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Identificabilità a priori: esperimento “ideale”
Esperimento reale: raccolta di dati
sperimentali
y1, y2,…,yn in corrispondenza delle variabili
x1, x2,…,xn (t1, t2,…, tn)
Ad ogni dato sperimentale è associato un
errore sperimentale: 1, 2, …, n
In corrispondenza delle variabili x1, x2,…,xn
(t1, t2,…, tn) il modello fornisce le sue
previsioni:
fi=f(ti,p1,p2,…,pp)
Confronto tra misure e previsioni del
modello:
errori di misura
errori nel segnale di input
errori nella struttura del modello
STIMATORI
n
:R  R
p
Unbiasedness:
la funzione di distribuzione probabilità dei
vettori p è distribuita simmetricamente intorno al valore vero p0
Varianza minima:
tra tutti i possibili stimatori unbiased,
deve avere varianza minima:
2 p  2 p
   p  R p


Efficienza:
uno stimatore efficiente è quello che raggiunge il
valore più basso della covarianza (limite inferiore di Cramer-Rao).
Consistenza:
Al tendere all’infinito della dimensione del
campione (del numero di misure effettuate) la stima tende al valore
vero p0:
lim  Z t1 , , Z tn  p0
n
 
 
METODO DEI MINIMI QUADRATI
T
1
Ce R e
e= differenza tra valore misurato e
previsione del modello
R = matrice di covarianza degli errori
di misura.
HP: MODELLO LINEARE NEI PARAMETRI
Questo stimatore verifica le condizioni richieste sopra (in
particolare, la varianza minima, che non è invece verificata se non
c’è la matrice di covarianza). Nel caso in cui gli errori di misura
sono bianchi (cioè, non correlati) la matrice di covarianza è
diagonale. Se inoltre gli errori di misura sono gaussiani, allora le
stime sui parametri ricavate con questo stimatore sono distribuite
normalmente con media e deviazione standard come ricavate dal
fit. E’ quindi possibile fare tutta una serie di considerazioni di tipo
statistico riguardanti la bontà del fit e gli intervalli di confidenza.
METODO DEI MINIMI QUADRATI
2
n
 y i  f t i , p1 ,  , pp 
SSWR 
 
i 1
i


Squared sums of the weighted residuals (objective function)
 y ji  f j t ji , p1 ,  , pp 
SSWR 


 ji

j 1 i 1 

m
n

SSWR
 2 
pk
2
 y ji  f j t ji , p1 ,  , pp  
fj t ji, p1, , pp   0


2
 ji
 pk
j 1 i 1 

m
n

k  1p
METODO DEI MINIMI QUADRATI
modello lineare nei parametri
f j t, p1,  , pp  


fj t, p1, , pp  
pk
pk
p
z jh t   ph

h 1
 p

 z jh t   ph   z jk t 


 h 1


p


y 
z jh t ji   ph 
m n  ji

  z t   0
h 1
2
jk ji
2


 ji
j 1 i 1






k  1p
METODO DEI MINIMI QUADRATI
Modello non lineare nei parametri
In questo caso, la funzione da minimizzare non è più
quadratica nei parametri incogniti, e quindi quando si
considerano le derivate per la minimizzazione non si ha più
un sistema di equazioni lineari del prim’ordine in p: soluzioni
possibili utilizzando procedure iterative.
PROCEDURA PIU’ COMUNE:
Algoritmo di LevenbergMarquardt
Metodo delle approssimazioni
quadratiche
Metodo della massima pendenza
(steepest descent)
ALGORITMO DI LEVENBERG-MARQUARDT
Metodo delle approssimazioni quadratiche
Approssimazione della funzione obiettivo in un intorno di un
dato set di valore del vettore dei parametri p
SSWRp  p  SSWR p  2  b  p  p  A  p

 
 

n
dove b è un
yi  f ti , p1,  , pp f ti , p1,  , pp
1 SSWR
bk  

vettore p2
2 pk
pk

i
i 1
dimensionale
legato al
1  2SSWR
akl 

gradiente
2 pk pl
della
funzione
 f ti , p1,  , pp f ti , p1,  , pp

 
obiettivo, e A

n
pk
pl
1 

una matrice

2 
2
di dimensioni


f ti , p1,  , pp 
i 1 i
 yi  f ti , p1,  , pp

pxp








p p
k
l



ALGORITMO DI LEVENBERG-MARQUARDT
Metodo delle approssimazioni quadratiche
Si valutano i valori dei componenti di A e b in
corrispondenza di un determinato valore pj del vettore dei
parametri, e si calcola poi
pj+1=pj+A-1b
Metodo della steepest descent
In questo caso l’incremento in ogni iterazione si calcola
pj+1=pj+c·b
ove c è una opportuna costante.
Il primo metodo più efficace vicino al minimo, il secondo
metodo più efficace lontano dal minimo.
METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
Questo metodo richiede in anticipo una conoscenza di qual è
la distribuzione di probabilità attesa per i risultati delle
misure.
Al processo di raccolta dei dati sperimentali va associata una
FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’, che sarà in
qualche modo dipendente dai parametri del modello: L(y,
p).
Dato un set di misure y1, y2,…, yn, viene quindi ricercato il
valore dei parametri che rendono massima la probabilità di
ottenere quei valori misurati:

ln Ly1, y2 ,  , yn , p  0
p
Lo stimatore ML possiede tutte le proprietà asintotiche
richieste nel caso in cui le misure sono statisticamente
indipendenti, ma questo non è garantito nel caso di numero
piccolo di misure.
METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
Nel caso in cui la funzione di probabilità è gaussiana, allora
la funzione da massimizzare risulta la seguente:
1
y  f T R 1 y  f 

1
L
2n
R
e
2
essendo R la matrice di covarianza degli errori, che nel caso
siano tutti indipendenti è diagonale e quindi:
L
n
1
 2 e
i 1


1 yi  f ti ,p1 ,p2 ,,pp

2
i2
2
i
I due metodi coincidono, e quindi anche nel caso di modelli
non lineari valgono le proprietà asintotiche dello stimatore
ML.
DISTRIBUZIONE DEL CHI-QUADRATO
Si consideri una serie di misure (x1,…,xn) rappresentative di una
popolazione con valore vero μ e con varianza σ. Si definisce chiquadrato:

2

n
 xi   


 
i 1 

2
Funzione di distribuzione di probabilità per ν gradi di libertà
f
 ,   
1
2

22
 2 
 
1

 2
2 2 1
e 2
 
0
2  
ove:
Γ(x+1) = xΓ(x);
Γ(1) = 1
Γ(1/2) = 
All'aumentare dei gradi di libertà, la distribuzione del chi-quadrato
tende alla distribuzione normale.
DISTRIBUZIONE DEL CHI-QUADRATO
0.5
n
n
n
n
n
n
0.4
f(u,)
0.3
=
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
10
0.2
0.1
0.0
0
5
10
15
u
20
25
DISTRIBUZIONE DEL CHI-QUADRATO
SI DIMOSTRA CHE, SE LE OSSERVABILI SONO
DISTRIBUITE NORMALMENTE, IL VALORE MINIMO
ASSUNTO DA SSWR E' DISTRIBUITO COME UNA
VARIABILE χ2 CON (n-p) GRADI DI LIBERTA’
POSSIBILITA' DI VALUTARE IN MANIERA
STATISTICA LA BONTA' DEL FIT.
DISTRIBUZIONE DEL CHI-QUADRATO
SI DIMOSTRA CHE, SE LE OSSERVABILI SONO
DISTRIBUITE NORMALMENTE, IL VALORE MINIMO
ASSUNTO DA SSWR E' DISTRIBUITO COME UNA
VARIABILE χ2 CON (n-p) GRADI DI LIBERTA’
POSSIBILITA' DI VALUTARE IN MANIERA
STATISTICA LA BONTA' DEL FIT.
Nel caso dell'analisi compartimentale, sono stati sviluppati degli
indicatori appositi che permettono di avere informazioni sulla bontà
del fit, ma che in particolare sono utili per confrontare tra loro
strutture compartimentali "concorrenti":
AIC (Akaike Information Criterion): uMIN + 2n
SC (Schwarz Criterion): uMIN + n·ln(N)
Criterio di convergenza
Come varia il peso associato ad un dato
sperimentale a seconda delle opzioni scelte
ERRORE ESPRESSO COME
SD=d
Dati
ASSO
LUTO
RELA
TIVO
1
2
d
1
2
 d
FSD=f
Modello
1
2
d
1
2
 d
Dati
1
2
f  y 
1
2
  f  y 
Modello
1
2
f  s 
1
2
  f  s 
Modello di varianza
In ogni iterazione, il programma cerca valori dei
parametri che risultano in una diminuzione del
valore della funzione obiettivo. Se, per ogni
parametro, la differenza tra il valore assunto
dal p nella i-esima iterazione e quello assunto
nella iterazione precedente verifica la
relazione:
pi  pi1  p U  pL 
allora si considera soddisfatto il criterio di
convergenza.
y i  f x i , p 
RESIDUI: s _ wres 
i
2




y

f
x
,
p
CHIQUADRO: 2   i  i 
i

i 

Iniettato
Residuo
0.147
-0.735
0.365
0.965
-0.335
0.653
0.039
-0.286
-1.876
1.090
0.476
1.882
Ingerito
Chiquadro
0.022
0.540
0.133
0.931
0.112
0.426
1.52e-3
0.082
3.519
1.188
0.227
3.542
10.724
Residuo
0.202
-0.356
0.622
0.114
0.246
0.160
0.517
0.101
-0.233
-1.436
0.494
-0.748
Chiquadro
0.041
0.127
0.387
0.013
0.061
0.026
0.267
0.010
0.054
2.062
0.244
0.560
3.851
14.575
CHI QUADRO
Chiquadro calcolato: 14.575
Numero di gradi di libertà:
numero di dati sperimentali
meno numero di parametri determinati: 24-7 =
Chiquadro ridotto: 0.857
Probabilità: 62.88 %
(0.8: 70%; 1.0: 45%)
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