INSIEMI

INSIEMI
INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi
detti elementi dell’insieme.
Un insieme è definito quando viene dato un criterio
non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto
appartiene o no all’insieme
Simbologia
Gli insiemi sono indicati con lettere
maiuscole, eventualmente munite di indici:
A, B, X, Y, A1, A2, B1…
gli elementi degli insiemi con lettere
minuscole, eventualmente munite di indici:
a, b, x, a1, a2, y1 …
Rappresentazione di un insieme
Un insieme A si può rappresentare:
• elencando tutti gli elementi che
appartengono all'insieme
Esempio: A = {a, b, c, d}
• Indicando la proprietà caratteristica
degli elementi dell'insieme
Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}
I Diagrammi di Eulero-Venn
Servono per rappresentare graficamente un
insieme.
Esempio:
A
a
b
c
d
Il simbolo di appartenenza: 
Per indicare che a è un elemento dell’insieme
A si scrive:
aA
si legge “a appartiene ad A".
Per indicare che b non è un elemento
dell’insieme A si scrive:
bA
si legge “b non appartiene ad A".
CONFRONTO TRA INSIEMI
Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:
B  A (oppure A  B)
e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A"
("A contiene o è uguale a B")
se ogni elemento di B è un elemento di A
"bBbA
CONFRONTO TRA INSIEMI
Insieme vuoto : 
Insieme privo di elementi
(qualunque sia A)
Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive:
oppure 
se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se
 a A : a  B
CONFRONTO TRA INSIEMI
Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento
di A è anche elemento di B e viceversa:
A = B  (A  B e B  A)
Due insiemi A e B si dicono diversi se esiste un
elemento di uno dei due insiemi che non
appartiene all’altro:
AB
Proprietà della relazione di
inclusione:
Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:
• A  A (proprietà riflessiva)
• se A  B e B  A allora A = B (proprietà
antisimmetrica)
• se A  B e B  C allora A  C ( proprietà
transitiva)
Insieme delle parti
• L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A,
compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme
delle parti di A (o potenza di A) e si indica con P(A)
• Esempio: Sia A = {1, 2, 3},
P(A)= {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
• Se A contiene n elementi
allora P contiene 2n elementi
OPERAZIONI TRA INSIEMI
•
•
•
•
•
UNIONE
INTERSEZIONE
DIFFERENZA
COMPLEMENTAZIONE
PRODOTTO CARTESIANO
UNIONE TRA INSIEMI
• L'unione di due insiemi A e B è l'insieme
di quegli elementi che appartengono
ad almeno uno dei due insiemi A e B
• L’unione di A e B si scrive:
A  B = {x : x  A o x  B }
Se A = B
Se A  B
AB=A
AB=B
UNIONE TRA INSIEMI
• Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A
0
B
1
3
2
UNIONE TRA INSIEMI
• Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A  B = {0, 1, 2, 3}
A
0
B
1
3
2
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
• L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di
quegli elementi che appartengono sia ad A che a B
• L'intersezione di A e B si scrive:
A  B = {x : x A e x B }
Se A = B
Se A  B
Se A  B = 
A  B =A
A  B =A
A e B si dicono disgiunti.
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
B
A
1
3
0
2
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A  B = {1, 2}
B
A
1
3
0
2
PROPRIETA’ DI UNIONE E
INTERSEZIONE
• Proprietà commutativa:
AB=BA
AB=BA
• Proprietà associativa:
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
• Proprietà distributiva:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
DIFFERENZA TRA INSIEMI
• La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di
quegli elementi che appartengono ad A e che non
appartengono a B:
• La differenza di A e B si scrive
A - B = A \ B = {x : x  A e x  B }
Se A = B
Se A  B
A \ B =
A \ B =
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
B
A
0
1
3
2
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A \ B = {0}
B
A
0
1
3
2
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
B \ A = {3}
B
A
0
1
3
2
INSIEME COMPLEMENTARE
• Sia U un insieme su cui si intende operare,
chiamato insieme universo.
• sia A un sottoinsieme di U, si chiama
insieme complementare di A rispetto ad U
l'insieme differenza di U e A e si scrive:
CUA =A’ =U \ A = {x : x  U e x  A }
INSIEME COMPLEMENTARE
• Esempio
U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}
A
1 2
U
0
3
5
INSIEME COMPLEMENTARE
• Esempio
U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}
CUA =U \ A = {0, 3, 5}
A
A
1 2
U
0
3
5
PRODOTTO CARTESIANO
• Per coppia ordinata si intende una coppia
di elementi in cui viene distinto il primo dal
secondo: (x,y)  (y,x)
• Dati due insiemi A e B, l’insieme delle
coppie ordinate (x,y) in cui il primo
elemento x appartiene ad A ed il secondo
elemento y appartiene a B si dice prodotto
cartesiano di A e B
A  B = {(x, y) : x  A, y  B}
PRODOTTO CARTESIANO
• Non è commutativo:
• Se A=B
ABBA
A  B = A2
• Dati n insiemi: A1, A2, ….., An :
A1  A2  ….  An = {(x1, x2, ….., xn) : x1  A1 , x2
 A2, … , xn  An }
• Se A1 = A2 =… =An
A1  A2  ….  An = An
PRODOTTO CARTESIANO
Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}
A  B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B  A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
ESERCIZI
• Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}
• Calcolare:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A  B = {2, 4}
A \ B = {1, 3, 5}
B \ A = {6}
INSIEMI NUMERICI
•
•
•
•
•
NATURALI
INTERI O RELATIVI
RAZIONALI
IRRAZIONALI
REALI
I NUMERI NATURALI
N={1, 2, 3, 4, 5,…..}
• Si definisce sistema algebrico un insieme nel
quale sono state definite alcune relazioni
• Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene
introducendo in N le seguenti operazioni:
1) Addizione
2) Moltiplicazione
3) Relazione di “minore o uguale di” (m<n sse
p N: m+p=n)
I NUMERI NATURALI
• " m, n, p  N Le operazioni di addizione e
moltiplicazione godono delle proprietà:
- Associativa:
(m + n) + p = m + (n + p)
(m • n) • p= m • (n • p)
- Commutativa:
m+n=n+m
m•n=n•m
- Distributiva:
m • (n + p)= m • n + m • p
- Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:
 1 N: 1 • m = m
I NUMERI RELATIVI
• L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto
all’addizione e alla moltiplicazione.
• Non è ad esempio chiuso rispetto alla sottrazione
 sistema algebrico dei numeri relativi:
Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}
Z+ = {+1, +2, +3, …} = N
Z- = {-1, -2, -3, …}
Z = Z+  Z - {0}
I NUMERI RELATIVI
Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:
4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:
 0 Z : x + 0 = x, "xZ
5) Esiste l’opposto:
"xZ,  y Z : x + y = 0,
6) Chiuso rispetto alla sottrazione:
x – y = x + (-y)
I NUMERI RAZIONALI
• PROBLEMA:
Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile
trovare un numero q Z : x • q = y ovvero
Z non è chiuso rispetto alla divisione
Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}
• ogni numero decimale finito o periodico è un
numero razionale.
NUMERI RAZIONALI
• Q è denso:
"q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2
• N e Z sono discreti:
-2 -1 0 1 2 3
NUMERI REALI
• PROBLEMA:
non è possibile trovare nessun numero
razionale tale che il suo quadrato sia uguale
a2!
• Numeri reali: R = Q + 
dove  è l’insieme dei numeri irrazionali
2 , , e  I
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo per assurdo che esista un numero
razionale del tipo p/q primi tra loro tale che:
p2/q2=2
p2=2 q2
p è pari, p = 2k
22 k2 = 2 q2
2 k2 = q 2
ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q
sono primi tra loro.
I NUMERI REALI
Assioma di completezza:
Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R
"a A "b B si abbia a  b   c  R: a
cb
c prende il nome di elemento separatore.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra
numeri reali e punti della retta:
GLI INSIEMI NUMERICI
• Sussiste una precisa relazione di inclusione:
N  Z  Q R