I campi elettrico e magnetico
I campi elettrico E(x, y, z, t) e magnetico H(x, y, z, t)
(V/m e A/m rispettivamente) sono, in generale, funzioni delle coordinate spaziali e del tempo.
Ipotesi di regime armonico, nella quale sono valide le
rappresentazioni basate sui vettori complessi (fasori):
E(x, y, z, t) = <[E(x, y, z) exp(jωt)]
H(x, y, z, t) = <[H(x, y, z) exp(jωt)]
ω è la pulsazione (rad/s).
E(x, y, z) = x◦(Exr + jExj ) + y◦(Eyr + jEyj ) + z◦(Ezr + jEzj )
H(x, y, z) = x◦(Hxr + jHxj ) + y◦(Hyr + jHyj ) + z◦(Hzr + jHzj )
Sussistono le equazioni di Maxwell:
∇×E
∇×H
∇·D
∇·B
=
=
=
=
−jωB − Jim
jωD + J + Ji
ρ
ρm
B è l’induzione magnetica,
D è lo spostamento elettrico.
ρ e ρm sono le densità di carica elettrica e magnetica.
J è la densità di corrente elettrica legata al campo E.
Ji e Jim sono le densità di corrente elettrica e magnetica
impresse.
Sussistono le relazioni costitutive:
D = E
B = µH
è la costante dielettrica e µ è la permeabilità magnetica.
In generale, si ha:
0
00
0
00
= − j = ◦r = ◦(r − jr )
0
00
0
00
µ = µ − jµ = µ◦µr = µ◦(µr − jµr )
(◦ e µ◦ sono la costante dielettrica e la permeabilità
magnetica nel vuoto).
Si ha, inoltre:
J = σE
(1)
dove σ è la conducibilità (S/m).
Combinando le equazioni di Maxwell con le relazioni
costitutive si ha:
∇ × E = −jωµH − Jim
∇ × H = jωE + σE + Ji
Campi magnetici creano vortici di campo elettrico, e
viceversa. È cosı̀ consentita la propagazione di potenza
elettromagnetica.
Equazioni delle onde
All’esterno delle sorgenti, Ji = Jim = ρ = ρm = 0.
Supponendo che il mezzo sia isotropo:
∇ × ∇ × E = −jωµ∇ × H
(2)
Per le proprietà dell’algebra vettoriale:
∇∇ · E − ∇2E = −jωµ∇ × H
(3)
Tenendo conto che ∇ · E = ρ = 0
e ponendo ω 2µ◦[r − jσ/(ω◦)] = k 2 si ha:
∇2 E + k 2 E = 0
(4)
Analogamente, si ha:
∇2 H + k 2 H = 0
(5)
Si hanno le equazioni di Helmotz, che regolano la propagazione
nei mezzi indefiniti. k è detta “costante di propagazione”
o “numero d’onda”.
Ipotesi di propagazione lungo l’asse z per mezzi privi
di perdite ( e µ reali, σ = 0).
Soluzioni sono:
E = E◦ exp(∓jkz)
H = H◦ exp(∓jkz)
con:
u
uµ
E◦
t
=Z=u
H◦
Z prende il nome di “impedenza del mezzo” (Ω).
v
(6)
Si ha un’onda piana. Il campo elettrico e il campo
magnetico variano sinusoidalmente:
• nel tempo, per un dato valore di z;
• lungo la coordinata z, ad un dato istante.
L’ambiguità di segno corrisponde alla possibilità di avere
propagazione sia nel verso delle z positive (segno -) che
nel verso delle z negative (segno +). Nella direzione
z e nel verso di propagazione l’onda trasporta potenza
elettromagnetica.
Propagazione guidata
Avviene lungo strutture rettilinee che differiscono tra
di loro per la sezione.
Esempi di sezioni:
La linea di trasmissione è rettilinea e uniforme lungo
l’asse z
V (z) = V + exp(−γz) + V − exp(γz)
(7)
I(z) = I + exp(−γz) − I − exp(γz))
(8)
Il rapporto V +/I +=V −/I − viene chiamato impedenza caratteristica
e si indica con il simbolo ZC .
Si distinguono due categorie fondamentali di strutture.
1. Alcune strutture presentano almeno due conduttori
paralleli separati.
Sono pienamente e univocamente descrivibili con la
teoria delle linee di trasmissione.
2. Altre strutture non presentano conduttori separati.
In questo caso, non sono definibili una tensione e
una corrente. La trattazione deve partire dai concetti di campo elettrico e campo magnetico.
Potranno essere riutilizzati concetti propri delle linee
di trasmissione dopo aver fissato opportune equivalenze.
Nel secondo caso
E(x, y, z) =
=
H(x, y, z) =
=
Et(x, y, z) + Ez(x, y, z)
ΣΣ[enm(x, y) + eznm(x, y)] exp(−jβnmz)
Ht(x, y, z) + Hz(x, y, z)
ΣΣ[hnm(x, y) + hznm(x, y)] exp(−jβnmz)
Ogni modo
• Ha sue funzioni enm(x, y), eznm(x, y), hnm(x, y),
hznm(x, y) Si determinano dalle equazioni di Helmotz e dalla geometria
• Ha una propria costante di propagazione βnm
• Porta potenza indipendentemente dagli altri modi
(principio di ortogonalità)
• Ha una propria frequenza di ’cut-off’, al di sotto
della quale non può propagarsi. Il modo con la frequenza di ’cut-off’ più bassa è detto ’fondamentale’.
