scheda n.3

Scheda n.3
Lavoro individuale di matematica
classi 4C e 4D
QUALCHE INDICAZIONE PER IL LAVORO INDIVIDUALE
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Svolgi tutti gli esercizi proposti che sei capace di fare su fogli protocollo che dovrai consegnare
entro lunedì 28 febbraio.
Il ripasso della teoria non dovrebbe richiederti molto tempo (circa 30 minuti), i teoremi sui triangoli
rettangoli (tutti, anche quelli con tangente e cotangente!), il teorema della corda, la formula dell’area
di un triangolo, il teorema dei seni e quello di Carnot.
Prima di pensare alla soluzione di un problema è necessario fare un disegno accurato, riportando
tutti i dati e le informazioni che si possono facilmente dedurre dai dati.
Ricorda che all’interno di un triangolo gli angoli sono minori di 180°, quindi i seni sono sempre
positivi ( e ad ogni valore del seno corrispondono 2 angoli possibili, uno acuto, l’altro ottuso),
mentre il coseno può essere positivo o negativo.
Puoi usare la calcolatrice per calcolare i valori approssimati, ma se vuoi quelli esatti devi utilizzare
le formule goniometriche (addizione, sottrazione, bisezione, duplicazione, archi associati…)
I problemi di trigonometria possono essere di due tipi:
A) Risoluzione di triangoli o poligoni. In genere non è necessario fissare un’incognita, ma serve
conoscere i teoremi di trigonometria, le relazioni tra le funzioni goniometriche e le formule
goniometriche. In particolare ricorda che se di un triangolo sono noti tre elementi (almeno uno dei quali
è un lato) allora il triangolo si può risolvere.
B) Problemi nei quali è necessario fissare un’incognita (in genere su un angolo) e in cui si deve
risolvere un’equazione o una disequazione oppure tracciare un grafico
• Difficile precisare il tempo necessario allo svolgimento di questa
scheda, dipende molto dalla rapidità con cui riesci ad impostare il
problema, ciascuno però non dovrebbe richiederti più di 30- 40
minuti. Siamo alla fine del recupero individuale, buon lavoro.
Dopo la settimana di sospensione verifichiamo i tuoi progressi.
.
APPLICAZIONI
Risolvi i seguenti problemi, specifica se si tratta di problemi del tipo A) o del tipo B) ed indica per
ciascuno quali sono le conoscenze teoriche necessarie.
1) Nel triangolo ABC si ha: sin β =
3
24
, tan α =
e AB = 10 , determina:
5
7
a) la misura degli altri due lati.
b) Il raggio della circonferenza inscritta
c) Il raggio della circonferenza circoscritta
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Lavoro individuale di matematica
classi 4C e 4D
2) Traccia in una semicirconferenza di diametro AB = 2r la corda AC che forma con AB un angolo il
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cui coseno è . Condotta la tangente in C, indica con D il suo punto di intersezione con il
5
prolungamento del diametro e calcola AD .
3) E’ dato il segmento AB = 2l . Dal suo punto medio M conduci una semiretta in modo che formi con
MB un angolo acuto variabile di ampiezza x. Sia K la proiezione ortogonale di B sulla semiretta.
2
2
5
a) Risolvi la disequazione AK + KB < l 2 ;
2
2
b) Rappresenta la funzione f ( x) = AK + KB
2
2
2
c) Discuti, all’interno delle limitazioni geometriche lo equazione AK + KB = k
4) E’ dato il triangolo acutangolo ABC di cui si conosce la base AB= 10 , tg BAˆ C =2, tg ABˆ C =3.
a) Calcolare seno e coseno degli angoli  e B̂ e verificare che ACˆ B =45°.
b) Descrivere la semicirconferenza di diametro BC situata, rispetto alla retta BC, nel semipiano non
contenente A. Prendere su di essa un punto M e porre CBˆ M =x. Rappresentare la funzione:
2
y=2
MA + MB
BC
2
2
−
5
4
π
,
3
quello in B è tale che ABˆ D = 2 DBˆ C . Posto DBˆ C = x , determina l’espressione analitica della
AB BC
3
funzione f ( x) =
+
. Risolvi quindi la disequazione f ( x) <
2
AD DC
5) E’ dato il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di raggio r. L’angolo in A è di
6) Nel trapezio rettangolo convesso ABCD, di base AB = a , gli angoli al vertice A e D sono retti e
l’angolo ACˆ B formato dalla diagonale AC con il lato CB è di 30°. Determinare l’ampiezza
CD + 3 AD
> 2.
dell’angolo BAˆ C in modo che sia verificata la relazione:
AB
7) P è un punto variabile sulla circonferenza di raggio 2 e H la sua proiezione sul diametro AB.
a) Determina la funzione f ( x) = PH + HB al variare dell’angolo x = PAˆ H ;
b) trova per quali valori di x f ( x) ≤ 2 .
c) Determina per quale valore di x la funzione ha il massimo e quanto vale tale massimo.
8) Determina quanto deve valere x affinché nel triangolo ABC in figura risulti
)
π
BAC = .
3
C
a+2x
A
a
a-x
B
2