Forza di gravita`: approssimativamente la forza che agisce sui corpi

Forza di gravita’: approssimativamente la forza che agisce
sui corpi vicino alla superficie della Terra
Forza costante in modulo e direzione
Costante:
Nel tempo (non varia da un istante al successivo)
Nello spazio (non varia da un punto all’altro)
Utile come banco di prova per verifica delle leggi di
Newton
Forza-modello o forza empirica?
Nessuna delle due: caso limite di una forza fondamentale
Cosa accade se un cannone molto potente spara da una
montagna molto alta?
La forza peso non e’ piu’ costante, varia in direzione a
causa della curvatura della Terra
Se la caduta della palla di cannone in un intervallo di
tempo ∆t e’ uguale allo spostamento verso il basso della
superficie terrestre dovuto alla sfericita’ della Terra, il
proiettile restera’ alla stessa altezza da cui e’ stato
sparato…
1
2

∆y = 2 g ( ∆t )

 ( R + ∆y )2 − R 2 = v∆t

2
→ ( R + ∆y ) − R 2 = ( v∆t )
2
→ 2 R∆y ≈ v 2 ( ∆t ) = v 2
v
2
2∆y
g
R = 6400 km
1
s
m
g = 9.81 ms −2
→ v ≈ gR ≈ 9.81⋅ 6.4 106 ≈ 8 103
Quindi: Un proiettile sparato ad 8 km/s restera’ in orbita
NB Press’a poco la velocita’ dei satelliti in orbita bassa....
E se la forza di gravita’ si estendesse anche alla distanza
a cui si trova la Luna? (Leggenda della mela...)
Possibile che la Luna “cada” verso la Terra nel suo moto
proprio come il proiettile?



R 
n
o
t
w
e
N
i
d
o
p
m
e
t
l
a
i
t
o
n
n
e
B
1
vLuna = 1 kms −1 ≈ v
8
RLuna = 384000 km ≈ 60
i
d
o
d
o
i
r
e
p
n
u
u
s
o
t
a
r
u
s
i
m
i
r
;
o
t
a
r
u
c
c
a
n
i
o
p
m
e
t
l
e
d
:
a
M
[
i
e
d
e
n
o
i
z
a
c
i
l
b
b
u
p
a
l
l
e
n
o
d
r
a
t
i
r
l
e
d
a
s
u
a
c
n
o
c
,
i
n
n
a
i
t
l
o
m
.
]
.
a
i
p
i
c
n
i
r
P
RLuna
a
t
e
p
i
r
t
n
e
c
e
n
o
i
z
a
r
e
l
e
c
c
A
2
→ aLuna
2
vLuna
=
RLuna
1
 
1
1
8
a proiettile =
a proiettile
≈   a proiettile ∼
60
60 ⋅ 60
3600
 R 
a
→ Luna ≈ 

a proiettile  RLuna 
1
→a∝ 2
r
2
In base alla II legge di Newton, un’accelerazione richiede
una forza: i corpi, inclusa la Luna, quindi sentono una
forza attrattiva da parte della Terra che varia come 1/r2 ,
essendo r la loro distanza dal centro della Terra
Sappiamo anche qualcosa in piu’: se la forza cercata ha le
stesse proprieta’ della forza di gravita’ (accelerazione
uguale per tutte le masse), la forza sentita da ogni corpo
deve essere proporzionale alla sua massa.
Ma in base alla III legge di Newton, la forza sentita dal
corpo a causa della Terra e’ uguale e opposta alla forza
sentita dalla Terra a causa del corpo: quindi entrambe
devono essere proporzionali al prodotto delle due masse.
'
a
t
i
l
a
n
o
i
z
r
o
p
o
r
p
i
d
e
l
a
s
r
e
v
i
n
u
e
t
n
a
t
s
o
c
Forza di gravitazione fra Terra e Luna :
mM
F =G 2 G
r
Caratteristiche di universalita’: uguale per ogni coppia di
masse, es Terra e Sole
Le forze sono vettori
Legge di gravitazione scritta in forma vettoriale
i
d
a
s
u
a
c
a
mM
rˆ
2
r
u
s
a
t
i
c
r
e
s
e
i
s
e
h
c
e
l
a
n
o
i
z
a
t
i
v
a
r
g
a
z
r
o
F
:
Fm = −G
m
M
Fm
M
r
Fm
m
r
rˆ versore direzione M → m
M
r
FM
m
r
Costante di Newton: una delle costanti fondamentali della
natura
Dimensioni:
mM
Fr 2
F =G 2 →G =
r
mM
[G ] = [ F ]  L2   M −2  = [ M ][ L ] T −2   L2   M −2  =  L3   M −1  T −2 
Valore:
6.67 10−11 m3 kg −1s −2 , Nm 2 kg −2 , Jmkg −2
Piccola: Forza di gravitazione importante solo per masse
grandi, quindi nei sistemi astronomici; trascurabile a livello
nucleare, atomico, molecolare
Impossibile da misurare con osservazioni astronomiche:
misurata per la prima volta da Cavendish alla fine del ‘700
con la bilancia di torsione
k θ = LF
mM
mM
F = G 2 → k θ = LG 2
r
r
2
k θr
→G=
LmM
2
2
2
 L 
I
L
mL
T = 2π , I = 2m   = m → T = 2π
 2 
k
2
2k
2π 2 mL2
→k=
T2
k θr 2
θr 2 2π 2 mL2 2π 2 r 2 Lθ
→G=
=
=
LmM
LmM T 2
MT 2
Punto di vista newtoniano:
Ognuna delle due masse, M ed m, esercita una forza a
distanza sull’altra
Punto di vista moderno:
La massa M da’ origine ad un campo gravitazionale in
ogni punto dello spazio
Il campo gravitazionale originato da M esercita un’azione
(forza) sulla massa m quando essa e’ immersa nel campo
stesso (e viceversa)
Punti di vista sostanzialmente equivalenti in condizioni
statiche
Molto diversi in condizioni non statiche (peraltro inesistenti
nella gravitazione di Newton)
La massa M da’ origine ad un campo gravitazionale in
ogni punto dello spazio
In ogni punto dello spazio dobbiamo immaginare sia
definito un vettore g (in generale variabile da punto a
punto, ma costante nel tempo), tale che una massa di
prova m e’ soggetta a una forza gravitazionale
F = mg
P es, il campo generato da una massa M puntiforme:
g=
Fm 
mM
=  −G 2
m 
r
M
1
rˆ  = −G 2 rˆ
r
m
Rappresentazione geometrica, linee di forza:
Il campo gravitazionale e’ una grandezza fisica lineare:
L’effetto di una somma di cause e’ la somma (lineare)
degli effetti
→Il campo gravitazionale di un insieme di masse e’ la
somma dei singoli contributi individuali
Il campo gravitazionale e’ una grandezza fisica vettoriale:
La sua matematica e’ la matematica dei vettori
→l singoli contributi individuali si sommano con la regola
del parallelogramma
Esempio: 2 masse m uguali a distanza 2°
o
t
n
e
m
g
e
s
l
e
d
e
s
s
a
'
l
l
u
s
:
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R
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2
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C
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t
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r
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m
a
c
:
o
n
g
e
S
M
x + a2
2
e
s
s
a
'
l
l
u
s
o
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m
a
c
:
a
z
n
a
t
s
i
d
a
i
l
a
u
g
u
e
s
s
a
m
2
x2 + a2
x
2 Mx
= −G
32
x2 + a2
( x2 + a2 )
→ g xTOT = −2G
y
Infatti :
→ Totaley = 0
x
cos θ = −
M
M
G
,
=
r2
x2 + a 2
g =G
2a
m
x
→ Totalex = 2 ⋅ g x
g x = g cos θ
verso
Mx
32
gx → − G
a
d
i
t
n
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m
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t
s
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c
s
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m
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n
,
i
d
n
i
u
Q
Mx
M
= −G 2
3
x →∞
x
x
Mx
GM
gx → − G 3 = − 3 x
x →0
a
a
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s
s
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m
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u
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r
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l
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w
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L
+ a2 )
2
(x
g x = −G