Equazioni di quarto grado

Equazioni di quarto grado
Classe Seconda - Marzo 2006
Sono stati studiati due tipi di equazioni di quarto grado: le equazioni biquadratiche e
le equazioni reciproche. Vengono qui presentati degli esercizi svolti su questi argomenti.
Equazioni biquadratiche
1) Risolviamo la seguente equazione:
x4 − 3x2 + 2 = 0
con la sostituzione
t = x2 ;
l’equazione diventa:
t2 − 3t + 2 = 0
che ha come soluzioni:
t1 = 1 ;
t2 = 2 .
Per ricavare i valori dell’incognita x basta prendere le radici quadrate (con entrambi i
segni) dei valori trovati per t:
√
√
x1,2 = ± 1 ; x3,4 = ± 2 .
In definitiva le soluzioni dell’equazione di partenza sono:
√
√
x1 = 1 ; x2 = −1 ; x3 = 2 ; x4 = − 2 .
2) Stesso esercizio con l’equazione:
x4 − 9x2 + 20 = 0 ;
con la sostituzione
t = x2
1
l’equazione si trasforma in
t2 − 9t + 20 = 0
che ha per soluzioni i numeri
t1 = 4 ;
t2 = 5 ;
per ottenere i valori della variabile x basta considerare le loro radici quadrate:
√
√
x1,2 = ± 4 ; x3,4 = ± 5 .
In definitiva le soluzioni sono:
√
√
x1 = 4 = 2 ; x2 = − 4 = −2 ;
x3 =
√
5 ;
√
x4 = − 5 .
3) Ancora un esercizio sulle biquadratiche: risolviamo l’equazione
2x4 + 2x2 − 12 = 0 ;
al solito, con la sostituzione
t = x2
l’equazione diventa
2t2 + 2t − 12 = 0
e le soluzioni che si ricavano sono:
t1 = 2 ;
t2 = −3 ;
stavolta non possiamo prendere la radice quadrata di t2 in quanto tale valore è negativo (ricordiamo infatti che la radice quadrata, avendo indice pari, non può avere come
radicando un numero negativo). Le soluzioni dell’equazione di partenza saranno allora
due (negli atri esempi erano quattro perché i valori trovati per la variabile t erano tutti
positivi):
√
x1,2 = ± 2
cioè
x1 =
√
√
x2 = − 2 .
2 ;
2
Equazioni reciproche
4) Risolvere l’equazione:
x4 − 2x3 − 33x2 − 2x + 1 = 0 ;
operiamo la seguente sostituzione:
t=x+
1
;
x
l’equazione diventa:
t2 − 2t + (−33 − 2) = 0
⇒
t2 − 2t − 35 = 0
che ha per soluzioni i numeri
t1 = −5 ;
t2 = 7 .
Per trovare i valori della x risolviamo queste due equazioni:

1



 x + x = −5



 x+ 1 =7
x
la prima può essere risolta cosı̀:
x+
1
= −5
x
⇒
x2 + 1
−5x
=
x
x
x2 + 5x + 1
=0
x
⇒
risolvendo l’equazione x2 + 5x + 1 = 0 troviamo:
√
−5 ± 21
x1,2 =
2
la seconda equazione può essere risolta allo stesso modo:
x+
1
=7
x
⇒
x2 + 1
7x
=
x
x
⇒
risolvendo l’equazione x2 − 7x + 1 = 0 troviamo:
√
7 ± 45
x3,4 =
.
2
3
x2 − 7x + 1
=0
x
In definitiva le quattro soluzioni dell’equazione di partenza sono:
√
√
√
√
−5 + 21
−5 − 21
7 + 45
7 − 45
x1 =
; x2 =
; x3 =
; x4 =
.
2
2
2
2
5) Altro esempio: risolvere l’equazione
x4 + 5x3 − 4x2 + 5x + 1 = 0 ;
con la sostituzione t = x +
1
si ottiene:
x
t2 + 5t + (−4 − 2) = 0
⇒
t2 + 5t − 6 = 0
le soluzioni dell’ultima equazione sono:
t1 = 1 ;
t2 = −6
Per trovare i valori della x risolviamo queste due equazioni:

1



 x+ x =1



 x + 1 = −6
x
la prima può essere risolta cosı̀:
x+
1
=1
x
⇒
x2 + 1
1·x
=
x
x
⇒
x2 − x + 1
=0
x
risolvendo l’equazione x2 − x + 1 = 0 troviamo che il ∆ è negativo (= −3): l’equazione
non ha quindi soluzioni.
Risolvendo invece la seconda si trova:
x+
1
= −6
x
⇒
x2 + 1
−6x
=
x
x
⇒
x2 + 6x + 1
=0
x
risolvendo l’equazione x2 + 6x + 1 = 0 troviamo:
√
−6 ± 32
x1,2 =
2
L’equazione di partenza ha allora solo due soluzioni:
√
√
−6 + 32
−6 − 32
x1 =
; x2 =
.
2
2
4