TEORIA DELLA
PROBABILITÁ E
DELL’INFERENZA
STATISTICA
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Esperimento casuale: una generica operazione la cui
esecuzione, detta prova, è suscettibile di fornire un risultato –
compreso in un insieme di risultati necessari ed
incompatibili – che non può essere previsto con certezza.
Esempio: Lancio di un dado (prova)
• necessarietà:
possibili risultati
• incompatibilità:
possibili risultati.
si
presenterà
si
presenterà
almeno
uno
dei
solo
uno
dei
Gli esperimenti casuali riguardano quindi tutti i casi in cui
bisogna effettuare una previsione in condizioni di
incertezza.
Nel formulare tali previsioni, si esprime il “grado di incertezza”
relativo al presentarsi di un certo risultato con una valutazione
numerica che prende il nome di PROBABILITA’.
CONCEZIONI ALTERNATIVE DELLA PROBABILITA’
1. Impostazione classica: la probabilità del verificarsi di un
certo risultato è data dal rapporto tra numero di casi
favorevoli al verificarsi di quel risultato ed il numero totale
di casi possibili, ammesso che questi possano essere
considerati tutti ugualmente possibili.
Critica: Non applicabile agli esperimenti i cui risultati non
possono ritenersi tutti ugualmente possibili
2. Impostazione frequentista: all’aumentare del numero
delle prove (per n) la probabilità del verificarsi di un certo
risultato coincide con la frequenza relativa di tale risultato.
Pr lim
n
ni
n
a condizione che le prove si svolgano tutte nelle medesime
condizioni.
Critica: Non sempre tutte le prove si svolgono nelle stesse
condizioni.
3. Impostazione soggettiva: la probabilità è l’espressione del
grado di fiducia che un individuo ripone nel verificarsi di un
certo evento.
Critica: Le valutazioni della probabilità possono variare da
individuo ad individuo
4.
Impostazione assiomatica
a) Concetti primitivi
“La prova genera l’evento con una certa probabilità”
i.
Prova: esperimento il cui risultato non è prevedibile
con certezza
ii.
Evento: possibile risultato di una prova
iii. Probabilita: numero associato al presentarsi di un
evento
b) Assiomi: regole formali a cui deve sottostare una
valutazione di probabilità.
A partire dagli assiomi è possibile costruire tutta la teoria
della probabilità.
SPAZIO CAMPIONARIO
s
Insieme dei possibili risultati ottenibili da una prova.
Esempi:
S
1. Lancio di una moneta:
2. Lancio di un dado:
S
T , C
1, 2, 3, 4,5, 6
3. Numero di minuti in cui una lampadina resta accesa prima
di bruciarsi:
S x : x 0
N.B. Nei primi due esempi S ha cardinalità finita, nel terzo esempio
S ha cardinalità nel continuo.
EVENTO
Un qualunque sottoinsieme dello spazio campionario S.
AS
Si realizza il risultato della prova
appartenente ad A.
Tipi di Eventi (es: lancio di un dado):
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Eventi Elementari
Eventi
Composti
1, 3 , 1, 2, 6 ,
, 1, 2, 3, 4,5, 6
S
Evento Certo
Evento Impossibile
Esempio: sottoinsiemi dell’evento “durata di una lampadina”
S
x : x
500 ;
x
x : 600
: x 0
x 700 ; .........
OPERAZIONI SUGLI EVENTI
a) Unione o Somma Logica fra due eventi A e B è quell'evento C
che si verifica quando si verifica A oppure B oppure A e B
contemporaneamente:
C AB
A
B
S
b) Intersezione o Prodotto Logico fra due eventi A e B è
quell'evento D che si verifica quando si verificano sia A che B
contemporaneamente:
D A B
A
B
S
c) Complementazione o Negazione di un evento A è quell'evento
E che si verifica allorquando A non si verifica:
A
A
S
Esempio: lancio di un dado
A
1, 2, 4 ;
B= 1, 2, 6 ;
1, 2, 4, 6
1, 2
A B A B
A B A B
A
3, 5, 6
B
3, 4, 5
Eventi Incompatibili: non contengono elementi comuni e quindi la
loro intersezione da luogo all’evento impossibile.
In pratica, il verificarsi dell’uno implica il non verificarsi dell’altro in una
prova.
A B
A
3, 5 ;
B= 1, 2, 4 ;
incompatibili
B= 1, 3, 6 ;
compatibili
A B
A
3, 5 ;
Rappresentazioni Grafiche
Eventi Compatibili
S
S
B
A
Unione
A
Intersezione
B
Eventi Incompatibili
S
S
A
Unione
B
A
Intersezione
B
SPAZIO DEGLI EVENTI (Z)
Una classe di eventi ai quali si vuole assegnare una probabilità.
Questa classe deve essere un'algebra, ovvero deve contenere lo
spazio campionario S e come elementi
Quando S è costituito da un numero finito k di elementi, lo
spazio degli eventi può essere rappresentato dall'insieme di tutti i
possibili sottoinsiemi di S ed ha cardinalità 2k.
Esempio: lancio di un dado
S
1, 2, 3, 4,5, 6 ,
k=6
Sottoinsiemi di S (e di Z)
numero di eventi
1
1 , 2 , 3 ......
1, 2 , 1, 3 , 1, 4 ......
1, 2, 3 , 1, 2, 4 , 1, 2, 5 ......
1, 2, 3, 4 , 1, 3, 4, 5 , 1, 4, 5, 6 ......
1, 2, 3, 4, 5 , 1, 3, 4, 5, 6 , 2, 3, 4, 5, 6 ......
S 1, 2, 3, 4, 5, 6
totale
6
15
20
15
6
1
64 ( 26 )
In alcuni casi interessano solo alcuni eventi di un
esperimento.
Esempio: Costruire lo spazio degli eventi relativo all’alternativa tra
punteggio pari e punteggio dispari nel lancio di un dado.
Z
, 1, 3, 5 , 2, 4, 6 , S
1, 2, 3, 4, 5, 6
ASSIOMI
A Z
i)
P
:
0 P ( A) 1
ii )
P(·): funzione di
probabilità
P(S)=1
iii) P(A+B)=P(A)+P(B)
se
A B=
Le impostazioni classica e frequentista soddisfano gli assiomi.
Solitamente, nel misurare la probabilità si fa sempre riferimento
alla definizione classica.
L’assioma iii) permette di definire una misura della probabilità per
tutti gli eventi (elementari e composti) inclusi nello spazio degli
eventi Z.
TEOREMI
) 0
1) P(O
P(A) 1 - P(A)
2)
P(A B) P(A) P(B) - P(A B)
3)
Teorema delle Probabilità Totali
A
B
AB
S
Generalizzazione al caso di 3
eventi
P(A B C)
P(A) P(B) P(C) - P(A B) P(A C) P(B C) P(A B C)
A
B
C
S
A BC
BC
PROBABILITA’ DI EVENTI SUBORDINATI.
INDIPENDENZA STOCASTICA
Tra 2 eventi A e B può sussistere una relazione per la quale, sapendo
che una prova ha generato un risultato che appartiene a B, si è
indotti a modificare la valutazione del verificarsi di A.
Esempio: probabilità che una certa squadra vince una partita dopo
che alla fine del primo tempo è in svantaggio di 3 reti a zero.
PROBABILITA’ SUBORDINATA
La probabilità dell'evento B, dato che si è verificato l'evento A, è il
rapporto fra la probabilità del contemporaneo verificarsi di A e
B e la probabilità di A, se questa è diversa da zero:
P
P
A | B
B |
A
P
P
A B ;
P B
B A ;
P A
P
B
0
P
A
0
Teorema delle Probabilità Composte
Dati 2 eventi A e B per i quali P(A)>0 e P(B)>0,
se i due eventi sono stocasticamente dipendenti risulta:
P(A B) P(A|B) P(B) P(A) P(B|A)
• si verifica B
• B nuovo S
B
A
S
• la probabilità subordinata è data
dall’area dell’intersezione rispetto
all’area di B
Se risulta:
P
P
A | B
B | A
P
P
A ;
B.
allora A e B sono stocasticamente indipendenti.
In questo caso:
P
A B
P
A P B
Problema
La produzione di pneumatici in una fabbrica avviene in tre turni: il
50% di giorno – il 30% di sera – il 20% di notte. Il controllo della
conformità dei pneumatici prodotti si basa su un campione di 200
pezzi, ripartiti secondo le proporzioni dei 3 turni di produzione, che ha
rivelato ciò che segue:
TURNO DI PRODUZIONE
Giorno
ESITO
Conformità
Non conformità
totale
Sera
Notte
totale
97
54
33
184
3
6
7
16
100
60
40
200
1) Calcolare la probabilità che un pneumatico scelto a caso:
a) sia difettoso;
b) sia difettoso e prodotto in ciascuno dei 3 turni;
c) sia difettoso essendo stato prodotto in ciascuno dei 3 turni;
d) essendo difettoso sia stato prodotto in ciascuno dei 3 turni.
2) È lecito sostenere che la qualità del prodotto è influenzata dal
turno di produzione?
Le probabilità cercate possono essere ottenute dalla tabella delle
frequenze relative:
TURNO DI PRODUZIONE
ESITO
Giorno (G)
Sera (S)
Notte (N)
totale
Conformità (C)
0,485
0,27
0,165
0,92
Non conformità (D)
0,015
0,03
0,035
0,08
0,5
0,3
0,2
1
totale
a)
b)
c)
P(D) = 0,08
b.1 P(D G) = 0,015
b.2 P(D S) = 0,03
b.3 P(D N) = 0,035
c.1
P(D|G) =
c.2
c.3
P(D G)
0, 015
0, 03
P(G)
0,5
P(D|S) =
P(D S)
0, 03
0,1
P(S)
0,3
P(D|N) =
P(D N)
0, 035
0,175
P(N)
0,2
d)
d.1
P(G|D) =
d.2
P(S|D) =
d.3
P(N|D) =
P(D G)
0, 015
0,1875
P(D)
0, 08
P(D S)
0, 03
0,375
P(D)
0, 08
P(D N)
0, 035
0, 4375
P(D)
0, 08
2)
Se la qualità del prodotto non fosse influenzata dal turno di
produzione, si dovrebbe avere:
P(D|G) = P(D|S) = P(D|N) = P(D)
ma evidentemente così non è.
INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA
1) PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’
Binomiale, Poisson
Normale o Gaussiana
Chi – quadrato
t di Student
F di Fisher-Snedecor
2) UNIVERSO E CAMPIONE
Campionamento non probabilistico
Campionamento probabilistico
3) DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE E PROPRIETA’
DEGLI STIMATORI
4) METODI DI STIMA PUNTUALE ED INTERVALLARE
5) TEST PER LA VERIFICA DI IPOTESI
VARIABILE CASUALE
Una Variabile Casuale X è una regola (funzione reale) che
associa ad E (evento elementare di S) uno ed un solo numero
reale.
Notazione:
X: variabile casuale
x: realizzazione di una variabile casuale
E1
E6
E2
E3
E5
R
E4
x1
S
x2
x3
N.B.: la precedente corrispondenza è UNIVOCA.
E’ possibile associare una misura di probabilità allo spazio numerico della
v.c. utilizzando la misura di probabilità definita sui sottoinsiemi dello
spazio campionario S.
"Si verifica l'evento E con probabilità P(E)“
"La v.c. X assume il valore x con probabilità P(x)"
Una v.c. X è una variabile che assume valori nello spazio
dei numeri reali secondo una funzione di probabilità P(X).
P[X(E)]
S
E
1
X(E)
0
Rappresentazione grafica dello schema
di costruzione di una v.c. discreta
E1
E6
E2
E5
1
p3
E3
E4
S
x1
x2
R
x3
Una Variabile Casuale è nota se è nota la sua distribuzione
di probabilità
p2
p1
0
ESEMPI
1. Consideriamo una famiglia con 3 figli
E1
E2
E3
E4
E 5 E6
E7
E8
S={MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
P=
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
Variabile casuale X=“numero dei figli maschi”
E5
E2
X
0
1
2
3
E8
E6 E7
E3 E 4
E1
X
0
1
2
3
Px
0.125
0.375
0.375
0.125
1
pi
1/8
3/8
3/8
1/8
VARIABILI CASUALI DISCRETE
Assumono valori discreti (solitamente sono ottenute come risultato di
un conteggio).
Per ogni realizzazione xi risulta:
pi 0
i 1,
pi
1
pi = p(xi) = probabilità che
X assuma il valore xi
pi
x1
E X
,k
x2
x3
xipi
Var X
xi
2
pi
xi
Esempio: si lanciano simultaneamente 2 monete.
Eventi elementari di S:
E1=TT
E2=TC
E3=CT
E4=CC
Variabile casuale “X=numero di croci”
Ei
xi
pi
TT
0
1/4
TC
1
1/4
CT
1
1/4
CC
2
1/4
Ad ogni xi associamo una probabilità pari alla somma delle probabilità
degli eventi corrispondenti.
xi
pi
0
1/4
1
2/4
2
1/4
Le xi sono le realizzazione della v.c., mentre le pi identificano la
distribuzione di probabilità della v.c. in questione
VARIABILI CASUALI CONTINUE
Ammettono infiniti valori, quindi non è possibile attribuire le singole
probabilità ad ogni realizzazione xi.
Si associa ad ogni intervallo una funzione f(x) detta funzione di
densità di probabilità.
N.B.:
f(x) NON è la probabilità che
X assuma il valore x!
f(x)
x
f(x) è la probabilità che X sia compresa in un intervallo
infinitesimale intorno dx ad x .
f
x
p x dx X x dx
La funzione di densità f(x) è nulla per quei valori compresi in
intervalli esterni al campo di definizione
Condizione necessaria affinché una funzione di densità f(x)
individui una v.c. X continua è :
f x 0
f x dx 1
x : X
N.B.:
E X
P X x0
x0
x0
xf
x dx
Var X 2 E x
2
f
x dx
0
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
Ordinando le realizzazioni della v.c.:
xi x0
F x0 P X x0
pi
v.c. discrete
x0
x ,
f
x dx
v.c. continue
Proprietà:
1) è non decrescente
xi x j F xi F x j
2)
0 F(x) 1
3)
x
lim F x 0
lim F x 1
x
v.c. discrete
X: “Punteggio ottenuto nel lancio di un dado”
X
1
2
3
4
5
6
F(x)
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
0
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
2
3
pi
1
1/6
1
4
5
6
2
3
x
4
5
6
xi
v.c. continue
F x1
x1
f(x)
f(x)dx
x
x 0 x1
P(x0 X x1 ) P(X x1 ) P(X x0 )
x1
F(x1 ) F(x0 )
f(x)dx
x0
F ( x)
F ( x1 )
F ( x0 )
x 0 x1
Relazione importante:
F(x0 )
x0
f
x dx
d
dx
x
F(x) f(x)
MODELLI PER VARIABILI CASUALI DISCRETE
Variabile Casuale di Bernoulli
X ~ Ber p
Regola i casi riconducibili ad una prova che si può concludere con
2 possibili risultati:
E
SUCCESSO
E
INSUCCESSO
p = probabilità di successo
Esempi: lancio di una moneta, Espressione di un voto referendario,
Lancio di un dado (pari-dispari)
0 insuccesso E
X:
1 successo E
P X 1 p
P X 0 1 p q
Distribuzione di probabilità
P X x px
1
px
p0
1
x 0,1
1
p
1 x
p
1 0
p
1 x
p1
1
p
11
1 p p 1
Media e varianza
E X
Var
0
X
xipi
p
2
xi
1
0(1 p) 1(p) p
2 pi
p
1
p
2
p
p 1 p p 1 p p(1 p)
N.B.: la varianza è massima se p = 0,5
Problema
Una macchina di precisione produce pezzi di ricambio per
macchine agricole con una percentuale pari al 10% di pezzi
difettosi. Su una produzione oraria di 5 pezzi, si richiede:
a) qual e’ la probabilità di avere meno di 3 pezzi difettosi?
b) qual e’ la probabilità di avere tra 2 e 4 pezzi difettosi?
c) qual e’ la probabilità di avere al più 2 pezzi difettosi?
d) qual e’ la probabilità di avere almeno 4 pezzi difettosi?
disegnare la funzione di probabilità e di ripartizione della v.c. che
descrive i risultati dell’esperimento
calcolare la media e la varianza della distribuzione.
Variabile Casuale Binomiale
X ~ Bin n,p
Regola la probabilità in tutti i casi riconducibili ad una
estrazione con reimmissione
di n palline da un’urna.
p(x) = probabilità di x successi in n prove
In ognuna delle n prove p è la probabilità di successo ed è costante.
p(0) = p(X = 0) =
Probabilità che in n prove non si verifichi
alcun successo
p(1) = p(X = 1) =
Probabilità che in n prove si verifichi 1
successo
p(n) = p(X = n) =
Probabilità che in n prove si verifichino n
successi
n = numero di prove
Quindi:
x = numero di successi in n prove
n – x = numero di insuccessi in n prove
La funzione di probabilità deve tener conto di tutte le possibili
sequenze di successi ed insuccessi (principio della probabilità
totale per eventi incompatibili).
n
2
Numero di possibili sequenze di successi ed insuccessi
(corrispondente al numero di elementi dello spazio degli
eventi)
Quanti sono i modi di combinarsi di una
specifica sequenza?
n
n!
x ! n x !
x
n elementi presi x ad x
Qual è la probabilità di
ognuna delle
sequenze?
n
x
px
1 p
n x
La funzione di probabilità della v.c. binomiale è quindi:
n x
P X x
p
x
1 p
n x
Media
E X E X1 X2 X3 ... Xn
E X1 E X2
... E Xn
p p .. p np
Varianza
VAR
X
VAR
X1
X2 X3 ... Xn
p 1 p p 1 p ... p 1 p
np 1 p npq
La variabile casuale “numero di pezzi difettosi (successo) su 5 pezzi prodotti
(prove)” segue la distribuzione Binomiale, con parametri
n = 5 e p = 0,1 (10%)
quindi:
= np = 5 0,1 = 0,5
2 = np(1-p) = 5 0,1 0,9 = 0,45
Le probabilità elementari possono essere determinate per mezzo della
funzione:
0 x 5
n x
n x
n!
px
p
1
p
con
n
x
x
x! n x !
5!
5 0
5
p0
0 ,10 0 ,95 1 1 0 ,59049 0 ,59049
0
p 1 p
0! 5!
5!
5 1
4
p1
0 ,11 0 ,9 4 5 0 ,1 0 ,6561 0 ,32805
1
p 1 p
1! 4!
5!
5 2
3
p2
0 ,12 0 ,93 10 0 ,01 0 ,729 0 ,0729
2
p 1 p
2! 3!
5!
5 3
2
p3
0 ,13 0 ,92 10 0 ,001 0 ,81 0 ,0081
3
p 1 p
3! 2!
5!
5 4
1
p4
0 ,14 0 ,91 5 0 ,0001 0 ,9 0 ,00045
4
p 1 p
4! 1!
5!
5 5
0
p5
0 ,15 0 ,9 0 1 0 ,00001 1 0 ,00001
5
p 1 p
5! 0!
Dati n = 5 e p = 0,1, la v.c. X = “numero di pezzi difettosi su 5 prodotti”
è definita come segue:
x
f(x)
F(x)
0
0,59049
0,59049
1
0,32805
0,91854
2
0,07290
0,99144
3
0,00810
0,99954
4
0,00045
0,99999
5
0,00001
1
Totale
1
a)
P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2) =
= 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144
b)
P(2 X 4) = P(2) + P(3) + P(4) =
= 0,0729 + 0,0081 + 0,00045 = 0,08145
c)
P(X 2) = P(0) + P(1) + P(2) =
= 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144
d)
P(X 4) = P(4) + P(5) =
= 0,00045 + 0,00001 = 0,00046
Variabile Casuale di Poisson
LA VC NORMALE O GAUSSIANA
Una vc si dice normale o gaussiana (da Gauss che la propose come
modello descrittivo degli errori di misura) se la sua fd è la
1 x
seguente:
1
2
2
f X N x ; , 2
2
e
dove x e x2 rispettivamente rappresentano il valor medio e la
varianza di X;
X
è una vc continua; (base dei logaritmi neperiani) sono note costanti
matematiche.
3,1415
ed
e 2,7183
La sua rappresentazione grafica è la seguente:
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ed ovviamente la probabilità dell’evento certo sarà data da
pX
b
f x dx
1
a
Oltre ai due valori caratteristici appena esaminati se ne
possono definire altri; tra essi una certa importanza ha la
media quadratica:
E X
x
b
2
a
2
f x dx
È facile dimostrare che:
VX EX 2 EX
2
Per la dimostrazione basta svolgere il quadrato dell’altra
formulazione di VX , semplificare ed ottenere la seconda
formulazione che è di maggiore praticità a fini computazionali.
Lo studio analitico della funzione evidenzia:
1) la curva è simmetrica rispetto all’ordinata del punto di massimo;
2) quest’ultimo si trova in corrispondenza del valore x ; segue
che la mediana (MED , valore che divide una distribuzione di
frequenze in due parti esattamente uguali) e la moda (MOD , valore
cui corrisponde il massimo valore di una distribuzione di frequenze)
coincidono, nella normale, con la media aritmetica;
3) la curva è definita tra meno infinito e più infinito;
4) La curva presenta due punti di flesso (cambiamento di
concavità) in corrispondenza con i valori x
L’assetto grafico della curva è determinato dai parametri
µ
e
σ , il primo determina il posizionamento della
curva sull’asse delle ascisse; per questo µ si definisce
come un parametro di posizione.
Il secondo, essendo una misura di variabilità con
riferimento alla media, mostra quanto siano più o meno
dispersi i valori della distribuzione intorno al valore medio.
Allora, bassi valori di σ indicano valori della distribuzione
(probabilità) poco dispersi o anche, come si dice, molto
concentrati, intorno a µ , al contrario alti valori di σ
indicano valori della distribuzione molto dispersi rispetto
alla media. Pertanto il parametro σ è detto parametro di
forma della distribuzione.
Se una vc ha una distribuzione normale la probabilità che x
assuma un certo valore in un certo intervallo, poniamo a-b, si
ottiene da:
b
p( a X b )
b
f x dx
a
a
1
e
2
1 x
2
2
dx
che in termini grafici altro non è se non la superficie delimitata a
sinistra dall’ordinata nel punto a, a destra dall’ordinata del punto
b, inferiormente dall’asse delle ascisse e superiormente dalla curva
normale tra a e b. Ovviamente, la probabilità dell’evento certo,
cioè
p( X ) f x dx
1
2 e
1 x
2
2
dx 1
da cui si ha anche che:
p( X )
f x dx
1
e
2
1 x
2
2
dx
1
2
Esempio, se una vc normale ha media pari a 3,6 e varianza pari a
81, la probabilità che x sia compreso tra -4,2 e 7,5 si ha
risolvendo l’integrale
p( 4.2 X 7.5)
7.5
f x dx
4.2
7.5
4.2
1
e
9 2
x 3.6 2
4 ( 81)
dx
Per fortuna esiste la possibilità di operare in modo estremamente
più semplice, ma a tale fine occorre definire una particolare vc
normale, detta vc normale standardizzata, la cui caratteristica è
quella di avere media pari a zero e varianza unitaria, cioè:
f Z
1
z2
1
e 2
N Z ; 0 ,1
2
Si può dimostrare che data una normale N X ; , 2
si può sempre passare ad una NZ ; 0 ,1
semplicemente trasformando le x in z con la relazione
Z
x
Siccome per la normale standardizzata esistono tavole che
contengono la determinazione degli integrali coinvolti con il calcolo
di
p( z1 Z z 2 )
z2
f Zdz
z1
allora basta passare da X a Z, risolvere il nostro problema su Z ed
averlo risolto per X senza dover calcolare alcun integrale.
Tutto questo sarà molto più chiaro con alcuni esempi numerici;
prima vediamo più da vicino come sono costruite le tavole per la
normale standardizzata.
In primo luogo: la tabulazione avviene solo per la parte positiva
della distribuzione, dal momento che essendo la media della
standardizzata uguale a zero basta avere
prob0 Z a
per avere
prob a Z 0
Poi, le tavole forniscono l’area sotto la normale standardizzata
secondo il seguente schema:
L’immissione rappresenta l’area sottostante la distribuzione standardizzata dalla media aritmetica a Z
Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
.00
.01
.02
.0000 .0040 .0080
.0398 .0438 .0478
.0793 .0832 .0871
.1179 .1217 .1255
.1554 .1591 .1628
.1915 .1950 .1985
.2257 .2291 .2324
.2580 .2612 .2642
.2881 .2910 .2939
.3159 .3186 .3212
.3413 .3438 .3461
.3643 .3665 .3686
.3849 .3869 .3888
.4032 .4049 .4066
.4192 .4207 .4222
.4332 .4345 .4357
.4452 .4463 .4474
.4554 .4564 .4573
.4641 .4649 .4656
.4713 .4719 .4726
.4772 .4778 .4783
.4821 .4826 .4830
.4861 .4864 .4868
.4893 .4896 .4898
.4918 .4920 .4922
.4938 .4940 .4941
.4953 .4955 .4956
.4965 .4966 .4967
.4974 .4975 .4976
.4981 .4982 .4982
.49865 .49869 .49874
.49903 .49906 .49910
.49931 .49934 .49936
.49952 .49953 .49955
.49966 .49968 .49969
.49977 .49978 .49978
.49984 .49985 .49985
.49989 .49990 .49990
.49993 .49993 .49993
.49995 .49995 .49996
.03
.0120
.0517
.0910
.1293
.1664
.2019
.2357
.2673
.2967
.3238
.3485
.3708
.3907
.4082
.4236
.4370
.4484
.4582
.4664
.4732
.4788
.4834
.4871
.4901
.4925
.4943
.4957
.4968
.4977
.4983
.49878
.49913
.49938
.49957
.49970
.49979
.49986
.49990
.49994
.49996
.04
.0160
.0557
.0948
.1331
.1700
.2054
.2389
.2704
.2995
.3264
.3508
.3729
.3925
.4099
.4251
.4382
.4495
.4591
.4671
.4738
.4793
.4838
.4875
.4904
.4927
.4945
.4959
.4969
.4977
.4984
.49882
.49916
.49940
.49958
.49971
.49980
.49986
.49991
.49994
.49996
.05
.0199
.0596
.0987
.1368
.1736
.2088
.2422
.2734
.3023
.3289
.3531
.3749
.3944
.4115
.4265
.4394
.4505
.4599
.4678
.4744
.4798
.4842
.4878
.4906
.4929
.4946
.4960
.4970
.4978
.4984
.49886
.49918
.49942
.49960
.49972
.49981
.49987
.49991
.49994
.49996
.06
.0239
.0636
.1026
.1406
.1772
.2123
.2454
.2764
.3051
.3315
.3554
.3770
.3962
.4131
.4279
.4406
.4515
.4608
.4686
.4750
.4803
.4846
.4881
.4909
.4931
.4948
.4961
.4971
.4979
.4985
.49889
.49921
.49944
.49961
.49973
.49981
.49987
.49992
.49994
.49996
.07
.0279
.0675
.1064
.1443
.1808
.2157
.2486
.2794
.3078
.3340
.3577
.3790
.3980
.4147
.4292
.4418
.4525
.4616
.4693
.4756
.4808
.4850
.4884
.4911
.4932
.4949
.4962
.4972
.4979
.4985
.49893
.49924
.49946
.49962
.49974
.49982
.49988
.49992
.49995
.49997
.08
.0319
.0714
.1103
.1480
.1844
.2190
.2518
.2823
.3106
.3365
.3599
.3810
.3997
.4162
.4306
.4429
.4535
.4625
.4699
.4761
.4812
.4854
.4887
.4913
.4934
.4951
.4963
.4973
.4980
.4986
.49897
.49926
.49948
.49964
.49975
.49983
.49988
.49992
.49995
.49997
.09
.0359
.0753
.1141
.1517
.1879
.2224
.2549
.2852
.3133
.3389
.3621
.3830
.4015
.4177
.4319
.4441
.4545
.4633
.4706
.4767
.4817
.4857
.4890
.4916
.4936
.4952
.4964
.4974
.4981
.4986
.49900
.49929
.49950
.49965
.49976
.49983
.49989
.49992
.49995
.49997
Allora se z = 0.22 la superficie al di sotto della
standardizzata (tra 0 e z) è pari a 0.0871, cioè è circa il 9%
dell’intera distribuzione, se invece è pari a 0.30 la superficie
è 0.1179, cioè circa il 12% della distribuzione, e così via.
Le tavole della normale standardizzata sono riportate in
appendice ad ogni testo di statistica.
Vediamo allora un po’ di esempi numerici e la soluzione di
alcuni problemi.
Esempi:
Si calcoli usando la tavola della normale standardizzata la
probabilità che: 1.96 Z 1.96
Data la simmetria su
0
della distribuzione, basta
moltiplicare per 2 il valore che si trova sulla tavola in
corrispondenza di 0.96, cioè 0.4750.
Questo valore indica la probabilità tra 0 e 1.96, quindi
0.4750 x 2 = 0.95 dice che la probabilità richiesta, in termini
percentuali, è il 95%.
Si calcoli ora la probabilità che in una normale con media
pari a 10 e varianza pari a
compreso tra 8 e 12.
4,
X assuma un valore
Per usare la standardizzata si devono determinare su
quest’ultima distribuzione quei valori che corrispondono a 8
e a 12;
essi sono:
z1
X1
8 10
1
2
z2
X2
12 10
1
2
Allora dalle tavole della normale standardizzata:
prob0 Z z 2 0.3413
probz1 Z z 2 2 0.3413 0.6826
e pertanto la probabilità richiesta per X è approssimativamente
del 68%.
Sia X una vc normale con media 16000 e scarto quadratico
medio pari a 2000.
Calcolare la probabilità che X sia compreso tra 15000 e
18000.
z1
15000 16000
0.5
2000
z2
18000 16000
1
2000
Allora:
prob 0.5 Z 1 prob 0 Z 0,5 0.1915
prob 0 Z 1 0.3413
prob 0.5 Z 1 0.1915 0.3413 0.5328
allora la probabilità richiesta per X è di circa il 53%.
MODELLI PER VARIABILI CASUALI CONTINUE
Variabile Casuale Normale
X ~ N , 2
,
E’ funzione di due parametri
2
2
f
x
Se
f
1
2
x dx
2
e
1 x
2
-
+
1
x
o
x f x 0
x
f(x) è simmetrica rispetto a
f x f x
Media e varianza
E X
VAR
X
2
V.C. Normale Standardizzata
Se 0 e 2 1
f
z
1
2
e
1 2
z
2
Relazione tra
Z
N
X
N , 2
Z 0,1
z
,
2
e
Z 0,1
X Z
P x1 X x2 P z1 Z z2
z1
x1
z2
x2
P Z z0 F z0
z0
f
z dz
Dalle tavole:
F z 1 F
z
F
z
1 F z
F 0 0.5
F z2 F z1
F 0 0.5
0
z1
z2
P X x P Z z
x
x
P Z
F
z
Problema
Un meteorologo ritiene che la probabilità che a Napoli piova durante
un giorno del mese di dicembre è uguale a 0,2.
a) Calcolare il numero di giorni di pioggia previsti dal meteorologo
durante tutto il mese.
b) Determinare inoltre la probabilità che nel mese di dicembre vi
siano al massimo 3 giorni di pioggia.
Soluzione
n = 30; p = 0,2
B (30, 0,2)
a) La previsione può essere fatta in termini di valore atteso, ossia:
E(X) = n p = 31 0,2 = 6,2.
b) Essendo n sufficientemente elevato, le probabilità cercate possono
essere approssimate dalla distribuzione Normale standardizzata:
P
X
P
3 6, 2
3 P Z
4,
8
Z
1 P
1, 46
Z
1, 46
1 0, 9279 0, 0721
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ “SPECIALI” DERIVATE
DALLA NORMALE STANDARDIZZATA
Distribuzione CHI-QUADRATO (c2n.
La somma dei quadrati di n variabili casuali indipendenti Normali
standardizzate si distribuisce come una v.c. c2 con n gradi di libertà
(g.l.).
Al crescere di n la c2 tende alla distribuzione Normale.
Distribuzione t di Student ( tn)
Sia X una v.c. Normale standardizzata e sia Z una v.c. c2n
indipendente da X.
Il rapporto: X
Z / n si distribuisce come una v.c. t di Student
con n gradi di libertà (t n ) .
La tn è simile alla Normale ma ha code più alte.
Al crescere di n la t tende alla Normale
Distribuzione F di Fisher ( F n1,n2 )
Siano Z1 e Z2 due v.c. indipendenti c2
g.l.;
Il rapporto : Z1
n1
Z2
con n1 e n2 rispettivi
n2
Si distribuisce come una v.c. F di Fisher-Snedecor con n1 e n2
g.l.
TEOREMA DI BAYES
Per introdurre il problema si partirà da un esempio.
Si abbiano due
urne: la prima, U1, contenente 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U2,
contenente 3 palline bianche e 5 nere..
Si estragga a sorte un' urna e si estragga poi dall’urna prescelta una
pallina.
Ammesso che la pallina estratta sia di colore bianco, ci si chiede: qual è
la probabilità che essa provenga dall'urna U1 se la probabilità di
selezionare ciascuna delle due urne è 0,50?
Si noti la particolarità del problema: finora le probabilità degli eventi
sono
state
sempre
determinate
prima
dell'esecuzione
dell'esperimento; qui la situazione è, in un certo senso, opposta: si
conosce il risultato dell'esperimento e si vuole calcolare la probabilità
che esso sia dovuto ad una certa "causa", nell'esempio che la pallina
provenga dall'urna U1.
Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere
visto come risultato ("effetto") di uno tra k possibili eventi ("cause"),
C1, C2, .... Ck, incompatibili e tali che uno di essi si deve verificare, e
interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Ci la causa che
l'ha prodotto. Conviene perciò introdurre una formula generale che
consenta il calcolo della probabilità in questione.
A questo fine si considerino innanzitutto gli eventi incompatibili C1, C2,
.... Ck, e si ammetta che essi costituiscano
una partizione dello spazio
campionario
Ω, ossia che Ω= C1
Allora
l’evento
A
può
essere
C2
espresso
....
nel
modo
Ck
seguente
A = A Ω =A ( C1 C2 .... Ck) = (A C1 ) (A C2 ).... (A Ck)
P(A B)
P(A)
(1.7)
P(B/A) =
(1.8)
P(A B)=P(A)-P(B/A)
Si osservi che l'evento A è espresso come unione degli eventi incompatibili
A Ci i = 1,2,. , n ; ne segue, per il terzo assioma della probabilità, che
P(A)=P(A C1)+P(A C2)+...+P(A Ck).
P(Ci A)
P(A)
Dalla (1.7) si ottiene
P(Ci | A)=
Applicando la (1.8) ad ogni elemento al secondo membro dell'equazione
precedente, si può anche scrivere
P(A) = P(C1)P(A|C1)+ P(C2)P(A|C2)+ ... + P(Ck)F(A| Ck)
(1.10)
Il problema è ora quello di calcolare la probabilità condizionata P(C1|A).
che, considerando la (1.8) e la (1.10), può essere posta nella forma
P(C i ) P( A | C i )
P(C1|A)=
k
1
P (C j ) P( A | C j )
(1.11)
La formula (1.11) va sotto il nome di formula di Bayes (dal nome
dell'ecclesiastico Thomas Bayes, 1702-1761, che la introdusse). È
opportuno
ribadire che P(C1|A) è la probabilità che l'evento A, già
realizzatosi, sia dovuto alla causa Ci ; tale probabilità è nota come
probabilità a posteriori, mentre P(Ci) è chiamata probabilità a priori della
causa C1.
Esempio1
Si riprenda l'esempio introduttivo. Dunque, ammesso che la pallina estratta
sia bianca, si vuole calcolare la probabilità che essa provenga dall’urna U1.
Se si indica con A l'evento in oggetto, con C1 l'urna U1 e con C2 l'urna U2,
la
probabilità
cercata
è
data
da
1 4
P(C1 ) P( A | C1 )
2 10
P(C1|A) =
0,52
P(C1 ) P( A | C1 ) P(C 2 ) P( A | C 2 ) 1 4 1 3
2 10 2 8
Esempio2
È noto che in una data popolazione la percentuale dei fumatori è pari al
35%. Si sa anche che il 20% dei fumatori ed il 6% dei non fumatori sono
affetti da una malattia respiratoria cronica. Si vuole determinare la
probabilità che un individuo affetto dalla malattia sia fumatore. Definiti gli
eventi: F: "fumatore",: "non fumatore", M: "malato", le informazioni
disponibili
consentono
di
P(F) =0,35; P ( F ) = 0,65; P(M| F) =0,20; P(M | F )= 0,06.
scrivere
Pertanto
PARTIZIONI E TEOREMA DI BAYES
PARTIZIONI
E
TEOREMA
DI
BAYES
Supponiamo che gli eventi A1, A2, . .. , An formino una partizione di uno
spazio campionario S; e cioè, che gli eventi Ai siano incompatibili e la loro
unione
sia
S.
Ora,
sia
B
un
qualsiasi
altro
evento.
Allora B = S B = (A1 A2... An) B = (A1 B) (A2 B) ... (An B)
dove gli AiB sono incompatibili.
Di conseguenza,
P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) +...+ P(An B)
Quindi, per il teorema di moltiplicazione,
P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+...+ P(An)P(B|An)
(1)
D'altra parte, per ogni valore di i, la probabilità condizionata di Ai dato
B è definita da
P( Ai B)
P(Ai|B) =
P ( B)
Impiegando la (1) per sostituire P(B) e impiegando P(Ai B) = P(Ai)P(B| Ai)
per sostituire P(Ai B), otteniamo da questa equazione il seguente
teorema.
Teorema di Bayes :
Supponiamo che A1, A2,... , An, sia una partizione di S e che B sia un
evento qualsiasi. Allora per ogni valore di i,
P( Ai ) P( B | Ai )
P(Ai|B) =
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) ... P( An ) P( B | An )
Esempio3:
Tre macchine A, B e C producono rispettivamente il 50%, il 30% e il
20% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le
percentuali
di
pezzi
difettosi
di
queste
macchine
sono
,
rispettivamente, il 3%, il 4% e il 5%. Viene estratto un pezzo a caso:
determinare
la
probabilità
che
esso
sia
difettoso.
Sia X l'evento “un pezzo è difettoso".
Allora per la (1) precedente
P(X) = P(A)P(X|A)+P(B)P(X|B)+P(C)P(X|C)=(.50)(.03)+(.30)(.04)+(.20)(.05)= .037
Si noti che si può anche considerare questo problema come un processo
stocastico rappresentato dal diagramma ad albero adiacente.
Esempio4 :
Si consideri la fabbrica dell'esempio precedente. Supponiamo che si
estragga un pezzo a caso e che esso sia difettoso. Si determini la
probabilità che quel pezzo sia stato prodotto dalla macchina A; ossia, si
determini P(A| X).
Per il teorema di Bayes,
P( A) P( X | A)
(.50)(.03)
15
P(A|X) =
P( A) P( X | A) P( B) P( X | B) P(C ) P( X | C )
(.50)(.03) (.30)(.04) (.20)(.05) 37
In altri termini, dividiamo la probabilità del cammino in questione per la
probabilità dello spazio campionario ridotto, ossia di quei cammini che
conducono ad un elemento difettoso.
ESERCIZI SUL TEOREMA DI BAYES
Determinare P(B|A) se (i) A è un sottoinsieme B, (ii) A e B sono
incompatibili.
(i)
Se A è un sottoinsieme di B, allora ogniqualvolta si verifica A deve
verificarsi B ; quindi P(B|A)=1 Alternativamente, se A è un sottoinsieme di
B, allora AB = A; quindi
P( A B) P( A)
1
P(B|A)=
P( A)
P( A)
(ii)
Se A e B sono incompatibili, e cioè disgiunti, allora ogniqualvolta si
verifica A non può verificarsi B; quindi P(B |A) = 0.
Alternativamente, se
A e B sono incompatibili, allora A
quindi
P(B/A)= P(A B) / P(A) = P(Ø) / P(A) = 0 / P(A) = 0
B =Ø
·
Tre macchine, A, B e C, producono rispettivamente il 60%, il 30% e il
10% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di
produzione difettosa di queste macchine sono rispettivamente del 2%, 3% e
4%. Viene estratto a caso un pezzo che risulta difettoso. Determinare la
probabilità che questo pezzo sia stato prodotto dalla macchina C.
Sia X= {pezzi difettosi}. Vogliamo determinare P(C|X), la probabilità che un
pezzo sia stato prodotto dalla macchina C se si sa che quel pezzo è
difettoso.
Per
il
teorema
di
Bayes,
ESERCIZIO .
Una scatola contiene tre monete, delle quali due non sono truccate mentre
l'altra ha due teste. Scegliendo casualmente una delle tre monete e
lanciandola,
(a)
qual è la probabilità che risulti testa?
(b)
qual è la probabilità di aver scelto la moneta truccata sapendo che
il risultato del lancio è testa?
Soluzione:
Indichiamo con T e C, rispettivamente, gli eventi “uscita di testa" e "uscita di
croce", con M1 e M2 la scelta della prima e seconda moneta; entrambe non
truccate, e con M3 la scelta della moneta truccata.
Per il quesito (a) si ha
P(T) = P[(TM1)+(TM2)+(TM3)] = P(TM1)+P(TM2)+P(TM3)]
= P(T|M1 )P(M1 )+P(T|M2)P(M2)+P(T|M3 )P(M3)=
= 1 1 1 1 (1) 1 2
23
23
3
3
Per il quesito (b) si ha (teorema di Bayes)
P(M3|T)=
P(T | M 3 ) P(M 3 )
(1)(1 / 3) 1
P(T | M i ) P(M i ) (2 / 3) 2
i
Teorema di Tchebycheff
Finora si sono considerate media, varianza e deviazione standard
di un esperimento in modo separato per ana1izzare alcune
caratteristiche di una v.c. e della sua distribuzione di probabilità.
Si consideri ora un’utilizzazione congiunta di questi indici al fine di
fornire informazioni circa il modo in cui le probabilità si addensano
in intervalli centrati sulla media e di ampiezza proporzionale alla
deviazione
standard
della
variabile.
Intuitivamente si può pensare che a valori bassi della deviazione
standard corrisponda una massa di probabilità molto concentrata
intorno alla media, mentre a valori elevati della deviazione standard
la
probabilità
sia
più
diffusa
attorno
alla
media.
Si cercherà di quantificare tale idea intuitiva.
Esempio
Si consideri la variabile X= numero di teste uscite dal lancio di 5 monete.
μ=E[X]=2,5, Σ ( X – μ)2f(x) = 40/32 , σ2=Var(X)=1,25 , σ=1,12
Nella figura 3.20 è rappresentata la distribuzione di probabilità della v.c X
unitamente alla probabilità compresa negli intervalli μ±σ e μ±2σ
Teorema:
Se la v.c. X ha media finita μ e deviazione standard finita
σ, e k è un numero positivo qualunque, allora la massa di probabilità che
si trova al di fuori dell’intervallo chiuso [( μ- kσ) ,( μ + kσ)] è inferiore a
1/k2. In simboli:
o, equivalentemente, la probabilità sull’intervallo complemento è
superiore a (1- 1/k2 ),cioè:
1
P(| X |) k ) 1 2
k
Infatti, si supponga che la variabile casuale X abbia media μ e deviazione
standard σ. Tra tutti i valori possibili di X si scelgano quelli che distano da μ
in valore assoluto, più della quantità kσ , dove k è un numero reale positivo.
I valori di X vengono cosi divisi in due sottoinsiemi: i valori compresi
nell’intervallo [(μ- kσ), ( μ+ kσ)] e quelli invece che si collocano al di fuori di
tale intervallo. Per comodità si indichino con xi*
i valori esterni
all’intervallo che soddisfano cioè la relazione | xi*- μ| ≥ kσ .
Dalla
definizione
di
σ
si
avrà:
Poiché i valori xi* un sottoinsieme di tutti i possibili valori di X, e più
precisamente :
f ( x *) Pr(| x
i
i
i
| k )
Detta relazione potrà allora scriversi:
2
k
2
2
Pr(| xi | k )
da cui segue:
1
Pr(| xi | k ) 2
k
Questo teorema è molto importante perchè permette di
associare un livello di probabilità a degli intervalli senza
conoscere la forma della distribuzione della funzione di
probabilità f(x). Ma chiedendo solamente che la v.c. X abbia
media e varianze finite. È quindi
un teorema che vale
sotto condizioni assolutamente generali.
Togliendo il valore assoluto nell'espressione del teorema., si può scrivere:
Pr(k X k ) 1
e quindi:
1
k2
Pr( k X k ) 1
1
k2
La rappresentazione grafica del teorema di Tchebycheff equivale a
suddividere l’insieme possibile della v.c. X nei seguenti sottoinsiemi:
Nota: Per valori di σ>0 la probabilità espressa dal teorema di Tchebycheff
è una funzione decrescente di σ, nel senso che a valori via via più elevati di
σ vengono associati livelli di probabilità sempre più bassi per un valore di k
costante. Infatti, quanto più σ è piccolo tanto più piccolo è l'intervallo intorno
a μ entro il quale cade una stessa percentuale di valori della v.c X, cioè
quanto più σ è piccolo, tanto più la media è rappresentativa dell’intera
distribuzione dei valori della variabile X
Dalle Figure si vede che σ1 >σ2 > σ3
Esercizio sul teorema di Tchebycheff
Le confezioni di pasta alimentare di una certa linea di produzione hanno un
peso che può essere assimilato ad una variabile aleatoria X avente media μ =
0,5 Kg e deviazione standard σ = 0.003 kg. Si determini:
a)
il limite inferiore della probabilità che, estraendo a sorte una
confezione, il
peso della confezione sia compreso nell'intervallo di estremi 0,5 ± 2 × 0,003
b)
il limite superiore della probabilità che X sia esterna all'intervallo (0.491;
0.509)
c)
il limite inferiore per P(0.495 < X < 0.505)
d)
l'intervallo intorno alla media in cui è compresa la variabile aleatoria X
con probabilità almeno uguale al 95%
Soluzione
a) Si tratta di una applicazione diretta della formula: P(| X |) k ) 1
1
k2
dalla quale risulta evidente che k = 2; pertanto l'estremo inferiore cercato è dato
da:
P(| X 0,5 |) 0,006 ) 1
1
22
b) Per utilizzare ancora la precedente formula, dobbiamo prima ricavare k.
Dalla relazione 0.5 - k(0.03) = 0.491 otteniamo k = 3. Pertanto l'estremo
superiore cercato è dato da: P[( X 0,491) ( X 0,509 )]
1
0,11
2
3
c) Dalla relazione 0.5 - k(0.03) = 0.495 si trova k = 1,7. Ne consegue che il
limite inferiore cercato é 0,65
1
4,47
d) anche qui si tratta di trovare k; si ha allora k
1 0,95
Pertanto l'intervallo richiesto è: (μ – 4,47σ ; μ + 4,47σ) ovvero (0,487; 0,513)
Semplici teoremi sui valori caratteristici di una variabile
casuale.
Siano : X una v.c. ; a , b due costanti
1.
2.
3.
E a X b a E X b
E
a X a
2
2
E X 2
var a X b a 2 var X
Valore caratteristico incrociato per una distribuzione congiunta di
variabili casuali
(covarianza)
cov XY EX EX Y EY
Siano X , Y due v.c. con funzione di densità congiunta pij ; il valore
caratteristico cov(XY) detto covarianza è fornito dalla relazione:
Tale valore è di notevole rilievo perché è una misura del legame
lineare tra X e Y.
Ancora due semplici teoremi
Se X , Y sono due v.c.
EX Y EX EY
var X Y var X var Y 2 cov XY
Indipendenza e covarianza
Siano X Y due v.c.
Esse sono indipendenti se e solo se
PXY PX PY
Se tale condizione si verifica allora ovviamente cov (XY) = 0
perché l’indipendenza esclude la possibilità di legami.
ATTENZIONE! Non è vero in genere il contrario,
cioè la covarianza nulla non
implica indipendenza.
Si può dimostrare però che se X , Y sono v.c. Normali la
covarianza nulla è condizione necessaria e sufficiente per
l’indipendenza.
Un ultimo teorema: se X , Y sono v.c. indipendenti
EXY EXEY
Le fasi dell’indagine
statistica
Il campionamento
Le fasi dell’indagine
Le fasi di un’indagine sono:
La progettazione dell’indagine
-
come si acquisiscono i dati?
indagine censuaria o campionaria?
quanto tempo?
quali risorse?
La rilevazione dei dati
L’elaborazione dei dati
La pubblicazione dei risultati
Le fonti dei dati
La precisione e la qualità dei dati influiscono sulla
validità dei risultati
La precisione e la qualità dei dati dipendono dal
tipo di metodo scelto per l’acquisizione dei dati
I dati statistici possono provenire da:
– Data base statistici (dati pubblici)
– Dalla propria rilevazione
– Da Esperimenti
Data base statistici
Questo metodo è solitamente preferito per la
velocità di acquisizione e bassi costi
I dati possono essere su supporto cartaceo,
magnetico o possono essere acquisiti in linea
(Internet)
Ad esempio:
I dati pubblicati dall’ISTAT,
dalla Banca d’Italia
I dati forniti da Enti riconosciuti sono chiamati
dati primari o dati di fonti ufficiali
Ad esempio:
•I dati di famose società statistiche private
• I dati finanziari forniti dagli uffici studi delle
banche o assicurazioni
I dati forniti da Enti non ufficiali sono chiamati dati
secondari o dati di fonti non ufficiali
La rilevazione propria e la conduzione di
esperimenti
Quando i dati pubblicati non sono sufficienti a colmare il
proprio bisogno di informazioni, vengono effettuati degli
studi in proprio per ottenere i dati necessari:
Attraverso la rilevazione dei dati le variabili
che caratterizzano il fenomeno sono osservate
e registrate senza controllare la presenza di
fattori che possano influire sul loro valore
Attraverso gli esperimenti le variabili che
caratterizzano il fenomeno sono osservate e
registrate controllando l’influenza di alcuni
fattori sul loro valore
L’indagine statistica
– Con l’indagine statistica le informazioni vengono
raccolte dalle persone
– L’indagine
attraverso
intervista
intervista
intervista
statistica
può
essere
personale (face to face)
telefonica
auto-amministrata
Un buon questionario deve essere costruito:
• Rendendo il questionario quanto più breve possibile
• Inserendo domande breve, semplici e chiare
• Partendo da domande generiche per poi entrare nello
specifico (tecnica ad imbuto)
• Utilizzando domande chiuse a scelta dicotomica o multipla
• Utilizzando domande aperte solo quando è necessario
• Inserendo domande di controllo
• Strutturando il questionario a seconda del tipo di intervista
realizzata
Il campionamento
Perché si ricorre ad un’indagine campionaria:
–Per i costi
–Per la numerosità elevata della Popolazione
–Per la possibilità di distruggere le unità della
popolazione quando si raccolgono i dati
Il campione deve essere rappresentativo della
popolazione e non distorto
La Popolazione (“universo”)
Insieme finito o infinito, di UNITA' statistiche
Esempio popolazione Italiana:
definito:
residente in Italia
sul territorio Italiano
nei contenuti
al censimento del
nello spazio
2001
nel tempo
Il Campione
Insieme delle n UNITA' statistiche selezionate tra le
N che compongono la popolazione :
il fine è rappresentare la popolazione
le n unità che costituiscono il campione
sono le unità campionarie
Differenti tipi di campione
Un campione può essere:
Casuale o probabilistico
si attribuisce ad ogni unità statistica della
una probabilità positiva di essere estratta
si utilizzano in modo appropriato le tecniche
per
la
selezione
casuale
(Tavole
di
generazione dei numeri casuali, software)
Non probabilistico o a scelta ragionata
• Le unità campionarie sono scelte sulla
base di informazioni a priori in modo da
somigliare per alcuni caratteri strutturali
alla popolazione da cui sono tratte
Campione probabilistico
Campione non
probabilistico
Campionamento
CASUALE SEMPLICE
Campionamento
PER QUOTE
Campionamento
STRATIFICATO
Campionamento
UNITA’ TIPO
Campionamento
SU PIU' STADI
Campionamento
ELEMENTI ANOMALI
Campionamento
DI AREE
Campionamento
RUOTATO
Campionamento
IN DUE FASI
La struttura del campione è data dall'insieme di LISTE che si adoperano
per formarlo. Se la lista della popolazione è unica il campione ha una
struttura semplice; se sono necessarie più liste la struttura è complessa
Campione casuale semplice
E’ il campione della teoria statistica
Il campionamento casuale semplice si realizza
semplicemente scegliendo a caso dalla popolazione n
elementi dall’universo N , in modo tale che ogni unità
abbia la stessa probabilità di essere estratta
POPOLAZIONE
N unità
CAMPIONE
n unità
PROBABILITA' DI INCLUSIONE di i
i
FRAZIONE di CAMPIONAMENTO f= n/N
n
N
• Esempio
– Si vogliono controllare, in un elenco
provinciale di 1.000 aziende, 50 bilanci
– Dall’elenco si estraggono casualmente 50
aziende
– Usare il generatore di numeri casuali in
Excel
Soluzione
Si generano 50 numeri tra 1 e1000
Approssimando
X(100)
50 numeri
uniformemente
distribuiti tra 0 e 1
0.3820002
0.1006806
0.5964843
0.8991058
0.8846095
0.9584643
0.0144963
0.4074221
0.8632466
0.1385846
0.2450331
382.00018
100.68056
596.48427
899.10581
884.60952
958.46431
14.496292
407.4221
863.24656
138.58455
245.03311
.
.
.
.
50 Numeri casuali
tra 0 e 1000,
ognuno ha probabilità
1/1000 di essere estratto
383 383
101 101
597 597
900 900
885 885
959 959
15 15
408 408
864 864
139 139
246 246
50 numeri casuali
interi tra 1 e 1000
uniformemente
distribuiti
. .
. .
Saranno selezionate le aziende
con i numeri identificativi 383, 101, ...
Campione stratificato
STRATIFICARE significa ripartire, cioè individuare
nella popolazione
Sottopopolazioni al massimo
omogenee rispetto alla variabile o alle variabili da
rilevare
da ogni Strato viene estratto un campione casuale
semplice
– Con questo campione è possibile ottenere
informazioni circa:
• l’intera popolazione
• ogni strato
• le relazioni tra gli strati
A pari numerosità, le STIME sono più Efficienti di
quelle ottenibili con un Campionamento Casuale
Semplice
Professione
• dipendente
• autonomo
• lib.prof.
Età
• sotto 20
• 20-30
• 31-40
• 41-50
Sesso
• Maschio
• Femmina
Ci sono più modi per costruire un campione casuale
stratificato. Ad esempio, nel campione si può rispettare
proporzionalmente la numerosità degli strati della popolazione
(selezione proporzionale)
Un campione di numerosità 1.000 deve essere estratto
Altri modi sono:
Selezione uniforme
Selezione Ottimale
Selezione Ottima di NEYMAN-TCHUPROW
Sono legati alla varianza tra
gli strati e all’interno degli
strati
Strato
1
2
3
4
Reddito
Proporzione popolaz.
sotto E. 15.000
15.000-29.999
30.000-50.000
oltre E. 50.000
25%
40%
30%
5%
n. Strato
250
400
300
50
Totale 1.000
Campione a grappoli
Il campionamento a grappoli è un campionamento
casuale in cui le unità da estrarre sono gruppi di
elementi contigui detti Grappoli (cluster)
E' particolarmente utile quando:
non è disponibile un elenco dei singoli
elementi della popolazione
i
costi
di
rilevazione
aumentano
notevolmente al crescere della distanza tra
gli elementi
Gli elementi che fanno parte di uno stesso grappolo
sono fisicamente vicini, comportando che abbiano
caratteri simili, ossia che le misure del carattere da
rilevare siano più o meno tra loro correlate
Esempio:
indagini su vaste aree territoriali (Regioni, Città ecc.);
in tali casi i grappoli vengono solitamente definiti in
termini di sub-aree (Comuni, Quartieri, ecc.).
Il campione deve essere formato da un numero elevato
di grappoli di piccole dimensioni
Pochi grappoli di grande dimensione possono essere
giustificati solo se eterogenei nel loro interno, ossia se
è molto elevata la varianza NEI gruppi e invece bassa
quella TRA i gruppi
L’errore campionario
Svolgendo un’indagine statistica possono essere
commessi due tipi di errori:
L’errore campionario
L’errore extra campionario
Tale tipo di errore si riferisce alla differenza tra il
campione e la popolazione, ovvero tra la stima ottenuta
dal campione ed il parametro della popolazione.
Diminuisce all’aumentare della numerosità campionaria
L’errore extra campionario
Tale tipo di errore si ha se si commettono degli sbagli durante
il processo di rilevazione dei dati
Non diminuisce all’aumentare della numerosità campionaria
E’ di tre tipi:
Errore nell’acquisizione dei dati
(es: codifica sbagliata)
Errore di non risposta
Errore di selezione
La distribuzione
campionaria
Calcolare i parametri di una popolazione è quasi
sempre proibitivo per la numerosità della stessa
Per questo, per conoscere le caratteristiche della
popolazione viene considerato un campione, e
facendo inferenza, si calcola una statistica
relativamente ai parametri di interesse
La distribuzione campionaria della statistica è lo
strumento che ci dice come si distribuisce la
statistica attorno al parametro
La distribuzione campionaria
della media
•
Esempio
– Un dado è lanciato un numero infinite di
volte
– Sia X la variabile che rappresenta il numero
di punti in ogni faccia del dado
– La distribuzione di probabilità di X è:
x
1 2 3 4 5 6
p(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
E(X) = 1(1/6) +
2(1/6) + 3(1/6)+
………= 3.5
V(X) = (1-3.5)2 (1/6 +
(2-3.5)2 (1/6 + ………
………. = 2.92
Supponiamo di voler stimare m dalla media x
di un campione di numerosità n = 2
Qual è la distribuzione di x ?
Campione
Media Campione
Media Campione
Media
1
1,1
1
13
3,1
2
25
5,1
3
2
1,2 1,5
14
3,2
2,5
26
5,2
3,5
3
1,3
2
15
3,3
3
27
5,3
4
4
1,4 2,5
16
3,4
3,5
28
5,4
4,5
5
1,5
3
17
3,5
4
29
5,5
5
6
1,6 3,5
18
3,6
4,5
30
5,6
5,5
7
2,1 1,5
19
4,1
2,5
31
6,1
3,5
8
2,2
2
20
4,2
3
32
6,2
4
9
2,3 2,5
21
4,3
3,5
33
6,3
4,5
10
2,4
3
22
4,4
4
34
6,4
5
11
2,5 3,5
23
4,5
4,5
35
6,5
5,5
12
2,6
4
24
4,6
5
36
6,6
6
Campione
Media Campione
Media Campione
Media
1
1,1
1
13
3,1
2
25
5,1
3
2
1,2 1,5
14
3,2
2,5
26
5,2
3,5
3
1,3
2
15
3,3
3
27
5,3
4
4
1,4 2,5
16
3,4
3,5
28
5,4
4,5
5
1,5
3
17
3,5
4
29
5,5
5
6
1,6 3,5
18
3,6
4,5
30
5,6
5,5
7
2,1 1,5
19
4,1
2,5
31
6,1
3,5
8
2,2
2
20
4,2
3
32
6,2
4
9
2,3 2,5
21
4,3
3,5
33
6,3
4,5
10
2,4
3
22
4,4
4
34
6,4
5
11
2,5 3,5
23
4,5
4,5
35
6,5
5,5
12
2,6
4
24
4,6
5
36
6,6
6
E( x) =1.0(1/36)+
1.5(2/36)+….=3.5
6/36
5/36
4/36
V(X) = (1.0-3.5)2(1/36)+
(1.5-3.5)2(2/36)... = 1.46
3/36
2/36
1/36
1
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x x e
2
x
4.5
5.0
x2
2
5.5 6.0
x
n5
x 3. 5
2x
2
x .5833 ( )
5
n 10
x 3. 5
2
2x .2917 ( x )
10
n 25
x 3. 5
2x
.1167 ( )
25
2
x
1
6
E’ da notare che x è più piccolo
1
di x. Al più grande campione
corrisponde il 2 più piccolo. Inoltre
x
x tende a cadere sempre più vicino a ,
quanto più cresce la numerosità del campione
2
6
1
6
Teorema del Limite Centrale
– Da qualsiasi popolazione si estragga un
campione, la distribuzione della media
campionaria si approssima ad una Normale
per campioni sufficientemente grandi
– Quanto è più grande il campione tanto più la
distribuzione campionaria di
si
x
approssima ad una Normale
4.3.1 La distribuzione campionaria della
media campionaria
1. x x
x2
2.
n
3. Se x è normale, x è normale. Se x non è normale x si distribuis ce
approssima tivamente come una normale per campioni sufficient emente
grandi
2
x
•
Esempio
La quantità di soda pop contenuta ogni
bottiglia si distribuisce in modo normale con
media 32.2 ml. E deviazione standard di 0.3
ml..
– Trovare la probabilità che una bottiglia,
acquistata da un consumatore, contenga più di
32 ml.
Soluzione
La variabile casuale X è la quantità di soda pop nella
bottiglia
0.7486
x 32 32.2
P( x 32 ) P(
)
x
.3
P( z .67 ) 0.7486
x = 32
= 32.2
– Trovare la probabilità associata alla possibilità di
avere in 4 bottiglie una quantità media maggiore
di 32 ml.
Soluzione
La variabile casuale X è l’ammontare medio di
soda pop per bottiglia
x 32 32.2
P( x 32) P(
)
x
.3 4
0.9082
P( z 1.33) 0.9082
0.7486
x = 32
x 32 = 32.2
x 32.2
•
Esempio
Lo stipendio medio settimanale dei laureati un anno dopo la
laurea è di 600 Euro.
Supponiamo che tale variabile si distribuisca in modo
normale con una deviazione standard di 100 Euro.
– Trovare la probabilità che 25 laureati, estratti casualmente,
abbiano uno stipendio settimanale inferiore a 550 Euro.
Soluzione
x 550 600
P( x 550) P(
)
x
100 25
P( z 2.5) 0.0062
– Se in un campione di 25 laureati, estratto
casualmente, lo stipendio medio settimanale è di
550 Euro, cosa si può commentare sulla media
della popolazione pari a 600?
Soluzione
Con = 600 la probabilità di avere un
campione con media pari a 550 è molto bassa
(0.0062). L’affermazione che i laureati hanno
uno stipendio medio settimanale pari a 600 è,
molto probabilmente, ingiustificata.
E’ molto più realistico assumere che sia più
piccola di 600, perché così, sarebbe molto più
probabile una media nel campione pari a 550.
La distribuzione normale standardizzata
Per fare inferenza sui parametri della popolazione è
necessario utilizzare la distribuzione campionaria
(esempio )
Utilizzando la distribuzione normale standardizzata i
valori sono tabulati:
P(1.96 z 1.96) .95, or P(1.96
- Z.025
Z.025
x
1.96) .95
n
Può essere scritto come :
P(1.96
x 1.96
) .95
n
n
che diventa :
P( 1.96
x 1.96
) .95
n
n
La distribuzione normale standardizzata Z
.025
.025
Distribuzione normale of
-1.96
0
-1.96
x
.025
.025
1.96
n
1.96
n
Sostituend o 600, 100, e n 25 all' esempio 5.2
100
100
P (600 1.96
x 600 1.96
) .95
25
25
Con
P (560.8 x 639.2) .95
Conclusione
– C’è il 95% delle possibilità che la medi
campionaria sia compresa nell’intervallo [560.8,
639.2] se la media della popolazione è 600.
– Se la media del campione fosse 550, la media
della popolazione probabilmente non sarebbe
600.
In generale
P( z 2
x z 2
) 1
n
n
Creazione della distribuzione
campionaria
attraverso una
simulazione al computer
Riproducendo un data sets di numeri casuali
che provengono da una data distribuzione, si
possono verificare le caratteristiche della
distribuzione.
Si simula un esperimento del lancio del dadi
(la creazione della distribuzione della media).
Sono mostrati di seguito gli effetti dell’aumento
della numerosità campionaria.
Simulazione del lancio del dadi
Media = 3.486
Stand. Dev. = 1.215
Media = 3.495
Stand. Dev. = 0.749
n = 10
6
M
or
e
5.
5
5
4.
5
4
3.
5
3
2.
5
2
1.
5
1
Media = 3.494
Stand. Dev. = 0.544
e
M
or
6
5.
5
5
4.
5
4
3.
5
2.
5
2
1.
5
1
6
M
or
e
5.
5
5
4.
5
4
3.
5
n=5
3
2.
5
2
1.
5
1
n=2
3
Valori della variabile
Calcolare la media
…e probabilità associate
0
5.
5
5
4.
5
4
3
3.
5
6
M
or
e
More
2.
5
1
Excel
2
0.1666667
0.1666667 Osservazione 1 Osservazione 2 Media Camp Bin
4
6
5
0.1666667
6
6
6
0.1666667
0.1666667
1
3
2
6 di taglia 2 1
3,5
0.1666667
Campione
2
1
1,5
Frequenza
Creazione valori
di una
1
28
1
1
1
distribuzione 1,5
della 65 Creare un2 istogramma1per la 1,5
90
2
3
2,5
media simulata2
distribuzione
della media
2,5
98
4
3
3,5
campionaria
3
121
3
3
3
3,5
177
6
3
4,5
4
152
3
2
2,5
4,5
107
6
5
5,5
5
81
6
2
4
5,5
55
6
1
3,5
6
26
5
5
5
1.
5
1
2
3
4
5
6
Valori
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
La distribuzione campionaria
della proporzione
Il parametro di interesse per i dati qualitativi è il
numero di volte che un particolare risultato si
verifica (numeri di successi)
Per stimare la proporzione (frequenza) p della
popolazione si utilizza la frequenza
del
^
p
campione
^ è una binomiale
La distribuzione campionaria p
Si preferisce utilizzare, per fare inferenza,
l’approssimazione normale della distribuzione
binomiale
Approssimazione della Binomiale ad una
Distribuzione Normale
– L’approssimazione è migliore quando:
La dimensione del campione è grande
La probabilità di successo p, è prossima
a 0.5.
– Per ottenere buoni risultati:
np > 5; n(1 - p) > 5
•
Esempio
– Approssimare la probabilità binomiale P(x=10) quando
n = 20 e p = .5
– I parametri per l’approssimazione sono:
= np; 2 = np(1 - p)
Costruiamo una distribuzione normale
per approssimare la binomiale P(X = 10)
= np = 20(.5) = 10; 2 = np(1 - p) = 20(.5)(1 - .5) = 5
La probabilità esatta è P(X = 10) = .176
P(9.5<YNormale<10.5)
L’ approssimazione
9.5 10
P(XBinomiale = 10)
~= P(9.5<Y<10.5)
10.5
9.5 10
10.5 10
P(
Z
) .1742
2.24
2.24
Altri esercizi di approssimazione
P(X<=8) = P(Y< 8.5)
8
P(X>= 14) = P(Y > 13.5)
Per grandi campioni l’effetto del fattore di
correzione del continuo è veramente molto
piccolo e può essere trascurato
13.5
8.5
14
Approssimazione della distribuzione
campionaria della proporzione
E( p
^) = p
– Si può dimostrare che
e
– V( p
^ ) = p(1-p)/n
Se sia np > 5 e np(1-p) > 5, allora
z
p̂ p
p(1 p)
n
si distribuisce approssimativamente come una
variabile normale standardizzata
Esempio
– Un’Azienda ha una quota di mercato del 30%. In
un’indagine campionaria di 1.000 consumatori è
stato chiesto quale marca preferiscono.
– Quale è la probabilità che più del 32% di tutti i
rispondenti dicano di preferire quella marca?
Soluzione
La variabile “numero di rispondenti che preferiscono la
marca X” si distribuisce come una binomiale con n =
1000 and p = .30.
Inoltre, np = 1000(.3) = 300 > 5
n(1-p) = 1000(1-.3) = 700 > 5.
p̂ p
.
32
.
30
.0838
P(p̂ .32) P
p(1 p) n .01449
Distribuzione campionaria
del confronto tra medie
La differenza tra medie è un parametro rilevante
quando si confrontano due popolazioni
Per fare inferenza tra 1 - 2 dobbiamo osservare
la distribuzione di
x1 x 2
Il valore atteso e la varianza saranno:
E ( x1 x2 ) E ( x1 ) E ( x2 ) 1 2
V ( x1 x2 ) V ( x1 ) V ( x2 )
12
n
22
n
La distribuzione di x1 x 2 è normale con
media 1 - 2 e deviazione standard di 12 22
n
n
se
– I due campioni sono indipendenti
– Le popolazioni originarie si distribuiscono in
modo normale
Se le popolazioni originarie non sono normali ma
il campione è maggiore di 30 la distribuzione
x1 x 2 si approssima ad una normale
Esempio
– I voti medi (in centesimi) di diploma di due
differenti Istituti sono 62 (stand.dev. = 14,5), e
60 (stand. dev. = $18,3).
– Qual è la probabilità che la media campionaria
degli studenti dell’Istituto A sia maggiore di
quella degli studenti dell’Istituto B (nWLU = 50;
nUWO = 60)
Soluzione
1 - 2 = 62 – 60 = 2
12
22
14,52 18,32
3,128
n
n
50
60
P( x1 x2 0) P(
x1 x2 ( 1 - 2 )
12
n1
22
n2
P( z .64) .5 .2389 .7389
02
)
3,128
