L’INTEGRALE DEFINITO
b
a
f x dx
1
ARGOMENTI
1. Mappa concettuale
2. Le successioni numeriche
3. Il Trapezoide – area del Trapezoide
4. L’integrale definito – def. Di Riemann
5. Funzioni integrabili secondo Riemann
6. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media
7. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario
8. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”
9. Applicazioni dell’integrale definito
- Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede
- Calcolo di volumi - volumi di figure di rotazione
- Lunghezza di un arco di curva
- Calcolo dell’area di superfici di rivoluzione
- Integrali impropri o generalizzati
- Applicazioni del calcolo integrale alla fisica
2
c
CONCETTO
di
LIMITE
»
LA DERIVATA
è il limite
del rapp.increm.
L’INTEGRALE
DEFINITO
è il limite
di una successione
L’INTEGRALE
INDEFINITO
è l’insieme infinito
delle PRIMITIVE
INTEGRALE
DEFINITO
e AREA del
TRAPEZOIDE
TEOREMA
FONDAMENTALE
DEL CALCOLO INTEGRALE
3
LE SUCCESSIONI NUMERICHE
Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N R
(Dominio N e Codominio R)
Una successione può essere definita:
1. Mediante la formula che definisce il termine
n-esimo: an = 2n2+1 nN
2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e
la legge che lega un termine al precedente:
a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an
(a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13,
a8=21 … successione di Fibonacci).
4
LIMITI DELLE SUCCESSIONI
Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il
dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n + .
Definizioni:
1.
Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive
limanl
n
se R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| <
1.
an
con n > n .
Successione divergente: diverge positivamente se
lim
a
n
n
diverge negativamente se
lim
a
n
n
3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè
divergenti.
5
DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI
1.
Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge
che definisce i termini successivi nel modo seguente:
a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d
Il numero reale d prende il nome di ragione.
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
2.
n a
a
n
n
1
1
n
S
a
n
a
n
d
n
k
1
2
2
k
1
Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge
che definisce i termini successivi nel modo seguente:
a1, a2=a1q, a3=a2q , … , an+1=anq
Il numero reale q prende il nome di ragione.
La somma dei primi n termini è data dalla formula:
n
1-qn
S
a
a
se
q1
n
k
1
1
q
k
1
S
n
a
1
n
1 seq
6
IL TRAPEZOIDE
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi
sia non negativa.
Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di
equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.
7
L’AREA DEL TRAPEZOIDE
Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva
assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il
minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di
Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:
n
s
m
h
n
i
i
1
n
S
M
h
n
i
i
1
8
n
s
m
h
n
i
i
1
n
S
M
h
n
i
i
1
sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n
rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate
minime mi della curva in tali intervallini;
Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è …
Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n.
Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]:
sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni.
Teorema.
Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e
convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n + e risulta:
n
n
lim
m
h
lim
M
h
i
i
i
1
n
i
1
n
Definizione:
Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0,
dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune
per n + delle somme sn e Sn .
9
L’INTEGRALE DEFINITO
Definizione di integrale definito secondo Riemann:
Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed
Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con
la scrittura:
b
f
x
dx
lim
s
lim
S
n
n
n
n
a
Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx .
I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale:
a - estremo inferiore, b - estremo superiore.
La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione.
N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].
10
Se per ogni x [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile,
allora
rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
dx
0, mentre
Area
4,
sinx
infatti
Area
2sinx
dx
4
0
11
Esempi di calcolo dell’integrale definito.
1.
Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito
La f(x) è continua in [a ; b].
b
pxqdx.
a
ba
m
q
kpx
k1qpak1
n
ba
M
q
kpx
kqpak
n
ba
Siavrà
quindi
: pongo
β
n
ba
ba
ba
snm
m
...
m
1
2
n
n
n
n
pa
qβpaβqβ...
pan1βqβ
2
npa
p
1
2
...
n
1
β
nq
β
n
pa
q
β
p
β
1
2
...
n
1
(somma
n
n
1
essendo
1
2
...
n
1
di
una
progressio
ne
aritmetica
di
ragione
1)
si
ottiene
:
2
e
b
a
n
1
b
a
n
1
n
n
s
pa
q
b
a
p
analogamen
te
:S
pa
q
b
a
p
n
n
n
2
n
2
2
2
12
Calcoliamo ora l’integrale definito:
b
pxqdx limsn limSn
a
n
n
b
2
2
n1
n1
ba n
ba n
px
qdx limpa
qbap
lim
pa
qbap
n
2
2
n
n
n
a
b
2
2
n1
b-a
n
n1
b-a
n
pa
q bap
lim 2
2
pxqdx paq bap lim
n
n
2
n
2
n
a
b
b-a2
px
qdxpa
qbap
2
n1
n
essendo
lim 2 1 .
n
n
a
Si può anche scrivere :
b
2
b
a
pa
q
pb
q
px
q
dx
pa
q
b
a
p
b
a
2
2
a
L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio !
13
Osservazione importante:
L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo:
2
2
pa
q
pb
q
b
a
px
q
dx
b
a
p
qb
p
qa
b
a
2
2
2
Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo
d’integrazione [a ; b] della funzione
2
x
F
x
p
qx
dove
F
x
px
q
dx
è
una
prim
di
f
x
px
q
2
Si può scrivere quindi:
b
px
q
dx
b
F
F
a
.
a
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale
concetto.
14
2
2.
Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito
La f(x) è continua in [1 ; 2].
2
x
dx .
1
Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti
x0, x1, … , xn-1, xn :
ba 1
poichè , siavrà
:
n n
1
2
n1
x
1,x
1 , x2 1 , x
1
, x
2
0
1
n
1
n
n
n
n
n
1
sn
2xi
i
0
1
2
n
1
1
2
n
1
1
1
1
2
1 1
22 n2 n...
2 n 12n2n...
2n
n n
n
1
2
n
1
1
2
n
1
1
2 n
1 1 1n 1n
2
n
n
n
S
2 2 2 ...
2
2 2 2 ...
2 2
n
n n
i
1
n
n
xi
Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in
progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può
scrivere:
n
1
n
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1 n
n
n
s
1
2
e
analoga
te
si
ricav
S
2
2
n
n
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
15
2
dx
lim
s
lim
S
n
n
n
n
1
2
x
1
1
1
x
n
nn
2
dx
lim
2
lim
2
2
...
De
l'
Hospital
...
2log
e
1
1
2
n
n
n
n
1
1
2
1
2
2
Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la
differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione
x
x
x
F
x
2
log
e
dove
F
x
2
dx
è
una
prim
di
f
x
2
2
Si può scrivere quindi:
2
2
dx
2
F
1
F
log
e
2log
2
e
2log
e
.
2 2
2
x
2
1
16
FUNZIONI INTEGRABILI
Teorema
Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a; b]
La condizione non è sufficiente.
Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge:
.
0,
se
x
è
razional
f
x
1,
se
x
è
irrazion
e
Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come
si dimostra facilmente
sn lim
S
lim
n
n
n
Teorema
Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] .
Classi di funzioni integrabili:
• Ogni funzione f : [a, b] R continua è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b] R limitata e monotona è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b] R limitata con un numero finito o numerabile di
punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.
17
18
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO
Definizioni:
1.
se a < b si pone:
1.
se a = b
Teoremi:
1.
2.
3.
4.
proprietà additiva
5.
6.
b
b
a
a
xdx
f
xdx
f
19
7. Teorema della media
Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c [a, b] tale che
(*)
Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b].
Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha:
b
f
x
dx
a
b
m
b
a
f
x
dx
M
b
a
m
M
b
a
a
b
L’espressione
a f x dx
ba
è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori
intermedi, esiste almeno un punto c [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).
20
Interpretazione geometrica del teorema della media.
Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato.
Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata.
In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il
valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente
come area al trapezoide.
21
FUNZIONE INTEGRALE
Fissato x0 [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]:
Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.
22
La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica
23
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
(Torricelli-Barrow)
Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale
x
F
x
t dt
f
a
è derivabile x [a, b], e si ha:
F'(x) = f (x) e F(a) = 0 .
Dimostrazione:
prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):
x
h
x
x
x
h
x
f
t
dt
f
t
dt
f
t
dt
f
t
dt
f
t
dt
F
x
h
F
x
a
a
x
a
a
per
la
proprietà
additiva
h
h
h
x
h
f
t
dt
x
per
il
teorema
della
media
f
c
con
c
x;
x
h
.
h
24
Calcolo il limite del rapporto incrementale per h 0:
F
x
h
F
x
lim
lim
f
c
f
x
per
l'
ipotes
di
conti
dell
f
x
.
hh
h
0
0
c
x
Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) .
La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:
a
F
a
f
x
dx
0
per
la
definizion
e
N
2
.
a
b
Osservazio
ne
:
b
f
F
x
dx
a
25
Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha:
b
f
x
dx
b
a
x
a
b
a
Dimostrazione:
Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè
φ(x) = F(x) + k φ(x) =
x
f t dt
a
a
+ k , quindi, poiché
f tdt0
, si ha:
a
a
k
b
b
.
f
t
dt
b
a
b
f
t
dt
k
a
a
Regola:
L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori
assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore
a dell’integrale stesso.
26
Esempi
:
2
2
e dx e
1
3
1 1
1. xdx x2 41
2
2 1 2
1
2.
x1
0
x
e1
0
π4
0π 4 lncosπ lncos0 ln 2 ln1 ln2
tgxdx
lncosx
4
2
2
0
3.
4.
3x 2x5dxx x
2
2
3
2
5x1 8410115 9
2
1
1
1
1
π ln2
5. arctgx
dx ... (perparti)... xarctgx
ln1x2
2
4
2
0
0
4
6.
x
2
x
0
3xdx... x 3x0 per x
0x 3...
2
1
2
3
4
3xdx x 3xdx x2 3x dx
1
0
3
2
0
3
4
3
3 1
3 49
1
1
x3 x2 x3 x2 x3 x2
2 1 3
2 0 3
2 3 6
3
27
x
2
7. Data
lafunzione
F(x)
sin
(t)dt
,
0
determina,
servendoti
delteorema
diTorricelli
Barrow,
gliintervalli
incuiessavolge
laconcavità
verso
l'alto
.
Risposta
: F(x)
è derivabile
,
quindi
lacondizione
necessaria
e sufficient
e perlaconcavità
verso
l'alto
è cheF''(x)0.
2
F'(x)sin
(x),F''(x)2sinxcosx
;
F''(x)0; 2sinxcosx
0 ; sin2x
0 perkx k
2
e per tali
valori
di x, laconcavità
della
F(x)
è verso
l'alto
.
x
1t
8. Determina
l'equazione
della
rettatangente
algrafico
della
funzione
F(x)
t
4
dt nelpunto
diascissa
x1.
1
1
1t
Risposta
: poichè
F(1)
1
t
4
x
0 e F'(x)
, siha:
1x4
m(x
-1)
y-F(1)
1
y-0 x1;
2
mF'(1)
1 1
y x .
2 2
28
Grafico della funzione integrale F(x)
Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x),
basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio:
x
x
1
1
2
3
31
F
(
x
)
t
dt
t
x
.
3
3
3
1
1
Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue.
Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b],
x
x
t dtè derivabile x [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) e F(a) = 0 .
la sua funzione integrale F
af
Osserviamo, quindi che:
a.
se f(x) > 0 F(x) è crescente, se f(x) < 0 F(x) è decrescente;
b.
se f(x) = 0 esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x);
c.
se f(x) è dispari F(x) è pari;
d.
se f(x) è pari e a = 0 F(x) è dispari.
Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’.
29
30
31
Esempio: studia la funzione
x
2
t
(x
in questo caso non è facile trovare la primitiva! )
F
(
x
)
e dt
con
R
.
0
Poiché
2
f(x) ex
si ha che:
dominio F(x): tutto R;
F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!);
F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine;
per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha:
a. F’(x) = f(x) > 0 x R F(x) è sempre crescente in R;
b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari;
d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari.
2
'
'
x
'
'
F
(
x
)
2
xe
; F
(
x
)
0
per
0
,quindi concavità versox
l’alto per x < 0, verso il basso per
x > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ).
Tenuto presente che
2
x
lim
F
'(
x
)
lim
e
0
, si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al
x
x
tendere di x a ± , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintoti
orizzontali, uno per x + e uno per x - .
Da quanto detto, il grafico sarà:
32
π
π
Si
dimostra
che
lim
F(x)
,
cioè
gli
asinto
orizz
i
hann
equ
y
.
x
2
2
Con
metodi
particolar
i,
che
vanno
oltre
il
programma
di
V
liceo
scient.,
si
determ
il valo
2
x
dell'
integrale
di
Gauss
:
e
dx
.
2
0
33
REGOLE DI INTEGRAZIONE
1. Integrazione per parti
Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale:
g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
34
2. Integrazione per sostituzione
Sia f : [a, b] R una funzione continua, sia φ : [α, β] [a, b] una funzione continua e derivabile
con continuità.
Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d] [a, b], esistono due
valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula:
Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.
Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal
caso si può scrivere:
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
35
Esempio
4
Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito
xdx .
1
Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia
x = φ(t), cioè x = t2 e
t x .
Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t:
[1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) .
Effettuando la sostituzione x t2, ( dx = d(t2) dx = 2tdt ), si ha:
4
2
3
2
3
1
1
1
2
3
2
3
15
xdx
2
t
dt
2
t
dt
2
t
dt
2
t
dt
2
1
1
36
4
2
1
1
3
xdx
2
x
dx
37
4
2
1
-1
3
xdx
2
x
dx
38
4
-2
3
1
1
2
xdx
xdx
39
4
-2
3
1
-1
2
xdx
xdx
40
Altro esempio (integrazione per sostituzione)
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
1
2
(a)
f
x
dx
2
e
(b)
f
x
dx
5
.
0
0
Di ciascuno dei seguenti integrali:
1
2
4
1
x
x
x
1.
f
dx
; 2.
f
dx
; 3.
f
dx
; 4.
f
2x
dx
,
2
2
2
0
0
2
0
dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è
questo.
Risoluzione.
Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti:
per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano
x = 0 t = 0;
x = 1 t = 1/2;
x = 2 t =1, quindi
41
12
1
x
1. f dx 2 f t dt ?
2
0
0
le condizioni non sono sufficienti per calcolarne il valore!
2
1
x
2. f dx 2 f t dt 4
2
0
0
per l'integrale (a).
2
2
0
x
3. f dx 2 f t dt 2 f t dt f t dt 2- 2 - 5 -14
2
1
2
1
0
per la proprietà additivae per gli integrali (a) e (b).
4
1
4.
f 2xdx
poniamo 2x t, cioè x t/2, dx dt/2,
0
con estremi d'integrazione
x 0 t 0, x 1 t 2 )
2
1
5
f t dt 20
2
per l'integrale (b).
42
