Lezione 10

DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
10° Lezione
Obiettivi classe quinta
Usare le nozioni di frequenza, di moda e di
media aritmetica, se adeguata alla tipologia
dei dati a disposizione.
Rappresentare problemi con tabelle e grafici
che ne esprimono la struttura.
INDAGINI STATISTICHE
• Popolazione statistica: l’insieme degli elementi oggetto
di studio
• Unità statistica: ogni elemento della popolazione
statistica
• Variabile statistica ( o carattere statistico) : è ciascuno
degli aspetti di una unità statistica (es. colore dei
capelli, età….)
Una variabile statistica può essere:
- qualitativa: è espressa da una qualità, come sesso,
colore, tipo di scuola frequentata….
- quantitativa: è espressa da un numero, come peso, età,
reddito…..
Esempio
La tabella qui a fianco si riferisce
all’indagine svolta in una classe sui mesi di
nascita.
Popolazione statistica: gli studenti della
classe.
Unità statistica: ogni studente
Variabile statistica: mese di nascita
È una variabile qualitativa!
DEFINIZIONI
Frequenza assoluta: il numero di unità statistiche che assumono la stessa
modalità
Nell’esempio: la frequenza della modalità ‘febbraio ’ è 4
Frequenza relativa: il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di unità della
popolazione
Nell’esempio: la frequenza relativa della modalità ‘febbraio ’ è
4
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TIPI DI GRAFICI
I dati raccolti in una indagine statistica si
possono efficacemente rappresentare con dei
grafici.
La scelta del tipo di grafico dipende dal carattere
statistico che si sta esaminando.
Facciamo degli esempi
ISTOGRAMMA
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
2
4
2
1
0
5
2
1
5
1
2
3
6
5
4
3
Serie1
2
1
0
Grafico a barre
Dicembre
Novembre
Ottobre
Settembre
Agosto
Luglio
Serie1
Giugno
Maggio
Aprile
Marzo
Febbraio
Gennaio
0
1
2
3
4
5
6
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
2
4
2
1
0
5
2
1
5
1
2
3
6
5
4
3
Ma in questo
caso non sono
adeguati né il
grafico a linee
né il grafico a
torta
Serie1
2
1
0
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Grafico a torta
Se però raggruppiamo i
dati della tabella
precedente in classi più
ampie, allora il grafico
a torta diventa una
rappresentazione
efficace.
I trimestre
II trimestre
III trimestre
IV trimestre
IV trimestre
21%
III trimestre
29%
8
6
8
6
I trimestre
29%
II trimestre
21%
Un utile esercizio:
costruire ‘a mano’ un grafico a torta
PROBLEMA
In una scuola con 200 alunni si è svolta
un’indagine sul numero dei componenti delle
rispettive famiglie; i risultati sono i seguenti: 40
nuclei familiari sono composti da 3 persone, 80
da 4 persone, 60 da 5 persone e il restante da 6
persone.
Rappresentare i dati con un grafico a torta
Costruiamo insieme il procedimento
a) Per comodità compiliamo la tabella
corrispondente al problema
Num. nuclei fam.
Num. componenti
40
3
80
4
60
5
20
6
b) Ora bisogna individuare l’angolo che
corrisponde ad ogni dato.
Possiamo procedere in modo intuitivo:
100 corrisponde a metà cerchio, cioè all’angolo di 180°, quindi
10 corrisponde a 18°.
Completiamo la tabella
Num. nuclei
fam.
Num.
componenti
Angolo al
centro
40
3
18 × 4 = 72
80
4
18 × 8 = 144
60
5
18 × 6 =108
20
6
18 × 2 = 36
Ora, mano al compasso e al goniometro e
costruiamo il nostro grafico
tre
quattro
cinque
sei
La tabulazione di una serie di dati statistici o la loro rappresentazione
grafica hanno il pregio di descrivere in modo ordinato e comprensibile
il fenomeno sul quale s’indaga, ma qualche volta è comodo, e spesso
anche necessario, sintetizzare con un solo dato l’andamento del
fenomeno, a condizione naturalmente che questo valore di sintesi sia
effettivamente idoneo a riassumere le caratteristiche del collettivo che
interessa evidenziare.
• Per esempio, se vogliamo avere un’idea dell’altezza delle persone
che compongono un collettivo (una squadra di calcio, una città, una
nazione, eccetera), non è necessario conoscere le altezze delle
singole persone. È sufficiente sintetizzare le varie altezze con un solo
valore che riassuma l’altezza media delle persone del collettivo.
I valori di sintesi di una serie di dati statistici sono detti più
propriamente indici di posizione o indici statistici, ce n’è più d’uno.
Rivediamo i più importanti.
INDICI STATISTICI 1
L’indice statistico è un elemento di sintesi, non
certamente esauriente, dell’indagine
Moda: è la modalità a cui corrisponde la frequenza
maggiore
-La moda si può determinare sia con variabili qualitative che
con variabili quantitative.
-Una distribuzione di frequenze si dice unimodale, se
presenta una sola moda, altrimenti si dice plurimodale
La distribuzione del primo esempio è plurimodale, e le mode sono:
giugno e settembre
INDICI STATISTICI 2
(solo per caratteri quantitativi)
Supponiamo che la seguente lista rappresenti l’insieme dei voti presi dagli
studenti di una classe in matematica:
4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 10
(La popolazione statistica è costituita da 23 unità)
𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎 𝑑𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖
Media:𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎𝑡𝑖
Nell’esempio:
4+4+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8+8+8+8+9+9+10
23
=
152
23
≈ 6,6
Mediana: in un insieme ordinato di numeri è l’elemento centrale se
i dati sono in numero dispari, la media aritmetica dei due termini
centrali se gli elementi sono in numero pari
Nell’esempio: la mediana è 6
Dati raggruppati
In generale i dati, essendo numerosi, vengono tabulati, come già
mostrato in precedenza.
Vediamo come individuare, in questo caso, gli indici di posizione,
lavorando sull’esempio precedente.
VOTO
N.B.: la frequenza
relativa si può
esprimere anche con
la percentuale
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
4
2
2/23
5
4
4/23
6
6
6/23
7
4
4/23
8
4
4/23
9
2
2/23
10
1
1/23
a) Per quanto riguarda la moda la tabella mostra
immediatamente la risposta: essa corrisponde al dato di
frequenza maggiore
b) Per quanto riguarda la media aritmetica, riprendiamo il
calcolo precedente:
4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10
=
23
=
4×2+5×4+6×6+7××4+8×4+9×2+10×1
23
2
4
6
4
4
=
2
1
=4 × 23 + 5 × 23 + 6 × 23 + 7 × 23 + 8 × 23 + 9 × 23 + 10 × 23 ≈ 6,6
La media così calcolata si chiama
media aritmetica ponderata
e si può calcolare utilizzando sia le frequenze assolute, che
quelle relative
Per il calcolo della mediana è utile costruire la
tabella delle frequenze cumulate:
VOTO
Frequenza
cumulata
assoluta
Frequenza
cumulata
relativa
4
2
2/23
≤5
6
6/23
≤6
12
12/23
≤7
16
16/23
≤8
20
20/23
≤9
22
22/23
≤10
23
1
La posizione del dato che corrisponde alla mediana è 12, che compare
nella terza classe, quindi la mediana è 6
Dati raggruppati in classi
Consideriamo il seguente esempio, relativo agli studenti delle classi quarte di un Istituto
superiore (le classi comprendono il valore minimo ma non il valore massimo):
Altezze (cm)
Num. studenti
150-160
22
160-170
45
170-180
73
180-190
19
190-200
5
Per quanto riguarda moda e mediana si procede come nei casi
precedenti; la media viene calcolata sui valori centrali delle classi
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =
155×22+165×45+175×73+185×19+195×5
=171,3
22+45+73+19+5
Una proposta didattica:
reinventiamo la media aritmetica
(da ‘Fare matematica’)
Situazione: si presenta la settimana di lavoro di tre parrucchieri,
tabulando il numero di clienti a giorno
MARIO
GIORNO N.Clienti
Lunedi
chiuso
Martedi
15
Mercoledì
13
Giovedì
12
Venerdì
23
Sabato
27
GINO
GIORNO N.Clienti
Lunedi
17
Martedi
11
Mercoledì
13
Giovedì
16
Venerdì
20
Sabato
19
ANTONIO
GIORNO N.Clienti
Lunedi
23
Martedi
15
Mercoledì
13
Giovedì
12
Venerdì
16
Sabato
20
Domande
1) Quale parrucchiere ha lavorato di più la scorsa settimana?
2) Se ciascun parrucchiere avesse avuto ogni giorno lo stesso
numero di clienti, quanti ne avrebbe avuti?
Lo scopo del problema è far emergere le concezioni dei bambini
relativamente al confronto di quantità che non sono ottenute in
maniera omogenea.
L’analisi di altre situazioni può essere l’occasione di osservazioni
interessanti che possono aiutare al formarsi un ‘senso della
media’.
Nota Bene
È importante capire e aiutare a capire la funzione di ognuno dei
valori medi sopra descritti:
• la moda è sempre un valore dell’insieme dei dati e
rappresenta il valore (o i valori) più ricorrente
• la mediana M non sempre è un valore dell’insieme dei dati;
essa spezza a metà l’insieme: quindi prima di essa ci saranno
tutti valori minori o uguali a M, e dopo di essa tutti i valori
maggiori o uguali a M
• la media aritmetica non è in generale un valore dell’insieme
dei dati, ma certamente è tra i tre, quello meno ‘ambiguo’.
Vediamo un esempio estremo
ESEMPIO
La tabella riporta i risultati di un compito in classe
Voto
Moda = 5
Mediana =8
Media =6,4
Numero studenti
2
3
5
7
8
6
9
5
In realtà anche la media aritmetica non è sufficiente
a caratterizzare una distribuzione statistica.
Rimando, a tale proposito, a quanto è stato
sviluppato in Fondamenti di Matematica
ESERCIZIO
La seguente tabella riporta la distribuzione delle altezze degli
alunni di una classe.
a) Raggruppare i dati
b) Rappresentarli graficamente
c) Determinare media, moda e mediana
Obiettivo
In situazioni concrete, di una coppia di eventi
intuire e cominciare ad argomentare qual è il più
probabile, dando una prima quantificazione nei
casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta
di eventi ugualmente probabili.
EVENTI ALEATORI
Nell’ambito della teoria della probabilità l’esito di una
qualsiasi esperienza viene detto evento.
Un evento si dice aleatorio o casuale per un soggetto
umano, se questi non è nelle condizioni di esprimere un
giudizio certo sul suo verificarsi o meno: ad attribuire
aleatorietà ad un evento sono perciò il grado e la
qualità delle informazioni che un soggetto ha circa
quell’evento.
ESEMPIO
Nel gioco della tombola consideriamo l’evento:
«In questa estrazione esce un numero pari»
- Se sappiamo che sono già stati estratti tutti i
numeri dispari, l’evento è certo.
- Se invece sono già stati estratti tutti i numeri
pari, l’evento è impossibile.
- Se invece nell’urna permangono numeri pari e
dispari l’evento è aleatorio.
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità classica
Dato un fenomeno( es. lancio di un dado) si dice:
Esito: ogni risultato del fenomeno (es. esce 1, 2, 3, 4 ,5, 6)
Evento: un insieme di esiti( es: esce un numero pari)
Casi possibili: tutti i possibili esiti
Casi favorevoli: esiti che verificano l’evento in esame
Si dice probabilità classica di un evento E, e si indica con p(E), il
rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili
(supposti equiprobabili)
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑝 𝐸 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
Es.: E= esce un numero pari
𝑝 𝐸 =
3
6
Esempio 1
Se lanciamo due monete quali sono i possibili esiti?
Si potrebbe dire: due teste, due croci e una testa e una
croce; ma sono tutti equiprobabili?
No! Infatti la configurazione una testa e una croce si
presenta in due modi: croce-testa e testa-croce, mentre le
altre due in un solo modo.
Il modo corretto quindi di considerare gli esiti è:
testa-testa
testa-croce
croce-testa
croce-croce
Esempio2
Se lanciamo tre monete, quali sono le possibili configurazioni?
TTT
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
Ora consideriamo l’evento: E = escono esattamente due teste
Casi possibili: 8; casi favorevoli : 3
Ora si può calcolare la probabilità
3
𝑝 𝐸 =
8
I due esempi precedenti si riferiscono a fenomeni per i quali
possiamo conoscere in anticipo i possibili esiti e valutare che essi
siano equiprobabili.
Ma non tutti i fenomeni aleatori sono di questo tipo.
 Qual è la probabilità di prendere l’influenza quest’anno?
Le possibilità sono due:
-prendere l’influenza
-non prendere l’influenza
La probabilità di ammalarsi è allora del 50%? Sappiamo che non
è così; i due esiti, infatti, non sono equiprobabili.
Per valutare la probabilità dell’evento in questione non possiamo
utilizzare la concezione classica della probabilità
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità frequentista
Un atteggiamento tipico in situazioni di incertezza sull’esito
di un’esperienza è quello di riferirsi alla storia passata per
fare predizioni su quella futura. ( Esempio: le assicurazioni)
Questo tipo di impostazione conduce alla definizione di
probabilità a posteriori o frequentista:
Se si esegue un’esperienza un numero n di volte e si osserva
che un evento E si è presentato h volte su n, allora:
ℎ
𝑃 𝐸 =
𝑛
N.B.: la probabilità frequentista è uguale alla frequenza
relativa f .
Se lanciamo una moneta tante volte ci aspettiamo di
ottenere Testa circa nella metà dei tiri.
Se ottenessimo un risultato molto diverso ci verrebbe il
legittimo sospetto che la moneta sia truccata.
Noi pensiamo cioè che la valutazione di probabilità
corrispondente alla concezione classica corrisponda a
quello che in effetti accade in realtà.
Questo fatto è espresso dalla seguente legge.
♦ LEGGE EMPIRICA DEL CASO:
La frequenza relativa f di un evento casuale, di
probabilità p in senso classico, pur variando al
variare del numero N delle prove, effettuate tutte
nelle medesime condizioni, al crescere di N si
approssima, benché non in modo regolare, alla
probabilità p dell’evento.
La differenza |f–p| si approssima a zero (ma non in
modo regolare).
Ma non tutti i fenomeni casuali sono valutabili con gli strumenti
fin qui introdotti
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità soggettiva
Qual è la probabilità che la Juventus vinca la Coppa dei Campioni?
È evidente che a questo tipo di domanda non si può rispondere né con
la concezione classica, né con quella frequentista; eppure si fanno
scommesse, nelle quali, in qualche modo si fa una valutazione del
grado di possibilità dell’evento.
Parliamo in questo caso di probabilità soggettiva.
Considerato un evento aleatorio E, la probabilità P(E) che il soggetto
attribuisce all’evento E è un numero reale che esprime la disponibilità
del soggetto, supposto ragionevole, a versare la posta M, col patto di
ottenere la vincita V se l’evento E si verifica
𝑀
𝑃 𝐸 =
𝑉
Qualunque sia la concezione di probabilità che si
applica valgono le seguenti affermazioni
• La probabilità dell’evento certo è 1
• La probabilità dell’evento impossibile è 0
• La probabilità di un evento E è un numero
compreso tra 0 e 1: 0 ≤ 𝑝(𝐸) ≤ 1
Una conseguenza
Fenomeno: lancio di un dado
E= esce un multiplo di 3
• Quanto vale p(E)?
𝐸 = esce un numero non divisibile per 3
• Quanto vale p(𝐸 )?
Quale conclusione possiamo trarre?
Dato un evento E , si dice che 𝐸 è l’evento
complementare di E, o la negazione di E, se:
• E ed 𝐸 non hanno esiti in comune (𝐸 ∩ 𝐸 = ∅)
• l’unione di E ed 𝐸 copre l’insieme dei possibili
risultati (𝐸 ∪ 𝐸 = 𝑈, 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑈 è 𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑑𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑖𝑡𝑖)
′
Allora:
𝑝 𝐸 = 1 − 𝑝(𝐸)
Suggerimenti didattici
Si può ragionevolmente supporre che nel vissuto dei bambini sia
già presente qualche esperienza legata alla probabilità.
Può essere chiedere cosa la parola probabilità fa loro venire in
mente, così da rendersi conto da quali tipo di idee si parte.
È importante far emergere gli aspetti quantitativi della
probabilità, come suggerito nelle Indicazioni Nazionali
• ponendo domande
• presentando situazioni,
• facendo eseguire esperimenti
Esempio
Nelle urne A e B ci sono palline bianche e palline nere come le
puoi vedere (l’insegnante è bene che si procuri effettivamente
urne o sacchetti e palline bianche e nere ). Puoi estrarre ad occhi
chiusi una pallina e se è bianca vinci un premio. Preferisci
estrarre dall’urna A o dall’urna B? Oppure è indifferente? Sai dire
perché?
Si può poi far estrarre ad ogni bambino una pallina da ognuna
delle due urne e registrare i risultati, formulando le conclusioni
sotto forma di frazione:
«dall’urna A la pallina bianca è uscita 10 volte su 22, cioè
possiamo assegnare all’uscita della pallina bianca una possibilità
10
di 22»
Simili percorsi si possono poi fare con i dadi, con le monete, con
le carte…
Ma anche:
«se prendo un bambino a caso in questa classe che possibilità ho
che sia maschio?»
La vita quotidiana può dare molti spunti per
questo tipo di lavoro.
La probabilità è uno strumento per orientarsi in
modo ragionevole in situazioni di incertezza
L’obiettivo, per la scuola primaria, è quello di
aprire i bambini a questa possibilità
ESERCIZI
1)
a)
b)
c)
d)
e)
Lanciamo due dadi regolari con 6 facce
Quali sono tutti i possibili esiti?
Sia E l’evento «la somma delle facce è 7»; calcolare p(E)
Sia A l’evento «la somma delle facce è minore di 7»; calcolare p(A)
Enunciare 𝐴 e calcolare p(𝐴)
Calcolare la probabilità che almeno uno dei due dadi presenti la
faccia 6.
2)Si estrae uno dei 90 numeri della Tombola.
a) Determina l’evento E1 caratterizzato dalla proposizione «il numero
estratto è divisibile per 5» e calcolane la probabilità.
b) Determina l’evento E2 caratterizzato dalla proposizione «il numero
estratto è divisibile per 8» e calcolane la probabilità.
c) Verifica che risulta: p(E1∪E2) = p(E1)+p(E2)–p(E1∩E2).
3) In un’urna vi sono 5 palline bianche e 3 palline nere.
b) Si estrae una pallina a caso e si vede che è bianca. Si estrae
quindi una seconda pallina. Qual è la probabilità che
quest’ultima sia nera?
c) Si estrae una pallina a caso e si vede che è nera, poi la si
rimette nell’urna. Si estrae quindi una seconda pallina. Qual è la
probabilità che quest’ultima sia bianca?