CAUSALITÀ, INDUZIONE, PROBABILITÀ
Il ragionamento causale
Causalità e induzione
Induzione e probabilità
Il mondo antico sostanzialmente non conosce l’idea
di legge nel senso della scienza moderna: in quel
mondo la ‘legge’ è soprattutto una nozione giuridica
e politica.
Esempio: la dicotomia greca antica tra nomos
(‘legge’) e physis (‘natura’) nel primo libro della
Repubblica di Platone.
L’idea moderna di legge naturale si afferma
pienamente solo con Newton: la formulazione
matematica delle leggi svolge un ruolo essenziale nel
fondare l’idea che la legge sia una prescrizione
necessaria.
Interazioni ‘causali’: un semplice esempio
1
2
3
1
3
2
Gli urti sono processi ‘causali’, ma nel senso di essere
governati con necessità da leggi (meccaniche).
Sullo sfondo di questa stretta relazione tra causalità
e legge, è possibile dimostrare il fondamento
empirico della relazione causale?
È il problema affrontato da David Hume (1711-1776):
- ammettendo che la conoscenza autentica sia in
larga parte di tipo causale, qual’è il fondamento di
questa conoscenza?
- perché ci ‘fidiamo’ della conoscenza causale e
perché non possiamo farne a meno?
“Tutti gli oggetti della ragione e della ricerca umane
si possono naturalmente dividere in due specie, cioè
relazioni di idee e materie di fatto.”
RELAZIONI TRA IDEE
“Alla prima specie appartengono le scienze della
geometria, dell’algebra e dell’aritmetica; e, in breve,
qualsiasi affermazione che sia certa intuitivamente e
dimostrativamente. [...] Proposizioni di questa specie
si possono scoprire con una semplice operazione del
pensiero, senza dipendenza alcuna da qualche cosa
che esista in qualche parte dell’universo. Anche se
non esistessero in natura circoli o triangoli, le verità
dimostrate da Euclide conserverebbero sempre la
loro certezza ed evidenza.”
MATERIE DI FATTO
“Le materie di fatto, che sono la seconda specie di
oggetti dell’umana ragione, non si possono accertare
nella stessa maniera, né l’evidenza della loro verità,
per quanto grande, è della stessa natura della
precedente. Il contrario di ogni materia di fatto è
sempre possibile, perché non può mai implicare
contraddizione e viene concepito dalla mente con la
stessa facilità e distinzione che se fosse del pari
conforme a realtà.”
“Che il sole non sorgerà domani è una proposizione
non meno intelligibile e che non implica più
contraddizione dell’affermazione che esso sorgerà.
Invano tenteremo, dunque, di dimostrare la sua
falsità; se essa fosse falsa dimostrativamente,
implicherebbe una contraddizione e non potrebbe
mai essere distintamente concepita dalla mente.”
D. Hume, Ricerca sull’intelletto umano (1748)
“È chiaro che in tutti i ragionamenti riguardanti le materie di
fatto sono basati sulla relazione di causa ed effetto e che noi
non possiamo mai inferire l’esistenza di un oggetto da quella
di un altro a meno che questi non siano connessi insieme, in
modo immediato o mediato. Quindi, per capire questi
ragionamenti, dobbiamo avere una perfetta dimestichezza
con l’idea di causa, e a questo scopo dobbiamo guardarci
intorno e trovare qualcosa che sia la causa di un’altra.”
Analisi dell’idea di causa := analisi di quelle condizioni generali
che ritroviamo nelle relazioni causali empiriche
contiguità
precedenza temporale della causa
congiunzione costante
Queste tre condizioni sono, per Hume, tutto ciò che di
‘causale’ possiamo ritrovare nell’esperienza.
Le domande fondamentali per Hume sono allora due:
1 Perché il fatto che tutto ciò che esiste debba avere una causa
ci appare un principio necessario? [PROBLEMA DELLA
CAUSALITÀ]
2 Qual’è il fondamento di quell’inferenza che, a partire da una
serie di fenomeni, ci porta a ipotizzare le cause di quei
fenomeni, e perché tendiamo ad attribuire necessità anche a
questo tipo di inferenza? [PROBLEMA DELL’INDUZIONE]
Problema della causalità (domanda 1):
perché la relazione causale dovrebbe essere
necessaria?
Problema dell’induzione (domanda 2):
come siamo arrivati a stabilire il carattere causale di
certe interazioni?
ATTENZIONE!
Logicamente, la domanda 2 precede la domanda 1:
una risposta alla 2 implica una risposta alla 1
La domanda
“come siamo arrivati a stabilire il carattere causale di
certe interazioni?”
rivela che l’assunzione implicita nell’uso di argomenti
induttivi è un principio di uniformità della natura:
“ne segue allora che tutti i ragionamenti riguardanti
la causa e l’effetto sono fondati sulla supposizione
che il corso della natura continuerà a essere
uniformemente lo stesso.”
Il nuovo problema è allora: in che misura è possibile
giustificare il principio di uniformità della natura?
Giustificazione logica?
Non necessaria: il principio di uniformità non è di
natura logica, cioè negare il principio non è
contraddittorio.
Giustificazione empirica?
Circolare: per giustificare il principio di uniformità
dovremmo ricorrere al principio stesso.
“In tutti i ragionamenti derivanti dall’esperienza c’è
un passo compiuto dalla mente che non è sorretto
da alcun argomento o processo dell’intelletto.”
Questo passo è invece sorretto dall’abitudine, una
caratteristica della natura umana che Hume
interpreta come una predisposizione – di fronte al
ricorrere di certi eventi secondo una certa
successione – ad attendersi la ripetizione di quegli
eventi in quella successione.
Hume si riferisce all’abitudine come a un tratto
originario e istintivo della natura umana, non
ulteriormente analizzabile in termini di strutture
psicologiche più profonde.
“Adoperando questa parola, non pretendiamo d’aver
dato la ragione ultima di tale inclinazione. Noi non
facciamo che indicare la presenza di un principio
della natura umana, che è universalmente
riconosciuto e che è molto noto nei suoi effetti.”
Argomento induttivo: argomento nel quale la relazione tra
premesse e conclusione non è necessaria ma ‘probabile’.
Esempi
• Un ortolano vende una cassetta di arance a metà prezzo.
• Voglio comprare una cassetta di arance e spendere poco.
• L’ortolano prende un’arancia dallo strato più alto della cassetta e,
tagliandola a metà, mi mostra che l’arancia è buona.
Argomento 1
Questa arancia è buona
quindi
Tutte le arance della cassetta
sono buone.
Campione di popolazione
Intera popolazione
Argomento 2
Prendo dalla cassetta un’arancia
a caso ed è buona.
quindi
Tutte le arance della cassetta
sono buone.
Argomento 3
Quasi tutte le arance della cassetta
sono buone.
Queste quattro arance sono prese
a caso dalla cassetta.
quindi
Queste quattro arance sono buone.
Campione di popolazione
Intera popolazione
Intera popolazione
+
Campione di popolazione
Campione di popolazione
Argomento induttivo
La relazione tra premesse e conclusione
non è necessaria ma ‘probabile’
Ma cosa significa ‘probabile’?
Il problema è serio perché non esiste un’unica
interpretazione possibile della nozione di
probabilità.
La probabilità:
un enigma filosofico?
Origini moderne del concetto di probabilità: tra il 1650 e il 1800
(gli antichi non hanno sviluppato un’idea robusta di probabilità).
Fin dall’inizio della sua storia moderna, il concetto di probabilità si
è sviluppando lungo due linee fondamentali:
ONTOLOGIA
della probabilità
EPISTEMOLOGIA
della probabilità
Caso
Aleatorietà
…………..
Incertezza
Verosimiglianza
…………………..
Alcune tappe storicamente fondamentali
1654 Corrispondenza tra Pascal e Fermat Nascita ‘ufficiale’
della probabilità moderna: il XVII secolo è ricchissimo di riflessioni
sulla probabilità (dalla nascita delle compagnie di assicurazione al
tema teologico della ‘scommessa’ di Pascal sull’esistenza di Dio)
1812 Laplace, Teoria analitica della probabilità (contiene il Saggio
filosofico sulla probabilità)
1933 Formulazione matematica del moderno calcolo delle
probabilità (A.N. Kolmogorov)
Interesse filosofico della probabilità
La moderna immagine scientifica del mondo ha a che fare
sempre di più con l’incertezza, e la probabilità rappresenta
uno strumento fondamentale per ‘modellizzare’ l’incertezza.
Molte singole scienze dipendono in modo cruciale dalla
probabilità per le loro stesse formulazione e applicazione
(fisica, chimica, biologia, meteorologia, economia, …).
La probabilità potrebbe dare qualche idea su come affrontare
il problema dell’induzione e degli argomenti induttivi in
generale.
Laplace e la formulazione “classica”
della probabilità (1812):
Se n è il numero di eventi possibili e m il numero di eventi
‘favorevoli’ a un certo risultato R, si pone la probabilità p(R)
pari al rapporto
Eventi ‘favorevoli’
Eventi possibili
Esempio canonico con i dadi:
Probabilità (“uscita del 3”) = 1/6
perché
1
= numero di eventi favorevoli all’uscita del 3
6
= numero di eventi possibili (le 6 facce del dado)
Sfondo deterministico della nozione laplaciana
di probabilità
“Dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell'universo
come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato
futuro. Un'intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte
le forze da cui è animata la natura e la collocazione rispettiva degli
esseri che la compongono, e fosse abbastanza profonda da
sottoporre questi dati ad analisi (matematica), abbraccerebbe
nella stessa formula i movimenti dei corpi più grandi dell'universo
e dell'atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e
l’avvenire come il passato sarebbe presente ai suoi occhi”.
L’uso della probabilità si giustifica sulla base dell’ignoranza
umana di tutte le forze in gioco
Prima implicazione importante:
La teoria laplaciana si fonda su un’interpretazione epistemica
della probabilità, nella quale la probabilità ha a che fare
essenzialmente con la conoscenza (o la credenza) di soggetti
umani razionali.
La formulazione laplaciana richiede però condizioni molto
forti:
1. individuazione di tutti i “casi possibili”;
2. possibilità di individuare i casi “favorevoli” all’evento di
cui si valuta la probabilità;
3. assunzione che tutti i casi possibili sono
“ugualmente” possibili (equipossibilità).
Ma 1 & 2 potrebbero non essere realizzabili, mentre
l’assunzione 3 è a rischio di circolarità: “possibile” significa
infatti “probabile”, e allo stesso tempo la probabilità è
definita nei termini del possibile.
Nel tentativo di superare i limiti della formulazione “classica”
vengono proposte 3 diverse interpretazioni:
INTERPRETAZIONE FREQUENTISTA (von Mises)
INTERPRETAZIONE LOGICA (Keynes, Carnap)
INTERPRETAZIONE SOGGETTIVA (De Finetti)
IMPORTANTE!
Int. frequentista
Struttura formale
della probabilità
Int. logica
(Kolmogorov)
Int. soggettiva
.......
Uno spazio di probabilità (A.N. Kolmogorov 1933) è
una tripla
, B, p
dove:
1. è un insieme;
2. B è un’algebra di Boole di sottoinsiemi di ;
3. p è una funzione p: B [0,1] tale che:
3.1 p() = 1
3.2
se R,S sono elementi di B e RS = ,
allora p(RS) = p(R) + p(S).
Le 3 interpretazioni riguardano l’idea filosofica di
probabilità: esse rappresentano 3 diversi modi di
‘concepire’ la probabilità, ma tutte e 3 devono
rispettare le condizioni matematiche del calcolo delle
probabilità.
Nonostante le notevoli differenze di interpretazione
concettuale, esiste un’identica struttura formale per
una teoria della probabilità (realizzata dagli assiomi
di Kolmogorov).
Dunque le proprietà matematiche della probabilità
non ci dicono da sole quale interpretazione della
probabilità dovremmo privilegiare.
La probabilità è un esempio di quei problemi
filosofici che possono avere una formulazione
matematica ma che non possono essere risolti
soltanto con la matematica.
INTERPRETAZIONE FREQUENTISTA
La probabilità di un evento si identifica con la sua
frequenza di occorrenza (in un insieme di eventi
‘simili’).
L’uso della probabilità è ristretto ai casi in cui si
dispone di un insieme di eventi ripetibili (non esiste
probabilità di un caso singolo!).
La probabilità deve essere trattata come una teoria
matematica che si occupa di fenomeni osservabili:
“Come oggetto della geometria è lo studio dei
fenomeni dello spazio, così la teoria della probabilità
ha a che fare con fenomeni di massa ed eventi
ripetuti.” (R. von Mises, 1928)
L’interpretazione frequentista non è soltanto
epistemica: la probabilità ha anche a che fare con
come è fatto il mondo.
INTERPRETAZIONE SOGGETTIVA
L’interpretazione soggettiva rifiuta invece che la
probabilità debba parlare di proprietà del mondo.
In questa interpretazione, la probabilità di un evento
si identifica con il grado di fiducia che i singoli
soggetti assegnano al verificarsi di quell’evento.
INTERPRETAZIONE LOGICA
Secondo i logicisti, la probabilità di un evento si
identifica con il grado con cui l’evidenza disponibile
su quell’evento giustifica l’effettiva realizzazione
dell’evento. Questo grado è secondo i logicisti un
fatto oggettivo.
L’interpretazione logica rifiuta dunque la tesi
soggettiva che non esistano fatti probabilistici
oggettivi.
Esempio:
“la probabilità di vita su Marte è x”
Soggettivisti: x rappresenta il grado di fiducia che i
soggetti attribuiscono all’effettiva presenza di vita su
Marte.
Logicisti: x rappresenta il grado di ‘sostegno’ che
l’evidenza osservativa a disposizione può assegnare
all’effettiva presenza di vita su Marte. Questo
‘sostegno’ non è un fatto puramente soggettivo, ma
ha una sua oggettività razionale.
Applicazione al problema dell’induzione:
inferenza probabilistica
Premessa: “Tutti gli oggetti osservati
soddisfano la legge X”
Conclusione: “Tutti gli oggetti
soddisfano la legge X”
La verità della premessa rende la verità della
conclusione ‘altamente probabile’.
In realtà, nessuna interpretazione della probabilità è
davvero adatta!
Interpretazione frequentista: la frazione di casi
osservati potrebbe essere troppo bassa.
Interpretazione soggettiva: la probabilità della
conclusione è solo il grado di credenza di un soggetto
individuale.
Interpretazione logica: sotto l’ipotesi che esistano
fatti
probabilistici
oggettivi,
la
relazione
probabilistica tra la premessa e la conclusione
potrebbe essere uno di questi casi.
Tuttavia l’interpretazione logica ha molti difetti
tecnici di per sé, che la rendono problematica.
[Ian Hacking, Introduzione alla probabilità e alla
logica induttiva, Saggiatore 2005]
