Gara Nazionale
Simulazione del 20 Aprile 2011
1. Sia dato un triangolo
e si fissino i punti
sui lati opposti ai vertici
rispettivamente, in modo che le rette
abbiano un punto in
e sia l’area
comune. Sia il diametro del cerchio circoscritto al triangolo
del triangolo
. Si dimostri che
.
SOLUZIONE:
Indicando con l’area del triangolo
e con
le aree rispettivamente dei triangoli
si ha che (1)
. Siano
le lunghezze dei lati del triangolo; sapendo che il diametro
, la (1) diviene
del cerchio circoscritto è
(2)
=
)
Sappiamo che l’area di un triangolo è data dal semiprodotto delle
misure di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso, per cui
B
C
da cui
Sostituendo queste espressioni nella (2), facendo attenzione a far comparire lo stesso angolo in
ciascuna delle frazioni, si ottiene: (3)
)
Poiché
sostituendo nella (3) si ottiene: (4)
Osserviamo che sino ad ora non abbiamo sfruttato l’ipotesi che
hanno un punto in
comune, quindi la (4) può essere utilizzata per calcolare comunque siano fissati i punti
, ,
ciascuno su uno dei lati del triangolo. Per il teorema di Ceva, poiché le rette
hanno
un punto in comune, per questo motivo si dicono ceviane, si ha che
da cui segue
Sostituendo nella (4) si ha
2. In un torneo di pallacanestro squadre disputano un girone all’italiana (ogni
squadra incontra una e una sola volta ciascuna delle altre), ed ogni incontro si
conclude con la vittoria di una delle due squadre. Indicati rispettivamente con
e
il numero degli incontri vinti e persi dalla squadra (
si
dimostri che:
.
SOLUZIONE:
Se
è il numero di vittorie della squadra
e
è il numero di sconfitte, allora
rappresenta il numero di partite giocate da ciascuna squadra; inoltre è chiaro
che la somma di tutte le vittorie eguaglia la somma di tutte le sconfitte, cioè risulta:
ne segue:
=
+
=
+
e poiché
si ha la tesi.
3. Diremo che una retta interseca propriamente un cubo se passa per un punto
interno al cubo. Dato un cubo suddiviso in
cubetti uguali, come in figura, si
dica qual è il numero massimo di cubetti che una retta può intersecare
propriamente.
SOLUZIONE:
i cubetti che la retta
Supponiamo di orientare la retta lungo una direzione e chiamiamo
interseca propriamente, nell’ordine della direzione scelta. L’ingresso della retta in
così come la
sua uscita da
avviene attraverso una delle facce del cubo (eventualmente uno spigolo o un
vertice). Il passaggio dal cubetto al cubetto
avviene attraverso uno dei sei piani (due
per ogni direzione) paralleli alle facce del cubo e che lo intersecano internamente. Poiché la retta
può intersecare questi sei piani all’interno del cubo al massimo in sei punti distinti (a meno che non
giaccia in uno di essi, ma in questo caso non interseca propriamente nessun cubetto), il passaggio
della retta da un cubetto al successivo può avvenire al più 6 volte, dando un totale di al più 1+6 = 7
cubetti intersecati propriamente. D’altra parte, il numero 7 si può raggiungere nel modo seguente. Si
tali che: (1)
giacciano in cubetti diagonalmente
prenda una retta passante per due punti
opposti del cubo grande; (2) la retta per
non incontra nessuna delle rette che si ottengono
intersecando a due a due i 6 piani sopra descritti.
Osserviamo che la condizione (2) può effettivamente essere verificata in quanto, fissato l’insieme
dei punti che non la soddisfano sta nell’unione di un numero finito di piani (quelli contenenti e
una retta di intersezione tra due dei 6 piani citati). Con una retta che verifica (1) e (2) si avranno 6
intersezioni distinte all’interno del cubo con i 6 piani e quindi 6 passaggi “interni” tra e
4. Siano
tre numeri reali, positivi e inferiori a 1. Si dimostri che vale la
seguente diseguaglianza:
SOLUZIONE:
La disuguaglianza equivale alla seguente:
(1)
, che possiamo dimostrare geometricamente nel
seguente modo. Consideriamo nello spazio tridimensionale il cubo
All’interno di tale cubo consideriamo i 3 parallelepipedi:
,
,
che sono a
due a due disgiunti, hanno volumi rispettivamente uguali ai tre addendi del primo membro di
(1) e quindi la somma dei loro volumi non è superiore a 1.
nell’intervallo
Un altro modo per dimostrare la (1) è il seguente: fissiamo i numeri
e cerchiamo per quali valori di sempre in
, si ottiene il massimo dell’espressione del
primo membro della (1). Si nota subito che rispetto alla variabile
tale espressione
rappresenta l’equazione di una parabola e quindi il suo valore massimo si ha per
oppure
per
Consideriamo separatamente i due casi. Se
l’espressione vale
la quale, a sua volta, rappresenta una parabola nella variabile e il suo
massimo valore si ottiene per
Del tutto analogo è il caso
oppure per
In entrambi i casi il massimo non supera 1.
la disuguaglianza risulta pertanto dimostrata.
5. Siano a, b, c tre numeri reali distinti e sia P(x) un polinomio a coefficienti reali.
Sapendo che:
(1) P(x) diviso per (x - a) dà resto a;
(2) P(x) diviso per (x - b) dà resto b;
(3) P(x) diviso per (x - c) dà resto c,
determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di P(x) per
(x - a)(x - b)(x - c).
SOLUZIONE:
Le proprietà (1), (2) e (3) dicono che
.
Ponendo
+
, dove
è il polinomio cercato,
Inoltre
è un polinomio
si ha:
di grado al più uno in meno del divisore, quindi minore o uguale a 2, e si vede facilmente,
ad esempio risolvendo il sistema dato dalle tre condizioni
,
che
è l’unica soluzione.
6. Provare che, per ogni numero
multiplo intero di
si ha:
non è mai un
la
ne è la media
.
SOLUZIONE:
Osserviamo che data la successione naturale
geometrica, mentre
per
e che
ne è la media aritmetica, cioè
si ha
Difatti
quindi
da cui
Se
è dispari
esserlo
è intero ma non può essere multiplo di
=
dovrebbe essere
assurdo. Se
multiplo intero di
.
è pari
che non è intero perché per
e ciò comporterebbe, dato che
è decimale e non può essere un
