Presentazione di PowerPoint

Meccanica 14
19 aprile 2011
Oscillatore armonico, energia meccanica
Oscillatore smorzato
Oscillatore forzato. Risonanza. Fattore di qualita`
Oscillatore armonico
• Abbiamo visto diversi sistemi che si muovono
di moto armonico
– Un punto sotto l’azione di una molla, il pendolo, il
pendolo di torsione
• Altri sistemi fisici presentano grandezze che
seguono la stessa legge oraria
– Solidi elastici, fluidi, circuiti elettrici, campi
elettromagnetici
– Strutture meccaniche che si allontanano di poco
dall’equilibrio, per cui le forze di richiamo sono
lineari rispetto agli spostamenti
2
Oscillatore armonico
• Tutti questi fenomeni sono regolati da
equazioni (in generale
più d’una) del tipo
2
d k
2
  k  k
2
dt
• Ove le k sono opportune grandezze che
caratterizzano il sistema e le pulsazioni
k2 sono costanti che dipendono dai

parametri del sistema
3
Oscillatore armonico
• Le soluzioni di queste equazioni sono
 k t   Ak sin  k t   k 
• Ove le ampiezze Ak e le fasi k sono costanti
calcolabili conoscendo le condizioni iniziali

 k t  0

d k 
 
 dt t 0
4
Energia dell’oscillatore armonico
• Riferiamoci al caso particolare del punto
materiale sotto l’azione della forza elastica F=-kx
• Questa forza è conservativa, quindi l’energia
meccanica si conserva. Verifica:
2


1 2
1 dx
1
2 2
2
K t   mv t   m   mA  cos t   
2
2 dt  2
1 2
1 2 2
U t   kx t   kA sin t   
2
2
1 2
E  K t   U t   A m 2 cos2 t     k sin 2 t 5  
2
Energia dell’oscillatore armonico
1
1 2
k
2 2
• Poiché  
abbiamo E  m A  kA
2
2
m
2
• Che è costante nel tempo
• Possiamo riscrivere K e U in termini di E


K t   E cos t   
2
U t   E sin 2 t   
• I valori medi su un periodo sono
1T
1
K   K t dt  E
T0
2
1T
1
U   U t dt  E
T0
2
6
OA smorzato da forza viscosa
• L’oscillatore armonico sia smorzato da una
forza viscosa, cioe` proporzionale e opposta
alla velocita`
F  v
• L’equazione del moto e` omogenea e ha forma
d x  dx k

 x0
2
dt
m dt m
• Detto   2m il coefficiente di smorzamento
e 0  k m la pulsazione naturale, l’eq. si
2
d x
dx
puo` riscrivere
2

2



0x 0
2
dt
dt
7
2
OA smorzato da forza viscosa
• Per risolvere questa equazione,
studiamo le soluzioni dell’eq. algebrica
associata (EAA)  2  2  02  0
• Queste sono
1, 2     2  02
• Abbiamo tre casi, a seconda del valore
del discriminante
8
OA smorzato da forza viscosa
• Caso   0 smorzamento forte, le
soluzioni dell’EAA sono entrambe negative
 2     2  02
1     2  02
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
xt   Ae  Be
1t
 2t
• A e B si determinano specificando le
condizioni iniziali
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OA smorzato da forza viscosa
• Caso   0 smorzamento debole, le
soluzioni dell’EAA sono complesse coniugate
1    i 02   2    i
 2    i 02   2    i
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
t
 t
t
it
 it



x t  Ae  Be  e Ae  Be 
1
2
10
OA smorzato da forza viscosa
• Usando la formula di Eulero e ridefinendo le
costanti, abbiamo
xt   Cet sin t   
• Ove C e  si determinano specificando le
condizioni iniziali
• La soluzione e` una sinusoide smorzata
esponenzialmente. Si definisce lo
pseudoperiodo T  2  e in un tempo T
l’ampiezza si riduce di xt  T  xt   e T
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OA smorzato da forza viscosa
• Caso   0 smorzamento critico, le
soluzioni dell’EAA sono negative e uguali
1   2  
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
xt   Atet  Be t  e t  At  B 
• A e B si determinano specificando le
condizioni iniziali
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Proprieta` asintotica t  
• In tutti e tre i casi la soluzione tende a zero
per tempi sufficientemente grandi
0
0
0
xt   Ae
 Be
xt   Cet sin t   
 1 t
 2 t
xt   e t  At  B 
• Cioe` la soluzione generale dell’eq.
omogenea soddisfa
gen
lim xomo t   0
t 
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OA forzato
• Il moto di un OA si puo` rendere persistente,
in presenza di attrito viscoso, applicando una
forza esterna sinusoidale F  F0 sin t
• L’equazione del moto diviene non omogenea
F0
d 2x
dx
2
 2
 0 x  sin t
2
dt
dt
m
• La pulsazione della forza, , e` in generale
diversa dalla pulsazione naturale
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OA forzato
• Nella teoria delle eq. differenziali si dimostra che la
soluzione generale dell’eq. non omogenea e` somma
della soluzione generale dell’eq. omogenea e di una
soluzione particolare dell’eq. non omogenea
x
gen
non omo
x
gen
omo
x
part
non omo
• Cerchiamo allora se esiste una soluzione particolare
di forma sinusoidale con pulsazione uguale a quella
della forza esterna e dipendente da due parametri da
determinare A e 
part
xnon
 omo  A sin t   
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OA forzato
• Inserendo la soluzione di prova nell’eq.
differenziale, eseguendo le derivate,
sviluppando seni e coseni e raggruppando,
otteniamo
2
2
sin t 0   A cos   2A sin   F0 m 

 cos t 




  A sin   2A cos   0
• L’eguaglianza deve valere ad ogni tempo e
questo puo` accadere se e solo se le
espressioni in parentesi quadre sono
entrambe nulle
2
0
2
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OA forzato
• Dalla seconda ricaviamo il valore di 
2
tg     2
0   2
• Per evitare la singolarita` della tangente in
  0 ridifiniamo la fase:


2

sin   cos 
cos   sin 
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OA forzato
• Avremo allora



xt   A sin t     A sin  t      A cost   
2


 
tg   
2
2
2
0
sin    
cos    

 2  02
2


  2 
2 2
0
2
2
2

  2 
2 2
0
2
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OA forzato
• Da cio` si ricava il valore di A
F0
A   
m

1
2
0


2 2
 4 2 2
• Abbiamo cosi’ trovato la soluzione particolare
cercata
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OA forzato
• Caratteristiche della soluzione particolare
della funzione spostamento:
– ha la pulsazione della forza esterna, non quella
naturale
– e` sfasata rispetto alla forza
– ampiezza e fase dipendono dalla pulsazione
esterna
– ampiezza e fase non dipendono dalle condizioni
iniziali
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Soluzione generale
• Abbiamo visto che la soluzione generale dell’eq. non
omogenea si scrive
gen
nonomo
x
(t )  x
gen
omo
(t )  x
part
nonomo
(t ) 
gen
 xomo
(t )  A( ) cost   ( ) 
• E che la soluzione generale dell’omogenea tende a
zero per tempi sufficientemente grandi
• Quindi per tempi grandi la soluzione generale della
non omogenea si riduce alla soluzione particolare
xnonomo (t )  A( ) cost   ( ) 
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Risonanza
• Cerchiamo il valore di  che rende massimo il valore
assoluto dell’ampiezza
2
2
2
2
• Se 0  2 il massimo si ha per M  0  2
F0
• E vale A  A  
M
M
2m 02   2
• Se   0 allora  M  0 e AM tende all’infinito,
cioe` piu` piccolo e` lo smorzamento, piu` la
pulsazione di risonanza e` vicina alla pulsazione
naturale, maggiore diventa l’ampiezza massima o di
risonanza
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Potenza
• La potenza istantanea e`
Pt   Fv   F0 sin tA sin t    
  F0 A sin t sin t cos   cos t sin  
• La media temporale della potenza e`
F02
1
2
P   F0 A cos  
2
m 02   2 2  4 2 2
• Il cui massimo si ha per la pulsazione
naturale
F02
P M 
4m
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Larghezza di risonanza
• E` definita dalle due pulsazioni per cui la
potenza media e` meta` della potenza media
massima P  P M 2
• Si ottengono due equazioni quadratiche in ,
le cui due soluzioni accettabili sono
1   2  02  
2   2  02  
• La larghezza di risonanza e`
  2  1  2
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Fattore di merito
• E` definito come
0
km
Q



• E` tanto maggiore quanto piu` stretta (cioe`
migliore) e` la risonanza
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