Capitolo 7
Vettori e matrici
algebrici
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
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Vettori e matrici
Definizione 7.1 (Matrice) Tabella di numeri ordinata per righe e colonne.
Si indica con aij l'elemento della matrice A che si trova all'incrocio della
riga i-esima con la colonna j-esima. Se m è il numero di righe ed n quello
delle colonne abbiamo
m ed n sono dette dimensioni della matrice; se m = n la matrice è detta
quadrata.
Nota. Se tutti gli elementi sono nulli, si parla di matrice nulla indicata con O.
L'insieme di tutte le matrici con m righe e n colonne sarà indicato con
RmXn e tali matrici saranno dette di tipo m X n. Gli elementi che hanno il
primo e il secondo indice uguale 11; a22; a33; :::; akk, k = min{m, n},
formano la diagonale principale della matrice A. Due matrici si dicono
uguali se hanno la stessa
dimensione e inoltre sono uguali i rispettivi elementi.
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Vettori e matrici
Definizione 7.2 (Vettori) Sono matrici particolari formate da una sola riga,
per cui m = 1
detto vettore riga, oppure da una sola colonna, per cui n = 1
detto vettore colonna.
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Matrici quadrate…per tutti i gusti
1. Matrici triangolari inferiori:
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Matrici quadrate…per tutti i gusti
2. Matrici triangolari superiori:
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Matrici quadrate…per tutti i gusti
3. Matrici diagonali:
Caso particolare se
Detta matrice identità.
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Operazioni con matrici
Definizione 7.3 (Trasposta) Data una matrice A di tipo m X n
definiamo la trasposta di A la matrice AT i cui elementi sono
ottenuti
da quelli di A scambiando righe e colonne; AT è quindi di tipo n
X m:
Nota. Una matrice A è detta simmetrica se A = AT .
Definizione 7.4 Siano A e B matrici di tipo m X n; definiamo,
con
a in R,
i) C = A + B ponendo cij = aij + bij per ogni valore di i e j;
ii) C = a A ponendo cij = aij per ogni valore di i e j.
Tali operazioni sono dette rispettivamente
somma di matrici e
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Operazioni con matrici
Definizione 7.5 (Prodotto righe per colonne) Sia A di tipo m X q
e B di tipo q X n: Allora
iii) C = AB ha dimensione m X n e si ottiene ponendo
per ogni valore di i e j.
Nota. Il prodotto tra matrici non e commutativo.
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Proprietà algebriche
Proposizione 7.1 (Proprietà prodotto) Siano A, B matrici tali
che il prodotto AB risulta definito e a in R. Allora
1.
(aA)B = A(aB) = a(AB).
2. Se D ha le stesse dimensioni di A si ha
(A + D)B = AB + DB.
3. Se C ha le stesse dimensioni di B si ha
A(B + C) = AB + BC.
4. Se A di tipo m X q, B di tipo q X p e C di tipo p X n: Allora
A(BC) = (AB)C.
5. (AB)T = BTAT.
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Prodotto scalare
Nel caso di vettori di uguali dimensioni e possibile eseguire i
prodotti
di tipo 1 X q con q X 1 ossia vettore riga per vettore colonna
xT y = (x1y1 + x2y2 + …+ xqyq)
detto anche prodotto scalare e “restituisce” quanto restituisce
un numero.
Nota. Il prodotto scalare non dipende dall'ordine con cui viene
eseguito. Non si deve confondere il prodotto scalare con il
prodotto di un vettore di tipo m X 1 per un vettore di tipo 1 X
n.
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Inversa di una matrice
Definizione 7.6 (Matrice inversa) Sia A quadrata n X n. Se esiste una
matrice avente la stessa dimensione di A, tale che
A-1A = I = AA-1 allora la matrice A-1 è detta inversa della matrice A.
Proposizione 7.2 (Proprietà dell'inversa) Siano A e B due matrici invertibili.
Allora risultano invertibili anche A-1, AT e AB e si ha
(A-1)-1 = A, (AT)-1 = (A-1)T, (AB)-1 = B-1A-1.
Altre proprietà delle matrici.
Proposizione 7.3 Siano A matrice quadrata, I matrice identità e O matrice
nulla di dimensione n. Allora
1. A + O = O + A = A;
2. A + (-A) = (-A) + A = O;
3. AO = OA = O;
4. AI = IA = A.
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