L’INTEGRALE DEFINITO b a f x dx 1 ARGOMENTI 1. Mappa concettuale 2. Le successioni numeriche 3. Il Trapezoide – area del Trapezoide 4. L’integrale definito – def. Di Riemann 5. Funzioni integrabili secondo Riemann 6. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media 7. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 8. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione” 9. Applicazioni dell’integrale definito - Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede - Calcolo di volumi - volumi di figure di rotazione - Lunghezza di un arco di curva - Calcolo dell’area di superfici di rivoluzione - Integrali impropri o generalizzati - Applicazioni del calcolo integrale alla fisica 2 c CONCETTO di LIMITE » LA DERIVATA è il limite del rapp.increm. L’INTEGRALE DEFINITO è il limite di una successione L’INTEGRALE INDEFINITO è l’insieme infinito delle PRIMITIVE INTEGRALE DEFINITO e AREA del TRAPEZOIDE TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 3 LE SUCCESSIONI NUMERICHE Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N R (Dominio N e Codominio R) Una successione può essere definita: 1. Mediante la formula che definisce il termine n-esimo: an = 2n2+1 nN 2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e la legge che lega un termine al precedente: a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an (a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13, a8=21 … successione di Fibonacci). 4 LIMITI DELLE SUCCESSIONI Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n + . Definizioni: 1. Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive limanl n se R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| < 1. an con n > n . Successione divergente: diverge positivamente se lim a n n diverge negativamente se lim a n n 3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè divergenti. 5 DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI 1. Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d Il numero reale d prende il nome di ragione. La somma dei primi n termini è data dalla formula: 2. n a a n n 1 1 n S a n a n d n k 1 2 2 k 1 Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a 1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1q, a3=a2q , … , an+1=anq Il numero reale q prende il nome di ragione. La somma dei primi n termini è data dalla formula: n 1-qn S a a se q1 n k 1 1 q k 1 S n a 1 n 1 seq 6 IL TRAPEZOIDE Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi sia non negativa. Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y. 7 L’AREA DEL TRAPEZOIDE Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme: n s m h n i i 1 n S M h n i i 1 8 n s m h n i i 1 n S M h n i i 1 sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate minime mi della curva in tali intervallini; Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è … Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n. Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]: sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni. Teorema. Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n + e risulta: n n lim m h lim M h i i i 1 n i 1 n Definizione: Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0, dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune per n + delle somme sn e Sn . 9 L’INTEGRALE DEFINITO Definizione di integrale definito secondo Riemann: Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con la scrittura: b f x dx lim s lim S n n n n a Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx . I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale: a - estremo inferiore, b - estremo superiore. La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione. N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b]. 10 Se per ogni x [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile, allora rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}. dx 0, mentre Area 4, sinx infatti Area 2sinx dx 4 0 11 Esempi di calcolo dell’integrale definito. 1. Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito La f(x) è continua in [a ; b]. b pxqdx. a ba m q kpx k1qpak1 n ba M q kpx kqpak n ba Siavrà quindi : pongo β n ba ba ba snm m ... m 1 2 n n n n pa qβpaβqβ... pan1βqβ 2 npa p 1 2 ... n 1 β nq β n pa q β p β 1 2 ... n 1 (somma n n 1 essendo 1 2 ... n 1 di una progressio ne aritmetica di ragione 1) si ottiene : 2 e b a n 1 b a n 1 n n s pa q b a p analogamen te :S pa q b a p n n n 2 n 2 2 2 12 Calcoliamo ora l’integrale definito: b pxqdx limsn limSn a n n b 2 2 n1 n1 ba n ba n px qdx limpa qbap lim pa qbap n 2 2 n n n a b 2 2 n1 b-a n n1 b-a n pa q bap lim 2 2 pxqdx paq bap lim n n 2 n 2 n a b b-a2 px qdxpa qbap 2 n1 n essendo lim 2 1 . n n a Si può anche scrivere : b 2 b a pa q pb q px q dx pa q b a p b a 2 2 a L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio ! 13 Osservazione importante: L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo: 2 2 pa q pb q b a px q dx b a p qb p qa b a 2 2 2 Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [a ; b] della funzione 2 x F x p qx dove F x px q dx è una prim di f x px q 2 Si può scrivere quindi: b px q dx b F F a . a Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale concetto. 14 2 2. Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito La f(x) è continua in [1 ; 2]. 2 x dx . 1 Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti x0, x1, … , xn-1, xn : ba 1 poichè , siavrà : n n 1 2 n1 x 1,x 1 , x2 1 , x 1 , x 2 0 1 n 1 n n n n n 1 sn 2xi i 0 1 2 n 1 1 2 n 1 1 1 1 2 1 1 22 n2 n... 2 n 12n2n... 2n n n n 1 2 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 1 1n 1n 2 n n n S 2 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2 n n n i 1 n n xi Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può scrivere: n 1 n 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 n n n s 1 2 e analoga te si ricav S 2 2 n n 1 1 1 1 n n n n n n n n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 15 2 dx lim s lim S n n n n 1 2 x 1 1 1 x n nn 2 dx lim 2 lim 2 2 ... De l' Hospital ... 2log e 1 1 2 n n n n 1 1 2 1 2 2 Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione x x x F x 2 log e dove F x 2 dx è una prim di f x 2 2 Si può scrivere quindi: 2 2 dx 2 F 1 F log e 2log 2 e 2log e . 2 2 2 x 2 1 16 FUNZIONI INTEGRABILI Teorema Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a; b] La condizione non è sufficiente. Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge: . 0, se x è razional f x 1, se x è irrazion e Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come si dimostra facilmente sn lim S lim n n n Teorema Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] . Classi di funzioni integrabili: • Ogni funzione f : [a, b] R continua è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b] R limitata e monotona è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b] R limitata con un numero finito o numerabile di punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile. 17 18 PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO Definizioni: 1. se a < b si pone: 1. se a = b Teoremi: 1. 2. 3. 4. proprietà additiva 5. 6. b b a a xdx f xdx f 19 7. Teorema della media Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c [a, b] tale che (*) Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b]. Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha: b f x dx a b m b a f x dx M b a m M b a a b L’espressione a f x dx ba è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto c [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*). 20 Interpretazione geometrica del teorema della media. Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato. Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata. In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente come area al trapezoide. 21 FUNZIONE INTEGRALE Fissato x0 [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]: Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione. 22 La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica 23 TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE (Torricelli-Barrow) Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale x F x t dt f a è derivabile x [a, b], e si ha: F'(x) = f (x) e F(a) = 0 . Dimostrazione: prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x): x h x x x h x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt F x h F x a a x a a per la proprietà additiva h h h x h f t dt x per il teorema della media f c con c x; x h . h 24 Calcolo il limite del rapporto incrementale per h 0: F x h F x lim lim f c f x per l' ipotes di conti dell f x . hh h 0 0 c x Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) . La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo: a F a f x dx 0 per la definizion e N 2 . a b Osservazio ne : b f F x dx a 25 Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha: b f x dx b a x a b a Dimostrazione: Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè φ(x) = F(x) + k φ(x) = x f t dt a a + k , quindi, poiché f tdt0 , si ha: a a k b b . f t dt b a b f t dt k a a Regola: L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore a dell’integrale stesso. 26 Esempi : 2 2 e dx e 1 3 1 1 1. xdx x2 41 2 2 1 2 1 2. x1 0 x e1 0 π4 0π 4 lncosπ lncos0 ln 2 ln1 ln2 tgxdx lncosx 4 2 2 0 3. 4. 3x 2x5dxx x 2 2 3 2 5x1 8410115 9 2 1 1 1 1 π ln2 5. arctgx dx ... (perparti)... xarctgx ln1x2 2 4 2 0 0 4 6. x 2 x 0 3xdx... x 3x0 per x 0x 3... 2 1 2 3 4 3xdx x 3xdx x2 3x dx 1 0 3 2 0 3 4 3 3 1 3 49 1 1 x3 x2 x3 x2 x3 x2 2 1 3 2 0 3 2 3 6 3 27 x 2 7. Data lafunzione F(x) sin (t)dt , 0 determina, servendoti delteorema diTorricelli Barrow, gliintervalli incuiessavolge laconcavità verso l'alto . Risposta : F(x) è derivabile , quindi lacondizione necessaria e sufficient e perlaconcavità verso l'alto è cheF''(x)0. 2 F'(x)sin (x),F''(x)2sinxcosx ; F''(x)0; 2sinxcosx 0 ; sin2x 0 perkx k 2 e per tali valori di x, laconcavità della F(x) è verso l'alto . x 1t 8. Determina l'equazione della rettatangente algrafico della funzione F(x) t 4 dt nelpunto diascissa x1. 1 1 1t Risposta : poichè F(1) 1 t 4 x 0 e F'(x) , siha: 1x4 m(x -1) y-F(1) 1 y-0 x1; 2 mF'(1) 1 1 y x . 2 2 28 Grafico della funzione integrale F(x) Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x), basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio: x x 1 1 2 3 31 F ( x ) t dt t x . 3 3 3 1 1 Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue. Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b], x x t dtè derivabile x [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) e F(a) = 0 . la sua funzione integrale F af Osserviamo, quindi che: a. se f(x) > 0 F(x) è crescente, se f(x) < 0 F(x) è decrescente; b. se f(x) = 0 esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x); c. se f(x) è dispari F(x) è pari; d. se f(x) è pari e a = 0 F(x) è dispari. Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’. 29 30 31 Esempio: studia la funzione x 2 t (x in questo caso non è facile trovare la primitiva! ) F ( x ) e dt con R . 0 Poiché 2 f(x) ex si ha che: dominio F(x): tutto R; F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!); F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine; per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha: a. F’(x) = f(x) > 0 x R F(x) è sempre crescente in R; b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari; d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari. 2 ' ' x ' ' F ( x ) 2 xe ; F ( x ) 0 per 0 ,quindi concavità versox l’alto per x < 0, verso il basso per x > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ). Tenuto presente che 2 x lim F '( x ) lim e 0 , si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al x x tendere di x a ± , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintoti orizzontali, uno per x + e uno per x - . Da quanto detto, il grafico sarà: 32 π π Si dimostra che lim F(x) , cioè gli asinto orizz i hann equ y . x 2 2 Con metodi particolar i, che vanno oltre il programma di V liceo scient., si determ il valo 2 x dell' integrale di Gauss : e dx . 2 0 33 REGOLE DI INTEGRAZIONE 1. Integrazione per parti Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale: g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione: 34 2. Integrazione per sostituzione Sia f : [a, b] R una funzione continua, sia φ : [α, β] [a, b] una funzione continua e derivabile con continuità. Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d] [a, b], esistono due valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula: Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato. Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal caso si può scrivere: Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione: 35 Esempio 4 Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito xdx . 1 Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia x = φ(t), cioè x = t2 e t x . Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t: [1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) . Effettuando la sostituzione x t2, ( dx = d(t2) dx = 2tdt ), si ha: 4 2 3 2 3 1 1 1 2 3 2 3 15 xdx 2 t dt 2 t dt 2 t dt 2 t dt 2 1 1 36 4 2 1 1 3 xdx 2 x dx 37 4 2 1 -1 3 xdx 2 x dx 38 4 -2 3 1 1 2 xdx xdx 39 4 -2 3 1 -1 2 xdx xdx 40 Altro esempio (integrazione per sostituzione) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che: 1 2 (a) f x dx 2 e (b) f x dx 5 . 0 0 Di ciascuno dei seguenti integrali: 1 2 4 1 x x x 1. f dx ; 2. f dx ; 3. f dx ; 4. f 2x dx , 2 2 2 0 0 2 0 dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è questo. Risoluzione. Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti: per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano x = 0 t = 0; x = 1 t = 1/2; x = 2 t =1, quindi 41 12 1 x 1. f dx 2 f t dt ? 2 0 0 le condizioni non sono sufficienti per calcolarne il valore! 2 1 x 2. f dx 2 f t dt 4 2 0 0 per l'integrale (a). 2 2 0 x 3. f dx 2 f t dt 2 f t dt f t dt 2- 2 - 5 -14 2 1 2 1 0 per la proprietà additivae per gli integrali (a) e (b). 4 1 4. f 2xdx poniamo 2x t, cioè x t/2, dx dt/2, 0 con estremi d'integrazione x 0 t 0, x 1 t 2 ) 2 1 5 f t dt 20 2 per l'integrale (b). 42