Le trasformazioni
di Lorentz
© NASA, STS-41B
1 TRASFORMAZIONI DI GALILEO
Il principio di relatività è stato enunciato per la prima volta da Galileo Galilei nel
libro Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo del 1632. Galileo afferma sostanzialmente che, eseguendo un qualunque esperimento di meccanica in un sistema
di riferimento inerziale, non è possibile capire se il riferimento è in moto oppure è
fermo. Il principio di relatività afferma dunque che:
••
••
il moto è relativo, perché si può dire che un sistema di riferimento è in movimento solo se cambia la sua posizione rispetto a un altro sistema di riferimento;
le leggi fisiche sono assolute, perché sono vere in qualunque sistema di riferimento inerziale, indipendentemente dal suo stato di quiete o di moto rettilineo
uniforme.
Il principio di relatività afferma dunque che, ripetendo uno stesso esperimento in
due distinti riferimenti inerziali, l’esperimento deve dare gli stessi risultati. Tuttavia,
per dimostrare matematicamente che una legge fisica rispetta il principio di relatività, occorre procedere in modo leggermente diverso anche se equivalente. Si immagina cioè che un qualunque esperimento fisico conforme alla legge in un certo sistema
di riferimento inerziale S, venga osservato contemporaneamente sia da S che da un
secondo sistema di riferimento inerziale S′ in moto rettilineo uniforme con velocità
V rispetto a S. Questo modo di procedere ha l’ulteriore vantaggio di garantire che
l’esperimento osservato dai due sistemi sia esattamente lo stesso, anche se la legge
oraria del moto dei corpi sarà diversa a causa del moto relativo tra i due riferimenti.
Un punto cruciale è la conoscenza del modo in cui i valori delle grandezze fisiche
si trasformano quando si passa da un sistema di riferimento inerziale all’altro. Ciò
riguarda in particolare le grandezze cinematiche tempo e posizione, da cui derivano
velocità e accelerazione.
1109
Le trasformazioni di Lorentz
Si usano a questo scopo le trasformazioni di Galileo:
x′ = x − Vt
t′ = t
y′ = y
z′ = z
Sulla base della definizione di velocità, si deduce la regola di composizione galileiana delle velocità che, nel caso di un moto parallelo all’asse x si esprime come:
v′ = v − V
o, equivalentemente:
v = v′ + V
Di conseguenza, l’accelerazione rimane invariata nel passare dal sistema di riferimento S al sistema di riferimento S′:
a′ = a
2 TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Le leggi della meccanica di Galileo Galilei e di Newton soddisfano il principio di
relatività se si ammette che siano valide le trasformazioni di Galileo. Tuttavia se tali
trasformazioni vengono applicate alle equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo,
il principio di relatività non è più rispettato. Le equazioni di Maxwell prevedono
infatti che la velocità di un’onda elettromagnetica nel vuoto abbia un certo valore c:
poiché l’onda elettromagnetica si propaga nel vuoto ciò significa che le si può attribuire solamente la velocità rispetto a un sistema di riferimento e non rispetto a un
mezzo materiale in cui essa si trasmette, come succede ad esempio per le onde meccaniche.
Se per la velocità dell’onda elettromagnetica valesse la regola di composizione
galileiana delle velocità, allora in un sistema S′ che si muove a velocità V lungo la
direzione x rispetto al sistema S in cui le onde hanno velocità c, la velocità risulterebbe c + V. Misurando la velocità di un’onda elettromagnetica nel vuoto sarebbe allora
possibile determinare la velocità assoluta di un sistema di riferimento inerziale. Poiché le equazioni di Maxwell sono state ampiamente verificate dagli esperimenti, si
deve concludere che le trasformazioni di Galileo sono sbagliate.
Sulla base della proprietà di contrazione delle lunghezze in movimento, si possono dedurre le trasformazioni di coordinate che sono in accordo con i postulati della
relatività ristretta. Facendo riferimento alla figura 1, per l’osservatore S il segmento
X′ è in movimento con velocità V per cui la sua lunghezza in movimento x − Vt risulta contratta rispetto alla lunghezza a riposo x′ o, equivalentemente, x′ risulta dilatato rispetto a x − Vt:
x – Vt
x′ = _________
_______
V 2
____
1 –
c 2
√
Figura 1
L’osservatore S vede il segmento X ‘
traslare con velocità V lungo la
direzione positiva dell’asse x.
x´
Vt
O
X´
O´
X´
P
x
1110
fig_01_trasformazioni
Le trasformazioni di Lorentz
Facendo invece riferimento alla figura 2, per l’osservatore S′ è il segmento X che si
muove a velocità V, per cui la sua lunghezza in movimento x′ − Vt′ risulta contratta
rispetto alla lunghezza a riposo x:
_______
√
V 2
____
x′ + Vt′ = x 1 –
c 2
Sostituendo x′ nelle seconda equazione si ottiene:
_______
√
x – Vt
V 2
_________
_______
+ Vt′ = x
1 –
____
c 2
V 2
____
1 –
c 2
√
Risolvendo rispetto a t′ si ricava infine:
x
V 2
x
V
x
_________
_________
_________
1 –
– _________ + t
t – _________
x
–
t
2
2
V(
V
c ) V
c 2
x
V _________
_________
____
_________
_________
_______
_______
_______
t′ = 1 –
–
=
=
V
c 2
V 2
V 2
V 2
____
____
____
1 –
1 –
1 –
c 2
c 2
c 2
_______
√
√
√
√
Figura 2
x´
V´t´
O
L’osservatore S' vede il segmento X
traslare con velocità V lungo la
direzione negativa dell’asse x'.
X
X
O´
P
x
Le coordinate y e z si trasformano invece come nelle trasformazioni di Galileo, dato
che per esse non si ha alcuna contrazione di lunghezza. Le trasformazioni così ottefig_02_trasformazioni
nute
si chiamano trasformazioni di Lorentz:
x – Vt
_______
x′ = _________
V 2
____
1 –
c 2
√
V
t – _________
x
c 2
_________
_______
t′ =
V 2
____
1 –
c 2
√
y′ = y
z′ = z
Quando V << c le trasformazioni di Lorentz si riducono a quelle di Galileo, perché
si può trascurare la contrazione delle lunghezze in movimento. Tuttavia, questa approssimazione è valida solo in una regione limitata dello spazio-tempo: se si osserva
l’equazione di trasformazione della coordinata temporale si vede che, affinché risulti t′ ≅ t, occorre che sia soddisfatta anche la condizione | ct / x | >> | V | / c.
Per simmetria, le trasformazioni di Lorentz inverse si ottengono da quelle dirette
scambiando t′, x′, y′, z′ con t, x, y, z e sostituendo V con –V.
Si può verificare che, se si considerano due eventi E1 e E2 le cui coordinate in S
sono (t1, x1, y1, z1) e (t2, x2, y2, z2), allora le variazioni ∆t = t2 – t1, ∆x = x2 – x1, ∆y = y2 – y1,
1111
Le trasformazioni di Lorentz
∆z = z2 – z1, delle loro coordinate si trasformano anch’esse secondo le trasformazioni di Lorentz:
∆x – V∆t
_______
∆x′ = _________
V 2
____
1 –
c 2
√
V
∆t – _________
∆x
2
c
_________
∆t′ = _______
V 2
____
1 –
c 2
√
∆y′ = ∆y
∆z′ = ∆z
A partire da queste ultime equazioni, si ricavano le formule della composizione relativistica delle velocità.
A causa della dilatazione dei tempi
e della conseguente contrazione delle lun______________________________________
ghezze, la distanza spaziale ∆l = √
( x2 – x1) 2 – (y2 – y1) 2 – (z2 – z1) 2 e quella temporale
∆t = t2 – t1 tra due eventi (t1, x1, y1, z1) e (t2, x2, y2, z2), risultano diverse quando si passa
da un sistema inerziale a un altro in moto rispetto ad esso. Esiste tuttavia un’opportuna combinazione di tali distanze che ha lo stesso valore in tutti i riferimenti inerziali, per cui ad essa si dà il nome di invariante relativistico. L’invariante relativistico
viene considerato come una specie di distanza o intervallo tra due eventi ed è definito come:
∆s2 = c2 ∆t 2 – ∆l 2 = c2 ∆t 2 – ∆x 2 – ∆y 2 – ∆z 2 = c 2 (t2 – t1)2 – (x2 – x1)2 – (y2 – y1)2 – (z2 – z1)2
Applicando le trasformazioni di Lorentz, si verifica che effettivamente esso si trasforma mantenendo invariato il suo valore:
∆s′2 = ∆s 2
Benché l’invariante relativistico compaia nella definizione come elevato al quadrato,
il suo valore può essere positivo, negativo, oppure nullo:
••
••
••
∆s 2 < 0: si dice che l’intervallo tra i due eventi è di tipo spazio; in questo caso la
distanza spaziale tra i due eventi è maggiore della distanza che la luce percorre
nel vuoto nel corrispondente intervallo di tempo, per cui tra i due eventi non può
esserci alcuna relazione di causa-effetto.
∆s 2 > 0: si dice che l’intervallo è di tipo tempo; tra i due eventi può esistere una
relazione di causa-effetto.
∆s 2 = 0: si dice che l’intervallo è di tipo luce; tra i due eventi può esserci una relazione di causa-effetto solo se è rappresentata da un segnale elettromagnetico che
viaggia nel vuoto dalla posizione spaziale del primo evento a quella del secondo.
Applicando le trasformazioni di Lorentz alle equazioni di Maxwell, queste ultime si
trasformano mantenendo la stessa espressione in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Le leggi di Newton invece perdono di significato perché risultano incompatibili con i postulati della relatività. Ad esempio, una forza costante applicata a un oggetto per un tempo sufficientemente lungo, nella meccanica newtoniana potrebbe
portare l’oggetto a possedere una velocità maggiore di quella della luce.
Le leggi della dinamica in relatività ristretta sono state perciò riformulate e assumono quindi una forma diversa rispetto a quelle di Newton. Questa modifica ha
però reso la legge di gravitazione universale scoperta da Newton incompatibile con
la relatività, perché la forza di gravitazione non si trasforma come dovrebbe quando
si passa da un sistema di riferimento inerziale ad un altro. Inoltre la forza di gravitazione è una forza a distanza, per cui varia istantaneamente quando i corpi interagenti si muovono modificando la loro distanza: questo è incompatibile con il fatto che
una qualunque causa non può produrre effetti che si trasmettono a una velocità
maggiore di quella della luce. Per questi motivi è stata sviluppata la teoria della relatività generale.
1112
ESERCIZI
Problemi
Le trasformazioni di Lorentz
1
Trasformazioni di Galileo
1 Considera gli eventi sull’asse x del sistema S aventi le seguenti coordinate: (18 s, 87 m), (12 s, –24 m), (–40 s, 66 m).
▪▪▪
4 le loro coordinate nel sistema S′ che si
muove a velocità 1,5 m/s rispetto a S.
▪▪▪
Le trasformazioni di Galileo esprimono x′ e t′ in funzione di x e t.
▶▶ Ricava
le trasformazioni inverse, cioè ricava x e t in
funzione di x′ e t′.
▶▶ Determina
2 ▪▪▪
Considera un evento che si verifica sull’asse x. Esso ha
coordinate (12 s, 44 m) in S e (12 s, 10 m) in S′.
▶▶ Determina
5 ▪▪▪
▶▶ A
che velocità deve traslare S′ affinché i due eventi si
verifichino nello stesso punto per S.
la velocità con cui si muove S′ rispetto
▶▶ Che
a S.
3 ▪▪▪
Il sistema S′ si muove a velocità 0,45 m/s rispetto al sistema S.
▶▶ Scrivi
Due eventi di coordinate (24 s, 12 m) e (35 s, 25 m) si
verificano sull’asse x′ del sistema S′.
6 ▪▪▪
coordinata x ha tale punto?
Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme nel sistema S con legge oraria x = x0 + vt.
▶▶ Determinare
le corrispondenti trasformazioni di Galileo per
la legge oraria nel sistema di riferimen-
to S′.
x e t.
▶▶ Come
diventano se nel momento in cui O coincide
con O′ l’orologio di O′ indica un tempo di 32 s anziché 0 s come invece indica l’orologio di O?
7
ESEMPIO
▪▪▪ Considera due eventi separati da un intervallo temporale ∆t = t2 – t1 e che avvengono in due punti dell’asse x la cui distanza è ∆x = x2 – x1.
▶▶ Utilizza
le trasformazioni di Galileo per determinare le espressioni di ∆x ′ = x ′2 – t1 e ∆t ′ = t ′2 – t1.
La soluzione
Occorre applicare le trasformazioni di Galileo ai due eventi:
x′1 = x1 – Vt 1 t′1 = t 1
x′2 = x2 – Vt 2 t′2 = t 2
per cui
∆x′ = x′2 – x′1 = x2 – Vt 2 – (x1 – Vt 1) = x2 – Vt 2 – x1 + Vt 1 = x2 – x1 – V(t2 – t 1) = ∆x – V ∆t
∆t′ = t′2 – t′1 = t 2 – t 1 = ∆t
8 ▪▪▪
Considera la definizione di velocità v = ∆x/∆t.
▶▶ Sulla
base della soluzione dell’esercizio precedente,
deduci la regola di composizione galileiana delle velocità.
9 ▪▪▪
Considera la definizione di accelerazione a = ∆v/∆t =
= (v2 – v1)/(t2 – t1) relativa a un moto che avviene parallelamente all’asse x.
▶▶ Considerando
la regola di composizione galileiana
delle velocità, determina come si trasforma l’accelerazione nel passare dal sistema S al sistema S′.
10
ESEMPIO
▪▪▪ Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme con legge oraria x = 0,0 m, y = (5,4 m/s)t, z = 0,0 m nel sistema S.
▶▶ Determina
▶▶ Individua
▶▶ Qual
la corrispondente legge oraria nel sistema S′ che trasla parallelamente all’asse x con velocità V = 1,8 m/s.
l’equazione della traiettoria nel piano x′y′ esprimendo y′ in funzione di x′.
è il modulo della velocità complessiva nel sistema S′?
La soluzione
▶▶ Applicando
le trasformazioni di Galileo si ottiene:
x′= x – Vt = – (1,8 m/s)t = – (1,8 m/s)t′
1113
ESERCIZI
Le trasformazioni di Lorentz
y′= y = (5,4 m/s)t = (5,4 m/s)t′
z′= z = 0,0 m
▶▶ L’equazione
della traiettoria si individua eliminando il tempo t′ dalle prime due equazioni:
x′
t′= – _
(1,8 m/s)
x′
= – (3,0 m/s)x′
y′= (5,4 m/s)t′= – (5,4 m/s) _
(1,8 m/s)
Si tratta di una retta con pendenza negativa.
→
moto complessivo è dato dalla composizione dei due moti lungo x′ e lungo y′. La velocità complessiva v
′ è perciò
→
→
uguale alla somma vettoriale della velocità v x′ e v y′ . Il suo modulo è dunque:
▶▶ Il
_________________
__
v=√
v 2x + v 2y
=√
(
1,8 m/s)2 + (5,4 m/s)2 = 5,7 m/s
11 ▪▪▪
Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme lungo
l’asse z con velocità v = 2,8 m/s. Il moto viene osservato
anche da un sistema S′ che si muove con velocità
V = 1,2 m/s lungo l’asse x.
16 ▪▪▪
▶▶ Determina
l’angolo che la velocità del corpo nel sistema S′ forma con l’asse x′.
12 ▪▪▪
Alla velocità di 1,5 m/s rispetto al sistema S, Achille
insegue una tartaruga che si muove a 0,30 m/s. Inizialmente, Achille si trova nell’origine O di S mentre la
tartaruga occupa la posizione x0 = 7,0 m. Supponi che il
sistema S′ si muova come la tartaruga.
▶▶ Determina
▶▶ Calcola
la velocità del nuotatore rispetto all’acqua
del torrente;
▶▶ e
17 ▪▪▪
la velocità v′ di Achille rispetto alla tar-
sono le coordinate in S′ dell’evento che si verifica quando Achille raggiunge la tartaruga?
▶▶ E
13 ▪▪▪
18 ▪▪▪
Su una strada (sistema S), un’automobile insegue alla
velocità di 95 km/h un furgone che viaggia a 70 km/h.
Una motocicletta si muove alla stessa velocità che ha
l’automobile rispetto al furgone. Nel determinare la velocità di un corpo rispetto a un altro corpo, considera il
secondo corpo come sistema S′.
quella dell’automobile rispetto alla motocicletta?
▶▶ E
infine, quella della motocicletta rispetto al furgone?
All’interno di un’astronave lunga 530 m e che si muove
parallelamente alla direzione x viene sparato un proiettile con velocità 130 km/h lungo la direzione x. Una seconda astronave sorpassa la prima impiegando 6,4 s.
▶▶ A
che velocità si muove il proiettile rispetto alla seconda astronave?
15 ▪▪▪
Per decollare, un certo aereo deve avere una velocità di
280 km/h rispetto all’aria.
▶▶ Che
velocità deve raggiungere l’aereo per decollare
contro un vento che viaggia a 80 km/h?
▶▶ E
1114
Un corpo si muove nel sistema S di moto rettilineo uniformemente accelerato con legge oraria
▶▶ Determinare
la legge oraria nel sistema di riferimento S′ che si muove con velocità V parallelamente
all’asse x.
19 ▪▪▪
la velocità dell’automobile rispetto al fur-
▶▶ E
se invece viaggia a favore di vento?
dura il viaggio di andata e ritorno in minuti?
1 2
at .
x = x 0 + x 0t + __
2
Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato nel sistema S con legge oraria x = (0,25 m/s2) t 2.
▶▶ Quanto
gone.
14 Una barca deve percorrere un tratto di 12 km verso la
foce di un fiume la cui velocità è di 1,3 m/s. La barca ha
una velocità di 3,5 m/s rispetto all’acqua.
le corrispondenti coordinate in S?
▶▶ Determina
▪▪▪
rispetto alla terra ferma.
▶▶ Quanto
taruga.
▶▶ Quali
Un nuotatore nuota in un torrente per 2,0 minuti controcorrente, poi inverte il suo moto e nuota per altri 2,0
minuti a favore di corrente. La velocità della corrente
nel torrente è 0,80 km/h. Lo spazio complessivo percorso dal nuotatore rispetto alla terra ferma è 126 m.
vale la sua accelerazione?
▶▶ Determinare
la legge oraria nel sistema di riferimento S′ che si muove con velocità 1,1 m/s parallelamente all’asse x.
▶▶ In
quale istante il corpo si viene a trovare nell’origine
O′ di S′?
20 ▪▪▪
In un certo istante t, gli estremi di un righello hanno
coordinate (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) nel sistema di riferimento S. La lunghezza del righello è quindi
_________________
x 2 – x1)2 + (y 2 – y1)2 + (z 2 – z1)2 .
L′ = √ (
▶▶ Verifica
che la lunghezza
_______________
2
2
2
L′ = √ (x′
2 – x′
1) + (y′
2 – y′
1) + (z′
2 – z′
1)
nel sistema S′ risulta nello stesso istante uguale a L.
ESERCIZI
2
21 ▪▪▪
Le trasformazioni di Lorentz
Trasformazioni di Lorentz
Un evento si verifica nella posizione x = 8,7 m all’istante t = 25 ns.
▶▶ Quali
sono le sue coordinate in un riferimento che si muove alla velocità 0,35c parallelamente alla direzione x?
22
ESEMPIO
▪▪▪ L’antenna di una sonda spaziale si trova nella posizione x = 0 cm ed emette due impulsi agli istanti 0,00 ns e 0,58 ns.
▶▶ Determina
le coordinate temporale e spaziale di questi due eventi nel sistema di riferimento di un’astronave che si
muove parallelamente a x con velocità 0,60 c.
La soluzione
Le coordinate dei due eventi rispetto alla sonda sono (t1 = 0,00 ns, x1 = 0 cm) e (t2 = 0,58 ns, x2 = 0 cm). Il primo evento
ha evidentemente coordinate uguali a zero anche rispetto all’astronave. Le coordinate del secondo evento rispetto
all’astronave sono invece
x2 – Vt2
0 m – 0,60 ∙ (3,00 ∙ 108 m/s)(0,58 ∙ 10–9 s)
_________
_______
= _________________________________
x′2 =
_ = –13 cm
2
V
√ 1 – 0,602
____
1 –
c 2
√
V
t2 – _________
x2
2
c
0,58 ∙ 10–9 s – 0 s
_________
_______
t′
=
= _________________________________
_ = 0,73 ns
2
2
V
1 – 0,602
√
____
1 –
c 2
√
23 ▪▪▪
Una particella che si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse x del sistema S passa dalla posizione
0 cm nell’istante 0,00 ns alla posizione 12 cm nell’istante 1,51 ns. Un’astronave S′ si muove parallelamente a x
a velocità 2,0 ∙ 108 m/s rispetto a S.
▶▶ Determina
26 ▪▪▪
▶▶ Calcola
le coordinate di tali due eventi in un riferimento che si muove a velocità 0,63c parallelamente
all’impulso luminoso.
le corrispondenti coordinate in S′.
▶▶ Calcolare
la velocità della particella in S e S′ sulla
base degli eventi indicati.
24 ▪▪▪
Al fine di sincronizzare un orologio distante 150 km, l’osservatore che si trova nell’origine del sistema fisso invia
all’istante t0 = 0 s un impulso luminoso verso l’orologio.
Un secondo sistema di riferimento si muove con velocità
0,79 c parallelamente alla direzione dell’impulso.
▶▶ Verifica
che anche nel secondo riferimento la velocità con cui l’impulso viaggia tra i due eventi è uguale
a c.
27 ▪▪▪
che velocità deve viaggiare parallelamente a x un
secondo riferimento al fine di osservare le due particelle emesse contemporaneamente, cioè con distanza
temporale ∆t′ = 0 (si ricordi che gli intervalli spaziale
e temporale soddisfano anch’essi alle trasformazioni
di Lorentz)?
le coordinate nel sistema fisso e in quello
mobile dell’evento di ricezione dell’impulso da parte
dell’orologio.
25 All’istante t = 0 un impulso luminoso viene inviato verso uno specchio che dista 375 m dall’origine del riferimento, dopo di che l’impulso viene riflesso verso l’origine. Un secondo riferimento che si muove a velocità
0,25c parallelamente alla direzione dell’impulso, osserva anch’esso il fenomeno.
28 ▪▪▪
che velocità deve viaggiare parallelamente a x un
secondo riferimento al fine di osservare i due eventi
avvenire nello stesso punto (si ricordi che gli intervalli spaziale e temporale soddisfano anch’essi alle
trasformazioni di Lorentz).
le coordinate, sia nel riferimento «fisso»
che in quello «mobile», dei due eventi di riflessione
dell’impulso da parte dello specchio e di ricezione
nell’origine dell’impulso riflesso.
▶▶ Qual
è la distanza temporale dei due eventi nel secondo riferimento?
▶▶ Determina,
▶▶ Calcola
di quanto differiscono in percentuale i due
intervalli così calcolati.
Due eventi avvengono a una distanza spaziale ∆x = 17 km
e a una distanza temporale ∆t = 95 μs l’uno dall’altro.
▶▶ A
▶▶ Calcola
in entrambi i riferimenti, l’intervallo ∆s2
tra i due eventi di emissione e ricezione dell’impulso
nell’origine del primo riferimento.
Due particelle vengono emesse a una distanza spaziale
∆x = 523 m e a una distanza temporale ∆t = 75 nm l’una
dall’altra.
▶▶ A
▶▶ Determina
▪▪▪
Un impulso luminoso emesso dall’origine di un riferimento «fisso» all’istante t = 0,0 s raggiunge dapprima
un’antenna distante 12 km e quindi una seconda antenna distante 83 km.
29 ▪▪▪
Due particelle si muovono di moto vario lungo l’asse x
mantenendo in ogni istante costante la loro distanza
∆x = 655 km.
1115
ESERCIZI
Le trasformazioni di Lorentz
▶▶ Qual
la stazione spaziale viene inviato verso l’astronave un
segnale radio.
▶▶ Se
▶▶ Determina
è la loro distanza ∆x′ in un riferimento che si
muove a velocità 0,230c parallelamente all’asse x?
le coordinate di tale evento nel sistema di
riferimento dell’astronave.
in un certo istante si misura nel sistema fisso la
distanza tra le posizioni delle due particelle, a che
distanza temporale sono visti questi due eventi nel
sistema mobile?
30 ▪▪▪
▶▶ Calcola
inoltre l’istante in cui l’impulso arriva nell’origine O′ del riferimento dell’astronave.
Un’astronave si allontana a 0,48c da una stazione spaziale. All’istante 45 s dall’origine O del riferimento del-
31
ESEMPIO
▪▪▪ Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme nel riferimento fisso con legge oraria x = x 0 + vt.
▶▶ Utilizzando
le trasformazione di Lorentz inverse, determina la legge oraria nel riferimento mobile.
La soluzione
Nell’istante t il corpo occupa la posizione x = x 0 + vt. Utilizzando le trasformazioni di Lorentz inverse
V
t′ + _________
x′
c 2
x′ + Vt′
_________
_________
_______
_______
x =
t =
V 2
V 2
____
____
1 –
1 –
c 2
c 2
√
√
la legge oraria diventa
V
t′ + _________
x′
c 2
x′ + Vt′
_________
_______
_______
= x 0 + v _________
2
2
V
V
1 –
____
1 –
____
c 2
c 2
√
√
Risolvendo rispetto a x′ si ottiene
_______
√
V 2 _
v – V
x′ = x0 1 –
____
+
t′
2
vV
c
____
1 – 2
c
in accordo con la contrazione delle lunghezze e con la composizione relativistica delle velocità.
32 ▪▪▪
La lunghezza di un’asta in movimento a velocità V si
determina come differenza ∆x = x2 – x1 delle coordinate
occupate dai suoi due estremi nello stesso istante
t1 = t2 = t.
▶▶ Applicando
le trasformazioni di Lorentz, mostra che
tale lunghezza è contratta rispetto alla lunghezza a
riposo ∆x′ = x′2 – x′1 dell’asta in un riferimento che si
muove quindi a velocità V anch’esso.
33 ▪▪▪
Un riferimento «mobile» si muove alla velocità di
43 ∙ 103 km/h << c rispetto a quello fisso. Un certo evento
si verifica nel riferimento «fisso» all’istante t = 87 s, quindi
dopo che le origini dei due riferimenti si sono incontrate,
mentre esso si verifica all’istante t′ = –t = –87 s nel riferimento mobile, perciò prima dell’incontro.
34 ▪▪▪
Un’astronave viaggia verso una stazione spaziale alla
velocità 0,35c. Essa deve inviare dall’origine del suo riferimento verso la stazione un impulso elettromagnetico che deve arrivare all’origine del riferimento della
stazione con un anticipo τ = –1,0 ore rispetto all’arrivo
dell’astronave.
che anticipo τ′ rispetto all’arrivo deve inviare
l’impulso l’astronave? (Calcolare dapprima tale tempo dal punto di vista della stazione spaziale e poi trasformarlo tramite la trasformazioni di Lorentz; considerare inoltre che in tale riferimento sia i tempi che
la posizione dell’astronave sono negativi dato che le
origini dei due riferimenti si incontreranno quando
l’astronave arriverà alla stazione).
▶▶ Con
▶▶ Calcola
la coordinata spaziale x di tale evento in entrambi i riferimenti.
Le soluzioni degli esercizi di questa sezione sono disponibili su http://online.scuola.zanichelli.it/cutnellproblemi/
1116
