Solo quello che ti interessa | Le radici quadrate in geometria
Copyright admin [email protected]
http://www.belloma.it/le-radici-quadrate/
Le radici quadrate in geometria
Dove si possono trovare
- Tutte le radici quadrate sono associate a lunghezze e proporzioni di figure
geometriche.
- In molte rappresentazioni artistiche si trovano valori di RADQ(n).
- L’analisi pitagorica permette di identificare la presenza delle radici quadrate in
migliaia di forme naturali:
- Nei minerali (che possiedono forme poliedriche),
- Nel mondo vegetale (distribuzione dei petali dei nei fiori o dei semi, nella
crescita e nella forma di frutti)
- Nel mondo animale. Le radici quadrate regolano la crescita delle
conchiglie e delle corna di alcuni animali, mostrando la caratteristica della
spirale o di eliche.
- Theodore Andrea Cook, critico d’arte del XX secolo, fu il primo a studiare
questo fenomeno. Il suo tratto (Le curve della Vita), viene considerato il punto
di partenza per analisi di questo tipo.
- In Matematica le radici sono strettamente legate alle soluzioni di equazioni di
vario grado, che agli inizi avevano solo una rappresentazioni geometrica.
- Le equazioni di terzo grado furono affrontate nel Rinascimento. Nel XVI
secolo, Tartaglia (1499-1557), alias Nicolò Fontana, trovò formule per
risolvere questi tipi di problemi. Tartaglia rilevò le sue scoperte a
Gerolamo Cardano (1501-1576), il quale le divulgò a suo nome e
questo provocò uno scandalo che investì tutti i circoli scientifici
dell’epoca.
- Ludovico Ferrari (1522-1565), discepolo di Cardano, riuscì a trovare le
formule per trovare le radici delle equazioni di quarto grado
(basandosi su quelle di secondo e di terzo)
- Il fatto di aver trovato le formule per le equazioni di secondo, terzo e
quarto grado, faceva pensare che fosse possibile trovare le formule
generiche per le equazioni di grado n. Ma Henrik Abel (1802-1829) e
Evariste Galois (1811-1832), sulla base degli studi di Paolo Ruffini
(1765-1822), Eulero (1707-1783) e Lagrange (1736-1813),
dimostrarono che a partire dal grado n=5 non è possibile risalire a
formule che forniscano le soluzione dell’equazione di grado n.
Le proporzioni dinamiche di RADQ(n)
- Intorno al 425 a.C., Platone, nel suo dialogo Teeteto, spiega che il suo
maestro di matematica, Teodoro di Cirene, fu il primo a dimostrare
l’irrazionalità di altri radici quadrate. Per farlo utilizzò il Teorema di Pitagora
per disegnare tutte le radici quadrate dei numeri naturali, facendo una
successione di triangoli rettangoli. Il risultato fu una spirale denominata
Spirale di Teodoro. E’ la rappresentazione di RADQ(n).
page 1 / 7
Solo quello che ti interessa | Le radici quadrate in geometria
Copyright admin [email protected]
http://www.belloma.it/le-radici-quadrate/
- Questo modo di generare triangoli di lato 1 e RADQ(n) fa sì che le proporzioni
di RADQ(n) abbiano ricevuto la denominazione di proporzioni dinamiche.
- Le proporzioni dinamiche hanno la seguente proprietà: rendono possibile la
divisione di un rettangolo con n parti rettangolari in modo identico.
Dimostrazione:
- Rettangolo reciproco: dato un rettangolo di base a e altezza b, il
rettangolo reciproco è il rettangolo di base b e altezza b2/a. In questo
modo il rapporto base/altezza rimane sempre a/b
page 2 / 7
Solo quello che ti interessa | Le radici quadrate in geometria
Copyright admin [email protected]
http://www.belloma.it/le-radici-quadrate/
- A che punto n copie del rettangolo reciproco coprono esattamente il rettangolo
iniziale ? Quando n(b2/a)=a, cioè quando n = a2/b2 e quindi quando il rapporto
a/b=RADQ(n)
- Questo è il principio base del sistema DIN dei fogli: ogni formato ha una
superficie doppia della formato precedente, mantenendo le stesse proporzioni!
Il rapporto tra i lati è RADQ(2)
- La formula di Erone di Alessandria. Siamo nei primi decenni dopo Cristo,
quando Erone individuò la formula per calcolare l’area A di un triangolo a
partire dai suoi tre lati a, b e c. Calcolato il semi perimetro s=(a+b+c)/2,
A=RADQ(s(s-a)(s-b)(s-c)). Questa formula sancisce la presenza delle radici
quadrate nei calcoli delle superfici di qualsiasi figura poligonale, in quanto
questa può sempre suddividersi in triangoli.
Il numero aureo
- Numero irrazionale (1+RADQ(5))/2, scopeto dai greci nell’epoca classica.
- Definito in modo formale da Euclide nei sui Elementi di Geometria. E’ una
proporzione così definita: dato un segmento diviso in due parti, si ha la
proporzione aurea quanto l’intero segmento sta alla parte maggiore, come
la parte maggiore sta a quella minore.
- Studiato nel Rinascimento, da Leonardo da Vinci e Luca Pacioli (nei suo De
Divina Proportione).
- Nel XX secolo gli fu assegnata la lettera greca Φ.
- Un rettangolo tale per cui il rapporto tra il suo lato maggiore e quello minore è
Φ, è chiamato rettangolo aureo. Per costruirlo si procede nel seguente
modo:
- Si disegna un quadrato di lato 1
- Applicando il teorema di Pitagora, si ricava la distanza dal punto medio
page 3 / 7
Solo quello che ti interessa | Le radici quadrate in geometria
Copyright admin [email protected]
http://www.belloma.it/le-radici-quadrate/
M al vertice opposto del quadrato che vale RADQ((1/2)2+12)=RADQ(5)/2.
- Si traccia l’arco di circonferenza con questo raggio e si disegna la base
del rettangolo, cioè il lato maggiore che vale 1/2+RADQ(5)/2, che è
proprio Φ.
- Il rettangolo aureo è l’unico che può essere scomposto in un quadrato (con il
lato minore ) e un rettangolo, che a sua volta è aureo.
Poligoni, poliedri e radici
- Il Teorema di Pitagora permette di stabilire le misure dei segmenti essenziali
nello studio dei poligoni e poliedri.
- RADQ(3) nel triangolo e nell’esagono regolare.
- In un triangolo equilatero di lato unitario il valore dell’altezza è RADQ(3)/2
- Replicando per 6 volte tale triangolo otteniamo un esagono con apotema
RADQ(3)/2
- RADQ(2) nel quadrato e nell’ottagono regolare.
- In un quadrato di lato 1 la diagonale vale RADQ(2)
- Sovrapponiamo due di tali quadrati, ruotando il secondo quadrato di 45°.
L’intersezione è un ottagono regolare di lato L=RADQ(2)-1, visto che L2
=2((1-L)/2)2.
page 4 / 7
Solo quello che ti interessa | Le radici quadrate in geometria
Copyright admin [email protected]
http://www.belloma.it/le-radici-quadrate/
- RADQ(5) e il pentagono regolare
- Per costruire il pentagono con riga e compasso si procede nel seguente
modo:
- Si tracci la circonferenza di raggio r e centro in O.
- Si segni il punto centrale M del raggio OA
- Con centro in M e raggio MP si tracci un arco di circonferenza che
intersecherà il raggio OB in C.
- Con centro in P e raggio PC si tracci un arco di circonferenza che
intersecherà la circonferenza iniziale in P’ e P’’. PC corrisponde alla
lunghezza del lato
- Con centro in P’ e raggio P’P si tracci un arco di circonferenza che
intersecherà la circonferenza iniziale in Q.
- Con centro in P’’ e raggio P’’P si tracci un arco di circonferenza che
intersecherà la circonferenza iniziale in Q’.
- Collegare P, P’, Q, Q’ e P’’.
page 5 / 7
Solo quello che ti interessa | Le radici quadrate in geometria
Copyright admin [email protected]
http://www.belloma.it/le-radici-quadrate/
- La relazione della lunghezza del lato con RADQ(5) è la seguente:
- Nello stesso modo si può verificare la presenza delle radici quadrate anche nei
poliedri.
- Gli scritti del pitagorico Filolao di Crotone (470-390 a.C), del neoplatonico
Proclo (412-485) e del bizantino Simplicio (527-565) identificano i poliedri
regolari tetaedro (4), cubo (6), ottaedro (8), dodecaedro (12) e icosaedro (20)
rispettivamente con fuoco, terra, aria, universo e acqua. Platone fu colui che li
studiò in modo approfondito e per tanto oggi vengono chiamati solidi
platonici. Euclide iscrisse tali poligoni in una sfera di raggio 1 e calcolò la
lunghezza degli spigoli (sfruttando il Teorema di Pitagora ed ottenendo valori
page 6 / 7
Solo quello che ti interessa | Le radici quadrate in geometria
Copyright admin [email protected]
http://www.belloma.it/le-radici-quadrate/
con radici quadrate).
- Questi poliedri affascinarono artisti/matematici come Piero della Francesca
(1416-1492), Luca Pacioli (1445-1517), Leonardo da Vinci (1452-1519),
Albrecht Durer (147-1528).
page 7 / 7
