Strutture algebriche e trasformazioni geometriche
Un esempio di percorso didattico
Giorgio Ravagnan
analisi delle isometrie del piano e delle loro proprietà di base tramite costruzioni grafiche
analisi di ulteriori proprietà:
da costruzioni e verifiche grafiche
a dimostrazioni teoriche
studio del gruppo delle isometrie e risoluzione di equazioni all’interno di esso
gruppi ciclici e gruppi diedrici
analisi dei gruppi possibili di trasformazioni con cui iterare un elemento figurativo modulare nel
piano (studio di fregi lineari, di rosoni, di reticoli piani)
Analisi delle isometrie e delle loro proprietà di base tramite costruzioni grafiche
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traslazione
rotazione
simmetria assiale
simmetria centrale
glissosimmetria
disegno con riga, squadra e compasso
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verifiche su costruzioni grafiche
casi particolari diversi a seconda delle figure scelte come elementi di partenza delle
costruzioni
disegno al calcolatore (Cabri)
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richiama una “filosofia costruttivista”
costruire ma anche manipolare
evidenziare o scoprire relazioni
Traslazione
La traslazione è una trasformazione del piano che associa a un dato punto del piano un punto
corrispondente in una data direzione, in un dato verso e a una data distanza (modulo)
La traslazione è una isometria, cioè conserva le distanze fra punti corrispondenti e le misure fra
angoli corrispondenti
Esercizio Dati 3 punti non allineati A,B, C (un triangolo) costruire A’, B’, C’ tramite una
traslazione T di modulo 15 cm e direzione e verso a piacere. Verificare che AB = A’B’,…., Â =
Â,...
Esercizio Realizzare a partire da un triangolo iniziale due traslazioni successive (prodotto di
traslazioni). Quale trasformazione porta il primo triangolo sul terzo?
Esercizio Se inverto l’ordine di successione delle due trasformazioni precedenti, ottengo lo stesso
triangolo finale?
Esercizio L’identità può essere pensata come una traslazione?
Esercizio Data una traslazione esiste una trasformazione che riporta i punti finali nei punti iniziali?
Proprietà
1. t1 * t2 = t3
2. (t1 t2) * t3 = t1 * (t2 * t3)
chiusura
associativa
3. t * i = t
neutro
4. t * t-1 = i
inverso
5. t1* t2 = t2 * t1
commutativa
Rotazione
La rotazione è una trasformazione del piano che associa ad un dato punto del piano un punto
corrispondente che si trova ruotando attorno ad un centro, in un dato verso e di un dato angolo
Esercizio Verificare in una rotazione di un triangolo se la rotazione è una isometria
Esercizio Realizzare un prodotto di rotazioni attorno a due centri diversi sempre a partire da un
triangolo iniziale. Scegliere le rotazioni una volta con due angoli la cui somma non sia un angolo
giro e una seconda volta la cui somma sia un angolo giro. Qual è la trasformazione prodotto?
Esercizio Analizzare se il prodotto di rotazioni è commutativo
Esercizio L’identità può essere una rotazione?
Esercizio Qual è l’inversa di una rotazione?
Proprietà
non c’è chiusura
1. r1 * r2 = t
r1 * r2 = r3
2. (r1 r2) * r3 = r1 * (r2 * r3)
associativa
3. r * i = r
neutro
4. r * r-1 = i
inverso
5. r1* r2 r2 * r1
non commutativa
Simmetria assiale
Definizione …..
……..
Esercizio L’identità può essere una simmetria assiale?
Esercizio Realizzare il prodotto di due simmetrie assiali ad assi paralleli. Qual è il risultato?
Esercizio Il prodotto precedente è un prodotto commutativo?
Esercizio Realizzare il prodotto di due simmetrie assiali ad assi incidenti. Qual è il risultato?
………..
Proprietà
non c’è chiusura
1. s1 * s2 = t
s 1 * s2 = r
2. i s
3. s * s = i
non c’è simmetria
neutra
cioè s2 = i
4. s1* s2 s2 * s1
s involutoria
non commutativa
(solo se s1 s2)
Simmetria centrale
Definizione ….
…..
Esercizio La simmetria centrale si può pensare come prodotto di simmetrie assiali?
Esercizio Che cos’è il prodotto di due simmetrie centrali di centri diversi?
Risposta Prodotto di due rotazioni di un angolo piatto attorno a centri diversi traslazione!
Proprietà
1. O * O’ = t
non c’è chiusura
2. i O
non c’è simmetria
neutra
3. O * O = i cioè O2 = i
O involutoria
4. O * O’ O’ * 0
non commutativa
Glissosimmetria
Definizione ……
…….
Esercizio E’ importante l’ordine dei fattori che definisce la glissosimmetria?
Esercizio La glissosimmetria ricorda, ma in modo impreciso, la “mossa a L” del cavallo negli
scacchi. Perché in modo impreciso?
……..
Proprietà
non c’è chiusura
1. g2 = t
2. i g
3.g * g-1 = i
non c’è glissosimmetria
neutra
inverso
Isometrie dirette e inverse
Definizioni ……..
…..
Esercizio Il prodotto di una simmetria assiale per una glissosimmetria è una isometria diretta o
inversa?
Esercizio Quando un prodotto di due o più simmetrie assiali è una isometria diretta o inversa?
Figure unite
Esercizi di ricerca di punti uniti, rette unite, circonferenze unite (in rotazioni), quadrilateri
Esercizio Esistono delle particolari isometrie oltre all’identità in cui è unito un esagono regolare?
Nota
Esercizi di riflessione (possibili manipolazioni in Cabri)
Le simmetrie assiali come trasformazioni base per ottenere le altre isometrie come prodotto di
sole simmetrie assiali
Esercizio Una traslazione qualsiasi può essere pensata come un prodotto di simmetrie assiali?
Esercizio Una rotazione qualsiasi può essere pensata come un prodotto di simmetrie assiali?
Nota C’è possibilità di scelta per l’asse della prima simmetria occasione di manipolazione in
Cabri
Osservazione Molte risposte non sono dimostrazioni ma proposte di verifiche grafiche di proprietà
su casi particolari diversi a seconda delle figure di partenza o delle eventuali manipolazioni
Verso le dimostrazioni….
….. e verso le equazioni e i fregi lineari
Esercizio Che cos’è il prodotto t* s1 * s2 dove t è una traslazione qualsiasi, s1 e s2 sono due
simmetrie ad assi paralleli?
…..
Analisi di proprietà Il prodotto di una traslazione e di una rotazione è una rotazione
Verifica
t può essere a*b e r può essere b*c
allora t * r = a * b * b * c = a * i * c = a * c = r1 dove r1 è una rotazione perché a e c sono incidenti
Il gruppo delle isometrie
(…le dimostrazioni)
P1
Se esiste una isometria con un punto unito A, questo si deve trovare sull’asse del
segmento di una qualsiasi coppia di punti corrispondenti
DIM.
Sia s una qualsiasi isometria.
s ha un punto unito A e non è l’identità
trasforma almeno un punto P in un punto P’ diverso da P.
trasforma il segmento PA in P’A e sarà PA=P’A
triangolo PAP’ isoscele
altezza anche mediana
AH asse di PP’
P1P2
P2
Non esiste una isometria, non identica, che possegga tre punti uniti non allineati
P3
Se due isometrie a e b trasformano entrambe 3 punti A, B, C non allineati nei
medesimi punti corrispondenti A’, B’, C’ allora le due isometrie sono uguali
Ip
A, B, C non allineati, P punto qualsiasi
a: AA’, BB’, CC’, PP’
b: AA’, BB’, CC’, PP”
Dim sia c: A’A’, B’B’, C’C’, P’P”
a*c = b
c ha 3 punti uniti non allineati
P2
c = i a*i = b a = b
1. Da proprietà semplici a proprietà complesse
2. Catena di ragionamenti
3.costruzione di una teoria
Teorema fondamentale
Una qualunque isometria si può ottenere dal prodotto di un massimo di tre simmetrie assiali
Qualsiasi ragionamento o conto su isometrie si può fare servendosi di simmetrie assiali
Dim triang(A,B,O) triang(A’,B’,O’)
(secondo 1° criterio)
1° simm a: simmetria di asse OO’
a: O’O, A’A”, B’B”
2° simm b: simmetria di asse bisettrice di AÔA”
b: OO, A”A, B”B”’
3° simm c: simmetria di asse retta OA
c: OO, AA, B”’B
infatti OB=OB”’ e AB=AB”’ (segmenti corrisp.
tramite isometrie)
-1
a*b*c = s
Il suo inverso è s.
Se nei passaggi intermedi coincidono più punti bastano meno simmetrie assiali.
Le isometrie possibili del piano
prodotto di tre simmetrie assiali:
assi non del medesimo fascio glissosimmetria
assi del medesimo fascio
simmetria assiale
Risoluzione a * x = b
strutt. Gruppo G
(1 e 1 sola soluzione)
N.B. non l’esatto contesto storico di Galois ma il medesimo ambito
cond. suff.
a*x=b
-1
Inverso a
a-1 *(a * x) = a-1 * b
Associativa
(a-1 * a) * x = a-1 * b
def. Inverso + Neutro n
n * x = a-1 * b
def. Neutro
x = a-1 * b
Chiusura
x = a-1 * b = c G
cond. necess.
(dim. semplificata: ip addittiva Associativa)
s, l
s * x = l risolvibile
a * x = a risolvibile
Neutro n
a * x = n risolvibile
Inverso a-1
-1
a * x = b risolvibile
risolviamola:
-1
a *(a * x) = a * b,
(a * a-1) * x = a * b,
n * x = a * b,
x=a*b
c G : a * b = C (chiusura)
Il gruppo delle isometrie
(non commutativo)
nuova operatività:…le equazioni
Esercizio L’insieme I delle isometrie è un gruppo?
Esercizio Esistono sottogruppi?
Esercizio Risolvere a * x = b con a, b simmetrie assiali ad assi paralleli (oppure incidenti)
Esercizio Risolvere r * x = a con r rotazione e a simmetria assiale con asse a passante per il centro
di r
r*x=a
r-1 * (r * x) = r-1 * a
(r-1 * r) * x = r-1 * a
i * x = r-1 * a
-1
x=r *a
x=b
b simm. ass. con asse b passante per centro di r . Infatti
r-1 = c * d
c, d, a medesimo fascio proprio
x=c*d*a=b
Nota
Sintassi di gruppo
Semantica del gruppo I
calcoli
Le rotazioni a scatti attorno ad un punto fisso
(…un’occasione per le astrazioni)
I numeri dell’orologio
classi resto mod. n
tavole pitagoriche per Z5 e per Z6
analisi proprietà
campo o anello non integro
risoluzione di equazioni
analogie e differenze con Z e Q
Zn = Z/nZ
struttura di passaggio al quoziente
astrazione per specificazione
non per generalizzazione
costruzione in un insieme E di una partizione correlata ad una relazione di equivalenza
“lettura” di E a partire da una certa “angolatura” catalogando tutto e in forma non ambigua
partizione pensata come un nuovo insieme con elementi le classi di equivalenza nuovi
concetti
(direzione, lunghezza,..)
diversa operatività tra contesto “astratto” e contesto “concreto” di partenza
Infatti
Z/nZ è una struttura diversa da Z:
insieme finito di numeri
ordinamento circolare
non vale sempre legge annullamento prodotto
non è generalizzazione ma diversificazione
è una struttura specifica adatta ad operare in certi ambiti particolari (situazioni cicliche)
problematica operativa, riflessione sul contesto
analogia in fisica: il metodo sperimentale “di Galileo” è un’ as-trazione dal fenomeno
esperimento in casi particolari diverso dal fenomeno “reale”
scelgo “angolo” di “lettura” (circostanze fondamentali) e trascuro circostanze collaterali
ad esempio Principio di Inerzia
esperimento ideale del Dialogo con i piani inclinati
moto “astratto” di impossibile realizzazione “concreta”
eliminazione dell’attrito e uso inconscio del principio di conservazione dell’energia
il numero
(…un’altra astrazione)
analizzato nel Novecento anche nella sua genesi storica
come astrazione per specificazione
anche passaggio al quoziente
Frege (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884)
A = {insiemi finiti}
R: A1 e A2 equipotenti se corr. biuniv.(A1A2)
e equipotente a se stesso
R è equivalenza
[Ai] def. come numero degli elementi di Ai o di un insieme equipotente
def. A/R = N
problema
per evitare def. circolari bisogna definire quando un insieme è finito senza riferirsi ai
naturali
Dedekind (e Cantor) dal paradosso di Galileo
Infinito: possibile corrispondenza biun. con una parte propria
finito: non infinito (Dedekind 1887, Cantor 1883, premessa in Bolzano 1851)
cfr. A. Cantini, i fondamenti della matematica, Loescher
Gruppi ciclici
(G,+) Ciclico se generatore g : ng = a aG con opportuno n N
Z e Zn sono ciclici (1 è generatore)…..
Esercizio in Z6 esistono altri generatori oltre a 1?
Grafo di un gruppo ciclico
(punto)
numero
(freccia) “somma con uno”
(Z4 ,+):
classi resto Zn come strumento per “rotazioni a scatti” Rn di un poligono regolare attorno al centro
che mutano il poligono in sé
(R4 ,*):
(Zn ,+) isomorfo a (Rn ,*)
tavole pitagoriche e calcoli in Rn
Gruppi diedrici
(R3 ,*) è sottogruppo del gruppo (D3 ,*) delle isometrie che mutano in sé un triangolo equilatero
tavola pitagorica
*
i
R
R2
s1
s2
s3
i
i
R
R2
s1
s2
s3
R
R
R2
R
s3
s1
s2
R2
R2
i
R
s2
s3
s1
s1
s1
s2
s3
i
R
R2
s2
s2
s3
s1
R2
i
R
s3
s3
s1
s2
R
R2
i
Esercizio dimostrare che (D3 ,*) non è ciclico
La coppia {R, s1} utilizzata come fattori possibili genera tutto il gruppo (diedrico)
Esercizio esistono altre coppie generatrici per D3?
Grafo del gruppo diedrico D3
(punto)
(freccia)
(arco)
isometria
“prodotto con R (1° gen)”
“prodotto con s1 (2° gen)”
Esercizio perché il verso delle rotazioni è diverso fra il piano inferiore e quello superiore?
….
I gruppi di simmetria del piano
Analisi degli elementi modulari nella progettazione artistica
Un elemento modulare si ripropone per
rotazioni in numero finito del tipo rn= r*r*…r (n volte) attorno a un punto fisso (rosone)
traslazioni all’infinito in linea retta del tipo tn= t*t*…t (n volte) (fregio)
traslazioni nel piano scomponibili in due componenti t1n= t1*t1*…t1 e t2n= t2*t2*…t2 secondo
direzioni diverse (reticolo)
Analisi dei gruppi
Possono esistere altre isometrie che trasformano l’ intera rappresentazione R (rosone, fregio,
reticolo) in sé
Isometrie interne: trasformano anche il modulo in sé o parte del modulo in parte del medesimo
modulo
Isometrie di passaggio: trasformano solo passando da un modulo al successivo
s1 è interna, s2 è di passaggio
tutte le isometrie, interne o di passaggio, formano un gruppo
…..gruppi al lavoro
i gruppi possibili vengono catalogati a seconda delle isometrie interne basta l’analisi del modulo
26 gruppi:
2 per i rosoni (Cn e Dn)
7 per i fregi
17 per i reticoli
Come catalogare
Rosoni:
Cn gruppo ciclico senza isometrie interne
Rosone C6
Dn gruppo diedrico con 1 o 2 simmetrie assiali interne,
… non di più per la chiusura
Rosone D4
Traslazioni o glissosimmetrie interne impossibili perché….non hanno punti uniti
Prima tabulazione attribuita a Leonardo da Vinci
Fregi:
Fregio 1 (solo t)
Fregio 2 (sL)
Fregio 3 (sT)
Fregio 4 (sL, sT, sC)
Fregio 5 (sC)
Fregio 6 (gl)
Fregio 7 (gl, sT, sC)
Analizziamo ad esempio
sC interna
F4
(combinazione di F1, F2, F3)
infatti
sL*sT=sT*sL= sCF per chiusura
i centri sono 1 o 2 a seconda che le sT interne siano 1 o 2
1 sC interna
1 sT interna sCi interna sCi+1 di passaggio
2 sC interne
2 sT interne ogni sCi interna
esercizi
Esercizio in F2 esistono isometrie di passaggio?
Esercizio è possibile la presenza contemporanea in un gruppo fregio F di una sola simmetria assiale
interna (ad es. sL) assieme a sC ?
Risposta
sC*sL F
sC*sL = (sL*sT)*sL = (sT*sL)*sL =sT*(sL*sL)=sT
sT F F = F4
Esercizio è possibile la presenza contemporanea in un gruppo fregio F solo di gl e s C come
isometrie interne?
………..
