Teorema di Carnot o del coseno

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Teorema di Carnot o del coseno
Enunciato: In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla
somma dei quadrati degli altri due, diminuita del prodotto di questi due
lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.
•
Dato un triangolo qualunque ABC
C
•
Dal Teorema delle proiezioni si ricava che:
a = b cos  + c cos 
b = a cos  + c cos 
c = a cos  + b cos 

b

a

c
•
•
•
A
B
Moltiplichiamo la prima relazione per a, la seconda per -b, e la terza per -c:
Si ottiene:
a2 = ab cos  + ac cos 
- b2 = -ab cos  - bc cos 
- c2 = -ac cos  - bc cos 
Sommando membro a membro si ottiene: a2 - b2 - c2 = - 2bc cos 
a2 = b2 + c2 - 2bc cos 
b2 = a2 + c2 - 2bc cos 
c2 = a2 + b2 - 2bc cos 
da cui:
similmente si ottiene per gli altri lati:
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