Scheda N. 10 4215 Fisica II Circuiti elettrici RC ( ) C R Vc I C R V I VC
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Politecnico di Torino CeTeM Scheda N. 10 4215 Fisica II Circuiti elettrici RC Si consideri un circuito costituito da una resistenza R, un condensatore di capacità C ed un generatore di forza elettromotrice continua V connesso con un interruttore C R nel momento in cui chiudo l’interruttore, le cariche vengono spostate da una faccia all’altra del condensatore (il condensatore si carica). I VC V da cui si ricava l’equazione: V = RI + VC dV t V = RC C + VC che ammette soluzione Vc ( t ) = V 1 − exp − RC dt dQ dV V t l’andamento della corrente è invece I ( t ) = = C C = exp − RC dt dt R Supponiamo ora di rimuovere il generatore dopo che il condensatore ha raggiunto la tensione di saturazione ai suoi capi Vc=V. C + + + + - Vc - R I © Politecnico di Torino Data ultima revisione 07/06/00 Alla chiusura dell’interruttore Vc -RI=0, per cui dV RC C + VC = 0 che ammette soluzione dt t e di conseguenza VC ( t ) = V exp − RC V t I ( t ) = − exp − RC R Pagina 1 di 4 Autore: Sergio Ferrero Politecnico di Torino CeTeM Scheda N. 10 4215 Fisica II Circuiti elettrici RL Si consideri un circuito costituito da una resistenza R, una bobina di induttanza L ed un generatore di forza elettromotrice continua V connesso con un interruttore L R VL I V Alla chiusura dell’interruttore,il generatore tende a far circolare corrente in R ed in L dI V = VL + RI ed essendo VL = L si ricava dt dI R V + I − = 0 che ammette soluzione dt L L V t e di conseguenza, la tensione ai capi dell’induttore risulta 1 − exp − L / R R dI t VL ( t ) = L = V exp − L / R dt Supponiamo ora di rimuovere il generatore dopo che la corrente nel circuito ha raggiunto il valore di saturazione I=V/R I( t) = L R VL I © Politecnico di Torino Data ultima revisione 07/06/00 Alla chiusura dell’interruttore VL + RI = 0 per dI R cui + I = 0 che ammette soluzione dt L V t e di conseguenza I ( t ) = exp − L / R R t VL ( t ) = −V exp − L / R Pagina 2 di 4 Autore: Sergio Ferrero Politecnico di Torino CeTeM Scheda N. 10 4215 Fisica II Circuiti elettrici LC Supponiamo di connettere in serie un condensatore carico con un induttore + + Il condensatore tende a scaricarsi attraverso l’induttore, supponendo non vi sia dissipazione, vi è un trasferimento di energia dal condensatore (energ. campo elettrico) alla bobina (energ. campo magnetico); quando il condensatore è completamente scarico la bobina continua a trasportare carica al condensatore che si ricarica in verso opposto, nuovamente si trasferisce energia dall’induttore al condensatore; quando il condensatore è completamente carico, nuovamente tende a scaricarsi facendo fluire carica in senso opposto e così via. Quantitativamente ciò può essere descritto imponendo la conservazione dell’energia totale del circuito Etot=Emagnetica+Eelettrica=(1/2)LI2 + (1/2)q2/C C L dE tot dI q dq d 2q 1 = LI + = 0 da cui 2 + q = 0 la cui soluzione è q( t ) = q M cos( ωt + φ ) con dt dt C dt dt LC 1 ω= in definitiva si ha un’osciilazione armonica della carica. LC Circuiti elettrici RLC dE tot = − IR 2 (dissipazione dt per effetto joule), da cui segue l’equazione d 2 q R dq 1 + q = 0 che ammette 2 + dt L dt LC soluzione In questo caso + + C L R R q( t ) = q m exp − t cos( ωt ) che rappresenta un’oscillazione smorzata. 2L © Politecnico di Torino Data ultima revisione 07/06/00 Pagina 3 di 4 Autore: Sergio Ferrero Politecnico di Torino CeTeM Scheda N. 10 4215 Fisica II Nel caso si colleghi al circuito RLC un generatore di tensione alternata V=V0sin( t), d 2q dq 1 si ottiene L 2 + R + q = Vsin( ωi ) da cui si ricava una corrente dt dt C 1 L ω − V0 ωC . Si ( ) e arc tan I ( t ) = I 0 (ω ) sin[ωt + φ ( ω ) ] con I 0 ( ω ) = φ ω = 1 R 2 2 1 2 R + ωL − ωC 1 noti che per ω = 1 = ω 0 [frequenza di risonanza del circuito], la corrente è la massima ( LC) 2 possibile. © Politecnico di Torino Data ultima revisione 07/06/00 Pagina 4 di 4 Autore: Sergio Ferrero
