Compito di matematica Classe 3A 22 Febbraio 2010 Alunno Problema 1 Data la retta 2x-y+1=0 determinare su di essa un punto C equidistante dai punti A(1,2), B(-1,6) e calcolare l’area di ABC. Trovare il Circocentro. Soluzione: r ) y 2 x 1 da cui C ( x, y ) AC CB (Asse di AB) ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( x 1) 2 ( y 6) 2 x 2 2 x 1 y 2 4 y 4 x 2 2 x 1 y 2 12 y 36 2 x 1 4 y 4 2 x 1 12 y 36 4 x 8 y 32 0 Asse di AB. x 2 y 8 0 x 2 y 8 0 x 2(2 x 1) 8 0 x 4 x 2 8 0 3 x 6 x 2 C r a C y 2x 1 y 2x 1 y 2x 1 y 2x 1 y 5 Area( ABC ) Asse di AC 1 25 65 1 | 9 (1) | 5 2 1 2 1 2 2 AP CP ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( x 2) 2 ( y 5) 2 x 2 2 x 1 y 2 4 y 4 x 2 4 x 4 y 2 10 y 25 x 2 2 x 1 y 2 4 y 4 x 2 4 x 4 y 2 10 y 25 6 x 6 y 24 0 Asse di AC x y 4 0 Circocentro O x 2 y 8 0 x y 4 0 x 2 y 8 x 2 4 8 0 2 y 8 y 4 0 y 4 Problema 2 Dati due punti A(2,2) B(5,3), determinare sulla retta di equazione 3x-y=6 un punto C tale che l’area del triangolo ABC misuri 5. Inoltre trovare sul segmento AB un punto D tale che AD=2BD r )3 x y 6 da cui C ( x, y ) C ( x,3 x 6) Area( ABC ) 1 yC y A 2 xC xA 1 | 8 x 22 | 5 2 yB y A 1 3 x 6 2 3 2 1 3 x 8 1 1 | 9 x 24 x 2 | 5 xB xA 2 x 2 52 2 x 2 3 2 | 8 x 22 | 10 1) 8x 22 10 x 4 C (4, 6) 2) 8x 22 10 x 3 3 3 C( , ) 2 2 2 D ( x, y ) xD xA 2( xB xD ) x 2 2(5 x) x 4 yD y A 2( yB yD ) Oppure: la retta AB ha equazione: m y 2 2(3 y) 3y 8 y 8 8 D 4, 3 3 3 2 1 1 1 4 y 2 ( x 2) y x 52 3 3 3 3 AD 2 DB xD xA 1 m2 2 ( xB xD ) 1 m2 1) x 2 2(x 5) 2) x 2 2(x 5) x4 y 4 4 8 8 D 4, 3 3 3 3 8 4 12 x 8 y 4 (non accettabile, perché esterno ad AB) 3 3 3 Problema 3 Di un triangolo rettangolo isoscele si sa che il vertice dell’angolo retto è A(2,1) e l’equazione della retta BC è y=8-2x. Determinare i vertici B e C. Soluzione. Per prima cosa trovo l’altezza relativa all’ipotenusa (retta per A e perpendicolare a BC). E il piede dell’altezza H. Dato che il coefficiente angolare di BC è m=-2 1 1 ( x 2) y x 2 2 8 1 1 1 1 y y x y x y x y x 5 2 Da cui H H H H H 2 2 2 1 x 2 x 8 x 16 5 x 16 x 4 x 16 y 2 x 8 2 5 Altezza AH: y 1 Ora calcolo la lunghezza dell’altezza AH. (distanza punto retta o distanza AH) AH | 2 xA y A 8 | 3 4 1 5 In un triangolo rettangolo isoscele BH=CH=AH. e B e C appartengono alla retta y=-2x+8 B, C x; 2 x 8 Quindi | x BH | xB xH | 1 m 2 16 3 | 5 5 5 1) x 19 19 2 C ; 5 5 5 | BH | x 5 x 16 3 | 5 5 5 5 2) x 13 5 16 3 | 1 4 5 5 | 5 x 16 | 3 13 14 B ; 5 5 Compito di matematica Classe 3B 04/03/2017 Alunno Problema 1 Data la retta 2x-y+1=0 determinare su di essa un punto C equidistante dai punti A(1,2), B(-1,6) e calcolare l’area di ABC. Trovare il Circocentro. Problema 2 Dati due punti A(2,2) B(5,3), determinare sulla retta di equazione 3x-y=6 un punto C tale che l’area del triangolo ABC misuri 5. Inoltre trovare sul segmento AB un punto D tale che AD=2BD Problema 3 Di un triangolo rettangolo isoscele si sa che il vertice dell’angolo retto è A(2,1) e l’equazione della retta BC è y=8-2x. Determinare i vertici B e C.