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Prof. G. Carucci
Le equazioni frazionarie
Strettamente collegato all'argomento delle frazioni algebriche è quello delle equazioni
frazionarie (o fratte). Un'equazione si dice frazionaria se l'incognita x compare al
denominatore.
Esempio
7
=3
x−2
è una equazione frazionaria
Dal momento che nelle equazioni frazionarie compare l'incognita al denominatore, bisogna
prima di tutto determinare quei valori che, assegnati all’incognita x , fanno perdere di
significato all’equazione e che pertanto non possono essere accettate come soluzioni
dell’equazione stessa.
Nell’esempio di sopra il valore 2 non può essere assegnato alla x (se lo facessi il
denominatore x − 2 diventerebbe 0 e non sarebbe possibile effettuare la divisione); pertanto
2 è una soluzione non accettabile per l’equazione e quindi è da scartare a priori, ancor prima
di risolvere l’equazione.
Quindi si procede a risolvere l’equazione, ricordando che questo significa determinare quel
valore (o quei valori) che, sostituito all'incognita rende l'equazione una uguaglianza vera. Per
risolvere un'equazione fratta si procede nel modo seguente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
si determinano i valori non accettabili (o da scartare) per l’incognita
si individua il minimo comune multiplo fra tutti i denominatori
si portano entrambi i termini dell'equazione a comun denominatore
si eliminano i denominatori
si risolve l'equazione intera
si verifica se la soluzione trovata è accettabile altrimenti l'equazione non ha soluzione
Esercizio svolto
7
=3
x−2
1. Abbiamo un unico denominatore, pertanto i valori non accettabili si determinano ponendo:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2 (il valore 2 è una soluzione da scartare per l’incognita)
2. Il minimo comune multiplo fra i denominatori coincide con l’unico denominatore x − 2
m.c.m. = x − 2
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3. Portiamo tutti i termini a comun denominatore x − 2 ed ottengo:
7
3( x − 2)
=
x−2
x−2
4. Eliminando i denominatori ottengo:
7 = 3( x − 2)
5. Ed eseguendo i calcoli:
7 = 3( x − 2) ⇒ 7 = 3 x − 6 ⇒ − 3 x = −7 − 6 ⇒ 3 x = 13 ⇒ x =
13
3
6. Verifica della soluzione:
La soluzione trovata, poiché diversa da quella scartata in precedenza, è una soluzione accettabile
per l’equazione frazionaria.
Esercizi
1.
3
= −1
x−4
9.
1 1
2
+ =−
x 6
3
2.
2
1
=
x+4 3
10.
x
2x −1
=
−1
x +1
x
3.
x +1
=0
x
11.
x +1
x
=
3x
3x + 1
12.
1
2x
−
=0
4− x x−4
4. 10 =
20
2x + 1
5.
4
8
− 2
=0
2x −1 4x −1
13.
3x
1
+
+x=0
x + 3 2( x + 3)
6.
16
=2
x+7
14.
x2
−2= x
x+4
7.
2
4
=
x + 3 5x
15.
1 + 3x 5 − x
−
=2
4x + 4 x + 1
16.
2
4
1
− 2
= 2
x − x x −1 x + x
8. −
12
2
+
=0
x −9 x−3
2
2
