Integrali definiti

Integrali definiti
Calcolo di aree
Paolo Urbani - 2011
Calcolo area fra funzione e asse x
Calcolo area fra funzione e asse x
Integrale definito
b

a
7


f x  dx    x 2  8x dx  78
1
Un calcolo approssimato dell’area
Una approssimazione migliore con n=4
Una approssimazione migliore con n=6
Una approssimazione migliore con n=20
Una approssimazione migliore con n=100
“Animazione” con Geogebra
http://www.cuppari.an.it/matematica/lavoroGeoGebra.asp?id=76
Apri file Geogebra
Integrale definito
b

a
f x  dx
Integrale e derivata
Teorema di Torricelli-Barrow
x
S ( x)   f ( x)dx
a
Integrale e derivata
Teorema di Torricelli-Barrow
xh
S ( x  h) 
 f ( x)dx
a
Integrale e derivata
Teorema di Torricelli-Barrow
xh
 f ( x)dx  S ( x  h)  S ( x)
x
Integrale e derivata
Teorema di Torricelli-Barrow
area CLFD < area trapezoide CEFD < area CEGD
h  f x  h  S ( x  h)  S ( x)  h  f x
Integrale e derivata
Teorema di Torricelli-Barrow
area CLFD < area trapezoide CEFD < area CEGD
h  f x  h  S ( x  h)  S ( x)  h  f x
Dividendo per h
S ( x  h)  S ( x )
f x  h  
 f x 
h
Essendo la funzione continua si ha
lim f  x  h   f  x 
h 0
In base al teorema del confronto fra i limiti
S ( x  h)  S ( x)
 f x 
lim
h
h0
Integrale e derivata
Teorema di Torricelli-Barrow
area CLFD < area trapezoide CEFD < area CEGD
h  f x  h  S ( x  h)  S ( x)  h  f x
Dividendo per h
S ( x  h)  S ( x )
f x  h  
 f x 
h
S ' x   f x 
Essendo la funzione continua si ha
lim f  x  h   f  x 
h 0
In base al teorema del confronto fra i limiti
S ( x  h)  S ( x)
 f x 
lim
h
h0
In conclusione
b

f x  dx  S (b)  S (a)  S x 
b
a
a
l’integrale definito fra a e b di una
funzione continua f(x) è la differenza
fra i valori assunti da una generica
primitiva di f nei punti b e a
Proprietà degli integrali definiti
b

a
f ( x)dx   f ( x)dx
a
b
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx