Presentazione di PowerPoint

Richiami su elasticità e O.A.
Elasticità
Oscillatore armonico, energia meccanica
Oscillatore smorzato
Oscillatore forzato. Risonanza. Fattore di qualita`
Analogie meccaniche - elettriche
Elasticità
• Un corpo è detto elastico se tende a
riassumere le dimensioni e la forma originaria
al cessare delle sollecitazioni esterne
• Se le sollecitazioni esterne sono
sufficientemente intense, la deformazione
che il corpo subisce può diventare
permanente o plastica
• Esite quindi un limite elastico
2
Elasticità
• La teoria dell’elasticità si basa su
generalizazioni della legge di Hooke
• Noi studieremo le variazioni di
– Dimensioni lineari (allungamento e compressione)
– Volume
– Forma (torsione)
• Ci limiteremo a sostanze omogenee e
isotrope che sono in equilibrio statico e
termico
3
Richiamo della legge di Hooke
• Consideriamo una sbarra metallica
orizzontale di lunghezza l0 e sottoponiamola a
trazione applicando una forza F alle estremità
• La lunghezza della sbarra aumenterà e se la
sbarra viene mantenuta a temperatura
costante e la forza non è troppo elevata, la
curva di allungamento è rettilinea
• L’elongazione Dl è quindi proporzionale,
tramite una costante, alla forza F (legge di
Hooke):
F  kDl
4
Sforzo e deformazione
• La costante elastica k nell’eq. precedente
dipende dalla particolare geometria del corpo
considerato
• Per avere maggiore generalità conviene
definire nuove costanti che caratterizzino il
materiale di cui sono fatti i corpi
• A tal fine si introducono due nuove quantità
fisiche:
– Lo sforzo
– La deformazione
5
Sforzo
• Prendiamo la sbarra sottoposta a trazione
mediante due forze esterne F agenti alle
estremità e consideriamo una sezione retta
arbitraria che la divida idealmente in due parti
F
fs
fd
F
• La parte sinistra agisce sulla parte destra con
una forza fs e la parte destra agisce su quella
sinistra con una forza fd uguale e contraria, per la
3a legge di Newton, a fs
6
• In condizioni statiche
fs  fd  F
Sforzo
• Detta A l’area della sezione retta della sbarra,
si definisce sforzo il rapport
 F A
• Nel caso della sbarra lo sforzo è longitudinale
e di trazione
• Nel caso le forze esterne agissero non in
trazione, ma in compressione, avremmo un
corrispondente sforzo longitudinale di
compressione
7
Deformazione
• Dalla legge di Hooke si vede che tanto
maggiore è la lunghezza a riposo l0 della
sbarra, tanto maggiore sarà il cambiamento
prodotto da una data forza F
• Si definisce deformazione la variazione di
lunghezza per unità di lunghezza, cioè il
rapporto
  Dl l0
8
Deformazione
• Possiamo ora esprimere la legge di Hooke in
termini di sforzo e deformazione
• Con Y costante caratteristica del materiale,
detta modulo di Young
F kl0 Dl
Dl
 
Y
 Y
A
A l0
l0
9
Elasticità
• La legge di Hooke scritta nella forma
sforzo=modulo di elasticità x deformazione
è valida anche per altri tipi di deformazione
elastica
10
Elasticità di volume
• È relativa ad una variazione di volume, ma
non di forma, del corpo
• La deformazione è ora definita relativamente
al volume
DV V0
• Lo sforzo prende il nome di pressione:
pF A
11
Elasticità di volume
pF A
• Ora la forza si intende perpendicolare alla
superficie
• Qualsiasi materiale possiede un’elasticità di
volume, secondo la formula
DV
p  B
V0
12
Elasticità di volume
• La costante B è il modulo di elasticità cubica
• Dato che un aumento di pressione determina una
diminuzione di volume, il segno meno dell’eq.
precedente consente di considerare B come positiva
• I liquidi sono un po’ più comprimibile dei solidi, ma la
restistenza che oppongono alla compressione è tale
che possono essere generalmente considerati
incomprimibili
• Per i fluidi, termine con cui si comprendono sia i
liquidi che i gas, si definisce la comprimibilità come
l’inverso di B
 1 B
13
Elasticità di forma
• La deformazione con cambiamento di forma, ma non di
volume, è detta deformazione di taglio
• Lo sforzo è, come al solito,
F A
• Ora però la forza si intende parallela alla superficie (nel
nostro caso F è applicata alla faccia superiore del
parallelepipedo, la faccia inferiore è tenuta fissa)
• Come misura della deformazione
assumiamo il rapporto
Dx
Dx y  tan f  f
• L’elasticità di taglio è retta dall’eq.
F
 Sf
A
ove S è il modulo elastico tangenziale
F
y
f
Solidi e fluidi
• L’elasticità di forma è la caratteristica che
distingue i solidi dai fluidi
• In un fluido in quiete l’unico sforzo possibile è
quello di compressione (o espansione), detto
anche, per questo motivo, pressione
idrostatica
15
Torsione
• È un caso particolare della variazione di forma
• Supponiamo di avere un cilindro di lunghezza l e
raggio R. Tenendo fissa una base, ruotiamo
l’altra con una coppia di forze F/2 applicate
tangenzialmente alla superficie laterale
• Il momento è   RF
• Invece dell’angolo f usiamo l’angolo q che è più
facile da misurare
• Lo spostamento PP’=s è
f
F/2 P’
s  Rq  l tan f  lf
qP
• Per cui
R
f q
F/2 16
l
Torsione
• Si può dimostrare che il momento esterno
necessario per torcere il cilindro di un angolo q è
proporzionale a q
  kq
4

R
• (secondo la costante di torsione
proporzionale al modulo elastico S) k  2l S
• Abbiamo così l’equivalente rotazionale della molla
(ovvero della legge di Hooke)
• Un filo può essere considerato come un lungo
cilindro con raggio molto piccolo
• Con esso possiamo costruire una bilancia di
torsione, uno strumento estremamente sensibile di
misura di momenti, che è stato molto importante
nello sviluppo della fisica
17
Torsione
• Al momento esterno si contrappone
un momento elastico, di verso
opposto, generato
dal materiale del


filo  el  kq
• Se il momento esterno cessa, il solo
momento elastico agisce
sull’equipaggio agganciato al filo e lo
q
fa ruotare
• Detto I il momento d’inerzia
dell’equipaggio rispetto all’asse del 


dL
filo, l’equazione del moto è
 el 
 I
dt
 el
18
Torsione


dq 
I 2   el  kq
dt
2
• Ovvero
• E passando alla proiezione lungo
l’asse verticale
d 2q
I 2  kq
dt
• Riscritta l’eq. come
d 2q
k
2


q



q
2
dt
I
• concludiamo che il moto
dell’equipaggio e` armonico
I
T  2
k
19
Oscillatore armonico
• Abbiamo visto diversi sistemi che si muovono
di moto armonico
– Un punto sotto l’azione di una molla, il pendolo, il
pendolo di torsione
• Altri sistemi fisici presentano grandezze che
seguono la stessa legge oraria
– Solidi elastici, fluidi, circuiti elettrici, campi
elettromagnetici
– Strutture meccaniche che si allontanano di poco
dall’equilibrio, per cui le forze di richiamo sono
lineari rispetto agli spostamenti
20
Oscillatore armonico
• Tutti questi fenomeni sono regolati da
equazioni (in generale
più d’una) del tipo
2
d k
2
  k  k
2
dt
• Ove le k sono opportune grandezze che
caratterizzano il sistema e le pulsazioni
k2 sono costanti che dipendono dai

parametri del sistema
21
Oscillatore armonico
• Le soluzioni di queste equazioni sono
 k t   Ak sin  k t  f k 
• Ove le ampiezze Ak e le fasi fk sono costanti
calcolabili conoscendo le condizioni iniziali

 k t  0

 d k 


 dt t 0
22
Accelerazione come funzione
della posizione
• Sia: a = a(x) cioè in funzione della posizione
• Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per la
velocita`:
av  va  v
dv
dt
• Integriamo ambo i membri rispetto a t:
t
t
t0
t0
 avdt   v
• Poichè
dv
dt
dt
vdt  dx
t
t
v
v
dv
dx
adx

dx

t 0
t 0 dt v0 dt dv  v0 vdv 
23
Accelerazione come funzione
della posizione
x
v
x0
v0
 ax dx   vdv
• Risolvendo l’integrale si ha:
x
• cioè
1 2 1 2


a
x
dx

v  v0
x0
2
2
x
v  v0  2  ax dx
2
x0
24
Un esempio importante
• Sia:
ax    2 x
• Avremo allora:


x
x

1 2
1 2 2
2
2
2
v  v0   ax dx     xdx    x  x0
2
2
x0
x0

• Risolvendo rispetto a v:
v
v
0
2

x
2
  2 x0   2 x 2   2 A2   2 x 2  A 1   
 A
2
25
Un esempio importante
• Ma:
dx
x
v
  A 1  
dt
 A
2
• Risolvendo per separazione di variabili:
dx
x
A 1  
 A
x

x0
x
dx
x
A 1  
 A
2

x0
 dt
2
x
d 
 A
x
1  
 A

2



0
d
1  2
t
   dt
0
26
Un esempio importante
• Risolvendo avremo:
t
  dt  t
0


0
d
1  2
 arcsin   f  arcsin
x
f
A
x
arcsin  f  t
A
x  A sin t  f 
27
Approfondimento
• Per definizione: p  mq  p  mq
• L’equazione del moto diviene mq  kq
• Dividendo i membri per m e ponendo  2  k
m
• Otteniamo
q   q
2
28
Approfondimento
q   2 q  q  q0 sin t 
2
q  q0 cos t 
 p 
q 
 
 m 
p  mq  mq0 cos t 
  q0 sin t     q0 cos t    q0 2
p
 q0 cos t 
m
2
2
2
2
2
q  p 
  
 1
 q0   q0 m 
1
1 2 1
2 2
2 2
mq  
p  mq0 
2
2m
2
= costante
(vedi dopo)
29
2
2
q  p 
2
2


1

x

y
1
  

 q0   q0 m 
q
p
p
x ;y

q0
q0 m p0
30
Energia dell’oscillatore armonico
• Riferiamoci al caso particolare del punto
materiale sotto l’azione della forza elastica F=-kx
• Questa forza è conservativa, quindi l’energia
meccanica si conserva. Verifica:
2


1 2
1 dx
1
2 2
2
K t   mv t   m   mA  cos t  f 
2
2  dt  2
1 2
1 2 2
U t   kx t   kA sin t  f 
2
2
1 2
E  K t   U t   A m 2 cos2 t  f   k sin 2 t 31 f 
2
Energia dell’oscillatore armonico
1
1 2
k
2 2
• Poiché  
abbiamo E  m A  kA
2
2
m
2
• Che è costante nel tempo
• Possiamo riscrivere K e U in termini di E


K t   E cos t  f 
2
U t   E sin 2 t  f 
• I valori medi su un periodo sono
1T
1
K   K t dt  E
T0
2
1T
1
U   U t dt  E
T0
2
32
OA smorzato da forza viscosa
• L’oscillatore armonico sia smorzato da una
forza viscosa, cioe` proporzionale e opposta
alla velocita`
F  v
• L’equazione del moto e` omogenea e ha forma
d x  dx k

 x0
2
dt
m dt m
• Detto   2m il coefficiente di smorzamento
e 0  k m la pulsazione naturale, l’eq. si
2
d x
dx
puo` riscrivere
2

2



0x 0
2
dt
dt
33
2
OA smorzato da forza viscosa
• Per risolvere questa equazione,
studiamo le soluzioni dell’eq. algebrica
associata (EAA)  2  2  02  0
• Queste sono
1, 2     2  02
• Abbiamo tre casi, a seconda del valore
del discriminante
34
OA smorzato da forza viscosa
• Caso   0 smorzamento forte, le
soluzioni dell’EAA sono entrambe negative
 2     2  02
1     2  02
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
xt   Ae  Be
1t
 2t
• A e B si determinano specificando le
condizioni iniziali
35
OA smorzato da forza viscosa
• Caso   0 smorzamento debole, le
soluzioni dell’EAA sono complesse coniugate
1    i 02   2    i
 2    i 02   2    i
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
t
 t
t
it
 it



x t  Ae  Be  e Ae  Be 
1
2
36
OA smorzato da forza viscosa
• Usando la formula di Eulero e ridefinendo le
costanti, abbiamo
xt   Cet sin t  f 
• Ove C e f si determinano specificando le
condizioni iniziali
• La soluzione e` una sinusoide smorzata
esponenzialmente. Si definisce lo
pseudoperiodo T  2  e in un tempo T
l’ampiezza si riduce di xt  T  xt   e T
37
OA smorzato da forza viscosa
• Caso   0 smorzamento critico, le
soluzioni dell’EAA sono negative e uguali
1   2  
• La soluzione generale del’eq. differenziale e`
xt   Atet  Be t  e t  At  B 
• A e B si determinano specificando le
condizioni iniziali
38
Proprieta` asintotica t  
• In tutti e tre i casi la soluzione tende a zero
per tempi sufficientemente grandi
D0
D0
D0
xt   Ae
 Be
xt   Cet sin t  f 
 1 t
 2 t
xt   e t  At  B 
• Cioe` la soluzione generale dell’eq.
omogenea soddisfa
gen
lim xomo t   0
t 
39
OA forzato
• Il moto di un OA si puo` rendere persistente,
in presenza di attrito viscoso, applicando una
forza esterna sinusoidale F  F0 sin t
• L’equazione del moto diviene non omogenea
F0
d 2x
dx
2
 2
 0 x  sin t
2
dt
dt
m
• La pulsazione della forza, , e` in generale
diversa dalla pulsazione naturale
40
OA forzato
• Nella teoria delle eq. differenziali si dimostra che la
soluzione generale dell’eq. non omogenea e` somma
della soluzione generale dell’eq. omogenea e di una
soluzione particolare dell’eq. non omogenea
x
gen
non omo
x
gen
omo
x
part
non omo
• Cerchiamo allora se esiste una soluzione particolare
di forma sinusoidale con pulsazione uguale a quella
della forza esterna e dipendente da due parametri da
determinare A e f
part
xnon
 omo  A sin t  f 
41
OA forzato
• Inserendo la soluzione di prova nell’eq.
differenziale, eseguendo le derivate,
sviluppando seni e coseni e raggruppando,
otteniamo
2
2
sin t 0   A cos f  2A sin f  F0 m 

 cos t 




  A sin f  2A cos f  0
• L’eguaglianza deve valere ad ogni tempo e
questo puo` accadere se e solo se le
espressioni in parentesi quadre sono
entrambe nulle
2
0
2
42
OA forzato
• Dalla seconda ricaviamo il valore di f
2
tgf     2
0   2
• Per evitare la singolarita` della tangente in
  0 ridifiniamo la fase:


2
f
sin   cos f
cos   sin f
43
OA forzato
• Avremo allora



xt   A sin t  f   A sin  t      A cost   
2


 
tg   
2
2
2
0
sin    
cos    

 2  02
2


  2 
2 2
0
2
2
2

  2 
2 2
0
2
44
OA forzato
• Da cio` si ricava il valore di A
F0
A   
m

1
2
0


2 2
 4 2 2
• Abbiamo cosi’ trovato la soluzione particolare
cercata
45
OA forzato
• Caratteristiche della soluzione particolare
della funzione spostamento:
– ha la pulsazione della forza esterna, non quella
naturale
– e` sfasata rispetto alla forza
– ampiezza e fase dipendono dalla pulsazione
esterna
– ampiezza e fase non dipendono dalle condizioni
iniziali
46
Soluzione generale
• Abbiamo visto che la soluzione generale dell’eq. non
omogenea si scrive
gen
nonomo
x
(t )  x
gen
omo
(t )  x
part
nonomo
(t ) 
gen
 xomo
(t )  A( ) cost   ( ) 
• E che la soluzione generale dell’omogenea tende a
zero per tempi sufficientemente grandi
• Quindi per tempi grandi la soluzione generale della
non omogenea si riduce alla soluzione particolare
xnonomo (t )  A( ) cost   ( ) 
47
Risonanza
• Cerchiamo il valore di  che rende massimo il valore
assoluto dell’ampiezza
F0
A   
m

1
2
0


2 2
• Se 0  2 il massimo si ha per
• E vale
2
2
AM  AM  
 4 2 2
M  02  2 2
F0
2m   
2
0
2
48
Potenza
• La potenza istantanea e`
Pt   Fv   F0 sin tA sin t    
  F0 A sin t sin t cos   cos t sin  
• La media temporale della potenza e`
F02
1
2
P   F0 A cos  
2
m 02   2 2  4 2 2
• Il cui massimo si ha per la pulsazione
naturale
F02
P M 
4m
49
Larghezza di risonanza
• E` definita dalle due pulsazioni per cui la
potenza media e` meta` della potenza media
massima P  P M 2
• Si ottengono due equazioni quadratiche in ,
le cui due soluzioni accettabili sono
1   2  02  
2   2  02  
• La larghezza di risonanza e`
D  2  1  2
50
Fattore di merito
• E` definito come
0
km
Q

D

• E` tanto maggiore quanto piu` stretta (cioe`
migliore) e` la risonanza
51
Analogie oscillazioni
• A quale circuito è equivalente
l’oscillatore armonico?
• A quale circuito è equivalente
l’oscillatore armonico smorzato?
• A quale circuito è equivalente
l’oscillatore armonico smorzato?
52
O.A. e Circuito LC
L
di q
 0
dt C
d2 q
q

0
dt 2 L C
d2 q
2
2  0 q  0
dt
1 2 1 q2
U  Li 
 cost
2
2C
di q dq
0  Li 
dt C dt
q  Q cost  f   
1
LC

i
1 2 LI 2
U L  Li 
sin 2 t  f 
2
2
d 2q q
0L 2 
dt
C
dq
  Q sin t  f    I sin t  f 
dt
q2 Q2
UC 

cos 2 t  f 
2C 2C
Q2
LI 2
Q 2 LI 2
2
2
U  U L  UC 
cos t  f  
sin t  f  

2C
2
2C
2
Oscillazioni smorzate in un
circuito RLC
d 2q
dq 1
L 2 R
 q0
dt
dt C
Li
UC 
2
di q dq

 i 2 R
dt C dt
2R t
2 
2L
q
Qe

2C
cos  ' t  f 
2C
2
q  Qe
R t
2L
cos ' t  f 
 R
'  2   
 2L 
2
55
Oscillazioni forzate in un
circuito RLC
d 2q
dq q
L 2 R
   o cos  't
dt
dt C
d 2 q R dq q  o
'



cos

t
2
dt
L dt LC L

R
2L
0 
1
LC
0
d 2q
dq
2
'

2



q

cos

t
0
2
dt
dt
L
 d 2 x  dx k
F0
' 
 dt 2  m dt  m x  m sen  t 


Oscillazioni forzate in un
circuito RLC
d 2q
dq q
L 2 R
   o cos  't
dt
dt C
o
d 2i R di
i


   'sen  ' t
2
dt
L dt LC
L
i0 
0
1
R 2    ' L  ' 
C

1
 L '
C
tg '  
R
'
2
Risonanza in un circuito RLC
i0 
0
1 

2
'
R   L  ' 
C

i0 
i (t ) 
2
1 

'

L

'


'

C
  arctg  

R




0
0
R
'0
R
cos  't
il circuito si comporta come
puramente resistivo poiché la
corrente e la f.e.m. sono in fase
1
Quindi la i0 assume il valore massimo per   0 
LC
'