tre leggi:
1) le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il sole
occupa uno dei fuochi;
2) la velocità areolare per ciascun pianeta è
costante;
3) i quadrati dei periodi di rivoluzione dei
pianeti sono proporzionali ai cubi dei
semiassi maggiori delle orbite.
L’ interpretazione dinamica a queste leggi
viene data da Newton,partendo dalle seguenti
ipotesi:
1) al moto dei corpi celesti si applicano le
leggi della dinamica già note
2) ciascun pianeta si muove sotto l’ azione di
una forza attrattiva esercitata dal sole
proporzionale alla massa del pianeta e
inversamente proporzionale al quadrato
della distanza sole – pianeta.
E’ contenuto in tale ipotesi il presupposto di
una legge universale
m1 m2 masse puntiformi qualsiasi:
tra le due masse agisce una forza attrattiva
diretta lungo la loro congiungente,
proporzionale alle masse e inversamente
proporzionale al quadrato della loro
distanza
F=γ
m1m 2
r
2
legge di gravitazione universale
Deriviamola dalle leggi di keplero
Velocità areolare costante ⇒ |L| = costante
Orbita piana ⇒ direzione di L costante
L = costante ⇒r × F = 0 ⇒ F forza centrale
Assumendo l’ orbita circolare
2
F = mω r = m
Per la terza legge
2
4π
2
2
r
T
2
3
T = kr
4π m
F=
2
k r
Sistema terra − sole
F = forza esercitata sulla terra dal sole
2
4π MT
F=
kT r 2
Per il III principio della dinamica
F = F’= forza esercitata sul sole dalla terra
2
4π MS
F' =
kS r 2
F = F’ ⇒ MTkS = MSkT
2
Ponendo
4π
4π
γ=
=
M T k S M Sk T
F = F' = γ
m1, m2
2
MT MS
r
2
masse gravitazionali
proprietà intrinseche dei corpi responsabili
della forza gravitazionale
γ costante universale
Determinazione di γ: bilancia di torsione di
Cavendish
m
specchio
M
γ = 6.67 ⋅10
−11
2
sorgente di luce
2
N ⋅ m / Kg
Calcolo della massa della terra
mg =
γmM T
2
RT
⇒ MT = 5.98 ⋅1024 Kg
Diversi esperimenti hanno permesso di
verificare che masse gravitazionali e masse
inerziali sono proporzionali
Ponendo la costante di proporzionalità uguale
ad 1 esse coincidono numericamente
Proprietà dell’ interazione gravitazionale:
non è influenzata dalla presenza di altra
materia
è indipendente dalla natura chimica e fisica
dei corpi, dipende solo dalla massa
Energia potenziale
della forza gravitazionale
F12 forza esercitata da m1 su m2 m
F12 = − γ
m1m 2
r
2
u12
2
F12 u12
m1
u12 versore della direzione che va da m1 ad m2
m1m 2
F12 (r ) = − γ 2
r
B
rB
A
rA
W = ∫ F12 • d s = ∫ F12 (r )dr =
rB
= ∫ −
rA
γm1m 2
r
2
rB
1
dr = − γm1m 2 − =
r rA
1 1
= γm1m 2 − = E PA − E PB
rB rA
Energia potenziale in un punto a distanza r:
assumiamo EP (r
= ∞) = 0
r B = ∞ rA = r
∞
γm1m 2
E P (r ) = ∫ F(r ) dr = −
r
r
CAMPO GRAVITAZIONALE
m0, massa posta in P, interagisce con m1
F = −γ
mm0
r
2
u
F forza esercitata da m su m0
m
F
G=
= −γ 2 u
m0
r
P
G
u
m
G campo gravitazionale generato da m
in un punto P a distanza r = forza esercitata da
m su una massa unitaria
m sorgente del campo
Linee di forza del campo G generato da m
m
linea di forza
superficie equipotenziale
mm0
E P (r ) = − γ
r
Superfici equipotenziali ≡ superfici sferiche di
raggio r
Campo gravitazionale generato in un punto P
da n masse puntiformi mi
Gi = −γ
mi
r
2
ui
G = ∑i G i = − γ ∑i
mi
u
2 i
ri
Campo gravitazionale prodotto da
distribuzioni continue
Distribuzioni continue di massa ⇔ numero
molto grande di masse elementari dm
distribuite in regioni dello spazio, le cui
dimensioni non consentono l’approssimazione
di massa puntiforme
u
dm
P
r
dG
d G = −γ
dm
r
2
ρdV
dm
G = ∫− γ
u = ∫− γ
u
r2
r2
C
C
u
