Proprietà delle funzioni

FUNZIONI ANALITICHE
Definizione
Classificazione
Dominio e Codominio
Proprietà
COS’È UNA FUNZIONE
FUNZIONE è una particolare
corrispondenza tra gli elementi di due
insiemi che ad ogni elemento del primo
insieme fa corrispondere uno ed un solo
elemento del secondo insieme.
FUNZIONE è un procedimento che, in corrispondenza ad
oggetti in entrata(input), produce oggetti in uscita (output)
NB: ad ogni oggetto in entrata deve corrispondere un solo
oggetto in uscita
NON CI POSSONO ESSERE ELEMENTI DEL PRIMO INSIEME
CHE NON SONO ASSOCIATI AD ALCUN ELEMENTO DEL
SECONDO INSIEME
NO!
Da ogni elemento del primo insieme deve partire una freccia
Non ci possono essere elementi del primo insieme
che sono associati a due o più elementi del secondo
insieme
NO!
Da ogni elemento del primo insieme deve partire una sola freccia
CORRISPONDENZE E FUNZIONI
Usiamo l’aggettivo “particolare” perché non tutte
le corrispondenze tra due insiemi sono
funzioni.
Esempio:
1)
A = insieme di tutte le parole del vocabolario
italiano
2)
B = insieme di tutti i siti presenti sulla rete
3)
Colleghiamo ad ogni elemento del primo
insieme (parola) i siti che compaiono digitando
quella parola come parola chiave in un motore
di ricerca
CORRISPONDENZE E FUNZIONI
A
B
Questa corrispondenza non è una funzione:
ad ogni “parola chiave” corrispondono molti siti e non uno solo: non è
rispettato il secondo vincolo
IL PRIMO INSIEME
Il primo insieme, o insieme di partenza, è chiamato
dominio
o
insieme di definizione
della funzione
Es Il Dominio della funzione y=√x è R+0
Il secondo insieme
Il secondo insieme è l’insieme di arrivo
della funzione
Es: Se la funzione f (x) è la corrispondenza definita in N tra i numeri
dispari e il loro successivo
l’insieme dei numeri dispari sarà il D e N sarà l’insieme di arrivo
L’insieme dei numeri Pari privato dello zero è l’insieme delle
immagini di tutti gli elementi di D sarà chiamato Codominio
N
D
1 3 5 7
9 11 13…
.
2 4 6
8 10 12
14…..
C
2 è l’immagine di 1
4 è l’immagine di 3
6 è l’immagine di 5
…………………….
IMMAGINE DI UNA FUNZIONE
Il Codominio è il sottoinsieme dell’insieme di arrivo
ed è detto anche insieme immagine della
funzione perché è formato dalle immagini degli
elementi del dominio
Simbologia :
L’immagine dell’elemento a del Dominio D è
f(a)
il Codominio della funzione f di Dominio D è
f(D)
INSIEME IMMAGINE
I
Il codominio I contiene gli elementi collegati a qualche elemento del
dominio è quello evidenziato in rosa (insieme immagine)
RAPPRESENTARE FUNZIONI
Le funzioni possono essere rappresentate in vari
modi, ad esempio con:
 Diagrammi di Eulero – Venn e frecce
 Tabelle
 Grafici
RAPPRESENTARE FUNZIONI
DIAGRAMMI DI
EULERO –VENN E FRECCE
In questo tipo di rappresentazione:


Gli insiemi di
partenza/oggetti in entrata e
di arrivo / oggetti in uscita
sono rappresentati
attraverso diagrammi di E-V
La corrispondenza/procedimento è rappresentata/o dal
complesso delle frecce che
partono da ogni elemento
del primo insieme ed
arrivano su di un elemento
dell’altro
RAPPRESENTARE FUNZIONI
TABELLE
In questo tipo di rappresentazione:


Capitali
Gli elementi degli insiemi di europee
Temperature
max il
01/10/08
partenza/oggetti in entrata e
di arrivo / oggetti in uscita
sono elencati nelle colonne
di una tabella
Roma
22
La corrispondenza/procedi-
Parigi
15
mento è rappresentata/o da
ciò che lega gli elementi
delle due colonne
Londra
13
RAPPRESENTARE FUNZIONI

CON I GRAFICI
Fissato nel piano un sistema di riferimento XOY cartesiano ortogonale e data la
y=f(x) definita in un certo intervallo di estremi (a;b), attribuendo alla x dei
valori, di volta in volta, variabili tra a e b possiamo calcolare, in base al legame
espresso nella funzione, la y corrispondente. Ogni coppia x e y individua nel
piano un punto della curva.
y
Per x= x1--------->f(x1)=y1-----------> P1(x1;y1)
P11
Per x= x2--------->f(x2)=y2-----------> P2(x2;y2)
.
Per x= xn--------->f(xn)=yn-----------> Pn(xn;yn)

.
P2
Pn
La curva passante per tutti i punti calcolati rappresenta il grafico della funzione
espressa dalla legge y=f(x).
x
RAPPRESENTARE FUNZIONI



Gli elementi degli insiemi di
partenza/oggetti in entrata sono
tutti i numeri reali, rappresentati
su di una retta orizzontale (asse
delle x o asse delle ascisse)
Gli elementi degli insiemi di
arrivo/oggetti in uscita sono tutti
i numeri reali, rappresentati su
di una retta orizzontale (asse
delle y o asse delle ordinate)
La
corrispondenza/procedimento
è rappresentata/o da una
linea nel piano cartesiano, che
assume forme diverse in
relazione alla formula
matematica che definisce la
funzione
GRAFICI
FUNZIONI EMPIRICHE E ANALITICHE
Le funzioni empiriche sono tutte le funzioni
che non si possono rappresentare con una
formula matematica
Le funzioni analitiche sono tutte le funzioni
esprimibili mediante una formula
matematica; sono esplicitabili nella forma
Y = f(x) anche se definite a tratti
Per indicare una funzione analitica si può scrivere:
 f: A  B che si legge: “f è una funzione di A in B
 f: x  y che si legge: “f fa corrispondere
all’elemento x l’elemento y”
 y = f(x) che si legge: “y uguale a effe di x”
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
L’oggetto del nostro studio sono le funzioni reali
(cioè: le funzioni che assumono valori che fanno
parte dell’insieme dei numeri reali, oppure:
l’insieme di arrivo è l’insieme dei numeri reali, il
Codominio è un sottoinsieme di R )
a variabili reali (cioè: gli elementi di partenza
sono numeri reali, oppure:
il dominio e il codominio sono sottoinsiemi dei
numeri reali).
CLASSIFICARE LE FUNZIONI
FUNZIONI
empiriche
analitiche
trascendenti
algebriche
irrazionali
intere
fratte
razionali
intere
fratte
FUNZIONI ALGEBRICHE E
TRASCENDEMTI
ALGEBRICHE : sono tutte le funzioni che, nella
formula che le esprime,
contengono solo operazioni di:
• addizione/ sottrazione/moltiplicazione/ divisione
• elevamento a potenza/ estrazione di radice
• e le loro combinazioni.
Cioè espressa mediante espressioni algebriche
Ad esempio : y = 2x4 – 3
TRASCENDENTI: sono tutte le funzioni che non
sono algebriche
Ad esempio: y = ex y = log x y = sen x
y  x2
FUNZIONI ALGEBRICHE
F. Irrazionali : Sono tutte le funzioni in cui la variabile
indipendente compare sotto il segno di radice (indice n)
es y= √(x-1)

F. Razionali : Sono tutte le funzioni in cui compaiono le
operazioni di addizione/ sottrazione,
moltiplicazione/divisione, elevamento a potenza ma non
l’estrazione di radice
Tra queste
 le F. Polinomiali Sono tutte le funzioni espresse
mediante polinomi
Esempio: y = 3x4-7x2-x+12

Le F Fratte Sono le funzioni espresse mediante il
quoziente di due esptressioni es y=(x-2)/(x^2-3) ,
y= 1/(√x-1)
FUNZIONI: INIETTIVE, SURIETTIVE
BIUNIVOCHE
Per stabilire se una corrispondenza è una funzione,
si osserva il dominio.
Per stabilire se una funzione è:
 Iniettiva
 Suriettiva
 Biunivoca
Si osserva il codominio
FUNZIONE INIETTIVA
Ogni elemento del codominio è immagine di, al massimo, un
elemento del dominio (agli elementi del codominio arriva
una freccia oppure nessuna)
Non è
iniettiva
è iniettiva
Il grafico di una funzione iniettiva si riconosce perché ad ogni ordinata
corrisponde una sola ascissa ( quindi ogni retta // all’asse x che incontra il
Grafico lo intercetta una sola volta )
FUNZIONE SURIETTIVA
Ogni elemento dell’ insieme di arrivo fa parte del codominio
è immagine di almeno un elemento del dominio (ad ogni
elemento del codominio arrivano frecce) f(D) =C =Insieme di
arrivo
E’ suriettiva
Non è suriettiva
Il grafico di una funzione suriettiva si riconosce perché ogni punto dell’asse y è
l’ordinata di qualche ascissa; quindi ogni retta // all’asse x incontra il Grafico almeno
una volta)
LA FUNZIONE INVERSA
Accertata la biunivocità della funzione
y = f(x)
la funzione inversa si calcola così
1. Scambiare nella formula la Variabile x con la Variabile y ( in modo che y
diventi la variabile indipendente e x la dipendente della nuova funzione)
2. Esplicitare la variabile y con le regole dell’algebra
NB Spesso le funzioni non suriettive si
invertono in un sottoinsieme opportuno
di R nel quale la funzione è iniettività e
suriettiva es y=x^2 non è iniettiva né
suriettiva su R ma è invertibile in R+ e la
sua inversa è y=√x
NBB il grafico cartesiano della funzione
inversa è ottenibile dal grafico della
funzione y=f(x) per simmetria rispetto alla
bisettrice del primo quadrante
LE PROPRIETÀ ANALITICHE DELLE
FUNZIONI
Studiare in funzione significa determinare le sue proprietà analitiche , cioè
le proprietà che valgono per tutte le coppie (x,y) che verificano la y=f(x)
Ad ogni proprietà analitica corrisponde una proprietà geometrica del
grafico della funzione
Le principali proprietà analitiche che si possono
dedurre dal grafico di una funzione sono:
DOMINIO
CODOMINIO
INIETTIVITA
SURIETTIVITA’
SIMMETRIE
PERIODICITA’
ZERI
SEGNO
CRESCENZA
CONCAVITA’
Le principali proprietà analitiche che
si possono dedurre facilmente dalla
formula di una funzione con le
conoscenze disponibili in questo
momento dell’as sono:
DOMINIO
SIMMETRIE
ZERI
SEGNO
LE PROPRIETÀ ANALITICHE DELLE FUNZIONI
Le principali proprietà analitiche che si
possono dedurre dal grafico di una
funzione sono:
DOMINIO sono le ascisse dei punti del
grafico
CODOMINIO sono le ordinate dei punti del
grafico
INIETTIVITA vedi indietro
SURIETTIVITA’ vedi indietro
SIMMETRIE
Pari : grafico simmetrico rispetto a y
Dispari : grafico simmetrico rispetto a O
PERIODICITA’ : il grafico si ripete dopo un
intervallo T chiamato periodo
Y cresce
Y<0
Y cala
Y>0
Y cresce
ZERI ascisse dei punti di incontro con l’asse x
SEGNO
Y>0 valori di x per cui il grafico sta sopra
CRESCENZA valori di x per cui il grafico ha le
l’asse x
rette tangenti con pendenza positiva ( y aumenta al
Y<0 valori di x per cui il grafico sta sotto
crescere di x)
l’asse x
CONCAVITA’ il grafico sta sotto le rette tangenti
CONVESSITA’ il grafico sta sotto le rette tangenti
DETERMINAZIONE DEL DOMINIO
DI UNA FUNZIONE ESPRESSA IN FORMA ANALITICA


Funzioni razionali intere : Sono definite qualunque valore assume
la x
Es Y= 4x4-3x2+1 C.E.  x  R 
D=R
Funzioni razionali fratte: Sono definite qualunque valore assume la
x tranne che per i valori che annullano il denominatore
x 1
D= R-{-1,+1 }
y
x2 1

Funzioni irrazionali In questo caso bisogna vedere se l'indice del radicale è pari o
dispari. Se è pari allora sono definite qualunque valore assume la x tranne che
per i valori che rendono il radicando negativo; se è dispari sono definite
qualunque valore assume la x. Quindi:



radicale con indice pari
radicale con indice dispari
C.E. si ha risolvendo RADICANDO > 0
C.E. si ha x R
Funzioni composte: Quando la funzione è composta, sarà necessario risolvere
un sistema che includerà tutte le imposizioni fatte per ciascun tipo di funzione.
SIMMETRIE PARI O DISPARI
Una funzione y = f(x) è pari se
f(-x) = f(x)
per ogni x
ЄD
Una funzione y = f(x) è dispari se f(-x) = - f(x)
per ogni x Є D
Funzione pari
Funzione dispari
ZERI O INTERSEZIONI CON GLI ASSI
 Le coordinate dei punti di intersezione del grafico di una
funzione con gli assi cartesiani si determinano risolvendo
l’equazione che si ottiene ponendo nella equazione y=f(x)

x=0 (per l’intersezione con l’asse y)

y=0
(per l’intersezione con l’asse x)
yY
(x2;0) x
(x1;0)
(0;y1)
DETERMINAZIONE DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE
Per determinare il segno di una
funzione,ovvero per quali valori della x
essa assume valori positivi o negativi
all'interno del C.E., basta risolvere la
disequazione f(x)>0.