il piano cartesiano - ITIS "E. Fermi"

GONIOMETRIA: FUNZIONI GONIOMETRICHE
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ANGOLI E LORO MISURA
Si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la
stessa origine.
Si chiama arco circolare la parte di circonferenza interna
A
all'angolo avente per estremi i punti di intersezione con i
r
O
lati dell'angolo.
Nel disegno a fianco è indicato con  l’angolo AÔ B e con

ℓ
r
B
ℓ l’arco AB.
In goniometria i sistemi di misura prevalentemente usati per misurare gli angoli sono:
- Il sistema sessagesimale: ha come unità di misura il grado, che è la novantesima parte di un
angolo retto. Il cerchio risulta diviso in 360 gradi (360°).
- Il sistema radiale: ha come unità di misura il radiante. Ricordiamo che gli angoli al centro di
una circonferenza sono direttamente proporzionali
agli archi che essi sottendono. Questa
proprietà permette di misurare un angolo al centro in funzione dell’arco che esso sottende:
considerando la figura precedente si ha che  rad 

.
r
Il vantaggio dell’uso di questo sistema di misura è che, a differenza di quello sessagesimale, le
misure sono numeri reali e quindi si possono rappresentare su una retta orientata.
Poiché l’angolo giro (360°) sottende l’intera circonferenza che ha lunghezza 2r, si ha che
360° espresso in radianti è
2r
 2 .
r
Da questa relazione si ricavano tutti i valori degli angoli in radianti: 180° è la metà dell’angolo
giro quindi misura , l’angolo retto è la quarta parte del giro quindi misura /2…..
Nella tabella si riporta la corrispondenza tra la misura in gradi e quella in radianti degli angoli
principali:
 (gradi)
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
 (radianti)
0

6

4

3

2

3

2
2
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A cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti
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Per passare da un sistema di misura all’altro si usa la proporzione  gradi :  rad  180 :  da cui
si deduce che  gradi 
180
 rad

e
 rad 

 gradi .
180
Osservazione:
In realtà per passare da radianti a gradi è molto più semplice sostituire 180° a  e calcolare il
risultato:
5
5
   180  150
6
6
FUNZIONI GONIOMETRICHE
La circonferenza goniometrica è una circonferenza avente il centro coincidente con l’origine di
un sistema di assi cartesiani ortogonali e il raggio uguale a 1: x2 + y2 = 1.
Una circonferenza si dice orientata quando su di essa è fissato un verso di percorrenza.
Per la misura degli angoli si assumono come origine il semiasse positivo delle x (quindi il punto
A in figura) e per verso quello antiorario.
SENO E COSENO DI UN ANGOLO
L’arco AB in figura misura
B(0;1)
P

C(-1;0)
O
l’arco AD misura

, l’arco AC misura  e
2
3
.
2
Per quanto riguarda l’arco AA, esso misura 0 o 2 (un
H A(1;0)
giro).
Preso un punto P sulla circonferenza, sia  la misura
D(0;-1)
dell’arco AP: l’ascissa e l’ordinata di P sono funzioni
dell’angolo  , cioè ad ogni valore di  corrisponde
un determinato valore sia per l’ordinata che per
l’ascissa del punto.
Si definisce seno di un arco sulla circonferenza goniometrica, l’ordinata dell’estremo dell’arco:
sin  = PH.
Si definisce coseno di un arco sulla circonferenza goniometrica, l’ascissa dell’estremo dell’arco:
cos  = OH.
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Il punto P ha quindi coordinate P(cos  ; sin  ). Applicando il teorema di Pitagora al triangolo
OAP, o anche considerando che P appartiene alla circonferenza goniometrica e quindi le sue
coordinate ne verificano l’equazione x2 + y2 = 1, si arriva alla relazione fondamentale della
goniometria :
cos2  + sin2  = 1
Vediamo le caratteristiche delle funzioni cose sin:

Il seno assume i valori: 0 a 0°, 1 a 90°, 0 a 180°, -1 a 270° e 0 a 360°. I valori del coseno
sono 1 a 0°, 0 a 90°, -1 a 180°, 0 a 270° e 1 a 360°. Sono quindi entrambe funzioni limitate
tra – 1 e 1: 1  cos   1 e 1  sin   1

Il seno cresce nel I e nel IV quadrante, decresce nel II e nel III: infatti nel I quadrante passa
da 0 a 1, nel IV da –1 a 0, nel II da 1 a 0, nel III da 0 a –1. Il coseno cresce nel III e nel IV
quadrante, decresce nel I e nel I: infatti nel I quadrante passa da 1 a 0, nel II da 0 a –1, nel III
da –1a 0, nel IV da 0 a 1.

Il seno e il coseno di un angolo di ampiezza 420° sono uguali al seno e al coseno di un
angolo di ampiezza 60°: in generale l’angolo di ampiezza  e l’angolo di ampiezza +2
assumono gli stessi valori di seno e coseno. Le funzioni seno e coseno sono quindi
periodiche di periodo 2: cos(+2) = cos e sin(+2) = sin.
TANGENTE E COTANGENTE DI UN ANGOLO
Tracciamo ora la retta tangente alla circonferenza nel
B(0;1)
P T
punto A (la retta di equazione x=1) e prolunghiamo
il raggio OP dalla parte della retta.

Sia T il punto di intersezione delle due rette:
si definisce tangente dell’angolo  l’ordinata del
C(-1;0)
O
H A(1;0)
punto T.
Si ha quindi T(1;tan) o anche tan= AT.
D(0;-1)
Dal Teorema di Talete si deduce che AT:PH=OA:OH:
sostituendo ai segmenti le funzioni goniometriche che rappresentano si ha tan : sin = 1: cos
da cui tan  
sin 
.
cos 
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Tracciamo ora la retta tangente alla circonferenza nel
punto B (la retta di equazione y=1) e prolunghiamo
B(0;1)
PQ
il raggio OP dalla parte della retta.
K

Sia Q il punto di intersezione delle due rette:
si definisce cotangente dell’angolo  l’ascissa del
C(-1;0)
O
H A(1;0)
punto Q.
Si ha quindi Q(cotan;1) o anche cotan= BQ.
D(0;-1)
Dal Teorema di Talete si deduce che BQ:PK=OB:OK:
sostituendo ai segmenti le funzioni goniometriche che rappresentano si ha cotan:cos=1: sin
da cui cot an  
cos 
.
sin 
La cotangente è quindi la funzione inversa della tangente.
Vediamo le caratteristiche delle funzioni tane cotan:

La tangente assume valore 0 a 0° e 180° mentre non è definita a 90° e 270°. Viceversa, la
cotangente assume valore 0 a 90° e 270°mentre non è definita a 0° e 180°. Sono quindi
entrambe funzioni illimitate.

La tangente cresce nel I e nel IV quadrante e decresce nel II e nel III quadrante. La
cotangente cresce nel III e nel IV quadrante e decresce nel I e nel II quadrante.

Non solo, come per il seno e il coseno, un angolo di
ampiezza 420° ha tangente e cotangente uguali a quelle
M
di un angolo di ampiezza 60°, ma gli stessi valori
vengono assunti nell’angolo di ampiezza 240°:
come si nota in figura, il prolungamento del raggio OL
sulla retta x=1 si sovrappone al raggio OM e quindi
il punto di intersezione sarà lo stesso.
L
Lo stesso ragionamento vale per la cotangente: in generale l’angolo di ampiezza  e
l’angolo di ampiezza + assumono gli stessi valori di tangente e cotangente. Le funzioni
tangente e cotangente sono quindi periodiche di periodo :
tan(+) = tan e cotan(+) = cotan.
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VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE
Dalle proprietà dei triangoli rettangoli si deducono i valori delle funzioni goniometriche in alcuni
angoli particolari. Tali valori sono riassunti nella seguente tabella:
Gradi
0°
Radianti
0
sen
0
cos
1
tg
0
ctg
non esiste
1
1
30°
45°
60°
90°
1
0
non esiste
0
180°
0
-1
0
0
non esiste
270°
-1
non esiste
0
360°
0
0
non esiste
1
Dalla tabella e dall’osservazione della figura a lato si possono
determinare i valori delle funzioni goniometriche anche in tutti
60°
120°
B
gli angoli che sono multipli di 30° e 45°.
Nella figura sono rappresentati gli angoli a 60°, 120°, 240° e
300°, quindi
5

2
4
,
,
 e .
3
3
3
3
Partendo da cos
 1

3
1 
 e sin 
si deduce che A  ;0  ,
3 2
3
2
2 

3 
 1 
B  0;
, C   ;0 
 2 
 2 


C
A
D
240°
300°
1 3


 ;
 e D  0; 3  : da ciò si ricavano i valori numerici di tutte le
2 2 

2 



funzioni goniometriche in
5

2
4
,
,
 e .
3
3
3
3
Per tutti gli altri angoli occorre utilizzare la calcolatrice scientifica.
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Esercizi
Completa la seguente tabella inserendo l’espressione mancante dell’angolo (gradi o radianti) e i
valori numerici che le funzioni goniometriche assumono:
Gradi
Radianti
sen
cos
tg
ctg
2

3
240°
5

3
150°
5

6
3

4
225°
315°
11

6
GRAFICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE
In un sistema cartesiano sia la variabile x il valore dell’angolo espresso in radianti e la y il valore
assunto dalla funzione goniometrica: riportando le informazioni sulle funzioni goniometriche,
tracciamo il grafico di y = cosx, y = sinx, y = tanx, y = cotanx.
y = cosx
Essendo la funzione periodica di
periodo
2
il
grafico,
rappresentato tra 
qui

3
 , si
e
2
2
ripete uguale su tutto l’asse dei
reali.
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y = sinx
7
Essendo la funzione periodica di
periodo
2
il
grafico,
qui
rappresentato tra e 2, si ripete
uguale su tutto l’asse dei reali.
y = tanx
Essendo la funzione periodica di
periodo

il
grafico,
rappresentato tra 
qui

e 2 , si
2
ripete uguale su tutto l’asse dei
reali.
y = cotanx
Essendo la funzione periodica di
periodo

il
grafico,
rappresentato tra 
qui

3
 , si
e
2
2
ripete uguale su tutto l’asse dei
reali.
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