SEGNALI STAZIONARI:
ANALISI SPETTRALE
Analisi spettrale: rappresentazione delle componenti in frequenza di
un segnale (ampiezza vs. frequenza).
Fornisce maggiori dettagli rispetto all’analisi temporale (ampiezza vs.
tempo).
Particolarmente utile nelle applicazioni biomediche per segnali quasi
periodici (es: cuore, respiro, voce, ecc.).
Spettro: Vettore delle ampiezze delle componenti di un segnale,
disposte in funzione della loro frequenza. Un segnale è in teoria
rappresentato da una serie infinita di sinusoidi.
Come si stima lo spettro:
Metodo tradizionale (non parametrico): Trasformata di Fourier.
Metodo parametrico: basato su modelli (lineari) del segnale.
Perchè l’analisi in frequenza?
Ad esempio, in ottica, alcuni colori
(rosso, giallo, blu), detti fondamentali,
sono puri, cioè non ulteriormente
scomponibili.
A ciascuno di essi corrisponde una
certa lunghezza d'onda (frequenza)
del raggio luminoso, e il prisma (che
scompone la luce bianca nei sette
colori dello spettro luminoso) mostrerà
solamente quella componente.
La medesima cosa avviene per gli altri
segnali.
Es: il suono. A una certa lunghezza
d'onda del suono corrisponde una
certa “altezza” percepita. Se non è
presente
contemporaneamente
nessun altra frequenza, il suono sarà
puro.
SPETTRO
ES: SUONO - Ogni singola componente è un tono puro (sinusoidale: y = sin(x)).
3 componenti: 55Hz,125Hz,180Hz
1 componente: 100Hz
ANALISI DI FOURIER
Qualunque segnale periodico può essere scomposto nella somma di
un eventuale termine costante e di componenti sinusoidali, delle quali
la prima, avente lo stesso periodo e quindi la stessa frequenza del
segnale considerato, si chiama prima armonica o fondamentale:
a1cosx+b1senx
e le altre, aventi periodi sottomultipli e quindi frequenze multiple, si
chiamano armoniche superiori:
akcoskx+bksenkx
In altri termini, con opportune interferenze (somme) di onde più
semplici si può ricostruire l'onda originale (es: onda sonora).
x( t ) a 0
( a
m cosm 0 t
b m sinm0 t )
m1
Analisi di Fourier: rappresenta con una serie di armoniche, ciascuna
dotata di una particolare ampiezza (e fase), qualsiasi forma d'onda.
ARMONICHE
Se le componenti sono in rapporto di frequenza intero con la componente di
frequenza più bassa, si dicono armoniche. La componente a frequenza più
bassa si chiama fondamentale o prima armonica e si indica con F0.
La componente di frequenza doppia della fondamentale si chiama seconda
armonica (y = sin(2x) ), la componente di frequenza tripla della fondamentale si
chiama terza armonica (y = sin(3x) ), e così via.
RUMORE
Le frequenze non sono equispaziate, e i rapporti di frequenza con la più bassa non sono
interi, anzi sono addirittura irrazionali. L'onda risultante non è periodica.
SERIE DI FOURIER
A seconda delle applicazioni, si possono usare altre rappresentazioni della serie di Fourier:
A
A m co s( m0 t m )
x( t ) 0 0
2
m1
x( t )
c
me
j m0 t
Grafico ottenuto da una funzione
MATLAB che mostra i primi 10
termini della serie di Fourier in
forma esponenziale per l’onda
quadra vista in precedenza.
Coefficienti di Fourier in funzione
della frequenza armonica. Qui
sono necessari termini sia positivi
che negativi.
SERIE DI FOURIER
Calcolare la serie di Fourier dell’onda quadra vista precedentemente ed implementare
una funzione MATLAB per le prime 10 componenti . Disegnare il grafico del segnale
ottenuto e quello dei coefficienti di Fourier. Si ha:
5
sin ( m / 2 )
x( t ) 5
co s( mt )
2
m
/
2
m1
Approssimazione
dell’onda quadra
con 10 termini
della serie di
Fourier su [-2, 2]
Coefficienti di
Fourier in
funzione della
frequenza
armonica
%Plotting Fourier series approximation
subplot(211)
time=-2:0.01:2; %Time axis
x=0; %Initializing signal
for m=-10:10
if m==0
x=x+5/2; %Term for m=0 else
x=x+5*sin(m*pi/2)/m/pi*2*exp(j*m*pi*time);
end
end
plot(time,real(x),'k') %Plotting and Labels
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Amplitude')
set(gca,'Xtick',[-2:2]) % Visualizza estremi e valori intermedi
set(gca,'Ytick',[0 5]) %visualizza solo gli estremi
set(gca,'Box','off') %Non visualizza i bordi del grafico
%Plotting Fourier magnitudes
subplot(212)
m=-10:10+1E-10;
A=[5/2*sin(m*pi/2)./m/pi*2]; %Fourier magnitudes
Faxis=(-10:10)*.5; %Frequency axis
plot(Faxis,A,'k.') % plotting
axis([-5 5 -2 4])
set(gca,'Box','off')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Fourier amplitudes')
Script
MATLAB
Fourier_series1.m
SERIE DI FOURIER
Coefficienti di Fourier (rappresentazione in serie
di coseni) del segnale di pressione aortica visto
(scala logaritmica). I coefficienti alle basse
frequenze hanno ampiezza maggiore di quelli
alle alte frequenze, che quindi danno un
contributo poco significativo alla ricostruzione
del segnale
Ricostruzione a vari livelli:
Media + 1 e 2 armonica = forma base della
pressione sistolica e diastolica;
Ulteriori armoniche aggiungono dettagli ma
contribuiscono in modo poco significativo alla
ricostruzione della forma d’onda.
TRASFORMATA DI FOURIER
La trasformata (o integrale) di Fourier (FT)) è utile per decomporre un segnale
(continuo) nelle sue componenti in frequenza, analogamente alla serie di Fourier che
consente di decomporre un segnale periodico nelle sue componenti trigonometriche. La
relazione inversa (IFT) consente di ricostruire il segnale dalla FT:
X( )
x( t )e
jt
dt
x( t )
1
2
X( )e
jt
d
Es.: FT della funzione rettangolo unitario
1,
x( t )
0,
t a
t a
a
jt
e
X( ) e jt dt
j
a
a
a
2 sina
2a sinc( a )
Grafico della funzione sinc (cardinal sine)
L’implementazione numerica più nota ed efficiente della FT è la FFT (Fast Fourier
Transform).
ANALISI IN FREQUENZA
La trasformata di Fourier consente di approssimare funzioni complesse con altre più
semplici numerose applicazioni in matematica, fisica, ingegneria.
Un qualsiasi segnale (periodico di periodo T) può essere rappresentato da una combinazione
di sinusoidi con ampiezza e frequenza opportune.
Onda quadra (a)
approssimata da un
numero crescente di
sinusoidi: 1,2,3,4
rispettivamente in
(b),(c),(d),(e).
Le componenti a frequenze
via via più elevate sono
dette “armoniche”
FAST FOURIER TRANSFORM
FFT - E’ un efficiente algoritmo numerico per calcolare la trasformata di Fourier discreta
(DFT). Perché l’algoritmo sia particolarmente efficiente il numero di dati N deve essere una
potenza del 2. Il rapporto delle velocità di esecuzione fra la DFT e l’FFT è:
DF T
FFT
co mp u t in g
co mp u t in g
t ime
t ime
N2
N l og2 N
N
lo g2 N
Ad esempio, per N=1024, l’FFT è circa 100 volte più veloce della DFT.
Funzione sinusoidale di freq. F=100Hz e
relativa FFT
Grafico MATLAB di |FFT| (in
radianti normalizzato fra 0
e 2π) della somma di 2
sinusoidi
Funzione sinusoidale di freq. F=100Hz
con rumore additivo e relativa FFT
ES: SEGNALE VOCALE
Spettri ottenuti con la Fast Fourier Transform (FFT)
F F T - linear scale
F F T - logarithmic scale
1
0
0.9
-20
0.8
N orm. P S D (dB)
N orm. P S D
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
-40
-60
-80
-100
0.1
0
0
1000
2000
3000
S ampling freq. F = 25000
s
4000
F req. (Hz)
5000
-120
0
1000
2000
3000
S ampling freq. F = 25000
s
4000
F req. (Hz)
5000
La Trasformata di Fourier (1)
• scompone un segnale f(t) nelle sue componenti sinusoidali
di diversa frequenza
• dominio dei tempi dominio delle frequenze
PRINCIPALE LIMITE
risoluzione in frequenza, ma non nel tempo:
rivela quali frequenze sono presenti nel segnale ma non quando
si verificano
Segnali non stazionari
Analisi nel tempo o in frequenza?
La rappresentazione più nota è lo spettrogramma: grafico tempofrequenza dell’intensità del segnale.
Nello spettrogramma, l’asse orizzontale corrisponde al tempo e
l’asse verticale alla frequenza.
L’intensità ad un certo istante è data da un’apposita tonalità di
colore (o livello di grigio).
Le armoniche vengono rappresentate da fasce orizzontali parallele.
Es: l’inflessione della voce nel parlato produce un aumento o una
diminuzione della frequenza delle armoniche.
LO SPETTROGRAMMA
La potenza è una misura dell’energia totale prodotta al secondo, ed è misurata
in Watt.
L’intensità è una misura della potenza per unità di area, misurata in Watt/m2, o
in decibel (dB). La scala dei decibel è logaritmica, e consente di rappresentare
grandi variazioni di potenza con piccole variazioni in dB.
Lo spettrogramma è il grafico tempo-frequenza dell’intensità del segnale
Nello spettrogramma, l’asse orizzontale corrisponde al tempo e l’asse verticale
alla frequenza.
L’intensità ad un certo istante è data da un’apposita tonalità di colore (o livello
di grigio) nello spettrogramma.
Le armoniche vengono rappresentate da fasce orizzontali parallele.
Es: l’inflessione della voce nel parlato produce un aumento o una diminuzione
della frequenza delle armoniche.
SPETTROGRAMMA DI: /see-saw/
Spettrogrammi dei suoni vocalici "a" ed "i" pronunciati da un
madrelingua italiano e relative forme d'onda
SPETTROGRAMMA
8000
7000
6000
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Time [ms]
F re que ncy [H z ]
1
5000
4000
3000
2000
1000
0
10
10.5
11
11.5
DOPPLER ARTERIA OMBELICALE
Stima della velocità massima
nell’
arteria
sanguigna
ombelicale materna. Si studia lo
spettrogramma
del
flusso
sanguigno. I massimi della PSD
sono legati alla velocità massima
del sangue.
Problema:
segnale
non
stazionario richiede l’uso di
tecniche adattative per stimare i
parametri
di
interesse
su
intervalli di tempo ridotti (qualche
decina di ms).
La Short Time Fourier Transform (1)
La STFT applica la trasformata di Fourier a porzioni del
segnale
Il segnale viene moltiplicato per una finestra w(t) che trasla
nel tempo
Fornisce una collocazione temporale di una certa banda di
frequenza
“FINESTRAGGIO” DEI DATI
Il finestraggio dei dati (data windowing) consente di
controllare gli effetti dovuti ai lobi laterali negli
stimatori spettrali.
Si suppone che una sequenza nota e finita di dati
(e/o di campioni dell’autocorrelazione) sia una parte
di una sequenza di durata infinita, ottenuta da un
finestraggio dei dati.
L’ipotesi implicita in questo ragionamento è che i dati
non osservabili, esterni alla finestra allo studio,
siano tutti uguali a zero.
La Short Time Fourier Transform (2)
Fissato il tipo di finestra, il prodotto f * t è costante,
w(t) a
supporto
ampio
w(t) a
supporto
stretto
Buona risoluzione in frequenza
Bassa risoluzione in frequenza
Bassa risoluzione nel tempo
Buona risoluzione nel tempo
STFT
Si dimostra che vale la seguente relazione fra durata
temporale Δt e larghezza di banda Δf:
STFT
DURATA COSTANTE SPETTRO TRASLATO IN FREQUENZA
FT PER SEGNALE DI DURATA FINITA
I segnali reali sono quasi sempre di durata finita. La FT di un segnale di durata finita si
ottiene dalla convoluzione della FT del segnale e quella di un’opportuna “finestra” x(t):
nessuna
distorsione
Modulo della FT della
finestra (rettangolare) x(t),
|X(Ω)| e del segnale infinito
sin(Ω0t), |Fsin(Ω0t)|
Modulo della FT del segnale
finito y(t):
Y(Ω)=X(Ω) |Fsin(Ω0t)|
allargamento
lobo
principale
lobi laterali
FINESTRAGGIO
I lobi laterali della trasformata della finestra, anche detti “leakage”
(dispersione), influenzano le ampiezze delle frequenze adiacenti.
Il leakage non solo produce una distorsione in ampiezza per segnali
campionati, ma può mascherare la presenza di segnali deboli, ed
impedirne l’individuazione.
Esistono molte funzioni finestra, per ottenere livelli accettabili per i lobi
laterali.
Una diminuzione dei lobi laterali consente infatti di ridurre la distorsione.
Questo si ottiene però allargando la risposta in frequenza del lobo
principale, che causa una riduzione della risoluzione spettrale.
E’ quindi necessario considerare soluzioni di compromesso fra l’ampiezza
del lobo principale ed il livello di soppressione dei lobi laterali.
Le più note finestre per segnali campionati sono: rettangolare, triangolare,
Hanning, Hamming, Nuttall, Gaussiana.
FINESTRE E RISOLUZIONE
(a-b) Rettangolare; (c-d) Triangolare; (e-f)
Hanning; (g-h) Hamming; (i-j) Nuttal; (k-l)
Gaussiana; (m-n) Chebyshev
FINESTRE E DTFT
