oscillatore smorzato

oscillatore smorzato
•
Aggiungiamo la resistenza del mezzo all’equazione
dell’oscillatore: ! "v ! kx = ma # mx˙˙ + "x˙ + kx = 0
equazione differenziale omogenea, soluzione
x(t ) = C1e !1t + C2 e !2 t con !1 , !2 radici di m!2 + "! + k = 0
!1,2 =
•
1
#" m " 2 # 4mk
2m
(
)
eq. caratteristica
Quando ! " 4mk < 0
2
λ complesse
x(t ) = e
#=
!
"
t
2m
(C1e
i #t
+ C2 e
! " 2 + 4mk
=
2m
!i #t
) = Ae
!
"
t
2m
cos(#t + $ )
k
"2
!
m 4m 2
moto sottosmorzato, pseudoperiodico (la posizione si
annulla a intervalli costanti) con ω tanto più prossimo alla
frequenza propria dell’oscillatore non smorzato quanto più
piccolo è lo smorzamento β.
•
Quando ! 2 " 4mk > 0
λ reali e negative, moto sovrasmorzato
C1 e C2 determinati dalle condizioni iniziali:
x(0) = C1 + C2
•
v(0) = !1C1 + ! 2C2
(possono essere positivi o negativi)
2
Smorzamento critico, quando ! " 4mk = 0
x(t ) = (C1 + C2t )e
!
"
t
2m
x(0)>0, v(0)>0
passa per x=0
se C1C2<0
Feb-26-06
lo smorzamento critico è
sempre il più rapido
x(0)>0, v(0)<0
48
soluzione del caso sottosmorzato con
la rappresentazione complessa delle
variabili sinusoidali
(programma di Complementi)
Ricaviamo con tutti i passaggi il fattore cosinusoidale
del moto smorzato:
f (t ) = (C1ei!t + C2e " i!t )
e ±i!t = cos !t ± isin !t formula di Eulero
f (t ) = (C1 + C2 ) cos !t + i(C1 " C2 ) sin !t
perché f(t) sia reale, (C1+C2) deve essere reale e (C1 -C2)
immaginario, il che significa che C1 e C2 devono
essere complessi coniugati.
Ponendo
con
C1,2 = a ± ib
1
Acos"
2
1
b = Asin "
2
a=
si ha infine
!
f (t) = 2acos"t # 2bsin "t = A(cos "t cos $ # sin "t sin $ ) = Acos("t + $ )
!
si noti che le formule di prostaferesi si ottengono
facilmente dalla formula di Eulero
cos("t + # ) + isin("t + # ) = e i("t +# ) = e i"t e i# =
= (cos "t + isin "t )(cos # + isin # ) =
= cos"t cos# $ sin "t sin # + i(sin "t cos # + cos"t sin # )
uguagliando le parti reali e le parti complesse
!
Feb-26-06
49
complementi: considerazioni
energetiche sull’oscillatore smorzato
x(t) = Ae
con $ =
•
"
#
t
2m
cos($t + % )
k
#2
"
m 4m 2
se lo smorzamento è lento, possiamo assumere che
l’energia meccanica totale sia data dall’energia
!
potenziale quando
cos("t + # ) = 1
#
"
t
1 2
2m
E = kx 0 con x 0 = Ae
2
#
1 !2 " m t
E(t) $ kA e
2
dE
#
= " E(t)
potenza dissipata
dt
m
dE
$
$
"E =
T = # TE(t) = #2%
E(t)
in un periodo:
dt
!
m
&m
per quantificare la dissipazione di energia, si introduce
il fattore di merito Q, tanto maggiore quanto
! è la frazione di energia dissipata in un
minore
periodo
Q=
Mar-9-06
!
E immagazzinata
"m
= 2$
#
E dissipata in unperiodo
63
oscillatore forzato
•
Che succede se l’oscillatore è soggetto ad una forza
esterna dipendente dal tempo? m˙x˙ + !x˙ + kx = f (t)
Se la forza è sinusoidale → mx˙˙ + !x˙ + kx = F cos "t
(
i"t
che può essere considerata #( m˙x˙ + !x˙ + kx ) = # Fe
•
)
Soluzione generale: Sol. omogenea + soluzione particolare
Sol. dell’omogenea → oscillazione smorzata:
fase transitoria, a tempi lunghi scompare
i!t
Cerchiamo una soluzione particolare della forma Ae
deve essere per ogni t
e
A=
F
F
=
"m# + i$# + k Z
2
(!m" 2 + i#" + k ) Aei"t = Fei$t % " = $
con Z coefficiente complesso
%(Z) = k - m#2 , &(Z) = $#
Z =
2
2
(k - m#2 ) + $ 2#2 = m (' 02 " #2 ) + $ 2
#2
m2
con ' 02 =
k
m
) $# ,
Z = Z e i( con ( = arctan+
.
* k - m#2 -
la soluzione a tempi lunghi è quindi in definitiva
!
& F i #t$% ) F
x(t) = "( e ( ) + =
'Z
* m
1
2
(, 02 $ #2 ) + - 2
2
#
m2
cos(#t $ % ) =
= x 0 cos(#t $ % )
!
Mar-9-06
64
Complementi: la risonanza
x0 =
F
m
1
("
2
0
2
# $2 ) + % 2
$2
m2
x0 non dipende dalle
condizioni iniziali
!
F !" 0
2)
d & 2
2 2
2 "
((# 0 $ " ) + % 2 + = 0
d" '
m *
deriviamo per
cercare massimi
e minimi
$2 , 2(# 02 $ "2 )" + 2% 2
minimo
"=0
"2 = # 02 $
x0
π!
"
=0
m2
%2
- # 02
2
2m
massimo
ϕ
π/2
Fk
0
≈ω0
•
% #$ (
" = arctan'
*
& k - m$2 )
Ω
!
ω0
Ω
L’ampiezza delle oscillazioni è massima per Ω2≈k/m,
quando il sistema è “in risonanza”
•
per Ω piccoli x0=F/k (molla senza oscillazioni)
•
lo spostamento è sempre in ritardo rispetto
all’eccitazione
•
a bassa frequenza lo spostamento è (quasi) in fase
•
alla risonanza lo sfasamento è di 90º
•
ad alta frequenza lo spostamento è in opposizione di
fase
Mar-17-06
65
Complementi:
fattore di merito
•
Energia immagazzinata:
1
E = kx 02
2
l’oscillatore assorbe tanta più energia quanto più lo
stimolo ha una frequenza prossima alla risonanza
!
la larghezza della campana stabilisce la selettività
dell’oscillatore (es. sintonizzazione di un segnale
radio)
•
Quantifichiamo la larghezza, calcolando la
“larghezza a mezza altezza” dell’energia
2
1
1
F
1
2
immagazzinata
kx 0 = k 2
2
2
2 m
2
2 2
2 $
(" 0 # $ ) + % m 2
che alla risonanza (ω0≈Ω) vale
1 2 1 F2 1
1
F2
kx 0 " k 2
k 2 2
2 =
2
2
m
2
$
# $0
!
# 2 02
m
e si riduce di un fattore due quando
2
2
2 2
2 "0
(!" 0 # $ ) = % m 2
2
2
2 "0
((" 0 # $)(" 0 + $)) = % m 2 , e se " 0 & $
2
"
%
%
2
2
(" 0 # $) 4" 0 = % 2 02 ' ±(" 0 # $) = ' $1,2 = " 0 ±
m
2m
2m
$1 # $2
%
1
ritroviamo il fattore di merito
=
=
"0
" 0m Q
dell’oscillatore smorzato
Mar-17-06
!
66
complementi:
scambi di energia con gli oscillatori
Maggiore è Q (minore lo smorzamento) tanto più
selettivo è l’oscillatore
• cosa succede se " # 0,Q # $ ?
l’oscillatore non può scambiare energia con lo stimolo
esterno: se la frequenza è diversa, la risposta è
assente, se la frequenza è uguale, l’energia tende ad
infinito,
! raggiungendo sicuramente il carico di
rottura dell’oscillatore
Notiamo che la maggior parte degli scambi di energia
naturali ed artificiali si basa su onde (oscillazioni) e
risonanza:
• la radiazione eccita atomi e molecole intorno alla
posizione di equilibrio
• l’emissione e la ricezione del suono (naturale ed
artificiale) si basa su meccanismi di oscillazione
• la trasmissione e la ricezione di radiosegnali avviene
tramite oscillazioni elettriche regolate dalle stesse
leggi degli oscillatori meccanici
Ruolo della dissipazione negli scambi di energia!
senza dissipazione (attrito o altre forme) non sarebbe
possibile lo scambio di segnali, ma neanche il
trasferimento di energia dal sole alla terra
attraverso la radiazione luminosa
Mar-17-06
67