Lunghezza di un segmento in movimento

Relatività
1. La relatività
dello spazio e del tempo (2)
1.6 La dilatazione dei tempi

La durata di qualunque fenomeno risulta minima se è misurata nel
sistema di riferimento S solidale con esso, cioè nel sistema in cui il
fenomeno inizia e finisce nello stesso punto. In tutti i sistemi di
riferimento in moto rispetto a S la durata del fenomeno è maggiore
t ' 


1
v
1  
c
2
t   t  t
Δt = tempo proprio del fenomeno = durata del
fenomeno in un sistema di riferimento solidale con
esso.
Andamento di γ in funzione di v.
1.7 La contrazione delle lunghezze

Lunghezza di un segmento in movimento rispetto all’osservatore:
è la differenza tra le posizioni dei suoi estremi misurate nello stesso
istante di tempo rispetto agli orologi di quel sistema.
t
x
v2
x'  v t '  v 
 1  2 x  x


c

La lunghezza di un segmento in un sistema di riferimento in cui esso
è in movimento risulta quindi minore della lunghezza propria del
segmento, cioè della lunghezza misurata nel sistema di riferimento in
cui essa è in quiete.
1.7 La contrazione delle lunghezze

Anche lo spazio assoluto della meccanica classica non esiste:
lo stesso oggetto ha lunghezze diverse in sistemi di riferimento in moto
relativo tra loro.

Esempio.
Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze per le particelle
subatomiche (muoni)

Osservazione.
Tutti i segmenti perpendicolari alla velocità dell’osservatore risultano
della stessa lunghezza per gli osservatori solidali con i due sistemi
1.9 Le trasformazioni di Lorentz
Lorentz le aveva ricavate come le trasformazioni sotto le quali le
equazioni dell’elettromagnetismo rimangono invarianti nel passare
da un sistema di riferimento a un altro in moto relativo.
 Dati due sistemi di riferimento inerziali S e S’, con S’ che si
muove con velocità costante v rispetto a S e come asse delle
ascisse quella del vettore v
x  vt

x
'

   x  vt ;

2
v

1 2
c


y '  y; z '  z

vx

t 2
t ' 
c    t   x 

c 

v2

1 2
c

 Queste leggi di trasformazione prevedono sia la dilatazione delle
durate che la contrazione delle lunghezze.

1.9 Le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz sono una generalizzazione di
quelle di Galileo: se la velocità v è molto piccola rispetto a c, le
quantità v2/c2 e v/c2 possono essere trascurate.
Le
previsioni della relatività ristretta
sono indistinguibili da quelle della
meccanica classica quando le velocità in
gioco sono molto più piccole di c.
Meccanica classica:
moto di un sasso che cade, di una petroliera
in navigazione, di un pianeta intorno al Sole.
Relatività: acceleratori di particelle