OSCILLATORE SINUSOIDALE A RETROAZIONE
POSITIVA REALIZZATO CON AMPLIFICATORE
OPERAZIONALE
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Trattandosi, nello schema, di un nuovo circuito ci preoccuperemo di:
1. verificare che per esso siano rispettate le condizioni di Barkhausen per i sistemi oscillanti;
2. onde meglio comprendere la selettività del circuito, considerare il circuito LC come un
filtro passa banda;
3. individuare, per i singoli componenti, dei range di variazione a garanzia di un buon
funzionamento circuitale;
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5. riportare soltanto nel file allegato, le dimostrazioni matematiche.
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Punto 1 –Criteri di Barkhausen
Considerato il seguente sistema retroazionato.
Con A guadagno della linea diretta e βfattore di retroazione.
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seguenti condizioni:
Im[Aβ]=0 e Re[Aβ]=1
Consideriamo il nostro sistema nello schema più generale:
1
Supponiamos
i
al
’A.
O.
i
de
al
e
Il circuito si può considerare come un Amplificatore Operazionale in configurazione non
invertente con un segnale applicato al nodo A; segnale dato da:
L / /C
j
C
vA vu
vu *
*
C
R
L / / C R
1 2
L C j
C
L
per cui il circuito da analizzare, semplificato, diviene:
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:
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R2
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C
R
R
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L
C j
C 3
L
Verifichiamo i criteri di Barkhausen:
R2
o il guadagno A è dato da:
1 ;
R3
j
C
o il fattore di retroazione è dato da:
*
C
R
1 2
L C j
C
L
Im[Aβ]
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nt
odiAβ sia nullo.
Affinchè ciò avvenga basta che la parte immaginaria del numero complesso si annulli; per
ottenere ciò basta che siano nulli o R* o 1 2
L
C 0 o entrambi.
Infatti con, anche una sola di queste condizioni, otteniamo:
j
C
C
R
L C j
C
1 2
L
*
j
C
1
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C
dalla relazione 1 2
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C
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L
C
Osserviamo che R*:
- sulla condizione di oscillazione non ha alcuna influenza;
1
- alla frequenza di oscillazione 0
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L
C
segnale di uscita.
Per non complicarci la vita e perché ridurre il numero dei componenti , quando si può fare è
sempre salutare, la cortocircuitiamo.
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[
Aβ]=1 alla frequenza di oscillazione 0
1
L
C
calcolato alla frequenza di oscillazione da ,
1
j
C
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C
R* 1
1
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L C j
C
L L
C
L
C
vale 1
quindi:
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Re
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oscillazione è necessario che
Re
A
1
quindi :
R2
R
1
1 1 2 1
che da
R3
R3
R2
0
da cui deriva che R2 R3
R3
nulla ci vieta di fare R2 infinitamente grande, semplificando il circuito (meno componenti circuito
più affidabile oltre che meno costoso), come di seguito indicato:
Avendo verificato le condizioni di Barkhausen possiamo asserire che il nostro è un sistema
oscillante.
Punto 2- AZIONE FILTRANTE DEL PASSA BANDA LC
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lo sviluppo in serie di Fourier, è data da:
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-
il circuito LC si comporta come un filtro passa banda con frequenza di risonanza
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1
alla frequenza di risonanza 0
L
C
Z
0
possiamo asserire che alla frequenza di risonanza (che è anche la frequenza di oscillazione del
nostro oscillatore)il filtro presenta una impedenza infinita ciò vuol dire che:
- la prima armonica si presenta identica a se stessa in uscita;
- le armoniche dalla terza in poi hanno ampiezza ridotta, per loro natura, e perché vengono
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a) coerente con quanto fornisce il simulatore Pspice;
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A.
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filtro LC sono reali e presentano delle resistenze elettriche che il modello ideale dei
componenti trascura.
Approfondimento nel file PDF in allegato B
Punto 3- OSSERVAZIONI SUL VALORE DA ASSEGNARE AI COMPONENTI
IL SISTEMA
Valore da assegnare a R1
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alle frequenze ove si possono trascurare le reattanze di contatto e quelle distribuite, lo schema è il
seguente:
si dimostra che il guadagno (vedi nel files PDF allegato A), considerato che vA v è dato da;
5
A 1
A 1
1
R1 Ri 1 1
1 R1 R2
vu
Ri R2 R3
G
v
A 1
1
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1
1
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aresistenza R1 sul guadagno.
Osserviamo che il parallelo tra le resistenze Ri, R2 e R3 è più piccolo della più piccola delle tre,
cioè di R3. Poniamo, in prima approssimazione, il parallelo pari a R3;l
’
e
s
pressione del guadagno si
semplifica come segue:
1 R3 R1
A R3 A 1
A
A
R1 Ri R2
R1 Ri R1 R2
G
1
1 R A 1 1 R1 R3 R1
3
1
A
R1 R2 R2 R1 R2 R1 R2 R2 R2
R3 R1
A
A
Ri R2
G
R1 R3 R1
1
A
R2 R2 R2
per quanto già osservato sui valori di R1 e R2, consideriamo i tre casi:
R
R
1. A 1 trascurando 1 rispetto ad A ci resta:
R2
R2
R
A 3
A
Ri
G
R R
1 1 3
A
R2 R2
è facile rilevare che al crescere di R1 il guadagno diminuisce
2.
consideriamo (ipotesi esclusivamente teorica) il caso in cui
R1
A cioè : R1 A
R2
R2
dalla:
R3 R1
A
A
Ri R2
G
R1 R3 R1
1
A
R2 R2 R2
ci resta:
A
G
R
1 1
R2
per cui possiamo asserire che R1, crescendo fino al valore sopra indicato fa sempre diminuire il
guadagno.
3. infine ( altra ipotesi teorica) consideriamo il caso in cui
6
R1
A
R2
tan to da trascurare A rispetto a
R1
R2
l
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R3
R1
A R3
A
R1
Ri
R2
R2 Ri
G
1 R3
R3
R1
1
2 R1
R2 R2
R2
R
R
siccome 3 3 al crescere di R1 il denominatore cresce più del numeratore e il guadagno
Ri
R2
diminuisce.
Concludendo poiché al crescere di R1 i
lguadagnodi
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uscita diminuisce.
Evidenziamo che ciò si rileva nel circuito sperimentale in quanto nella simulazione con
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variazione di R1.
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(in file PDF dimostrazione in allegato C). Infatti, nella sua espressione, di seguito riportata, si
può facilmente vedere come al crescere di R1 aumenti il tempo necessario al relativo
spegnimento.
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1 1
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A questo punto passiamo ad alcune osservazioni sugli ordini di grandezza delle resistenze in gioco.
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eR3 è dell'ordine di
(0.1 10)K mentre R2 (e RL) è dell'ordine di (1 100)K .
I valori più bassi sono utilizzati con i circuiti più veloci (dai MHz alle centinaia di MHz); i valori
più alti sono tipici dei circuiti per frequenze minori (dalla continua alle centinaia di kHz).
La resistenza della sorgente del segnale, RS, di solito è un dato esterno, nel nostro caso si può
assimilare alla resistenza del parallelo LC per cui si può ipotizzare, in prima approssomazione, pari
a zero.
7
Punto 4- ANALISI SPERIMENTALE
Lanalisi, con simulatore Pspice e con circuito sperimentale, è stata sviluppata sul seguente circuito
semplificato.
Componenti del circuito reale:
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- 1 condensatore poliestere 10 nF toll. 5% massima
tensione applicabile 100 V;
- una induttanza da 100 micro Henry;
- unt
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rda10KΩ;
- due condensatori poliestere da 100 nF
frequenza di risonanza
1
f0
2
L
C
1
159 KHz
2
10
109
100
106
il valore sperimentale è di 125 KHz, vi è uno scarto di circa
il 20%.
Circuito semplificato
Uscita del circuito semplificato ottenuta con silulatore Pspice
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Analisi spettrale, ottenuta con simulatore Pspice, del segnale presente ai capi del filtro LC. Si vede
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prima di 1 MHz altre due di ampiezza quasi invisibile.
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±12 Volt la tensione di picco è 4 volt . Crediamo che ciò sia dovuto sia alla presenza di R1 che alla
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11
Il circuito sperimentale è il seguente
Componenti, che ripetiamo per
comodità:
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- 1 condensatore poliestere 10 nF
toll. 5% massima tensione
applicabile 100 V;
- una induttanza da 100 micro
Henry;
- unt
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rda10KΩ;
- due condensatori poliestere da
100 nF
frequenza di risonanza
1
f0
2
L
C
1
159 KHz
2
10
109
100
106
il valore sperimentale è di 125 KHz
vi è uno scarto di circa il 20%.
12
Altra prova sperimentale con valori diversi dei componenti circuitali
Componenti:
- 1r
e
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or
eda470Ωt
ol
l
.5%
- 1 condensatore poliestere 100 nF,
tolleranza 10%, 63 Volt di esercizio ;
- una induttanza da 100 micro Henry;
- unt
r
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rda10KΩ;
- due condensatori poliestere da 100
nF
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A.
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±12 Volt.
frequenza di risonanza
1
0
2
L
C
1
50,32 KHz
2
100
10 9
100
106
il valore sperimentale è di
48,38KHz vi è uno scarto di
circa il 3,8%.
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introdurre reattanze parassite.
Grafico ottenuto con trimmer posizionato a circa 2140 Ohm; sommando quindi la resistenza da 470
Ohm la R1è pari a 2610Ohm.L’
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a 20,5 Volt. Alimentazione ±12 Volt
13
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14
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a580Ohm,c
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ns
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onepi
c
c
opicco pari a 18,8 Volt.
Durante la sperimentazione si è rilevato che variando il trimmer (R1)da 600 Ohm a 1 Kohm
l
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ii
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.
15
Riportiamo, per valori dei componenti utilizzati nel circuito sperimentale, la simulazione con
Pspice
Valore della resistenza R1 pari a 560 Ohm
Sipuòr
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va
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l
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a.
16
Valore della resistenza R1 pari a 2.6KOhm
Si evidenzia come al crescere della R 1 l
’
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meno distorta.
Conclusioni
In questa nuova analisi si è voluto tener conto dei suggerimenti c
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Gr
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t
t
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sulla stesura e sui contenuti del primo articolo.
Primo articolo che, precisiamo, non rinneghiamo perché in esso si era cercato di raccontare sia
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:
- la frequenza di oscillazione (a meno delle tolleranze commerciali) è data da
1
f
;
2
L
C
-
1 L
la resistenza di R1 deve rispettare la seguente condizione:
2 C
1
R.
17
1 L
R1 il transitorio è esponenziale decrescente altrimenti è
2 C
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c
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onda quadra e sinusoidale, fornendo delle onde accettabili; di contro viene attenuata
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”nonnoi
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E poiché prima, questo bello e semplice circuitino (concedetecelo) nonc
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nato in Italia, non ci dispiacerebbe se volessero suggerire un nome che……s
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18
ALLEGATO A
Analisi con A.O. Reale
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A.
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e
:
Osserviamo che:
1. R0 ed R1 sono in serie, nello sviluppo ingloberemo tutto in R1;
2. relativamente al guadagno, supponendo la resistenza del generatore di segnale
(generatore applicato in A) sia nulla e che il carico sia infinito, si dimostra (vedi
allegato A in quanto nei sacri testi non ho trovato nulla che consideri la presenza di una
resistenza R1):
A 1
A 1
1
R1 Ri 1 1
1 R1 R2
vu
Ri R2 R3
G
v
A 1
1
1
1
1
R1 R2 R2 1
1
1 R1 R2
Ri R2 R3
R
è facile vedere che per A e Ri si ottiene : G 1 2
R3
19
Dimostriamo la relazione prima riportata:
A
v v
v v
vi vB vB ; I vB
I1 i B ; I 2 u B ; I 2
3
Ri
R2
R1 R2
R3
I1 I 2 I 3 ; possiamo scrivere :
vi vB vu vB vB
R R R
i
2
3
vi vB vB
vu vB A
R1 R2
R2
sistema con incognite vu e vB
vu
1 1
1 vi
1
vB
R2
Ri R2 R3 Ri
1 1
A 1 A
vi
v
v
2
u
B
R R
R
R
R
i
2
1
2
1
ricaviamo vB dalla
1 e sostituiamolo nella (2)
vu vi
R2 Ri
vB
1 1
1
Ri R2 R3
1
vu
Ri
vu vi
A 1 A
vi
1 R2 Ri
1
1
1
R2
R1 R2 R1
Ri R2 R3
20
A 1 A
A 1
1
vi vi
1 vu
1
1
vu
Ri 1 1 1 R1 R2
R1 R2 R2 1 1 1 R1 R2 R1
R R R
R R R
2
3
2
3
i
i
1
A 1
A 1
1
1
1
A 1
1
vi
vu
R1 R2 R2 1 1 1 R1 R2
R1 Ri 1 1 1 R1 R2
R R R
R
R
R
2
3
i
2
3
i
A 1
A 1
1
R1 Ri 1 1 1 R1 R2
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Ri R2 R3
Gu
vi
A 1
1
1
1
1
R1 R2 R2 1 1 1 R1 R2
R R R
2
3
i
R
verifichiamo che per A si ottiene : G 1 2
R3
mettendo A a fattor comune otteniamo:
1
1 1
1
1
R1 Ri 1 1
R2
1 R1 A
vu
Ri R2 R3
G
v
1
1
1
1
1
1
A
R1 A
R2 R2 1
R2
1
1 R1 A
Ri R2 R3
essendo A molto grande tutti i termini ove si trova a denominatore si possono trascurare:
1 1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
R1 Ri 1
Ri 1
1
1
1 R1 R1 Ri 1 1
1
1
Ri R2 R3
Ri R2 R3
Ri R2 R3
G
1
1
1
1
1
1
1
1
R2 1 1
R2 1 1
R2 1 1
1 R1
1 R1
1
Ri R2 R3
Ri R2 R3
Ri R2 R3
1
essendo Ri molto grande il ter min e
si può approssimare a zero, quindi
Ri
G
1
1
R2 1
R2
1
1
R
R2
1 2
1
R3
R2 R3
1
R3
21
ALLEGATO B
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ac
e
.
Determiniamo la funzione di trasferimento
1
s
L
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Z ( s ) L / / C
1
1 s 2
L C
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L
s
C
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L 2
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L
C
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L
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C L
C
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1
j
F ( j)
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R1
C 1
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R1
C L
C
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C
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C 1
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2
2 2 2
C
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C
L
F j90 arct (
per 0 =
1
R1
C
2
C
L
1
L
C
F ( j0 ) 1
F j0 0
è facile rilevare che per:
22
a )lim F ( j) 0
;
vengono attenuate le ampiezze delle basse frequenze
b)lim F ( j) 0
;
vengono attenuate le ampiezze delle alte frequenze
0
essendo un filtro passivo il massimo guadagno può valere 1, nel nostro caso si ha per
1
L
C
Trattasi quindi di un filtro passa banda.
=
Si dimostra (vedi allegato C) che:
sent è il segnale d ' ingresso ( segnale periodico)
vi (t ) Vmax
se
F ( j) e sono mod ulo e a rg omento della funzione di trasferimento
il segnale d ' uscita è dato da :
vu (t ) F ( j)
Vmax
sen
t
Se
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l
’
A.O., consideriamo il suo sviluppo in serie abbiamo:
4
V
1
vi (t ) 0
sen
2
n 1
t
n 1 2
n 1
limitandoci alla prima armonica (0 ) abbiamo:
4
V
vi (t ) 0
sen0
t
1
per 0
abbiamo già visto che F ( j0 1 e 0
L
C
quindi :
4
V
4
V
vu (t ) 0 F ( j0
sen(0
t ) 0
sen(0
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i
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dono.
Consideriamo la terza armonica
4
V 1
vi (t ) 0
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3
4
V
vu (t ) 0 F ( j
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3
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s
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ls
e
g
na
l
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minuisce,
rispetto a quella della prima armonica, perché questa viene divisa per 3 e poi moltiplicata per una
quantità minore di 1.
23
ALLEGATO C
STUDIO DEL TRANSITORIO- sarà utilizzato il metodo simbolico di Laplace-.
Limitandoci alla prima armonica ( per le altre armoniche si procede allo stesso modo) abbiamo:
4
V
vu (t ) 0
sen
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1
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L
L
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C s
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1
1 s
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2
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4
V
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L
C ) s
L
R1
C
s 2 2 s 2 s R 1C L 1C
1
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2
2
1 1
1
1
1
s s
R1
C L
C
2
R1
C
R1
C L
C
2
2
avremo quindi le seguenti quattro radici:
2
1 1
1
s1
2
R1
C
R1
C L
C
2
2
1 1
1
s2
2
R1
C
2
R
C
C
1 L
s3 j
s4 j
possiamo porre:
4
V
4
V
s
s
vu ( s ) 0
0
R1
C
R
C s s s s s s s s
s 2 2 s 2 s R 1C L1C 1 1 2 3 4
1
4
V
A
B
C*
D
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R1
C s s1 s s2 s s3 s s4
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1 1
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1
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C
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C L
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2
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1
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2
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C
2
R1
C L
C
1
s1 s4
2
R1
C
2
1 1
j 1
2
R1
C
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R1
C L
C
2
1 1
j
R1
C L
C
2
2
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1
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2
R1
C
R1
C L
C
2
2
1 1
1
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j
2
R1
C
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C L
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2
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1
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C L
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1
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j
2
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C
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C L
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2
1 1
1
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2
R1
C
R1
C L
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2
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s1 s4
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1 1
1
2
R1
C
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C L
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C
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1 1
1
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2
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C
L
2
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C
2
R1
C L
C
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2
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C
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A
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B
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j 1
e
e
R1
C
2
Possiamo distinguere una risposta transitoria e una a regime.
Risposta transitoria:
2
2
1 1
1 t
1 1
1
t
t
t
4
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0 2R1 C
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R1
C L
C
R1
C L
C
2
2
vu ,Tr (t )
e
A
e
B
e
R1
C
Ricaviamo le espressioni di A e di B alla frequenza di risonanza.
1
2
R1
C
A
2
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C L
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1 1
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C
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C L
C
2
2
2
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1 1
1
2
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C L
C
2
2
1 1
2
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C
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1 1
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1
2
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1
2
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1 1
1
2
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R
C
2
R
C
L
C
1
1
1 1
27
2
1 1
1
2
R1
C
R1
C L
C
2
A
2
2
1 1 2
1 1
1
2
R1
C L
C 2
R1
C 2
R1
C
2
R1
C L
C
2
1
R1
C
A
2
2
1 1 2
1 1
2
2
R1
C L
C 2
R1
C
R1
C L
C
2
2
procedendo allo stesso modo per B otteniamo:
2
1 1
1
2
R1
C
R1
C L
C
2
B
2
2
1 1
1
1
1
2
2
R1
C L
C
R
C
R1
C L
C
2
2
1
R1
C
2
1 1
2 2
R1
C L
C
2
quindi essendo A=-B,s
os
t
i
t
ue
ndone
l
l
’
e
s
pr
e
s
s
i
onede
lt
r
a
ns
i
t
or
i
oot
t
e
ni
a
mo:
2
2
2
1 1
1 1
t
t
4
V0
R1
C L
C
R1
C L
C
2
2
vu ,Tr (t )
e
A e
e
R1
C L
C
2
2
1 1
1 1
t
t
1
R1
C L
C
R1
C L
C
2
2
t
4
V0
e
e
vu ,Tr (t )
e 2R1 C
2
L
C
1 1
2
R1
C L
C
2
si possono presentare tre casi
1
t
2
R1
C
2
1 1
R1
C L
C
2
0
1
1
2
R1
C
L
C
L
C
R1
2
C
1 L
R1
2 C
-
1 L
il radicando è positivo, la risposta è esponenziale smorzata;
2 C
1 L
se R1 è uguale a il radicando è nullo, la risposta è esponenziale smorzata;
2 C
1 L
se R1 è maggiore di il radicando è negativo, la risposta è oscillante smorzata;
2 C
se R1 è minore di
28
2
2
1 1
1 1
j
t
j
t
R1
C L
C
R1
C L
C
1
2
2
t
4
V0
e
e
vu ,Tr (t )
e 2R1 C
2
L
C
2 j 1 1
2
R
C
L
C
1
2
t
1 1
4
V0
vu ,Tr (t )
e 2R1 C sen
t
R1
C L
C
L
C
2
1
Risposta a regime:
4
V0
0 e j0 t e j0 t 4
V0
vu , rg (t )
sen0 t
0 2 j
sostituendo l ' espressione della frequenza di risonanza abbiamo :
4
V
t
vu , rg (t ) 0 sen
L
C
coincidente con la prima armonica.
29
