Politecnico di Torino
CeTeM
Scheda N. 10
4215 Fisica II
Circuiti elettrici RC
Si consideri un circuito costituito da una resistenza R, un condensatore di capacità C ed
un generatore di forza elettromotrice continua V connesso con un interruttore
C
R
nel momento in cui chiudo l’interruttore, le
cariche vengono spostate da una faccia
all’altra del condensatore (il condensatore si
carica).
I
VC
V
da cui si ricava l’equazione:
V = RI + VC
dV
t
V = RC C + VC che ammette soluzione Vc ( t ) = V 1 − exp −
RC
dt
dQ
dV
V
t
l’andamento della corrente è invece I ( t ) =
= C C = exp −
RC
dt
dt
R
Supponiamo ora di rimuovere il generatore dopo che il condensatore ha raggiunto la
tensione di saturazione ai suoi capi Vc=V.
C
+
+
+
+
-
Vc
-
R
I
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Data ultima revisione 07/06/00
Alla chiusura dell’interruttore Vc -RI=0, per
cui
dV
RC C + VC = 0 che ammette soluzione
dt
t
e di conseguenza
VC ( t ) = V exp −
RC
V
t
I ( t ) = − exp −
RC
R
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Autore: Sergio Ferrero
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Scheda N. 10
4215 Fisica II
Circuiti elettrici RL
Si consideri un circuito costituito da una resistenza R, una bobina di induttanza L ed un
generatore di forza elettromotrice continua V connesso con un interruttore
L
R
VL
I
V
Alla chiusura dell’interruttore,il generatore
tende a far circolare corrente in R ed in L
dI
V = VL + RI ed essendo VL = L
si ricava
dt
dI R
V
+ I − = 0 che ammette soluzione
dt L
L
V
t
e di conseguenza, la tensione ai capi dell’induttore risulta
1 − exp −
L / R
R
dI
t
VL ( t ) = L = V exp −
L / R
dt
Supponiamo ora di rimuovere il generatore dopo che la corrente nel circuito ha raggiunto
il valore di saturazione I=V/R
I( t) =
L
R
VL
I
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Alla chiusura dell’interruttore VL + RI = 0 per
dI R
cui
+ I = 0 che ammette soluzione
dt L
V
t
e di conseguenza
I ( t ) = exp −
L / R
R
t
VL ( t ) = −V exp −
L / R
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Autore: Sergio Ferrero
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Scheda N. 10
4215 Fisica II
Circuiti elettrici LC
Supponiamo di connettere in serie un condensatore carico con un induttore
+
+
Il condensatore tende a scaricarsi
attraverso l’induttore, supponendo non vi
sia dissipazione, vi è un trasferimento di
energia dal condensatore (energ. campo
elettrico) alla bobina (energ. campo
magnetico); quando il condensatore è
completamente scarico la bobina continua a trasportare carica al condensatore che si
ricarica in verso opposto, nuovamente si trasferisce energia dall’induttore al
condensatore; quando il condensatore è completamente carico, nuovamente tende a
scaricarsi facendo fluire carica in senso opposto e così via. Quantitativamente ciò può
essere descritto imponendo la conservazione dell’energia totale del circuito
Etot=Emagnetica+Eelettrica=(1/2)LI2 + (1/2)q2/C
C
L
dE tot
dI q dq
d 2q
1
= LI
+
= 0 da cui 2 +
q = 0 la cui soluzione è q( t ) = q M cos( ωt + φ ) con
dt
dt C dt
dt
LC
1
ω=
in definitiva si ha un’osciilazione armonica della carica.
LC
Circuiti elettrici RLC
dE tot
= − IR 2 (dissipazione
dt
per effetto joule), da cui segue l’equazione
d 2 q R dq
1
+
q = 0 che ammette
2 +
dt
L dt LC
soluzione
In questo caso
+
+
C
L
R
R
q( t ) = q m exp −
t cos( ωt ) che rappresenta un’oscillazione smorzata.
2L
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Autore: Sergio Ferrero
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Scheda N. 10
4215 Fisica II
Nel caso si colleghi al circuito RLC un generatore di tensione alternata V=V0sin( t),
d 2q
dq 1
si ottiene L 2 + R
+ q = Vsin( ωi ) da cui si ricava una corrente
dt
dt C
1
L
ω
−
V0
ωC . Si
(
)
e
arc
tan
I ( t ) = I 0 (ω ) sin[ωt + φ ( ω ) ] con I 0 ( ω ) =
φ
ω
=
1
R
2
2
1 2
R + ωL −
ωC
1
noti che per ω =
1 = ω 0 [frequenza di risonanza del circuito], la corrente è la massima
( LC) 2
possibile.
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Autore: Sergio Ferrero
