Lezione 9 del 23.11.2016

DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
9° Lezione 2016
Traguardi
• Ricerca dati per ricavare informazioni e
costruisce rappresentazioni (tabelle e grafici).
Ricava informazioni anche da dati
rappresentati in tabelle e grafici
• Riconosce e quantifica, in casi semplici,
situazioni di incertezza.
Obiettivi classe terza
 Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi,
schemi e tabelle.
Obiettivi classe quinta
 Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative,
utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni,
formulare giudizi e prendere decisioni.
 Usare le nozioni di frequenza, di moda e di media aritmetica,
se adeguata alla tipologia dei dati a disposizione.
 In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e
cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una
prima quantificazione nei casi più semplici, oppure
riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili.
Probabilità
«Ti ho incontrato per caso!» «Il caso ha voluto
che….»
Quando accadono dei fatti si ha sempre
necessità di sapere perché sono accaduti, cosa li
ha provocati, ma numerose volte non ci si riesce;
allora entra in scena il caso: noi attribuiamo al
caso avvenimenti per i quali non riusciamo a
trovare spiegazioni soddisfacenti.
Si può dire quindi che la necessità di trattare certi
eventi come casuali dipende dalla nostra insufficienza
conoscitiva.
Un esempio classico è la meteorologia: misuriamo lo
stato iniziale dell’atmosfera con parametri come
temperatura, pressione, velocità del vento e tramite
queste misure facciamo previsioni, ma un minimo
scarto nella misura di uno dei parametri può provocare
una evoluzione completamente differente (Effetto
farfalla).
Dice il filosofo Augustin Cournot: «Il caso emerge
all’incrocio di due catene causali indipendenti di
eventi»
Esistono fenomeni veramente casuali? O il giudizio di
casualità è attribuibile solo alla nostra ignoranza?
Il moto browniano si può considerare un modello per la
descrizione dei fenomeni in cui sembra dominare
l’aleatorietà ‘pura’; di recente è stato usato anche
nell’ambito della matematica finanziaria per modellizzare
le variazioni dei prezzi.
Il calcolo delle probabilità si occupa di tutte le situazioni
in cui si presenta il caso, alla ricerca, se non di leggi,
quantomeno di regolarità, nel tentativo di ricavare
informazioni e indicazioni per orientarsi nel caos degli
eventi.
E’ bene però chiarire che il caso ricopre un campo molto
più vasto di quello che la nozione matematica di
probabilità può trattare.
EVENTI ALEATORI
Nell’ambito della teoria della probabilità l’esito di una
qualsiasi esperienza viene detto evento.
Un evento si dice aleatorio o casuale per un soggetto
umano, se questi non è nelle condizioni di esprimere un
giudizio certo sul suo verificarsi o meno: ad attribuire
aleatorietà ad un evento sono perciò il grado e la
qualità delle informazioni che un soggetto ha circa
quell’evento.
ESEMPIO
Nel gioco della tombola consideriamo l’evento:
«In questa estrazione esce un numero pari»
- Se sappiamo che sono già stati estratti tutti i
numeri dispari, l’evento è certo.
- Se invece sono già stati estratti tutti i numeri
pari, l’evento è impossibile.
- Se invece nell’urna permangono numeri pari e
dispari l’evento è aleatorio.
Come assegnare la probabilità ad un evento?
Si danno tre definizioni di probabilità, ognuna di
esse riferibile ad un certo tipo di eventi, definizioni
tra loro compatibili, ma ognuna con dei punti deboli.
La questione è talmente complessa che ha fatto dire
allo studioso di probabilità Bruno De Finetti : « La
probabilità non esiste!».
Il problema viene , in un certo senso, aggirato
attraverso una impostazione assiomatica, dovuta al
matematico Kolmogorov.
Rivediamo sinteticamente le tre definizioni
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità classica
Dato un fenomeno( es. lancio di un dado) si dice:
Esito: ogni risultato del fenomeno (es. esce 1, 2, 3, 4 ,5, 6)
Evento: un insieme di esiti( es: esce un numero pari)
Casi possibili: tutti i possibili esiti
Casi favorevoli: esiti che verificano l’evento in esame
Si dice probabilità classica di un evento E, e si indica con p(E), il
rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili
(supposti equiprobabili)
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑝 𝐸 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
Es.: E= esce un numero pari
𝑝 𝐸 =
3
6
Esempio 1
Se lanciamo due monete quali sono i possibili esiti?
Si potrebbe dire: due teste, due croci e una testa e una
croce; ma sono tutti equiprobabili?
No! Infatti la configurazione una testa e una croce si
presenta in due modi: croce-testa e testa-croce, mentre le
altre due in un solo modo.
Il modo corretto quindi di considerare gli esiti è:
testa-testa
testa-croce
croce-testa
croce-croce
Esempio2
Se lanciamo tre monete, quali sono le possibili configurazioni?
TTT
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
Ora consideriamo l’evento: E = escono esattamente due teste
Casi possibili: 8; casi favorevoli : 3
Ora si può calcolare la probabilità
3
𝑝 𝐸 =
8
I due esempi precedenti si riferiscono a
fenomeni per i quali possiamo conoscere in
anticipo i possibili esiti e valutare che essi siano
equiprobabili.
Qui è il punto debole della definizione classica:
è una definizione circolare , poiché nel definire
la probabilità usa il termine ‘equiprobabili’; si
sta cioè definendo la probabilità tramite la
probabilità.
Ma non tutti i fenomeni aleatori sono di questo tipo.
 Qual è la probabilità di prendere l’influenza
quest’anno?
Le possibilità sono due:
-prendere l’influenza
-non prendere l’influenza
La probabilità di ammalarsi è allora del 50%?
Sappiamo che non è così; i due esiti, infatti, non
sono equiprobabili.
Per valutare la probabilità dell’evento in questione
non possiamo utilizzare la concezione classica della
probabilità
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità frequentista
Un atteggiamento tipico in situazioni di incertezza sull’esito
di un’esperienza è quello di riferirsi alla storia passata per
fare predizioni su quella futura. ( Esempio: le assicurazioni)
Questo tipo di impostazione conduce alla definizione di
probabilità a posteriori o frequentista:
Se si esegue un’esperienza un numero n di volte e si osserva
che un evento E si è presentato h volte su n, allora:
ℎ
𝑃 𝐸 =
𝑛
N.B.: la probabilità frequentista è uguale alla frequenza
relativa f .
E’ facile constatare che questa definizione è
affidabile solo se il numero delle esperienze
effettuate è sufficientemente elevato.
Ma cosa vuol dire ‘sufficientemente elevato’ ?
Qui sta il punto debole di tale definizione.
C’è una relazione tra le due definizioni?
Se lanciamo una moneta tante volte ci aspettiamo di
ottenere Testa circa nella metà dei tiri.
Se ottenessimo un risultato molto diverso ci verrebbe il
legittimo sospetto che la moneta sia truccata.
Noi pensiamo cioè che la valutazione di probabilità
corrispondente alla concezione classica corrisponda a
quello che in effetti accade in realtà.
Questo fatto è espresso dalla seguente legge.
♦ LEGGE EMPIRICA DEL CASO:
La frequenza relativa f di un evento casuale, di
probabilità p in senso classico, pur variando al
variare del numero N delle prove, effettuate tutte
nelle medesime condizioni, al crescere di N si
approssima, benché non in modo regolare, alla
probabilità p dell’evento.
La differenza |f–p| si approssima a zero (ma non in
modo regolare).
Ma non tutti i fenomeni casuali sono valutabili con gli strumenti
fin qui introdotti
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità soggettiva (De Finetti)
Qual è la probabilità che la Juventus vinca la prossima partita di
campionato?
È evidente che a questo tipo di domanda non si può rispondere né con
la concezione classica, né con quella frequentista (perché?); eppure si
fanno scommesse, nelle quali, in qualche modo si fa una valutazione
del grado di possibilità dell’evento.
Parliamo in questo caso di probabilità soggettiva.
Considerato un evento aleatorio E, la probabilità P(E) che il soggetto
attribuisce all’evento E è un numero reale che esprime la disponibilità
del soggetto, supposto ragionevole, a versare la posta M, a fronte di
una vincita V se l’evento E si verifica
𝑀
𝑃 𝐸 =
𝑉
Qualunque sia la concezione di probabilità che si
applica valgono le seguenti affermazioni
• La probabilità dell’evento certo è 1
• La probabilità dell’evento impossibile è 0
• La probabilità di un evento E è un numero
compreso tra 0 e 1: 0 ≤ 𝑝(𝐸) ≤ 1
Una conseguenza
Fenomeno: lancio di un dado
E= esce un multiplo di 3
• Quanto vale p(E)?
𝐸 = esce un numero non divisibile per 3
• Quanto vale p(𝐸 )?
Quale conclusione possiamo trarre?
Dato un evento E , si dice che 𝐸 è l’evento
complementare di E, o la negazione di E, se:
• E ed 𝐸 non hanno esiti in comune (𝐸 ∩ 𝐸 = ∅)
• l’unione di E ed 𝐸 copre l’insieme dei possibili
risultati (𝐸 ∪ 𝐸 = 𝑈, 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑈 è 𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑑𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑖𝑡𝑖)
′
Allora:
𝑝 𝐸 = 1 − 𝑝(𝐸)
Quinta primaria
Quinta primaria
PROCESSO PREVALENTE
Acquisire progressivamente
forme tipiche del pensiero
matematico.
Indicazioni nazionali
L’alunno […] riconosce e quantifica, in casi
semplici, situazioni di incertezza. In
situazioni concrete, di una coppia di eventi
intuire e cominciare ad argomentare qual è il
più probabile, dando una prima
quantificazione nei casi più semplici
Quinta primaria
PROCESSO PREVALENTE
Acquisire progressivamente
forme tipiche del pensiero
matematico.
Indicazioni nazionali
In situazioni concrete, di una coppia di eventi
intuire e cominciare ad argomentare qual è il più
probabile, dando una prima quantificazione nei
casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta
di eventi ugualmente probabili
Quali conoscenze e competenze sono
richieste?
•
•
•
•
•
•
Competenza linguistica
Frazioni
Percentuali
Numeri decimali
Capacità di valutare
Semplici definizioni relative alla probabilità
Concetti chiave (1)
Evento:
un fenomeno accade ed ha vari possibili esiti; un
evento relativo a quel fenomeno è un sottoinsieme dei
possibili esiti.
Es.: ‘2 è un numero pari’ è una proposizione vera che
non esprime un evento
‘nel lancio di questo dado esce un numero diverso
da 7’ è una proposizione che esprime un evento
certo.
Concetti chiave (2)
Evento:
• certo: quando si è assolutamente sicuri che
accadrà
• impossibile: quando si è assolutamente sicuri
che non accadrà
• possibile: potrebbe accadere, ma non è sicuro
che accada
Concetti chiave (3)
• Esiti equiprobabili
• Casi favorevoli
• Casi possibili
Probabilità classica
• Prove effettuate
• Prove che hanno verificato
l’evento
Probabilità
frequentista
Suggerimenti didattici
Si può ragionevolmente supporre che nel vissuto dei bambini sia
già presente qualche esperienza legata alla probabilità.
Può essere opportuno chiedere cosa la parola probabilità fa loro
venire in mente, così da rendersi conto da quali tipo di idee si
parte.
È importante far emergere gli aspetti quantitativi della
probabilità, come suggerito nelle Indicazioni Nazionali
• ponendo domande
• presentando situazioni,
• facendo eseguire esperimenti
Esempio
Nelle urne A e B ci sono palline bianche e palline nere come le
puoi vedere (l’insegnante è bene che si procuri effettivamente
urne o sacchetti e palline bianche e nere ). Puoi estrarre ad occhi
chiusi una pallina e se è bianca vinci un premio. Preferisci
estrarre dall’urna A o dall’urna B? Oppure è indifferente? Sai dire
perché?
Si può poi far estrarre ad ogni bambino una pallina da ognuna
delle due urne e registrare i risultati, formulando le conclusioni
sotto forma di frazione:
«dall’urna A la pallina bianca è uscita 10 volte su 22, cioè
possiamo assegnare all’uscita della pallina bianca una possibilità
10
di 22»
Simili percorsi si possono poi fare con i dadi, con le monete, con
le carte…
Ma anche:
«se prendo un bambino a caso in questa classe che possibilità ho
che sia maschio?»
La vita quotidiana può dare molti spunti per
questo tipo di lavoro.
La probabilità è uno strumento per orientarsi in
modo ragionevole in situazioni di incertezza
L’obiettivo, per la scuola primaria, è quello di
aprire i bambini a questa possibilità
La statistica
La statistica si può definire come la disciplina che ha
come oggetto il trattamento dei dati empirici:
• osservazione e raccolta dati
• analisi della distribuzione delle frequenze di certe
caratteristiche
• costruzione di modelli per rappresentare le
tendenze rilevate
• confronto tra i modelli predisposti e le nuove
esperienze
al fine di fare corrette previsioni per l’andamento
futuro del fenomeno studiato
Definizione
Scienza che studia i fenomeni collettivi, sia
naturali che sociali, attraverso metodi
matematici, fondati soprattutto sulle
tecniche di campionamento e sul calcolo
delle probabilità, allo scopo di tracciare
modelli esplicativi e di formulare previsioni
• Statistica descrittiva: fase che
comprende la raccolta e l’analisi
dei dati osservati.
• Statistica inferenziale: fase che
mira a ricavare conclusioni e
previsioni circa il fenomeno
studiato.
Lo strumento matematico privilegiato nella
statistica è il calcolo delle probabilità ma la
natura delle due discipline è diversa:
• il calcolo delle probabilità nasce attorno
alla problematica del caso; può usare dati
statistici, ma come base per valutazioni
iniziali di probabilità, poi tutto si sviluppa
all’interno di un rigoroso sistema
assiomatico: il calcolo delle probabilità è
una disciplina prettamente matematica
• la statistica si basa sui dati, che devono
essere
raccolti correttamente per
garantirne la significatività; il calcolo
delle probabilità può servire per rendere
la scelta dei dati ben miscelata e
attendibile, oppure per fare un modello
matematico per analizzare i dati stessi. La
statistica è una disciplina prettamente
empirica, che si confronta con la
difficoltà di analizzare fenomeni reali.
Sai ched’è la statistica? È na’ cosa
che serve pe fà un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.
Ma pè me la statistica curiosa
è dove c’entra la percentuale,
pè via che, lì, la media è sempre eguale
puro co’ la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d’adesso
risurta che te tocca un pollo all’anno:
e, se nun entra nelle spese tue,
t’entra ne la statistica lo stesso
perch’è c’è un antro che ne magna due.
Trilussa
INDAGINI STATISTICHE
• Popolazione statistica: l’insieme degli elementi oggetto
di studio
• Unità statistica: ogni elemento della popolazione
statistica
• Variabile statistica ( o carattere statistico) : è ciascuno
degli aspetti di una unità statistica (es. colore dei
capelli, età….)
Una variabile statistica può essere:
- qualitativa: è espressa da una qualità, come sesso,
colore, tipo di scuola frequentata….
- quantitativa: è espressa da un numero, come peso, età,
reddito…..
Esempio
La tabella qui a fianco si riferisce
all’indagine svolta in una classe sui mesi di
nascita.
Popolazione statistica: gli studenti della
classe.
Unità statistica: ogni studente
Variabile statistica: mese di nascita
È una variabile qualitativa!
DEFINIZIONI
Frequenza assoluta: il numero di unità statistiche che assumono la stessa
modalità
Nell’esempio: la frequenza della modalità ‘febbraio ’ è 4
Frequenza relativa: il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di unità della
popolazione
Nell’esempio: la frequenza relativa della modalità ‘febbraio ’ è
4
28
TIPI DI GRAFICI
I dati raccolti in una indagine statistica si
possono efficacemente rappresentare con dei
grafici.
La scelta del tipo di grafico dipende dal carattere
statistico che si sta esaminando.
Facciamo degli esempi
ISTOGRAMMA
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
2
4
2
1
0
5
2
1
5
1
2
3
6
5
4
3
Serie1
2
1
0
Grafico a barre
Dicembre
Novembre
Ottobre
Settembre
Agosto
Luglio
Serie1
Giugno
Maggio
Aprile
Marzo
Febbraio
Gennaio
0
1
2
3
4
5
6
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
2
4
2
1
0
5
2
1
5
1
2
3
6
5
4
3
Ma in questo
caso non sono
adeguati né il
grafico a linee
né il grafico a
torta
Serie1
2
1
0
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Grafico a torta
Se però raggruppiamo i
dati della tabella
precedente in classi più
ampie, allora il grafico
a torta diventa una
rappresentazione
efficace.
I trimestre
II trimestre
III trimestre
IV trimestre
IV trimestre
21%
III trimestre
29%
8
6
8
6
I trimestre
29%
II trimestre
21%
Un utile esercizio:
costruire ‘a mano’ un grafico a torta
PROBLEMA
In una scuola con 200 alunni si è svolta
un’indagine sul numero dei componenti delle
rispettive famiglie; i risultati sono i seguenti: 40
nuclei familiari sono composti da 3 persone, 80
da 4 persone, 60 da 5 persone e il restante da 6
persone.
Rappresentare i dati con un grafico a torta
Costruiamo insieme il procedimento
a) Per comodità compiliamo la tabella
corrispondente al problema
Num. nuclei fam.
Num. componenti
40
3
80
4
60
5
20
6
b) Ora bisogna individuare l’angolo che
corrisponde ad ogni dato.
Possiamo procedere in modo intuitivo:
100 corrisponde a metà cerchio, cioè all’angolo di 180°, quindi
10 corrisponde a 18°.
Completiamo la tabella
Num. nuclei
fam.
Num.
componenti
Angolo al
centro
40
3
18 × 4 = 72
80
4
18 × 8 = 144
60
5
18 × 6 =108
20
6
18 × 2 = 36
Ora, mano al compasso e al goniometro e
costruiamo il nostro grafico
tre
quattro
cinque
sei
La tabulazione di una serie di dati statistici o la
loro rappresentazione grafica hanno il pregio di
descrivere in modo ordinato e comprensibile il
fenomeno sul quale s’indaga, ma qualche volta è
comodo, e spesso anche necessario, sintetizzare
con un solo dato l’andamento del fenomeno, a
condizione naturalmente che questo valore di
sintesi sia effettivamente idoneo a riassumere le
caratteristiche del collettivo che interessa
evidenziare.
Per esempio, se vogliamo avere un’idea dell’altezza
delle persone che compongono un collettivo (una
squadra di calcio, una città, una nazione, eccetera),
non è necessario conoscere le altezze delle singole
persone. È sufficiente sintetizzare le varie altezze
con un solo valore che riassuma l’altezza media
delle persone del collettivo.
I valori di sintesi di una serie di dati statistici sono
detti più propriamente indici di posizione o indici
statistici, ce n’è più d’uno. Rivediamo i più
importanti.
INDICI STATISTICI 1
L’indice statistico è un elemento di sintesi, non
certamente esauriente, dell’indagine
Moda: è la modalità a cui corrisponde la frequenza
maggiore
-La moda si può determinare sia con variabili qualitative che
con variabili quantitative.
-Una distribuzione di frequenze si dice unimodale, se
presenta una sola moda, altrimenti si dice plurimodale
La distribuzione del primo esempio è plurimodale, e le mode sono:
giugno e settembre
INDICI STATISTICI 2
(solo per caratteri quantitativi)
Supponiamo che la seguente lista rappresenti l’insieme dei voti presi dagli
studenti di una classe in matematica:
4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 10
(La popolazione statistica è costituita da 23 unità)
𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎 𝑑𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖
Media:𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎𝑡𝑖
Nell’esempio:
4+4+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+8+8+8+8+9+9+10
23
=
152
23
≈ 6,6
Mediana: in un insieme ordinato di numeri è l’elemento centrale se
i dati sono in numero dispari, la media aritmetica dei due termini
centrali se gli elementi sono in numero pari
Nell’esempio: la mediana è 6
Dati raggruppati
In generale i dati, essendo numerosi, vengono tabulati, come già
mostrato in precedenza.
Vediamo come individuare, in questo caso, gli indici di posizione,
lavorando sull’esempio precedente.
VOTO
N.B.: la frequenza
relativa si può
esprimere anche con
la percentuale
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
4
2
2/23
5
4
4/23
6
6
6/23
7
4
4/23
8
4
4/23
9
2
2/23
10
1
1/23
a) Per quanto riguarda la moda la tabella mostra
immediatamente la risposta: essa corrisponde al dato di
frequenza maggiore
b) Per quanto riguarda la media aritmetica, riprendiamo il
calcolo precedente:
4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10
=
23
=
4×2+5×4+6×6+7××4+8×4+9×2+10×1
23
2
4
6
4
4
=
2
1
=4 × 23 + 5 × 23 + 6 × 23 + 7 × 23 + 8 × 23 + 9 × 23 + 10 × 23 ≈ 6,6
La media così calcolata si chiama
media aritmetica ponderata
e si può calcolare utilizzando sia le frequenze assolute, che
quelle relative
Per il calcolo della mediana è utile costruire la
tabella delle frequenze cumulate:
VOTO
Frequenza
cumulata
assoluta
Frequenza
cumulata
relativa
4
2
2/23
≤5
6
6/23
≤6
12
12/23
≤7
16
16/23
≤8
20
20/23
≤9
22
22/23
≤10
23
1
La posizione del dato che corrisponde alla mediana è 12, che compare
nella terza classe, quindi la mediana è 6
Dati raggruppati in classi
Consideriamo il seguente esempio, relativo agli studenti delle classi quarte di un Istituto
superiore (le classi comprendono il valore minimo ma non il valore massimo):
Altezze (cm)
Num. studenti
150-160
22
160-170
45
170-180
73
180-190
19
190-200
5
Per quanto riguarda moda e mediana si procede come nei casi
precedenti; la media viene calcolata sui valori centrali delle classi
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =
155×22+165×45+175×73+185×19+195×5
=171,3
22+45+73+19+5
PROVE INVALSI
2016
Seconda primaria
Seconda primaria
Seconda primaria
Quinta primaria
Quinta primaria
Quinta primaria
Quinta primaria
Quinta primaria
Quali conoscenze e competenze sono
richieste?
•
•
•
•
•
•
•
Conoscere i vari tipi di grafici
Saper leggere un grafico e una tabella
Frazioni
Numeri decimali
Percentuali
Correlare i dati
Saper ricavare informazioni dai dati
Una proposta didattica:
reinventiamo la media aritmetica
(da ‘Fare matematica’)
Situazione: si presenta la settimana di lavoro di tre parrucchieri,
tabulando il numero di clienti a giorno
MARIO
GIORNO N.Clienti
Lunedi
chiuso
Martedi
15
Mercoledì
13
Giovedì
12
Venerdì
23
Sabato
27
GINO
GIORNO N.Clienti
Lunedi
17
Martedi
11
Mercoledì
13
Giovedì
16
Venerdì
20
Sabato
19
ANTONIO
GIORNO N.Clienti
Lunedi
23
Martedi
15
Mercoledì
13
Giovedì
12
Venerdì
16
Sabato
20
Domande
1) Quale parrucchiere ha lavorato di più la scorsa settimana?
2) Se ciascun parrucchiere avesse avuto ogni giorno lo stesso
numero di clienti, quanti ne avrebbe avuti?
Lo scopo del problema è far emergere le concezioni dei bambini
relativamente al confronto di quantità che non sono ottenute in
maniera omogenea.
L’analisi di altre situazioni può essere l’occasione di osservazioni
interessanti che possono aiutare al formarsi un ‘senso della
media’.
Nota Bene
È importante capire e aiutare a capire la funzione di ognuno dei
valori medi sopra descritti:
• la moda è sempre un valore dell’insieme dei dati e
rappresenta il valore (o i valori) più ricorrente
• la mediana M non sempre è un valore dell’insieme dei dati;
essa spezza a metà l’insieme: quindi prima di essa ci saranno
tutti valori minori o uguali a M, e dopo di essa tutti i valori
maggiori o uguali a M
• la media aritmetica non è in generale un valore dell’insieme
dei dati, ma certamente è tra i tre, quello meno ‘ambiguo’.
Vediamo un esempio estremo
ESEMPIO
La tabella riporta i risultati di un compito in classe
Voto
Moda = 5
Mediana =8
Media =6,4
Numero studenti
2
3
5
7
8
6
9
5
In realtà anche la media aritmetica non è
sufficiente
a
caratterizzare
una
distribuzione statistica.
Rimando, a tale proposito, a quanto è stato
sviluppato in Fondamenti di Matematica
ESERCIZIO
La seguente tabella riporta la distribuzione delle altezze degli
alunni di una classe.
a) Raggruppare i dati
b) Rappresentarli graficamente
c) Determinare media, moda e mediana