Circuiti elettrici in corrente alternata

Circuiti elettrici in corrente alternata
(
)(
)
= ( a xbx + a yby ) − i( a xby − a ybx )
a ⋅ b* = a x + ia y ⋅ bx − iby =
I numeri complessi
I numeri complessi in rappresentazione cartesiana
Un numero complesso a è una coppia ordinata di numeri reali che possono essere pensati come coordinate
di un punto nel piano P(ax,ay), o come il vettore OP.
P
ax
ay
(
(
)(
) (
)
)
Si ha che il modulo del reciproco è pari al reciproco del
modulo
O
Il numero complesso si scrive come
a = ax + ia y
1
dove l’unità immaginaria i gode della proprietà
i2 = −1, ax è detta parte reale, ay parte immaginaria:
Re(a) = ax Im(a) = ay
2
Si chiama complesso coniugato di a il numero
a* = ax−iay che ha la stessa parte reale di a e la parte
immaginaria cambiata di segno.
Con |a| si indica il modulo del numero complesso,
a = a x + ia y =| a|cosϑ + i| a|sin ϑ =
=| a|( cosϑ + i sin ϑ ) ≡| a|exp(iϑ )
Il modulo è un numero reale positivo pari a
a = a ⋅a * =
=
La parte reale del prodotto di a per il complesso coniugato di b è uguale al prodotto scalare dei due vettori
corrispondenti: la parte immaginaria, a meno del segno,
è pari al modulo del prodotto vettoriale tra i due vettori.
Nel caso particolare di numeri uguali (a=b), il prodotto
a⋅a* ha come parte reale il quadrato del modulo |a| mentre la parte immaginaria è nulla.
Per calcolare parte reale e parte immaginaria del reciproco di un numero complesso si procede come segue
a x − ia y
1
a*
=
=
=
a a ⋅a *
a x + ia y ⋅ a x − ia y
4
ay
ax
=
−i
a x2 + a 2y
a x2 + a 2y
a x2
( ax + a y ) ⋅ ( ax − a y ) =
+ a 2y
3
1
=
a
=
(
) (
= ( a x + bx ) + i a y + by
)
Il prodotto di due numeri complessi si ottiene sviluppando il prodotto tra due binomi con le regole
dell’algebra ricordando che i2 = −1. Eseguiamo il prodotto a⋅b*
)
2
a x2 + a 2y
=
(
)
1
a x2
+ a 2y
)
=
5
1
a
Come un vettore può essere rappresentato in forma cartesiana o in forma polare, così un numero complesso
può essere rappresentato come (parte reale, parte immaginaria) o come (modulo, fase) dove fase è un angolo (ϑ
in figura) dato da
 Im(a ) 
fase(a ) = tan −1

 Re(a ) 
ax=|a|cosϑ
|a|=|OP|
)
Parte reale e parte immaginaria si comportano nella
somma come le componenti cartesiane dei vettori.
a x2 + a 2y
) (
I numeri complessi in rappresentazione polare
La somma di due numeri complessi a, b è il numero che
ha per parte reale la somma delle parti reali e per parte
immaginaria la somma delle parti immaginarie:
a + b = a x + ia y + bx + iby =
(
(
(
a 2y
+
=
2
2
a x2 + a 2y
a x2 + a 2y
a x2
6
P
ay=|a|sinϑ
ϑ
O
L’equazione 1 perciò si riscrive
a = a x + ia y =| a|cosϑ + i| a|sin ϑ =
=| a|( cosϑ + i sin ϑ ) ≡| a|exp(iϑ )
7
dove si è utilizzata l’identità di Eulero tra funzioni cos,
sin e l’esponenziale di un numero immaginario. Un nu-
1
mero reale è il caso particolare di un numero complesso
con fase uguale a 0° (numero positivo) o a 180° (numero negativo); un numero complesso è un immaginario
puro se la sua fase è uguale a 90° o a 270°.
La rappresentazione polare permette di rappresentare in
modo semplice il prodotto di due numeri complessi:
posto b = bx + iby =|b|exp(iϕ ) si ha
a ⋅ b = a exp(iϑ )⋅|b|exp(iϕ ) =
8
=| a||⋅ b|exp( i (ϑ + ϕ ) )
Ossia: il prodotto di due numeri complessi è un numero
complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e
per fase la somma delle fasi. Un numero complesso di
modulo unitario (|a| = 1) si può scrivere come exp(iϑ);
viceversa, l’esponenziale di un immaginario ha modulo
unitario
exp(iϑ ) = cosϑ + i sinϑ =
9
= cos2 ϑ + sin 2 ϑ = 1
Anche la relazione tra un complesso e il suo reciproco
ha una forma semplice in rappresentazione polare
1
1
exp(−iϑ )
10
=
=
a
a exp(iϑ )
a|
I numeri complessi e le equazioni differenziali
ordinarie
Prendiamo come esempio l’equazione di Newton per un
punto di massa m appeso ad una molla di costante elastica k; indicando con x(t) lo spostamento dalla posizione d’equilibrio si ha
d 2x
d 2x
k
x = 0 11
m
dt
dt
Questo è un esempio di equazione differenziale ordinaria di secondo grado; ordinaria vuol dire che vi
compare una somma della funzione incognita x(t) e delle sue derivate (fino al grado secondo) moltiplicate per
coefficienti costanti. Cerchiamo per x(t) una soluzione
complessa del tipo
x (t ) = A exp(iωt )
12
F = ma ⇒ − kx = m
2
⇒
2
+
notando che la derivata n−esima di questa funzione si
scrive come
d n x (t )
n
= ( iω ) A exp(iωt )
n
dt
Inserendo la soluzione 12 nella 11 si trova
k
( iω ) 2 A exp(iωt ) + A exp(iωt ) = 0 ⇒
m
13
k
k
2
⇒ω = ⇒ω = ±
m
m
L’equazione differenziale ordinaria è stata ridotta alla
equazione algebrica 13, che ha due soluzioni corrispondenti alle funzioni complesse

 k 
k 
t
t
exp i
exp − i
m 

 m 
La soluzione più generale sarà una combinazione lineare delle due soluzioni e sarà del tipo

 k 
k 
t
t  + A− exp − i
x (t ) = A+ exp i
14
m 

 m 
dove i numeri complessi A+ e A- sono determinati dalle
condizioni iniziali. Poichè x(t) è uno spostamento rappresentato da un numero reale, ci si può limitare a considerare il caso in cui questi due numeri sono l’uno il
complesso coniugato dell’altro, ad esempio
A+ =| A|exp(iϕ ) A− =| A|exp(−iϕ )
15
in tale caso la 14 diventa una quantità reale in quanto la
somma di due numeri complessi coniugati ha parte immaginaria nulla
   k
  k
 

x (t ) = | A|  exp i 
t + ϕ   + exp − i 
t + ϕ    =
   m
  

  m
 k

= 2| A|cos
t + ϕ 
 m

Questa espressione rappresenta una oscillazione di ampiezza 2|A| e fase iniziale ϕ.
Questo esempio mostra che la soluzione di una equazione differenziale ordinaria che lega grandezze reali
(x(t), m, k) può essere cercata in campo complesso mediante funzioni del tipo 12, che semplificano l’operazione di derivazione e riducono il problema ad una equazione algebrica, di grado n=2 nel nostro caso.
Come altro esempio consideriamo un voltaggio alternato del tipo V (t ) = Vo cosωt applicato ad un condensatore
+
V(t)
C
I
La carica Q(t) sul condensatore è proporzionale al voltaggio V(t) ai suoi capi mentre la corrente I circolante
nel circuito è la derivata della carica rispetto al tempo
Q(t ) = CV (t )
16
dQ(t )
dV (t )
I (t ) =
=C
dt
dt
Per risolvere questa equazione nella incognita I(t) si
adotta un procedimento simile al precedente che consiste nei seguenti passaggi:
1. la funzione reale nota V(t) viene interpretata come
parte reale di una funzione complessa
Vo cosωt → Vo exp(iωt )
17
2. Si esegue la derivata della V(t) complessa e la si inserisce nella equazione per la corrente trovando una espressione complessa della I(t), ovvero il suo legame
con V(t)
2
I (t ) = C
d (Vo exp(iωt ))
dt
IC+IR
= iωCVo exp(iωt )
18
1
I (t ) = iωCV (t ) ⇔ V (t ) =
I (t )
iωC
3. La funzione cercata è la parte reale della funzione
complessa I(t).
Re( I (t )) = Re iωCVo ( cosωt + i sin ωt ) =
19
= −ωCVo sin ωt
Ambedue i procedimenti di soluzione hanno comportato
una reinterpretazione in campo complesso di una equazione reale, la soluzione della stessa con metodi algebrici grazie alla proporzionalità tra funzione esponenziale
e sua derivata, il ritorno al campo reale. Gli esempi sono
diversi: l’equazione di Newton è di tipo omogeneo, non
includendo una funzione nota o termine noto; la sua
soluzione è stata cercata tra le funzioni ad esponenziale
complesso mediante le quali si possono costruire quasi
tutte le funzioni di interesse fisico. L’equazione del condensatore è una semplice equazione differenziale di tipo
disomogeneo che apparentemente potrebbe essere
risolta direttamente: mediante derivazione se l’incognita
è I(t) o mediante integrazione se è data la corrente I(t).
Il procedimento complesso trova, nel caso di funzioni
note di tipo sinusoidale, la soluzione di regime che viene raggiunta dopo un tempo sufficientemente lungo,
indipendentemente dalle condizioni iniziali.
[
]
Circuiti con resistenze e condensatori
L’equazione 18 suggerisce che, in regime sinusoidale e
in campo complesso, la relazione tra voltaggio ai capi di
un condensatore (VC) e corrente è espresso da una relazione formalmente simile alla legge di Ohm (V=RI)
1
VC (t ) =
I (t )
20
iωC
Il termine 1/iωC svolge lo stesso ruolo della resistenza
elettrica e si chiama reattanza del condensatore. Per
un circuito con condensatori e resistenze, anziché di
resistenza, si parla di impedenza, termine che comprende sia la parte resistiva che reattiva.
Un circuito in corrente alternata si risolve spesso calcolando la sua impedenza, indicata con Z. Eseguiamo questo calcolo nel caso della resistenza in parallelo al condensatore della figura.
Sia V(t)=Voexp(iωt). Le correnti sono
I C = iωCVo exp(iωt )
V
I R = o exp(iωt )
R
e la corrente totale si scrive
I R + I C = (1 / R + iωC )Vo exp(iωt )
21
22
+
R
V(t)
C
IC
IR
Il coefficiente complesso di V(t) è il reciproco della
impedenza complessiva del circuito, pari al rapporto tra
tensione e corrente; conviene scriverlo in forma polare
1
1
= + iωC =
Z R
23
1
2
−1
=
1 + (ωRC ) exp i tan ωRC
R
Indicato
con
ϕ = tan−1ωRC
l’argomento
dell’esponenziale, l’espressione complessa della corrente totale si riscrive
V
2
I R + I C = o 1 + (ωRC ) exp( i (ωt + ϕ ))
24
R
La corrente totale è una funzione del tempo proporzionale a cos(ωt+ϕ) di ampiezza pari a
V
2
I o = o 1 + (ωRC)
25
R
Poichè nel circuito precedente la potenza media dissipata nel condensatore è nulla, solo IR contribuisce alla
dissipazione di potenza che in media vale
(
)
V2
V2
< W >=< V ⋅ I R >= o < cos2 ωt ) = o
26
R
2R
È però istruttivo calcolare tale potenza come
< V ⋅ (I R + I C ) > sviluppando la corrente totale (24)
I R + I C ∝ cos(ωt + ϕ ) =
= cosωt cosϕ − sin ωt sin ϕ
e notando che il termine in sinωt moltiplicato per cosωt
ha media nulla, mentre il termine cos2ωt ha media pari a
1/2. La potenza media perciò vale
V2
2
< W >= o 1 + (ωRC) cosϕ
2R
Poichè
1/ R
cosϕ =
( 1 / R ) 2 + ( ωC ) 2
27
(parte reale del numero complesso della 23 diviso il suo
modulo), la 27 e la 26 coincidono. La 27 è però più generale e si può esprimere così: la potenza media in corrente alternata è pari alla metà del prodotto tra ampiezza
di corrente e ampiezza di voltaggio moltiplicato per il
coseno dell’angolo di sfasamento tra corrente e voltaggio. Per questo il coseno di questo angolo prende il nome di fattore di potenza.
3
Tecnica di soluzione di un circuito in corrente
alternata.
L’equazione 20 mostra che il legame tra voltaggio e
corrente per un condensatore è simile alla legge di Ohm
se si adotta il formalismo complesso. Un circuito va
risolto con le stesse regole adottate per le reti di resistenze (legge dei nodi, delle maglie, teorema di Thevènin) e il risultato (di solito una corrente o voltaggio)
espresso in forma polare per ottenere ampiezza e fase.
Come esempio trattiamo il circuito costituito da generatore V(t)= V0cosωt chiuso su una resistenza e condensatore in serie. Siamo interessati al voltaggio VC ai capi
del condensatore.
R
+
I
C
V(t)
VC
L’impedenza complessiva di una resistenza in serie con
un condensatore vale
Z = R + 1 / iωC =
28
= R 2 + 1 / (ωC ) 2 exp( − iϕ )
con
ϕ = tan −1(1 / ωRC )
cosϕ =
sin ϕ
R
R 2 + 1 / ( ωC )
29
2
1 / ωC
R 2 + 1 / ( ωC )
2
La corrente è espressa da
V
Vo
I= =
exp( i (ωt + ϕ ))
Z
R 2 + 1/ (RC ) 2
30
Il voltaggio ai capi del condensatore è pari al voltaggio
del generatore meno la caduta di tensione IR ai capi
della resistenza
 R cosϕ + iR sinϕ 
=
VC = V − IR = Vo exp(iωt ) 1 −
2 
2

(
)
R + 1 / ωC 

2

R + iR / ωC 
= Vo exp(iωt ) 1 − 2
2 =
 R + 1 / (ωC ) 
31


1 / ωC
(
)
= Vo exp(iωt )  2
2 1 / ωC − iR  =
 R + 1 / (ωC )

1
= Vo exp(iωt )
exp − i tan−1 (ωRC )
1 + (ωRC )2
Il risultato può essere così espresso:
• l’ampiezza della corrente circolante è pari a Vo/|Z|
(
• il voltaggio ai capi della resistenza è proporzionale
ad I, che cresce al crescere di ω e tende asintoticamente a V(t)
• il voltaggio ai capi del condensatore è uguale a V(t)
per ω=0, per ωRC=1 ha ampiezza ridotta di un fattore 2 ed è sfasato di −45° rispetto a V(t)
• per ωRC>1, VC approssimativamente si dimezza al
raddoppiare di ω
• al crescere della frequenza lo sfasamento del voltaggio VC rispetto a quello del generatore tende asintoticamente a −90°. Uno sfasamento negativo vuole
dire che il voltaggio VC è in ritardo, ossia “segue” il
voltaggio del generatore; questo ritardo di tempo vale RC.
• Prelevando il voltaggio ai capi del condensatore si
ottiene un partitore di tensione che attenua i segnali
alle frequenze al di sopra di 1/RC e si ha un filtro
passa basso
• prelevando il voltaggio ai capi della resistenza si ha
un partitore che attenuta i segnali con ω<1/RC e si
ha un filtro passa alto
La scala dei dB
Il circuito esaminato è un circuito lineare: raddoppiando
il voltaggio V(t) raddoppiano tutte gli altri voltaggi e le
correnti. Il comportamento del circuito lineare è perciò
meglio descritto dai rapporti tra le grandezze elettriche.
Si può definire decibel il logaritmo decimale del rapporto tra valori quadratici medi dei segnali moltiplicato per
10. Rispetto al generatore V(t), il voltaggio VC ha un
valore in decibel dato da
1
10Log
2
1 + (ωRC)
Poichè Log(0.5) è circa uguale a −0.3, quando ωRC=1 il
livello del segnale sul condensatore è a −3dB. Per
ωRC>3 l’espressione precedente all'incirca diventa
−20Log(ωRC)
ossia, il segnale VC diminuisce di 20 dB quando la frequenza aumenta di un fattore 10; questa legge di diminuzione si esprime anche dicendo che il segnale diminuisce di 3dB per ottava.
)
4
5