Risoluzione di un triangolo qualsiasi

Risoluzione di triangoli
qualsiasi
Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso
a, vogliamo trovare il terzo lato a.
Tracciamo l’altezza CH
C
b
b sen a
a
A
CH = b sen a
AH = b cos a
a
c - b cos a
Hc
B
BH = AB - AH= c - b cos a
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB
a2 = CH2 + BH2 = (b sen a)2 + (c - b cos a)2
a2 = b2 sen2 a + c2 + b2 cos2 a -2bc cos a
Ma: b2 sen2 a + b2 cos2 a = b2 (sen2 a + cos2 a) = b2
pertanto
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
Abbiamo così ottenuto il
Teorema di Carnot (o del coseno)
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei
quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di
questi per il coseno dell’angolo compreso.
b
C
g
a
A
c
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
a
b2 = a2 + c2 - 2ac cos b
b
c2 = a2 + b2 - 2ab cos g
B
Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un
triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla
relazione
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
b c -a
cos a =
2bc
2
possiamo ricavare
2
2
e quindi a, poiché esiste un unico angolo compreso tra 00 e
1800 avente un dato coseno.
Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere
un triangolo qualunqe, in due casi
• caso 1: dati due lati e l’angolo compreso
• caso 2: dati i tre lati
CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c, a
C
g
b
a
a
b
c
A
B
a = b  c - 2bc cosa
2
2
a 2  c2 - b2
cos b =
2ac
2
2
2
a b -c
cos g =
2ab
da cui si ricava b
da cui si ricava g
CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c
b
C
g
a
a
b
c
A
B
b c -a
cos a =
2bc
a 2  c2 - b2
cos b =
2ac
2
2
2
a b -c
cos g =
2ab
2
2
2
da cui si ricava a
da cui si ricava b
da cui si ricava g
In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se
cos a, cos b, cos g sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non
esiste alcun triangolo che ha i tre lati quelli dati.
Vediamo ora un teorema che da la relazione tra un lato di
un triangolo e l’angolo opposto.
Dato il triangolo ABC, costruiamo la circonferenza
circoscritta e sia R il raggio.
A
a
a
B
a
D
Tracciamo il diametro BD passante
per B. L’angolo BDC è congruente
ad a = BAC perché entrambi
insistono sull’arco BC
C
Il triangolo BCD è rettangolo in C, perché l’angolo BCD
insiste su una semicirconferenza. Quindi
a = BD sen a = 2R sen a
Dunque otteniamo
a
= 2R
sen a
Abbiamo così ottenuto il
Teorema dei seni
In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo
opposto è costante, ed è uguale al diametro della
circonferenza circoscritta al triangolo.
b
C
g
a
A
a
b
c
=
=
sen a sen b sen g
a
b
c
B
Il teorema dei seni ci consente di
risolvere un triangolo dato un lato e i
due angoli ad esso adiacenti.
CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c, a, b
C
b
g
a
b
c
A
a
g = 180 - a - b
0
c sen a
a=
sen g
c sen b
b=
sen g
B
poiché a  b  g = 1800
dal teorema dei seni
dal teorema dei seni