19) capitolo6

C APITOLO 6
Calcolo integrale
6.1 Integrale indefinito
La nozione fondamentale del calcolo integrale è quella di funzione primitiva di una
funzione f (x). Tale nozione è in qualche modo speculare alla nozione di funzione
derivata di f (x) : con funzione primitiva di una data funzione f (x) si intende una
funzione F (x) che, se derivata, coincide con la funzione f (x) stessa. Sussiste la
seguente
R
Definizione (Primitiva)
Sia f (x) definita nell’intervallo aperto (a, b). Se esiste una funzione F (x) continua
in [a, b] e derivabile in (a, b) e tale che
0
F (x) = f (x) ∀x ∈ (a, b),
E
la funzione F (x) sarà detta funzione primitiva di f (x).
Esempio 6.1
Sia f (x) = k, con k ∈ R. Siccome la funzione F (x) = kx è tale che
0
F (x) = k = f (x) ∀x ∈ R,
la funzione F (x) è una primitiva di f (x).
" Osservazione
Prima proprietà delle primitive.
Se F (x) è una primitiva di f (x), anche la funzione G(x) = F (x) + c, c ∈ R è una
funzione primitiva di f (x). In effetti risulta
0
0
G (x) = D[F (x) + c] = F (x) = f (x).
Ne segue, quindi, che se una funzione f (x) ammette una primitiva F (x) allora
ammetterà come primitive anche tutte le funzioni della forma G(x) = F (x) + c.
Rimane chiaramente aperto il problema seguente: esistono altre primitive di f (x)
che non siano della forma F (x)+c? Il teorema seguente stabilisce che tale domanda
ammette una risposta negativa.
116
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
117
w Teorema (Seconda proprietà delle primitive)
Ipotesi) Sia f (x) definita in (a, b) e siano G(x) e F (x) due primitive di f (x).
Tesi) G(x) = F (x) + c, c ∈ R.
Dimostrazione
Siccome F (x) e G(x) sono due primitive di f (x), dovrà risultare
0
0
G (x) = f (x) e F (x) = f (x),
da cui segue
0
0
G (x) = F (x)
(6.1)
Siccome per ipotesi F (x) e G(x) sono primitive di f (x), esse sono continue in [a, b]
e derivabili in (a, b) : è allora possibile utilizzare il secondo corollario al teorema di
Lagrange: la relazione (6.1) implica pertanto che
G(x) − F (x) = c ∀x ∈ [a, b],
da cui la tesi.
R
■
Definizione (Integrale indefinito)
Sia f (x) definita in (a, b) e si supponga che essa ammetta primitive. La totalità delle
primitive di f (x) sarà indicata con il simbolo
ˆ
f (x) d x,
che si legge “integrale indefinito di f (x) in d x”. La funzione f (x) sarà detta integrando.
In base alle due proprietà delle primitive appena descritte si avrà, pertanto,
ˆ
f (x) d x = F (x) + c, c ∈ R,
dove F (x) è una qualsiasi primitiva di f (x).
" Osservazione
L’integrale indefinito è, al pari della derivata, un’operazione cosiddetta lineare: risulta, cioè
ˆ
ˆ
ˆ
[α f (x) + βg (x)] d x = α
f (x) d x + β
g (x) d x.
In effetti, se F (x) è una primitiva di f (x) e G(x) lo è di g (x), la funzione
αF (x) + βG(x)
(6.2)
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
118
è una primitiva di α f (x) + βg (x), visto che
0
0
D[αF (x) + βG(x)] = αF (x) + βG (x) = α f (x) + βg (x).
Ne segue che
ˆ
[α f (x) + βg (x)] d x = αF (x) + βG(x) + c, c ∈ R.
(6.3)
Dalla definizione di primitiva segue, d’altra parte, che
ˆ
α
ˆ
f (x) d x + β
g (x) d x = α[F (x) + c 1 ] + β[G(x) + c 2 ] = αF (x) + βG(x) + c, c ∈ R,
(6.4)
avendo posto c = αc 1 + βc 2 che, vista l’arbitrarietà delle costanti c 1 e c 2 implica c ∈
R. Confrontando le relazioni (6.3) e (6.4) si ottiene quindi la linearità dell’integrale
indefinito (6.2).
" Osservazione
Tenendo conto della definizione di integrale definito risulta
ˆ
D[g (x)]d x = g (x) + c, c ∈ R.
(6.5)
In effetti nel calcolo dell’integrale
ˆ
D[g (x)]d x
occorre trovare una funzione F (x) la cui derivata sia pari all’integrando, D[g (x)].
0
Chiaramente la funzione F (x) = g (x) gode di tale caratteristica, F (x) = D[g (x)], da
cui segue la validità della relazione (6.5).
" Osservazione
Dalle regole di derivazione di una funzione composta introdotte nel capitolo 5, che
di seguito si riportano per comodità,
0
y
y
x α+1
[ f (x)]α
a f (x)
e f (x)
(α + 1)x α
0
α[ f (x)]α−1 f (x)
0
a f (x) f (x) ln a
0
e f (x) f (x)
loga [ f (x)]
ln[ f (x)]
f (x)
f (x) loga e
0
f (x)
f (x)
sin[ f (x)]
cos[ f (x)]
cos[ f (x)] f (x)
0
− sin[ f (x)] f (x)
0
0
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
119
è possibile calcolare in modo immediato il valore di parecchi integrali indefiniti. Ad
esempio dalla relazione
D[x α+1 ] = (α + 1)x α
e dall’osservazione precedente, segue che
ˆ
ˆ
α
(α + 1)x d x =
D[x α+1 ]d x = x α+1 + c, c ∈ R.
(6.6)
Utilizzando poi la linearità dell’integrale indefinito si ha, per α 6= −1,
ˆ
ˆ
ˆ
1
α+1
Inserendo nella relazione (6.7) la relazione (6.6) si ottiene
(α + 1)x α d x = (α + 1)
ˆ
xα d x =
x α d x =⇒
xα d x =
ˆ
(α + 1)x α d x.
1
x α+1
c
[x α+1 + c], c ∈ R =
+
, c ∈ R.
α+1
α+1 α+1
Dall’arbitrarietà della costante c segue anche l’arbitrarietà della costante
cui si è ottenuto, infine,
ˆ
(6.7)
xα d x =
c
α+1 ,
per
x α+1
+ c, c ∈ R se α 6= −1.
α+1
Se, invece, α = −1, occorre calcolare l’integrale
ˆ
1
d x.
x
Tenendo conto del fatto che, per definizione, si richiede che l’integrando f (x) sia
definito in un intervallo, si distinguono due casi:
1) f (x) = x1 sia definita per x > 0. In tal caso è immediato verificare che la funzione
F (x) = ln x è una primitiva di f (x), essendo
D[ln x] =
1
.
x
2) f (x) = x1 sia definita per x < 0. In tal caso una primitiva di f (x) può essere scelta
pari a F (x) = ln(−x), essendo
D[ln(−x)] =
1
1
· (−1) = .
(−x)
x
I casi 1) e 2) possono essere unificati ponendo
ˆ
1
d x = ln |x| + c, c ∈ R.
x
In modo analogo a quanto visto nell’osservazione precedente, dalla tabella delle
derivate di una funzione composta e utilizzando la linearità dell’integrale indefinito è possibile pertanto costruire una tabella di integrali indefiniti che si possono
calcolare immediatamente:
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
120
Integrale definito
´
´
´
´
[ f (x)]
x d´x
x −1 d x ≡
1
x
dx
−1
a
0
f (x) d x ≡
´
0
0
f (x)
f (x)
+ c, c ∈ R seα 6= −1
ln | f (x)| + c, c ∈ R
dx
f (x)
f (x) loga e d x
f (x) 0
loga | f (x)| + c, c ∈ R
a f (x) + c, c ∈ R
e f (x) + c, c ∈ R
e x + c, c ∈ R
sin[ f (x)] + c, c ∈ R
− cos[ f (x)] + c, c ∈ R
f (x) ln a d x
0
e ´ f (x) d x
ex d x
´
0
cos[ f (x)] f (x) d x
´
0
sin[ f (x)] f (x) d x
´
+ c, c ∈ R se α 6= −1
ln |x| + c, c ∈ R
[ f (x)]α+1
α+1
0
[ f (x)]α f (x) d x
´
´
Primitive
x α+1
α+1
α
f (x)
Tabella 6.1
Alcuni integrali immediati
Utilizzando la relazione
ˆ
xα d x =
x α+1
+ c, α 6= −1
α+1
E
è possibile calcolare gli integrali indefiniti negli esempi seguenti.
Esempio 6.2
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
x 5 d x.
Soluzione
ˆ
Si ha:
x5 d x =
E
x6
+ c.
6
Esempio 6.3
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ p
5
x 3 d x.
Soluzione
Si ha:
ˆ p
5
ˆ
x3 d x
=
3
3
5
x dx =
x 5 +1
3
5
5 8
+c = x 5 +c
8
+1
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
121
E
Esempio 6.4
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
1
d x.
x3
Soluzione
ˆ
Si ha:
E
1
dx =
x3
ˆ
x −3 d x =
x −3+1
1
+ c = − 2 + c.
−3 + 1
2x
Esempio 6.5
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
1
d x.
p
3
x
Soluzione
Si ha:
ˆ
1
dx =
p
3
x
ˆ
1
1
x− 3 d x =
x − 3 +1
− 13 + 1
+c =
3p
3
x 2 + c.
2
Utilizzando la relazione
ˆ
0
[ f (x)]α f (x) d x =
1
[ f (x)]α+1 + c
α+1
E
è possibile calcolare gli integrali indefiniti negli esempi seguenti.
Esempio 6.6
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
2
p
(2x − 1) d x.
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
[ f (x)]α f (x) d x
con f (x) = 2x − 1 e α = 12 . Si ha, pertanto,
ˆ
2
p
(2x − 1) d x =
1
1
3
2
2p
2 +1 + c =
2 +c =
(2x − 1)3 + c.
[2x
−
1]
[2x
−
1]
1
3
3
+
1
2
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
122
E
Esempio 6.7
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
sin2 (x) cos x d x.
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
[ f (x)]α f (x) d x
con f (x) = sin x e α = 2. Si ottiene, pertanto,
ˆ
sin2 (x) cos x d x =
E
1
1
[sin x]3 + c = sin3 x + c.
2+1
3
Esempio 6.8
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
2x
d x.
(x 2 + 3)2
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
[ f (x)]α f (x) d x
con f (x) = x 2 + 3 e α = −2. Si ottiene, pertanto,
ˆ
2x
(x 2 + 3)2
Utilizzando la relazione
dx =
ˆ
1
1
[x 2 + 3]−2+1 + c = − 2
+ c.
−2 + 1
x +3
0
f (x)
d x = ln | f (x)| + c
f (x)
E
si possono calcolare gli integrali indefiniti negli esempi che seguono.
Esempio 6.9
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
2x
d x.
x2 + 7
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
123
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
f (x)
dx
f (x)
con f (x) = x 2 + 7. Si ottiene, quindi,
ˆ
2x
x2 + 7
E
d x = ln |x 2 + 7| + c = ln(x 2 + 7) + c.
Esempio 6.10
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
cos x
d x.
sin x
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
f (x)
dx
f (x)
con f (x) = sin x. Si ottiene, quindi,
ˆ
E
cos x
d x = ln | sin x| + c.
sin x
Esempio 6.11
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
2xe x
2
2
ex − 3
d x.
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
f (x)
dx
f (x)
2
con f (x) = e x − 3. Si avrà, quindi,
ˆ
2xe x
2
ex
2
−3
2
d x = ln |e x − 3| + c.
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
ˆ
Utilizzando la relazione
124
0
e f (x) f (x) d x = e f (x) + c
E
si possono calcolare gli integrali negli esempi che seguono.
Esempio 6.12
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
ex
2 +x
(2x + 1) d x.
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
e f (x) f (x) d x
con f (x) = x 2 + x. Si avrà, quindi,
ˆ
ex
E
2 +x
(2x + 1) d x = e x
2 +x
+ c.
Esempio 6.13
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
e
2x−3
5
2
d x.
5
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
e f (x) f (x) d x
con f (x) =
2x−3
5 . Si avrà, quindi,
ˆ
e
Utilizzando la relazione
ˆ
2x−3
5
2x−3
2
d x = e 5 + c.
5
0
sin f (x) f (x) d x = − cos f (x) + c
si può calcolare l’integrale indefinito nel seguente
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
125
E
Esempio 6.14
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
−
1
1
sin d x.
2
x
x
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
sin f (x) f (x) d x
con f (x) = x1 . Si avrà, quindi,
ˆ
−
Utilizzando la relazione
1
1
1
sin d x = − cos + c.
x2
x
x
ˆ
0
cos f (x) f (x) d x = sin f (x) + c
E
si può calcolare l’integrale indefinito nel seguente
Esempio 6.15
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
2x cos x 2 d x.
Soluzione
L’integrale dato è della forma
ˆ
0
cos f (x) f (x) d x
con f (x) = x 2 . Si avrà, quindi,
ˆ
2x cos x 2 d x = sin x 2 + c.
" Osservazione
Utilizzando la linearità dell’integrale indefinito è possibile calcolare integrali anche
nei casi che non rientrano in quelli della tabella 6.1, come mostrato negli esempi
seguenti.
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
126
E
Esempio 6.16
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
(5x − 2e x + 3 sin x) d x.
Soluzione
Si ha:
ˆ
ˆ
(5x − 2e x + 3 sin x) d x = 5
=5
E
ˆ
x dx −2
ˆ
ex d x + 3
sin x d x =
x2
− 2e x − 3 cos x + c.
2
Esempio 6.17
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
x − 2x 2 + 3
d x.
x
Soluzione
Si ha:
ˆ
x − 2x 2 + 3
dx =
x
ˆ
(1 − 2x +
3
)dx =
x
x − x 2 + 3 ln |x| + c.
" Osservazione
La linearità dell’integrale indefinito può essere utilizzata nei casi in cui la funzione
0
f (x) nella tabella 6.1 è costante ma non compare nell’integrando. In tal caso si può
moltiplicare l’integrando per tale costante, pur di dividere per la stessa costante
tutto l’integrale, come mostrato nei seguenti esempi.
E
Esempio 6.18
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
1
d x.
(2x − 3)4
Soluzione
L’integrale dato può essere ricondotto al caso
ˆ
0
[ f (x)]α f (x) d x =
1
[ f (x)]α+1 + c
α+1
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
127
con f (x) = 2x − 3 e α = −4 moltiplicando l’integrando e dividendo tutto l’integrale
0
per f (x) = 2 :
ˆ
1
1
dx =
(2x − 3)4
2
ˆ
2
1
1
dx = [
(2x − 3)−4+1 + c] =
(2x − 3)4
2 −4 + 1
=−
E
1
1
+ c.
6 (2x − 3)3
Esempio 6.19
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
1
d x.
3x + 5
Soluzione
L’integrale dato può essere ricondotto al caso
ˆ
0
f (x)
d x = ln | f (x)| + c
f (x)
0
con f (x) = 3x+5 moltiplicando l’integrando e dividendo tutto l’integrale per f (x) =
3:
ˆ
ˆ
3
1
1
1
dx =
d x = ln |3x + 5| + c.
3x + 5
3
3x + 5
3
E
Esempio 6.20
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
sin(2x) d x.
Soluzione
L’integrale dato può essere ricondotto al caso
ˆ
0
sin( f (x)) f (x) d x = − cos f (x) + c
0
con f (x) = 2x moltiplicando l’integrando e dividendo tutto l’integrale per f (x) = 2 :
ˆ
1
sin(2x) d x =
2
ˆ
1
1
2 sin(2x) d x = (− cos 2x + c) = − cos 2x + c.
2
2
La linearità dell’integrale indefinito può essere utilizzata anche nel caso un in cui
0
f (x) non è costante ma è sufficiente moltiplicare l’integrando per una costante
0
al fine di riprodurre la funzione f (x) nell’integrando stesso, come mostrato nel
seguente
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
128
E
Esempio 6.21
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
e
2x 2 +1
3
x d x.
Soluzione
L’integrale dato può essere ricondotto al caso
ˆ
0
e f (x) f (x) d x = e f (x) + c
con f (x) =
2x 2 +1
3
moltiplicando l’integrando e dividendo tutto l’integrale per
ˆ
e
2x 2 +1
3
3
x dx =
4
ˆ
e
2x 2 +1
3
4
3
:
4
3 2x 2 +1
x d x = e 3 + c.
3
4
E
Un’altra applicazione della proprietà di linearità è mostrata nell’esempio seguente
Esempio 6.22
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
2x
d x.
x +3
Soluzione
Utilizzando la linearità dell’integrale, si ottiene:
ˆ
2x
dx = 2
x +3
Per il calcolo dell’integrale
ˆ
ˆ
x
d x.
x +3
x
dx
x +3
si può ancora sfruttare la linearità dell’integrale sommando e sottraendo 3 al numeratore:
ˆ
x
dx =
x +3
ˆ
ˆ
=
1dx −3
ˆ
x +3−3
dx =
x +3
ˆ
[1 −
3
]dx =
x +3
1
d x = x − 3 ln |x + 3| + c.
x +3
Per l’integrale di partenza si ottiene, quindi,
ˆ
2x
d x = 2x − 6 ln |x + 3| + c.
x +3
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
129
6.1.1 Integrazione per parti
Dalla regola che consente di calcolare la derivata di un prodotto di funzioni,
D[ f (x)g (x)] = D[ f (x)]g (x) + f (x)D[g (x)],
si ottiene, integrando membro a membro la precedente relazione e utilizzando la
linearità dell’integrale indefinito,
ˆ
ˆ
D[ f (x)g (x)] d x =
ˆ
ˆ
D[ f (x)]g (x) d x +
f (x)D[g (x)] d x =⇒
ˆ
D[ f (x)]g (x) d x =
ˆ
D[ f (x)g (x)] d x −
f (x)D[g (x)] d x
e, tenendo conto che il primo integrale a secondo membro
ˆ
D[ f (x)g (x)] d x = f (x)g (x) + c, c ∈ R,
si è ottenuta la relazione
ˆ
ˆ
0
0
f (x)g (x) d x + c, c ∈ R,
f (x)g (x) d x = f (x)g (x) −
nota come regola di integrazione per parti. Tale regola consente di calcolare integrali non immediati della forma
ˆ
0
f (x)g (x) d x
riconducendoli al calcolo di integrali della forma
ˆ
0
f (x)g (x) d x.
" Osservazione
Un esempio tipico in cui è utile applicare la formula di integrazione per parti è
quello di integrali della forma
ˆ
e ±x P n (x) d x,
dove P n (x) è un polinomio di grado n in x. In tal caso, scegliendo nella formula di
integrazione per parti,
ˆ
0
f (x)g (x) d x = f (x)g (x) −
ˆ
0
f (x)g (x) d x + c, c ∈ R,
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
130
0
f (x) = e ±x e P n (x) = g (x) ci si riconduce al calcolo dell’integrale
ˆ
e ±x P n−1 (x) d x,
0
0
0
visto che, se f (x) = e ±x si ha f (x) = ±e ±x , e che g (x) = P n (x) sarà un polinomio
P n−1 (x) di grado n − 1. Tale regola consente quindi di ridurre, ad ogni sua applicazione, il grado del polinomio da integrare, cosa che facilita il calcolo dell’integrale
indefinito, come mostrato nei seguenti esempi.
E
Esempio 6.23
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
xe x d x.
Soluzione
0
Posto f (x) = e x e g (x) = x, si ha
f (x) = e x
e
0
g (x) = 1,
da cui si ottiene, applicando la relazione
ˆ
ˆ
0
f (x)g (x) d x = f (x)g (x) −
ˆ
ˆ
x
x
e x · 1 d x + c = xe x − e x + c.
e x dx = e x −
E
0
f (x)g (x) d x + c,
Esempio 6.24
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
x 2 e x d x.
Soluzione
0
Posto f (x) = e x e g (x) = x 2 , si ha
f (x) = e x
e
0
g (x) = 2x,
da cui si ottiene, applicando la relazione
ˆ
0
f (x)g (x) d x = f (x)g (x) −
ˆ
0
f (x)g (x) d x + c,
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
131
ˆ
ˆ
x2e x d x = e x x2 −
e x 2x d x + c =
ˆ
x2e x − 2
e x x d x + c.
Utilizzando il risultato dell’esempio precedente,
ˆ
e x x d x = xe x − e x ,
si ottiene, quindi,
ˆ
x 2 e x d x = x 2 e x − 2(xe x − e x ) + c = x 2 e x − 2xe x + 2e x + c.
" Osservazione
Un altro esempio in cui è utile applicare la formula di integrazione per parti è quello
di integrali della forma
ˆ
x α ln x d x.
0
In effetti, ponendo f (x) = x α e g (x) = ln x, si avrà, se α 6= −1,
f (x) =
1
x α+1
α+1
e
0
g (x) =
per cui
ˆ
0
f (x)g (x) d x =
1
,
x
1
x α+1 ln x −
α+1
1
1
x α+1 ln x −
α+1
α+1
ˆ
ˆ
1
1
x α+1 d x + c =
α+1
x
xα d x + c =
1
1
x α+1 ln x −
x α+1 + c.
α+1
(α + 1)2
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
132
E
Esempio 6.25
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
x ln x d x.
Soluzione
0
Posto f (x) = x e g (x) = ln x si ottiene
f (x) =
x2
2
e
0
g (x) =
1
.
x
Applicando la formula di integrazione per parti, si avrà
ˆ
=
E
x2
x ln x d x =
ln x −
2
x2
1
ln x −
2
2
ˆ
x dx =
ˆ
x2 1
dx =
2 x
x2
1
ln x − x 2 + c.
2
4
Esempio 6.26
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
ln x d x.
Soluzione
0
Posto f (x) = 1 e g (x) = ln x si ottiene
f (x) = x
e
0
g (x) =
1
.
x
Applicando la formula di integrazione per parti, si avrà
ˆ
ˆ
ln x d x = x ln x −
x
1
dx =
x
ˆ
= x ln x −
1 d x = x ln x − x + c.
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
133
6.1.2 Integrazione per sostituzione
Per calcolare l’integrale definito
ˆ
f (x) d x
a volte è comodo effettuare un cambio di variabili. Data una funzione g (t ) invertibile e derivabile, si ponga
x = g (t ).
Come sarà mostrato in seguito, il differenziale d x deve essere sostituito con il differenziale di g (t ) :
0
d x = g (t )d t ,
per cui l’integrale di partenza può essere calcolato dapprima risolvendo l’integrale
ˆ
0
f (g (t ))g (t ) d t = G(t ) + c, c ∈ R
e poi calcolando la primitiva G(t ) nella variabile x, tramite la sostituzione
t = g −1 (x).
E
Esempio 6.27
Si calcoli l’integrale indefinito
ˆ
p
e
x+1
d x.
Soluzione
Ponendo
p
x +1 = t
si ottiene
x +1 = t2
e, quindi,
x = t 2 − 1.
Di conseguenza si avrà
d x = 2t d t
e l’integrale di partenza potrà essere calcolato a partire dall’integrale
ˆ
ˆ
t
e 2t d t = 2
et t d t.
L’integrale in t può essere calcolato applicando la formula di integrazione per parti:
ˆ
2
e t t d t = 2[t e t − e t + c].
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
134
Calcolando l’espressione precedente nella variabile di partenza x, si ottiene, infine,
ˆ
p
e
x+1
ˆ
p
e
d x = 2[t e t − e t + c] con t =
x+1
p
x + 1 =⇒
p
p
p
d x = 2 x + 1e x+1 − 2e x+1 + c
La formula di integrazione per sosituzione può essere provata utilizzando la regola
di derivazione di una funzione composta. Si supponga, infatti, che F (x) sia una
primitiva di f (x) e sia g (t ) una funzione invertibile e derivabile. Si ha:
0
0
0
D[F (g (t ))] = F (g (t ))g (t ) = f (g (t ))g (t )
e, integrando membro a membro la precedente identità, si ottiene:
ˆ
ˆ
D[F (g (t ))] d t =
ˆ
F (g (t )) =
0
f (g (t ))g (t ) d t =⇒
0
f (g (t ))g (t ) d t = G(t ).
Dalla relazione ottenuta,
F (g (t )) = G(t )
si può ricavare F (x) dalla relazione t = g −1 (x) :
G(g −1 (x)) = F (g (g −1 (x))) = F (x),
essendo
g (g −1 (x)) = x.
6.2 Integrale definito
Si supponga di dover calcolare l’area del trapezoide T sotteso dalla curva f (x) e
avente per base il segmento [a, b] (si veda la figura 6.1)
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
135
f (x)
T
b
a
x
Figura 6.1
Il trapezoide T individuato dalla curva f (x).
E’ possibile approssimare l’area del trapezoide T per eccesso e per difetto tramite la
costruzione seguente: si suddivida l’intervallo [a, b] in n sottointervalli [x i −1 , x i ), i =
1, ..., n con
a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n−1 < x n = b.
Per il generico sottointervallo [x i −1 , x i ) si ponga
e i = inf{ f (x), x ∈ [x i −1 , x i )}
e
E i = sup{ f (x), x ∈ [x i −1 , x i )}.
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
136
f (x)
Ei
ei
a
xi−1
xi
b
x
Figura 6.2
Estremo superiore ed inferiore di f (x) nell’intervallo [x i −1 , x i ).
Si consideri ora solo la porzione del trapezoide T sotteso dalla curva f (x) nell’intervallo [x i −1 , x i ), e lo si indichi con Ti . Il rettangolo di base x i −1 − x i e altezza e i
(rettangolo inscritto) approssima per difetto l’area di tale porzione mentre il rettangolo di base x i −1 − x i e base E i (rettangolo circoscritto) la approssima per eccesso
(si osservi la figura 6.3)
f (x)
f (x)
Ei
ei
xi
xi−1
x
(a)
xi−1
(b)
Figura 6.3
Il rettangolo inscritto (a) e quello circoscritto (b).
xi
x
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
137
Risulta, quindi
e i (x i − x i −1 ) ≤ area{Ti } ≤ E i (x i − x i −1 )
(6.8)
essendo E i (x i −x i −1 ) (e i (x i −x i −1 )) l’area del rettangolo circosritto (inscritto). Siccome è ragionevole supporre che l’area di tutto il trapezoide T possa essere ottenuta
come somma delle aree di ciascuna porzione Ti ,
area{T } =
n
X
area{Ti },
i =1
dalla relazione (6.8) si ottiene
n
X
e i (x i − x i −1 ) ≤ area{T } ≤
n
X
E i (x i − x i −1 ),
i =1
i =1
dove
n
X
e i (x i − x i −1 )
i =1
individua l’area del plurirettangolo inscritto mentre
n
X
E i (x i − x i −1 )
i =1
R
individua l’area del plurirettangolo circoscritto.
Definizione (Somma integrale inferiore)
Si dice somma integrale inferiore associata alla decomposizione dell’intervallo [a, b]
nei sottointervalli [x i −1 , x i ), i = 1, ..., n con a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b il numero
R
s=
n
X
e i (x i − x i −1 ).
i =1
Definizione (Somma integrale superiore)
Si dice somma integrale superiore associata alla decomposizione dell’intervallo
[a, b] nei sottointervalli [x i −1 , x i ), i = 1, ..., n con a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b il
numero
n
X
S=
E i (x i − x i −1 ).
i =1
" Osservazione
0
0
Se l’intervallo [a, b] è decomposto nei sottointervalli [x i −1 , x i ), i = 1, ..., n con a =
0
0
0
0
0
x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b con x i 6= x i è chiaro che, in generale, i valori delle somme integrale superiore ed inferiore cambieranno. Al variare di tutte le possibili decomposizioni dell’intervallo [a, b], si otterrà quindi un insieme di valori {s} per le
somme integrali inferiori e {S} per le somme integrali superiori.
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
138
" Osservazione
Si supponga che l’estremo superiore delle somme integrali inferiori{s} coincida con
l’estremo inferiore delle somme integrali superiori {S},
sup{s} = inf{S} = A .
Visto che dalla relazione
s ≤ area{T } ≤ S
segue che
sup{s} ≤ area{T } ≤ inf{S}
si avrà
A ≤ area{T } ≤ A =⇒ area{T } = A .
In tal caso si assegnerà, quindi, il valore A all’area del trapezoide T e la funzione
f (x) si dirà integrabile (secondo Riemann) in [a, b].
" Osservazione
La costruzione appena effettuata si può estendere anche al caso in cui la funzione
f (x) assume valori negativi. In tal caso è ancora possibile parlare di area del trapezoide associato a f (x) pur di introdurre la nozione di area algebrica, dotata cioè di
segno (si confronti la figura 6.4)
f (x)
Area algebrica > 0
a
b
Area algebrica < 0
Figura 6.4
L’area algebrica.
E’ possibile ora dare la seguente
x
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
R
139
Definizione (Funzione integrabile secondo Riemann)
Sia f (x) definita in [a, b]. Si dice che f (x) è integrabile secondo Riemann in [a, b] se
R
inf{S} = sup{s} = A
Definizione (Integrale definito)
Sia f (x) definita e integrabile secondo Riemann in [a, b]. Il valore A dell’estremo superiore delle somme integrali inferiori e dell’estremo inferiore delle somme
integrali superiori si dice integrale definito di f (x) da a a b e si indica con il simbolo
ˆ
b
A=
f (x) d x.
a
" Osservazione
Dalla definzione di integrale definito come area (algebrica) sottesa dalla curva f (x),
si può agevolmente provare che una funzione continua in [a, b] è integrabile in
[a, b]. La continuità di f (x) non è tuttavia necessaria. Si consideri in effetti la figura
6.5:
f (x)
3
T2
1
T1
0
1
2
1
x
Figura 6.5
Un esempio di funzione non continua integrabile.
l’area sottesa dalla curva f (x) è chiaramente data dalla somma dell’area di T1 e T2 :
ˆ
A=
1
f (x) d x = area{T1 } + area{T2 } =
0
1
1
· 1 + · 3 = 2.
2
2
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
140
6.2.1 Proprietà dell’integrale definito
Dalla definizione di integrale definito (o, più intuitivamente, dal suo significato di
area algebrica) si possono dedurre le seguenti proprietà:
1.
2.
´b
´b
a
a
[α f (x)+βg (x) d x = α
finito)
´b
´c
f (x) d x +β
´b
a
g (x) d x (linearità dell’integrale de-
´b
f (x) d x = a f (x) d x + c f (x) d x per ogni c ∈ [a, b] (additività dell’integrale definito). Tale relazione è ovvia se si pensa al fatto che l’area sottesa da
f (x) tra a e b è pari all’area sottesa tra a e c più l’area sottesa tra c e b
a
´b
´b
3. Se f (x) ≤ g (x) ∀x ∈ [a, b] si ha a f (x) d x ≤ a g (x) d x (monotonia dell’integrale definito). Tale proprietà segue dal fatto che se f (x) ≤ g (x) l’area sottesa
dalla curva f (x) sarà minore dell’area sottesa dalla curva g (x).
4.
´b
a
f (x) d x = −
´a
f (x) d x.
b
L’ultima proprietà segue dal fatto che
ˆ
a
f (x) d x = 0,
a
essendo nulla l’area di un trapezoide di base nulla, e dall’additività dell’integrale
definito:
ˆ
ˆ
a
a
ˆ
b
f (x) d x =
0=
a
ˆ
a
f (x) d x +
b
ˆ
b
f (x) d x =⇒
f (x) d x = −
a
a
f (x) d x.
b
6.2.2 Teoremi sugli integrali definiti
w Teorema (Media integrale)
Ipotesi) Sia f (x) continua in [a, b].
´b
Tesi) ∃ c ∈ (a, b) tale che a f (x) d x = f (c)(b − a).
Dimostrazione
Siccome f (x) è continua in [a, b] ammetterà, per il teorema di Weierstrass, massimo assoluto (M ) e minimo assoluto (m). Si avrà, quindi,
m ≤ f (x) ≤ M .
Per la monotonia dell’integrale definito, si avrà
ˆ
ˆ
b
a
ˆ
b
m dx ≤
b
f (x) d x ≤
a
M d x.
a
L’integrale definito di una costante può essere calcolato agevolmente come area di
un rettangolo (si veda la figura 6.6):
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
141
f (x)
k
x
b
a
Figura 6.6
´b
L’integrale definito di una funzione costante: a k d x = k(b − a).
ˆ
b
m d x = m(b − a)
a
ˆ
b
M d x = M (b − a),
a
da cui
ˆ
b
m(b − a) ≤
f (x) d x ≤ M (b − a) =⇒
a
´b
m≤
´b
a
f (x) d x
b−a
≤ M.
f (x) d x
Il numero λ = a b−a è compreso tra il massimo e il minimo assoluto di f (x) : per
il teorema di Darboux esisterà un punto c ∈ (a, b) tale che
´b
f (c) =
da cui
ˆ
a
f (x) d x
b−a
,
b
f (x) d x = f (c)(b − a)
a
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
142
e, quindi, la tesi.
R
■
Definizione (Funzione integrale)
Sia f (x) continua in [a, b]. La funzione
ˆ
x
Ia (x) =
f (t ) d t , x ∈ [a, b]
a
si dice funzione integrale di f (x). Essa rappresenta l’area del trapezoide T x rappresentato in figura 6.7.
f (x)
Tx
x
a
x
b
Figura 6.7
Significato geometrico della funzione integrale Ia (x).
w Teorema (Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale)
Ipotesi) Sia f (x) continua in [a, b].
0
Tesi) La funzione integrale Ia (x) è derivabile in (a, b) e risulta Ia (x) = f (x).
Dimostrazione
Si consideri il rapporto incrementale della funzione integrale Ia (x) :
∆Ia (x) Ia (x + ∆x) − Ia (x)
=
=
∆x
∆x
Ponendo
ˆ
ˆ
x+∆x
a
f (t ) d t −
a
x+∆x
f (t ) d t +
a
´x
∆x
ˆ
x
f (t ) d t =
a
´ x+∆x
f (t ) d t
x
f (t ) d t
.
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
143
la relazione precedente diviene
∆Ia (x)
=
∆x
´ x+∆x
a
f (t ) d t −
´x
a
´x
f (t ) d t
=
∆x
∆Ia (x)
=
∆x
a
f (t ) d t +
´ x+∆x
x
f (t ) d t −
´x
a
f (t ) d t
∆x
´ x+∆x
x
f (t ) d t
∆x
.
=⇒
(6.9)
Dal teorema della media integrale segue che
´ x+∆x
x
f (t ) d t
∆x
=
f (c)(x + ∆x − x) f (c)∆x
=
= f (c), c ∈ (x, x + ∆x)
∆x
∆x
e, quindi, la relazione (6.9) diviene
∆Ia (x)
= f (c), c ∈ (x, x + ∆x).
∆x
Il limite per ∆x → 0 del rapporto incrementale della funzione integrale vale, pertanto,
∆Ia (x)
= lim f (c).
∆x→0
∆x→0
∆x
lim
Siccome c ∈ (x, x + ∆x), per ∆x → 0 si ha c → x e, quindi,
lim
∆x→0
∆Ia (x)
= lim f (c) = f (x),
c→x
∆x
essendo f (x) una funzione continua. Ne segue che
0
Ia (x) = f (x)
e, quindi, la tesi.
" Osservazione
■
Una conseguenza del teorema di Torricelli-Barrow è che la funzione integrale Ia (x)
0
è una primitiva di f (x), essendo Ia (x) = f (x).
Il teorema di Torricelli-Barrow ammette il seguente
Corollario
Ipotesi) Sia f (x) continua in [a, b].
´b
Tesi) a f (x) d x = F (b) − F (a), dove F (x) è una qualsiasi primitiva di f (x).
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
144
Dimostrazione
Siccome la funzione integrale Ia (x) è una primitiva della funzione f (x) risulta, dalle proprietà delle primitive, che una generica primitiva F (x) di f (x) potrà essere
espressa come
F (x) = Ia (x) + c, c ∈ R
cioè
ˆ
x
f (t ) d t + c, c ∈ R.
F (x) =
(6.10)
a
ˆ
Si ha:
a
f (t ) d t + c, c ∈ R =⇒
F (a) =
a
F (a) = c,
ˆ
visto che
a
f (t ) d t = 0.
a
Inserendo tale relazione nella (6.10) si ottiene
ˆ
x
F (x) =
f (t ) d t + F (a)
a
e, pertanto,
ˆ
b
F (b) =
f (t ) d t + F (a) =⇒
a
ˆ
b
f (t ) d t = F (b) − F (a).
a
■
" Osservazione
Il corollario al teorema di Torricelli-Barrow fornisce lo strumento che consente di
calcolare gli integrali definiti: per calcolare l’integrale
ˆ
b
f (x) d x
a
si calcola dapprima una primitiva qualsiasi F (x) di f (x). Il valore dell’integrale definito sarà dato dalla differenza tra il valore che tale primitiva assume nel punto b e
il valore che essa assume nel punto a :
ˆ
b
f (x) d x = F (b) − F (a).
a
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
145
E
Esempio 6.28
Calcolare l’integrale definito
ˆ
4
1
1−x
p d x.
x
Soluzione
Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di
p . Si ha:
f (x) = 1−x
x
ˆ
1−x
p dx =
x
ˆ
p
p
1
2p 3
( p − x) d x = 2 x −
x + c ≡ F (x).
3
x
Si ha
ˆ
E
4
1
p
p
1−x
2p 3
2p 3
8
4 + c] − [2 1 −
1 + c] = − .
p d x = F (4) − F (1) = [2 4 −
3
3
3
x
Esempio 6.29
Calcolare l’integrale definito
ˆ
1
0
x
d x.
2x + 1
Soluzione
Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di
x
f (x) = 2x+1
. Si ha:
ˆ
x
1
dx =
2x + 1
2
1
2
ˆ
ˆ
2x
1
dx =
2x + 1
2
1
1
]dx =
[1 −
2x + 1
2
1
1
x−
2
4
ˆ
ˆ
ˆ
1
1dx −
2
2x + 1 − 1
dx =
2x + 1
ˆ
1
dx =
2x + 1
2
1
1
d x = x − ln |2x + 1| + c ≡ F (x).
2x + 1
2
4
Il calcolo dell’integrale definito dà, quindi, il risultato,
ˆ
0
1
x
1 1
1
1
d x = F (1) − F (0) = [ − ln |2 · 1 + 1| + c] − [ · 0 − ln |2 · 0 + 1| + c] =
2x + 1
2 4
2
4
=
1 1
− ln 3.
2 4
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
146
E
Esempio 6.30
Calcolare l’integrale definito
ˆ
1
2
e 1−x x d x.
0
Soluzione
Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di
2
f (x) = e 1−x x. Si ha:
ˆ
2
e 1−x x d x = −
e, quindi,
ˆ
1
2
1
ˆ
2
2
1
e 1−x (−2x) d x = − e 1−x + c ≡ F (x)
2
2
e 1−x x d x = F (1) − F (0) =
0
2
2
1
1
1 1
[− e 1−1 + c] − [− e 1−0 + c] = − + e
2
2
2 2
E
Esempio 6.31
Calcolare l’integrale definito
ˆ
e
x 2 ln x d x.
1
Soluzione
Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di
f (x) = x 2 ln x. Si ha:
ˆ
risulta
ˆ
e
1
1
1
x 2 ln x d x = x 3 ln x − x 3 + c ≡ F (x)
3
9
1
1
1
x 2 ln x d x = F (e) − F (1) = [ e 3 − e 3 + c] − [− + c] =
3
9
9
=
2e 3 + 1
.
9
" Osservazione
Il teorema di Torricelli-Barrow può essere utilizzato anche per
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
147
1. calcolare dei limiti in cui compare una funzione integrale
2. determinare gli estremi relativi e/o i punti di flesso di una funzione integrale.
E
Esempio 6.32
Calcolare il limite
´xp
3
0
lim
tet d t
x3
x→0+
.
Soluzione
ˆ
Essendo
x
lim
x→0+
p
3
t e t d t = 0,
0
il limite da calcolare dà luiogo ad una forma indeterminata 00 . Applicando il teorema di de l’Hospital a tale forma indeterminata, posto
ˆ
x
I0 (x) =
p
3
t e t d t =⇒
0
0
I0 (x) =
p
3
xe x ,
si ha
´xp
3
lim
E
0
tet d t
x3
x→0+
p
3
= lim
x→0+
xe x
= +∞.
3x 2
Esempio 6.33
Studiare l’esistenza di estremi relativi della funzione
ˆ
F (x) =
2
x
t −5
ln2 t
dt
nell’intervallo [2, +∞).
Soluzione
La funzione t −5
è continua in [2, +∞) : si può pertanto utilizzare il teorema di
ln2 t
Torricelli-Barrowper calcolare la derivata di F (x). Si ottiene:
0
F (x) =
0
x −5
ln2 x
, x ∈ [2, +∞).
La funzione F (x) è positiva per x ∈ (5, +∞) e negativa per x ∈ [2, 5) : il punto x = 5 è
quindi un minimo relativo per F (x).
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
148
E
Esempio 6.34
Studiare l’esistenza di flessi della funzione
ˆ
x
F (x) =
1
t2
dt
ln t
nell’intervallo (1, +∞).
Soluzione
2
La funzione lnt t è continua in (1, +∞) e si può quindi applicare il teorema di TorricelliBarrow per calcolare la derivata di F (x). Si ottiene
0
F (x) =
x2
.
ln x
La derivata seconda di F (x) vale, invece,
00
F (x) =
x(2 ln x − 1)
ln2 x
.
p
p
p
00
00
Siccome F (x) > 0 se x ∈ ( e, +∞) e F (x) < 0 se x ∈ (1, e), il punto x = e è un
punto di flesso per F (x).
6.2.3 Integrali impropri
La definizione di integrale definito è stata data in precedenza per una funzione f (x)
definita in un intervallo limitato [a, b]. In molte applicazioni, comunque, è necessario considerare l’integrale definito di una funzione f (x) in un intervallo illimitato.
Tale integrale, detto improprio, può essere definito come caso limite dell’integrale
definito in un intervallo limitato [a, b]. Si ha, in effetti, la seguente
R
Definizione (Integrale improprio su un intervallo illimitato)
Sia f (x) definita in [a, +∞). Se f (x) è integrabile in ogni intervallo [a, b], si dice
integrale improprio di f (x) su [a, +∞) la grandezza
ˆ
ˆ
+∞
b
f (x) d x = lim
b→+∞ a
a
Se il limite
ˆ
lim
b→+∞ a
f (x) d x.
b
f (x) d x
• è finito si dice che f (x) è integrabile in senso generalizzato in [a, +∞)
• è infinito si dice che l’integrale di f (x) in [a, +∞) è divergente
• non esiste si dice che f (x) non è integrabile in [a, +∞).
CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE
149
Se, invece, f (x) è definita in (−∞, b) e integrabile in ogni intervallo [a, b], si dice
integrale improprio di f (x) su (−∞, b] la grandezza
ˆ
ˆ
b
f (x) d x = lim
a→−∞ a
−∞
Se il limite
ˆ
b
f (x) d x.
b
lim
a→−∞ a
f (x) d x
• è finito si dice che f (x) è integrabile in senso generalizzato in (−∞, b)
• è infinito si dice che l’integrale di f (x) in (−∞, b) è divergente
• non esiste si dice che f (x) non è integrabile in (−∞, b).
Sia, infine, f (x) definita in (−∞, +∞) e integrabile in ogni intervallo [a, b]. Se ∀c ∈ R
convergono gli integrali
ˆ
+∞
f (x) d x
c
e
ˆ
c
f (x) d x
−∞
si dirà che f (x) è integrabile in senso generalizzato in (−∞, +∞) e si porrà
ˆ
ˆ
+∞
f (x) d x = lim
−∞
a→−∞ a
ˆ
c
f (x) d x + lim
b→+∞ c
ˆ
b
ˆ
c
f (x) d x =
f (x) d x +
−∞
+∞
f (x) d x.
c