Assicurazione vita e mercato del risparmio gestito Lezione 13 Teoria dell’utilità attesa Scelte d’investimento e utilità attesa • Alla base delle tecniche di allocazione del portafoglio c’è un sistema di regole che consente di ordinare titoli e le loro combinazioni • Questo sistema di regole è alla base di quella che è nota come teoria dell’utilità attesa. Secondo questa teoria la scelta tra alternative rischiose può essere rappresentata confrontando i valori attesi di una funzione, detta funzione di utilità. • Se A e B sono due alternative rischiose la teoria dell’utilità attesa consente di affermare che A B E[U(A)] < E[U(B)] dove il simbolo indica la preferenza di B rispetto ad A e la funzione U(.) rappresenta la funzione di utilità. Scelta tra alternative rischiose • Utilità attesa: scelta tra lotterie A e B, A < B (B è preferito ad A) se E(u(A)) < E(u(B)) • La funzione u(.) è crescente e concava nel caso dell’avversione al rischio. • La regola di scelta è determinata da assiomi. Particolare importanza ha l’assioma di independenza: A < B A +(1- )C < B +(1- )C Probabilità equivalente • Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL. • La probabilità di WH è p. • Un investitore è avverso al rischio se pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL) • Si consideri un cambio di probabilità da p a q qU(WH)+ (1 – q) U(WL) = U(pWH+ (1 – p)WL) Equivalente certo • Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL. • La probabilità di WH è p. • Un investitore è avverso al rischio se pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL) • L’equivalente certo WCE è tale che pU(WH)+ (1 – p) U(WL) = U(WCE) L’avversione al rischio implica WCE < E(W) Utilità attesa e avversione al rischio • Consideriamo una lotteria W, con valore medio E(W). • Un individuo è detto neutrale al rischio se è indifferente a percepire sicuramente una somma pari a E(W) o la lotteria W. Quindi E[U(W)] = U(E(W)) • Uni individuo è avverso al rischio se preferisce la somma pari a E(W) alla lotteria W, per cui E[U(W)] < U(E(W)) • Un risultato matematico (disuguaglianza di Jensen) consente di affermare che nel caso di avversione al rischio la funzione di utilità è concava, mentre nel caso di neutralità a rischio è lineare. • Per misurare il grado di avversione al rischio cerchiamo di determinare un valore π tale che E[U(W)] = U(E(W) – π ) • Con un’espansione di Taylor possiamo verificare che π = ½ (– U’’/U’)Var(W) dove U’ e U’’ rappresentano la derivata prima e seconda della funzione di utilità. Misure di avversione al rischio • Il termine – U’’/U’ misura la concavità della funzione ed è noto come misura di avversione al rischio assoluta (ARA) di Arrow-Pratt • Altre definizioni misurano l’avversione al rischio in proporzione alla ricchezza, definendo relative risk aversion RRA = W*ARA • Le diverse funzioni di utilità si differenziano per il diverso comportamento dell’avversione al rischio, assoluta o relativa, al variare della ricchezza. In particolare ricordiamo – La funzione di utilità quadratica (è facile da usare, ma ha la caratteristica irrealistica di un’avversione al rischio crescente con la ricchezza) – La funzione esponenziale, o CARA (constant absolute risk aversion) – La power utility, o CRRA (constant relative risk aversion) – La funzione di utilità logaritmica (un caso limite di CRRA) – HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): il caso più generale che ingloba i casi precedenti con particolari specificazioni dei parametri) Funzioni di utilità • Quadratica • U(W) = W – b W2 • CARA • U (W) =a – exp (– b W) • CRRA • U(W) = [W – 1 ]/ – Logaritmica • HARA • U(W) = ln(W) 1 W U W • 1 Funzioni di utilità • Funzioni di utilità differenti differiscono nel modo in cui l’avversione al rischio cambia con la ricchezza – Utilità quadratica (facile da usare, con due problemi: preferenze non monotone, titoli rischiosi sono beni inferiori) – Utilità esponenziale o CARA (constant absolute risk aversion) – Power utility, o CRRA (constant relative risk aversion) • Neutralità al rischio e utilità logaritmica come casi speciali – HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): (caso più generale, tolleranza al rischio lineare nella ricchezza) Prospect theory • Kahneman e Tversky hanno proposto un nuovo approccio alla teoria dell’utilità • I principi fondamentali sono – Esistenza di un “reference point” che discrimina tra guadagni e perdite – Deformazione delle probabilità, differente per guadagni e perdite – Avversione alle perdite (le perdite sono pesate più dei guadagni) Reference point • Uno può cambiare la propria attitudine al rischio a seconda che la perdita sia sotto (perdita) o sopra (guadagni) un “reference point”. • Qual è il “reference point”? – Per guadagni di borsa può essere ritorno zero (cash), o un tasso risk-free return, o un benchmark. – Per una lotteria generale, può essere il reddito medio o i guadagni passati (“house money”) La funzione di utilità • La “Prospect theory” propone la seguente funzione di utilità U(r) + w+(p) (U(WH) – U(r)) – w–(1 – p)(U(r)–U(WH)) con – r il “reference point” – w+(p) e w–(1 – p) deformazione di probabilità – “loss aversion” Deformazione di probabilità • Tversky e Kahneman proposero la seguente forma funzionale per la deformazione di probabilità w p p p 1/ 1 p Expected utility: no loss aversion 18 16 14 12 10 Prospect Theory Power Utility 8 6 4 2 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Expected utility: loss aversion 18 13 8 3 Prospect Theory Power Utility -2 -7 -12 -17 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Rischio e incertezza • Knight, un economista degli anni 20, in una polemica con Keynes, distingueva rischio e incertezza. • Rischio è quando si conoscono le probabilità di successo. Incertezza è quando non si conoscono queste probabilità (incertezza in senso di Knight) • Come si comportano gli individui davanti all’incertezza? Il paradosso di Ellsberg riguarda la scelta tra lotterie ambigue e non ambigue. E’ il ruolo della informazione nella scelta Paradosso di Ellsberg B < Z?... Probability Z A B State H 1/3 0.6 0 0 State M ? 0 0.6 0 State L ? 0 0 0.6 … 0.5Z + 0.5A < 0.5B + 0.5A? Probability 50% A 50% Z State H 1/3 0.3 0 State M ? 0.3 0.3 State L ? 0 0.3 50% A 50% B Financial puzzles • Home bias: – Gli investitori detengono una quota spoporzionatamente alta del loro portafoglio in titoli domestici • IPO underpricing – Azioni alla prima quotazione danno un rendimento medio molto più elevato del mercato • Seasoned securities – Titoli poco scambiati hanno un rendimento più elevato degli altri • Fondi chiusi: la somma del valore di mercato dell’attivo dei fondi è tipicamente minore del valore complessivo delle quote dei fondi. Lo stesso non avviene per i fondi aperti.