suono

Lamatematica
deisuoniedelleimmagini
suisocial
MariaFrancescaCarfora
IstitutoperleApplicazionidelCalcolo
ConsiglioNazionaledelleRicerche
intro
Matematica
applicata…
… cioè?
Previsionideltempo
Problem
iinversi
Ancona- 29Marzo2017
Segmentazione
Clustering
Classificazione
Cominciamo…
- ascoltaremusica
- inviarenotevocali
- scattarefoto/video
- condividerefoto/video
- leggerelibriegiornali
Quale
matematica
c’èdietro?
suono
Ilsuonoèprodottodalleoscillazioni,generatedauna
sorgentechevibra,chesipropaganoinunmezzo
(generalmentel’aria).Ilmeccanismosomigliaaquella
delleondedelmaregenerateperesempiodaun
oggettolanciatosullasuperficie.Un’ondasonoraèun
segnaleanalogico,cioèrappresentatodavalori
continuidellasuaampiezzaefrequenza.
Daanalogicoadigitale:ilcampionamento
Ilsuonoèunsegnaleanalogico,cioècontinuo.Pertrasferirlosui
modernidispositivi(CD)vienecampionato,solitamentea44.1KHz
(44100misurealsecondo).
Ancona- 29Marzo2017
Ognivaloreèmemorizzatoin2bytes(16bits)esuduecanali
(stereo).
Quindioccupa44100x2bytesx2=176400bytesalsecondo.
PermemorizzaresuunCDunbranodi3minutiemezzooccorrono
176400x210=37044000bcioè37Mb!
Ènecessariocomprimere…
Ideaperlacompressione:
• datouncertosuono,sitrovanotuttelesuecomponentia
diversefrequenze.
• siscartanopoilefrequenzemenoimportanti.
Pertantononvienememorizzatal’interaformadelsuono,
masololeprincipalicomponentidifrequenzapresenti.
Sipuòricostruireunsuonovicinoall’originalesommando
isegnalicorrispondentiallefrequenzememorizzate.
Adesempio,nelcasodisingolaondasinusoidale,
invecediregistrareememorizzare44.100datiper
ognisecondo,èsufficientememorizzaresolola
frequenzadell’unicaondachecomponeilsuono.
Ancona- 29Marzo2017
Brevepezzodiunacanzone
(1000campioni,circa1
centesimodisecondo)
Frequenzepresenti
AnalisidiFourier
All'iniziodelXIXsecolo,Fouriermiseapuntoilmetodoperscomporre
unfenomenoperiodicoinunaseriedifunzioniperiodichesemplici.
Lascomposizioneavvienemoltiplicandolafunzioneperiodicaperuna
funzionesinusoidale(senoocoseno)adognifrequenzaepoi
calcolandol'integraledellafunzionerisultante.Ilrisultatosarànonnullosoltantoperlefrequenzepresentinellafunzione.
ConuncalcolatoreèpossibilerealizzaredelletrasformatediFourier
discrete,sostituendocioèall'integraledellemoltiplicazioniunasomma
inunintervallodiscretoeperunnumerodicampionilimitato.Tali
trasformatesonodetteDiscreteFourierTransformsoDFT.
UnaversioneottimizzatadelleDFTsfruttaleproprietàdeinumeri
binariedellemoltiplicazionie/odivisioniperdueriducendo
notevolmentelaquantitàdicalcolinecessari.
QuestetrasformatesonochiamateFastFourierTransformsoFFT.Le
FFTsonorealizzabilisolosuunnumerodicampioni(eperunnumero
dipuntidianalisi,cioèdifrequenze)chesiaunapotenzadidue.
• PercalcolarelatrasformatadiFourier(cioètrovare
tuttelefrequenzechecompongonounsuono)occorre
unnumerodioperazionimoltoelevato
• Per1centesimodisecondo(campionedi400datidiun
suono)occorrono2x440x440operazioni(quasi
400.000!).Perunacanzonedi3minutine
occorrerebberocirca7Miliardi.
Nel1965duericercatori(CooleyeTukey)inventaronoun
algoritmopercalcolarelaTrasformatadiFourierinmodo
moltopiùveloce.L’algoritmosfruttalaridondanzanelle
sommerichiestenellatrasformataeneriduce
notevolmenteilcosto.
Questoalgoritmodicalcoloerastatoinrealtàinventato
nel1805daGausscheperònonloutilizzòmai.
L’articolodiCooleyeTukeyèilpiùcitato dellastoriadella
matematica.
SelalunghezzadelsegnaleèN,ilcalcolo
dellaDFT richiedecirca8N2 operazioni.
IlprocedimentodellaFFT leriducea
10(N/2)log2 N.
• LaFFTèancorainsufficiente perleapplicazioniintempo
reale
• SviluppatideicircuitiintegratispecializzatinellaFFT:
lavelocitàdelcalcolodipendedallavelocitàdeisegnali
elettrici
• Occorrono50microsecondiper1centesimodisecondodi
suono-->menodi1secondoperunbranodi3minuti
•L’algoritmoFFTelasuaimplementazionesu
circuitiintegratipossonoessereadattatianche
alleimmagini
•Siottienel’algoritmodicompressioneJPEG che
èlostandardriconosciutoperleimmagini
•Ilcircuitointegratoèpresenteintuttiidispositivi
dotatidimacchinefotografiche(fotocamere,
cellulari,videocamere)
Qualità 100% - 87,7 KB
Qualità 90% - 30,2 KB
Qualità 50% - 6,7 KB
Qualità
10% - 3,2 KB
Ancona- 29Marzo2017
• Moltisegnalicontengonocomponentitransitorie:unampio
intervallodifrequenzeinunpiccolointervalloditempo.
• LaclassicaanalisidiFouriernonèalloraadeguata,datoche
tutteleinformazionisullalocalizzazionetemporalediuna
datafrequenzavengonopersenellatrasformazione.
• Rappresentareunsegnalemedianteunaformad'onda
oscillantedilunghezzafinitaoadecadimentorapido(nota
comewaveletmadre).Questaformad'ondaèscalatae
traslataperadattarsialsegnaleiningresso.
Variewaveletmadre
shift
scala
Esempidiapplicazioni:
Compressionedelleimpronte
digitali
Dal1924,l’FBIhaarchiviato200
milionidiimprontedigitali.La
ricercainquestodatabasee
l’identificazionesonomolto
laboriose.L’FBIhaquindiadottato
unalgoritmodicodificadelle
immaginibasatosullewavelets.
Ilprogetto LIGO (Laser
Interferometer
Gravitational-Wave
Observatory)dellaNSF
perilrilevamentodionde
gravitazionaliutilizza
l’analisiwaveletsperi
dati.
JPEG2000
Eilfuturo?
campionamento
«abbondante»
compressione
compressedsensing
campionamento
«sparso»
ricostruzione
compressedsensing
• èunatecnicamatematicaperricostruireunsegnaleadalta
risoluzionedauncampioneabassarisoluzione
• Puòessereusataperrestaurarevecchieincisioni,immaginio
pellicole,perricostruiremessaggiintercettatiparzialmente,per
ottenerescansioniMRImoltopiùinfretta
• Adesempio,perricostruireun’immaginedi1Mpixels,misurosolo
100.000pixelsacasoepoisfruttolasparsità:un’immagineè
costituitadapochielementisempliciechiari(linee,blocchidicolore)
Quellochenonèentrato…
•
•
•
•
•
Morphing
Warping
Motioncapture
Animazione3D
…
Ancona- 29Marzo2017
Grazieperl’attenzione!