Diapositiva 1 - Liceo Cavalieri

TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
Volume di fluido che attraversa una sezione della
tubatura in un secondo.
Ma anche…prodotto della sezione S per la velocità V
PORTATA = S·V
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
Se la superficie non è perpendicolare al vettore
velocità il prodotto sarà maggiore, essendo
maggiore S; ma questo non è corretto perché,
evidentemente, la quantità di fluido che
attraversa la tubatura è la stessa
BISOGNA MODIFICARE LA FORMULA
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
La definizione generale in questo caso è:
PORTATA = S·V ·cosα
Dove n è il vettore perpendicolare alla superficie
e avente modulo uguale a 1 (NORMALE)
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
Se α=0 allora cosα =1 e la nuova
definizione si riduce alla vecchia
TEOREMA DEL FLUSSO
LINEE DI…
FORZA…? VELOCITA’…?
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA E FLUSSO
La definizione di portata si può estendere a tutti
i campi vettoriali, cioè a quelli che si possono
rappresentare mediante linee di forza
IN QUESTO CASO PERO’ NON LA SI
CHIAMA PORTATA MA
FLUSSO
Diventa un’operazione puramente matematica,
che in qualche caso si può interpretare
fisicamente
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Φ = S·V ·cosα
Si dice flusso di un vettore attraverso una
superficie il prodotto del vettore per la
superficie per il coseno dell’angolo compreso tra
vettore e normale
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Se però il campo non è uniforme la definizione si
rivela del tutto insufficiente
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
In questo caso si divide la superficie in tanti
piccolissimi pezzi indicati da un indice i che vale
1,2,3…fino ad esaurimento dei pezzettini…
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Si calcola il flusso su ciascun pezzettino:
Φi = Si ·Vi ·cosαi
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Quindi si calcola il flusso totale come somma dei
singoli flussi elementari di ciascun pezzettino
  s1  v1  cos 1  s2  v2  cos  2  s2  v2  cos  2  ...
Ovvero, simbolicamente:
n
   si  vi  cos  i
i 1
TEOREMA DEL FLUSSO
QUANTO PICCOLO?
Quanto deve essere piccolo un pezzettino? In
realtà deve essere infinitamente piccolo, ovvero
bisogna far tendere il numero delle divisioni
all’infinito
n
  Lim  si  vi  cos  i
n 
i 1
TEOREMA DEL FLUSSO
SUPERFICIE CHIUSA
Se la superficie è chiusa, come quella di una
sfera, si parla di flusso attraverso una superficie
chiusa
TEOREMA DEL FLUSSO
IL FLUSSO DEL CAMPO
ELETTRICO
Il flusso del campo elettrico esprime una legge
importantissima detta
TEOREMA DI GAUSS
Questa legge, di fatto, sostituisce la legge di
Coulomb in quanto più adatta ad esprimere le
proprietà generali del campo elettrico, assieme
a quella della circuitazione.
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
Il campo elettrico si dice COULOMBIANO quando
è prodotto da una carica elettrica Q molto
piccola, al limite puntiforme
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
In questo caso la forza che il campo esercita su
una carica di prova q può essere espresso dalla
legge di Coulomb
Qq
F
2
4o r
1
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
Non conviene però riferirsi alla forza, perché
questa dipende dalla carica di prova che è solo
uno strumento di misura, ma al campo elettrico
E che ne è indipendente
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
Poiché per definizione:
F
E
q
La formula del CAMPO ELETTRICO
COULOMBIANO è:
1
Q
E
2
4o r
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
Inoltre, le linee di forza di un campo
coulombiano sono raggi che escono dalla
carica Q, nel caso che essa sia positiva, o che
vi entrano, nel caso sia negativa
PERCHE’ RIFERIRSI AL CAMPO
COULOMBIANO?
Perché in questo caso la dimostrazione è
particolarmente semplice
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONE
Consideriamo una sfera di raggio r con, al
centro, una carica Q
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONE
Le linee di forza sono ovunque perpendicolari
alla sfera, inoltre sulla sfera il campo è
uniforme, quindi…
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONE
…il flusso si calcola senza tante complicazioni
con la prima definizione
Φ= S·E
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONE
Il campo elettrico si calcola con la legge di
Coulomb, la superficie con la geometria
1
Q
E
2
4o r
S  4r
2
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSS
Moltiplicando membro a membro:
1
Q
2
  ES 

4

r
2
4o r
E, semplificando…
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSS
… si ottiene il risultato:

Q
o
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSS
Se nella superficie ci sono più cariche…
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSS
Al posto di Q si prende la somma di tutte le Q

 sc ( E ) 
1
o
n
Q
k 1
k