Limiti

Limiti
Isiss “Valle Seriana”
Limiti
• Patologie delle funzioni continue
• Ci sono tre tipi di punti in cui una funzione
non è continua
Seconda specie
Prima specie
Terza specie
Prima specie
• Esistono limite
sinistro e limite destro
• Non sono uguali
• C’è un salto
lim f x   1
x 1
 x se x  1
f ( x)  
2 x se x  1
lim f  x   2
x 1
Seconda specie
• Come nel primo
caso,ma….
• ….uno dei due limiti
1
non è finito
f x  
x
lim f x   
x 0 
lim f x   
x 0 
f ( x) 
1
x
Terza specie
• Il limite esiste…
..in un punto che non
appartiene al dominio
• Si estende la funzione
in quel punto
x2 1
f x  
x 1
Limite
Sia f :X R una funzione e sia x0 un punto di
accumulazione per X ed l un numero reale
Definizione Il limite di f nel punto x0 è l se,
|x –x0 | diventa piccolo |f(x)-l| diventa piccolo
lim f x   l
x  x' 0
Limite
Forme indeterminate
x2 1
f x  
x 1
Dom(f)=R-{1}
1 è punto di accumulazione di f ma non appartiene al dominio
f 1 
0
0
Forma indeterminata
Se x si avvicina a 1, f(x) si avvicina a 2!
lim f x   2
x 1
Estendiamo f. Includiamo 1 nel dominio e poniamo quindi f(1)=2
Forme indeterminate
• Calcolo algebrico di una forma
indeterminata.
x  1x  1  lim x  1  1  1  2
x2 1
lim
 lim
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
Forme indeterminate
• Esempio 1
x2  4x  3
lim
x 1
x 1
Scomponiamo in fattori il numeratore 3
x2  4x  3  0
x1, 2 
x 2  4 x  3  x  1x  3
1
4  16  12 4  2

2
2
3
E quindi
x  1x  3  lim x  3  2
x2  4x  3
lim
?  lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
Forme indeterminate
• Esercizio 2
x


lim


x  x  1
 1 
Forma indeterminata
Calcolo del limite
x
x
x  lim 1  1  1
lim
 lim
x  1  x
x   1  x 
x  1
1 1


x
 x 
‘0
1
0
x  x
lim
Forme indeterminate
x2 1   1
lim


x  x 2  1
  1





Forma indeterminata
 x2 1 
 x2 1 
 2 
 2  2 
2
x
x
x 
x 1
lim 2
 lim  2   lim  2

x   x  1
x    x  1 
x    x
1 
 2 
 2  2 
x 
 x 
x
0
1 

1  2 
1
x 
?  lim 
 lim  1
x   
1  x 1
1


2 
x


0
1
lim
0
x   x 2