Capitolo 4 (ultimo aggiornamento 14/05/04)
4.1 Considerazioni sul trasporto della energia elettrica a
distanza ed importanza del trasformatore
Il trasformatore è una macchina elettrica statica, il cui funzionamento è fondato sul
principio dell’induzione elettromagnetica (legge di Faraday-Neumann):
d
d B n dS 4. 1
et
dt S
dt
Esistono trasformatori monofase e trifase. Il trasformatore monofase
è
schematizzabile con un dispositivo a due porte ( vedi figura 4.1), capace di assorbire
potenza da una porta (primario) e di restituirla pressochè integralmente all’altra
(secondario): il trasformatore è una macchina perfettamente reversibile.
Fig.4.1
V1
n;
V2
I2
n
I1
con
n
N1
N2
I trasformatori reali, sono caratterizzati da specifici valori di tensione, corrente,
potenza e frequenza, chiamati valori nominali. Sono i valori per i quali la macchina è
stata progettata.
L’importanza del trasformatore risiede nella sua capacità di elevare o abbassare il
livello di tensione IN/OUT con un rendimento molto elevato (nelle grandi macchine
anche del 98%).
Se si deve trasferire la potenza elettrica P da un’area di generazione ad un sito di
utilizzazione posto ad una distanza tramite un cavo trifase di sezione S e resistività
, la potenza che verrà dissipata nel cavo di collegamento sarà pari a:
P p 3 I 2
4. 2
S
dove la I è data dalla:
P
I
4. 3
3 V cos
Pertanto la perdita relativa al trasporto di energia sarà pari a:
1
Pp
P
3P 2
P
3V 2 cos 2 PS
SV 2 cos 2
Pp
P
100
100
%
P
SV 2 cos 2
4. 4
4. 5
Dalla relazione 4.5 si deduce che per ridurre le perdite nel trasporto, a parità di
potenza P trasferita, occorre aumentare il cos, ma soprattutto aumentare il livello di
tensione a cui trasferire la potenza, ovvero aumentare la sezione dei conduttori;
chiaramente l’effetto della tensione è più economico e più sensibile: P p è
inversamente proporzionale al quadrato di V.
4.2 Trasformatori monofase
Il trasformatore monofase è formato da due induttori (o avvolgimenti), il primario ed
il secondario, e da un nucleo ferromagnetico ad elevata permeabilità.
Fig.4.2
nucleo ferromagnetico
I nuclei ferromagnetici sono costituiti dall’insieme di più lamierini e le forme più
usate sono:
-nucleo a colonne come mostrato nella figura 4.2a
-nucleo a mantello o corazzato come mostrato nella figura 4.2b
avvolgimenti
Gli avvolgimenti sono realizzati usualmente in rame o alluminio. Essi possono
essere del tipo a bobine concentriche vedi figura 4.3a, o a bobine alternate come
mostrato nella figura 4.3b.
2
Fig.4.3
4.2.1 Schemi equivalenti
In figura è riportato lo schema elettrico di un trasformatore:
Fig.4.4
Se il tasto S è aperto, si hanno le condizioni di funzionamento a vuoto, se invece è
chiuso, si hanno le condizioni di funzionamento a carico.
trasformatore ideale
Fig.4.5
In regime sinusoidale esso è governato dalle equazioni simboliche:
Ū 1 nŪ 2
Ī1 1
n Ī2
N
n 1
N2
4. 6
con n rapporto di trasformazione
Un trasformatore reale approssima tanto più quello ideale quanto più verifica le
3
seguenti quattro condizioni:
a) riluttanza del nucleo trascurabile;
b) perdite per isteresi e correnti parassite nel nucleo nulle
c) accoppiamento perfetto tra gli avvolgimenti
d) resistenze degli avvolgimenti trascurabili.
A vuoto le equazioni che legano le grandezze elettriche e magnetiche tra loro sono le
seguenti:
-primario:
-secondario:
-nucleomagnetico
Ū1 Ē1 0
U 2 E 2 jN 2
N 1 Ī 10 R
4. 7
dove Ē 1 jN 1 ; è il flusso concatenato e R la riluttanza del nucleo.
Se assumiamo come sinusoidale la corrente a vuoto I 10 e trascurabile la caduta di
potenziale nella resistenza dell’avvolgimento primario, si può tracciare il seguente
diagramma:
Fig.4.6
Si definisce rapporto n di trasformazione il rapporto tra la c.f.e. (controforza
elettromotrice) indotta sul primario (E 1 ) e la f.e.m. indotta sul secondario ad opera
della corrente I 10 :
N
|E 1 |
1
N2
|E 2 |
In realtà il flusso nelle relazioni (4.7) è solo il flusso che si concatena con
n
4
ambedue gli avvolgimenti e non tutto quello generato dal circuito 1:
1 d
4. 8
d è la quota parte (generalmente modesta: 1 8%) di flusso prodotto dal circuito 1
che non si concatena con il circuito 2; pertanto lo schema elettrico equivalente è da
modificarsi così:
Fig.4.7
ove Ż 1 R 1 jL 1d R 1 jX 1 ; con L 1d d in quanto il flusso disperso
I 10
passa prevalentemente in aria e quindi è rappresentabile con un’induttanza costante
ed indipendente dalla corrente I 1. Analoghe considerazioni si possono fare per il
secondario (Ż 2 ), ricordando sempre la perfetta re versibilità del trasformatore.
Inoltre per tenere in conto le perdite che si hanno nel nucleo in ferro del
trasformatore la terza relazione (4.7) si deve modificare così:
N 1 Ī 10 R
riluttanza complessa ed il diagramma vettoriale è modificato come segue:
con R
Fig.4.8
Dal diagramma si ha:
P ferrro U 1 I 1a U 1 I 10 cos 10
Q magn U 1 I 1 U 1 I 1 sin 10
W
VAR
5
4.2.2 Funzionamento a carico
Nel funzionamento a carico, cioè con il tasto S chiuso, le equazioni
(4.7) si
modificano come segue:
Ū1 Ē1 Ż1Ī1
4. 10
-secondario:
E2 ŻcĪ2 Ż2Ī2
con Ż 2 R 2 jX 2
N 1 Ī 10
4. 11
-circuitomagnetico: N 1 Ī 1 N 2 Ī 2 R
-primario:
Per cui
Ī
Ī
Ī 1 n2 Ī 10 Ī 1 Ī 10 n2 Ī 10 Ī 12
e la I 12 è detta corrente secondaria riportata a primario.
4. 12
L’equazione (4.11) è valida in quanto il trasformatore può essere, con buona
approssimazione, considerato a regime una macchina elettrica a flusso costante; in
altri termini il flusso magnetico che attraversa il nucleo rimane lo stesso, sia con il
secondario aperto, sia con il secondario chiuso su di un carico.
Fig.4.9
Il relativo diagramma vettoriale è riportato nella figura seguente:
Nel caso di funzionamento in corto circuito (caso teorico in quanto la macchina si
danneggerebbe!) l’ equazione 4.11 si modifica come segue:
6
Ī
Ī 1 n2 Ī 12 4. 13
essendo trascurabile il contributo della corrente a vuoto rispetto alla corrente
primaria e secondaria riportata al primario (Ī 12 ). In tale situazione la relazione 4.13
coincide con la seconda delle 4.6, valida per il trasformatore ideale.
4.2.3 Schema elettrico del trasformatore monofase
Fig.4.10
In figura è riportato lo schema elettrico funzionale di un trasformatore monofase,
avendo introdotto la reattanza fittizia X 10 per evidenziare la corrente magnetizzante
I 1 e la resistenza fittizia R 10 per evidenziare la componente in fase della corrente
magnetizzante, causa delle perdite nel nucleo ferromagnetico.
4.2.4 Determinazione dei parametri equivalenti
prova a vuoto
Con riferimento alla figura 4.11 con il primario alimentato e il secondario aperto si
possono determinare Z 10, R 10, X 10 e cos 10 :
Z 10
U1
I1
Fig.4.11
P0
cos 10
U1I1
4. 14
ove P 0 è la potenza misurata dal wattmetro posto sul primario del trasformatore e
I 10 e U 1 sono rispettivamente la corrente e la tensione misurate dall’amperometro e
dal voltmetro. Si è trascurata la potenza dissipata nell’avvolgimento primario ad
opera della corrente magnetizzante R 1 I 2
10 P ferro .
7
prova in corto circuito
Durante il funzionamento in corto circuito, il trasformatore può essere approssimato
come indicato nelle figure 4.12 e 4.13, considerando che la corrente a vuoto è una
piccola parte della corrente di esercizio.
lato primario
Fig.4.12
dove la Ż 1cc è pari a:
Ż 1cc R 1 jX 1 n 2 R 2 jX 2
la R 1cc :
R 1cc R 1 R 12
e analogamente la X 1cc
X 1cc X 1 X 12
lato secondario
Fig.4.13
con Ż 2cc R 2 jX 2 1 R 1 jX 1
ove
n2
X
R
e X 2cc X 2 1
R 2cc R 2 1
n2
n2
Si definisce tensione di corto circuito U cc quel valore di tensione per il quale nel
primario e secondario di un trasformatore chiuso in corto scorrono le rispettive
8
I
correnti nominali: I 1 e I 2 , legate tra loro dalla relazione: I 1 n2 .
Ż icc I in
U
100
con i1,2 a seconda di quale dei due circuiti
U cc% icc
Ui
Ui
viene alimentato e conseguentemente messo in corto l’altro.
Con tali approssimazioni, per la prova in corto circuito, con riferimento alla figura
4.14 si avrà:
Z 1cc
U 1cc
;
I 1n
cos cc
Pcc
U 1cc I 1n
4. 15
ove P cc è la potenza letta sul wattmetro posto nel primario.
Fig.4.14
4.2.5 Funzionamento a carico
Lo schema equivalente che permette di analizzare il comportamento elettrico del
trasformatore a carico è indicato nella figura che segue:
Fig.4.15
Nella figura il trasformatore è ideale e le caratteristiche reali sono trasferite tutte al
primario.
Come già più volte detto, nella pratica della bassa tensione il trasformatore è visto
come un generatore ideale di tensione in serie ad una impedenza, come indicato nella
figura 4.16 seguente.
9
Fig.4.16
La semplificazione è derivata dal fatto che imponendo al trasformatore di lavorare a
tensione primaria impressa, la corrente Ī 10 incide poco sulla Ī 12 indicata nella
figura 4. 15, quindi portando la Z 1cc dal primario al secondario, tramite le formule
del trasformatore ideale, si ricava ciò che è indicato nella figura 4. 16.
4.2.6 Perdite e rendimento convenzionale
Le perdite nei trasformatori posso ascriversi principalmente a due fattori:
- perdite nel rame
2
2
P cu R 1cc I 21 R 2cc I 2
2 R 1 I 1 R 2 I 2 4. 16
- perdite nel ferro
U2
1 4. 17
Pf
R 10
- rendimento
Il rendimento del trasformatore, come quello di una qualsiasi macchina, è pari a :
P u 4. 18
Pa
P u potenza attiva erogata al secondario [W]
P a potenza assorbita al primario [W]
P n potenza nominale del trasformatore [W]
Nei trasformatori si fa uso, generalmente, del rendimento convenzionale, definito
come segue:
P n P f P cu
P f P cu
1
4. 19
Pu
Pn
Pn
Pn
La convenzionalità della definizione risiede nell’aver adottato come potenza
assorbita al primario la P n (cioè la potenza nominale di targa senza doverla
misurare) e nel fatto che tutte le perdite siano riconducibili unicamente a quelle nel
rame e nel ferro, perdite determinate rispettivamente con la prova a vuoto ed in corto
10
circuito. Si tenga presente che in tali prove si sono inglobate rispettivamente: nella
prima prova le perdite nel rame a vuoto nell’avvolgimento alimentato, le perdite nel
ferro nella seconda prova, perchè il nucleo lavora con flusso ridotto in proporzione
alla tensione di alimentazione (la prova in corto circuito si fa con tensione pari a
U cc ).
L’ulteriore vantaggio nell’impiego del rendimento convenzionale al posto del
rendimento effettivo risiede nell’evitare di dover caricare il trasformatore per fargli
erogare la P 2 , con oneri economici, il più delle volte, non trascurabili.
4.2.7 Caduta di tensione vuoto-carico
Rifacendosi allo schema di figura 4.16, la tensione U 2 a vuoto è certamente
maggiore di quella che si ha a carico a causa della caduta sull’impedenza Ż 2cc per
cui si avrà:
|Ū 2 | Ū 20 Ū 2
Ovvero, ricordando che:
4. 20
R 2cc Z 2cc cos cc
X 2cc Z 2cc sin cc
la 4.20 diviene:
U 2 R 2cc I 2 cos X 2cc I 2 sin 4. 21
ove è l’angolo di sfasamento della corrente I 2 rispetto alla tensione secondaria
U 20 .
Nel diagramma di figura 4.17 è riportata la relazione vettoriale che prende il nome di
diagramma di Kapp.
Fig.4.17
11
4.2.8 Simboli impiantistici del trasformatore monofase
Fig.4.18
4.2.9 Parallelo di due trasformatori monofase
Nel caso vengano posti in parallelo due trasformatori T a e T b , lo schema elettrico è
il seguente:
Fig.4.19
Per la messa in parallelo non è necessario che le due macchine abbiano la stessa
potenza nominale, ma per un corretto parallelo devono soddisfare alle relazioni più
sotto riportate ricavabili facilmente ricorrendo al teorema di Millmann applicato al
circuito di figura 4.20 (equivalente a quello indicato in figura 4. 19) considerando
una prima volta il tasto S aperto e successivamente il tasto S chiuso.
12
Fig.4.20
Affinchè il parallelo sia ottimale, è necessario che la potenza trasferita al carico Ż
avvenga in proporzione alla potenza nominale di ciascun trasformatore; per
conseguire l’obiettivo, le condizioni da verificare sono:
1) avere lo stesso rapporto di trasformazione:
2) avere la stessa tensione di corto circuito:
na nb n
U acc % U bcc % U cc %
3) la Z 2acc e la Z 2bcc devono essere in proporzione tra loro con la rispettiva
potenza di targa
4) gli sfasamenti delle impedenze 2 acc e 2bcc devono essere uguali.
13
4.3 Trasformatori trifase
Un trasformatore trifase può essere sostituito da tre trasformatori monofase identici,
uno per ciascuna fase. Il trifase invece dispone di sei avvolgimenti, tre primari e tre
secondari e di un solo nucleo ferromagnetico; gli avvolgimenti primari e secondari
sono disposti a coppie lungo le colonne del nucleo, in modo da garantire un mutuo
accoppiamento elevato.
I flussi delle tre colonne devono soddisfare al primo principio di Kirchhoff per le reti
magnetiche:
B
0
A
C
4. 22
Nelle tre figure che seguono, sono riportati gli schemi di un trasformatore
rispettivamente a tre colonne, a cinque colonne ed uno corazzato. Il nucleo a cinque
colonne rende, in pratica, perfettamente identici in modulo, i tre flussi principali.
Fig.4.21 nucleo a tre colonne
Fig.4.22 nucleo a 5 colonne
Fig.4.23 nucleo corazzato
14
4.3.1 Schemi di collegamento
Per un qualsiasi tipo di nucleo ferromagnetico, nei tre avvolgimenti primari A, B, C,
e nei secondari a,b,c, vengono indotte due terne di forze elettromotrici, simmetriche,
in condizioni normali di funzionamento:
ĒA, ĒB, ĒC,
Ēa, Ēb, Ēc
Fig.4.24
I tre avvolgimenti, sia primari che secondari, possono essere collegati tra loro in
diversi modi:
collegamento a stella Y
Fig.4.25
collegamento a triangolo D
Il morsetto "" di ogni avvolgimento è connesso con quello "" dell’avvolgimento
precedente:
15
Fig.4.26a
Fig.4.26b
collegamento a zig-zag Z
Ogni avvolgimento è suddiviso in due parti uguali e ciscuna fase interna è ottenuta
connettendo in serie rovesciata due parti di due avvolgimenti consecutivi; le serie
che si ottengono sono poi collegate a stella.
Fig.4.27
4.3.2 Rapporto di trasformazione e gruppo
Poichè il primario ed il secondario di un trasformatore possono avere uno schema di
collegamento diverso, per un trasformatore trifase il rapporto di trasformazione "n"
non si definisce come il rapporto tra le spire primarie e secondarie, bensì si definisce
U
come il rapporto tra la tensione concatenata primaria e quella secondaria: AB .
U ab
Inoltre, poichè i triangoli delle tensioni concatenate, primarie e secondarie, possono
non essere paralleli tra loro, occorre introdurre un’altra grandezza rappresentata
dall’angolo di cui deve ruotare, in senso antiorario, il triangolo delle tensioni
primarie per disporsi parallelemente a quello secondario. Tale angolo, multiplo di
30°, è rappresentato da un numero intero (compreso tra 0 e 11) dato dal quoziente tra
l’angolo di rotazione e 30°.
a) Stella -triangolo
16
N1
gruppo11(330°/30°
N2
n
3
n
1 N 1 gruppo11(330°/30°
3 N2
n
2 N 1 gruppo11(330°/30°
3 N2
b) Triangolo-stella
c) Stella-zigzag
4.3.3 Schemi equivalenti dei trasformatori trifase
Fig.4.27
Un trasformatore trifase può essere rappresentato da uno schema costituito da tre
doppi bipoli identici, come analogamente avviene per un trasformatore monofase il
cui circuito equivalente realizza un doppio bipolo.
In funzione dei parametri del trasformatore equivalente monofase, le potenze del
trasformatore trifase sono espresse dalle seguenti relazioni:
P u 3E 2 I 2 cos 3 U 2 I 2 cos
U2
E 21
1
Pf 3
R 10
R 10
2
P cu 3R 1cc I 2
1 3R 2cc I 2
4. 23
con i seguenti valori efficaci:
17
E1 EA EB EC
per le tensioni stellate al secondario
E2 Ea Eb Ec
per le tensioni stellate al primario
U 1 U AB U BC U CA per le tensioni concatenate al primario
U 2 U ab U bc U ca
I1 IA IB IC
per le tensioni concatenate al secondario
I2 Ia Ib Ic
per le correnti secondarie di fase
per le correnti primarie di fase
è lo sfasamento tra le tensioni stellate e correnti di fase secondarie.
4.3.4 Simboli impiantistici del trasformatore trifase
Fig.4.28
4.3.5 Parallelo di trasformatori trifase
Anche nel caso degli impianti trifase è spesso conveniente alimentare una linea di
utilizzazione con più trasformatori trifase in parallelo. Valgono le stesse condizioni
di utilizzo ottimale dei trasformatori monofase, ma ovviamente va aggiunta la
condizione relativa all’appartenenza allo stesso gruppo.
Fig.4.29
18
4.4 Trasformatori speciali
Autotrasformatori
Se in un trasformatore monofase ideale consideriamo due avvolgimenti costituiti
rispettivamente da N 1 e N 2 spire, si avrà che il volt-spira per ambedue gli
avvolgimenti è lo stesso ( si ricordi che il volt/spira coincide con la derivata del
flusso che attraversa la sezione del nucleo del trasformatore).
Osservando la figura che segue, se sull’avvolgimento N 1 individuiamo la spira c
corrispondente a N 2 , possiamo eliminare l’avvolgimento stesso ed avere ai morsetti
del quadripolo la tensione secondaria U 2 che avevamo in precedenza.
La corrente per il tratto di avvolgimento comune risulta:
Fig.4.30
N
1 2 Ī2 1 1
n Ī2
N1
N
Ī Ī2 Ī1 Ī2 2 Ī2
4. 24
N1
Gli autotrasformatori si impiegano di preferenza con rapporti di trasformazione
prossimi all’unità; infatti in questo modo si ottiene un risparmio di materiale
conduttore.
L’autotrasformatore non va mai impiegato nel caso in cui la tensione primaria (se più
elevata tra le due) possa dar luogo ad un pericolo serio per il carico: infatti nel caso
di rottura del conduttore nel tratto BC tutta la tensione primaria U 1 viene trasferita al
secondario.
Un autotrasformatore che abbia la possibilità di far variare la tensione U 2 a piacere
tra zero e U 1 , è ottenuto tramite un avvolgimento primario uniformemente
distribuito lungo un nucleo toroidale, in cui si fa variare il numero delle spire
dell’avvolgimento secondario: esso è chiamato variac (vedi figura 4.31).
19
Fig.4.31
4.4.1 Trasformatori di misura
Quando bisogna effettuare l’inserzione di un voltmetro o di un amperometro in
circuiti in alternata in cui vi siano elevati valori di tensione e/o di corrente, si deve
utilizzare un trasformatore. Esso infatti permette di adeguare il livello di tensione,
corrente ed isolamento tra linea di potenza e circuito di misura, in modo da evitare
rischi per l’operatore che effettua la misura e poter utilizzare comuni voltmetri o
amperometri con fondo scala al massimo pari a 20A.
4.4.2 Traformatore di tensione TV
Data la relazione tra i valori efficaci delle tensioni:
U 1 E 1 n v E 2 n v U 20
4. 25
noto il rapporto di trasformazione n se il trasformatore lavora a vuoto è immediato
risalire alla tensione primaria U 1 . I trasformatori usati per questo scopo sono detti
trasformatori di tensione o anche TV. Lo schema è riportato nella figura che segue:
Fig.4.32
L’inserzione di questo tipo di trasformatori è mostrata nella seguente figura:
20
Fig.4.33
Il morsetto messo a terra nel secondario è inserito per ragioni di sicurezza.
4.4.3 Trasformatore di corrente TA
Il trasformatore di corrente è utilizzato sia per variare, in diminuzione, il rapporto tra
corrente primaria e secondaria ( ad esempio 50:1) e sia con rapporto 1:1 nel caso di
circuito in AT.
Il TA va inserito con il suo primario in serie, invece che in parallelo come si usa per i
normali trasformatori, per cui in questo caso la relazione tra i valori efficaci è:
Ī 1 n a Ī 12cc
4. 26
Noti Ī 12cc ed n a , si può risalire alla corrente primaria Ī 1 . I trasformatori usati per
questo scopo vengono chiamati trasformatori di corrente o TA.
Fig.4.34
L’inserzione di questo tipo di trasformatori è mostrata nella figura 4.35, nella quale
un morsetto secondario è messo a terra per sicurezza ed il tasto S è necessario per
operare sul secondario con sicurezza in caso di manutenzione dell’amperometro.
21
Fig.4.35
Nella figura che segue è riportato lo schema di collegamento di un wattmetro per
misurare la potenza in un circuito ad alta tensione e/o ad elevata corrente.
Fig.4.36
22
