Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità
Introduzione
Fenomeno deterministico: se
l’esperimento è condotto nelle
stesse condizioni si trova lo
stesso risultato
Esempi:
•Moto di un grave
•Traiettoria di una pallina in
un biliardo
Fenomeno non deterministico:
anche se gli esperimenti sono
condotti nelle stesse condizioni
si trovano risultati diversi
Esempi:
•Risultato del lancio di una
moneta
•Traiettoria di 100 palline in un
biliardo
•Vincita in una lotteria
•Numero di lanci di un dado per
ottenere un 6
La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici
Esperiment o aleat orio:
i singoli esiti d ell’esperim ento non sono pred icibili con
esattezza.
Esem pio. Se l'esperim ento consiste nel lancio d i u na
m oneta, non è possibile stabilire con certezza se l'esito d i
un singolo lancio sarà testa o croce.
Eventi: chiam iam o evento l’insiem e costitu ito d a u no
o p iù d ei p ossibili risu ltati o esiti d i u n esp erim ento
aleatorio.
Esem pio. N el caso d ell’esperim ento costitu ito d al lancio
d i u n d ad o p ossono essere osservati i segu enti eventi.
A : “si osserva u n nu m ero d ispari”;
B: “si osserva u n nu m ero m inore d i 3”;
Ei: “si osserva il nu m ero i, con i = 1, 2, …, 6”.
Spazio campione:
Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento
Esempio:
•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}
•Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6
S=N (numeri naturali)
S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}
E1
E5
E3
E6
E2
E4
Gli eventi possono essere d ivisi in d ue classi:
semplici e composti.
Gli eventi semplici sono costituiti da uno solo dei possibili
risultati di un esperimento aleatorio.
Gli eventi composti sono costituiti da da più di uno dei possibili
risultati di un esperimento aleatorio.
Un evento composto può sempre essere scomposto in eventi
semplici. Se un evento non risulta ulteriormente scomponibile
è per definizione un evento semplice.
Fenomeno casuale
Evento elementare

Spazio Campionario
1
Evento
n
N
Un qualsiasi sottoinsieme dello spazio
campionario, ovvero un insieme di eventi
elementari
E  1 , n 
E
Si usa dire che l’evento E si è realizzato se il
fenomeno si manifesta con uno degli eventi
elementari che appartengono ad E
Lancio di un dado
E=
E
Faccia “pari”

,
Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6
A=
Modi di descrivere l’evento
Faccia “dispari”

B=


,
,
,
,


N el caso d ell'esperim ento consistente nel m isu rare, con
u no stru m ento infinitam ente preciso, il livello d i piovosità
in u na certa area geografica, lo spazio cam pione è
S = {E1, E2, ...}
perché, all'interno d i u na certa gam m a d i valori, nessu n
nu m ero reale pu ò essere esclu so com e risu ltato possibile
d ell'esperim ento.
In qu esto caso, lo sp azio S contiene u n insiem e infinito
non nu m erabile d i p u nti cam p ione.
Si dice infinito non numerabile uno spazio campione i cui
eventi semplici sono tali per cui, fissati due di essi, è
sempre possibile determinarne almeno un terzo intermedio.
Esempio. Lo spazio costituito dagli eventi “esatto momento
della nascita” è uno spazio infinito non numerabile. Infatti, prese
due qualunque persone nate ognuna in un certo momento, è sempre
possibile individuarne una terza la cui nascita si colloca tra le due
precedenti.
Si possono distinguere tre tipi di spazio campione:
- spazio campione finito
- spazio campione infinito numerabile
- spazio campione infinito non numerabile
Lo spazio campione associato ad un esperimento si d ice
discret o se è uno spazio finito o infinito numerabile.
Lo spazio campione si d ice cont inuo se è uno spazio
infinito non numerabile.
Fenomeno casuale o prova
Lancio di un dado
P

Spazio campionario
(campione)
1
Evento
elementare
Finito
n
Durata di una lampadina
N
i
Infinito
0
max
Qu and o u n esperim ento viene esegu ito, u no e u n solo
evento sem plice pu ò essere osservato. Gli eventi sem plici,
d u nqu e, sono m u tu am ente esclu sivi.
Gli eventi mutuamente esclusivi possono essere rappresentati
da insiemi disgiunti.
Esempio. Se il lancio d el d ad o prod uce l'esito 5, non è
possibile osservare allo stesso tempo l'esito 6.
Gli eventi E5 e E6, qu ind i, sono m utuamente esclusivi, così
come tutti gli altri eventi semplici.
Gli eventi composti non sono d i necessità mutuamente
esclusivi, in quanto qualsiasi sottoinsieme d ello spazio
campione può costituire un evento composto.
Esempio. L'evento A (esito dispari) ha lu ogo se si osserva
E1 o E3 o E5.
L’evento B (numero minore di 3) ha lu ogo se si osserva
E1 o E2.
Gli eventi A e B, qu ind i, non sono m u tu am ente esclu sivi.
Eventi incompatibili
B
A
Eventi incompatibili

A B  
A
A A  
A

Partizione di uno spazio campionario
B
B
A
A
Eventi incompatibili
Partizione di

A B  
A

A  B  , A  B  
A A  
A

A A  

Partizione di uno spazio campionario
B
A
Partizione di


A  B  , A  B  
E1
a)
Ei
Ek

b)
Ei  E j  , i  j
k
E
i

Partizione finita
i 1
Partizione infinita
Partizione dello Spazio Campionario
Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad  formano una partizione
dello spazio campionario se:
(1)
A i  A j    i  j  1,..., k
k
(2)
A
i

i 1
cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.
Unione
Proprietà
Commutativa
Intersezione
A B  BA
A B  BA
Idempotenza
AA  A
Associativa
(A  B)  C  A  (B  C)
Distributiva
AA  A
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
Inoltre, si ha:
A  A
A  
A  
A  A
AA  
AA  
(A  B)  C  A  (B  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
Leggi di De Morgan
A B  A  B
k
 k

  Ei    Ei
 i 1  i 1
A B  A  B
k
 k

  Ei    Ei
 i 1  i 1
Probabilità


Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti
probabilistici più elementari si trova di fronte ad un
problema;
infatti,
non
solo
esistono
differenti
formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a
queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni
intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro.
Al di là delle differenze di carattere formale un elemento
comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda
il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che
un dato evento possa accadere o meno.
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’
•A priori (o matematica, o classica, o di Pascal)
•A posteriori (o statistica, o frequentistica, o legge empirica del
caso)
•Soggettiva
Probabilità:
regola che a ogni evento E associa un
numero reale compreso tra 0 e 1
p: E
p(E)
Definizioni di probabilità:
Classica
(Pascal)
Se un evento si può verificare in N modi mutuamente
esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi
possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il
rapporto tra il numero di casi favorevoli e il
totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)
Esempi
•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}.
p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2)
•Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma
dei punti sia 4
Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie:
Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili;
I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono
quindi 3. Pertanto
p(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12
Discussione
Problemi della definizione classica:
•non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili
(asimmetrie - esempio: ho un dato truccato)
•il numero di casi deve essere finito
Aspetti positivi:
•è una definizione operativa
Definizione
assiomatica
Determinazione
della probabilità
usando il calcolo
combinatorio
Assiomi del Calcolo delle Probabilità.
Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è
considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la
teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:
1.
Pr A  0  A  A
2.
Pr   1
Probabilità

L’interpretazione geometrica
P ()  1
L’area complessiva è uguale a 1
1

P( )  0,
  A
L’area di ogni sottoinsieme è
sicuramente positiva
3

 
P  n    P n 
 n 1  n 1
L’area di un insieme di superfici che non si
sovrappongono è la somma delle aree delle singole
superfici
4
2
Operazioni sugli eventi (sugli insiemi)

Se un insieme E non
contiene nessun elemento
(evento elementare) viene
detto insieme vuoto e si
indica con

Unione di insiemi (o eventi)
B
A
A

A  B   :   A oppure   B
A
A  
A A  A

A

A  A

Lancio di un dado
A E 

E=

A=

,
,

,
,
,
,


Unione
A B C 
B
Associativa
A
Commutativa

C
 A  B  C 
 A  B  C 
 A  C B
K
E
i
Ecc.
 E1  E2   Ei   Ek
i 1

E
B
i
A
 E1  E2   Ei  
i 1
C

K 
  Ei     
 i 1 
K 
K 
  Ei       Ei 
 i 1 
 i 1 
Intersezione
B
A
A

A  B   :   A e   B

A A  A
A
A

A  A
A  

Lancio di un dado
E=
A=


,
,
A E 
,


 
Intersezione
A B C 
B
Associativa
A
C

 A  B  C 
 A  B  C 
Commutativa
 A  C B
k
E
i
Ecc.
 E1  E2   Ei   Ek
i 1

E
B
i
A
 E1  E2   Ei  
i 1
C

 k

 k

  Ei       Ei 
 i 1 
 i 1 
 k

  Ei     
 i 1 
Negazione
A 
A
A
A
A   :   A

 
A A  
Teoremi fondamentali del C.P.
Siano A e B due eventi incompatibili
allora
A B  
Pr A  B  Pr A Pr B
Teo.1.
Pr   0
Teo.2.
Pr A  1  Pr A
Teo.3.
Pr A  Pr A  B  Pr A  B 
Teo.4.
Pr A  B  Pr A  Pr B  Pr A  B
 
Definizione frequentistica
(o a posteriori)
Richard von Mises
Si ripete un esperimento N volte e se un evento con una
certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza
relativa di successo è
f(E) dà una stima per la probabilità di E
In base all’impostazione frequentista, per probabilità di un
evento si intende il limite a cui tende la frequenza relativa
delle prove in cui l’evento si verifica, quando il numero di
prove tende all’infinito:
s
lim  p
n n
con s = numero di “successi” e n = numero di prove.
Problemi della definizione frequentistica:
•In situazioni concrete il passaggio al limite su cui si basa la
definizione non può essere effettuato
•È necessario ripetere l’esperimento un gran numero di volte
Definizione soggettiva
(o bayesiana)
Bernoulli, De Finetti
Probabilità: grado di fiducia che una persona ha nel
verificarsi dell’evento.
Prezzo p che si è disposti a pagare per ricevere 1 se
l’evento si verifica e 0 se non si verifica.
Esempio: se lancio un dado il prezzo equo per la scommessa
“esce il 4” dipende dalle informazioni di cui si dispone; se il dado non
è truccato si può assumere p=1/6
Problemi della definizione soggettiva:
•Non è operativa
•Una valutazione soggettiva non è necessariamente obiettiva
Definizione di probabilità.
Def. 4. Classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli
di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.
Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).
In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di
volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si
manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità.
L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.
Def. 6. Soggettivista.
La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente
formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un
evento.
ESERCIZI
A volte puo essere difficile, o almeno noioso, determinare per
elencazione diretta gli elementi di uno spazio campione
finito.
CALCOLO COMBINATORIO






Disposizioni semplici
Disposizioni con Ripetizione
Permutazioni semplici
Permutazioni con oggetti identici
Combinazioni Semplici
Combinazioni con Ripetizione
Calcolo Combinatorio
Problema: determinare il numero di
elementi di un insieme finito
elenco diretto (lungo!)
Esempio:in un menù ho 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi.
Quanti sono i possibili pasti completi (includono tutte le 3
portate - scelte una sola volta)?
Diagramma ad albero
Diagramma ad albero
S1
S2
P1
S3
A1
S4
P2
A2
P1
P2
P1
A3
3
……….
……….
………..
P2
x
2
x
4 = 24
pasti completi
“Contare le scelte”
Se gli insiemi A1, A2, …, Ak contengono
n1, n2, …, nk elementi
Ho
N= n1 n2 … nk
modi di scegliere
prima un elemento di A1 , poi un elemento di A2 …
...
infine un elemento di Ak
In particolare: se n1 = n2 =…= nk =n allora
N=nk
= numero delle disposizioni con ripetizione
di n oggetti a gruppi di k
Disposizioni
= gruppi di oggetti che si possono formare
scegliendo k oggetti tra n oggetti
(I gruppi devono differire per qualche oggetto e per
l’ordine)
Disposizioni con ripetizione: si può ripetere lo stesso oggetto
Esempio:
Determinare il numero di schedine del totocalcio si
devono giocare per essere sicuri di fare 14
Le possibili schedine sono 314= 4.782.969
Disposizioni semplici (senza ripetizione)
di n oggetti tra k (≤n)
D(n,k)
Non si può ripetere lo stesso oggetto
Esempio:
Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20 piloti.
I primi tre classificati vanno sul podio..
Quante sono le possibili terne di piloti sul podio?
Il primo classificato può essere un qualunque pilota tra 20,
Il secondo uno qualunque tra i restanti 19, il terzo uno tra 18
Quindi: D(20,3)=20*19*18
In generale: D(n,k)=n*(n-1)*…*(n-k+1)
Permutazioni
= numero dei modi in cui si possono ordinare n oggetti
P(n) = D(n,n)=n*(n-1)*… 2*1=n!
Esempio:
Quanti anagrammi (non necessariamente di senso
compiuto) si possono formare della parola FOGLI
Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per la seconda, …
1 per la quinta, quindi gli anagrammi sono
P(5)=5*4*3*2*1=5!=120
Combinazioni
= disposizioni a meno dell’ordine=
gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k
oggetti tra n oggetti
(I gruppi devono differire per qualche oggetto ma non per l’ordine)=
Esempio
Quante squadre di pallacanestro si possono formare con 8
giocatori
Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8 =
Esercizi
• In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4
posti? (Si risolva l'esercizio due volte, una volta considerando importante l'ordine in
cui si siedono e una no).
• In quanti modi diversi si possono sedere 7 persone in un tavolo rotondo?
• Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina da un'urna contenente
palline numerate da 1 a 365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina estratta
viene nuovamente messa nell'urna). Quanti sono i possibili risultati
diversi? Quanti sono i possibili risultati in cui i 40 numeri estratti risultano
tutti diversi tra loro?
• Si deve costituire un comitato di 3 membri, rappresentanti ciascuno gli
studenti, i docenti e il personale amministrativo. Se ci sono 4 candidati per
gli studenti, 3 per i docenti e 2 per il personale amministrativo, si determini
quanti comitati differenti si possono formare.
Esercizi
• Dovete preparare un dolce, disponete di una cesta con 10 uova di cui ve ne
serviranno solo 2 per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno prima avete
posto in quel cesto 4 uova vecchie di due settimane. Qual è la probabilità di
aver utilizzato almeno un uovo non fresco?
• Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a caso 5 uomini e 5 donne.
Qual è la probabilità che ogni donna sia seduta tra due uomini?
• Qual è la probabilità di fare tre volte 6 lanciando tre volte un dado non
truccato?
Probabilità condizionata e
indipendenza stocastica
Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.
Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza
reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:
A:=estraggo una rossa
B:=estraggo una nera
p(A)=15/20=3/4
La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è 5/19.
La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni
Dati due eventi A e B, si dice probabilità di B condizionata ad A
p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A.
(E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A
soltanto se A è possibile.)
p(B|A)
= 5/19
La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una
nera è
p(AB)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76
Regola di moltiplicazione:
p(B|A) in funzione di p(A) e p(AB)
se p(A)≠0
Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si
ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari
B:={ottengo un numero < 5}
A:={ottengo un dispari}
p(B)=2/3,
p(A)=1/2,
A B={1,3}, p(A B)=1/3
p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3
Esercizio
La seguente tabella rappresenta la frequenza mensile in cui dei
ragazzi vedono il telefilm “Friends”
Numero di volte al mese
Maschi
Femmine
Totale
0
4
5
9
1-5
7
9
16
6 - 10
21
23
44
11 - 15
11
9
20
>15
3
5
8
Totale
46
51
97
Scelgo una persona a caso.
•Qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?
p(0)=9/97
•Se è un maschio, qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?
p(0|M)=4/46
Indipendenza stocastica
Se per due eventi A e B p(A|B)=p(A)
si dice: l’evento A è stocasticamente indipendente da B
Esempi:
•Nell’esercizio precedente: non vedere mai il telefilm “Friends” ed essere
maschio non sono stocasticamente indipendenti
•Siano
A:={una persona è alta più di 1 metro e 75}
B:={una persona non mangia Nutella}
Supponiamo che p(A)=0.5, p(B)=0.3, p(AB)=0.15
Allora p(A|B)=p(AB)/p(B)=0.15/0.3=0.5=p(A)
Dunque A è stocasticamente indipendente da B.
Indipendenza stocastica
Nota: p(B|A)=p(AB)/p(A)=0.15/0.5=0.3=p(B)
anche B è stocasticamente indipendente da A.
Questo non è casuale:
A è stoc. indipendente da B
B è stoc. indipendente da A
e diciamo “A e B sono indipendenti”
Esempio:
in un’urna ci sono 10 palline rosse e 12 nere. Estraiamo dall’urna una
pallina poi la rimettiamo nell’urna (estrazione con reimbussolamento).
Siano
A1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione}
A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione}
L’aver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza la
probabilità che la seconda sia rossa
A1 e A2 sono indipendenti
Regola di moltiplicazione per eventi
indipendenti
Esempio: Nel caso dell’estrazione con reimbussolamento
dell’esempio precedente la probabilità di estrarre entrambe le
volte una pallina rossa è
p(A1A2)=p(A1)p(A2)=(10/22)2
Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi
indipendenti A e B:
p(AB)=p(A)p(B)
Nota: non confondere i concetti di “eventi disgiunti” ed “eventi
indipendenti”. Due eventi disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi
fosse avrei p(AB)=p(ø)=0=p(A)p(B), quindi p(A) o p(B) sarebbe nulla).
In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti: se un evento è
realizzato non può esserlo l’altro.
Esercizio
Si hanno tre urne.
U1 ha 2 palline bianche e 2 nere
U2 ha 1 pallina bianca e 3 nere
U3 ha 4 palline bianche e 2 nere
Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?
U1
1/3
1/3
U2
1/3
U3
1/2
1/4
2/3
bianca
bianca
bianca
P(bianca)=1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/3 + 2/3 * 1/3=17/36
Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An
A1 ,..., An , , B  ,
PB   PB  A1   ....  PB  An  
 P( B | A1 ) P( A1 )  ...  P( B | An ) P( An )
effetto
cause
L’utilità del teorema sta nel fatto che talvolta P(A) è
difficile da calcolare direttamente, mentre è più facile
calcolare le probabilità P(A/Bi) e poi ricostruire P(A)
dalla formula
Dr. Daniela Morale
Teorema delle probabilità totali
Esercizio
In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di
pioggia è del 30%.
La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è
dello 40%, e dello 10% se non piove.
• Qual è la probabilità che vinca Mazzacane?
Sia P={piove} M={vince Mazzacane}
0.3
P
0.4
M
0.7
Pc
0.1
M
p(M)=0.3*0.4+0.7*0.1=0.19
Teorema di Bayes
Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An se
sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare la
probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico Ai
effetto
causa
Esercizio (continuazione)
In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di
pioggia è del 30%. La probabilità che il pilota
Mazzacane vinca se piove è dello 40% e dello 10%, se
non piove.
• Se vince Mazzacane qual è la probabilità che piova?
Sia P={piove} M={vince Mazzacane}
0.3
P
0.4
M
0.7
Pc
0.1
M
p ( M | P) p ( P)
p( P | M ) 
p( M | P) p( P)  p( M | P) p( P)
0.4  0.3

 0.63
0.4  0.3  0.1 0.7
Esercizio
Sia C l’evento: la nuova sede di scienze sarà pronta nel 2019
e sia E : l’impresa a cui è dato l’appalto fallirà prima del 2018.
Se la probabilità che la ditta fallisca prima del 2018 è del 60% e
la probabilità che la sede sia pronta è dello 0.15 o dello 0.75 a seconda
se la ditta fallisce o no prima del 2018, calcolare la probabilità che
se la sede è pronta in tempo, la ditta sia non fallita prima del 2018
p(C|E)=0.15
p(E)=0.60
p(Ec)=0.40
C
E
Ec
p(C| Ec)=0.75
C
Da trovare p(Ec | C)
Nella formula del teorema di Bayes
A numeratore: moltiplicare i numeri del ramo
relativo a S-E (quello in basso):
p(Ec) * p(C | Ec)=0.40 * 0.75 = 0.30
A denominatore: somma dei prodotti delle
probabilità di entrambi i rami
p(E)*p(C | E)+p(Ec) * p(C | Ec)=
=0.60 * 0.15 + 0.40 * 0.75 = 0.39
Si trova allora p(Ec | C)=0.30/0.39=0.77
Esercizio di riepilogo
La seguente tabella mostra 1000 candidati di una scuola per infermieri
classificati secondo il punteggio riportato all’esame di ingresso
all’università e la qualità della scuola superiore da cui provenivano
Punteggi o
Bass o
Medio
Alto
Tota le
Sca rsa
Discreta
105
70
25
200
Ottim a
60
175
65
300
Tota le
55
145
300
500
220
390
390
100 0
Dire qual è la probabilità che un candidato
1. Abbia avuto un punteggio basso all’esame.
2. Si sia diplomato in una scuola ottima
3. Abbia avuto un punteggio basso e si sia diplomato in una scuola
ottima.
4. Ammesso che si sia diplomato in una scuola ottima, abbia avuto un
punteggio basso
Una v ariabile aleat oria è una funzione avente com e
d om inio lo spazio cam pione associato ad un
esperim ento e com e cod om inio l’insiem e d ei nu m eri
reali.
X :
Una variabile aleatoria si d ice discret a se può
assum ere solo un num ero d iscreto d i valori;
si d ice cont inua se può assum ere tutti gli
infiniti valori d i  , o d i un suo intervallo a, b .
Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che permette di assegnare
un valore numerico ad ogni risultato dell’esperimento.
Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario  è
possibile costruire infinite v.c. (si osserva che tale funzione non deve
essere necessariamente biunivoca).
COME SI ASSOCIANO LE PROBABILITA’ ALLE
VARIABILI ALEATORIE?
La p robabilità che la variabile Y assu m a il valore y,
P Y  y  , è d efinita com e la som m a d elle p robabilità d i
tu tti i p u nti cam pione in S a cu i viene assegnato il
valore y.
Generalm ente, si d enota P Y  y  con p(y).
Si noti che p(y) non è altro che u na fu nzione che assegna
u na p robabilità a ciascu n valore y ed è chiam ata funzione
(o d istribu zione) di probabilità d i Y .
La fu nzione d i p robabilità d i u na variabile aleatoria
d iscreta Y p u ò essere rap p resentata con u na form u la, u na
tabella o u n d iagram m a che associa la p robabilità p(y) a
ciascu n valore y.
Una fu nzione d i probabilità p  y  d eve rispettare le
segu enti cond izioni:
0  p y   1
 p y   1.0
y
Esempio Un esp erim ento consiste nel lancio d i d u e
d ad i. Sia Y la somma dei punti osservati quando i due dadi
sono stati tratti.
Si trovi la d istribu zione d i p robabilità d i Y .
Lo sp azio cam p ione associato a qu esto esp erim ento è
S  i, j  : 1  i, j  6 , ovvero, l'insiem e d i tu tte le cop p ie
ord inate (i, j) d i nu m eri interi 1  i  6 e 1  j  6 che
rap p resentano l’esito d el lancio d i ciascu no d ei d u e d ad i.
In S ci sono 36 eventi sem p lici:
E1  1,1 , E 2  1,2 , E 3  1,3 , E 4  1,4 , E 5  1,5 , E 6  1,6 ,
E 7  2,1 , E 8  2,2 , E 9  2,3 , E 10  2,4 , E 11  2,5 , E12  2,6 ,
E 13  3,1 , E14  3,2 , E 15  3,3 , E 16  3,4 , E 17  3,5 , E 18  3,6 ,
E 19  4,1 , E 20  4,2 , E 21  4,3 , E 22  4,4 , E 23  4,5 , E 24  4,6 ,
E 25  5,1 , E 26  5,2 , E 27  5,3 , E 28  5, 4 , E 29  5,5 ,E 30  5,6 ,
E 31  6,1 , E 32  6,2 , E 33  6,3 , E 34  6,4 , E 35  6,5 ,E 36  6,6 .
Y  2  E1  ,
Y  3  E 2 , E 7  ,
Y  4  E 3 , E8 , E13 
Y
Y
Y
,
 5  E 4 , E 9 , E14 , E19  ,
 6  E 5 , E10 , E15 , E 20 , E 25  ,
 7  E 6 , E11 , E16 , E 21 , E 26 , E 31 
Y
 8  E12 , E17 , E 22 , E 27 , E 32 
Y  9  E18 , E13 , E 28 , E 33 
Y
 10   E 24 , E 29 , E 34 
Y  11  E 30 , E 35 
Y  12  E36 
.
,
,
,
,
,
Una volta trovate le probabilità d egli eventi sem plici in S,
la probabilità d a assegnare a ciascun valore y si calcola
facend o la som m a d elle probabilità d i tutti i punti
cam pione in S a cui è associato il valore y.
P Y  2   P E1   1 36
PY  3  PE1   PE7   2 36
PY  4  PE1   PE7   PE13   3 36
In questo modo la distribuzione di probabilità di Y diventa:
Y
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(y) 1/ 36 2/ 36 3/ 36 4/ 36 5/ 36 6/ 36 5/ 36 4/ 36 3/ 36 2/ 36 1/ 36
La d istribu zione d i probabilità d i u na variabile aleatoria
d iscreta Y pu ò essere rappresentata in m aniera grafica
costru end o u n istogram m a che associa a ciascu n valore
Y = y u n rettangolo avente am piezza 1/n (d ove n è il
nu m ero d i valori che la variabile aleatoria pu ò
assu m ere) e altezza p(y).
In qu esto m od o, l’area d i ciascu n rettangolo sarà u gu ale
alla probabilità P(Y = y) e l’area totale d i tu tti i rettangoli
che form ano l’istogram m a sarà u gu ale a 1.
N e segu e che la probabilità Pc  Y  d  , con a  c  d  b ,
sarà u gu ale alla som m a d elle aree d ei rettangoli
d ell'istogram m a nell'intervallo
[c, d ] .
Esempio Se l’esp erim ento d escritto nell’esem p io
p reced ente fosse effettivam ente esegu ito, u n singolo
valore Y verrebbe osservato.
Il valore d i Y p otrebbe essere 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12.
Se l’esp erim ento venisse rip etu to n volte, n valori y
verrebbero osservati.
Su p p oniam o che, d op o avere esegu ito l’esp erim ento 100
volte, i segu enti risu ltati vengano osservati.
Y
Frequ enze
Frequ enze
osservate in
relative
100 lanci
y1 = 2
3
.03
y2 = 3
4
.04
y3 = 4
7
.07
y4 = 5
11
.11
y5 = 6
17
.17
y6 = 7
21
.21
y7 = 8
13
.13
y8 = 9
12
.12
y 9 = 10
8
.08
y 10 = 11
3
.03
y 11 = 12
1
.01
Si noti la som iglianza tra i d u e istogram m i.
In segu ito verrà presentato u n teorem a in cu i si
d im ostra che, all’au m entare d el nu m ero d elle
ripetizioni d i u n esperim ento, la d istribu zione d elle
frequ enze em piriche si approssim a sem pre più alla
d istribu zione teorica d i probabilità.
Costruiamo una v.c. e le corrispondenti probabilità in due fasi:
1. Ad ogni evento di  si associa uno ed un solo numero reale X(e).
Questa operazione definisce una v.c. X.
2. Ad ogni possibile valore di X(.) si associa una probabilità Pr[X].
Questa operazione definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X.
Si osserva che mentre la regola da adottare è arbitraria in quanto
dipende da ciò che vogliamo che la v.c. interpreti, lo stesso non è vero
per la determinazione della distribuzione di probabilità Pr[X] in quanto
quest’ultima è legata alle probabilità degli eventi elementari Pr[e].
Anziché specificare le singole P[X] si cercherà, ove possibile, di determinare
la relazione funzionale che lega queste probabilità, sintetizzata in una
funzione f(x). Ciò sarà necessario quando la v.c. X è di tipo continuo o
discreto con un numero molto elevato di valori.
In alcuni casi, sarà necessario calcolare la probabilità che X assuma un
valore minore o uguale a xk, cioè
Pr X  xk   F ( xk )
Questa funzione è detta funzione di ripartizione (f.r.) ed è uguale a:
F ( xk )  f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xk ) 
 f (x )
xi  xk
i
Proprietà della f.r. F(.):
1.
F ()  0
2.
F ( xn )  F ()  1
3.
F ( xi )  F ( xi 1 )  f ( xi )
La rappresentazione di F(x) è una “funzione a gradini”.
Valore atteso e varianza
Per le variabili discrete è possibile definire un valore atteso E[x]
ed una varianza Var[x] che sono analoghe alle misure di
posizione e dispersione del valore medio e dello scarto
quadratico medio:
imax
  E[ x]   xi pi
i 1
imax
 2  Var[ x]   ( xi   ) 2 pi
i 1
Valore atteso e varianza
non coincidono con media e scarto
quadratico medio
imax
  E[ x]   xi pi
i 1
imax
x   xi f i
i 1
imax
 2  Var[ x]   ( xi   ) 2 pi
i 1
imax
S 2   ( xi  x ) 2 f i
i 1
Per un numero di tentativi molto elevato è ragionevole
che si identifichino le fi e le pi.
In p reced enza abbiam o osservato che la d istribu zione d i
p robabilità d i u na variabile aleatoria d iscreta Y p u ò
essere generata assegnand o u na p robabilità p(y)
m aggiore o u gu ale a zero a ciascu no d ei valori che Y p u ò
assu m ere, in m od o tale che
 p y   1 .
y
La d istribu zione d i p robabilità d i u na variabile aleatoria
continu a, p erò, non p u ò essere sp ecificata nello stesso
m od o.
N on è p ossibile, infatti, assegnare u n valore non nu llo a
ciascu no d egli infiniti valori che u na variabile aleatoria
continu a p u ò assu m ere e, allo stesso tem po, rispettare il
vincolo second o cu i la som m a d i tali probabilità d eve
essere u gu ale ad 1.
Per assegnare i valori d i p robabilità ad u na variabile
aleatoria continu a d obbiam o d u nqu e p roced ere in u n
altro m od o.
Distribuzioni di probabilità continue
y
y
x
a
b
x
Sono descritte da funzioni.
L’area sottesa dalla curva tra due valori (es. a-b) è la probabilità
che la variabile casuale assuma valori compresi tra a e b
Si presuppone l’esistenza di una funzione f(x) t.c.
Si definisce poi la probabilità che X sia compresa
fra a e b nel modo seguente:
Questa definizione soddisfa gli assiomi della teoria
della probabilità.
La funzione f(x) è detta densità di probabilità
f y  0


f  y dy  1

f(y), non è la probabilità, ma è proporzionale (a meno di un
infinitesimo) alla probabilità di un intervallo <<sufficientemente
piccolo>>
La probabilità che X prenda un valore nell’intervallo [a,b] è l’ area
sotto la pdf fra a e b.
La funzione di distribuzione (o ripartizione) F(x), di una variabile
aleatoria X, ed è definita per x da
P( x A  x  x B ) 
xB
 f ( x)dx
xA
f(x)
L’integrale è la
probabilità che la
variabile casuale
assuma un valore
in un intervallo e
dipende dalla
densità di
probabilità f(x)
XA
XB
x
Probabilità d iverse d a zero p ossono qu ind i essere assegnate
ad intervalli di valori d i u na variabile aleatoria continu a X .
A ciascu no d ei singoli valori che la variabile aleatoria
continu a p u ò assu m ere, invece, è sem p re associata u na
p robabilità u gu ale a zero, P(X = x) = 0.
Qu est’u ltim a afferm azione risu lta p iù facilm ente
com prensibile se interpretiam o la probabilità in term ini
geom etrici:
l’area sottesa alla fu nzione d i d ensità f(x) nell’intervallo
corrispond ente ad u n pu nto è necessariam ente u gu ale a
zero.
Cosa significa in pratica il fatto che u na probabilità
u gu ale a 0 viene associata ad u n evento perfettam ente
legittim o e possibile (ovvero, l'evento corrispond ente al
fatto che la variabile aleatoria continu a assu m a u n
d eterm inato valore)?
Esempio. Sia X la variabile aleatoria continu a
corrispond ente all'altezza in centim etri d i u no stu d ente
scelto a caso d alla popolazione stu d entesca u niversitaria.
Su pponiam o d i d isporre d i u no stru m ento infinitamente
preciso per m isu rare l'altezza e poniam o che l'altezza
d egli stu d enti u niversitari vari tra 150 e 210 cm .
La variabile aleatoria X , qu ind i, p otrà assu m ere qu alsiasi
valore com preso in qu esto intervallo.
Consid eriam o ora u n particolare evento all'interno d ello
spazio cam pione, ovvero l'evento X = 173.128735274 cm .
Pu r essend o qu esto u n valore che X pu ò legittim am ente
assu m ere, non sarà facile trovare u no stu d ente che abbia
esattamente qu esta altezza.
Potrem m o continu are a m isu rare l'altezza d i m oltissim i
stu d enti senza m ai osservare l'evento in qu estione. Qu esto
ci porterebbe a conclu d ere tale evento è talm ente
im probabile che ad esso pu ò essere assegnata u na
probabilità u gu ale a 0.
La funzione f(x) non è una probabilità, è solo il suo
integrale su un intervallo (che ha il significato di
probabilità).
Nel caso discreto invece, la distribuzione di probabilità
f(xk) è per definizione la probabilità P(X=xk)
Distribuzioni discrete e densità continue sono oggetti
matematici di tipo diverso, non confrontabili fra loro.
Lo strumento che consente di confrontare variabili
aleatorie continue e discrete sono invece le rispettive
funzioni di distribuzione.
Variabili continue: limite
del caso discreto
f(x)
Valore atteso per variabili continue
Variabili
continue
  E[ x] 
 xf ( x)dx
xMin
Somma
Variabili
discrete
xmax
prob
di avere
x
imax
  E[ x]   xi pi
i 1
Varianza per variabili continue
Variabili
continue
 2  Var[ x] 
xmax
2
(
x


)
f ( x)dx

xMin
Somma
Variabili
discrete
Scarto
quadratico
imax
probabili
tà
di x
 2  Var[ x]   ( xi   ) 2 pi
i 1
Def. 11. Momenti semplici di ordine r.
Se X è una v.c. il momento di ordine r, con r naturale, è definito
dalla seguente:

  x
E Xr 
r
f ( x)dx
Nel caso continuo.
E X r   x rj f ( x j )
Nel caso discreto

 
j
Si osserva che per r=1 si ottiene il valore atteso (aspettativa) di X.
Def. 12. Momenti centrali di ordine r.
Se X è una v.c. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è
definito dalla seguente:

  x  E ( X ) f ( x)dx
E X  E ( X ) 
r

r
Nel caso continuo



E X  E ( X )   x j  E ( X ) f ( x j )
r
r
j
Si osserva che per r=2 si ottiene la varianza di X.
Nel caso discreto
Il teorema di Bayes nel caso di variabili aleatorie
continue assumen la seguente formulazione
p ( B | A) 
p( A | B) p( B)

 p( A | B) f (b)db

Dove f è la fuzione di densità di probabilità della
variabile aleatoria B