OSCILLATORE SINUSOIDALE A RETROAZIONE POSITIVA

OSCILLATORE SINUSOIDALE A RETROAZIONE
POSITIVA REALIZZATO CON AMPLIFICATORE
OPERAZIONALE
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.
Trattandosi, nello schema, di un nuovo circuito ci preoccuperemo di:
1. verificare che per esso siano rispettate le condizioni di Barkhausen per i sistemi oscillanti;
2. onde meglio comprendere la selettività del circuito, considerare il circuito LC come un
filtro passa banda;
3. individuare, per i singoli componenti, dei range di variazione a garanzia di un buon
funzionamento circuitale;
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5. riportare soltanto nel file allegato, le dimostrazioni matematiche.
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Punto 1 –Criteri di Barkhausen
Considerato il seguente sistema retroazionato.
Con A guadagno della linea diretta e βfattore di retroazione.
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seguenti condizioni:
Im[Aβ]=0 e Re[Aβ]=1
Consideriamo il nostro sistema nello schema più generale:
1
Supponiamos
i
al
’A.
O.
i
de
al
e
Il circuito si può considerare come un Amplificatore Operazionale in configurazione non
invertente con un segnale applicato al nodo A; segnale dato da:
L / /C
j

C
vA vu 
vu  *
*
C
R
L / / C R

1 2 
L C j 

C

L
per cui il circuito da analizzare, semplificato, diviene:
2
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t
ada
:
 R2 
 R2 
j

C
vu vA 
1  vu  *

1 


C

R
R
R
2
 3

1  
L
C j 

C  3

L
Verifichiamo i criteri di Barkhausen:
 R2 
o il guadagno A è dato da: 
1  ;
 R3 
j

C
o il fattore di retroazione è dato da: 
*
C
R

1 2 
L C j 

C

L
Im[Aβ]
=0qui
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nt
odiAβ sia nullo.
Affinchè ciò avvenga basta che la parte immaginaria del numero complesso  si annulli; per
ottenere ciò basta che siano nulli o R* o 1 2 
L
C 0 o entrambi.
Infatti con, anche una sola di queste condizioni, otteniamo:
j

C
C
R

L C j 

C
1 2 
L
*

j

C
1
j

C
dalla relazione 1 2 
L
C 0 r
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1
1

;
f 
L
C
2
 L 
C
Osserviamo che R*:
- sulla condizione di oscillazione non ha alcuna influenza;
1
- alla frequenza di oscillazione 0 
nonhane
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l
L
C
segnale di uscita.
Per non complicarci la vita e perché ridurre il numero dei componenti , quando si può fare è
sempre salutare, la cortocircuitiamo.
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:Re
[
Aβ]=1 alla frequenza di oscillazione 0 
1
L
C
calcolato alla frequenza di oscillazione da ,
1
j

C
L
C
1
C
R*  1
1


1

L C j 

C

L  L
C
L
C

vale 1
quindi:
3
 R2 
R
Re 
A
1
1  1  2 1

R3
 R3 
vera se R2 0
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oscillazione è necessario che
Re 
A
1
quindi :
 R2 
R
1
1  1  2 1
che da

R3
 R3 
R2
0
da cui deriva che R2 R3
R3
nulla ci vieta di fare R2 infinitamente grande, semplificando il circuito (meno componenti circuito
più affidabile oltre che meno costoso), come di seguito indicato:
Avendo verificato le condizioni di Barkhausen possiamo asserire che il nostro è un sistema
oscillante.
Punto 2- AZIONE FILTRANTE DEL PASSA BANDA LC
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- se indichiamo con v0 l
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lo sviluppo in serie di Fourier, è data da:
n 1
4
v 
v0 
2 
1
1
 4
v(t )  0 
sen


t

sen
3



t

sen
5



t

sen


t



 
3
5
2 
n 1
  n 1
-
il circuito LC si comporta come un filtro passa banda con frequenza di risonanza
1
1

;
f 
L
C
2
 L 
C
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
L
J C  jL
Z

1
1 2 
L C
j

L
J

C
1
alla frequenza di risonanza 0 
L
C
Z
0 
possiamo asserire che alla frequenza di risonanza (che è anche la frequenza di oscillazione del
nostro oscillatore)il filtro presenta una impedenza infinita ciò vuol dire che:
- la prima armonica si presenta identica a se stessa in uscita;
- le armoniche dalla terza in poi hanno ampiezza ridotta, per loro natura, e perché vengono
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quella di risonanza;
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a) coerente con quanto fornisce il simulatore Pspice;
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A.
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filtro LC sono reali e presentano delle resistenze elettriche che il modello ideale dei
componenti trascura.
Approfondimento nel file PDF in allegato B
Punto 3- OSSERVAZIONI SUL VALORE DA ASSEGNARE AI COMPONENTI
IL SISTEMA
Valore da assegnare a R1
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nza, o almeno fino
alle frequenze ove si possono trascurare le reattanze di contatto e quelle distribuite, lo schema è il
seguente:
si dimostra che il guadagno (vedi nel files PDF allegato A), considerato che vA v è dato da;
5
A 1 
A 1
1
 

  
R1 Ri 1 1
1 R1 R2 
   
vu
Ri R2 R3 
G  
v
A 1 
1
1
1
1
  

  
R1 R2 R2 1
1
1 R1 R2 
   
Ri R2 R3 
Ri
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l
l
aresistenza R1 sul guadagno.
Osserviamo che il parallelo tra le resistenze Ri, R2 e R3 è più piccolo della più piccola delle tre,
cioè di R3. Poniamo, in prima approssimazione, il parallelo pari a R3;l
’
e
s
pressione del guadagno si
semplifica come segue:

1  R3  R1 
A R3 A 1 

 
A  

A  
  
R1  Ri  R2 
R1 Ri R1 R2 

G


1
1 R A 1  1  R1 R3  R1 
 3

1  
A 
  



R1 R2 R2 R1 R2  R1  R2 R2  R2 

 R3  R1 

A  

A  
Ri  R2 


G
 R1 R3  R1 

1  


A  
 R2 R2  R2 

per quanto già osservato sui valori di R1 e R2, consideriamo i tre casi:
R
R
1. A  1 trascurando 1 rispetto ad A ci resta:
R2
R2
R
A 3 
A
Ri
G
R R
1 1  3 
A
R2 R2
è facile rilevare che al crescere di R1 il guadagno diminuisce
2.
consideriamo (ipotesi esclusivamente teorica) il caso in cui
R1
A cioè : R1 A 
R2
R2
dalla:
 R3  R1 

A  

A  
Ri  R2 


G
 R1 R3  R1 

1  


A  
 R2 R2  R2 

ci resta:
A
G
R
1 1
R2
per cui possiamo asserire che R1, crescendo fino al valore sopra indicato fa sempre diminuire il
guadagno.
3. infine ( altra ipotesi teorica) consideriamo il caso in cui
6
R1
A
R2
tan to da trascurare A rispetto a
R1
R2
l
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:
R3 
R1
A R3
A
 
R1
Ri 
R2
R2 Ri
G

1 R3 
 R3 
R1 
1 
  2  R1 

R2 R2 
 R2 
R
R
siccome 3  3 al crescere di R1 il denominatore cresce più del numeratore e il guadagno
Ri
R2
diminuisce.
Concludendo poiché al crescere di R1 i
lguadagnodi
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gnal
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uscita diminuisce.
Evidenziamo che ciò si rileva nel circuito sperimentale in quanto nella simulazione con
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variazione di R1.
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(in file PDF dimostrazione in allegato C). Infatti, nella sua espressione, di seguito riportata, si
può facilmente vedere come al crescere di R1 aumenti il tempo necessario al relativo
spegnimento.
2


t
 1  1
4
V0
vu ,Tr (t ) 

e 2R1 C sen 

t

R1 
C  L
C
 L 
C
2 
1
A questo punto passiamo ad alcune osservazioni sugli ordini di grandezza delle resistenze in gioco.
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eR3 è dell'ordine di
(0.1 10)K  mentre R2 (e RL) è dell'ordine di (1 100)K .
I valori più bassi sono utilizzati con i circuiti più veloci (dai MHz alle centinaia di MHz); i valori
più alti sono tipici dei circuiti per frequenze minori (dalla continua alle centinaia di kHz).
La resistenza della sorgente del segnale, RS, di solito è un dato esterno, nel nostro caso si può
assimilare alla resistenza del parallelo LC per cui si può ipotizzare, in prima approssomazione, pari
a zero.
7
Punto 4- ANALISI SPERIMENTALE
Lanalisi, con simulatore Pspice e con circuito sperimentale, è stata sviluppata sul seguente circuito
semplificato.
Componenti del circuito reale:
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.5%
- 1 condensatore poliestere 10 nF toll. 5% massima
tensione applicabile 100 V;
- una induttanza da 100 micro Henry;
- unt
r
i
mme
rda10KΩ;
- due condensatori poliestere da 100 nF
frequenza di risonanza
1
f0 

2
 L 
C
1
159 KHz
2
10 
109 
100 
106
il valore sperimentale è di 125 KHz, vi è uno scarto di circa
il 20%.
Circuito semplificato
Uscita del circuito semplificato ottenuta con silulatore Pspice
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Analisi spettrale, ottenuta con simulatore Pspice, del segnale presente ai capi del filtro LC. Si vede
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,a200KHze
prima di 1 MHz altre due di ampiezza quasi invisibile.
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±12 Volt la tensione di picco è 4 volt . Crediamo che ciò sia dovuto sia alla presenza di R1 che alla
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c
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alla prima
11
Il circuito sperimentale è il seguente
Componenti, che ripetiamo per
comodità:
- 1r
e
s
i
s
t
or
eda470Ωt
ol
l
.5%
- 1 condensatore poliestere 10 nF
toll. 5% massima tensione
applicabile 100 V;
- una induttanza da 100 micro
Henry;
- unt
r
i
mme
rda10KΩ;
- due condensatori poliestere da
100 nF
frequenza di risonanza
1
f0 

2
 L 
C
1
159 KHz
2
10 
109 
100 
106
il valore sperimentale è di 125 KHz
vi è uno scarto di circa il 20%.
12
Altra prova sperimentale con valori diversi dei componenti circuitali
Componenti:
- 1r
e
s
i
s
t
or
eda470Ωt
ol
l
.5%
- 1 condensatore poliestere 100 nF,
tolleranza 10%, 63 Volt di esercizio ;
- una induttanza da 100 micro Henry;
- unt
r
i
mme
rda10KΩ;
- due condensatori poliestere da 100
nF
- t
e
ns
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l
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me
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a
z
i
onede
l
l
’
A.
O.
±12 Volt.
frequenza di risonanza
1
0 

2
 L 
C
1
50,32 KHz
2
100 
10 9 
100 
106
il valore sperimentale è di
48,38KHz vi è uno scarto di
circa il 3,8%.
Da
l
l
’
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mma
g
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g
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ùbr
e
vipos
s
i
bi
l
ipe
rnon
introdurre reattanze parassite.
Grafico ottenuto con trimmer posizionato a circa 2140 Ohm; sommando quindi la resistenza da 470
Ohm la R1è pari a 2610Ohm.L’
Ondaqua
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c
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dr
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i
a 20,5 Volt. Alimentazione ±12 Volt
13
Tensione picco–
pi
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c
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l
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ondas
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nus
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98Vol
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14
Re
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a580Ohm,c
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ns
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c
c
opicco pari a 18,8 Volt.
Durante la sperimentazione si è rilevato che variando il trimmer (R1)da 600 Ohm a 1 Kohm
l
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nne
s
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mpr
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.
15
Riportiamo, per valori dei componenti utilizzati nel circuito sperimentale, la simulazione con
Pspice
Valore della resistenza R1 pari a 560 Ohm
Sipuòr
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va
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l
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ondaqua
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a.
16
Valore della resistenza R1 pari a 2.6KOhm
Si evidenzia come al crescere della R 1 l
’
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ondaqua
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a
meno distorta.
Conclusioni
In questa nuova analisi si è voluto tener conto dei suggerimenti c
heg
l
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Gr
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nnof
a
t
t
o
sulla stesura e sui contenuti del primo articolo.
Primo articolo che, precisiamo, non rinneghiamo perché in esso si era cercato di raccontare sia
c
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m’
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mente che con i canoni
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og
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a
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nf
a
t
t
i
:
- la frequenza di oscillazione (a meno delle tolleranze commerciali) è data da
1
f 
;
2
 L 
C
-
1 L
la resistenza di R1 deve rispettare la seguente condizione: 
2 C

 1
R.
17
1 L
 R1 il transitorio è esponenziale decrescente altrimenti è
2 C
os
c
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ede
c
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lKΩ 
2 4 
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onet
r
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onda quadra e sinusoidale, fornendo delle onde accettabili; di contro viene attenuata
l
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a
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ondas
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Si è visto che se è
Di
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Gr
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, se vogliono, di provare
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”nonnoi
.
E poiché prima, questo bello e semplice circuitino (concedetecelo) nonc
’
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s
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s
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s
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dè
nato in Italia, non ci dispiacerebbe se volessero suggerire un nome che……s
uonit
ut
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a
no.
Gr
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.
18
ALLEGATO A
Analisi con A.O. Reale
Sevog
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A.
O.c
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g
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nt
e
:
Osserviamo che:
1. R0 ed R1 sono in serie, nello sviluppo ingloberemo tutto in R1;
2. relativamente al guadagno, supponendo la resistenza del generatore di segnale
(generatore applicato in A) sia nulla e che il carico sia infinito, si dimostra (vedi
allegato A in quanto nei sacri testi non ho trovato nulla che consideri la presenza di una
resistenza R1):
A 1 
A 1
1
 

  
R1 Ri 1 1
1 R1 R2 
   
vu
Ri R2 R3 
G  
v
A 1 
1
1
1
1
  

  
R1 R2 R2 1
1
1 R1 R2 
   
Ri R2 R3 
R
è facile vedere che per A  e Ri  si ottiene : G 1  2
R3
19
Dimostriamo la relazione prima riportata:
A
v v
v v
vi vB vB ; I vB
I1  i B ; I 2  u B ; I 2 
3
Ri
R2
R1 R2
R3
I1 I 2 I 3 ; possiamo scrivere :
vi vB vu vB vB
 R  R R
 i
2
3

vi vB vB
vu vB A 

R1 R2
 R2
sistema con incognite vu e vB
vu
1 1
1  vi
1

 vB 
   
R2
Ri R2 R3  Ri

1 1 
A 1  A 
vi
v 


v



2





u
B
 R R
R
R
R
i
2

1
2

1



ricaviamo vB dalla 
1 e sostituiamolo nella (2)
vu vi

R2 Ri
vB 
1 1
1
 
Ri R2 R3
1
vu 

Ri
vu vi

A 1  A 
vi
1  R2 Ri
 

  
1
1
1
R2 
  R1 R2  R1
Ri R2 R3
20




A 1  A 
A 1 
1
vi vi 
1  vu 
1
1




vu 












  
Ri 1  1  1 R1 R2 
R1 R2  R2 1  1 1 R1 R2  R1
R R R 
R R R 
2
3 
2
3 
i
i






1





A 1 
A 1 
1
1
1
A 1
1
   
vi 


  

vu 
 

 


R1 R2 R2 1  1 1 R1 R2 

R1 Ri 1  1 1 R1 R2 

R R R 




R
R
R
2
3 
i
2
3
i




A 1 
A 1
1
 

  
R1 Ri 1  1 1 R1 R2 
v
Ri R2 R3
Gu 
vi



A 1 
1
1
1
1


  
  
R1 R2 R2 1  1  1 R1 R2 
R R R 
2
3 
i
R
verifichiamo che per A  si ottiene : G 1  2
R3
mettendo A a fattor comune otteniamo:
1
1 1
1
1 
 

 

R1 Ri 1 1
R2 
1 R1 A 
   
vu
Ri R2 R3 
G  
v
1
1
1
1
1
1 

 

 

A
R1 A 
R2 R2 1
R2 
1
1 R1 A 




Ri R2 R3 
essendo A molto grande tutti i termini ove si trova a denominatore si possono trascurare:




1  1
1
1 1
1
1
1
 1 1 
1  
 

R1 Ri 1
Ri 1
1 
1
1  R1 R1  Ri 1 1
1
1 
  

   
   



Ri R2 R3 
Ri R2 R3   
Ri R2 R3 
G

1
1
1
1
1
1
1
1





R2 1 1
R2 1 1
R2 1 1
1  R1
1  R1
1 
   
   
   
Ri R2 R3 
Ri R2 R3 
Ri R2 R3 
1
essendo Ri molto grande il ter min e
si può approssimare a zero, quindi
Ri
G
1
1

R2 1

R2
1
1 
R
R2 
 1  2

1
R3
R2 R3 
1 
 
R3 
21
ALLEGATO B
L’
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ac
e
.
Determiniamo la funzione di trasferimento
1
s 
L
s
C L  s
Z ( s ) L / / C 
1
1 s 2 
L C
s
L
s
C
s
L 2
vu ( s )
Z ( s)
1 s 
L
C
F ( s) 


vi ( s ) R1 Z ( s ) R L  s
1
1 s 2 
L C
s
L
1
F ( s) 

2
2
1 s 
L C R1 
L C s 
L
1 s 
1 s 2 
L C
1
s
F ( s) 

R1 
C s 2 s  1  1
R1 
C L
C
1
j
1
j
F ( j) 



1
R1 
C j 2 j 1  1
R1 
C 1

 
2 j

R1 
C L
C
C
R1 
C
L 

1

F ( j) 

2
R1 
C 1
1
2
 2  2 2

C
R1 
C
L 

F j90 arct (
per 0 =

1

R1 
C
2 
C
L 

1
L
C
F ( j0 ) 1
F j0 0
è facile rilevare che per:
22
a )lim F ( j) 0
;
vengono attenuate le ampiezze delle basse frequenze
b)lim F ( j) 0
;
vengono attenuate le ampiezze delle alte frequenze
0

essendo un filtro passivo il massimo guadagno può valere 1, nel nostro caso si ha per
1
L
C
Trattasi quindi di un filtro passa banda.
=
Si dimostra (vedi allegato C) che:
sent è il segnale d ' ingresso ( segnale periodico)
vi (t ) Vmax 

se 

F ( j) e sono mod ulo e a rg omento della funzione di trasferimento
il segnale d ' uscita è dato da :
vu (t ) F ( j) 
Vmax 
sen 
t 
Se
,pe
rl
’
ondaqua
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apr
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s
e
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l
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’
us
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t
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e
l
l
’
A.O., consideriamo il suo sviluppo in serie abbiamo:

4
V
1
vi (t )  0 

sen 
2 
n 1


t
 n 1 2 
n 1
limitandoci alla prima armonica (0 ) abbiamo:
4
V
vi (t )  0 
sen0 
t

1
per 0 
abbiamo già visto che F ( j0 1 e 0
L
C
quindi :
4
V
4
V
vu (t )  0 F ( j0 
sen(0 
t )  0 
sen(0 
t)


qui
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g
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s
s
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i
t
ac
oe
nc
i
dono.
Consideriamo la terza armonica
4
V 1
vi (t )  0 
sen(3)
 3
4
V
vu (t )  0 F ( j
sen(
t )

3
con =3 
0
I
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trasferimento al crescere di di
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z
z
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s
s
i
made
ls
e
g
na
l
edi
minuisce,
rispetto a quella della prima armonica, perché questa viene divisa per 3 e poi moltiplicata per una
quantità minore di 1.
23
ALLEGATO C
STUDIO DEL TRANSITORIO- sarà utilizzato il metodo simbolico di Laplace-.
Limitandoci alla prima armonica ( per le altre armoniche si procede allo stesso modo) abbiamo:
4
V
vu (t )  0 
sen
t

1
s
L
L
s
C  s
z (s) 
2
1
1 s 
L C
s
L
s
C
4

V
V


 4
vi ( s ) L  0 sen
t  0 2
2

  s 
4
V
s
L

s
L
vu ( s ) vi ( s ) 
 0 2

2
2
2
R1 (1 s 
L
C ) s 
L
 s  R1 (1 s 
L C ) s 
L
4
V
4
V 


s
L
s
vu ( s )  0 2

 0

2
2
 s  R1 (1 s 
L
C ) s 
L 
R1 
C


s 2 2 s 2 s R 1C L 1C 

1

s  s js j
2
2
2
 1  1
1
1
1
s s 




R1 
C L
C
2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2
avremo quindi le seguenti quattro radici:
2
 1  1
1
s1 


2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
1
s2 


2
R1 
C
2

R

C
C
 1  L
s3 j
s4 j
possiamo porre:
4
V 

4
V 

s
s
vu ( s )  0

 0


R1 
C
R
C s s s s s s s s

 
s 2 2 s 2 s R 1C L1C  1  1  2  3  4 

1

4
V 
A
B
C*
D 
vu ( s )  0







R1 
C s s1 s s2 s s3 s s4 
s
s1
A= lim 
s s1 


s s2 
s s3 
s s4  
s1 s2 
s1 s3 
s1 s4 
s s1 
S S1
s
s2
B= lim 
s s2 


s s2 
s s3 
s s4  
s2 s1 
s2 s3 
s2 s4 
s s1 
S S2
24
s3
s
C*= lim 
s s3 


s s2 
s s3 
s s4  
s3 s1 
s3 s2 
s3 s4 
s s1 
S S3
s
s4
D= lim 
s s4 


s s2 
s s3 
s s4  
s4 s1 
s4 s2 
s4 s3 
s s1 
S S4
con
2
 1  1
s1 s2 2 

R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
s2 s1 2 

R1 
C  L
C
2 
s3 s4 2 j
s4 s3 2 j
2
 1  1
1
s1 s3 

j

2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2

 1  1
1

s3 s1 j 


 2
R1 
C
2
R1 
C  L
C


1
s1 s4 

2
R1 
C
2

 1  1
j 1



2
R1 
C
2
R1 
C  L
C


2
 1  1
j


R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
1
s4 s1 j


2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
1
s2 s3 

j

2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
1
s3 s2 j


2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
1
s2 s4 

j

2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
1
s4 s2 j


2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
25
s1

s1 s3 
s1 s4 
s1 s2 
A
2
 1  1
1



2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 

2
2
2
 



 1  1
 1
 1
1 
1
1
2  1 







j





j






 2 


R1 
C  L
C  2 
R1 
C
2

R

C
L

C
2

R

C
2

R

C
L

C
 1 
1
 1 




2
 1  1
1



2
R1 
C
R1 
C  L
C
s1
2 

s1 s3 
s1 s4 

s1 s2 
2
2

 1  1 
 1  1
1

2 




 2
R1 
C  L
C 
R1 
C
2
R1 
C  L
C
2 






2 





2
2
 1  1
1


2
R1 
C
R1 
C  L
C
s2
2 
B

s2 s3 
s2 s4 

s2 s1 
2
2

 1  1 
 1  1
1

2 




2 
R1 
C  L
C 
R1 
C
2
R1 
C  L
C
2 






2
 





2
s3
1
1


2
2
s3 s2 
s3 s4  

1
s3 s1 
 

 1  1 
1  
2
2 j 




2
j







 

C
R1 
C
L 
2
R1 
C 
2
R1 
C  L
C








alla frequenza di risonanza ci resta
C* 
s3
1
R
C L 
C

j 1
0
s3 s2 
s3 s4  2 
2
s3 s1 
j
R1 
C
C* 
s4
R
C L 
C
j 1
s4 s2 
s4 s3 
2
s4 s1 
Pos
s
i
a
mopr
oc
e
de
r
ea
l
l
’
a
nt
i
t
r
a
s
f
or
ma
z
i
one
D
26
4
V 
 1  A
B
C*
D 
L1 
vu ( s ) 0 0 
L 




R1 
C
s s1 s s2 s s3 s s4 
4
V 

vu (t )  0 0 A 
e S1 t B 
e S2 t C * 
e S3 t A 
e S4 t 

R1 
C


2
2



 

 1   1  1 
 1   1  1 

t

t








2

R

C
2

R

C
L

C
2

R

C
2

R

C
L

C


 1

1
 1 
 1 
4
V0 
0  


vu (t ) 

e
B 
e
C * 
e j0 t D 
e j0 t 
A 

R1 
C 



2
2
 1  1
 1  1

1
1
t

t
 


t
 
4
V0 
0  2R1 C t  
R
C L 
C j0 t j0 t
R1 
C  L
C
2
R
C
L
C
2
R1 
C
2
vu (t ) 
A 
e

e
B 
e

e  1 
j 1
e
e


R1 
C 
2








Possiamo distinguere una risposta transitoria e una a regime.
Risposta transitoria:
2
2
 1  1
  1 t  

1  1
1
 
t

 
t




t

4
V0 
0  2R1 C
R1 
C  L
C
R1 
C  L
C 
2
R1 
C
2
2
vu ,Tr (t ) 
A 
e

e
B 
e

e


R1 
C 




2
2
 1  1
 1  1


1
t

t
 
 
4
V0 
0 2R1 C t   
R1 
C  L
C
R1 
C  L
C 
2
2
vu ,Tr (t ) 

e
A
e
B 
e



R1 
C




Ricaviamo le espressioni di A e di B alla frequenza di risonanza.
1


2
R1 
C
A
2
 1  1


R1 
C  L
C
2 

2
2

 1  1 


1
1
1

2 






R1 
C  L
C
2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2 





2
 





2
2
A
 1  1
1



2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2
 1  1
2 

R1 
C  L
C
2 
2
2
2


 1   1  1
 1  1
1
1 





2



 




2
R1 
C  2 
R1 
C  L
C
2
R1 
C 2 
R1 
C  L
C L
C



2
 1  1
1



2
R1 
C
2

R

C
C
 1  L
A
2
2
2
 1  1 
 1 
 1  1 
1


2 
2 







2

R

C
L

C
2

R

C
R

C
2

R

C
L

C
 1 
 1 
 1  1

27
2
 1  1
1


2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
A 
2
2
 1  1  2 
 1  1 
1


2 








R1 
C  L
C 2 
R1 
C 2 
R1 
C
2
R1 
C  L
C
2 



1
R1 
C
A 

2
2
 1  1  2 
 1  1
2 



 2 

R1 
C  L
C 2 
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
2 
procedendo allo stesso modo per B otteniamo:
2
 1  1
1


2
R1 
C
R1 
C  L
C
2 
B

2
2

 1  1 


1
1
1

2 






2 
R1 
C  L
C 
R
C
R1 
C  L
C
2 
2 

 1

R1 
C

2


 1  1
2  2 

R1 
C  L
C

2 




quindi essendo A=-B,s
os
t
i
t
ue
ndone
l
l
’
e
s
pr
e
s
s
i
onede
lt
r
a
ns
i
t
or
i
oot
t
e
ni
a
mo:
2
2
2
 1  1
 

1  1
 
t

 
t



4
V0
R1 
C  L
C
R1 
C  L
C 

2
2
vu ,Tr (t ) 

e
A e
e



R1 
C L 
C






2
2
 1  1
1  1
 



t



t




1
R1 
C  L
C
R1 
C  L
C
2
2


t 

4
V0
e

e
vu ,Tr (t ) 

e 2R1 C 


2
 L 
C


 1  1
2 






R1 
C  L
C
2 


si possono presentare tre casi
1


t
2
R1 
C
2
 1  1


R1 
C  L
C
2 
0
1
1


2
R1 
C
L
C
L
C 
R1
2
C
1 L 

R1
2 C 
-
1 L
 il radicando è positivo, la risposta è esponenziale smorzata;
2 C
1 L
se R1 è uguale a  il radicando è nullo, la risposta è esponenziale smorzata;
2 C
1 L
se R1 è maggiore di  il radicando è negativo, la risposta è oscillante smorzata;
2 C
se R1 è minore di
28


2
2
 1  1
1  1
 j 


t
j 

t



R1 
C  L
C
R1 
C  L
C 
1
2
2



t
4
V0
e
e

vu ,Tr (t ) 

e 2R1 C 
2


 L 
C
 2 j  1  1





2

R

C
L

C
 1 


2


t
 1  1
4
V0
vu ,Tr (t ) 

e 2R1 C sen 

t

R1 
C  L
C
 L 
C
2 
1
Risposta a regime:
4
V0 
0 e j0 t e j0 t  4 
V0
vu , rg (t ) 
sen0 t



0  2 j
 
sostituendo l ' espressione della frequenza di risonanza abbiamo :
4
V
t
vu , rg (t )  0 sen

L
C
coincidente con la prima armonica.
29